G - Thèses de l'INSA de Lyon

N° d’ordre 97 ISAL 0103 Année 1997 

THÈSE 

Présentée devant 

L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON 

pour obtenir 

LE GRADE DE DOCTEUR 

Spécialité : Génie Civil - Sols, Matériaux, Structures, Physique du bâtiment 

ÉCOLE DOCTORALE MEGA (Mécanique, Énergétique, Génie Civil et Acoustique) 

par 

Gérard MICHEL 

Ingénieur Génie Mécanique Développement 

FLAMBAGE DE COQUES CYLINDRIQUES 

SOUS UN CHARGEMENT DE CISAILLEMENT DYNAMIQUE 

Soutenue le 14 Novembre 1997 devant la Commission d’Examen 

Jury MM. A. COMBESCURE Rapporteur 

R. OHAYON Rapporteur 

G. GALLETLY Examinateur 

J.-F. JULLIEN 

Directeur de thèse 

M. LALANNE Examinateur Président du jury 

A. LIMAM Examinateur 

M. SPERANDIO Examinateur 

N. WAECKEL Examinateur 

URGC-Structures

Septembre 1997 

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON 

Directeur : 

J.ROCHAT 

Professeurs 

s. AUDISIO 

J.C. BABOUX 

B. BALLAND 

D. BARBIER 

G. BAYADA 

c. BERGER (Melle) 

M. BETEMPS 

J.M. BLANCHARD 

c. BOISSON 

M. BOIVIN 

H. BOTTA 

G. BOULAYE 

J. BRAU 

M. BRISSAUD 

M. BRUNET 

J.C. BUREAU 

J.Y. CAVAILLE 

J.P. CHANTE 

B. CHOCAT 

B. CLAUDEL 

M. COUSIN 

M. DIOT 

A. DOUTHEAU 

R. DUFOUR 

J.C. DUPUY 

H. EMPTOZ 

c. ESNOUF 

L. EYRAUD (Prof. émérite) 

G. FANTOZZI 

M. FAYET 

J. FAVREL 

G. 

Y. 

L. 

P. 

A. 

R. 

F. 

L. 

R. 

M. 

G. 

P. 

P. 

M. 

R. 

G. 

G. 

M. 

G. 

A. 

FERRARIS-BESSO 

FETIVEAU 

FLAMAND 

FLEISCHMANN 

FLORY 

FOUGERES 

FOUQUET 

FRECON 

GAUTHIER 

GERY 

GIMENEZ 

GOBIN (Prof. émérite) 

GONNARD 

GONTRAND 

GOUTTE (Prof. émérite) 

GRANGE 

GUENIN 

GUICHARDANT 

GUILLOT 

GUINET 

J.L. GUYADER 

J.P. GUYOMAR 

J.M. JOLION 

J. JOUBERT 

J. F. JULLIEN 

A. 

R. 

H. 

J. 

M. 

M. 

A. 

M. 

P. 

A. 

Ch 

P. 

JUTARD 

KASTNER 

KLEIMANN 

KOULOUMDJIAN 

LAGARDE 

LALANNE 

LALLEMAND 

LALLEMAND (Mme) 

LAREAL 

LAUGIER 

LAUGIER 

LEJEUNE 

PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE 

GEMPPM* 

PHYSIQUE DE LA MATIERE 


MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE 


AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE 

LAEPSI*** 

VIBRATIONS-ACOUSTIQUE 

MECANIQUE DES SOLIDES 

EQUIPE DEVELOPPEMENT URBAIN 

INFORMATIQUE 

CENTRE DE THERMIQUE 

GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE 


THERMODYNAMIQUE APPLIQUEE 

GEMPPM* 

COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONS 

UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL 

LAEPSI*** 



CHIMIE ORGANIQUE 

MECANIQUE DES CONTACTS 


RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION 

GEMPPM* 


GEMPPM* 


GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE I3 INFORMATIQUE DES 

SYSTEMES MANUFACTURIERS 

MECANIQUE DES STRUCTURES 


MECANIQUE DES COhTACTS 

GEMPPM* 

INGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION 

GEMPPM* 

GEMPPM* 

INFORMATIQUE 


CENTRE DETHERMIQUE 

CREATIS** 

GEMPPM* 


COMPOSANTS DE PUISSANCE ET APPLICATIONS 

CREATIS** 

GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICI~ 

GEMPPM* 

BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE 


GROUPE DE RECHERCHE EN PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES 

SYSTEMES MANUFACTURIERS 



RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION 

GENIE MECANIQUE 




GENIE ELECI’RIQUE ET FERROELECIRICITE 



MECANIQUE DES STRUCTURES 






GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISM=

Septembre 1997 

A. LUBRECHT 

Y. MARTINE2 

H. MAZILLE 

P. MERLE 

J. MERLIN 

J. P. MILLET 

M. MIRAMOND 

N. MONGEREAU (Prof. émérite) 

R. MOREL 

P. MOSZKOWICZ 

P. NARDON 

A. NAVARRO 

A. NOURI (Mme) 

M. OTTERBEIN 

J.P. PASCAULT 

G. PAVIC 

J. PERA 

G, PERACHON 

J. PERI3 (Prof. émérite) 

P. PINARD 

J.M. PINON 

D* PLAY 

J. POUSIN 

P. PREVOT 

R. PROST 

M. RAYNAUD 

J.M. REYNOUARD 

E. RIEUTORD (Prof. émérite) 

J 

D’. 

P. RUBEL 

C. RUMELHART 

J. F. SACADURA 

H. SAUTEREAU 

S. SCAVARDA 

D. THOMASSET 

M. TROCCAZ 

R. UNTERREINER 

ROBERT-BAUDOUY (Mme) 

ROUBY 

J 

G: 

VERON 

VIGIER 

A. VINCENT 

P. VUILLERMOZ 


INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLE 


GEMPPM* 

GEMPPM* 




MECANIQUE DES FLUIDES 

LAEPSI*** 

BIOLOGIE APPLIQUEE 

LAEPSI*** 


LAEPSI*** 

MATERIAUX MACROMOLECULAIRES 




GEMPPM* 


LNGENIERIE DES SYSTEMES D’INFORMATION 

CONCEPIION ET ANALYSE DES SYSTEMES MECANIQUES 


GROUPE DE RECHERCHE EN APPRENTISSAGE, COOPERATION ET 

INTERFACES MULTIMODALES 

CREATIS”’ 

CENTREDETHERMJQUE 

UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVLL 

MECANIQUE DES FLUIDES 

GENE?TIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES 

GEMPPM” 



CENTREDETHERMIQUE 





CREATIW 

LAEPSI**’ 

GEMPPM* 

GEMPPM* 


Directeurs de recherche C.N.R.S. : 

D. ANKER 

Y. BERTHIER 

P. CLAUDY 

P. FRANCIOSI 

M. MURAT 

A. NOUAILHAT 

M.A. MANDRAND (Mme) 

J.F. QUINSON 

A. ROCHE 

Directeurs de recherche I.N.R.A. : 

G. BONNOT 

G. FEBVAY 

s. GRENIER 

Y. MENEZ0 

CHIMIE ORGANIQUE 



GEMPPM” 

GEMPPM* 


GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES 

GEMPPM* 






Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. : 

A-F. PRIGENT (Mme) 


1. MAGNIN (Mme) CREATIS** 

* GEMPPM GROUPE D’ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX 

** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D’APPLICATIONS ENTRAITEMENT DE L’IMAGE ET DU SIGNAL 

**+ LAEPSI LABORATOIRE D’ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DESPROCEDES ET SYSTEMES [NDUSTRIELS

iCOLES DO-l-ORALES 

ieptembre 1997 

I Ecole Doctorale Matériaux de Lyon = 

INSR - ECL - UCBL - U. Chambery - ENS 

Responsable : Pr. A. HORREAU 

Formations doctorales : 

- Génie des matériaux (Pr. RFOUGERES) 

- Matière condensée, surfaces et interfaces (Pr. M.BARRAT) 

- Matériaux polymères et composites (Pr. H.SAUTEREAU) 

I Ecole Doctorale des Sciences pour I’lngénieur de Lyon : 

Mécanique, Energétique, Génie Ciuil, Acoustique (MEGA) = 

ECL - INSA - UCBL 

Responsable : Pr. J. BATAILLE 


- Acoustique (Pr. GUYADER) 

- Génie ciuil : Sols, Matériaux, Structures 

physique du bâtiment (Pr. LflREAL) 

- Mécanique (Pr. BRTAILLE) 

- Thermique et Energétique (Pr. LANCE) 

B Ecole Doctorale des Sciences pour I’lngénieur de Lyon : 

Electronique, Electrotechnique, Automatique (EEA) = 

INSR - ECL - UCBL - U..Chambery - U. St Etienne 

Responsable : Pr. G. GIMENEZ 


- Acoustique (Pr. GUYADER) 

- Automatique industrielle (Pr. BOLON) 

- Dispositifs de l’électronique intégrée (Pr. PINARD) 

- Génie biologique et médical (Pr. COLLOMBEL) 

- Génie Electrique (Pr. RURIOL) 

- Signal, image, parole (Pr. LACOUME)

l 

! 

l 

I 

I 

I 

, 

INSA DE LYON 

Département des Etudes Doctorales 

Octobre 1997 

- De France 04 72 43 . . . . 

- De l’Etranger 33 4 72 43 . . . . 

LISTE DES DEA et FORMATIONS DOCTORALES 

laifluide2.insa-lyon.fr 

Bât 406 Tel 82 40 

Michel.Lagarde@insa-lyon.fr 

r 1 

DEA dkformatique de Lyon KOULOUMDJIAN Fax 87 13 

Jacques koulou@lisiecrin.insa-lyon.fr 

Bât 501 Té1 80 99 , 

Dispositifs de l’électronique PINARD Pierre Fax 85 31 

intégrée Bât 502 Té1 82 47 Pierre.Pinard@insa-lyon.fr 

Génie biologique et médical MAGNIN Isabelle Fax 85 26 

Bât 502 Té1 85 63 Isabelie.Magnin@creatis.insa.lyon.fr 

1 

Génie civil : sols, matériaux, LAREAL Pierre Fax 85 20 

structures, physique du bâtiment Bât 304 Té1 82 16 deagcainsa-lyon.fr 

I 

. 

Génie des matériaux : FOUGERES Roger Fax 85 28 

Microstructure, comportement Bât 502 Té1 81 49 fougeres@gemppm.insa-lyon.fr 

mécanique, durabilité 

Génie Electrique de Lyon CHANTE Jean-Pierre Fax 85 30 

Bât 401 Té1 87 26 chante@cegely.insa-lyonfr 

Matériaux polymères et Composites SAUTEREAU Henri Fax 85 27 

Bât 403 Té1 81 78 Henri.Sautereau@insa-lyon.fr 

Matière condensée, surfaces et interfaces GUILLOT Gérard Fax 85 31 

Bât 502 Té1 81 61 Gerard.Guillot@insa-lyon.fr 

Mécanique DALMAZ Gérard Fax 04 78 89 09 80 

Bât 113 Té1 83 03 Gerard.Dalmaz@lmc.insa-lyon.fr 

Productique : organisation économique FAVREL Joël Fax 85 18 

et Génie Informatique pour l’entreprise Bât 502 Té1 82 19 jfavrel@if.insa-lyon.fr 

Sciences et techniques du déchet NAVARRO Alain Fax 87 17 

Bât 404 Té1 84 30 Alain.Navarro@insa-lyon.fr 

Signal, Image, Parole GIMENEZ Gérard Fax 85 26 

Bât 502 Tel 83 32 gimenez@creatis.insa-lyon.fr 

Thermique et énergétique LALLEMAND Monique Fax 85 14 

Bât 404 Té1 81 54 Monique.Lallemand@cethil.insa-lyonfr 

1 

1 

1 

L’INSA de Lyon est 1Vtablissement responsable des Jormations doctorales dont les noms sont 

signalts e n gras.

?- 

7 

A Catherine 

A mon fière 

A ma famille

9 

AVANT PROPOS 

Cette recherche a été effectuée au Laboratoire URGC Structures (Unité de Recherche Génie 

Civil) de 1’INSA (Institut National des Sciences Appliquées) dans le cadre d’une collaboration 

avec EDF SEPTEN, NOVATOME et le CEA. 

Je tiens tout d’abord à remercier mon directeur de thèse, M. le Professeur Jean-François 

JULLIEN pour la confiance et l’attention qu’il m’a accordées tout au long de cette étude. A 

travers lui je remercie également l’INSA et l’ensemble du Laboratoire URGC Structures. 

Je remercie également M. Ali LIMAM, Maître de Conférences, pour les discussions 

enrichissantes que nous avons eues et les conseils qu’il m’a donnés durant ces trois années. 

Je remercie d’autre part : 

- M. le Pr. Alain COMBESCURE et M. le Pr. Roger OHAYON pour avoir accepté 

d’être les rapporteurs de mon mémoire. 

- M. le Pr. Michel LALANNE, M. le Pr. Gerard GALLETLY pour leur participation à 

mon jury de thèse. 

- Mrs. SPERANDIO et WAECKEL pour leur participation à mon jury de thèse et le 

soutien apportés à ce travail. 

Je remercie également M. André TURBAT, M. Christian AVALLE de NOVATOME, Mme 

Marie-Thérèse BLANCHARD de EDF SEPTEN et M. Ioannis POLITOPOULOS du CEA 

SACLAY qui ont suivi cette recherche au cours des nombreuses réunions de travail. 

Mes remerciements amicaux s’adressent à tous les membres et collègues du laboratoire, en 

particulier à M. Benedikt SCHAUDER, pour les discussions (autour d’un café) et aides qu’ils 

m’ont apporté. 

J’adresse mes remerciements à l’ensemble des techniciens du laboratoire, en particulier à M. 

Bruno HIJGUENY, M. Lionel RAZY et M. Mario MASAPOLLO ainsi qu’à M. Georges 

HUGUENY du CEREP. 

Je tiens enfin à remercier Mlle Bernadette ESCALIER, ingénieur informaticienne du 

laboratoire, Mlle Nadia BEGI-IDADI, Mme Luce DEPECKER et Mme Sylvie REA, 

secrétaires du laboratoire, pour leur efficacité et leur patience.

Résumé 11 

Résumé 

Les structures minces soumises à un chargement sismique sont sensibles au flambage malgré 

le fait qu’elles soient dimensionnées correctement pour les chargements statiques vis-à-vis des 

règles actuelles. 

Cette étude est menée dans le but de répondre aux questions concernant l’effet d’un 

chargement dynamique de cisaillement sur des coques minces. Pour mener cette recherche 

nous utilisons deux approches : une étude expérimentale et des simulations éléments finis. 

Le premier chapitre est consacré à une recherche bibliographique dans le domaine de 

l’instabilité, traitée d’un point de vue statique ou dynamique et des précédentes recherches 

menées sur les coques minces soumises à un chargement, statique ou dynamique, de 

cisaillement. 

Le second chapitre décrit les moyens utilisés pour mener à bien cette étude. Nous présentons 

les spécimens testés ainsi que la machine d’essais spécialement conçue pour réaliser les essais 

statiques et dynamiques. Une présentation des techniques de calculs et des éléments employés 

lors de nos modélisations permet de conclure cette partie. 

Une analyse, expérimentale et numérique, du comportement statique de la coque sous un 

chargement de cisaillement monotone ou cycle alterné constitue la troisième partie de ce 

document. Un comportement élastique bilinéaire avec un post critique stable est mis en 

évidence, la faible sensibilité aux défauts géométriques initiaux est également soulignée. Cette 

analyse nous permet de valider nos résultats (machine d’essais, codes de calculs) par rapport 

aux recherches similaires, elle sert également de base de référence pour les essais dynamiques. 

Le dernier chapitre présente les résultats des essais et simulations numériques des tests de 

chargements dynamiques. Une analyse vibratoire, par calculs éléments finis, de la coque est 

d’abord effectuée afin de connaître l’influence des défauts initiaux et d’une charge de 

précontrainte sur la réponse vibratoire de la coque. La modification des modes propres de type 

coque et la baisse des fréquences associées sous l’effet d’une charge de cisaillement croissante 

sont démontrées. Ensuite une synthèse des résultats expérimentaux, pour divers niveaux de 

charge et des fréquences d’excitation différentes, permet d’apporter une réponse concernant la 

perte de stabilité de la coque sous un chargement dynamique de cisaillement. 

La mise en évidence expérimentale d’une résonance paramétrique, pour des niveaux de 

charge inférieurs à la charge critique statique, est confirmée par les simulations éléments finis 

effectuées avec les codes ABAQUS et INCA. Cette instabilité, résultant du couplage des 

modes de vibrations et du mode de flambage, est fonction du niveau de charge et de la 

fréquence du chargement par rapport à la fréquence propre de la coque.

Résumé 12

Résumé 13 

Abstract 

Thin-walled structures under seismic loading could exhibit bulking, even in the case of a 

correct static design in relationship with the design codes. The aim of our study is to answer 

questions about the effect of dynamic shear loading thin shells. Two approaches, experimental 

tests and finite elements simulations, are used in order to lead this goal. 

Chapter one is dedicate to a bibliographic research; static and dynamic instability are treat in 

point of view theoretical. Previous studies, regarding static and dynamic shear buckling, are 

also describe. 

The second chapter describes the tools used in this study. Experimental specimens and the 

special static and dynamic design machine test are presented; computational technique and 

finite element presentation end this part. 

Firstly a static analysis, with a comparison between experimental and numerical results, is 

done in order to have data before dynamic tests. Monotonous and cyclic tests are performed in 

order to underline the elastic bilinear and stable post critic behavior, the initial imperfection 

insensitivity is also showed. 

Dynamic tests and finite element simulations are presented in the last. A shell finite element 

vibration analysis is done in order to understand the initial imperfection and shear load effects. 

Then, the experimental results synthesis, for distinct load level and excitation frequencies, 

shows the occurrence of dynamic instability in the case of cylindrical thin shell under dynamic 

shear loading. 

Experimental parametric resonance, with load level inferior to static critical load, is bearded 

out by finite element simulations with the softwares ABAQUS and INCA. This instability, 

result of the buckling and vibration modes coupling, is function of the load level and the 

frequency excitation in relationship with the shell eigen frequency.

Résumé 14

15 

SOMMAIRE 

INTRODUCTION 17 

I. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE 21 

I.A. Formalisme conceptuel de la stabilité 23 

I.A.1. Flambage statique 23 

I.A.2. Instabilité dynamique 30 

I.B. Problèmes des chargements sismiques des structures 36 

I.B.1. Influence de la présence d’un fluide pour l’instabilité dynamique 36 

I.B.2. Effet dynamique du chargement 41 

I.C. Flambage sous séisme des cuves minces suspendues 44 

I.C.1. Flambage de coques minces sous un chargement statique de cisaillement 44 

I.C.2. Influence des dimensions de la coque 46 

I.C.3. Effet de la température, du fond hémisphérique et d’une contrainte de traction 47 

I.C.4. Effet des défauts géométriques, chargements cycliques 49 

I.C.5. Comportement post critique 51 

I.C.6. Modélisations Eléments Finis 52 

I.C.7. Flambage de coques minces sous un chargement dynamique en cisaillement 53 

I.D. Conclusions de l’étude bibliographique 58 

II. METHODOLOGIES EXPERIMENTALES ET NUMERIQUES 59 

II.A. Définitions des paramètres de l’étude : 61 

II.B. Méthodologie expérimentale : 63 

II.B.1. Spécimens testés : 63 

II.B.2. Machine d’essais 66 

II.C. Outils numériques : 79 

II.C.1. Techniques de calculs éléments finis 79 

II.C.2. Code INCA 83 

II.C.3. Code ABAQUS 87

16 

III. CHARGEMENTS STATIQUES : 91 

III.A. Essais statiques : 93 

III.A.1. Chargement monotone 93 

III.A.2. Chargements cycliques alternés 105 

III.B. Simulations Eléments Finis des essais statiques 109 

III.B.1. Calculs INCA 109 

III.B.2. Calculs ABAQUS 114 

III.C. Conclusions sur les chargements statiques 116 

IV. CHARGEMENTS DYNAMIQUES 117 

IV.A. Etude vibratoire de la structure 119 

IV.A.1. Coque parfaite 119 

IV.A.2. Coque avec défaut 122 

IV.A.3. Coque soumise à une précharge 125 

IV.A.4. Interaction entre une précharge et un défaut 127 

IV.A.5. Conclusions 127 

IV.B. Résultats expérimentaux 128 

IV.B.1. Excitation vibratoire 128 

IV.B.2. Essais avec des amplitudes de déplacement imposé croissantes 137 

IV.B.3. Géométries après essais dynamiques 153 

IV.C. Simulations numériques des essais dynamiques 157 

IV.C.1. Calculs en déplacement imposé 157 

IV.C.2. Calculs en force imposée 161 

IV.D. Synthèse des résultats sur l’effet d’un chargement dynamique 168 

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 169 

REFERENCES BIBLIORAPHIQUES 171 

ANNEXES 177

Introduction 17 

Introduction 

Le dimensionnement des coques minces cylindriques, vis-à-vis du flambage, a fait l’objet de 

nombreuses études pour ce qui est des chargements statiques (compression axiale, pression 

externe, flexion ...). Cependant le cas d’un chargement sismique appliqué à des coques 

cylindriques telles des réservoirs, des cuves ou des silos (structures en liaison avec le sol) a été 

très peu étudié jusqu’à maintenant. 

Actuellement, toutes ces coques sont dimensionnées suivant des règles dans lesquelles l’effet 

du séisme est traduit en efforts statiques équivalents (cisaillement, flexion, compression, 

traction), en tenant compte d’un coefficient de sécurité. Des analyses au flambage avec 

différentes combinaisons de chargement permettent ensuite de vérifier la résistance de ces 

coques sous sollicitations combinées. 

La stabilité des coques sous un chargement sismique est fonction de plusieurs paramètres : 

- défauts géométriques 

- conditions aux limites 

- contraintes résiduelles 

- flambage élastique, plastique 

- couplage flambage/vibration 

- interaction fluide-structure 

Ces différents paramètres ont déjà été plus ou moins étudiés, les deux derniers sont propres 

au chargement sismique et sont les moins connus. L’objet précis de notre étude est la 

possibilité d’un couplage entre modes de flambage et modes de vibration pour les coques 

cylindriques soumises à un chargement dynamique. 

Dans ce but nous analysons ce paramètre en tentant de maîtriser, sinon de minimiser, l’effet 

des autres paramètres. Nous définissons les dimensions de notre coque de manière à obtenir 

un flambage élastique afin de s’affranchir de l’effet cyclique du chargement sismique. Des 

différents efforts en rapport avec un séisme (compression axiale, cisaillement, pression 

externe par l’intermédiaire du fluide) nous avons retenu un chargement de cisaillement car il 

correspond au flambage le moins sensible aux imperfections géométriques et permet d’avoir 

un comportement post-critique stable. En outre nous nous affranchissons ainsi des problèmes 

d’interaction fluide-structure. 

La procédure de fabrication des spécimens utilisée (coque électrodéposée) nous autorise à 

négliger l’effet des contraintes résiduelles (importantes dans le cas d’une coque roulée soudée) 

et à modéliser nos conditions limites par des encastrements. 

Une analyse du comportement sous sollicitation statique monotone et cyclique, qui sert de 

référence dans la suite de l’étude et permet de confirmer les hypothèses émises précédemment 

concernant les différents facteurs d’influence sur le flambage, est d’abord réalisée. 

Ensuite nous effectuons une analyse numérique de la réponse vibratoire de la coque pour 

diverses configurations (effet d’une masse ajoutée, des défauts géométriques, d’une précharge 

de cisaillement) afin de mieux comprendre l’influence de ces différents facteurs lors des tests 

dynamiques. La dernière phase de notre étude consiste à soumettre la coque à une charge de


cisaillement, d’amplitude et de fréquence variable, afin de définir les combinaisons critiques 

(charge/fréquence) provoquant une perte de stabilité de la coque. 

Ce document, synthétisant notre étude, est constitué de quatre parties qui suivent l’ordre 

chronologique de notre travail et de notre réflexion sur ce sujet. 

La première partie de ce mémoire est consacrée à une présentation des travaux effectués 

dans le domaine de l’instabilité du point de vue statique et dynamique, et des recherches 

menées sur le comportement des coques minces cylindriques soumises à des chargements 

sismiques. 

Après un rappel des concepts de la stabilité, les différentes approches possibles, suivant le 

ou les paramètres étudiés, sont analysées et commentées. Nous avons toutefois concentré cette 

recherche bibliographique sur les coques cylindriques soumises à un chargement, statique ou 

dynamique de cisaillement. De plus, la synthèse de tous ces documents nous permet de définir 

les axes de notre recherche en fonction des interrogations ou des conclusions exprimées par 

les différents chercheurs. 

Dans un second temps, nous décrivons la machine d’essais et les outils numériques utilisés 

lors de ce travail. Les choix technologiques effectués pour ce banc d’essais, spécialement 

conçu pour cette étude, sont expliqués dans ce paragraphe. Les différents équipements (vérin, 

système de pilotage, capteurs, système d’acquisition, visualisation des déformations en 

dynamique) sont ensuite présentés. Le second but de cette description est de faciliter la 

compréhension de nos essais au lecteur. 

La seconde partie de ce chapitre est constituée d’une présentation des deux codes de calculs 

par éléments finis (INCA de CASTEM 2000 et ABAQUS) utilisés pour la simulation des 

essais et l’analyse vibratoire de la structure. Les particularités, de chaque code, utilisées dans 

cette étude (décomposition en série de FOURIER pour INCA, calcul incrémental suivant la 

méthode de RIKS pour ABAQUS) sont également décrites. 

Le troisième chapitre de ce mémoire est consacré aux analyses et interprétations des résultats 

des essais statiques. Tout d’abord, nous donnons les résultats des tests expérimentaux pour un 

chargement monotone alterné, une comparaison avec les simulations numériques éléments 

finis et les résultats d’autres essais de la littérature permet de vérifier la qualité de nos essais. 

L’écart entre essais et calculs (inférieur à 5 %) confirme la capacité des codes de calculs 

utilisés à simuler correctement nos essais. Ensuite, nous présentons les résultats des essais 

cycliques alternés qui permettent de renforcer les conclusions émises après les essais 

monotones (flambage élastique purement géométrique) et de valider nos choix concernant les 

dimensions géométriques de la coque. 

Le dernier chapitre traite de l’effet du chargement de cisaillement dynamique sur le 

comportement de la structure. Tout d’abord, une analyse numérique vibratoire de la coque 

permet de connaître les fréquences et modes propres de la structure (modes poutre et modes 

coque). Dans ce paragraphe, une étude paramétrique éléments finis permet de connaître l’effet 

des défauts géométriques, d’une masse additionnelle et d’une précontrainte de cisaillement sur 

les modes et fréquences de vibrations. Cette analyse permet de mieux comprendre la réponse 

de la structure sous un chargement de cisaillement harmonique. 

