Traitement et analyse de séries chronologiques continues de ...

Partie 2 – Chapitre 5 : Les méthodes d’évaluation des incertitudes
l’infini, la même densité de probabilité. Autrement dit, elles constituent un échantillon de
variables suivant une distribution stationnaire.
Echantillonnage de la distribution a posteriori
Le principe d’un échantillonnage par la méthode de Monte Carlo par Chaîne de Markov
(MCMC) consiste à construire une chaîne de Markov convergeant vers la distribution a
posteriori des paramètres. Il s’agit donc de la démarche inverse de celle où la fonction de
transition est connue et la distribution stationnaire inconnue. Il s’agit dans notre cas de définir
une fonction de transition qui permet d’échantillonner à chaque pas de la chaîne de Markov un
jeu de paramètres selon la distribution a posteriori désirée.
La taille de la chaîne simulée dépend ensuite du nombre d’itérations à partir duquel la
chaîne converge, caractérisant la phase non stable préalable à la convergence, et de la taille de
l’échantillon que désire le modélisateur pour estimer les caractéristiques de la probabilité a
posteriori. Une moyenne de 10 000 jeux est en général considérée comme suffisante dans les
études de modélisation.
Il n’existe pas un choix unique pour la fonction de transition (appelée aussi noyau de
transition). Différentes fonctions peuvent être utilisées dès lors qu’elles garantissent les
caractéristiques d’ergodicité et de réversibilité de la chaîne. En notant f trans la densité de la
fonction de transition, cette dernière doit vérifier les conditions suivantes :
f
post
ftrans fpost
(ergodicité) Eq. 5.35
, ,
f f f f (réversibilité) Eq. 5.36
trans i1 i post i trans i i1 post i1
La propriété d’ergodicité implique que si le jeu de paramètres à l’étape i de la séquence θ i suit
la densité de probabilité f post (θ i ), et le jeu à l’étape suivante θ i+1 la densité f trans (θ i ,θ i+1 ), alors
θ i+1 suit également la densité f post (θ i+1 ). Ainsi, la chaîne sera construite de manière symétrique
quel que soit le sens de sa construction (réversibilité).
Il faut de plus définir la valeur du jeu de paramètres initial, à partir duquel la chaîne est
construite. Ce dernier a une influence directe sur la rapidité avec laquelle la chaîne converge.
De ce point de vue, il est possible de construire plusieurs chaines de Markov en parallèle,
initialisées en différents points de l’espace des paramètres, afin d’échantillonner correctement
l’espace et de vérifier le moment à partir duquel les chaines convergent effectivement vers la
même distribution.
Les algorithmes MCMC
Plusieurs algorithmes pour la mise en œuvre de la méthode MCMC sont actuellement
disponibles dans la littérature, selon la manière dont est construit l’échantillon. Ces derniers
diffèrent notamment selon les choix des éléments suivants : i) la fonction de transition, ii) le
nombre de chaines de Markov construites, iii) le choix de la(des) valeur(s) du(des) jeu(x)
initial(aux), iv) le critère de convergence adopté et v) la manière de sélectionner les jeux
constituant l’échantillon final. Ces choix conditionnent la simplicité de l’algorithme mais aussi
son efficacité, c’est-à-dire la rapidité avec laquelle la ou les chaîne(s) de Markov convergent et
avec laquelle l’échantillon est construit.
Pour une chaîne de Markov donnée, le principe commun de ces algorithmes consiste, à
chaque état de la chaîne, à d’abord générer un candidat dans l’espace possible des paramètres.
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