Systèmes dynamiques et incertitudes - Thèses de l'INSA de Lyon

N˚d’ordre : XXXXX
Département Génie Civil et Bâtiment, URA 1652
École doctorale MEGA
Systèmes dynamiques et incertitudes
THÈSE
présentée et soutenue publiquement le 12 mars 2009
pour l’obtention du
Doctorat de l’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
(spécialité Génie Civil)
par
Franziska Schmidt
Composition du jury
Président :
Rapporteurs :
DUFOUR Régis, Professeur à l’INSA de Lyon,
ARGOUL Pierre, HDR à l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées,
COCHELIN Bruno, Professeur à l’Ecole Centrale de Marseille,
Examinateurs :
Directeur de thèse :
BERLIOZ Alain, Professeur à l’Université de Toulouse,
THOUVEREZ Fabrice, Professeur à l’Ecole Centrale de Lyon,
LAMARQUE Claude-Henri, Docteur HDR à l’ENTPE.
Laboratoire GéoMatériaux — École Nationale des Travaux Publics de l’État, Université Lyon, France

Résumé
Les structures de génie civil présentent souvent des incertitudes, qui peuvent être de différentes
origines et de différentes formes. Nous abordons dans cette thèse quelques aspects de ces
incertitudes.
Tout d’abord, nous étudions l’influence de conditions initiales et de paramètres incertains
dans les mouvements non réguliers. Ceci passe par la définition d’une matrice de variation
tangente. Cette étude est appliquée à quelques cas particuliers, dont la chute de blocs le long
d’une pente et un oscillateur linéaire à impacts.
Ensuite, l’impact d’une sollicitation incertaine sous forme de bruit blanc est étudié à l’aide
de l’équation de Fokker-Planck. Celle-ci est résolue de façon numérique avec la méthode des
différences finies afin d’obtenir la densité de probabilité des états du système. En particulier,
cela est réalisé pour les oscillateurs linéaire, de Duffing, avec friction et le système dynamique
du pompage énergétique.
Une troisième partie se consacre à l’étude des exposants de Lyapunov. Dans un premier
temps, nous les étudions en temps fini. En effet, ils dépendent alors du temps, des conditions
initiales, de l’espace, de la divergence initiale... et ils peuvent alors être différents de leur valeur à
l’infini. Ensuite, nous testons une méthode innovante pour calculer ces exposants, en utilisant la
matrice de divergence. Elle est appliquée à divers systèmes dynamiques, ce qui permet d’évaluer
son efficacité.
Finalement, l’incertitude sur la loi de comportement est étudiée pour le système dynamique
du pompage énergétique. Diverses lois de comportement, élastiques, élastoplastiques parfaits
et élastoplastiques avec endommagement, sont appliquées et la robustesse du phénomène de
transfert d’énergie est estimée.
Mots-clés: Incertitudes, non-régulier, Fokker-Planck, Lyapunov, pompage énergétique.
Abstract
Civil Engineering structures often undergo uncertainties, which can come from different
sources and which can be of different natures. In this PhD thesis, we deal with some shapes of
these uncertainties.
First, we study the consequence of uncertain initial conditions and uncertain parameters in
the motions of non smooth dynamical systems. This is done by means of an indicator of tangent
variation. This study is applied to some special examples, among others the fall of a rock on a
slope of constant angle and a linear oscillator with impacts.
Then, the impact of an unknown forcing, modelled by a white noise, is studied by means of
the Fokker-Planck equation. This one is solved numerically with the finite differences method
i

to obtain the probability density function of the states of the system. Particularly, this is done
for the linear oscillator, the oscillator of Duffing, with friction and a dynamical system leading
to energy pumping.
A third part deals with the study of Lyapunov exponents. In a first chapter, they are calculated
in finite time. In that case, they depend on time, on initial conditions, on space, on
initial divergence ... and they can be different from their value in infinite time. Then, we test an
innovative method for calculating these exponents using the evolution matrix of the system. It
is applied to different dynamical systems, which makes it possible to assess its efficiency.
Finally, uncertainty on behavior of structures is studied in the case of a system leading
to energy transfer. Different behaviors are studied, among which elastic, exact elastoplastic,
elastoplastic with damage and robustness of the phenomenon of energy transfer is assessed.
Keywords: Uncertainty, non smooth, Fokker-Planck, Lyapunov, energy pumping.
ii