La seconde partie de ce chapitre présente les résultats expérimentaux (courbes 

charges/déplacement, visualisation des déformations) des essais dynamiques. La multiplicité


des essais (avec des amplitudes de charge différentes et des fréquences d’excitation variables) 

permet de mettre en évidence une instabilité pour des niveaux de charge inférieurs aux 

niveaux statiques (suivant la fréquence d’excitation). L’observation des modes de 

déformations lors de ces essais avec une caméra rapide confirme l’hypothèse d’une résonance 

paramétrique. 

Les simulations éléments finis réalisées avec les codes ABAQUS et INCA permettent, dans 

le cas des calculs en force imposée, de retrouver ces phénomènes de couplage des modes de 

flambage et des modes de vibration. Les charges critiques entraînant l’instabilité 

correspondent aux charges expérimentales. Les simulations mettent également en évidence la 

perte totale de stabilité de la coque (résonance paramétrique) et l’importance des 

déformations engendrées par cette perte de stabilité. 

La concordance des essais et des calculs nous permet d’affirmer que l’existence d’un 

couplage entre modes de flambage et modes de vibration est possible dans le cas d’une cuve 

ou d’un réservoir soumis à une excitation harmonique de cisaillement. Cette instabilité 

(résonance paramétrique) se produit pour des niveaux de charge et des fréquences d’excitation 

donnés.

Introduction 20

Chapitre I : Etude bibliographique 21 

Chapitre 1 

BIBLIOGRAPHIE

Chapitre I : Etude bibliographique 22


I. Etude bibliographique 

Dans le but de positionner notre étude sur la résistance au flambage de coques soumises à un 

chargement dynamique de cisaillement, nous faisons un bilan général des différentes 

recherches menées sur ce sujet. 

Ce premier chapitre est donc consacré à une présentation générale des différents concepts du 

flambage statique et dynamique ainsi qu’à une analyse de l’état de la recherche dans le 

domaine du flambage des coques minces soumises à un chargement sismique. 

Dans une première partie nous allons rappeler les différents concepts liés à l’étude de la 

stabilité en général et du flambage statique des structures minces. Nous définissons également 

de manière plus approfondie les différentes approches de l’instabilité dynamique. 

Le second paragraphe est consacré à une présentation de l’effet d’un chargement dynamique 

(vibration, séisme) sur les réservoirs et les cuves. Nous étudions plus particulièrement la 

modification des zones d’instabilité dynamique (vibratoire, résonance paramétrique) en 

fonction de la présence d’un fluide et du chargement. 

La dernière partie de cette étude bibliographique est destinée à mieux cerner les points 

importants du flambage de coques minces sous une sollicitation de cisaillement. Nous 

insistons notamment sur l’influence des défauts géométriques, les caractéristiques 

géométriques de la coque et la méthodologie expérimentale employée. Nous présentons 

également les essais dynamiques sur des coques en cisaillement réalisés au Japon au début des 

années 1990. 

I.A. Formalisme conceptuel de la stabilité 

Cette partie est consacrée à une présentation générale du phénomène de flambage des 

structures. Après avoir positionné le formalisme de ce type de problème, en particulier dans le 

cas du flambage statique élastique, nous détaillerons les diverses approches possibles dans le 

cas du flambage statique plastique. La deuxième partie de ce paragraphe concerne l’instabilité 

« dynamique » et la définition du flambage dynamique. 

Le flambage est un problème lié à la stabilité des structures minces. L’étude de la stabilité 

nécessite une approche dynamique du phénomène cependant, suivant le degré auquel on se 

limite pour rechercher la stabilité, nous parlerons de flambage statique ou d’instabilité 

dynamique. 

I.A.1. Flambage statique 

Dans ce paragraphe nous présentons brièvement le formalisme général du flambage statique, 

nous parlons également de l’effet des défauts géométriques et des différentes approches de la 

stabilité. Ces concepts sont très clairement définis dans [KOI74]. 

I.A.1.a) Notions générales de flambage statique 

Le flambage est un phénomène d’instabilité. Il peut tout particulièrement être observé 

pour des structures minces élancées (faible raideur de flexion) soumises à des contraintes de


compression, au-delà d’une certaine valeur, la charge appliquée conduit à un important 

changement de forme de la structure qui se traduit par l’apparition brutale ou progressive de 

plis ou d’ondulations. Ce changement de configuration, lié aux effets des non linéarités 

géométriques, peut s’accompagner ou non de plasticité. La notion de flambage recouvre deux 

notions distinctes que nous allons préciser celle de bifurcation et celle de point limite. 

Nous considérons une structure soumise à un chargement λ entraînant un déplacement 

caractéristique δ. Dans un premier temps, sous l’effet d’un chargement croissant, la structure 

passe par une succession d’états d’équilibre stables appelé chemin d’équilibre fondamental ou 

branche primaire (OA) (figures I.A.1., I.A.2.). 

• flambage par bifurcation : 

Si suivant le domaine d’appartenance de (λ, δ), cette structure peut admettre plusieurs 

familles (λ, δ) solutions des équations d’équilibre, il y aura flambage par bifurcation au point 

A et la charge λ correspondante est dite charge critique (figure I.A.1.). 

Au-delà du point A, la branche secondaire peut être stable ou instable. En revanche, la 

solution qui correspondait à l’état fondamental devient instable (branche AA’ figure I.A.1.). 

λ 

A' 

λcr 

branche primaire 

stable 

instable 

stable 

B 

branches secondaires 

B' 

instable 

O 

Figure I.A.I.A.1 Schéma stabilité chemin d’équilibre 

δ 

Le cas d’une branche secondaire instable (AB’, flambage par bifurcation avec chute de 

rigidité figure I.A.1) peut être illustré par une coque mince cylindrique circulaire, sans défaut, 

sous compression axiale. Les flambages par bifurcation sans chute de la rigidité (branche AB 

figure I.A.1) peuvent se rencontrer dans le cas de structures sans défaut telles que : 

- la poutre en compression axiale (comportement élastique). 

- l’anneau circulaire en compression radiale. 

- la plaque rectangulaire en compression longitudinale. 

• Flambage par point limite : 

Lorsque la structure n’admet qu’une seule famille (λ, δ) solution des équations d’équilibre, 

le point A est appelé point limite (figure I.A.2). La courbe (λ, δ) présente alors un maximum 

au point A pour lequel la rigidité de la structure s’annule. La figure I.A.2. illustre deux 

courbes typiques de flambage par point limite. 

Le cas de la figure I.A.2 b est représentatif d’une calotte sphérique sous pression externe 

(phénomène de claquage puis retour à un état stable).


λ 

λ 

λcr 

A 

λcr 

A 

A' 

stable 

instable 

stable 

A'' 

instable 

stable 

O 

δ 

O 

δ 

Figure I. I.A-2 a et b Schéma flambage par point limite 

Le problème revient donc dans tous les cas à chercher la charge à partir de laquelle la 

branche fondamentale d’équilibre devient instable ou de stabilité indéfinie. 

I.A.1.b) Flambage élastique linéaire - critères de stabilité 

Il existe plusieurs critères de stabilité (critère de LIAPOUNOV, le critère minimum de 

l’énergie potentielle [KOI82] ou le critère de la variation de l’énergie potentielle totale), nous 

nous contenterons ici d’en présenter deux. 

Le premier critère de stabilité est celui défini par LIAPOUNOV [PIG90], il est basé sur 

l’existence d’une borne délimitant la zone de stabilité autour de la position d’équilibre. 

Soit une norme définie (⎜⎜x⎜⎜ = ρ) comme la distance entre la configuration d’équilibre x = 0 

et la configuration à l’instant t. Si l’on applique une perturbation à l’instant t = 0 définie par 

x(0) = x 0 alors la configuration d’équilibre x = 0 est stable si et seulement si : 

∀ε > 0 , ∃ δ(ε) > 0 tel que pour ρ(x) ≤ ε, ∀t > 0 ρ 0 = ρ(x0) ≤ δ(ε) 

Nous pouvons noter que la stabilité d’un équilibre est un problème dynamique alors qu’un 

équilibre est un problème statique. En outre ce critère dépend du choix de la norme ρ et de la 

distance ρ 0 . 

Le second critère est un critère énergétique basé sur la variation de l’énergie potentielle 

totale. Il s’applique à des systèmes conservatifs : « une structure est dans une configuration 

d’équilibre stable si et seulement si l’accroissement de l’énergie potentielle totale pour tout 

déplacement cinématiquement admissible suffisamment petit est positif ». 

Considérons un système en équilibre stable (énergie potentielle totale minimale) et u 0 le 

champ de déplacement initial associé au niveau de chargement λ. On applique une petite 

perturbation cinématiquement admissible ηU, nous avons alors : 

u = u0 + ηU 

(I.1) 

(I.2)


L’énergie potentielle totale correspondante s’écrit : 

1 2 2 1 3 3 

ω = ω 0 + δω + η δ ω + η δ ω 

2 

3! 

avec w0 : énergie potentielle totale du système non perturbé. 

La variation de l’énergie potentielle totale s’écrit : 

1 2 2 1 3 3 

∆ω = ω − ω 0 = δω + η δ ω + η δ ω 

2 

3! 

(I.3) 

(I.4) 

Le système est en équilibre donc δw = 0. 

La variation seconde δ²w permet de définir la stabilité de l’équilibre (en négligeant les 

termes d’ordre supérieur car la perturbation est supposée petite) : 

- si δ² > 0 l’équilibre est jugé stable. 

- si δ² < 0 l’équilibre est jugé instable. 

- si δ² = 0 l’équilibre est jugé neutre et la charge correspondante est appelée charge 

critique d’EULER λ E , le mode correspondant est le mode d’EULER (si l’on considère 

l’hypothèse des petits déplacements). 

I.A.1.c) Effet des défauts 

A partir des toutes premières études sur le flambage, il est apparu très clairement qu’un 

calcul élastique linéaire conduisait à des charges critiques supérieures (parfois d’un facteur 

très important) aux charges critiques expérimentales. Cette différence provient d’un ensemble 

de facteurs (défaut de chargement, défaut géométrique, caractéristiques mécaniques du 

matériau...) qui empêchent d’avoir expérimentalement une étude sur une structure parfaite. 

L’un des premiers à tenir compte des défauts géométriques fût KOITER [KOI74]. Dans le 

cas des défauts géométriques le comportement avant bifurcation est généralement non 

linéaire. Cette non linéarité provient des flexions importantes provoquées par les défauts 

géométriques, elle entraîne un changement dans la réponse de la structure qui au lieu de suivre 

le chemin d’équilibre (a) des structures parfaites (figure I.A.3) suit un autre chemin (b). 

Structure p arfaite 

a 

b 

Structure avec défaut 

Figure I.A.3 Effet d’un défaut géométrique 

δ


I.A.1.d) Flambage plastique 

Le problème est plus complexe lorsque le flambage survient lorsque le matériau n’est plus 

dans le domaine élastique, c’est ce que nous allons détailler dans le paragraphe qui suit. 

Les phénomènes de flambement des structures minces sont souvent précédés par l’apparition 

de déformations plastiques lorsque leur élancement est modéré ou que ces structures 

présentent d’importants défauts de forme. Dans ce cas, l’instabilité de la structure mais aussi 

l’épuisement plastique du matériau peuvent entraîner sa ruine, soit par couplage des deux 

phénomènes, soit séparément. 

Nous exposerons tout d’abord les difficultés que suscite la prise en compte d’un 

comportement plastique du matériau. Nous préciserons ensuite quelles sont les différentes 

théories auxquelles il est possible de faire appel pour résoudre ce type de problème. Le cas 

particulier du flambage par fluage ne sera pas présenté dans ce document. 

La première difficulté consiste à connaître précisément la loi de comportement du matériau. 

On distingue classiquement trois modèles de comportement pour lesquels contraintes et 

déformations sont indépendantes du temps (figure I.A.4). 

σ σ σ 

γ 

tgγ= E t 

tgφ=Ε 

Modèle élastique linéaire 

tgφ=Ε 

ε ε ε 

Modéle élastique parfaitement plastique 

Modèle élastoplastique à 

écrouissage linéaire 

Figure I. I.A.4 Lois de comportement matériau 

Cependant beaucoup de matériaux présentent un comportement élastoplastique plus 

complexe (figure I.A.5) dont les cas limites correspondent au modèle élastoplastique à 

écrouissage linéaire. 

Dans ce cas la déformation ε, en un point, peut être considérée comme étant la somme de 

deux termes : 

ε e déformation élastique réversible. 

ε p déformation plastique irréversible. 

Le matériau présente un comportement élastique pour des contraintes inférieures à σ e , 

appelée limite élastique, la loi de comportement s’écrivant dans ce cas σ = Eε où E est le 

module de Young.


La loi de comportement générale s’écrit σ 

- σ ij 

: matrice des contraintes 

ij 

= 

H 

ij 

kl ε kl 

avec : 

- H ij 

kl : matrice de comportement 

- ε kl : matrice des déformations 

σ 

M σ ε 

σ e 

p e 

E 

E s 

ε 

ε 

ε 

Figure I.A.5 Loi de comportement matériau élastoplastique isotrope 

D’autre part si σ e a été atteinte en cours de chargement, en cas de déchargement à partir d’un 

point quelconque de la courbe non linéaire, le matériau se comporte élastiquement et le trajet 

de décharge se fait selon une droite de pente E. S’il y a déchargement total, la déformation 

rémanente sera ε p . 

La relation entre un incrément de charge correspondant à l’accroissement de contraintes dσ 

et l’accroissement de déformation dε est : 

dσ = E t (σ)dε où E t (σ) est appelé ″module tangent pour la contrainte σ″. 

On peut également définir le module sécant Es à partir d’un point M de coordonnées (σ, ε) 

pris sur la courbe σ = f(ε) par E s 

= σ ε . 

Dans le cas où le matériau présente un comportement non linéaire, l’essentiel du problème 

réside donc dans le choix d’une modélisation appropriée de la loi constitutive pour décrire ce 

comportement, sachant que σ = f(ε) où f est une fonction complexe. 

En élastoplasticité, pour de petits incréments de charge, on peut écrire une relation linéaire 

reliant l’incrément de déformation à l’incrément de chargement ( ~ H représente la matrice de 

comportement tangent) : 

ijkl 

ds = H ~ de 

(I.5) 

ij 

kl


~ 

H dépend : 

- de l’état de contrainte à l’équilibre, sachant qu’il est plastiquement admissible 

- de l’histoire du chargement 

- de l’incrément imposé 

Le calcul du chemin fondamental d’équilibre s’effectue grâce à la théorie incrémentale. 

Pour étudier la stabilité d’une position d’équilibre, nous avons vu que la méthode consiste à 

appliquer une perturbation au système. Or, le comportement du matériau, lorsqu’on applique 

une perturbation, dépend en fait de la direction et de l’amplitude de la perturbation imposée. Il 

faudrait donc, pour le calcul de stabilité, calculer la matrice tangente associée à chaque mode 

propre considéré. En pratique, dans les calculs, la matrice de comportement utilisée pour 

contrôler la stabilité d’une position d’équilibre dépend de l’état de contrainte en ce point mais 

ne tient pas compte de l’état de contrainte induit par la perturbation elle-même : la matrice 

tangente est constante. 

Dans un calcul d’instabilité plastique, il n’y a donc pas, a priori, de loi tangente « exacte » : 

diverses lois de comportement tangentes peuvent être considérées. Dans le paragraphe qui 

suit, nous présentons trois lois tangentes couramment utilisées. 

Ces trois lois sont basées sur les principes suivants : 

- le module tangent. 

- la théorie de déformation ou théorie finie qui considère que la déformation 

plastique eij 

P s’exprime en fonction de l’état actuel des contraintes sans tenir compte de 

l’histoire des déformations. 

- la théorie incrémentale qui relie l’incrément de déformation plastique deij 

P à 

l’état actuel des contraintes s ij et à l’incrément de contrainte imposé à partir de cet état ds ij . 

Dans tous les cas, nous cherchons l’expression de la matrice tangente H ~ reliant l’incrément 

de déformation à l’incrément de contrainte : 

~ ijk l 

ds = H de 

(I.6) 

ij 

kl 

La théorie la plus complète est la théorie incrémentale puisqu’elle tient compte de l’histoire 

du chargement et de l’état actuel, par opposition à la théorie du module tangent, la plus 

simpliste. 

N’GUYEN QUOC SON a montré que la théorie du module tangent fournit dans tous les cas 

les résultats les plus conservatifs alors que la théorie incrémentale est la moins pénalisante. 

Cette dernière peut en fait fortement surestimer les résultats car elle ne tient pas compte de la 

redistribution des contraintes lors de l’instabilité. Elle est déconseillée lorsque les défauts de 

la structure ne sont pas pris en compte dans le calcul. 

La théorie finie, quant à elle, fournit souvent de meilleurs résultats dans le cas de problèmes 

parfaitement axisymétriques mais elle est peu adaptée à l’étude des structures avec défauts 

importants. 

Remarquons que suivant le mode de flambage, certaines zones peuvent décharger 

élastiquement quand se développe le mode de flambage puis retourner en plasticité. La forme 

du mode n’est donc pas sans effet et il faudrait pour contrôler la stabilité d’une position 

d’équilibre, tester cette stabilité pour toutes les perturbations cinématiquement admissibles ce 

qui mènerait à des calculs trop lourds.


I.A.2. INSTABILITE DYNAMIQUE 

Le domaine de l’instabilité « dynamique » des structures est l’objet de nombreuses études 

depuis 30 ans. Le terme de stabilité dynamique [SIM87] englobe un grand nombre de 

problèmes (impacts, chargements périodiques ou non périodiques, séismes...) et nous allons 

classer les types d’études actuellement effectuées. 

Nous donnerons ensuite une définition du flambage dynamique appliquée au cas d’une 

excitation harmonique de la structure. 

I.A.2.a) Résonance paramétrique 

Dans le cas d’un oscillateur simple (masse-ressort), la résonance apparaît lorsque l’on excite 

la structure avec une force harmonique sur une fréquence propre. Une force excitatrice, 

colinéaire au mouvement de la masse, entraîne l’oscillation de la masse avec une 

augmentation continue des déplacements. 

La résonance paramétrique est un phénomène similaire, la différence vient du fait que la 

force excitatrice provoque une résonance dans un second mode de vibration ou sur un mode 

autre que celui directement excité par cette force. 

Un exemple de résonance paramétrique est la vibration forcée d’un anneau mince soumis à 

une pression uniforme périodique. La possibilité de résonance existe mais le mode de 

vibration peut être instable dynamiquement et des vibrations de flexion de grandes amplitudes 

peuvent se développer. Cette résonance paramétrique apparaît pour une certaine valeur du 

rapport fréquence d’excitation/fréquence propre de l’anneau. 

En général la résonance paramétrique est possible pour toutes les structures sujettes au 

flambage par bifurcation (sous un chargement statique). Ceci s’explique par le fait qu’il existe 

un état primaire et un état secondaire (état après bifurcation) à partir duquel l’état primaire 

devient instable. 

De manière similaire, une excitation harmonique ou un impact causent des oscillations dans 

l’état primaire qui peuvent devenir instables dynamiquement et entraîner de grands 

déplacements dans l’état secondaire (mode de flambage). 

La première observation de résonance paramétrique est attribuée à FARADAY [FAR31] en 

1831, des études ont été menées sur la résonance paramétrique des coques cylindriques 

minces par YAO [YAO63], [YAO65], et EVENSEN [EVE74]. 

Des études théoriques [OST82] et expérimentales [RAV92] ayant pour support des plaques 

minces rectangulaires montrent que la résonance paramétrique peut entraîner l’instabilité 

dynamique des structures minces. 

Une étude, dans le cadre des installations de forage pétrolier, conduite par BERLIOZ 

[BER96] a mis en évidence l’existence de résonances paramétriques dans le cas d’une poutre 

sous chargement axial. Les conditions limites, la valeur de la charge constante et de la vitesse 

de rotation influencent la répartition des zones d’instabilité. Une machine d’essais permet 

d’appliquer un couple et une charge axiale sur une tige de 3 mm de diamètre et de 1.5 m de 

longueur (figure I.A.6).


Figure I.A.6 Dispositif expérimental 

La tige est soumise à deux forces F (compression) et T (torsion) égales à : 

( η 

f ) 

F = F + F sin t 

0 1 

( η ) 

T = T + T sin t 

0 1 

T 

(I.7) 

Les mesures des déplacements latéraux de la tige permettent de définir, pour différentes 

conditions limites et combinaisons de chargement, les cartes d’instabilité en fonction de la 

fréquence d’excitation. 

L’instabilité se produit pour les fréquences égales : 

- aux fréquences propres (X 1 ², X 2 ²...) 

- aux fréquences doubles (2X 1 ², 2X 2 ²...) 

- aux fréquences combinées (X 1 ² + X 2 ²) 

Une charge axiale de traction entraîne une augmentation des fréquences propres. 

L’instabilité peut également survenir après un certain nombre de cycles, par exemple pour une 

charge de torsion nulle (T 0 = 0) et une fréquence d’excitation η F = 2 f 1 (f 1 : première 

fréquence propre) on remarque sur l’analyse spectrale une réponse importante sur la première 

fréquence propre (figure I.A.7).


Figure I.A.7 Résonance paramétrique pour une fréquence d’excitation η F = 2f 1 

A partir de tous ces essais , des cartes d’instabilité sont établies (figure I.A.8) pour chaque 

configuration d’essai, ces cartes sont définies avec des valeurs adimensionnées X n ² et F 0 /F cr . 

Figure I.A.8 Carte d’instabilité dans le cas d’une charge de compression seule 

Les résultats expérimentaux sont retrouvés par simulations Eléments Finis ou 

analytiquement en utilisant une méthode de type RAYLEIGH-RITZ. La stabilité dynamique 

de la poutre dépend de l’excitation paramétrique, de la fréquence d’excitation et des 

conditions limites.


I.A.2.b) Dynamique rapide 

Un second type d’instabilité dynamique concerne les structures ayant un comportement post 

critique instable (de type « snap-trough ») soumises à des chargements très rapides (explosion, 

crash...). 

Les paramètres à prendre en compte ne sont pas seulement la charge appliquée mais 

également l’aspect temporel du chargement (échelon, durée finie ou infinie...) et les défauts 

dans l’application du chargement. 

Plusieurs approches sont utilisées pour calculer les conditions d’instabilité dans ce type de 

problème : 

- approche par les équations de mouvement [BUD62], la réponse est calculée pour 

différents paramètres de charge à partir de la résolution numérique des équations de 

mouvement. 

- approche par l’énergie totale [HOF54]. 

- approche par l’énergie potentielle totale [SIM65]. 

I.A.2.c) Instabilité des machines tournantes 

Dans l’industrie un grand nombre de machines sont constituées d’une partie fixe (stator) et 

d’une partie en rotation (rotor). Il est possible d’avoir des vitesses critiques de rotation qui 

conduisent à des modes de vibration instables, la présence d’un liquide dans la zone en 

mouvement modifie également la stabilité de l’ensemble. Une étude détaillée de ce type de 

problèmes a été réalisé par CRANDALL [CRA61]. 

I.A.2.d) Cas général du flambage dynamique 

La notion de flambage dynamique repose, comme le flambage statique, sur la comparaison 

de deux états, un état fondamental et un état légèrement perturbé. Nous comparons la réponse 

dynamique de la structure (U(t) + U*(t)) à n’importe quel instant. Lorsque la réponse de la 

structure légèrement perturbée s’écarte significativement de la réponse fondamentale on dira 

que l’équilibre dynamique est instable, dans les autres cas il sera dit stable. 

Une mesure de l’instabilité peut être donnée par la « distance » entre la solution 

fondamentale et la solution perturbée. Si cette distance reste bornée et inférieure à une 

certaine valeur, la structure sera réputée stable. 

Nous allons maintenant développer les équations permettant de calculer la solution 

fondamentale U, solution perturbée U* et de déterminer la stabilité de U. Pour la clarté de 

l’exposé, nous allons nous limiter à un comportement élastique. 

Les solutions des équations du mouvement dynamique sont données par les équations 

d’équilibre non linéaires suivantes : 

 

K 0 K U C U M U F ( t ) 

(I.8) 

où 

C est la matrice d’amortissement 

M est la matrice de masse 

le signe . désigne la dérivée par rapport au temps.


Le mouvement perturbé ( U + U* ) est obtenu à partir de l’équation suivante donnant U* : 

[ K ( U ) + K ( U ) + K ( U )] 

U * + M U * + C U * = 

0 L 

σ 

0 

avec pour condition initiale soit U*(t 0 ) = a, soit Û*(t 0 )= b, t 0 étant l’instant où la solution 

initiale est perturbée. 

La « distance » entre la solution fondamentale et la solution perturbée peut être mesurée par 

exemple, avec le critère de LIAPUNOV qui dit que la solution est stable si : 

∀|a| < 0 alors |U*| < 0, ∀t ≥t 0 . 

Avec un critère de type POINCARE, il suffira que ∀t, le point U + U* reste dans un « tube » 

de diamètre fixé entourant la solution fondamentale ( voir figure I.A.9). 

(I.9) 

Figure I.A.9 Stabilité dynamique au sens de POINCARE 

I.A.2.e) Cas du chargement dynamique périodique 

Un cas particulier intéressant peut être étudié lorsque le chargement F(t) est périodique. Si la 

réponse fondamentale est bornée et quasi périodique, sa représentation dans le plan de phase 

UU’ est une courbe fermée ϕ. Il se peut que la solution perturbée U + U* décrive elle aussi 

une courbe fermée ϕ 1 dont la distance à la courbe ϕ reste toujours bornée. La distance sera : 

- mesurée par la plus grande distance entre ϕ 1 et ϕ. 

- mesurée sur le plan normal à ϕ (le critère de stabilité de POINCARE).


A chaque instant t, la projection du point U dans le plan de phase sera appelée Po et celle du 

point U + U* sera appelée P1. La définition de la stabilité au sens de LIAPUNOV peut 

conduire à déduire qu’un mouvement tel que représenté sur la figure I.A.10 soit instable alors 

que le critère de POINCARE prédira une solution stable. 

Le critère de POINCARE est moins sévère que celui de LIAPUNOV. La stabilité dépend 

donc du choix de la norme choisie [PIG90]. 

