Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 5 : Les méthodes d’évaluation des incertitudes
La prise en compte de la variable uniforme lors de l’étape 4 garantit le caractère irréductible
de la loi q : même les valeurs les moins vraisemblables de l’espace des paramètres sont
échantillonnées. Dans la plupart des études, la loi de tirage q est choisie multi-normale,
caractérisée par sa matrice de variance-covariance. Il est important de souligner que le ratio
considéré pour le calcul de la probabilité d’acceptation dans l’étape 3 permet, comme pour le
cas de la méthode d’échantillonnage d’importance, de s’affranchir du calcul du dénominateur de
la distribution a posteriori. L’algorithme a plus tard été étendu par Hastings en 1970 pour des
lois de tirage non symétriques. L’algorithme proposé, dits de Metropolis-Hastings, reste fondé
sur le même principe. Il est devenu depuis l’algorithme de référence pour un grand nombre
d’applications.
Paramétrage de l’algorithme
Une bonne mise en œuvre de cet algorithme nécessite un paramétrage de la loi de tirage
adaptée. Son efficacité dépend du choix de la loi de tirage et des valeurs de ses paramètres. Plus
la loi de tirage est proche de la distribution a posteriori et plus la convergence sera rapide. Dans
le cas où elle est trop éloignée, la convergence est lente jusqu’au risque que l’algorithme soit
incapable de l’atteindre (Vrugt et al. 2009). Par exemple dans le cas de la loi multi-normale,
une variance trop faible de la loi risque de biaiser l’échantillonnage : les valeurs les moins
vraisemblables de l’espace des paramètres seront mal représentées. Dans le cas contraire, la
convergence vers la distribution a posteriori sera très lente en relation avec un taux
d’acceptation des jeux trop faible (Gallagher et Doherty 2007). De la même manière, une
mauvaise estimation des covariances de la distribution peut conduire à un échantillonnage non
adéquat de certaines zones de la distribution a posteriori. Ces problèmes sont illustrés par
Reichert (2009) qui reprend l’exemple de la loi de tirage multi-normale.
Le choix du jeu initial de la chaîne influe également sur l’efficacité de l’algorithme. Un jeu
initial situé dans une zone peu vraisemblable de l’espace des paramètres induira un temps de
convergence plus élevé vers les zones de plus hautes vraisemblances. L’objectif est de
minimiser la taille de cette première partie de la chaîne de Markov non représentative de la
distribution a posteriori des paramètres (burn-in period). Pour cela, il est conseillé d’initialiser
la chaîne au jeu de paramètres optimal déterminé au préalable par la maximisation de la
vraisemblance par une méthode de calage global (e.g. Kuczera et Parent, 1998, Reichert 2009).
Le nombre d’itérations N tient compte du nombre d’itérations de la « burn-in period » qu’il faut
écarter et de la taille de l’échantillon désiré.
5.3.4.4 Les nouvelles générations d’algorithmes MCMC
Ces dernières années, les algorithmes MCMC ont retenu l’attention des chercheurs. Vrugt et
al. (2009) proposent une rétrospective des différents algorithmes qui ont été développés depuis
la première version proposée par Metropolis et al. (1953).
Il cite d’abord les méthodes adaptatives développées pour pallier la difficulté du choix
d’une loi de tirage adaptée, avec l’exemple des travaux de Haario et al. (Haario et al. 1999;
Haario et al. 2001; Haario et al. 2005). Le principe de ces méthodes consiste à adapter la forme
de la loi de tirage au fur à mesure de la construction de la chaîne de Markov à partir des
informations acquises lors des états précédents. Haario et al. (2006) proposent également un
algorithme prenant en compte un délai de rejet afin d’améliorer la vitesse de convergence. Le
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