Table des matières
Introduction générale
xi
Partie I Application linéaire tangente pour systèmes non réguliers 1
Introduction
Chapitre 1
Jacobienne généralisée pour les systèmes dynamiques non réguliers
1.1 Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Explication générale du calcul de cette jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Seules les positions et vitesses initiales sont incertaines . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Dans le cas général : les conditions initiales et les paramètres sont incertains 15
Chapitre 2
Oscillateur linéaire à impact : problème de la bifurcation par effleurement
2.1 Définition de cet oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Calcul de la pseudo-jacobienne de cet oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Schéma de l’oscillateur linéaire avec impacts étudié et résultats numériques
obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chapitre 3
Problème du billard
3.1 Le problème complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Le problème étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iii

Table des matières
3.3 Comparaison entre divergences exacte et approchée . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapitre 4
Chute d’un bloc
4.1 Théories existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.1 Mise en oeuvre pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.2 Les différentes phases du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.3 Les modélisations les plus importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Les vitesses et positions initiales sont incertaines . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Les conditions initiales, le temps initial et les paramètres sont incertains . . . 41
4.3.1 Modélisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.2 Majoration de la divergence de trajectoire en fonction des divers paramètres
du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Application concrète de ces résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Avec le phénomène de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Prise en compte de la forme physique du bloc et de la rotation de celui-ci au
cours du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Conclusion
Partie II Etude de l’équation de Fokker-Planck 57
Introduction
Chapitre 1
Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
1.1 La théorie de l’équation de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.2 Fokker-Planck pour systèmes à un ddl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.2.1 Oscillateur de type Duffing sans sollicitation extérieure . . . . . . . . 68
1.2.2 Oscillateur de type Duffing avec sollicitation extérieure . . . . . . . . 72
1.3 Résolution par différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.3.1 Différenciation par directions alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
iv

1.3.2 Recherche de schémas stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.3.3 Discrétisation du problème selon ces schémas . . . . . . . . . . . . . . 87
1.3.4 Avec seulement deux directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.3.5 Avec des conditions aux bords non nulles . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.3.6 Validation du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Chapitre 2
Systèmes à un degré de liberté
2.1 Systèmes dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.2 Cas de l’oscillateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3 Cas de l’oscillateur de type Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3.1 Comparaison avec les résultats de Kunert et Pfeiffer, [60] . . . . . . . 115
2.3.2 Autres résultats connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.4 Systèmes paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4.1 Discrétisation utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4.2 Recherche de bassins d’attraction et d’attracteurs chaotiques . . . . . 127
2.5 Systèmes avec friction de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5.1 Résultats déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5.2 Equation de Fokker-Planck pour problèmes non réguliers . . . . . . . 131
2.5.3 Equation de Fokker-Planck du problème . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.5.4 Résultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.6 Loi de comportement élasto-plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.6.1 Problème étudié et équation de Fokker-Planck correspondante . . . . 136
2.6.2 Résultats théoriques sur le système dynamique avec loi de comportement142
2.6.3 Résultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Chapitre 3
Contrôle passif de structures : pompage énergétique
3.1 Principe et principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1 Etude de l’évolution au cours du temps de l’énergie des deux oscillateurs150
3.1.2 Développement de Van Kampen ([110], [114]) . . . . . . . . . . . . . 154
3.2 Prise en compte de l’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
v

Table des matières
3.3 Ecriture de l’équation de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.3.1 Dans le cas non sollicité, mais avec deux bruits blancs non corrélés . . 156
3.3.2 Pour deux bruits blancs corrélés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.3.3 Pour des bruits colorés et corrélés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.4 Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.4.1 Application de la méthode des directions alternées pour cette équation
aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.5 Comparaison avec des simulations de type Monte Carlo . . . . . . . . . . . . 160
3.5.1 Méthodologie des simulations de type Monte Carlo . . . . . . . . . . 161
3.5.2 Comparaison des moments du système dynamique calculés avec Monte
Carlo avec ceux obtenus avec l’équation de Fokker-Planck . . . . . . . 163
3.5.3 Résultats de la comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.6 Simulations du pompage énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Conclusion
Partie III Etude sur les exposants de Lyapunov 185
Introduction
Chapitre 1
Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
1.2 Systèmes à un degré de liberté, du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . 196
1.2.1 Etude des exposants de Lyapunov à court terme . . . . . . . . . . . . 196
1.2.2 Pour l’oscillateur de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
1.2.3 Pour l’oscillateur de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
1.3 Systèmes à trois degrés de liberté, du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 209
1.3.1 Etude théorique des exposants à court terme . . . . . . . . . . . . . . 210
1.3.2 Pour le système de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
1.4 Pour le système du pompage énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
1.5 Recherche de pseudo-exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs . . . . . . . 219
vi