U 

P 0 

P 1 

ϕ 

U 

ϕ 

1 

Figure I.A.10 Stabilité dans le plan de phase


I.B. Problèmes des chargements sismiques des structures 

Actuellement un des problèmes majeurs de dimensionnement des structures minces 

terrestres est lié aux chargements sismiques qui s’appliquent sur les réservoirs de stockage ou 

les centrales nucléaires. Les règles de dimensionnement au flambage prennent en compte 

l’effet d’un chargement sismique (éventuellement multiplié par un coefficient de sécurité) en 

transformant les charges provoquées par le séisme en charges équivalentes statiques; celles-ci 

sont ajoutées aux chargements thermomécaniques et un calcul de flambage statique est ensuite 

réalisé. 

Or un séisme n’entraîne pas seulement une augmentation des charges il s’accompagne d’un 

effet dynamique (fréquence du chargement, durée) et éventuellement pour les réservoirs d’un 

mouvement du fluide (sloshing). Nous allons présenter dans ce paragraphe l’état actuel des 

connaissances sur l’effet d’un chargement sismique sur les coques minces. 

Les problèmes généraux liés aux interactions fluides-structures (modes de ballottement, 

sloshing) traités par OHAYON [OHA92] ou ABRAMSON [ABR66] pouvant conduire à des 

couplages de modes ne sont pas abordés dans cette bibliographie. 

I.B.1. Influence de la présence d’un fluide pour l’instabilité dynamique 

La présence d’un fluide entraîne une modification de la réponse vibratoire de la structure et 

des zones de couplage des modes lors des calculs d’instabilités dynamiques. 

La première approche expérimentale a été réalisée par CHIBA et TANI [CHI87]. Des coques 

en mylar, remplies de liquide, sont soumises à des excitations horizontales. Les forces 

excitatrices harmoniques sont à amplitude ou accélération constante. Une instabilité de type 

résonance paramétrique pour une fréquence qui combine deux modes de vibration (ces modes 

diffèrent seulement par leur mode circonférentiel différent de 1 (12, 13 par exemple)) peut se 

produire (figure I.B.1). La hauteur de liquide influence les positions des zones d’instabilité. 

Les tests expérimentaux de SHIH et BABCOCK [SHI87] montrent que le flambage est 

surtout influencé par les contraintes associées au mode le plus bas, les modes de vibration plus 

élevés ne jouant qu’un rôle secondaire. 

Les premiers travaux théoriques sur ce type d’instabilité sont de LIU et URAS [LIU90]. Ils 

ne permettent pas de retrouver toutes les zones d’instabilité obtenues expérimentalement lors 

d’une excitation horizontale. Il est nécessaire de prendre en compte une imperfection 

géométrique pour retrouver toutes les zones d’instabilité expérimentales. Dans cette étude LIU 

et URAS dérivent les équations d’interaction fluide-structure en utilisant une procédure de 

type GALERKIN. 

L’équation globale gouvernant la stabilité dynamique devient alors : 

* 

Md + Kd + K ( t) 

d = 0 (I.11) 

avec : 

M : matrice de masse (tenant compte de la masse du fluide) 

K : matrice de rigidité 

K*(t) : matrice de rigidité géométrique fonction du temps 

d : vecteur des déplacements généralisés


En effectuant une transformation d’orthogonalisation : 

( d ) = ( Q ) () u 

(I.12) 

n n n 

on obtient : 

u + [ ∧ + G ( t )] 

u = 0 (I.13) 

avec ∧ matrice diagonale de fréquences propres ω in ² 

Le développement en séries de FOURIER de la matrice de rigidité géométrique dépendante 

du temps donne : 

S 

S 

[ ω 

ω ] 

S 

∑ 1 2 

s = 1 

G ( t ) = G c o s ( s t ) + G s in ( s t ) u 

(I.14) 

avec G1 S et G2 S coefficients de FOURIER 

L’équation I.13 devient alors (en ajoutant l’amortissement) : 

u 

C u 

u 

+ + ∧ + 

S 

∑ 

s = 1 

[ 1 S ω 2 S ω ] 

G c o s (s t) + G s in (s t) u = 0 

(I.15) 

avec C matrice d’amortissement diagonale 

Nous obtenons donc des équations couplées de HILL. 

Dans le cas d’un séisme le spectre de réponse est dominé par une seule fréquence ce qui 

permet d’écrire : 

u + Cu + ∧ u + G cos( ωt 

+ θ )u = 0 (I.16) 

avec 

ω fréquence propre prépondérante 

θ angle de phase 

L’analyse de la stabilité dynamique donne comme condition d’instabilité (correspondant à 

l’équation d’une hyperbole) : 

2 2 

1 

2 2 

< ε / ε cr − ω − ω / σ 

(I.17) 

( ) ( ) 

où ω = ω in + ω jm avec m = n+ 1 ( n : mode circonférentiel, i et j mode axial) 

2 

ε cr = 4 cinc jmω in ω jm / Gijnm G jim n 

1 

σ = ( cin 

+ c jm ) 

2 

c in 

2 

= 2ξ ω / ω 

min 

in 

min 

avec ω min fréquence propre minimale et ξ min coefficient d’amortissement correspondant.


Figure I.B.1 Zones d’instabilité expérimentales et théoriques pour une coque 

cylindrique remplie de liquide soumise à une excitation harmonique 

Lors des séismes récents plusieurs réservoirs de stockage (figures I.B.2, I.B.3) ont flambé ce 

qui a engendré de nombreuses études concernant l’effet du fluide sur la réponse de la 

structure. Les types de flambage observés montrent soit un flambage de type patte d’éléphant 

soit un flambage en pointes de diamant [CLO82], les cloques sont toujours situées en bas de 

la coque. Les différences proviennent des dimensions des réservoirs en cause, l’un a un 

rapport R/t de 1650, l’autre un rapport R/t de 775.


Figure I.B.2 Réservoir flambé après séisme (mode en pointe de diamant) 

Figure I.B.3 Réservoir flambé sous séisme (mode patte d’éléphant) 

Ce type de flambage est très bien expliqué par FUJITA, ITO et WADA [FUJ90]. Des essais 

statiques et dynamiques sur des réservoirs, avec et sans fluide, excités horizontalement 

montrent l’influence de la présence du liquide.


En statique, les contraintes induites par la pression hydrostatique empêchent d’avoir un 

flambage de type cisaillement (plis inclinés à mi hauteur de la coque) car les contraintes sont 

plus grandes en pied de la coque. Dans ce cas les cloques apparaissent au sommet de la coque 

(figure I.B.4). 

Figure I.B.4 Flambage statique d’une coque remplie de fluide soumise à un chargement 

de cisaillement 

En dynamique, les plis se forment en pied de coque en présence de liquide (figure I.B.5) car 

la force de cisaillement n’est pas uniforme le long d’une génératrice : elle est plus grande vers 

le bas de la coque. En revanche la présence de liquide engendre des contraintes 

circonférentielles de traction qui augmentent la résistance au flambage. 

Figure I.B.5 Flambage d’une coque remplie de fluide soumise à un chargement de 

cisaillement dynamique


I.B.2. Effet dynamique du chargement 

L’autre paramètre important lors d’un chargement sismique est la fréquence d’excitation 

(pour un séisme fréquence comprise entre 3 et 15 Hz) par rapport aux fréquences propres de la 

structure. Des études ont été menées au CEA sur des coques cylindriques et sphériques afin 

d’obtenir une règle de dimensionnement en fonction de la fréquence d’excitation. 

Dans le cas des coques hémisphériques, l’effet dynamique peut être négligé car la fréquence 

associée au mode de flambage est très élevée par rapport aux fréquences sismiques. 

Pour les coques minces cylindriques, avec des défauts géométriques, la fréquence associée 

au mode de flambage est aussi plus élevée que les fréquences sismiques. 

Des tests menés au CEA [COM89] sur un anneau sont comparés avec une modélisation 

éléments finis. L’anneau est représenté par un élément COMU du code INCA (II.C) en tenant 

compte d’un défaut géométrique initial δ 0 sur le mode de flambage n. L’hypothèse d’un 

comportement élastique est également prise en considération. 

Une pression dynamique externe P(t) est appliquée sur l’anneau : 

P( t) = P0 sin( ω 0t) 

( ω 0 = 2πυ0) 

(I.18) 

Le rapport υ 0 /υ 1 (υ 1 fréquence associée au mode de flambage), appelé REY, permet de 

classer le type d’excitation : 

- REY = 0.1 excitation lente. 

- REY = 1 excitation intermédiaire. 

- REY = 10 excitation rapide. 

Pour une excitation lente, la pression critique est égale à la pression critique statique P E 

(pression d’EULER). Dans le cas d’une excitation rapide, l’anneau peut supporter une 

pression dynamique 5 fois supérieure à la pression critique statique P E sans obtenir le 

flambage. 

Lorsque la fréquence d’excitation est égale à la fréquence associée au mode de flambage le 

niveau de charge maximum dépend du facteur d’amortissement de la structure. Pour un 

facteur d’amortissement classique de 1%, la pression dynamique maximale est égale à 1.5 fois 

la pression critique statique P E . 

Un diagramme (figure I.B.6) a été établi à partir de ces résultats et des résultats 

expérimentaux. Il permet de calculer l’effet du chargement dynamique en fonction du rapport 

REY. 

Une méthode de dimensionnement au flambage élastique linéaire a été proposée : 

- calcul du flambage statique (charge λ B 

S , mode u B ) associé au chargement 

dynamique. 

- calcul de la fréquence associée (ν 1 ) à ce mode de flambage statique. 

- calcul du rapport REY et à partir du diagramme (figure I.B.6) du facteur 

d’amplification dynamique µ. 

- calcul de la charge de flambage dynamique λ D 

S avec la formule : 

S S 

λ D = µλ B 

(I.19)


Cette approche est valable parce que la structure reste dans le domaine élastique et que le 

mode de flambage dynamique est le même que le mode de flambage statique (pas de couplage 

de modes). 

Figure I.B.6 Diagramme de dimensionnement pour le flambage dynamique 

Néanmoins une autre approche du flambage dynamique, basée sur le concept d’instabilité 

dynamique, peut être développée. Dans le cas d’un chargement en force, ceci se ramène à une 

équation de type MATHIEU [GIB88] et à la recherche des zones d’instabilité [CHE93]. 

Les équations de type MATHIEU s’appliquent en général aux structures soumises à un 

chargement sinusoïdal. Elles sont de la forme suivante : 

( ) 

u + 2εω u + ω 1 + 2µ cosω t u = 0 

(I.20) 

2 2 2 

avec : µ paramètre de charge 

e amortissement réduit de la structure 

ω fréquence d’excitation 

ω 2 fréquence du mode de flambage 

Dans son étude GIBERT a établi un diagramme de stabilité (figure I.B.7) en fonction des 

paramètres Ω et µ, ε étant nul. 

Ω = 

µ = 

ω 

ω 2 

0 

P 

2 P E 

(I.21) 

avec : P 0 charge 

P E charge d’EULER


Figure I.B.7 Etude de la stabilité - Equation de MATHIEU 

Cette approche s’applique au cas d’un anneau soumis à une pression radiale sinusoïdale, on 

retrouve alors des zones d’instabilité pour des fréquences moitiés de la fréquence propre 

(figure I.B.7) et des charges critiques nulles (si l’on ne prend pas en compte l’amortissement 

structurel). 

La charge critique dépend de l’amortissement mais elle ne dépasse jamais la pression 

statique d’EULER lorsque Ω


I.C. Flambage sous séisme des cuves minces suspendues 

Les cuves sont des coques cylindriques, qui peuvent être suspendues et donc soumises à une 

charge de traction (poids propre), elles sont principalement chargées en pression interne. Ces 

cuves sont parfois soumises à des contraintes thermiques (gradient dans l’épaisseur et gradient 

suivant la hauteur) et le fond de ces cuves est généralement hémisphérique. 

Ces cuves et réservoirs peuvent également être sollicités par un séisme, la présence d’un 

fluide modifie la réponse d’une coque soumise à un chargement sismique (I.B) mais on peut 

modéliser l’effet du chargement sismique horizontal par un chargement de cisaillement ou de 

flexion. 

Le flambage des coques minces en cisaillement a fait l’objet de moins d’études que les 

chargements classiques (compression axiale, pression externe). Néanmoins la construction des 

centrales nucléaires de type surgénérateur, dans lesquelles les cuves sont suspendues, a 

entraîné une augmentation des actions de recherche sur ce type de chargement. 

I.C.1. Flambage de coques minces sous un chargement statique de cisaillement 

Les premiers essais considérant un chargement de cisaillement ont été effectués par 

LUNDQUIST en 1935 sur des cylindres en aluminium [LUN35]. Ensuite GALLETLY et 

BLACHUT ont proposé une règle de dimensionnement à partir d’essais de flambage plastique 

en cisaillement [GAL85]. 

Leurs spécimens sont en acier avec un rapport R/t (Rayon/épaisseur) compris entre 125 et 

190 et un rapport L/R (Hauteur/Rayon) compris entre 0.73 et 1.2. Les coques sont fabriquées à 

partir de tôles d’acier roulées puis soudées, elles sont encastrées à la base et soumise à un 

déplacement latéral à leur sommet par l’intermédiaire d’un vérin hydraulique. 

Les plis du flambage apparaissent juste après avoir atteint la charge critique, une légère 

dissymétrie des déformations post critiques est à noter lorsque la ligne de soudure est 

orthogonale au plan de charge. 

Les courbes charge/déplacement (figure I.C.1) et les modes de flambage observés (figure 

I.C.2) sont typiques de celles d’un flambage en cisaillement. Après chaque test la coque est 

tournée de 180°, les déformations résiduelles induites par le premier test sont de grandes 

amplitudes (5 fois l’épaisseur de la coque). La charge critique du second essai est égale à 90% 

de la première charge critique. GALLETLY et BLACHUT en déduisent que les défauts 

géométriques ont une faible influence pour ce type de chargement. 

Leur règle de dimensionnement au flambage plastique en cisaillement (I.23) reprend la 

formule de YAMAKI (I.22) pour la contrainte critique dans le cas d’un chargement de 

cisaillement dans le domaine élastique. 

0 . 5 1. 

2 5 

0 74E ( R / L ) ( t / R ) 

(I.22) 

Cette formule permet de calculer la contrainte plastique critique en tenant compte de la 

contrainte d’écoulement en cisaillement (τ y = σ 0.2 /√3 ) et de la contrainte définie par 

YAMAKI.


τ P 

= 

1 

+ 

τ y 

( τ y / τ ET ) 

2 

(I.23) 

La comparaison des contraintes critiques expérimentales (τ exp = P/πR²t) avec la contrainte 

théorique τ P fait apparaître une sous estimation des contraintes critiques (τ exp /τ P > 1). 

Figure I.C.1 Courbes charge/déplacement essais de GALLETLY 

Figure I.C.2 Flambage plastique en cisaillement (essais de GALLETLY)


I.C.2. Influence des dimensions de la coque 

Dans le but de choisir les bonnes règles de dimensionnement, il est nécessaire de savoir si 

notre coque est plus sensible à un flambage en flexion ou en cisaillement. De même il est 

intéressant de savoir si nous allons obtenir un flambage plastique ou élastique. 

Une étude menée par MATSUURA [MAT95] a permis d’établir un diagramme (figure 

I.C.3) donnant en fonction des caractéristiques géométriques de la coque le type de flambage 

obtenu. 

Figure I.C.3 Diagramme de classification du type de flambage 

Pour les coques ayant un rapport R/L ≤ 1.5, un flambage de type cisaillement est à craindre. 

Dans cette étude, une comparaison (figure I.C.4) entre des résultats expérimentaux de 

LUNDQUIST et la formule de TIMOSHENKO (I.23) permet également de valider cette 

formule pour le calcul de la charge critique élastique des coques soumises à un chargement de 

cisaillement. 

Figure I.C.4 Evaluation de la contrainte critique de TIMOSHENKO 

τ 

e cr 

= 

08 . 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

482 . 

L 

Rt 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

2 

1 + 0. 

0239 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

L 

Rt 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

3 

Et 

R 

(I.23)


I.C.3. Effet de la température, du fond hémisphérique et d’une contrainte de 

traction 

Une étude sur l’influence d’un fond hémisphérique a été menée par MURAKAMI 

[MUR89]. Les coques testées ont un R/t de 167 ou de 250, elles sont fabriquées à partir de 

tôles d’acier roulées soudées. Le dispositif expérimental, utilisant un servo-vérin hydraulique, 

est présenté dans la figure I.C.5. 

Figure I.C.5 Dispositif expérimental lors des essais de MURAKAMI 

La charge critique diminue pour les cylindres ayant un fond hémisphérique (courbe CO-250 

dans la figure I.C.6), cette chute s’accentue lorsque le rapport R/t augmente. 

Dans le cas d’un fond hémisphérique, les formules d’évaluation des contraintes critiques 

donnent des résultats moins proches des résultats expérimentaux. Il est plus simple de 

fabriquer des coques cylindriques sans fond, aussi la plupart des essais sont réalisés avec des 

spécimens de ce type. 

Figure I.C.6 Effet d’un fond hémisphérique sur la résistance au flambage 

La prise en compte du chargement thermique a été étudié expérimentalement par 

NAKAMURA [NAK87] toujours à l’aide de coques fabriquées à partir de tôles en acier 

roulées et soudées. Les résultats de ces essais pour différents chargements thermiques sont 

donnés dans les tables ci-dessous (tableau I.C.1).


Tableau I.C.1 Effet d’un chargement thermique 

En général l’effet de la température fait chuter les charges critiques, plus la température est 

élevée et plus ce phénomène s’accentue. Cette baisse de la charge de flambage est liée à la 

modification des caractéristiques mécaniques du matériau aux hautes températures (tableau 

I.C.1). Il existe une meilleure corrélation entre la chute de la charge critique et la baisse de σ 0.2 

en fonction de la température qu’avec la baisse du module de YOUNG. La contrainte critique 

correspond à 80 ou 90% de σ 0.2 . 

Si la température n’est pas uniforme le long de la coque, les plis du flambage apparaissent 

dans la zone où les caractéristiques mécaniques du matériau sont les plus faibles, ce qui 

confirme la prépondérance de l’effet matériau. 

La charge de traction constante ne modifie pas beaucoup la charge critique, en revanche elle 

empêche la chute de la capacité portante dans le domaine post critique et permet d’avoir un 

comportement post critique plus stable.


I.C.4. Effet des défauts géométriques, chargements cycliques 

Comme dans tous les problèmes de flambage, l’effet des défauts géométriques sur la 

résistance au flambage des coques soumises à un chargement de cisaillement a été étudié. 

Plusieurs types de défauts géométriques ont été testés mais il ressort de toutes ces études que 

le flambage en cisaillement est moins sensible aux défauts géométriques que le flambage en 

compression axiale ou en pression externe. 

GALLETLY [GAL85] a remarqué lors de ses tests que le fait d’effectuer un second essai 

(après avoir tourné la coque de 180°) ne faisait chuter la charge critique que de 10% alors que 

la coque avait un défaut géométrique d'environ 5 fois l’épaisseur de la coque. 

KOKUBO [KOK93] a réalisé une étude paramétrique numérique (élément isoparamétrique à 

8 noeuds) sur plusieurs types de défaut dans le cas d’un chargement de cisaillement. Il en 

résulte que le seul défaut ayant un effet significatif est un défaut homothétique au mode de 

flambage. Même dans le cas le plus pessimiste (défaut colinéaire au mode de flambage), la 

réduction de la charge critique ne dépasse pas 20%. 

A partir de ces résultats une courbe [KOK95], permettant de connaître la perte de capacité 

portante en fonction du facteur R/t et du mode circonférentiel prépondérant, a été tracée 

(figure I.C.7). 

On remarque sur ce diagramme que plus le facteur R/t augmente et plus l’influence des 

défauts est importante, néanmoins ceci est contrebalancé par le fait que le rapport Wmax/t 

augmente avec le rapport R/t donc il est normal que l’influence du défaut soit plus grande 

dans ce cas. 

Figure I.C.7 Effet d’un défaut géométrique sur la charge critique 

MURAKAMI et al. [MUR91] ont proposé une règle pour la prise en compte du défaut lors 

d’un chargement de cisaillement en fonction de l’amplitude de ce défaut. Cette règle est basée 

sur des résultats expérimentaux obtenus sur des coques ayant un R/t égal à 100 ou 210 (figure 

I.C.8).


Figure I.C.8 Facteur de correction pour la charge critique en fonction de l’amplitude 

du défaut 

Pour les défauts dont l’amplitude est inférieure à l’épaisseur ce facteur correcteur est égal à 

1. Une formule permettant de calculer la charge critique lors d’un essai de cisaillement est 

également proposée (I.25). 

Qel 

= ( ΠRt) 

Ct 

Et / R avec 

3 05 . 

2 

Ct 

= 08 . * 4821 . ( + 00239 . ( L/ Rt) 

) /( L/ Rt) 

1 1 1 

= + avec Qy 

= ΠRtσ 

y / 3 

2 2 2 

Qp Qel Qy 

(I.25) 

Lors des chargements cycliques, deux paramètres interviennent : 

- le comportement élastique ou plastique de la coque. 

- l’effet des défauts géométriques du cycle précédent. 

Dans le cas d’un flambage élastique (R/t > 300 ), l’effet matériau est quasi nul. Pour les 

coques plus épaisses la capacité portante de la coque diminue au cours de chaque cycle 

[KOK87] et il y a risque de rupture de la coque au niveau des plis du flambage par épuisement 

plastique du matériau (figure I.C.9). 

La faible influence des défauts géométriques entraîne une bonne répétabilité de la charge 

critique lors d’un deuxième chargement s'il n’y a pas eu plastification lors du premier cycle.


Figure I.C.9 Chargement cyclique (R/t = 133) 

I.C.5. Comportement post critique 

En général, d’après KOITER [KOI67], le comportement post critique dépend de la 

sensibilité aux défauts géométriques (fonction des dimensions de la coque, de l’amplitude de 

ces défauts et du type de chargement). Lorsque l’effet des défauts est faible, la structure a un 

comportement post critique stable et la réduction de la capacité portante est limitée. 

La prise en compte d’un défaut géométrique colinéaire au mode de flambage d’une 

amplitude égale à l’épaisseur, dans la modélisation Eléments Finis [KOK93], ne fait pas 

chuter de manière drastique la capacité portante après flambage (figure I.C.10). 

Figure I.C.10 Comportement post critique, effet d’un défaut (calcul EF) 

En outre, la charge de traction, induite par le poids propre de la cuve et des composants 

internes, empêche la chute de la charge après flambage.


I.C.6. Modélisations Eléments Finis 

Dans la plupart des études sur le flambage de coques minces sous un chargement de 

cisaillement on retrouve deux codes de calcul : 

- le code ABAQUS (voir II.C.3) dans lequel l’élément isoparamétrique S8R5 (8 

noeuds, 5 degrés de liberté par noeud) est toujours utilisé. Le nombre minimum d’élément par 

onde de flambage est de 6. La taille de l’élément doit être inférieure à 0.25[L(Rt) 0.5 ] 0.5 pour 

obtenir une bonne corrélation avec les résultats expérimentaux [MAT95]. 

- le code MARC avec l’élément MARC 4 (4 noeuds, 12 degrés de liberté par noeud). 

Dans ce cas 6 éléments sont suffisant par onde de flambage, la taille de l’élément doit être 

inférieure à 0.34[L(Rt) 0.5 ] 0.5 . 

Ces codes 3D nécessitent un nombre important d’éléments ce qui augmente les temps de 

calculs, en général une symétrie par rapport au plan de chargement permet de ne mailler que la 

moitié de la coque. 

La corrélation entre les résultats expérimentaux et les modélisations éléments finis est très 

bonne, la prise en compte des défauts géométriques dans le maillage de la structure permet 

d’effectuer des études paramétriques sur l’effet du défaut. 

Les essais de flambage plastique de GALLETLY ont été simulés avec le code INCA (II.C.2) 

par LIMAM [LIM86], ce code 2D présente l’avantage de ne nécessiter que très peu 

d’éléments ce qui diminue les temps de calculs. Dans cette étude, l’écart entre les résultats 

expérimentaux et les calculs est inférieur à 7%. 

La difficulté réside dans le choix des harmoniques sur lesquelles le calcul va être effectué. 

Néanmoins, l’approche par séries de FOURIER permet de bien peser l’influence de chaque 

harmonique sur la réponse de la structure. Les études pour un chargement de cisaillement sont 

toutefois assez complexes car les harmoniques prépondérantes changent suivant les 

caractéristiques géométriques (R/t et R/L) de la coque. 

En outre, le couplage des harmoniques de réponse (cas du cisaillement ou de la flexion) 

nécessite de calculer la réponse de la structure sur une fenêtre modale très étendue ce qui 

rapproche les temps de calcul vers ceux d’un code 3D.


I.C.7. Flambage de coques minces sous un chargement dynamique en 

cisaillement 

La première étude concernant l’effet dynamique d’un chargement sismique a été une 

approche énergétique réalisée par AKIYAMA [AKI85] en représentant la coque par un 

système à 1 degré de liberté. 

Le principe consiste à comparer l’énergie fournie par un séisme E avec l’énergie de 

déformation élastique We, l’énergie de déformation inélastique Wp et l’énergie absorbée par 

l’amortissement Wh. 

E = We + Wp + Wh 

(I.26) 

AKIYAMA calcule d’abord la capacité d’absorption d’énergie de la structure E D avant le 

flambage et dans la zone post critique durant laquelle de grandes déformations sont possibles. 

E D = We + Wd 

A partir de cette énergie, il calcule la vitesse équivalente V D et le rapport V D / V E . 

(I.27) 

V D = 2 E D / M 

(I.28) 

Avec M masse de la structure 

V E vitesse relative à la limite supérieure de déformation élastique We 

(We = Q cr *δ cr /2) (I.29) 

Q cr est la charge de flambage et δ cr est le déplacement élastique correspondant au 

flambage. 

Les courbes charges-déplacements des essais statiques (hystérésis) sont utilisées pour 

calculer l’énergie absorbée par la structure. 

Des simulations avec un modèle 1 d.d.l pour 4 séismes différents sont effectuées. Il en 

résulte que la capacité des coques à absorber une grande partie de l’énergie dans la phase post 

critique (augmentation de l’énergie de plastification) avant d’atteindre le point de rupture 

permet aux coques d’avoir une marge de sécurité importante par rapport au séisme. 

Cette approche énergétique basée sur un modèle 1 d.d.l peut sembler réductrice aussi des 

études expérimentales spécifiques ont été menées pour simuler l’effet d’un séisme sur une 

coque mince. La difficulté principale vient des dimensions des spécimens : il est impossible 

de tester une cuve à l’échelle 1. 

Deux approches expérimentales sont possibles : 

- les coques cylindriques, fixées sur une table vibrante, sont soumises à une excitation 

sismique ou harmonique et l’on mesure les accélérations et les déplacements. 