1.5.1 Explication des exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs . . . . . . 219
1.5.2 Application à l’oscillateur de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
1.5.3 Application au système dynamique de Van Der Pol . . . . . . . . . . 224
1.5.4 Application au système de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Chapitre 2
Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
2.1 Développements théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
2.1.1 Dérivées de la matrice d’évolution par rapport aux paramètres . . . . 230
2.1.2 Solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
2.1.3 Les exposants de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
2.2 Applications et calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
2.2.1 Cas d’un oscillateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
2.2.2 Oscillateur de type Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
2.2.3 Système pseudo-périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2.2.4 Attracteur de Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Conclusion
Partie IV
Etude du pompage énergétique dans un système à deux degrés
de liberté avec loi de comportement élasto-plastique 265
Introduction
Chapitre 1
Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
1.1 Présentation des systèmes étudiés dans le cas non sollicité . . . . . . . . . . . 272
1.1.1 Système dynamique sans incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
1.1.2 Système dynamique avec incertitudes : Avec un seul élément de Saint-
Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
vii

Table des matières
1.1.3 Système dynamique avec incertitudes : Avec N éléments de Saint-Venant279
1.2 Présentation des systèmes étudiés dans le cas sollicité . . . . . . . . . . . . . 282
1.3 Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
1.3.1 Sans sollicitation et avec un seul élément de Saint-Venant . . . . . . . 288
1.3.2 Sans sollicitation et avec plusieurs éléments de Saint-Venant . . . . . 289
1.3.3 Cas sollicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
1.4 Définition d’un coefficient d’amortissement équivalent . . . . . . . . . . . . . 304
1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Chapitre 2
Comportement élasto-plastique avec endommagement
2.1 Comportements étudiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
2.1.1 Comportement élastoplastique pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
2.1.2 Comportement élastoplastique avec endommagement . . . . . . . . . 312
2.2 Preuves numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
2.2.1 Cas libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
2.2.2 Cas forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Conclusion
Conclusion générale 329
Bibliographie 333
Annexes
Annexe A
Calcul des matrices de passage et de saut pour deux cas particuliers
Annexe B
Comparaison des divergences exactes et approchées pour le problème du
billard
B.1 Calcul de la divergence exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
viii

B.1.1 La position et la vitesse initiales sont positives : . . . . . . . . . . . . 343
B.1.2 Si y 01 ≥ 0 et y 02 ≥ 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
B.1.3 La position est négative, la vitesse est positive : . . . . . . . . . . . . 344
B.2 Calcul de la divergence avec les matrices de saut et de passage . . . . . . . . 345
B.2.1 Les paramètres n’interviennent pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
B.2.2 Les paramètres interviennent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Annexe C
Calcul des distances entre deux impacts
Annexe D
Calcul du minimum de la vitesse d’impact de l’oscillateur linéaire
Annexe E
Discrétation pour un oscillateur à un degré de liberté
Annexe F
Discrétisation de la loi de comportement
Annexe G
Théorie de Van Kampen
G.1 Etude des moyennes par rapport au temps des positions et des vitesses . . . 361
G.2 Etude des moments d’ordre deux des positions et des vitesses . . . . . . . . . 366
Annexe H
Discrétisation pour systèmes à deux degrés de liberté
H.1 Pour le premier pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
H.2 Pour le deuxième pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
H.3 Pour le troisième pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
H.4 Pour le quatrième pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
H.5 Pour le cinquième pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
H.6 Pour le sixième pas de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
ix

Table des matières
x

Introduction générale
xi

Introduction générale
Les structures de génie civil se modélisent par des systèmes d’équations comportant des incertitudes.
Ces dernières peuvent présenter différentes sortes d’origine, et donc plusieurs formes :
les matériaux structurels ont la propriété d’être statistiquement variables. De même, les charges
appliquées sur ces mêmes structures peuvent être des processus stochastiques d’une certaine
durée. Ainsi les performances de ces structures dépendent, au cours de leur durée de vie, de
facteurs de nature aléatoire.
Les origines de ces incertitudes sont diverses : tout d’abord, nous pouvons citer les incertitudes
géométriques, liées aux aléas de la construction. Par exemple, il n’existe pas de voiture nominale
(c’est-à-dire conforme à la conception prédéterminée), suite aux irrégularités dans la manufacture
et l’assemblage [47].
Ensuite, il est évident que les modèles physiques utilisés lors du calcul de structures ne correspondent
pas totalement à la réalité : premièrement, ces modèles eux-mêmes ne sont qu’une
approximation du comportement réel de structures, suite à l’idéalisation, la simplification et les
erreurs au cours de la modélisation. En réalité, nous ne possédons pas la compréhension de la
totalité des processus impliqués [106]. De plus, une raison importante est le vieillissement de
structures : en effet, même si nous supposons que la valeur des paramètres est connue initialement,
il est certain que celle-ci évolue au fil de la vie de la structure. Ceci pose le problème
décisif du lien temps/incertitude. Enfin, d’autres incertitudes, plus évidentes, interviennent dans
ces problèmes dynamiques : certaines sollicitations, tels les séismes ou le vent, sont par nature
incertaines et seules certaines informations sur celles-ci sont supposées a priori pour le calcul des
structures concernées. De même, les conditions d’apparition de situations à risque sont inconnues
: temps et conditions initiales d’une chute de blocs le long d’une pente, d’un immeuble lors
d’un séisme...
Ainsi, ces incertitudes peuvent être classées en deux catégories : les incertitudes aléatoires
(impossibilité de l’existence d’un système nominal ce qui entraine une variabilité et une dispersion
des propriétés du matériau, des paramètres géométriques, ...) et les incertitudes cognitives.
Parmi ces dernières, nous pouvons lister le large spectre des conditions opérationnelles et environnementales
possibles (imprécision/manque de connaissance des paramètres, des conditions
initiales, ...), l’idéalisation, la simplification et les erreurs dans la modélisation et les différentes
méthodes d’évaluation numérique (subjectivité dans l’implémentation). Par exemple, si la méthode
des éléments finis est utilisée, plusieurs choses agissent sur la qualité du résultat : la taille
du maillage, le type d’éléments utilisés et leur formulation, les paramètres de calcul (pas de
temps, paramètres de contact,...).
Ceci entraine des formes mathématiques très différentes pour les incertitudes. Une première
forme d’incertitude, étudiée dans un grand nombre de références, est celle sur les paramètres.
Le paramètre incertain par excellence est l’amortissement. Mon stage de Master Recherche [90]
a été l’occasion d’aborder un aspect de ce problème en attribuant une loi de probabilité à ces
paramètres et en calculant celle d’une sortie du système dynamique considéré. Cet aspect est
xii

également étudié dans [49]. Ensuite, les conditions initiales de certains mouvements sont par
leur essence même incertaines, par exemple lors de la chute de blocs le long d’une pente. De
même, certaines sollicitations s’exerçant sur les structures sont incertaines, comme le vent, les
séismes, les bruits ambiants. Dans ces cas, toutes les possibilités doivent être prises en compte
afin de calculer correctement la structure. Finalement, les lois de comportement des structures
sont incertaines : des erreurs, qui peuvent être aléatoires ou systématiques, sont introduites dans
les résultats [104]. Les données sont ensuite lissées et il s’agit de choisir un modèle de loi de
comportement. De plus, il est certain qu’après avoir subi des sollicitations plus ou moins fortes
(séismes, vent, ...), le comportement de la structure change et un endommagement résiduel peut
par exemple apparaître.
Sollicitations
Entrées
Paramètres, ...
Système dynamique
Lois de comportement, ...
Sorties
Déplacement, ...
De telles incertitudes supposent qu’il est impossible de calculer exactement les sorties de
tels systèmes. En effet, il faut tenir compte des incertitudes en entrée (paramètres), celles des
sollicitations s’appliquant au système et celles inhérentes au système.
Par conséquent, certaines caractéristiques, comme le déplacement par exemple, ne peuvent
en réalité être calculées exactement. Il s’agit donc d’accéder à certains éléments d’information
sur ces caractéristiques. Actuellement, certaines méthodes traitent partiellement ce problème,
nous citons quelques exemples ci-après qui nous semble remarquables.
Tout d’abord, l’étude paramétrique calcule la réponse pour diverses valeurs numériques du
paramètre fluctuant. Elle donne donc naissance, dans le meilleur des cas, à une courbe enveloppe
de la réponse en fonction de différentes valeurs numériques de ce paramètre. Tous les autres
paramètres intervenants dans le système sont alors fixés à une certaine valeur. Il est clair que
xiii