- les coques encastrées à la base sont soumises à leur sommet à un chargement 

dynamique de cisaillement par un vérin hydraulique. 

Dans le premier cas [KOK87], une masse est fixée au sommet de la coque (figure I.C.11) 

afin de faire baisser la première fréquence propre de type poutre (f 0 = 18.5 Hz). Les autres 

fréquences propres de type coque sont très éloignées (figure I.C.12).


Lors de l’essai, une excitation sismique, pour un niveau d’accélération donné, est reproduite 

par la table vibrante. L’accélération est progressivement augmentée au cours des essais. 

Le flambage est déterminé par un changement brutal du mode de déformation similaire au 

cas du flambage statique, il s’accompagne généralement d’un bruit caractéristique et d’un 

changement de l’onde de déformation. 

Figure I.C.11 Essais sur table vibrante 

Figure I.C.12 Fréquences propres 

Avant flambage, les déformations ont la même fréquence que la table vibrante, au moment 

du flambage la grande déformation radiale w entraîne une modification de cette fréquence. La 

fréquence de vibration des déformations après flambage correspond à celle du mode de 

flambage prépondérant (mode 18, 300 Hz). 

En comparant M x 2 ( x 2 : accélération au sommet de la coque) avec la charge de flambage 

statique P cr et ∆ x (déplacement au sommet de la coque) avec le déplacement au moment de 

l’instabilité (figure I.C.13), on constate que le début du flambage est presque identique à celui 

du flambage statique quelle que soit la fréquence d’excitation.


Figure I.C.13 Evolution de la force d’inertie, du déplacement, de l’accélération en 

fonction de la fréquence d’excitation 

On peut remarquer sur la figure (I.C.13) que l’accélération au sommet de la coque x 2 

est 

amplifiée pour les fréquences entre 20 et 50 Hz (facteur > 5) alors que ces fréquences ne 

correspondent pas aux fréquences propres de la coque. 

La rigidité de la coque change brutalement après le flambage et la réponse par rapport à 

l’accélération de la table change comme si la première fréquence propre de la coque était 

modifiée (figure I.C.14). 

Figure I.C.14 Comportement post critique en fonction de la fréquence d’excitation 

Une autre étude expérimentale [HAG89] menée par HAGIWARA, basée sur le même 

principe, montre qu’il n’y a pas de différence notable pour ce qui est des charges de flambage 

et des courbes charge-déplacement. Cette étude permet en outre de vérifier l’hypothèse 

énergétique de AKIYAMA selon laquelle la capacité d’absorption d’énergie de ces structures 

est importante et évite d’avoir une ruine de type « collapse » de la coque.


La seconde approche, appelée essais pseudo dynamiques (figure I.C.15), a été employée par 

HAGIWARA [HAG93]. 

Figure I.C.15 Machine utilisée pour les essais pseudo-dynamiques [HAG93] 

Les coques testées ont un rapport R/t de 100 ou de 200 ce qui entraîne un flambage 

plastique. Les courbes charge/déplacement montrent une non linéarité avant et après le 

flambage à cause de la plasticité. 

Après flambage, le déplacement augmente rapidement sans toutefois avoir un « collapse » de 

la coque (figure I.C.16). 

Figure I.C.16 Effet de la non linéarité plastique sur la réponse de la coque


MURAKAMI et al. [MUR91] ont également réalisé ce type d’essais pseudo dynamiques afin 

d’étudier l’influence des défauts sur la réponse de la structure. Ils ont remarqué que la charge 

de flambage est 4 fois supérieure à celle des essais statiques (idem pour le déplacement 

correspondant au flambage). Il faut néanmoins noter que les essais statiques et pseudo 

dynamiques n’ont pas été effectués sur la même machine et que les dimensions des spécimens 

sont différentes (rapport 2) pour un R/t équivalent. 

Les courbes charges-déplacements indiquent qu’il y a eu plastification avant flambage 

(figure I.C.17). 

Figure I.C.17 Courbes charge/déplacement lors d’essais pseudo dynamiques 

Lors de ces essais, l’effet prépondérant est le comportement nonlinéaire lié au rapport R/t de 

la coque. En utilisant une coque ayant un rapport R/t plus grand (voir I.C.2), la non linéarité 

avant flambage diminuerait et l’effet dynamique du chargement pourrait être mieux analysé. 

Après un certain nombre de cycles la capacité portante de la coque tend vers une limite 

asymptotique. La présence d’un défaut initial (de mode circonférentiel identique au mode de 

flambage prépondérant) n’affecte que les premiers cycles. Ensuite le défaut résiduel du mode 

de flambage (consécutif au premier flambage) « pilote » la réponse de la coque.


I.D. Conclusions de l’étude bibliographique 

Le flambage des coques minces est un sujet d’études pour de nombreux chercheurs depuis 

de nombreuses années, néanmoins l’effet d’un chargement de cisaillement a fait l’objet d’un 

nombre restreint d’études comparativement aux chargements classiques de compression, 

pression ou à l’effet des défauts géométriques. 

Dans le domaine statique, toutes les études concernant les coques minces métalliques 

soumises à une charge de cisaillement donnent deux conclusions importantes : 

- faible sensibilité aux défauts géométriques (comparativement aux chargements de 

compression ou de pression externe). 

- comportement post critique relativement stable. 

Le comportement dynamique des structures minces est souvent abordé du point de vue des 

vibrations (analyse modale), le couplage entre modes de flambage et modes de vibration est 

très rarement étudié, seules des études concernant les poutres et les plaques abordent ce sujet. 

Pour les coques minces cylindriques, seul SINGER a mis en évidence un couplage de ces 

modes dans le cas de coques raidies sous compression axiale. 

Les études, concernant un chargement sismique appliqué à des coques minces cylindriques, 

menées au Japon montrent toutefois une modification du mode de déformation dans le cas 

d’une excitation dynamique par rapport aux modes de flambages statiques. Les coques sont 

soumises à des sollicitations sismiques suivant des accélérogrammes réels avec différents 

niveaux d’accélération, l’effort appliqué à la coque est déduit de l’accélération au sommet de 

la coque (essais sur tables vibrantes). Dans ces différents essais les rapports R/t sont de l’ordre 

de 200 et la non linéarité de la réponse est imputée au matériau, le problème du couplage des 

modes et l’aspect vibratoire n’est pas discuté dans les différentes publications. 

Il apparaît clairement à l’issue de cette étude bibliographique que nous devons définir 

convenablement les dimensions géométriques de notre spécimen de manière à obtenir un 

flambage élastique. Des essais statiques et cycliques permettront de confirmer la faible 

influence des imperfections géométriques sur la capacité portante de la coque. 

Une étude vibratoire de la coque (effet des imperfections géométriques, d’une masse ajoutée 

et d’une précharge de cisaillement) est nécessaire pour comprendre le comportement 

dynamique de la structure. 

Une approche différente du chargement dynamique (application d’un effort sinusoïdal ou 

d’un déplacement au sommet de la coque) permettrait de connaître de manière plus précise 

l’évolution des zones d’instabilité en fonction des fréquences d’excitation de la coque. 

Un axe de réflexion intéressant concerne l’existence de couplages entre les modes de 

flambage et des modes de vibration pour différents niveaux de chargement : 

- le mode de flambage est-il conservé ? 

- effet d’un couplage éventuel sur les charges critiques. 

- existence d’une résonance paramétrique ?

Chapitre II : Méthodologies expérimentales et numériques 59 

Chapitre 2 

METHODOLOGIES 

EXPERIMENTALES 

ET NUMERIQUES

Chapitre II : Méthodologies expérimentales et numériques 60


II. 

Méthodologies expérimentales et numériques 

Dans une première partie nous définissons les paramètres de la structure qui a servi de base à 

notre étude puis nous décrivons la machine d’essais conçue spécialement pour réaliser les 

tests dynamiques. La dernière partie est consacrée à la description des outils numériques 

utilisés lors des simulations éléments finis. 

II.A. Définitions des paramètres de l’étude : 

Dans le chapitre précédent nous avons présenté l’état des connaissances dans le domaine du 

flambage sous sollicitation dynamique avec les différentes approches possibles. 

Nous allons maintenant définir les différents paramètres propres à notre étude : les 

dimensions géométriques de notre structure, les types de chargement à appliquer et les 

procédures de fabrication des spécimens. 

Nous nous sommes intéressés à l’effet d’une sollicitation sismique horizontale sur une cuve 

de réservoir encastrée à son sommet et nous avons modélisé ce type de chargement par un 

effort de cisaillement appliqué au sommet d’une coque cylindrique encastrée à sa base (figure 

II.A.1). 

Le chargement appliqué peut être monotone avec une vitesse de chargement très faible, 

cyclique ou sinusoïdal (avec une fréquence variable) de manière à pouvoir comparer la 

réponse de la structure à ces différents types de sollicitations. 

F ou δ 

Figure II.A.1 Schéma de la sollicitation


Nous avons également fixé les caractéristiques géométriques de la coque en fonction des 

dimensions d’une structure réelle : 

- un rapport rayon/épaisseur (R/t) de 450. 

- un rapport rayon/hauteur (R/l) de 1. 

La cuve est soumise, si elle est suspendue, à une charge de traction constante aussi nous 

avons décidé de reproduire cette contrainte de traction lors de nos essais (en tenant compte du 

facteur d’échelle). 

Des calculs préliminaires [MIC94] ont été mené de manière à définir (pour les rapports R/t 

et R/l fixés) les dimensions de notre spécimen compatibles avec nos moyens d’essais. Ceci 

nous a conduit à choisir les dimensions suivantes : 

- R = 125 mm 

- t = 270 µm 

- L = 125 mm 

A partir de ces calculs nous avons choisi un servo-vérin capable de réaliser des déplacements 

de ± 1 mm avec une fréquence de 100 Hz et supporter des charges de 60 daN. 

L’étude vibratoire de la coque (modes et fréquences propres), décrite en détail dans le 

chapitre IV.A, nous a conduit à définir une masse additionnelle de 30 kg fixée au sommet de 

la coque dans le but de diminuer la valeur de la première fréquence propre de la structure.


II.B. Méthodologie expérimentale : 

Dans un premier temps nous expliquons le processus de fabrication et de contrôle des 

coques, ensuite nous décrivons les différentes composantes de la machine d’essais (système 

d’application du chargement, servo-vérin hydraulique et son pilotage, système de relevé de 

géométrie, capteurs et systèmes d’acquisitions). 

II.B.1. Spécimens testés : 

Les spécimens sont de très faible épaisseur (figure II.B.3), il est donc important de maîtriser 

la fabrication de manière à minimiser les défauts géométriques initiaux toujours néfastes pour 

les études de flambage (I.A.1). Le laboratoire a acquis une expérience dans la réalisation de 

coques cylindriques électrodéposées (en cuivre ou en nickel) à partir de mandrin en 

aluminium ce qui permet d’éliminer les défauts initiaux classiques (soudure, variation 

d’épaisseur). 

Nous avons choisi de fabriquer les coques en nickel dans le but d’avoir un matériau 

possédant des caractéristiques mécaniques proches de celles de l’acier [NOV91]. 

Les liaisons entre la machine d’essais et la coque sont réalisées par des inserts rigides 

appelées frettes (figure II.B.1) qui permettent de simuler correctement les conditions limites 

de type encastrement. 

φ 300 

36 φ 8.5 φ 275 

20 

19 

φ 236 

φ 250 

5 

10 

19 

φ 236 

φ 250 

φ 300 

5 

Figure II.B.1 Dessin des frettes

190 


Ces frettes sont montées à chaud sur un mandrin en aluminium (figure II.B.2). L’ensemble 

est plongé dans un bain électrolytique afin de réaliser le dépôt de la peau en nickel. Ce dépôt 

recouvre le mandrin en aluminium et la partie striée des frettes. Les coques sont ensuite 

tronçonnées et le mandrin en aluminium est dissout dans la soude caustique. 

Frette 

φ 300 

φ 249 

φ 236.2 

φ 230 

serrag e : 1/10 ém e 50 

C ylindre 

aluminium 

10 

19 

125 192 250 

Fond aluminium 

Axe en acier 

Figure II.B.2 Montage fabrication de la coque 

36 Τrous φ 9 

125 

ép. = 270µm 

φ 250 

φ 300 

Figure II.B.3 Dimensions des coques


Avant chaque dépôt nous effectuons des contrôles des caractéristiques mécaniques du 

matériau (figure II.B.5) et de la répartition d’épaisseur (figure II.B.4) du dépôt de nickel sur 

une coque test. Nous ajustons les paramètres de contrôle du dépôt (intensité, durée du dépôt, 

montée en courant, hauteur des masques) pour obtenir une épaisseur uniforme sur toute la 

coque. 

280 

270 

260 

250 

240 

230 

220 

210 

200 

0 

10 

20 

30 

40 

50 

60 

70 

80 

90 

100 

110 

120 

Epaisseur (µm) 

Axe Z 

Figure II.B.4 Distribution d’épaisseur suivant une génératrice 

800 

Eprouvette nickel 

700 

Contrainte [MPa] 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 

Déformation [%] 

Figure II.B.5 Caractérisation du matériau 

A partir de ces essais nous définissons les caractéristiques mécaniques que nous allons 

utiliser lors des calculs éléments finis : 

- E = 180 000 Mpa. 

- σ 0.2 = 600 Mpa. 

- σ L = 220 Mpa 

- ν = 0.3 

- courbe de plasticité


II.B.2. Machine d’essais 

La machine d’essais est conçue de manière à pouvoir répondre aux sollicitations définies 

lors des calculs de définition des paramètres géométriques de la coque [MIC94]. 

Le but est d’appliquer une charge statique ou dynamique de cisaillement au sommet de la 

coque (pilotage en déplacement ou en force) combinée avec une charge constante de traction. 

En outre nous voulons procéder en cours d’essai à des relevés de géométrie afin de connaître 

les modes de flambage et les déformations radiales. 

II.B.2.a. Système de chargement 

Le bâti est construit à partir d’une plaque rectangulaire fixée sur la dalle d’essais par quatre 

barres précontraintes (figures II.B.6, II.B.7). La coque est fixée sur un bâti rigide très bas de 

manière à engendrer un effort de flexion sur la bâti le plus faible possible (figure II.B.8). 

Figure II.B.6 Vue de dessus du bâti 

Les barres de précontraintes permettent d’assurer une liaison avec la dalle d’essais (1 mètre 

d’épaisseur) capable de reprendre les efforts imposer par le chargement dynamique.


10 

φ 200 

φ 180 

310 280 

10 

φ 130 

+0.2 

0 

1000 

+0.1 - 

Tolérances générales : +0.2 - 

Barre de précontrainte 

Figure II.B.7 Plots de fixation du bâti sur la dalle d’essais 

Figure II.B.8 Schéma du banc d’essai - Application de la charge de cisaillement 

La charge de cisaillement est appliquée avec un servo-vérin hydraulique conçu spécialement 

pour encaisser des efforts dynamiques (Annexe 1). Un groupe hydraulique assurant un débit 

de 120 l/mn pour une pression de 250 bars alimente ce servo-vérin.


La caractéristique principale de ce servo-vérin est l’utilisation de quatre servovalves montées 

en parallèle pour obtenir un débit élevé à hautes fréquences. Ces servo-valves ont une bande 

passante élevée (Annexe 1) afin d’obtenir une régulation correcte à hautes fréquences. 

L’alignement du servo-vérin par rapport à la coque (horizontale et verticale) est réglable 

(Annexe 1) de manière à assurer une application correcte de l’effort de cisaillement sur la 

coque. 

Un vérin hydraulique régulé en force (maintien d’une pression constante dans la chambre du 

piston) assure le chargement de traction constante (figure II.B.9). Un câble, dont les 

extrémités sont des axes rotulés, relie le vérin au sommet de la coque. Ce système élimine les 

risques de transmission d’un effort de compression ou de flexion à la coque. Le câble est 

dimensionné pour avoir des fréquences propres, sous charge, supérieures à celles des 

fréquences d’essais.


Figure II.B.9 Schéma du système de chargement de traction 

Le transfert des efforts de traction et de cisaillement à la coque est assuré par une pièce 

(couvercle) vissée sur la frette supérieure de la coque. Un bras de liaison monté sur pivots 

(figure II.B.10) permet la transmission de la charge de cisaillement au couvercle, une chape 

également montée sur un axe pivotant relie le couvercle au câble par lequel la charge de 

traction est transmise. 

Afin d’éliminer le jeu au niveau des pivots, les axes sont montés avec des roulements à 

rouleaux à contacts obliques montés en opposition [CHE80].


Figure II.B.10 Système de transmission des efforts 

Le couvercle est relié à la chape et au bras de liaison par un axe instrumenté (figure II.B.11), 

cet axe sert également à mesurer les efforts transmis à la coque (voir II.B.2.c). Le couvercle 

permet de laisser libre la rotation au sommet de la coque car l’axe dynamométrique est monté 

avec des roulements à contacts obliques. 

Une masse (figures II.B.12, II.B.13) peut être rapportée sur ce couvercle dans le but de faire 

baisser la première fréquence propre de la coque (voir II.A). Cette masse est équitablement 

répartie par rapport à l’axe instrumenté (droite d’application de l’effort) pour éliminer le 

risque d’une transmission d’un effort de flexion au pied de la coque.


φ 300 

φ 236 

36Μ8 φ 275 

80 

30 

80 

160 

Figure II.B.11 Dessin du couvercle vissé sur la coque


35 

70 

35 

70 

150 

Figure II.B.12 Dessin des masses additionnelles internes


φ 400 

15 

φ 300 

125 

100 

36 Μ8 φ 275 

23 

φ 13 

Figure II.B.13 Dessin de la masse additionnelle fixée sur le couvercle 

II.B.2.b. Mesure des déplacements radiaux 

Lors des essais de flambage il est très important de connaître les défauts géométriques 

initiaux car ils modifient les valeurs des charges critiques. La mesure des déformées pré et 

post critiques permet également de définir les modes de flambage prépondérants et 

l’amplitude des ondes de flambage. En effectuant un relevé de la géométrie après essai, nous 

pouvons ainsi quantifier les déformations résiduelles. 

Le relevé de géométries s’effectue à l’aide d’un capteur laser monté sur un système 

permettant d’effectuer des mesures de parallèles (rotation autour de l’axe du cylindre) ou de 

génératrices (translation le long de l’axe du cylindre) (figure II.B.15). Le pilotage du 

déplacement du laser et l’enregistrement de la distance coque-laser est effectué par un 

automate. 

L’ensemble est fixé sur un support (figure II.B.14) complètement désaccouplé par rapport au 

bâti du système de chargement, ceci évite la perturbation des mesures lors des essais 

(vibrations transmises par la bâti par exemple). Les plans détaillés du système de relevé de 

géométries sont en annexe 1. 

Un logiciel (GEOMTEST), développé au laboratoire par B. SCHAUDER [SCH97], corrige 

les erreurs inhérentes au système de mesure (correction par rapport au meilleur cylindre et 

correction conique, filtre de type HANNING) et réalise les tracés des différentes géométries 

(tracé 3D, isolignes, isovaleurs, parallèle, génératrice). Nous pouvons également tracer des 

déformées auxquelles nous avons soustrait les défauts initiaux de manière à obtenir 

uniquement les déplacements liés au chargement. 

Ce logiciel permet de réaliser des décompositions en série de FOURIER pour toutes les 

parallèles, nous pouvons aussi écrire un fichier de points décrivant la géométrie de la coque en 

3D ou des fichiers de points destinés aux différents codes de calculs éléments finis (INCA, 

ABAQUS, CASTEM2000). 

Une procédure de recherche automatique de défauts initiaux ou de cloques de flambage (en 

donnant les longueurs d’ondes axiales et circonférentielles) est implémentée dans ce logiciel.


φ 260 

Figure II.B.14 Système de relevé de la géométrie 

230 

6 Μ6 φ51 

50 

200 

Figure II.B.15 Guidage en translation du support du capteur laser


II.B.2.c. Définition des capteurs 

Un point important de la conception de la machine d’essais a été le choix des capteurs et leur 

disposition sur le banc d’essais de manière à obtenir les informations les plus correctes 

possibles. 

Nous avons déjà décrit le capteur laser monté sur le système de relevé de géométries, en plus 

de ces mesures avant et après flambage nous utilisons ce capteur pour suivre le déplacement 

radial d’un point de la coque (choisi dans une zone de grandes déformations) lors du 

chargement de cisaillement. En statique, cela nous permet de définir de manière précise 

l’instant du flambage (grand déplacement pour un petit incrément de charge), en dynamique 

cela nous renseigne sur la formation d’une cloque de flambage lors du balayage en fréquence. 

Les autres capteurs (figure II.B.16) mesurent les charges (cisaillement et traction) appliquées 

à la coque, les accélérations et les déplacements de la frette. 

Figure II.B.16 Schéma de l’implantation des capteurs


La cellule de fatigue fixée sur la tige du vérin indique la charge appliquée par le vérin sur 

l’ensemble masse-coque. Lors des tests dynamiques seulement une partie de cette charge est 

appliquée à la coque, l’autre partie de cette force sert à déplacer la masse (F= m*γ) située au 

sommet de la coque (voir II.B.2.a). 

La cellule de charge montée entre la tige du vérin de traction et le câble (figure II.B.9) 

mesure la force de traction exercée sur la coque, nous contrôlons ainsi l’évolution de cette 

charge en cours de chargement. 

Un capteur LVDT (± 25 mm) est fixé sur la tige du servo-vérin, il est utilisé pour le pilotage 

en déplacement de ce servo-vérin. 

Des capteurs capacitifs sans contact (KAMAN) mesurent les déplacements horizontaux de la 

frette et les déplacements verticaux du couvercle. Des accéléromètres fixés sur le couvercle 

donnent les valeurs des accélérations en cours d’essai dynamique. Les caractéristiques de ces 

capteurs sont données en annexe 1. 

L’axe dynamométrique reliant le couvercle avec la chape et le bras de liaison (figure II.B.10) 

mesure la charge de traction et la charge de cisaillement exercées sur la coque grâce à des 

jauges qui sont collées sur les parties cisaillées de l’axe (figure II.B.17). 

Figure II.B.17 Schéma de l’axe dynamométrique 

L’axe dynamométrique permet de mesurer l’effort de cisaillement réellement appliqué à 

l’ensemble masse-coque. Lors des essais dynamiques la force d’inertie produite par 

l’accélération de la masse n’est pas mesurée par cet axe instrumenté.


II.B.2.d. Description du système de pilotage du servo-vérin de cisaillement et des 

cartes d’acquisitions 

Le vérin de cisaillement peut être piloté en force ou en déplacement, la régulation est réalisée 

par une carte électronique reliée à un micro-ordinateur. Tous les paramètres de la machine 

d’essais (caractéristiques du servo-vérin, définition du capteur de force et de déplacement du 

servo-vérin) sont définis dans un fichier de configuration. Une surveillance continue de l’état 

du groupe hydraulique et du servo-vérin est effectuée. En cas de défaillance d’un élément, une 

coupure automatique de la pression intervient. 

La particularité de cette carte de pilotage réside dans le fait que tous les signaux des capteurs 

sont traités numériquement et non pas en analogique. Ceci augmente considérablement la 

vitesse de calcul du logiciel de pilotage et améliore la régulation du servo-vérin pour les essais 

dynamiques, les paramètres de régulation (PID) du servo-vérin sont recalculés 

automatiquement à chaque instant. 

Lors des essais, nous définissons des limites (en charge, en déplacement ou en temps), en cas 

de dépassement de ces valeurs le test est automatiquement arrêté. Les valeurs des capteurs 

montés sur le servo-vérin (cellule de charge, LVDT interne) sont automatiquement 

enregistrées lors des essais dans des fichiers de manière à pouvoir tracer les courbes 

effort/déplacement. Des programmes de chargement couramment utilisés (fonction rampe, 

cycles entre limites de charge ou de déplacement, précharge, tests de fatigue, balayage en 

fréquence) sont implémentés dans le logiciel. Nous pouvons également construire nos propres 

fonctions de chargement dans lesquelles nous définissons toutes les étapes du test. 

Un dispositif de 8 entrées et sorties analogiques avec une carte de multiplexage, est relié à la 

carte de pilotage du servo-vérin. Nous pouvons ainsi, lors des essais statiques ou cycliques, 

enregistrer entre deux incréments de charge la valeur des différents capteurs. L’enregistrement 

se produit en utilisant une instruction dans le programme de test qui commande la lecture des 

différentes voies de la carte d’acquisition. Ces mesures de tensions de sorties des capteurs sont 

ensuite stockées sous forme de fichiers ASCII, une procédure de dépouillement automatique 

des essais avec le tableur EXCEL permet de tracer en quelques minutes les courbes de 

résultats (charge/déplacement, déplacement vertical de la frette en fonction du cisaillement...). 

Lors des essais dynamiques nous utilisons une autre carte d’acquisition (NSOFT) qui permet 

d’enregistrer les mesures des différents capteurs avec une fréquence d’échantillonnage très 

élevée (de 18823 points/seconde pour 1 voie jusqu’à 1509 points/seconde pour 16 voies) et 

une bande passante de 1400 Hz. Les informations sont stockées sur 16 bits dont 12 bits pour 

la définition de la mesure. Le fichier est ensuite démultiplexé afin de récupérer le signal 

temporel des différents capteurs. 

Le logiciel NSOFT [NSO95] dispose de divers programmes de traitement des données 

facilitant le dépouillement des résultats : 

- filtrage des signaux (filtre passe-bas, filtre passe-haut, bande passante...). 

- lissage. 

- stockage des données dans un fichier ASCII. 

- opérations logiques et arithmétiques. 

- évolution temporelle des capteurs. 

- évolution d’un capteur par rapport à un autre (courbe charge/déplacement). 

- calcul de l’intégrale ou de la dérivée d’un signal. 

- analyse statistique. 

- analyse fréquentielle.


II.B.2.e. Caméra CCD 

Lors des essais dynamiques il est très important de pouvoir visualiser les modes de 

déformation de la coque afin d’analyser l’effet des fréquences d’excitation sur la réponse de la 

structure : 

- le mode de flambage est-il conservé ? 

- est-ce que l’on a apparition d’un mode de vibration ? 

- existence d’un couplage mode de flambage - mode de vibration ? 

Pour les fréquences inférieures à 10 Hz, il suffit d’avoir un caméscope (25 images/seconde) 

pour analyser les modes de déformation en cours d’essais. En revanche lorsque la fréquence 

d’excitation augmente il est nécessaire de disposer d’un outil capable d’enregistrer plusieurs 

images d’un cycle de chargement. 