Introduction générale
pour une seule valeur différente de ces derniers paramètres, toute l’étude est à recommencer,
même si des formules de calcul de corrélation entre les variables existent. Un autre inconvénient
est qu’avec cette méthode, il est difficile de remarquer les combinaisons de paramètres critiques,
c’est-à-dire qui amènent par exemple à la rupture du système.
Ensuite, les méthodes dites fiabilistes incluent la théorie de la fiabilité qui définit les régions
de sécurité et de ruine pour la structure considérée [81, 52]. L’étude de la fiabilité d’un élément
de structure consiste à calculer la probabilité pour qu’une réalisation de l’ensemble des états
possibles des variables de base soit à l’intérieur de la région de ruine. Pour cela, des hypothèses
sont faites sur la structure et les sollicitations. Un coefficient de sécurité est alors déterminé
(celui qui intervient alors dans les codes de construction), sachant qu’une fiabilité plus grande
entraine un coût de construction et de maintien de la structure plus élevé. Inversement, le choix
d’une fiabilité plus faible amène un risque plus grand.
Les méthodes par intervalles donnent un intervalle dans lequel se trouve la valeur numérique
de la sortie calculée en fonction des intervalles dans lequel varient les entrées incertaines
[1, 23]. Des expressions littérales sont calculables, donc les valeurs numériques des autres paramètres
ne doivent pas obligatoirement être fixés. Par contre, les informations obtenues sont peu
nombreuses : nous connaissons alors un intervalle dans lequel se situe la valeur numérique de
la réponse, mais aucune information sur sa répartition ou sa variation dans cet intervalle. En
particulier, toutes les valeurs numériques de la sortie ont la même importance même si elles ne
sont atteintes que dans un nombre très limité de cas.
De même, la logique floue a pour but d’intégrer le ”flou“ comme une donnée universelle dans
de nombreux domaines, génie civil, mais aussi sociologie, économie, intelligence artificielle [121,
56]. En introduisant des ensembles flous et en attribuant un coefficient aux différents états du
système, un système optimal (expert) peut être développé. C’est une démarche complémentaire
des probabilités.
Cette logique floue n’est pas la seule à traiter les incertitudes. Notons l’existence de la logique
modale (Aristote, Leibniz), la théorie de la complexité algorithmique ou encore les probabilités
bayésiennes [85, 21].
De nombreuses méthodes d’étude de l’incertitude sur un paramètre ou sur les sollicitations
consistent à développer ces informations incertaines sur des bases de fonctions appropriées : par
exemple la “méthode des polynômes de chaos”, assez récente développée par Spanos et Ghanem
([39]). Elle est explicitée dans le mémoire de thèse de O. Dessombz [22]. Elle consiste à développer
le paramètre incertain sur une base de polynômes vérifiant des critères particuliers. La réponse
est alors calculée en minimisant l’énergie. Cette méthode donne accès non seulement à l’intervalle
de la valeur numérique de la réponse, mais également à certains éléments de la probabilité de
celle-ci d’être égale à une valeur donnée. Mais elle présente l’inconvénient d’être lourde à mettre
en place.
Enfin, une théorie de calculs massifs, Monte Carlo, est la méthode la plus utilisée aujourd’hui,
en particulier dans les domaines applicatifs (finance, gestion du trafic). Elle consiste à affecter
une probabilité (donc une fonction densité de probabilité) aux sollicitations, aux paramètres, aux
xiv

conditions initiales... qui sont sujets à incertitude. Il s’agit alors de prendre un grand nombre
de réalisations de l’incertitude, et pour chacune d’elle, calculer la réponse du système. Il est
alors possible avec les données ainsi récoltées de calculer la moyenne et les moments d’ordres
supérieurs de la réponse de système.
Un point négatif de cette méthode est le temps de calcul nécessaire pour obtenir les résultats,
sachant que ceux-ci doivent être calculés de nouveau pour toute autre valeur des paramètres
fixés. De plus, les calculs sont numériques et les résultats approchés. Enfin, l’exploitation et en
particulier l’interprétation des résultats est difficile à réaliser : en effet, nous n’avons pas leur
expression analytique, donc leur forme algébrique devra être déduite d’un nombre fini de points
(les moments de la réponse). Tout ceci entraine l’existence d’une littérature importante à ce
sujet, en particulier sur les méthodes pour accélerer les calculs [38].
Dans cette thèse, qui fait suite à un Master Recherche de Génie Civil ([90]), l’objectif est
d’aborder certaines de ces incertitudes et de chercher comment déterminer leur effet sur la sortie
du système. Il ne s’agit pas d’améliorer les méthodes existantes, mais plutôt de chercher comment
les adapter ou les généraliser à des systèmes dynamiques qui nous intéressent : système de deux
oscillateurs couplés présentant le phénomène de pompage énergétique, systèmes non réguliers
(friction, impacts,...).
Ainsi, dans une première partie, le cas des conditions initiales et des paramètres incertains
dans les mouvements non-réguliers est étudié. En effet, dans le cas régulier, ceci ne pose pas
problème, suite à la formule des accroissements finis, qui n’est plus valable si la dynamique comporte
des irrégularités. Ici, une généralisation de la définition de la jacobienne a été développée
en introduisant les matrices de passage et de saut. Ce développement théorique a été appliqué en
particulier aux cas de la chute de blocs le long d’une pente et de l’oscillateur linéaire à impacts.
Ensuite, une sollicitation inconnue et diffuse est introduite sous la forme d’un bruit blanc.
L’équation de Fokker-Planck donnant la densité de probabilité des états du système au cours du
temps, peut alors être écrite. Elle est résolue numériquement à l’aide de la méthode des différences
finies, combinée à la différentiation des directions. Ces calculs sont réalisés pour des systèmes
dynamiques ayant un ou deux degrés de liberté. En particulier, nous testons cette méthode sur le
système de deux oscillateurs couplés dans lequel le phénomène de transfert d’énergie se produit,
ce qui permet de tester la robustesse de ce dernier.
Dans une troisième partie, certaines particularités des exposants de Lyapunov sont examinées
: tout d’abord, nous observons leurs variations en temps fini; en effet, dans ce cas, ces
exposants dépendent des conditions initiales, de la divergence initiale, du temps, ... Nous cherchons
une description générale, si elle existe, du maximum atteint lors de ces variations.
De plus, une méthode innovante pour le calcul des exposants de Lyapunov est testée. Pour
celle-ci, la matrice de divergence doit être calculée et intégrée au cours du temps, ce qui permet
d’estimer directement l’exposant de Lyapunov (en temps infini) et ses variations par rapport
aux paramètres.
Finalement, une incertitude sur la loi de comportement des structures est étudiée pour le
système de deux degrés de liberté couplé linéairement. Ce système dynamique est généralement
xv

Introduction générale
étudié en supposant un comportement élastique pur pour les deux oscillateurs. Nous testerons
différentes lois de comportement pour la structure linéaire : élastoplastique pur et élastoplastique
avec endommagement. Nous recherchons la preuve de l’existence et l’unicité d’une solution
à l’aide d’outils mathématiques (théorie des opérateurs monotones), puis nous étudions la robustesse
du transfert d’énergie face à une incertitude sur la loi de comportement de la structure
principale.
xvi

Première partie
Application linéaire tangente
généralisée aux systèmes non
réguliers
Application à l’oscillateur linéaire à
impacts et à la chute de blocs
rocheux le long d’une pente
1

Cette partie a fait l’objet de deux articles :
– F. Schmidt, C.-H. Lamarque 2006, “Un indicateur pour optimiser les calculs trajectographiques‘”,
Bulletin des Laboratoires des Ponts et Chaussées, No 263-264, [92] dont une
version anglaise “Use of an indicator for optimizing trajectory calculations” a été rédigée
pour le site du BLPC (www.lcpc.fr/en/sources/blpc).
– F. Schmidt, C.-H. Lamarque 2008, “How to improve confidence in calculations for nonsmooth
dynamical systems”, Journal of Vibration and Control, vol.14, No1/2, p.231-253,
[95].
3