Notre choix s’est porté sur une caméra numérique de résolution (240*210 pixels) et de 

vitesse d’acquisition 1000 images/seconde (annexe 1), la vitesse d’obturation est réglable ( de 

1/60 ème jusqu’à 1/20000 ème sec) afin d’obtenir une meilleure qualité d’image. La capacité 

de stockage est de 2048 images pour une fréquence d’acquisition de 1000 images par 

secondes. Le déclenchement de l’enregistrement peut être commandé par un signal extérieur, 

les images sont alors stockées en mémoire jusqu’à saturation. Il est possible de visionner 

immédiatement la séquence enregistrée sur un moniteur vidéo intégré, la vitesse de lecture est 

réglable de 1 à 1000 images par seconde. 

Les images sont ensuite copiées sur bande vidéo ou sur PC afin de réaliser des études plus 

complètes des modes de déformation.


II.C. Outils numériques : 

Pour les simulations numériques des essais nous utilisons deux codes éléments finis : 

- un code 2D (INCA) développé au CEA [COM94] pour traiter les problèmes de 

structures minces axisymmétriques. 

- un code 3D (ABAQUS) développé aux Etats-Unis par la société 

HIBBITT&KARLSSON [HIB95]. 

Dans une première partie nous présentons les techniques de calcul de flambage utilisées dans 

les codes éléments finis (calculs linéaires, calculs non linéaires, techniques de pilotage) 

Dans le second paragraphe nous décrivons les spécificités liées au code INCA et à l’élément 

utilisé dans notre étude (élément COMU). 

Dans la dernière partie nous présentons le code ABAQUS en nous attachant plus 

particulièrement aux techniques de pilotage pour les calculs non linéaires et les calculs 

dynamiques. Nous décrivons aussi les caractéristiques de l’élément S8R5 employé lors de nos 

modélisations. 

II.C.1. Techniques de calculs éléments finis 

Nous allons définir les différentes techniques de calculs de flambage utilisées dans cette 

étude, flambage élastique, flambage non linéaire en grands déplacements et non linéarité 

matérielle. Nous décrivons également les différentes techniques de pilotages employées dans 

nos calculs éléments finis. 

II.C.1.a. Flambage élastique linéaire 

Pour étudier l'équilibre de la structure, nous allons employer le critère de TREFTZ. 

Considérons un solide élastique isotrope dans une configuration C 0 , occupant le volume V 0 . 

Un chargement F, crée dans le solide un champ de déplacements cinématiquement admissible 

u o (figure II.C.1). 

C C * 

C o 

αu* 

V o 

V 

u o 

P o P 

Figure II.II.C.1 Perturbation d’un système d’équilibre 

Introduisons alors une petite perturbation αu* dans la configuration C. Le champ u* de cette 

perturbation est un champ cinématiquement admissible et α est petit.


Le champ de déplacements à l'état perturbé s'écrit alors : 

0 

u= u + α 

* 

u 

(II.1) 

Le champ de déformation correspondant s’écrit : 

( Lu Lu Lu . Lu ) 

1 

ε ij = i j + j i + i k j k 

2 

avec L 

i 

= ∂ 

∂x 

i 

(II.2) 

que l’on peut mettre sous la forme : 

0 I 

ε ij = ε ij + αε ij + 

α ² ε 

II 

(II.3) 

ij 

2 

où 

( Lu Lu Lu . Lu ) 

( Lu 

* 

i j Lu 

* 

j i Lu 

* 

i k. 

Lu 

* 

j i) 

0 1 0 0 0 0 

εij = i j + j i + i k j i 

2 

ε 

I 1 

ij = + + 

2 

ε 

II 

ij = Lu 

* 

i k. 

Lu 

* 

j i 

(II.4) 

L’énergie potentielle totale s’écrit : 

Π 

( ijklε 

klεij i i ) 

1 

= 

∫ 

H + f u dV − 

∫ 

TiuidS 

V 

Γ 

2 0 

(II.5) 

On peut, en prenant les relations précédentes développer l'expression de l'énergie potentielle 

au voisinage de la configuration d'équilibre : 

0 0 2 2 0 3 

Π= Π + αδΠ + α δ Π + o( α ) (II.6) 

où les variations de l'énergie potentielle s'écrivent: 

Π 

0 

δΠ 

1 0 0 0 0 

= 

⎛ 

⎜ − 

⎞ 

∫ σε 

0 ⎝ ij ij 

F i 

u i ⎟dV − 

V 2 ⎠ ∫ Tiu idS 

Γ 

0 

∫ 

V0 

0 I 

( σ ijε 

ij i ) 

i 

* * 

= −F u dV − T u dS 

∫ 

Γ 

i 

i 

(II.7) 

I I 0 II 

( ijkl kl ij ij ij ) 

2 1 

δ Π 

0 

= ∫ H ε ε + σ ε 

2 V0 

dV 

En utilisant l'expression du champ de contraintes sous la forme : 

0 I 2 

σ = σ + ασ + α σ 

ij ij ij 

II 

ij 

(II.8)


Π o ne fait intervenir que les termes de la configuration C, ce qui fait qu'elle est implicitement 

nulle. Il ne reste que le terme de la variation seconde de l'énergie potentielle, et le critère de 

stabilité peut donc s'écrire : 

I I 0 II 

( ijkl kl ij ij ij ) 

2 1 

δ Π 

0 

= ε ε σ ε 0 

2 

∫ H + dV > 

V0 

∀ u* cinématiquement admissible (critère de TREFTZ) 

(II.9) 

Dans le cas où les déplacements restent faibles, les équations d'équilibre sont linéarisables. 

La détermination de l'état critique nous amène à un problème de valeurs propres : 

[ ] 

K 

0 

+ λK σ 

φ= 0; pour φ≠0 

(II.10) 

La matrice K o est : 

* T * 1 

I I 

u K0u = Hijkl 

ij kl 

dV 

2 

∫ εε (II.11) 

V0 

La matrice des contraintes initiales K σ est : 

* T * 1 II 

u Kσu = ∫ σε 

ij ij 

dV 

2 

V0 

(II.12) 

Le chargement critique s'obtient en multipliant λ minimal par le champ de chargement ayant 

conduit à l'état de contrainte initial. 

II.C.1.b. Cas non linéaire, grands déplacements et non linéarité matérielle 

Dans le cas de déplacements et rotations importants, le chemin d'équilibre n'est plus linéaire, 

et il est nécessaire de connaître précisément le chemin fondamental d'équilibre. Le paramètre 

λ est une fonction complexe du chargement (µ) (figure II.C.2). 

λ 

λ=1 

µ 

cr 

µ 

Figure II.II.C.2 Calcul de la charge critique en grands déplacements


La variation seconde doit être positive pour chaque point du chemin fondamental. On peut 

associer le problème de la stabilité à un problème des valeurs propres. L'état critique est défini 

pour λ=1, avec λ vérifiant l'équation : 

[ L ] 

K 

0 

+ K + λK σ 

φ = 0 ; pour φ ≠ 0 

(II.13) 

La matrice K L est la matrice des grands déplacements. Elle fait intervenir les termes 

quadratiques de déplacements et traduit le changement de configuration. 

* T 

* 1 

I I (II.14) 

u ( K 0 + Kσ + K L ) u = Hijkl ij kl dV 

2 ∫ 

ε ε 

V 

0 

II.C.1.c. Les techniques de pilotage 

Deux techniques de pilotage peuvent être utilisées pour effectuer le calcul incrémental : 

- la première est le pilotage en force c’est à dire qu’un petit incrément de charge est 

appliqué à la structure. Cependant, lorsque la structure enregistre d’importants déplacements, 

ce qui peut en particulier se produire au voisinage d’un point limite, un incrément de charge 

infiniment petit entraîne d’importantes modifications de forme. Il se pose alors des problèmes 

de convergences ou d’imprécisions numériques. 

- dans ce cas, il est préférable d’utiliser une autre technique appelée pilotage en 

déplacement. On ajoute aux équations d’équilibre, une contrainte linéaire en fonction des 

déplacements (par exemple : que la norme du déplacement soit une constante). Cette 

contrainte donne une équation supplémentaire permettant de calculer l’effort associé, alors 

que la structure est en position d’équilibre, un petit incrément de déformation lui est imposé 

dont on déduit l’incrément de charge. Cette méthode permet d’atteindre et de dépasser le point 

limite. 

Par contre, le comportement de la structure obtenu par ce calcul après avoir dépassé le point 

limite a peu de signification réelle. En effet, lorsque le point limite est atteint, le flambage 

engendre souvent d’importants effets dynamiques, il faudrait donc, dans les calculs, tenir 

compte de l’ensemble des effets d’inertie du système.


II.C.2. Code INCA 

Ce code de calculs est destiné à l’étude des coques de révolution axisymétriques (élément 

COQUE) ou quasiaxisymétrique (élément COMU). La symétrie de révolution permet de 

développer les champs de déplacement, de forces et de déformations en séries de FOURIER. 

La prise en compte d’imperfections et de chargements nonaxisymétriques est également 

possible en écrivant toutes les équations sur une géométrie de révolution et en utilisant des 

développements en série de FOURIER (élément COMU). Il est nécessaire de réécrire 

l’équation d’équilibre de la structure imparfaite repérée par rapport à la structure parfaite. 

Ceci n’est valable que dans le cas où les déformations membranaires de la coque restent 

limitées (moins de 10%). 

Le code INCA dispose d’une méthode de pilotage en longueur d’arc, dans le cas des calculs 

incrémentaux, similaire à celle utilisée dans le code ABAQUS (II.C.3). 

II.C.2.a. Equations générales des coques de révolution 

L’avantage des coques de révolution est la possibilité de les représenter uniquement par une 

méridienne. 

Dans le repère cylindrique, u a pour composantes u r , u z , u θ . Les déplacements locaux sont 

décrits à l’aide des déplacements nodaux : 

wi : déplacement radial 

ui : déplacement axial 

vi : déplacement circonférentiel 

βi : rotation autour de l’axe tangentiel 

L’expression générale du tenseur des déformations de GREEN-LAGRANGE est donnée par : 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

{} ε 

{ χ} 

⎧ 

⎫ 

⎬ 

⎭ = ⎪ 

⎨ 

⎩⎪ 

{ ε 

L} 

{ χ 

L} 

⎫ 

⎪ 1 {} ε 

⎬ + ⎧ Q ⎫ 

⎨ ⎬⎭ 

2 

⎭⎪ ⎩ 0 

(II.15) 

avec - { ε } représentant les déformations de membrane décomposées en une partie linéaire 

ε L et une partie quadratique { ε } 

Q . 

- { χ } représentant les déformations de flexion en ne tenant compte que de la partie 

linéaire (hypothèse de KIRCHOFF-LOVE).


II.C.2.b. Elément COMU 

L’élément COMU est un élément tronconique à deux noeuds basé sur la théorie de 

MARGUERRE. Les déplacements nodaux de tous les points de la circonférence sont décrits 

par une série de FOURIER : 

{ q } 

i 

= 

∑ 

i 

h 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

⎧w 

⎪ 

⎪ u 

⎨ 

⎪ v 

⎩⎪ 

β 

h 

h 

h 

h 

( h θ) 

( h θ) 

( h θ) 

( θ) 

. cs i . 

. cs i . 

. cs i . 

. cs i . 

h 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭⎪ 

(II.16) 

ih est le numéro des harmoniques de FOURIER choisies pour décrire les déplacements, cs 

désigne cosinus et/ou sinus. 

L’utilisateur définit le nombre d’harmoniques (n) nécessaires pour décrire sa structure. Les 

déformations de GREEN-LAGRANGE prennent en compte les déplacements et les défauts 

géométriques initiaux. 

⎧⎪ 

⎨ 

⎩⎪ 

{ ε( q+ 

D) 

} 

χ( q + D) 

{ } 

L 

{ ε ( q D) 

} 

L 

χ ( q+ 

D) 

⎫⎪ 

⎬ 

⎭⎪ = ⎧⎪ 

+ 

⎨ 

⎩⎪ 

{ } 

( q D) 

⎫ 

Q 

⎪ ε 

⎬ 

⎭⎪ + 1 ⎧ + 

⎨ 

2 ⎩ 0 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

(II.17) 

Les contraintes sont créées par l’apparition des déformations {q} sur la configuration initiale 

imparfaite. Leur calcul est effectué en retranchant aux déformations totales les déformations 

calculées à partir du défaut {D} : 

⎧{} 

ε ⎫ { ε( )} 

{ ε( )} 

{ ε ()} 

⎨ ⎬ 

⎩{ χ} 

⎭ = ⎧ + ⎫ 

⎨ ⎬ − ⎧ ⎫ 

⎧ L 

q D D ⎪ q 

⎨ 

⎩{ χ( + )} 

⎬⎭ = ⎨ 

q D ⎭ ⎩ { χ( D) 

} { χ 

L() 

q 

⎩⎪ } 

{ ε 

Q( Dq) 

} ε 

Q 

, 1 () q 

{ } 

⎫ 

⎪ 

⎬ + ⎧ ⎫ 

⎨ ⎬⎭ + ⎧ ⎫(II.18) 

⎨ ⎬⎭ 

⎭⎪ ⎩ 0 2 ⎩ 0 

Les déformations de l’élément en fonction des déplacements nodaux sont données par : 

⎧ {} ε ⎫ 

⎨ ⎬ [ ] 

{ } 

( [ { }][ ]) 

⎩ χ ⎭ = + ⎧ q i ⎫ 

B A D i, i + 1 G ⎨⎩ ⎬⎭ 

q i + 1 

avec [B] opérateur gradient symétrique prenant en compte toutes les harmoniques de 

déplacement i h . 

[A{D i,i+1 }] opérateur permettant de faire le lien entre les déplacements locaux et 

les déplacements nodaux {d}. 

[G] opérateur permettant de relier les déplacements locaux aux déplacements 

nodaux et prenant en compte toutes les harmoniques de déplacement i h . 

(II.19)


Dans ce cas la matrice de rigidité élémentaire est donnée par l’expression : 

T 

( + ) [ ][ ( ] { ii+ 

} ) 

[ ][ ] 

[] [ ] { ii } 

[ ][ ] 

k = 

∫ 

B + A D, G H B + A D, G . ds. 

d 

élément 

La matrice des contraintes initiales s’écrit : 

1 1 θ (II.20) 

[ ] [ ] 

T 

[ ][ ] 

kσ 

= 

∫ 

G Σ G . ds. dθ 

(II.21) 

élément 

[Σ] est la matrice des efforts de membrane pour chaque harmonique i c choisie : 

[ Σ] 

⎡ 

⎢... 

= 

⎢ 

⎢ 

⎢0 

⎣⎢ 

Σ 

... 

i c 

⎤ 

0 ⎥ 

⎥ 

⎥ 

.... ⎥ 

⎦⎥ 

Chaque mode de FOURIER a 4 ddl (w n ,u n ,v n ,β n ) qui sont interpolés linéairement et peuvent 

s'exprimer sous la forme: 

⎡w 

⎢ u 

⎢ 

⎢ v 

⎢ 

⎣β 

n 

n 

n 

n 

⎤ 

⎥ 

{ q 

i} 

⎥ = 

⎡1 

( − x)[ Tn][ λ] ( + x)[ Tn][ λ 

⎤⎡ 

⎤ 

] ⎢ ⎥ 

⎥ ⎣⎢ 2 1 1 

2 1 ⎦⎥ 

⎣⎢ 

{ q 

j} 

⎦⎥ 

. (II.22) 

⎥ 

⎦ 

avec: 

[ Tn 

][ λ] 

⎡cnθcφ 

cnθsφ 

0 0 ⎤ 

⎢cnθsφ 

−cnθcφ 

0 0 ⎥ 

= ⎢ 

⎥ 

⎢ 0 0 snθ 

0 ⎥ 

⎢ 

⎥ 

⎣ 0 0 0 cnθ⎦ 

(II.23) 

Le nombre de degrés de liberté par noeud est égal à 4(n+1) car l’on prend également en 

compte le mode 0. 

Si la structure possède un défaut géométrique initial, celui-ci est représenté sur la 

circonférence par des séries de FOURIER avec un nombre adéquat d’harmoniques en cosinus 

et sinus.


{ D } 

i 

= 

∑ 

i 

d 

⎧ i 

w 

⎪ i 

i 

⎪ui 

⎨ i 

⎪vi 

⎪ i 

⎩βi 

d 

d 

d 

d 

( d θ) 

( d θ) 

( d θ) 

( θ) 

. cs i . 

. cs i . 

. cs i . 

. cs id. 

⎫ 

⎪ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎪ 

⎭ 

(II.24) 

Il est nécessaire pour décrire le défaut de prendre les harmoniques choisies pour décrire les 

déplacements. 

L’intégration à travers l’épaisseur est analytique, l’intégration axiale se fait numériquement 

avec un point de Gauss. L'intégration dans la direction circonférentielle des matrices K, K σ , 

K p de cet élément se fait analytiquement. La raideur est intégrée avec une pénalisation qui 

minimise l'énergie du cisaillement . Les contraintes sont calculées sur chaque 

harmonique de FOURIER. 

∫ 

Gε 2 

ns 

V 

Pour faire les calculs de plasticité suivant un modèle global de type CRISFIELD, un certain 

nombre de points (9 par défaut) sont disposés régulièrement sur la circonférence, l’état de 

contrainte est calculé pour chacun de ces points de manière à calculer l’écoulement plastique 

et évaluer les nouvelles variables internes en chaque point. Une transformation de FOURIER 

de cet ensemble d’états de contrainte permet à la suite de calculer l’équilibre. 

Les harmoniques sont dans ce cas couplées, ce qui affecte directement le coût des calculs, 

particulièrement si l'on traite des problèmes très localisés qui nécessitent un grand nombre 

d'harmoniques pour une approximation correcte. 

Pour tester la stabilité de la structure, il faut appliquer une petite perturbation décrite à l’aide 

des séries de FOURIER en chaque noeud.


II.C.3. Code ABAQUS 

II.C.3.a. Calcul linéaire du flambage 

Le calcul du flambage linéaire se fait de façon similaire à celle d'INCA donc la 

détermination de l'état critique nous amène à un problème de valeurs propres: 

[ ] 

K 

0 

+ λK σ 

φ = 0; pour φ ≠0 

(II.25) 

Il faut signaler que l'extraction des valeurs propres se fait avec une méthode d'itération par 

sous espaces ce qui nous permet d'extraire simultanément plusieurs valeurs propres. 

II.C.3.b. Calcul non linéaire avec ABAQUS - méthode de longueur d'arc 

Pour les calculs non linéaires on a deux choix. Le premier est de réaliser un calcul non 

linéaire de la structure et de vérifier après la stabilité de chaque point de la branche d'équilibre 

ainsi obtenue. La seule différence est que le paramètre λ est défini sur le dernier incrément de 

charge : 

[ i ( i+ 

)] 

K + λ K = pour 

σ 1 

φ 0 ; φ ≠ 0 

(II.26) 

K i 

K σ(i+1) 

matrice raideur tangente à l'instant i 

matrice raideur géométrique de l'incrément de charge 

La solution de bifurcation est obtenue quand λ tend vers 0. 

La deuxième méthode est d'utiliser la méthode de pilotage en longueur d'arc (dans ABAQUS 

c'est la méthode de RIKS modifiée) qui nous permet de suivre la branche d'équilibre même 

pour les brusques changements de pente de la branche tels que les points de bifurcation. 

Nous pouvons écrire l'équation d'équilibre sous la forme : 

( ) () 

gp,λ = q p − λq 

(II.27) 

i 

ef 

avec : 

q i les forces internes fonctions des déplacements de la structure 

p les déplacements de la structure 

q ef le vecteur des forces extérieures fixé 

λ paramètre qui définit le niveau de charge. 

Définissons maintenant la longueur de la branche d'équilibre comme : 

s 

= ∫ ds 

(II.28) 

et l'élément de longueur est : 

T 

t 

ds = dp dp + dλ 2 ψ 

2 q q 

(II.29) 

ef 

ef


Le paramètre ψ est nécessaire pour que la contribution de la charge ne dépasse pas l'ordre de 

grandeur des déplacements. Si l'on introduit l'équation de la longueur d'arc dans l'équation 

d'équilibre on obtient : 

( ) () 

() = () −λ (II.30) 

gs q ps sq 

i 

ef 

Quand on remplace la forme différentielle de l'équation II.10 par sa forme incrémentale nous 

obtenons : 

T 

t 

( ψ 

ef ef ) 

a = ∆p ∆p+ ∆λ q q −∆l 

2 2 2 

(II.31) 

∆l est le rayon "fixé" de l'intersection avec la branche d'équilibre. L'idée de toutes les 

méthodes d'arc est que le paramètre de charge l devient variable. L'équation II.12 se rajoute 

aux équations d'équilibre qui peuvent être résolues par la méthode de NEWTON-RAPHSON. 

Pour introduire cette méthode, nous allons utiliser le développement en série de TAYLOR 

autour du dernier point convergé : 

g 

∂g 

g 

p p g 

= 

0 

+ + = K p− q = 0 

∂ δ ∂ 

δλ δ δλ (II.32) 

∂λ 

n T ef 

T 

2 T 

a = a + 2∆p δ p+ 2∆λδλψ 

q q = 0 

n 

0 

ef 

ef 

(II.33) 

⎛ δp⎞ 

⎡ KT 

−qef 

⎜ ⎟ =− 

T 

T 

⎝δλ⎠ 

⎢ 

2 

⎣2∆p 

2∆λψ 

qefq 

ef 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

−1 

⎛g0⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝a 

⎠ 

0 

(II.34) 

Le Jacobien ainsi obtenu n'est plus singulier, comme il l’est dans le cas de la matrice 

tangente. Il faut signaler que la matrice de raideur obtenue de cette façon n'est plus symétrique 

ni de bande réduite. 

Les équations II.32 et II.33 peuvent se mettre sous la forme : 

−1 

δp =− K g0 + q δλ 

(II.35) 

T 

ef 

T 

2 T a 

0 

∆p δp+ δλ( ∆λψ qefqef 

) = − 

2 

(II.36)


Finalement nous avons : 

δλ( ∆p0, ∆λ0) 

= 

a 

0 T −1 

− + ∆pK 0 T 

g0 

2 

T 

2 T 

∆p δp+ 

∆λψ q q 

ef 

ef 

(II.37) 

Cette méthode est connue comme la méthode linéarisée de longueur d'arc de RIKS. 

chargement λq 

∆λ1q 

∆λ2q 

(p,λ1q) 

(p,λ2q) 

∆λοq 

δpo 

δp1 

po 

∆p1 

∆p2 

déplacement 

Figure II.C.3 La méthode d'arc linéarisée (q=q ef ) 

II.C.3.c. Elément S8R5 

L'idée essentielle de ce type d'éléments est que les approximations des champs de 

déplacements u et des composantes de la normale n à la surface moyenne se font séparément. 

La cinématique de coques utilisée est celle de la théorie de KOITER-SANDERS [SAN63]. 

L'élément S8R5 est un élément à 8 noeuds (sérendip) dont les noeuds du milieu servent à 

imposer les contraintes de KIRCHOFF. Le principe de cette approche est double : 

• approximer les déplacements et les rotations séparément. 

• imposer les contraintes sur les termes de cisaillement (coques minces) au niveau local (par 

collocation) afin de réduire le nombre des paramètres nodaux. 

Les détails sur ce type de formulation dont le concept a été utilisé pour la première fois par 

WEMPNER, STRICKIN et DHATT peuvent se trouver dans [ZIE66].


II.C.3.d. Calcul des fréquences propres 

Pour les calculs des valeurs propres, ABAQUS néglige la matrice d’amortissement [C] dans 

l’équation classique : 

(-ω²[M] + ω [C] + [K]) {φ} = 0 

(II.38) 

Le code ABAQUS ne donne des solutions que dans le cas où le système a des valeurs 

propres réelles positives. 

La méthode des sous-espace, utilisant l’algorithme HOUSEHOLDER et Q-R pour les 

problèmes réduits est implémentée dans ABAQUS. 

II.C.3.e. Calculs dynamiques 

Lors des analyses en dynamique, ABAQUS offre plusieurs options pour les problèmes 

linéaires et non linéaires. 

Dans le cas de systèmes purement élastiques, les méthodes basées sur les modes propres du 

système (analyse de la réponse harmonique en régime établi, analyse spectrale, analyse 

modale, analyse de la réponse à un spectre de fréquences aléatoires) sont souvent choisies car 

elles sont plus rapides que les méthodes d’intégrations directes. 

Lorsque les problèmes ne sont pas fortement non linéaires, la méthode de projection modale 

basée sur l’utilisation des modes propres comme une série de fonctions de RITZ est utile. 

Dans notre cas, où des phénomènes fortement non linéaires entrent en jeu, nous réalisons 

une intégration temporelle directe de tous les degrés de liberté. Nous employons un schéma 

implicite (les valeurs à l’instant t+∆t sont calculées à partir de celles du temps t) utilisant un 

opérateur de différence centrée conditionnellement stable. La limite de stabilité est fixée par le 

temps de propagation d’une onde élastique à travers la plus petite dimension d’un élément du 

maillage. 

Le choix automatique de la taille de l’incrément dans les calculs dynamiques est basé sur le 

concept du calcul du résidu en force à la moitié du pas [HIB79]. L’idée est de calculer l’erreur 

résiduelle dans l’équation d’équilibre à des points intermédiaires (t+∆t/2) et d’évaluer l’erreur 

de la prédiction de la réponse par rapport à l’amplitude de cette erreur. Ce concept n’est 

valable que dans le cas d’une accélération variant linéairement avec le temps sur l’intervalle 

de temps (formule de NEWMARK). 

Le résidu R t+∆t/2 est défini comme l’amplitude du résidu nodal R N t+∆t/2 maximum, il permet 

de vérifier la précision de la solution pour un pas de temps donné. 

Si P représente l’amplitude des forces réelles dans un système élastique non amorti alors on 

peut comparer la valeur de R t+∆t/2 avec P : 

- si R t+∆t/2 ≈ 0.1*P la précision est très bonne. 

- si R t+∆t/2 ≈ P la précision est moyenne. 

- si R t+∆t/2 ≈ 10*P la précision est grossière. 

Suivant la précision obtenue, la taille de l’incrément est augmentée ou diminuée.

Chapitre III : Chargements statiques 91 

Chapitre 3 

CHARGEMENTS 

STATIQUES

Chapitre III : Chargements statiques 92

(C) B. Schauder '94-'96 


III. Chargements statiques : 

Dans le but d’avoir une base de comparaison pour les essais dynamiques des essais statiques 

sont réalisés. Ils permettent de valider les procédures d’essais et de recaler les codes de calculs 

sur les résultats expérimentaux. Le fait de tester une coque en statique n’empêche pas de 

l’utiliser pour les tests dynamiques puisque nous travaillons dans le domaine élastique. 

III.A. Essais statiques : 

III.A.1. Chargement monotone 

Lors d’un essai statique, après la mise en place de la coque sur son support, la première étape 

consiste à effectuer un relevé de la géométrie afin de mesurer l’amplitude des imperfections 

initiales. Nous mesurons les imperfections initiales à l’aide du système de relevé de géométrie 

(II.B.2.b). Nous effectuons une mesure par parallèles, nous prenons une mesure tous les deux 

millimètres (direction Z) et tous les deux degrés. Le choix d’une fabrication des coques par 

électrodéposition permet de limiter l’amplitude des défauts initiaux (figure III.A.1) par rapport 

à l’épaisseur de la coque et d’avoir uniquement des défauts en mode bas (figure III.A.2). 

En général nous avons un rapport A 0max /t < 1/20 (A 0max amplitude maximum du défaut), 

nous pouvons donc considérer que nous utilisons des coques de bonne qualité. 

COQUE : 

Date : 26.01.96 

Fichier : INI.GEO 

R [mm] : 125.000 

t [mm] : 0.280 

N [N] : 0.0 

T [N] : 0.0 

100 Microns 

Z [mm] 

120 

Interieur de la Coque 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

0 90 180 270 360 

Angle [degree] 

Figure III.A.III.A.1 Géométrie initiale 

La deuxième phase est l’accostage (mise en position du couvercle au-dessus de la coque) et 

la fixation du couvercle sur la coque. Des relevés de géométrie effectués après cette seconde 

phase indiquent que ces opérations n’engendrent pas de modification de la géométrie de la 

structure. 

La dernière étape avant la mise en charge de la coque est l’application de la charge de 

traction, une nouvelle mesure de la géométrie de la coque est alors réalisée. Cette charge de 

traction n’agit pas sur la géométrie de la coque.



[micron] 

Z = 60 

14.0 

12.0 

10.0 

8.0 

6.0 

4.0 

2.0 

0.0 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 [Mode] 

Figure III.A.2 Amplitude des différents modes (géométrie initiale) 

La coque est soumise à un déplacement imposé croissant jusqu’à obtenir le flambage, juste 

après avoir dépassé la charge critique (changement de la géométrie de la coque) nous réalisons 

un relevé de la géométrie post critique (figure III.A.3). 

Figure III.A.3 Isodéplacements géométrie post critique


Le mode de flambage se caractérise par 3 plis de chaque côté de la coque (à 90° par rapport à 

l’axe du chargement), ces plis sont inclinés de 20° par rapport à la verticale (figure III.A.4). 

L’amplitude de ces plis est de 700 µm au moment du changement de géométrie, 

l’accroissement de la charge contribue à augmenter l’amplitude des déformations post 

critiques. 

Figure III.A.4 Représentation 3D de la géométrie post critique 

En traçant les parallèles à différentes altitudes, nous remarquons la similitude entre tous les 

déformées et le décalage provenant du mode 1 (figure III.A.5 à III.A.7). 

[u [micron]] 

Z = 30 

200 

-0 

-200 

-400 

-600 

-800 

0 50 100 150 200 250 [Theta [degree]] 

Figure III.A.5 Parallèle Z = 30 mm, géométrie post critique



200 

[u [micron]] 

Z = 60 

0 

-200 

-400 

-600 

-800 

-1000 

-1200 


Figure III.A.6 Parallèle Z = 60 mm géométrie post critique 

[u [micron]] 

Z = 90 

200 

0 

-200 

-400 

-600 


Figure III.A.7 Parallèle Z = 90 mm géométrie post critique 

La décomposition en série de FOURIER des différentes parallèles donne les modes de 

flambage de la coque, dans notre cas nous avons un flambage multimodal avec une fenêtre 

comprenant les modes 10 à 21 (figure III.A.8 et III.A.9) en plus du mode 1.


[micron] 

Z = 30 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 


Figure III.III.A.8 Décomposition en série de FOURIER de la parallèle Z = 30 géométrie 

post critique 

[micron] 

Z = 62 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 


Figure III.A.9 Décomposition en série de FOURIER de la parallèle Z = 60 géométrie 

post critique 

En traçant différentes génératrices nous pouvons noter un mode axial en mode 1 dans les 

zones de grandes déformations (figures III.A.10 à III.A.13).




[u [micron]] 

Theta = 30 

100 

50 

0 

-50 

-100 

-150 

0 20 40 60 80 100 [Z [mm]] 

Figure III.III.A.10 Génératrice θ = 30° géométrie post critique 

200 

[u [micron]] 

Theta = 60 

150 

100 

50 

-0 

-50 

-100 

-150 

-200 

-250 

0 20 40 60 80 100 [Z [mm]] 

Figure III.III.A.11 Génératrice θ = 60° géométrie post critique




[u [micron]] 

Theta = 90 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

-20 

0 20 40 60 80 100 [Z [mm]] 

Figure III.A.12 Génératrice θ = 90° géométrie post critique 

[u [micron]] 

Theta = 120 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

0 20 40 60 80 100 [Z [mm]] 

Figure III.A.13 Génératrice θ = 120° géométrie post critique 

Après le flambage nous pouvons sentir de très faibles vibrations (créées par le système de 

mise en charge) au niveau des zones de grandes déformations. Ces vibrations ne sont pas 

perceptibles dans les autres zones de la coque, ceci résulte de la faible rigidité de membrane 

des zones déformées. 

Nous avons un flambage par bifurcation avec un comportement bilinéaire élastique et un 

post critique stable (figure III.A.14). La courbe charge/déplacement décrit bien le changement 

de géométrie de la coque, la raideur post critique est divisée par 10 après flambage.


La charge de bifurcation est en moyenne de 730 daN pour un déplacement de 150 µm (figure 

III.A.14), la variation de charges critiques entre les différentes coques provient de la 

différence d’épaisseur moyenne des coques (tableau III.A.1). Les formules de la littérature 

(voir I.B ), dans le cas d’un chargement de cisaillement, permettent de prendre en compte ces 

variations d’épaisseur. 

Coque C02 C03 C04 C07 C08 C09 

Charge (daN) 745 680 730 735 750 725 

Déplacement (µm) 153 144 150 150 155 155 

Epaisseur (µm) 263 260 265 265 270 270 

Contrainte (N/mm²) 72 66.6 70.1 70.6 70.7 68.3 

(F/PI*R*t) 

Contrainte YAMAKI 60.02 59.1 60.5 60.5 62.0 62.0 

(N/mm²) 

Contrainte TIMOSHENKO 

(N/mm²) 

60.7 59.8 61.3 61.3 62.7 62.7 

Tableau III.A.1 Comparaison charges et déplacements critiques 

1000 

900 

800 

700 

Force (daN) 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 

Déplacement ( µm) 

Figure III.III.A.14 Courbe charge/déplacement coque C02 

Nous pouvons également mieux comprendre l’effet du chargement de cisaillement en traçant 

l’évolution de la charge de traction (figure III.A.16) et du mouvement du couvercle en 

fonction du chargement de cisaillement (figure III.A.17).


850 

Charge vérin traction en daN 

840 

830 

820 

810 

800 

0 100 200 300 400 500 

Déplacement de la frette en µm 

Figure III.III.A.16 Evolution de la charge de traction en cours d’essai 

La charge de traction diminue jusqu’au moment du flambage (composante verticale créée 

par le déplacement de cisaillement) puis elle reste constante après le flambage. 

Déplacement vertical du couvercle (µm) 

30 

20 

10 

0 

0 100 200 300 400 500 

-10 

-20 

-30 

Déplacement horizontal de la frette en µm 

Kaman 1 

Kaman 4 

Figure III.III.A.17 Déplacement du couvercle au cours du chargement 

Le mouvement du couvercle, au cours du chargement, est une rotation autour de l’axe 

instrumenté avant flambage (créée par le déplacement de cisaillement) et un déplacement 

vertical (figure III.A.18) ensuite la position du couvercle n’évolue plus.


Déplacement vertical du mors en µm 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

0 100 200 300 400 500 


Figure III.A.18 Déplacement vertical du couvercle au cours du chargement 

Le déplacement à l’origine (4 µm) est causé par la charge de traction. 

Des essais avec une charge de traction variable, pour une même coque, nous permettent de 

quantifier l’influence de la charge de traction sur la charge critique. 

Charge de traction Déplacement (µm) Charge (daN) Contrainte (daN/mm²) 

(daN) 

820 155 755 6.8 

0 145 680 6.4 

Tableau III.A.2 Influence de la charge de traction sur la charge critique 

L’application d’un effort de traction augmente les charges critiques car la précontrainte de 

tension créée provoque une augmentation de la rigidité de la coque. Ceci est mis en évidence 

par les calculs paramétriques effectués avec le code INCA (III.B). 

Un chargement cyclique alterné est ensuite appliqué sur la coque, nous pouvons remarquer la 

symétrie de la courbe charge/déplacement par rapport à l’origine (figure III.A.19). La 

géométrie post critique correspondant à la position opposée est identique, seule le sens 

d’inclinaison des plis est inversé (mode 1).


800 

600 

400 

Charge (daN) 

200 

0 

-200 -100 0 100 200 

-200 

-400 

-600 

-800 

Déplacement (µm) 

Figure.III.A.19 Chargement direction opposée 

Figure.III.A.20 Géométrie post critique chargement dans la direction opposée




Nous effectuons un relevé de géométrie après avoir déconnecté la coque (charge nulle) afin 

de connaître l’amplitude des déformations résiduelles. Le défaut résiduel est localisé à la zone 

où les déformations de flambage sont importantes : de chaque côté de la coque et à 90° par 

rapport à la direction du chargement (figure III.A.21). 

COQUE : C04 

Date : 26.01.96 

Fichier : INB.GEO 

R [mm] : 125.000 

t [mm] : 0.280 

N [N] : 0.0 

T [N] : 0.0 

100 Microns 

Z [mm] 

120 


100 

80 

60 

40 

20 

0 

0 90 180 270 360 


Figure III.A.21 Géométrie 3D mesurée après essai (coque libre) 

La décomposition en série de FOURIER des différentes parallèles montre que le défaut 

résiduel correspond au mode de flambage (figure III.A.22). 

30.0 

[micron] 

Z = 60 

25.0 

20.0 

15.0 

10.0 

5.0 

0.0 


Figure III.A.22 Décomposition en série de FOURIER d’une parallèle Z = 60 après essai


III.A.2. Chargements cycliques alternés 

Après un premier cycle de chargement le passage de la géométrie précritique (mode 1) à la 

géométrie de flambage n’est plus aussi brutal, les plis se forment progressivement ce qui se 

traduit par un changement de rigidité moins nette (figure III.A.23) sur la courbe 

charge/déplacement. 

Les chargements cycliques alternés répétés (en dépassant la charge critique à chaque cycle) 

ne modifient pas la rigidité de la coque, il n’y a pas d’effet matériau global lors du flambage, 

nous avons une non linéarité géométrique. 

La plastification induite est très localisée, un relevé de la géométrie après plusieurs cycles 

montre un défaut résiduel identique au mode de flambage d’une amplitude moyenne de 20 µm 

(figure III.A.22) ce qui correspond à 1/10ème de l’épaisseur. C’est la présence de ce défaut 

résiduel qui explique le changement moins brutal d’une configuration géométrique à une autre 

lors des chargements cycliques. 

800 

600 

400 

Force sur la coque (daN) 

200 

0 

-300 -200 -100 0 100 200 300 

-200 

-400 

-600 

-800 

Déplacement de la frette (µm) 

Figure.III.A.23 Courbe charge/déplacement pour un chargement cyclique 

Après une série de chargements cycliques, il est intéressant de tourner la coque de 90° de 

manière à avoir une zone où les déformations de flambage se produiront sans défaut initial 

colinéaire au mode de flambage.


Nous obtenons une courbe charge/déplacement et une charge critique (755 daN pour un 

déplacement de 150 µm pour la coque C02) identiques à celles du premier essai. Le capteur 

laser permet de détecter la charge à partir de laquelle les grands déplacements apparaissent 

(figure III.A.24) ce qui correspond au début du flambage. Cet essai permet de confirmer la 

faible influence d’un défaut initial quelconque sur la réponse au flambage en cisaillement 

d’une coque. 

800 

600 

Charge cisaillement (daN) 

400 

200 

0 

-1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0 

-200 

-400 

-600 

Déplacement d'un point de la coque en µm 

-800 

Figure.III.A.24 Déplacement radial d’un point de la coque, chargement cyclique 

Accidentellement, une coque a été chargée jusqu’à 5 fois la charge de flambage, il en a 

résulté un défaut résiduel colinéaire au mode de flambage avec une amplitude égale à 3 fois 

l’épaisseur de la coque (figure III.A.25). 

L’influence d’un défaut initial colinéaire au mode de flambage, dans le cas d’un chargement 

de cisaillement (voir I.C), n’apparaît qu’à partir d’une amplitude du défaut très grande par 

rapport à l’épaisseur de la coque (A max > 3*t). 

Dans notre cas le comportement de la coque est différent : 

- dès le début du chargement la géométrie critique apparaît, les déformations initiales 

grossissent. 

- il n’y a pas de changement de géométrie (figure III.A.26).


Figure.III.A.25 Géométrie initiale coque avec défaut 

Figure.III.A.26 Géométrie en cours de chargement coque avec défaut


La courbe charge/déplacement montre une capacité portante de la coque beaucoup plus 

faible (figure III.A.26), la charge augmente très peu même pour de grands déplacements de la 

frette. 

800 

600 

400 

Force (daN) 

200 

0 

-300 -200 -100 0 100 200 300 400 

-200 

Essai (sans défaut) 

Essai (avec défaut) 

-400 

-600 

-800 


Figure III.A.26 Effet d’un défaut colinéaire au mode de flambage 

Des calculs Eléments Finis paramétriques effectués avec le code INCA (III.B.1) montrent 

bien l’influence de l’amplitude du défaut initial sur la courbe charge/déplacement.


III.B. Simulations Eléments Finis des essais statiques 

Des calculs Eléments Finis sont réalisés avec les codes INCA et ABAQUS dans le but de 

retrouver les résultats expérimentaux (charges critiques, modes de flambage, comportement 

post critique). 

III.B.1. Calculs INCA 

Pour les calculs statiques, la coque est maillée avec 20 éléments et nous représentons 

seulement la peau (non prise en compte des frettes et du couvercle). Nous avons 121 points 

d’intégration sur la circonférence. 

Les conditions limites sont : 

- un encastrement pour le noeud inférieur. 

- blocage du déplacement radial et circonférentiel en mode 0 et du déplacement axial et 

de la rotation sur le mode 1 pour le noeud supérieur. 

III.B.1.a Calculs linéaires 

Dans un premier temps des calculs linéaires élastiques permettent de définir les modes à 

prendre en compte lors du calcul et la charge critique correspondant à chaque base modale 

(tableau III.B.1). 

Base modale Charge critique (daN) Mode critique 

14-18 824 16 

13-19 780 16 

12-20 765 17 

12-22 756 17 

10-21 755 17 

Tableau III.B.1 Choix de la base modale 

Nous obtenons, dans le cas d’une coque parfaite, un flambage pour une charge de 755 daN 

correspondant à un déplacement de 150 µm. Le mode de flambage est une combinaison des 

modes 10 à 21 (figure III.B.1).


Figure.III.B.1 Déformée calcul linéaire (calcul de bifurcation) modes 10-21 

Figure.III.B.2 Déformée calcul de bifurcation modes 10-21 Vue de dessus 

III.B.1.b Calculs non linéaires : effet du défaut 

A partir de cette fenêtre modale (modes 10-21) un calcul incrémental non linéaire 

(géométrique et matériau) est réalisé (voir II.C) puis un calcul de bifurcation est effectué pour 

déterminer la charge critique. Il est cependant difficile de prévoir le comportement post 

critique de la coque si l’on ne tient pas compte d’un défaut initial car le code ne peut pas 

définir la branche d’équilibre après la bifurcation. Le choix du défaut initial à prendre en 

compte est très important, nous avons donc décidé d’injecter le mode de flambage obtenu lors 

du calcul linéaire comme défaut initial.


Des calculs paramétriques, en fonction de l’amplitude de ce défaut initial, sont réalisés afin 

d’étudier l’influence du défaut initial sur le comportement de la structure (figure III.B.3). Au 

cours de ces calculs incrémentaux non linéaires nous avons choisi une base modale réduite 

(modes 14-18) pour diminuer le temps de calcul, le comportement global de la coque n’étant 

pas modifié par ce choix. Néanmoins nous rappelons que les charges critiques obtenues avec 

une base modale réduite sont surestimées par rapport à celles calculées avec une base modale 

complète (tableau III.B.1). 

1200 

1000 

Charge (daN) 

800 

600 

400 

Défaut (20 µm) 


Défaut ( 280µm) 


Défaut nul 

Défaut (1mm) 


200 

0 

0 100 200 300 400 500 


Figure.III.B.3 Calculs non linéaires, effet de l’amplitude du défaut (base 14-18) 

L’amplitude du défaut est normée par rapport à l’amplitude maximum de la déformation de 

la coque. On peut remarquer la faible influence de ce défaut initial lorsque l’amplitude de ce 

défaut est inférieure à 1/10ème de l’épaisseur, la géométrie post-flambage (celle du défaut 

initial) est obtenue sans calcul de bifurcation (figure III.B.4). 

Figure.III.B.4 Calcul incrémental base modale (14-18) défaut 20 µm


En revanche pour les amplitudes supérieures la non linéarité géométrique apparaît dès le 

début du calcul, les déformations de flambage apparaissent rapidement et la capacité portante 

de la coque est diminuée. La déformée obtenue ne correspond plus au mode de flambage ou 

au défaut initial (figure III.B.5) à cause de l’effet de non linéarité important induit par 

l’amplitude importante du défaut initial. 

Figure.III.B.5 Déformée calcul incrémental défaut 280 µm 

Les comparaisons essais/calculs montrent une bonne correspondance pour ce qui concerne 

les modes de flambage, les charges critiques et la courbe charge/déplacement (figure III.B.6). 

Charge (daN) 

1200 

1000 

800 

600 

400 

200 

0 

-500 -400 -300 -200 -100 

-200 

0 100 200 300 400 500 

-400 

-600 

-800 

-1000 

-1200 



Sans défaut 

Courbe 

expérimentale 

Figure.III.B.6 Comparaison essai/calculs


III.B.1.c Effet de la charge de traction et de l’épaisseur 

Lors des essais nous avons remarqué l’influence de la charge de traction sur la charge 

critique, des calculs paramétriques permettent de retrouver cet effet. 

Les modes de flambage ne sont pas modifiés, seules les charges critiques sont différentes. 

Calcul 

Déplacement critique 

(µm) 

Charge critique 

(daN) 

Linéaire (ép. =270 µm) 134 759 

Linéaire (ép. = 274 µm, N= 870 daN) 153 874 

Linéaire (ép. 280µm, N= 870 daN) 153 894 

Nonlinéaire (ép. =270 µm) 135 760 

Nonlinéaire (ép. =270 µm, N= 870 daN) 155 865 

Tableau III.B.1 Calculs sans défaut : effet de l’épaisseur et de la charge de traction 

Une variation faible de l’épaisseur (6 µm) modifie de manière non négligeable la valeur de 

la charge critique (20 daN). De même l’application de la charge de traction de 870 daN 

augmente de plus de 10% la valeur de la charge critique (figure III.B.7). 

1000 

charge (daN) 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

Euler 

Euler (N = 870 daN) 

EULER ( 6 libre ) 

EULER ( 6 libre,N = 870 daN ) 

Euler (ép 274 µm, N = 870 daN ) 

Euler (ép 280 µm, N = 870 daN) 

NL Matériau & Géométrie 

NL Matériau & Géométrie (N = 870 daN) 

NL ( 6 libre, N = 870 daN ) 

NL ( 6 libre, N = 840 daN ) 

Essai 

300 

200 

100 

0 

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 

Déplacement (mm) 

Figure.III.B.7 Calculs INCA effet de la charge de traction et de l’épaisseur


III.B.2. Calculs ABAQUS 

Seule la surface moyenne de la coque est représentée, nous utilisons 1000 éléments S8R5 

(II.C) pour mailler la moitié de la coque (symétrie verticale). 

Avec le code ABAQUS il n’est pas nécessaire d’injecter un défaut initial pour obtenir la 

branche d’équilibre après bifurcation (II.C) car la technique de pilotage utilisée (méthode de 

RIKS) permet de trouver le chemin post critique (figure III.B.9). Les charges critiques 

obtenues lors de ces calculs sont très proches de celles provenant d’un calcul de flambage 

classique (tableau III.B.3). 

Le mode de flambage est identique à celui obtenu avec INCA (figure III.B.8). 

Calcul de flambage Calcul de RIKS 

élastique 

Charge (daN) 720 745 

Déplacement (µm) 145 150 

Tableau III.B.3 Comparaison résultats calculs ABAQUS 

Figure III.B.8 Calcul de flambage géométrie post critique 

Des calculs avec un défaut initial homothétique au mode de flambage permettent de 

retrouver l’effet du défaut sur la charge critique. 

L’influence d’un défaut initial de faible amplitude (moins de 20% de l’épaisseur), dans le cas 

d’un chargement de cisaillement, est très petite par rapport à un chargement en compression 

axiale ou un chargement en pression externe. Ceci est vrai même dans le cas d’un défaut 

homothétique au mode de flambage.


-100 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 

-200 

Charge (daN) 

-300 

-400 

-500 

-600 

-700 

-800 


Figure III.B.9 Courbe charge/déplacement calcul de RIKS 

La déformée obtenue lors des calculs de RIKS est identique à celle des calculs de flambage, 

nous pouvons le vérifier en traçant les isocontraintes (figure III.B.10). 

Figure.III.B.10 Isocontraintes calcul de RIKS


III.C. Conclusions sur les chargements statiques 

Les différents essais expérimentaux permettent de valider notre banc d’essais et nos choix 

concernant les dimensions de la coque. La coque montre une géométrie de flambage identique 

à celle des essais réalisés par GALLETLY [GAL85] avec des plis inclinés de chaque côté de 

la coque. Nous obtenons des résultats qui sont en parfaite adéquation avec ceux de la 

littérature (I.C), en particulier sur l’effet des défauts et de la charge de traction [KOK93], 

[MAT95], [MUR89]. 

Le comportement bilinéaire élastique avec un post critique stable, avec un flambage 

purement élastique, permet d’effectuer des chargements cycliques sans modifier la réponse de 

la coque (raideur, charge de bifurcation, capacité portante post critique). 

La simulation Eléménts Finis permet de retrouver les résultats expérimentaux de manière 

très précise en ce qui concerne les modes de flambage et les charges critiques (écart inférieur à 

2%) et ainsi de valider les deux codes de calcul pour l’étude des structures réelles. 

En outre, nous pouvons simuler le comportement post critique en injectant un défaut initial 

colinéaire au mode de flambage, cette procédure nous sera très utile lors des calculs 

dynamiques dans lesquels plusieurs cycles de chargement alterné seront simulés.

Chapitre IV : Chargements dynamiques 117 

Chapitre 4 

CHARGEMENTS 

DYNAMIQUES

Chapitre IV : Chargements dynamiques 118


IV. 

Chargements dynamiques 

La première partie de ce chapitre est consacrée à l’étude vibratoire de la coque afin de 

connaître ses fréquences propres et ses modes de vibration. Une étude numérique 

paramétrique nous a permis de déterminer l’évolution des modes de vibrations de la coque en 

fonction d’un défaut initial et d’une précontrainte. 

Le second paragraphe présente les résultats obtenus sur différentes coques et pour 

différents niveaux de chargements pour des chargements dynamiques. La comparaison des 

courbes charge/déplacement et des modes de déformation suivant la fréquence d ’excitation 

nous confirme l’existence d’instabilité dynamique de type résonance paramétrique. Les 

différentes simulations Eléments Finis des essais nous permettent, dans le cas de calculs en 

force imposée, de retrouver le comportement de la coque observé lors des essais et définir les 

zones d’instabilité en fonction du niveau de charge et de la fréquence d’excitation . 

Dans la dernière partie, nous analysons le comportement de la coque sous sollicitation 

dynamique et nous expliquons les différents phénomènes qui entraînent ce type de réponse de 

la structure. 

IV.A. Etude vibratoire de la structure 

Dans le but de représenter au mieux le comportement vibratoire de la coque, nous avons 

modélisé l’ensemble coque, frette, masses additionnelles. Outre l’étude de la coque parfaite 

nous avons calculé l’effet des défauts initiaux et d’une précontrainte sur la réponse vibratoire 

de la coque. 

En effet, après le premier chargement de flambage, un défaut résiduel colinéaire au mode 

de flambage existe et peut perturber les fréquences propres de la coque. Le dernier point, 

concernant l’effet d’une précharge de cisaillement, permet de vérifier si le chargement en 

cisaillement modifie les modes propres de la coque et les fréquences propres comme pour une 

coque raidie soumise à une charge de compression axiale [SIN91]. 

IV.A.1. Coque parfaite 

Pour calculer les fréquences propres de la coque nous avons modélisé la coque et le 

couvercle afin de tenir compte de la masse, non négligeable, qu’il représente au sommet de la 

coque. 

Avec INCA l’ensemble est maillé avec 31 éléments COMU et nous recherchons les modes 

de vibration axisymétriques et les modes de type coque. 

Avec ABAQUS nous utilisons 1750 éléments S8R5 pour représenter la moitié de 

l’ensemble coque-couvercle (symétrie horizontale) et nous recherchons les 30 premiers modes 

propres. 

Nous obtenons un premier mode poutre (figure IV.A.1) qui correspond à un mode de 

cisaillement, la fréquence de ce mode dépend de la masse située au sommet de la coque 

(couvercle). En tenant compte de la masse du couvercle et des masses additionnelles (38 kg) 

nous obtenons une première fréquence propre de 80 Hz.


Figure IV.A.1 Mode 1 axisymétrique de cisaillement (80 Hz) 

Les premiers modes supérieurs correspondent à des modes axisymétriques de torsion, de 

flexion... (figure IV.A.2) dont la fréquence est également fonction de la masse du couvercle. 

Les modes de type coque (figure IV.A.3, figure IV.A.4) ont des fréquences beaucoup plus 

élevées (à partir de 943 Hz) mais leur fréquence ne dépend pas de la masse du couvercle 

(tableau IV.1). 

Figure IV.A.2 Mode 2 axisymétrique : mode de torsion (188 Hz)


Figure IV.A.3 Premier mode de type coque (mode 14, 943 Hz) 

Figure IV.A.4 Mode de type coque (mode (2,15), 1464 Hz) 

Le calcul de la fréquence associée au champ de déplacement du mode de flambage statique 

donne une fréquence (1694 Hz) proche de celle du mode coque(2,20).