Introduction
Les outils de calcul des trajectoires de blocs rocheux se sont largement améliorés depuis 30
ans. Tous les modèles mécaniques et les traitements numériques correspondants utilisent le cadre
mathématique des systèmes dynamiques non réguliers. Cela signifie deux choses :
– Premièrement, ces modèles sont non linéaires.
– Deuxièmement, il y a perte de dérivabilité pour l’expression et les solutions du problème.
Ces deux éléments ont des conséquences pour les applications où les calculs sont effectués sur des
grilles (grille de paramètres, grille de conditions initiales) : peut-on être sûrs que les indications
donnéees par les trajectoires (et les vitesses) des points de la grille sont les pires possibles?
En d’autres termes, n’existe-t-il pas un point intérieur aux mailles de la grille tel que si un
mur positionné en bas d’une pente arrête toutes les trajectoires issues des noeuds de la grille,
il n’arrête pas celle issue de ce point-là? (voir annexe 2.3 en ce qui concerne l’exemple de
l’oscillateur linéaire avec impacts).
Pour les systèmes réguliers, une formule de type ”accroissements finis“ peut permettre en
estimant la jacobienne (régulière) du système d’introduire un coefficient de sécurité par rapport
aux calculs sur la grille ou de dimensionner la maille de la grille pour obtenir une erreur maximale
sur les calculs issus de n’importe quelle condition initiale.
Dans le cas des systèmes non réguliers, la jacobienne n’est plus définie. Il faut adapter la méthode.
Des travaux ont décrit des outils qui peuvent permettre cela [76], par exemple).
Nous proposons ici d’introduire cette généralisation de la jacobienne, pour obtenir l’équivalent
d’une formule des accroissements finis.
Nous discutons d’exemples très simples pour illustrer les bénéfices et les limites possibles de la
méthode pour les applications.
En particulier, dans une première section, nous allons développer les expressions analytiques,
générales, permettant d’étudier ces problèmes. Ensuite, nous appliquons ceci à l’oscillateur linéaire
à impacts (page 17) et au problème du billard (page 23).
5

Introduction
Finalement, une étude plus approfondie sera consacrée à la chute de blocs rocheux le long
d’une pente d’angle constant.
Les annexes explicitant certains calculs lourds peuvent être trouvés à partir de la page 341.
6

Chapitre 1
Jacobienne généralisée pour les
systèmes dynamiques non réguliers
Dans ce chapitre, nous considérons un mouvement dynamique non-régulier
quelconque. Nous généralisons la formule des accroissements finis pour ces
systèmes dynamiques et nous donnons l’expression d’une jacobienne appelée
“généralisée”.
Sommaire
1.1 Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Explication générale du calcul de cette jacobienne . . . . . . . . 8
1.3 Seules les positions et vitesses initiales sont incertaines . . . . . 13
1.4 Dans le cas général : les conditions initiales et les paramètres
sont incertains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Formule des accroissements finis
Pour les systèmes mécaniques réguliers, la formule des accroissements finis s’écrit :
||f (X 0 + h) − f (X 0 ) || ≤ |||df (X 0 ) ||| × ||h|| (1.1)
où df (X 0 ) est la jacobienne de f évaluée au point X 0 , h un incrément supposé petit, qui peut
être par exemple une taille de maille sur une grille.
Si l’on sait borner |||df (X 0 ) ||| pour l’ensemble des X 0 considérés, il est alors possible de
déterminer l’erreur faite en fonction de la maille h utilisée. Réciproquement, en se fixant une
7