IV.A.2. Coque avec défaut 

Il nous a semblé intéressant de calculer les fréquences propres d’une coque avec un défaut 

géométrique initial car dans nos essais nous n’avons jamais une coque parfaite. Dans un 

premier temps nous avons tenu compte d’un défaut colinéaire au mode de flambage et 

d’amplitude variable (tableau IV.1). 

Nous pouvons remarquer que le défaut colinéaire au mode de flambage n’a pas beaucoup 

d’effet sur les fréquences propres des modes de type coque lorsque son amplitude est 

inférieure à l’épaisseur. Pour des amplitudes plus importantes les fréquences de ces modes 

augmentent très rapidement. En revanche les modes axisymétriques voient leur fréquence 

diminuer légèrement lorsque l’amplitude du défaut est supérieure à l’épaisseur de la coque. 

Les modes de type coque sont différents en présence d’un défaut (figures IV.A.5, IV.A.6) : 

- on remarque un couplage des différents modes liés au mode de flambage. 

- les déformations liées au défaut sont amplifiées lorsque l’amplitude du défaut 

augmente. 

Défaut 

(µm) 

Masse 

Masse couvercle 38 kg 

nulle 

0 0 20 100 200 300 500 1000 

Mode Type de 

mode 

1 231 80 80 79 78 77 74 67.1 Cisaillement 

2 433 188 188 188 188 187 187 184 Torsion 

3 587 473 473 473 473 473 473 473 Traction 

4 842 839 839 837 834 831 825 810 Flexion 

5 943 943 944 975 1035 1079 1125 1226 1 er Mode 14 





10 1503 1503 1497 1505 1519 1530 1602 1822 2 éme Mode 15 




14 1640 1640 1630 1842 1741 1830 2 éme Mode 18 

Tableau IV.1 Evolution des fréquences propres en fonction de l’amplitude du défaut 

initial


Figure IV.A.5 Mode 10 (mode (2,15), 1497 Hz) avec un défaut de 20 µm 

Figure IV.A.6 Mode 5 (mode 15, 1028 Hz) avec un défaut de 200 µm 

Dans notre cas il faudrait avoir un déplacement latéral 2 fois supérieur au déplacement 

critique pour obtenir des défauts d’amplitude suffisante pour modifier les fréquences de la 

coque.


Nous avons également calculé les fréquences propres de coques ayant un défaut 

circonférentiel axisymétrique particulier (mode 15 par exemple). Les fréquences propres ne 

baissent pas (figure IV.A.7) et les modes ne sont que très légèrement modifiés par ce type de 

défaut. 

2000 

Fréquence (Hz) 

1800 

1600 

1400 

1200 

1000 

800 

Défaut nul 

Défaut EULER (2e-6) 

Déaut mode15 (20e-6) 

Défaut mode 15 (200e-6) 

Défaut mode 18 (20e-6) 

Défaut mode (1,15) (20e-6) 




600 

400 

200 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

Modes 

Figure IV.A.7 Evolution des fréquences propres en fonction d’un défaut 

circonférentiel


IV.A.3. Coque soumise à une précharge 

Nous avons réalisé des calculs de fréquences propres en tenant compte d’un déplacement 

initial imposé de cisaillement au sommet de la coque. Ainsi nous étudions l’effet d’une 

contrainte initiale sur la réponse vibratoire de la structure. 

Ces calculs sont effectués avec le code ABAQUS et le code INCA, la première phase est 

un calcul statique incrémental non linéaire pour prendre en compte le déplacement imposé 

ensuite nous effectuons le calcul de vibration en tenant compte des contraintes imposées par le 

calcul incrémental. 

Nous constatons une chute des fréquences propres des modes de type coque au fur et à 

mesure que le déplacement imposé augmente, les modes axisymétriques ne sont pas affectés 

par cette précharge (figure IV.A.8). Lorsque le déplacement imposé devient proche du 

déplacement critique statique (90 %), nous constatons une modification des modes propres. 

Nous obtenons alors une combinaison entre le mode de vibration et le mode de flambage 

(figures IV.A.9 et IV.A.10). 

1600 

1400 

1200 

1000 

800 

Mode coque 1 

Mode (2,15) 

Mode 1 axisymétrique 

600 

400 

200 

0 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 

Figure IV.A.8 Evolution des fréquences propres en fonction du déplacement initial 

imposé 

Des essais et calculs réalisés par SINGER et al. [SIN91] ont montré, dans le cas d’une 

coque raidie soumise à une charge de compression axiale, la baisse de la fréquence propre de 

la structure lors de l’accroissement de la charge de compression. En traçant la courbe ω ² en 

fonction de la charge on trouve une droite, l’intersection entre cette droite et l’axe des 

abscisses ( ω ² ) correspond à la charge de flambage. 

Nous n’avons pas le même comportement dans notre cas car au lieu d’avoir une réponse 

sur un seul mode (coque raidie en compression axiale) nous avons une réponse multimodale 

(couplage de plusieurs harmoniques). En revanche nous retrouvons bien la chute des 

fréquences propres lorsque la charge de cisaillement augmente.


Les calculs pour un déplacement supérieur au déplacement critique statique donnent des 

résultats intéressants (figure IV.A.11) : 

- tous les modes ayant dépassé leur charge critique ont une fréquence nulle. 

- les autres modes voient leur fréquence propre qui diminue encore. 

Figure IV.A.9 Mode coque pour un déplacement imposé égal à 80% du déplacement 

critique statique 

Figure IV.A.10 Mode coque pour un déplacement imposé égal à 90% du déplacement 

critique statique


Figure IV.A.11 Mode 12 (729 Hz) pour un déplacement imposé égal à 120% du 

déplacement critique statique 

IV.A.4. Interaction entre une précharge et un défaut 

Les calculs, combinant un déplacement initial imposé et un défaut colinéaire au mode de 

flambage, montrent un effet prépondérant de la précharge (pour un défaut de l’ordre de celui 

obtenu en essai). 

L’atténuation de la chute de la fréquence des modes coques causée par le défaut est très 

faible. 

IV.A.5. Conclusions 

L’effet d’une précharge statique entraîne une baisse des fréquences des modes coques. A 

un niveau de charge proche du niveau critique, la fréquence du premier mode coque peut 

devenir inférieure à la fréquence du mode poutre (de type cisaillement) et le mode propre 

ressemble au mode de flambage statique.


IV.B. Résultats expérimentaux 

Lors des essais expérimentaux, nous réalisons une excitation sinusoïdale de la coque avec 

un balayage en fréquence entre 1 et 100 Hz. Nous fixons l’amplitude du déplacement imposé 

au sommet de la coque, le système étant piloté en déplacement (équation IV.1). 

u = u 0 sin( ω t) 

(IV.1) 

IV.B.1. Excitation vibratoire 

IV.B.1.a) Courbes charges/déplacements 

Dans ce cas, l’amplitude du déplacement imposé est de l’ordre de 0.1 fois le déplacement 

critique statique ( u 0 = 01 . u cr 

), de manière à avoir une réponse vibratoire de la coque. 

Nous enregistrons la charge à l’extrémité de la tige du vérin, au sommet de la coque, le 

déplacement imposé est mesuré au sommet de la coque (II.B). Nous utilisons également le 

capteur laser pour déterminer le déplacement radial d’un point de la coque au cours de l’essai 

vibratoire. 

Après chaque essai nous réalisons une analyse fréquentielle afin de déterminer l’évolution 

de chaque capteur au cours de l’essai. Nous constatons une chute régulière de la charge au 

niveau de la tige du vérin (figure IV.B.1), cette chute représente l’effet de la force d’inertie 

causée par la masse du système de chargement (II.B) et des masses additionnelles. La valeur 

importante pour les fréquences inférieures à 7 Hz est causée par la méthode de pilotage du 

vérin, l’amplitude du déplacement imposé est trop grande pour les basses fréquences (figure 

IV.B.3) ce qui entraîne une augmentation de la charge de cisaillement. 

Figure IV.B.1 Evolution de la charge au niveau de la tige du vérin en fonction de la 

fréquence d’excitation


En revanche, la charge mesurée au sommet de la coque (qui correspond à une mesure de la 

raideur de la coque) évolue différemment (figure IV.B.2) : 

- la force d’inertie n’influence pas l’effort appliqué à la coque (pas de chute régulière à 

partir de 40 Hz). 

- lorsque l’on approche de 70 Hz on constate une chute de cette force. 

- la charge augmente entre 75 et 80 Hz puis diminue entre 80 et 90 Hz et se stabilise. 

Figure IV.B.2 Evolution de la charge en fonction de la fréquence d’excitation 

Le déplacement imposé au sommet de la coque est resté constant durant l’essai (figure 

IV.B.3) alors que le déplacement radial d’un point situé à mi-hauteur de la coque et à 90° par 

rapport à l’axe de chargement (figure IV.B.4) s’accroît lorsque l’on approche de la fréquence 

de résonance (figure IV.B.5).


Figure IV.B.3 Déplacement imposé au sommet de la coque 

Capteur 

laser 

Frette 

Coque 

Direction du 

chargement 

Figure IV.B.4 Position du capteur laser durant les essais dynamiques


Figure IV.B.5 Evolution du déplacement radial en fonction de la fréquence 

d’excitation 

Nous avons tracé la fonction de transfert (rapport déplacement/force au sommet de la 

coque) en fonction de la fréquence d’excitation (figure IV.B.6). 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

X/F 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

0 15 30 45 60 75 90 105 


Figure IV.B.6 Fonction de transfert pour l’essai vibratoire 

L’augmentation du rapport X/F pour les fréquences supérieures à 70 Hz est consécutive à 

la proximité de la première fréquence propre de la coque, elle correspond à une résonance.


Nous pouvons tracer le signal temporel de chaque capteur ou la courbe charge/déplacement 

pour toutes les fréquences d’excitation. Pour les fréquences inférieures à 40 Hz, cette courbe 

est identique à celle des essais statiques (figures IV.B.7, IV.B.8). Pour les fréquences proches 

de 70 Hz nous remarquons un déphasage entre les signaux force et déplacement (figure 

IV.B.9). 

Figure IV.B.7 Courbe charge/déplacement : fréquence d’excitation 10 Hz. 

Figure IV.B.8 Courbe charge/déplacement : fréquence d’excitation 40 Hz


Figure IV.B.9 Courbe charge/déplacement : fréquence d’excitation 70 Hz. 

Pour les fréquences supérieures à 80 Hz, le déphasage disparaît mais la valeur de la force 

diminue (figure IV.B.10). 

Figure IV.B.10 Courbe charge/déplacement : fréquence d’excitation 80 Hz


D’autres essais vibratoires ont été réalisés, à chaque fois nous avons modifié la position du 

capteur laser afin de déterminer le mode propre expérimental de la coque. 

L’analyse fréquentielle du déplacement radial montre l’allure du déplacement radial pour 

les différentes positions circonférentielles (figure IV.B.11, IV.B.12, IV.B.13), l’amplitude 

moyenne varie suivant la position azimutale du capteur : plus il est proche de l’axe du 

chargement (angle 90°) et plus l’amplitude moyenne du déplacement radial augmente (mode 

1). 

En revanche, au-dessus de 40 Hz, l’effet de la fréquence d’excitation n’est pas toujours 

identique : 

- pour certaines positions angulaires (entre 40 et 140°, figures IV.B.11 et 12) le 

déplacement radial diminue entre 40 et 70 HZ puis augmente jusqu’à 80 Hz et se stabilise. 

- pour les positions proches de l’azimut 0 (± 40°, figure IV.B.13) qui correspondent 

aux zones de formation des cloques de flambage, l’amplitude du déplacement radial augmente 

légèrement pour les fréquences entre 40 Hz et 73 Hz, elle diminue pour les fréquences 

comprises entre 75 et 85 Hz et ensuite augmente pour les fréquences supérieures. 

Le mode de déformation du flambage, localisé sur une fenêtre angulaire, ne s’amplifie que 

pour les fréquences élevées. 

Figure IV.B.11 Analyse fréquentielle du déplacement radial en fonction de la position 

azimutale du capteur 

Au cours de tous ces essais, l’analyse fréquentielle des signaux force et déplacement au 

sommet de la coque donne les mêmes résultats que précédemment.



azimutale du capteur 


azimutale du capteur


IV.B.1.b) Visualisation des déformations 

La coque est soumise à un chargement de cisaillement sinusoïdal (piloté en déplacement) 

avec une faible amplitude (u 0 = 40 µm) : 

- en statique aucune déformation (autre que le déplacement en mode 1) n’est observée 

pour une telle amplitude. 

- pour chaque fréquence testée (1 à 100 Hz) nous n’avons pas une modification de la 

géométrie suffisamment importante pour qu’elle soit visible avec la caméra (voir figures 

IV.B.14 à IV.B.17). L’amplitude des déformations autres que celles du mode 1 est trop faible 

pour être perceptible avec la caméra, il serait nécessaire de disposer de plusieurs capteurs laser 

pour mesurer simultanément les déplacements radiaux en plusieurs points. 

Figure IV.B.14 Excitation f = 30 Hz 


Figure IV.B.16 Excitation f= 70 Hz 

Figure.IV.B.17 Excitation f = 80 Hz 

Aucun couplage de mode ne se produit pour ce niveau d’effort et seule la réponse 

vibratoire de la coque entraîne une baisse de la charge mesurée par l’axe instrumenté lorsque 

la fréquence d’excitation est voisine de la première fréquence propre de la coque.


IV.B.2. Essais avec des amplitudes de déplacement imposé croissantes 

Lors de ces essais nous fixons une amplitude du déplacement inférieure à celle du flambage 

statique, nous réalisons ensuite un balayage en fréquences similaire à celui des essais 

vibratoires. L’amplitude du déplacement imposé est augmentée à chaque fois de manière à 

obtenir une instabilité (de type flambage statique ou résonance paramétrique). 

Nous présentons ici seulement les courbes d’effort pour une amplitude du déplacement 

égale à 80 % du déplacement critique statique. 

L’analyse fréquentielle nous permet de constater une chute de la charge au sommet de la 

coque (figure IV.B.18) pour les mêmes fréquences que lors de l’essai vibratoire (73 Hz et audessus 

de 80 Hz). 

La valeur de la charge est très importante pour les fréquences inférieures à 7 Hz, ceci est 

provoqué par le pilotage du vérin. Pour les basses fréquences, le contrôle du déplacement est 

moins correct et l’amplitude du déplacement imposé à la coque (figure IV.B.19) est supérieure 

à celle des plus hautes fréquences ce qui entraîne un niveau de charge plus élevé sur la coque. 

Figure IV.B.18 Evolution de la force au sommet de la coque en fonction de la 

fréquence d’excitation 

Nous constatons également une augmentation très importante des déplacements radiaux 

(capteur situé à l’azimut 0°) lorsque nous approchons de 73 Hz et pour les fréquences 

supérieures à 80 Hz (figure IV.B.20).


Figure IV.B.19 Evolution du déplacement imposé en fonction de la fréquence 

d’excitation 

Figure IV.B.20 Evolution du déplacement radial en fonction de la fréquence 

d’excitation


Nous pouvons comparer les courbes charge/déplacement et déplacement 

radial/déplacement mode 1 pour un chargement statique (figure IV.B.21) et pour différentes 

fréquences d’excitation (figures IV.B.22 à IV.B.34). 

Figure IV.B.21 Charge et déplacement radial en fonction du déplacement imposé en 

mode 1 (essai statique) 

Figure IV.B.22 Charge/déplacement fréquence 1 -5 Hz


Figure IV.B.23 Courbe charge/déplacement 6-15 Hz 

Figure IV.B.24 Courbe charge/déplacement 16-30 Hz





Figure IV.B.27 Déphasage entre force et déplacement fréquence 68 Hz 




Figure IV.B.30 Déplacement radial/déplacement mode 1 fréquence 6-15 Hz


Figure IV.B.31 Déplacement radial/déplacement mode 1 fréquence 43 Hz 

Figure IV.B.32 Déplacement radial/déplacement mode 1 fréquence 67 Hz


Figure IV.B.33 Déplacement radial/déplacement mode 1 fréquence 71 Hz 

Figure IV.B.34 Déplacement radial/déplacement mode 1 fréquence 86 Hz


Nous pouvons noter un déphasage entre la force et le déplacement imposé pour les 

fréquences proches de 70 Hz (figure IV.B.27), ce déphasage est provoqué par la proximité de 

la première fréquence propre. 

Nous remarquons l’augmentation très importante du déplacement radial (facteur 5) pour les 

fréquences supérieures à 80 Hz ainsi que le changement d’allure de la courbe déplacement 

radial/déplacement mode 1. Ce changement peut être consécutif à une modification du mode 

de déformation ou à une amplification des déformations de la coque. 

La fonction de transfert (figure IV.B.35), pour cet essai, montre une allure similaire à celle 

de l’essai vibratoire (figure IV.B.6), néanmoins nous pouvons noter que le premier pic (73 

Hz) est beaucoup plus important que celui à 90 Hz. 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

X/F 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

0 15 30 45 60 75 90 105 


Figure IV.B.35 Fonction de transfert X/F 

La valeur moyenne du rapport X/F est plus faible que lors de l’essai vibratoire car le 

flambage entraîne un faible accroissement de charge pour un déplacement de cisaillement 

important (IV.A).


IV.B.2.a) Visualisation des déformations. Excitation avec une 

amplitude égale à 70 % de l’amplitude critique statique 

Le même essai est réalisé mais avec une amplitude de déplacement égale à 100 µm : 

- en statique, nous n’observons aucune déformation de la coque. 

- pour les fréquences inférieures à 70 Hz, nous n’avons pas de déformation détectée 

(figures IV.B.36 à IV.B.39). 

- pour les fréquences supérieures à 70 Hz nous constatons de petites déformations 

identiques à celles du mode de flambage (figures IV.B.40 à IV.B.43). 



Figure.IV.B.38 Excitation 60 Hz 

Figure.IV.B.39 Excitation 70 Hz






Par rapport à l’étude vibratoire, nous constatons bien que la valeur du déplacement imposé 

influence la réponse dynamique de la coque : pour les fréquences proches de 80 Hz (mode 1) 

l’amplitude des déformations augmente et le mode de flambage devient détectable.


IV.B.2.b) Excitation avec une amplitude égale à 90 % de l’amplitude 

critique statique 

Pour ce niveau de déplacement imposé, le mode de déformation évolue suivant la 

fréquence du chargement : 

- pour les fréquences inférieures à 70 Hz, pas de déformations autres que le mode 

poutre. 

- pour les fréquences comprises entre 70 et 80 Hz (figures IV.B.44 à IV.B.47), les 

déformations de la coque sont identiques à celles des essais de flambage statique. L’amplitude 

de ces déformations est importante et l’on peut distinguer les modes de flambage dans les 

deux directions de chargement (aller et retour). 

- pour les fréquences supérieures à 80 Hz, nous observons de grandes déformations 

mélange du mode de vibration et du mode de flambage. 


Figure.IV.B.45 Excitation f =70 Hz 


Figure .IV.B.47 Excitation f = 70 Hz




Nous pouvons distinguer le mode de flambage (figures IV.B.48 et V.B.49), ce mode 

apparaît lorsque l’amplitude atteint 90 % de l’amplitude critique statique. Ensuite des 

déformations, de grandes amplitudes, similaires à celles du mode de vibration de type coque 

se forment sur l’ensemble de la coque (figures IV.B.50 et IV.B.64). 




Figure.IV.B.53 Excitation f = 80 Hz




Figure.IV.B.56 Excitation f = 80 Hz Figure.IV.B.57 Excitation f = 80 Hz 

Les amplitudes des modes de déformations deviennent très importantes (plusieurs mm). 

Les plis sont visibles à l’oeil, même à cette fréquence de 80 Hz. 


Figure.IV.B.59 Excitation f =80 Hz


Figure .IV.B.60 Excitation f =80 Hz 

Figure IV.B.61 Excitation f =80 Hz 




Ces images montrent une déformation sur l’ensemble de la coque et non localisée dans les 

zones de flambage statique. L’amplitude importante des déformations explique la baisse de la 

charge mesurée lors de l’essai : la raideur de la coque devient très faible à cause de cette 

résonance paramétrique et du couplage entre modes de vibration et mode de flambage.



IV.B.3. Géométries après essais dynamiques 

Un relevé de la géométrie de la coque après l’ensemble des essais dynamiques permet de 

confirmer l’hypothèse d’une mise en résonance de la coque sur un mode élevé. La coque a été 

testée dans une seule position et le tracé de la géométrie 3D montre un mode circonférentiel 

généralisé (figure IV.B.65). Le mode de flambage statique est normalement beaucoup plus 

localisé sur les « côtés » de la coque. 

COQUE : C12 

Date : 24.04.97 

Fichier : POS1.GEO 

R [mm] : 125.000 

t [mm] : 0.280 

N [N] : 0.0 

T [N] : 0.0 

100 Microns 

Z [mm] 


100 

80 

60 

40 

20 

0 

0 90 180 270 360 


Figure IV.B.65 Géométrie 3D après essai 

L’étude des différentes parallèles (figures IV.B.66 à IV.B.69) montre un mode 

circonférentiel 14 sur l’ensemble de la coque (figures IV.B.68). Nous pouvons également 

remarquer une amplitude plus importante de ces plis en mode 14 dans les zones situées à 90° 

de l’axe de chargement. Ces plus grandes déformations correspondent aux plis obtenus lors 

des essais de flambage statique. 

L’amplitude maximum des ondes consécutives à la mise en résonance de la coque (mode 

14) est de l’ordre de 150 à 200 µm (parallèle Z =62), l’amplitude des ondes provoquées par le 

flambage statique est d’environ 450 µm (parallèle Z =62).




[u [micron]] 

Z = 30 

200 

100 

-0 

-100 

-200 

-300 

-400 

-500 


Figure IV.B.66 Parallèle Z =30 mm 

[u [micron]] 

Z = 62 

200 

100 

0 

-100 

-200 

-300 

-400 

-500 

-600 

-700 


Figure IV.B.67 Parallèle Z = 62 mm (milieu de la coque)




100 

[micron] 

Z = 62 

80 

60 

40 

20 

0 


Figure IV.B.68 Décomposition en série de FOURIER de la parallèle Z = 62 mm 

[u [micron]] 

Z = 90 

100 

0 

-100 

-200 

-300 

-400 

-500 

-600 


Figure IV.B.69 Parallèle Z= 90 mm 

Les déformations résiduelles consécutives à la mise en résonance de la coque sont donc 

inférieures ou égales à l’épaisseur de la coque (figure IV.B.70). Seules les déformations 

résiduelles provenant du flambage ont une amplitude supérieure à l’épaisseur de la coque; ceci 

à cause de la perte de stabilité de la coque lors de la résonance paramétrique.


Figure IV.B.70 Isovaleurs après essai dynamique


IV.C. Simulations numériques des essais dynamiques 

Pour simuler les essais dynamiques, nous avons réalisé des calculs incrémentaux éléments 

finis avec les codes INCA et ABAQUS en déplacement imposé et en force imposée. A chaque 

fois nous tenons compte d’un défaut initial d’une amplitude de 20 µm (issu d’un calcul de 

flambage élastique) afin de pouvoir détecter l’instant du flambage et effectuer plusieurs cycles 

de chargement. En outre nous pouvons ainsi simuler le comportement post critique de la 

coque. 

Dans les calculs INCA nous prenons un défaut issu d’un calcul de flambage avec une base 

modale réduite (14-18) et la base de réponse en déplacement comprend les mêmes 

harmoniques ainsi que leurs harmoniques doubles (0, 1, 14-18, 28-36). La base de réponse 

pour les contraintes est identique à celle des déplacements sauf qu’elle prend en compte les 

modes en sinus et en cosinus. Le maillage est identique à celui des calculs de vibration (IV.A) 

IV.C.1. Calculs en déplacement imposé 

Nous pouvons tracer la courbe réaction aux appuis en fonction du temps (figure IV.C.1). 

1000 

500 

Charge (daN) 

-500 

0 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 

-1000 

-1500 

Temps (sec) 

Figure.IV.C.1 Réaction aux appuis en fonction du temps calcul INCA déplacement 

imposé u r = 300µm fréquence 40 Hz 

Des oscillations, venant d’un bruit numérique, perturbent la réponse au niveau des 

réactions aux appuis mais le flambage pour une charge de 650 daN est bien marqué. Nous 

pouvons également noter la stabilité de la réponse au cours du temps (mis à part la pollution 

numérique). 

La courbe réaction aux appuis en fonction du déplacement en mode 1 (figures IV.C.2 et 

IV.C.3) montre que pour toutes les fréquences d’excitation nous obtenons le flambage lorsque 

le déplacement atteint le déplacement critique statique.


2500 

2000 

1500 

Charge (daN) 

1000 

500 

0 

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 

-500 

40 Hz 

80 Hz 

70 Hz 

100 Hz 

-1000 

-1500 


Figure.IV.C.2 Courbe réaction aux appuis/déplacement en fonction de la fréquence 

d’excitation calculs INCA en déplacement imposé u r = 300µm 

400 

200 

Charge (N) 

0 

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 

-200 

50 Hz 

40 Hz 

80 Hz 

70 Hz 

-400 

-600 

-800 


Figure.IV.C.3 Courbe réaction aux appuis/déplacement en fonction de la fréquence 

d’excitation calculs ABAQUS en déplacement imposé u r = 250µm


En regardant l’évolution des déformées au cours du calcul on retrouve les mêmes modes de 

flambage que lors des calculs statiques (figure IV.C.4). Néanmoins les cloques du flambage 

sont plus importantes et réparties sur une zone circonférentielle plus grande (figure IV.C.5) 

pour les fréquences supérieures à 70 Hz. 

Figure.IV.C.4 Isodéplacements calcul ABAQUS en déplacement imposé u r = 250µm 

fréquence 100 Hz 

Le problème des calculs en déplacement imposé est que l’on « contrôle » toujours la 

structure donc le chargement dynamique ne peut pas amplifier la réponse de la structure. En 

outre, nous connaissons seulement la réaction aux appuis pour calculer la force, cette réaction 

aux appuis ne correspond pas à la force mesurée lors de l’essai. 

Ces calculs permettent de conclure que l’instabilité est déclenchée lorsque l’on atteint un 

déplacement équivalent au déplacement critique statique.


Figure.IV.C.5 Isocontraintes calcul ABAQUS en déplacement imposé u r = 250µm 

fréquence 100 Hz


IV.C.2. Calculs en force imposée 

Dans ces calculs, nous imposons une force au sommet de la coque dans la direction du 

cisaillement et une fréquence sinusoïdale. Nous réalisons un calcul incrémental de manière à 

étudier la réponse de la coque durant plusieurs cycles de chargement. Nous pouvons 

distinguer trois types de réponses : 

- la coque a une réponse constante linéaire au cours du temps, le déplacement critique 

statique n’est pas atteint et la réponse n’évolue pas au cours des cycles (figure IV.C.6), dans 

ce cas la force imposée n’est pas suffisante pour obtenir le flambage de la coque. 

- la coque atteint rapidement le déplacement critique et nous avons flambage de la 

coque (figure IV.C.7), la force imposée est supérieure à la force minimale entraînant le 

flambage. 

- le mouvement de la coque s’amplifie à chaque cycle (figure IV.C.8) et au bout de 

plusieurs cycles le déplacement critique est atteint, la force imposée entraîne l’instabilité. 


0.1 

0.08 

0.06 

0.04 

0.02 

0 

-0.02 

-0.04 

-0.06 

-0.08 

-0.1 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

Temps (sec) 

Figure.IV.C.6 Courbe déplacement/temps INCA force imposée 65 daN fréquence 100 Hz


1000 

500 

Charge (daN) 

-500 

0 

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 

-1000 

-1500 

Temps (sec) 

Figure.IV.C.7 Courbe charge/temps INCA force imposée 225 daN fréquence 80 Hz 

800 

600 

400 

Charge (daN) 

200 

0 

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 

-200 

-400 

-600 

-800 

Temps 

Figure.IV.C.8 Charge en fonction du temps calcul INCA 80 Hz 

Nous pouvons tracer les courbes réaction aux appuis/déplacement pour toutes les 

fréquences et ce pour différents niveaux de charge imposée (figure IV.C.9 à IV.C.11)


1000 

Charge (daN) 

800 

600 

400 

200 

0 

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 

-200 

-400 

-600 

40 Hz (700 daN) 

80 Hz (700 daN) 

100 Hz (700daN) 

160 Hz (1200 daN) 

943 Hz (10555daN ) 

1600 Hz (10555 daN) 

70 Hz (700 daN) 

-800 

-1000 

-1200 


Figure.IV.C.9 Calculs INCA force imposée 

1000 

800 

Force (daN) 

600 

400 

200 

0 

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 

-200 

-400 

100 Hz (455 daN) 

100 Hz (65 daN) 

80 Hz (65 daN) 

40 Hz (440 daN) 

100 Hz (122 daN) 

160 Hz (1005 daN) 

160 Hz (703 daN) 

10 Hz (530 daN) 

-600 

-800 

-1000 


Figure.IV.C.10 Calculs INCA en force imposée


1200 

1000 

800 

600 

Charge (daN) 

400 

200 

0 

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 

-200 

100 Hz 450 daN 

60 Hz 500 daN 

70 Hz 400 daN 

80 Hz 400 daN 

80 Hz 225 daN 

-400 

-600 

-800 


Figure.IV.C.11 Courbes charge/déplacement calculs force imposée ABAQUS 

A partir de tous ces calculs, nous pouvons définir la force minimale nécessaire pour 

entraîner un déplacement supérieur au déplacement critique statique qui correspond au 

flambage de la coque et déclencher l’instabilité par flambage ou par couplage flambagevibration 

(figure IV.C.12). 

Charge imposée (daN) 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

0 20 40 60 80 100 120 140 160 


Figure.IV.C.12 Charge minimale pour obtenir l’instabilité calculs force imposée INCA


Cette courbe permet de connaître la charge critique en fonction de la fréquence d’excitation 

de manière similaire aux courbes des équations de MATHIEU. Cette courbe présente une 

allure similaire à celle de l’amplitude de la force au sommet de la coque en fonction de la 

fréquence d’excitation (figure IV.B.18). 

Les déformations obtenues (figure IV.C.13 à IV.C.17) sont un mélange du mode de 

flambage et du mode vibration de type coque. Un couplage entre ces deux modes provoque la 

perte de raideur de la coque. 

Figure.IV.C.13 Déformée calcul incrémental ABAQUS 80 Hz 

Figure.IV.C.14 Déformée calcul incrémental ABAQUS 80 Hz



Figure.IV.C.16 Déformée calcul incrémental ABAQUS 80 Hz



La première fréquence propre de la coque à 80 Hz entraîne une réponse similaire à celle 

d’un oscillateur simple : lorsque l’on approche de la fréquence propre une force très faible 

(1/10 ème de la charge critique statique) est suffisante pour provoquer de grands déplacements. 

La différence vient du fait que le mode excité ne correspond pas à celui de la fréquence propre 

(mode poutre) : nous sommes en présence d’une résonance paramétrique.


IV.D. Synthèse des résultats sur l’effet d’un chargement dynamique 

L’ensemble des essais et calculs réalisés sur les différentes coques permet de mettre en 

évidence une modification de la réponse en fonction de la charge appliquée et de la fréquence 

d’excitation de la structure. 

Pour un niveau de charge faible (10 % de la charge critique statique), nous obtenons 

toujours une réponse en mode poutre de la coque. Lorsque la fréquence d’excitation devient 

proche de la fréquence de ce mode ceci induit une petite baisse de la raideur (figure IV.B.6). 

Aucune déformation, autre que celle en mode poutre, n’est décelable par les moyens de 

mesure dont nous disposons. Néanmoins une petite amplification des déformations en mode 

poutre doit se créer. Le niveau de charge n’est pas suffisant pour entraîner un couplage des 

modes (figure IV.A.8). 

L’augmentation du niveau de charge (70 % de la charge critique statique) entraîne une 

modification de la réponse de la coque : 

- pour les basses fréquences (inférieures à 70 Hz) le même mode de déformation est 

observé et la raideur de la coque reste inchangée. La structure réagit toujours sur le mode 

poutre. 

- pour les fréquences proches de 80 Hz le mode de flambage apparaît et nous avons 

une baisse de la charge mesurée au sommet de la coque. A ce niveau de charge nous obtenons 

une instabilité de la coque à cause du couplage entre le mode de flambage et le mode de 

vibration. Ce couplage entraîne une perte de raideur de la coque et donc un flambage pour une 

charge ou un déplacement inférieur aux valeurs critiques statiques. 

Pour un niveau de charge encore plus élevée (90 % de la charge critique statique) nous 

observons le même phénomène mais cette fois le couplage entraîne une instabilité de type 

résonance paramétrique : l’excitation sur le mode poutre à 80 Hz provoque une mise en 

résonance sur le mode coque. De grandes déformations apparaissent en mode coque sur 

l’ensemble de la structure et la raideur de la coque devient presque nulle. 

L’instabilité et le type d’instabilité sont donc fonction de deux paramètres : 

- la fréquence d’excitation par rapport à la fréquence en mode poutre. 

- le niveau de charge appliqué. 

Le couplage entre modes de vibration et modes de flambage provoque une baisse de la 

charge critique ainsi qu’un changement de comportement post critique (stable instable). 

Les simulations Eléments Finis en force imposée permettent de retrouver cette zone 

d’instabilité autour de la première fréquence propre (figure IV.C.12). Le second point 

important mis en évidence par les calculs est l’amplification des déformations de la coque et 

la perte de contrôle du mouvement de la structure lorsque le couplage se produit.

Chapitre IV : Chargements dynamiques 169

Conclusions et perspectives 169 

Conclusions et perspectives 

Les coques minces, de type réservoir, soumises à un chargement sismique sont sensibles au 

flambage. Les règles de dimensionnement actuelles imposent de transformer les charges 

venant du séisme en efforts statiques équivalents et d’additionner ces forces aux chargements 

thermomécaniques statiques. Un calcul de flambage statique valide ensuite le 

dimensionnement de la coque. Cependant des interrogations subsistent concernant l’effet 

dynamique du chargement et la possibilité d’un couplage entre modes de vibration et mode de 

flambage. 

Une simulation du séisme par un chargement de cisaillement harmonique sur des coques 

minces nous a permis de répondre à ces questions. Une machine d’essais, spécialement 

conçue pour cette étude, impose un déplacement d’amplitude et de fréquence variable au 

sommet de la coque. Les spécimens testés sont des coques en nickel fabriquées par 

électrodéposition afin d’avoir des défauts géométriques initiaux négligeables. Le rapport 

rayon/épaisseur est de 450, le rapport hauteur/rayon est égal à 1, l’épaisseur est de 270 µm. 

Les essais statiques confirment la faible sensibilité des coques sous un chargement de 

cisaillement à un défaut initial géométrique, ils mettent également en évidence un flambage 

élastique avec un post critique stable. Cette non linéarité est essentiellement géométrique, la 

plasticité étant localisée au sommet des cloques de flambage. En tenant compte d’un défaut 

initial colinéaire au mode de flambage, même avec une amplitude inférieure à 5 % de 

l’épaisseur, les simulations éléments finis permettent de retrouver le comportement post 

critique stable de la coque. L’écart entre les charges critiques expérimentales et les charges 

critiques obtenues par calculs est inférieur à 5%. 

L’analyse vibratoire de la coque montre des fréquences propres de modes poutre et de modes 

coque très éloignées. Une analyse paramétrique sur l’effet d’un défaut initial colinéaire au 

mode de flambage indique la faible influence de ces défauts sur la réponse vibratoire de la 

coque. En revanche, une précharge de cisaillement modifie les modes et fréquences de type 

coque. Les modes de vibration deviennent similaires au mode de flambage; les fréquences 

associées à ces modes diminuant jusqu’à devenir inférieures aux fréquences des modes poutre 

lorsque la précharge de cisaillement atteint 97 % de la charge de flambage statique. 

Les essais dynamiques pour différents niveaux de charge et des fréquences d’excitation 

variables montrent une instabilité pour des charges inférieures à la charge critique statique. 

Cette instabilité, provoquée par le couplage des modes de vibration et du mode de flambage, 

est assimilable à une résonance paramétrique; elle se produit uniquement pour les fréquences 

voisines de la première fréquence propre de la coque (associée au mode de cisaillement). 

Les simulations éléments finis, réalisées avec les codes ABAQUS et INCA, permettent de 

retrouver cette instabilité lorsque l’on tient compte d’un défaut initial colinéaire au mode de 

flambage. Le couplage des modes de vibration et de flambage, retrouvé lors de ces 

simulations, entraîne une perte totale de stabilité et de grandes déformations. Les analyses 

numériques montrent également une large zone d’instabilité autour de la première fréquence 

propre ainsi que la nécessité d’appliquer une charge minimale pour entraîner la résonance 

paramétrique.

Conclusions et perspectives 170 

Cette recherche souligne la possibilité d’un couplage de modes de vibration et de flambage 

lors d’une excitation dynamique de cisaillement d’une coque mince. Ce phénomène doit être 

pris en compte lors du dimensionnement de la structure par la recherche de la zone 

d’instabilité en fonction des fréquences du séisme vis à vis des fréquences propres de la 

structure. 

Néanmoins, dans le cas d’un réservoir, la présence d’un liquide modifie les fréquences 

propres de la structure (baisse des fréquences à cause de la masse ajoutée). Les interactions 

fluide-structure, l’effet du sloshing doivent également être pris en compte. Des essais et 

calculs complémentaires, en présence de fluide, sont nécessaires pour permettre de connaître 

l’influence du fluide sur la détermination de la zone d’instabilité (de manière identique à la 

figure IV.C.12). 

L’utilisation de maquettes fait intervenir des facteurs d’échelle qui dissocient les fréquences 

de type poutre des fréquences de type coque tout en augmentant ces fréquences propres. Les 

effets des interactions fluide-structure et du sloshing sont également différents dans le cas de 

maquettes. Des simulations éléments finis des structures réelles, sans tenir compte de l’effet 

du fluide, permettraient de vérifier la possibilité d’un couplage des modes de vibration et de 

flambage. 

Un nouvel axe de recherche concerne le comportement de coques cylindriques dans le cas de 

chargements différents (compression axiale, traction-compression, flexion). Il serait 

intéressant de mener une analyse identique à celle que nous avons effectuée (étude vibratoire, 

flambage statique, instabilité dynamique) pour chaque sollicitation, en gardant à l’esprit que 

ces sollicitations sont plus sensibles à l’effet des imperfections géométriques. La recherche de 

l’existence (ou de l’absence) de couplage entre flambage et vibration pour ces différents 

chargements permettrait de mieux dimensionner les coques minces sous séismes et d’obtenir 

des règles applicables à toutes les coques minces. 

Un autre point restant à étudier concerne l'effet d'un flambage plastique. Le phénomène 

d’instabilité par couplage flambage-vibration est-il prépondérant par rapport à l’épuisement 

plastique du matériau ou la coque conserve-t-elle un comportement global identique à celui du 

flambage élastique. Ces essais peuvent facilement être menés sur la machine d’essais, il suffit 

de fabriquer des spécimens plus épais de manière à obtenir un flambage plastique.

Bibliographie 171 

BIBLIOGRAPHIE 

[ABR66] ABRAMSON H. N. 

The dynamic behavior of Liquids in Moving Containers. 

Washington : NASA, 1966, NASA SP-106 

[AIL83] AILLAUD P., A. COMBESCURE, J.L. BATOZ, J.P. BARTHELET 

Stabilité des coques minces. Interprétation des essais de flambage dynamique des 

coques minces hémisphèriques 

Saclay (Fr) : CEA, 1983, Note technique DEMT/SMTS/LAMS/83-31 ,10 p. 

[AIL83A] AILLAUD P., J. BROCHARD, A. COMBESCURE, J.C. QUEVAL, 

S. BOISLIVEAU, J. PORTE 

Stabilité des coques minces. Compte rendu des essais de flambage dynamique des 

cuves cylindriques n° 3 et 4 

Saclay (Fr) : CEA, 1983, Note technique DEMT/SMTS/LAMS/83-56 , 41 p. 

[AKI85] AKIYAMA H., SHIMIZU S., YUHARA T., MORISHITA M. 

Ultimate limit state of metal containment shell buckling under seismic loading. 

SMIRT8, Bruxelles, 1985, 7 p. 

[BER96] BERLIOZ A., DUFOUR R., DER HAGOPIAN J., DRAOUI R. 

Dynamic behavior of a drill-strin : experimental investigation of lateral instabilities. 

ASME, Journal of Sound and Acoustics, Vol. 118, July 1996, p. 292-298. 

[BUD62] BUDIANSKY B., ROTH R.S. 

Axisymmetric dynamic buckling of clamped shallow spherical shells. 

Washington : NASA, Collected papers on instability of shell structures, NASA TN D- 

1510, 1962 

[CHE80] CHEVALIER A. 

Guide du dessinateur industriel. 

Paris : Editions HACHETTE ,1980, 320 p. 

[CHE93] CHEIKH L. 

Flambage dynamique d’un anneau parfait soumis à une pression radiale 

sinusoïdale. 

Saclay (Fr) : CEA, 1993, Rapport DMT 93/313, 63 p. 

[CHI87] CHIBA M., TANI J. 

Experimental study on the dynamic stability of nuclear containment vessels under 

horizontal excitation. 

SMIRT9, Lausanne, 1987, Vol. K, p. 447-451 

[CLO82] CLOUGH R.W., NIWA A. 

Buckling of cylindrical liquid-storage tanks under earthquake loading. 

Earthquake engineering and structural dynamics, 1982, Vol. 10, p. 107-122


[COM89] COMBESCURE A. 

Buckling under time-dependent loads. 

Saclay (Fr) : CEA, 1989, Rapport DEMT/90-043, 4 p. 

[COM94] COMBESCURE A. 

Contribution à l’étude de la stabilité des coques minces sous chargements. 

complexes dans INCA. 

Saclay (Fr) : CEA, 1994, Rapport DMT/94-450, 122 p. 

[CRA83] CRANDALL S. H. 

The physical nature of rotor instability. 

in Rotor dynamical instability, M. L. ADAMS, ASME-AMD, 1983,Vol. 55, p. 1-18 

[EVE74] EVENSEN, D. A. 

Nonlinear vibrations of circular cylindrical shells. 

in Thin-shell Structures, Y C Eung and E E Sechler, Eds Englewood Cliifs (N J) 

Prenctice-Hall, 1974, p. 133-156 

[FAR31] FARADAY M. 

On a peculiar class of a acoustical figures and on certain forms assumed by a group 

of particules upon vibrating elastic surfaces. 

Phil Trans R. Soc London, 1831, vol. 121, p. 229-318 

[FUJ90] FUJITA K., ITO T., WADA H. 

Experimental study on the dynamic buckling of cylindrical shell due to seismic 

excitation. 

in Flow-Structure Vibration and Sloshing, New-York : ASME Pressure vessels and 

piping division Publication, Vol. 191, 1990, p. 31-36 

[GAL85] GALLETLY G.D., BLACHUT J. 

Plastic buckling of short vertical cylindrical shells subjected to horizontal edge 

shear loads. 

Journal of Pressure Vessel Technology, 1985, Vol. 107, p. 101-106 

[GIB88] GIBERT R.J. 

Vibrations des structures - Interactions avec les fluides, sources d’excitation 

aléatoires . 

Paris : Editions EYROLLES, 1988, 251 p. 

[HAG89] HAGIWARA Y., AKIYAMA H., KOKUBO K., SAWADA Y. 

Post buckling behavior during earthquakes and seismic margin of FBR main 

vessels. 

ASME, PVP, 1989, Vol. 175, p. 101-106 

[HAG93] HAGIWARA Y., AKIYAMA H., KAWAMOTO Y., NAKAGAWA M. 

Dynamic buckling and Nonlinear Response of Fast Breeder Reactor Main Vessels 

under Earthquake Loading. 

JSME International Journal, Series B, 1993, Vol. 36, p. 476-48


[HIB95] HIBBIT & KARLSSON & SORENSEN 

Abaqus 5.4 Theory manual and user’s manual. 

Providence : Hibbit Karlsson and Sorensen Inc, 1995, 556 p. 

[HOF54] HOFF N.J., BRUCE V.C. 

Dynamic analysis of the buckling of laterally loaded flat arches. 

J. Math. Phys., 1954, N° 32, p. 276-288 

[KOI66] KOITER W. T. 

General equations of elastic stability for thin shells. 

Proc. Symp. on the Theory of Shells, Donnell Anniversary volume, University of 

HOUSTON, 1966, p. 187-227 


An consistent first approximation in general theory of buckling of structures. 

IUTAM Symposium, Harvard University, June 1974, p. 133-147 


The application of the initial post-buckling analysis to the shells. 

Buckling of shells, A state of the art Colloquium, Institute fûr Baustatik, Univ. 

Stuttgart, Stuttgart, 1982, Vol. 1, p. 1-15 

[KOK87] KOKUBO K., NAKAMURA N., MADOKORO M.., SAKURAI A. 

Buckling behaviors of short cylindrical shells under dynamic loads. 

SMIRT 9, Lausanne, Vol. E, 1987, p. 167-172 

[KOK93] KOKUBO K., NAGASHIMA H., TAKAYANAGI M., MOCHIZUKI A. 

Analysis of shear buckling of cylindrical shells. 

JSME International Journal Series A, 1995, Vol. 153, p. 305-317 

[KOK95] KOKUBO K., MATSUURA S., NAKAMURA H., OGISI S., 

OHTSUBO H. 

Shear-bending buckling analyses of fast breeder reactor main vessels. 

Nuclear Engineering and Design, 1993, Vol. 36, n° 3, p. 259-266 

[LIM86] LIMAM A. 

Flambage de coques minces cylindriques. 

Villeurbanne : INSA URGC Structures, 1986, p. 1-56, Rapport de stage C.E.A. 

[LIU90] LIU W.K., URAS R.A. 

Dynamic buckling of liquid-filled shells under horizontal excitation. 

Journal of sound and vibration, 1990, N° 141, p. 389-408 

[LUN35] LUNDQUIST E.E. 

Strength tests of thin-walled duralumin cylinders in combined transverse shear and 

bending. 

Washington : NASA, 1935NACA Technical note N° 523 

[MAT95] MATSUURA S., NAKAMURA H., KAWAMOTO Y., MURAKAMI T., 

OGISO S., AKIYAMA H.


Shear-bending buckling strength of FBR main vessels. 

SMIRT13, Porto Alegre, 1995, Vol. E, p. 457-462 

[MIC94] G. MICHEL, J.F. JULLIEN, A. LIMAM 

Rapport de faisabilité d’un essai de flambage dynamique d’une coque cylindrique 

soumise à un chargement horizontal cyclique de courte durée. 

Villeurbanne : INSA URGC Structures, 1994, 61 p., Rapport IN-OR 201 1137001, 

[MUR89] MURAKAMI T., YOGUCHI H., HIRAYAMA H., SAWADA Y., 

NAKAMURA H 

Buckling of short cylinders with elliptical head and core support structure under 

transverse shearing loads. 

SMIRT10, Anaheim, 1989, p. 223-228 

[MUR91] MURAKAMI T., YOGUCHI H., HIRAYAMA H., MATSUURA S., 

NAKAMURA H 

Static and dynamic buckling characteristics of imperfect cylindrical shells under 


Buckling of shell structures on land in the sea and in the air, Edited by J.F. JULLIEN, 

Londres : ELSEVIER APPLIED SCIENCES, 1991, p. 391-400 

[NAK87] NAKAMURA H., MATSUURA S., SAKURAI A. 

Plastic buckling of short cylinders with axial temperature distribution under 


SMIRT9, Lausanne, 1987,p. 219-224 

[OHA92] OHAYON R., MORAND H.J.-P. 

Interactions fluides-structures.. 

Recherches en Mathématiques Appliquées, RMA N° 23, Paris : Editions MASSON, 

1992, 212 p. 

[OST82] OSTIGUY G., NGUYEN H. 

Dynamic stability and resonance of rectangular plates. 

Mécanique Matériaux Electricité, Octobre/Novembre 1982, N° 394-395, p. 465-471 

[PIG90] PIGNATARO M., RIZZI N., LUONGO A. 

Stability, Bifurcation and post-critical behavior of elastic structures. 

Amsterdam : editions Elsevier, 1991, 358 p. 

[RAV92] RAVINGER J. 

Dynamic post-buckling behaviour of plate girders. 

J. Construct. Steel Research, 1992, N° 21, p. 175-194 

[SAN63] SANDERS J.L. 

Nonlinear theory for thin shells. 

Quarty of applied mathematics, J. Struc. Eng. 1963, Vol. 5, P. 163-180 

[SHI87] SHIH C.F., BABCOCK C.D. 

Buckling of oil storage tanks in SSPL tank farm during the 1979 Imperial Valley 

earthquake.


Journal of Pressure Vessel Technology, May 1987, Vol. 109, p. 249-255 

[SIM65] SIMITSES G.J. 

Dynamic snap-though buckling of low arches and shallow spherical caps. 

PhD dissertation, Dept of Aeronaut and Astronaut, Standford Univ., June 1965, 335 p. 

[SIM87] SIMITSES G.J. 

Instability of dynamically-loaded structures. 

Appl. Mech. Rev., 1987, Vol. 40, N° 10, p. 1403-1408 

[SIN91] SINGER J., WELLER T., ABRAMOVICH H. 

The influence of initial imperfections on the buckling of stiffened cylindrical shells 

under combined loading. 

Buckling of shell structures, on land, in the sea and in the air, Edited by J.F. 

JULLIEN, Londres : ELSEVIER APPLIED SCIENCE, 1991, p. 1-10 

[YAO63] YAO J.C. 

Dynamic stability of cylindrical shells under static and periodic axial and radial 

load. 

AIAA J. ,1963, Vol. 1, p. 1391-1396 

[YAO65] YAO J.C. 

Nonlinear .elastic buckling and parametric excitation of a cylinder under axial 

loads. 

J. Appl. Mech., 1965, N° 32, p. 109-115 

[ZIE66] ZIENKIEWICZ O.C. 

The finite element method .in Engineering Science 

Londres : McGraw-Hill, 1971, 521 p.

Bibliographie 176

Annexes 177 

Annexes

Annexes 178

Annexes 179 

Annexe 1 

Figure 1 Dessin du servo-vérin 

Figure 2 Schéma hydraulique du servo-vérin

Annexes 180 

φ170 

φ155 

Figure 3 Réglage de l’alignement du servo-vérin par rapport à la coque 

115 

330 

φ50 

20 

35 

10 

70 

185 

210 

Figure 4 Description du montage mécanique assurant la translation du capteur laser

Annexes 181 

Annexe 2 

Courbe charge-déplacement 

800 

600 

400 

Force sur la coque en daN 

200 

0 

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 300 

-200 

-400 

-600 

-800 


Figure 5 Courbe charge axe instrumenté/déplacement Coque C04 chargement cyclique 

1000 

800 

600 

400 


200 

0 

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 

-200 

-400 

-600 

-800 


Figure 6 Courbe charge/déplacement Coque C07

Annexes 182 

Déplacement du mors supérieur au cours du chargement 

60 

50 

40 

30 

Déplacement vertical du mors en µm 

20 

10 

0 

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 

-10 

-20 

Kaman 1 

Kaman 4 

-30 

-40 

-50 


Figure 7 Effet de la modification de la charge de traction en cours d’essai Coque C07 

Déplacement d'un point de la coque en fonction du chargement de cisaillement 

800 

600 

400 

Chargement cisaillement 

200 

0 

-50 0 50 100 150 200 250 300 

-200 

-400 

-600 

-800 


Figure 8 Déplacement radial d’un point Coque C07

Annexes 183 

Déplacement d'un point de la coque en fonction du chargement de cisaillement 

900 

700 

500 

300 

Chargement cisaillement 

-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 

-100 

100 

-300 

-500 

-700 


-900 

Figure 9 Déplacement radial d’un point en fonction de la charge de cisaillement. Autre 

test de chargement (autre point de mesure) Coque C07 

800 

600 

400 

200 


0 

-250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 250 

-200 

-400 

-600 

-800 

-1000 


Figure 10 Courbe charge/déplacement Coque C10

Annexes 184 

-10.0 

[u [micron]] 

Z = 60 

-20.0 

-30.0 

-40.0 

-50.0 

-60.0 


Figure 11 Géométrie initiale Parallèle Z = 60 mm Coque C07 

COQUE : C07 

Date : 03.05.96 

Fichier : POST.GEO 

R [mm] : 125.000 

t [mm] : 0.270 

N [N] : 0.0 

T [N] : 0.0 

100 Microns 

Z [mm] 

110 


90 

70 

50 

30 

10 

0 90 180 270 360 


Figure 12 Déformation résiduelle après flambage Coque C07

Annexes 185 

[u [micron]] 

Z = 60 

-60 

-80 

-100 

-120 

-140 


Figure 13 Déformation résiduelle Parallèle Z = 60 mm Coque C07 

[micron] 

Z = 60 

18.0 

16.0 

14.0 

12.0 

10.0 

8.0 

6.0 

4.0 

2.0 

0.0 


Figure 14 Déformation résiduelle Décomposition en séries de FOURIER 

Parallèle Z = 60 mm Coque C07

Annexes 186

G - Thèses de l'INSA de Lyon

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