Chapitre 1. Jacobienne généralisée pour les systèmes dynamiques non réguliers
valeur limite de l’erreur, la maille maximale à utiliser peut être déterminée afin que l’erreur
réalisée ne soit pas supérieure à cette valeur limite.
Ce genre de calculs a donc deux buts :
– déterminer l’erreur d’approximation en fonction de la taille de la maille,
– déterminer la taille de la maille en fonction de l’erreur maximale fixée.
Les systèmes mécaniques non réguliers peuvent se modéliser sous la forme :
Ẍ + f (X, t) + A (X) 0 , (1.2)
où :
– X est continue, Ẋ est continue par morceaux,
– f (X, t) est une fonction lipschitzienne en X,
– A (X) est un graphe maximal monotone (généralisation de la notion de fonction croissante,
voir [14]).
Nous voulons ici voir si l’équation (1.1) se généralise aux cas des systèmes non réguliers. Pour
ceci, nous déterminons une pseudo-jacobienne pour ces systèmes non-réguliers, en utilisant des
matrices de passage et de saut à chaque événement non régulier des trajectoires : nous allons
d’abord expliquer le concept de matrices de saut et de passage.
Ensuite, nous appliquerons cette méthode à un système mécanique académique (un oscillateur
linéaire soumis à une sollicitation extérieure et contraint par un mur positionné à x = x max ).
1.2 Explication générale du calcul de cette jacobienne
Le comportement d’un système mécanique non-régulier peut se décomposer en deux parties :
celle où le comportement est analogue à celui d’un système mécanique régulier, donc régi par
une équation différentielle et la deuxième où se produit la discontinuité, localisée en temps.
Dans le cas considéré, nous modélisons ceci par :
(t 0 ≤)t < t 1 : Ẋ = f 1 (X, t, µ), X (t 0 ) = X 0 , f 1 ∈ C 1 (t 0 , t 1 ),
t = t 1 : 0 = h(X (t 1 , µ),t 1 , µ) , h ∈ C 1 (t 0 , t 2 ),
X ( t + ) ( (
1 = g X t
−
1 , µ ) , t 1 , µ ) , g ∈ C 1 (t 0 , t 2 ),
(1.1)
t 1 < t < t 2 : Ẋ = f 2 (X, t, µ), X (t 1 ) = X ( t + )
1 , f2 ∈ C 1 (t 1 , t 2 ).
– t 0 est alors l’instant initial, t 1 celui de la première discontinuité, t 2 celui de la deuxième
(si elle a lieu).
8

1.2. Explication générale du calcul de cette jacobienne
– h(X, t, µ) est appelée fonction indicatrice de la discontinuité, g (X, t, µ) est la fonction de
passage.
– f 1 et f 2 sont les fonctions décrivant le comportement du système.
Ici, nous avons pris Ẋ = f 1 (X, t, µ) entre t i−1 et t i et Ẋ = f 2 (X, t, µ) entre t i et t i+1 , ce qui
correspond par exemple au cas de la friction. Pourtant dans les exemples, nous nous restreignons
au cas f 1 (X, t, µ) = f 2 (X, t, µ) = f (X, t, µ).
Si nous considérons des conditions initiales et des paramètres légèrement différents :
¯X (t 0 ) = X 0 + δX 0 ,
¯µ(t 0 ) = µ 0 + δµ 0 , (1.2)
l’instant de la discontinuité sera différent :
¯t 1 = t 1 + δt . (1.3)
En supposant que le comportement du système dont les conditions initiales ont été modifiées est
structurellement le même que celui du système original, nous obtenons le comportement de δX
en se basant sur [76] :
(t 0 ≤)t < t 1 :
δẊ = ∂f 1
∂X T (X, t, µ).δX + ∂f 1
∂t (X, t, µ)δt + ∂f 1
(X, t, µ).δµ ,
∂µ T
δṫ = 0 ⇒ δt = δt 0 ,
δ ˙µ = 0 ⇒ δµ = δµ 0 ,
(1.4)
δẊ = F 1X (X, t, µ).δX + F 1T (X, t, µ)δt 0 + F 1µ (X, t, µ).δµ 0 ,
avec :
⎧
⎪⎨
F 1X (X, t, µ) = ∂f 1
∂X T | X,t,µ,
F 1t (X, t, µ) = ∂f 1
∂t | X,t,µ,
(1.5)
⎪⎩
F 1µ (X, t, µ) = ∂f 1
∂µ T | X,t,µ.
L’instant de la discontinuité a été modifié, ainsi que ses conditions initiales et ses paramètres.
Donc si :
9

Chapitre 1. Jacobienne généralisée pour les systèmes dynamiques non réguliers
t = t 1 :
δX ( t − )
1 = δX
−
1 ,
δX ( t + )
1 = ¯X
(¯t − )
1 − X
(¯t + )
1 ,
0 = h ( ¯X (¯t, ¯µ) , ¯t, ¯µ ) ,
0 ≈ h ( ¯X (t1 , µ) + f 1
( ¯X (t1 , µ),t 1 , µ ) δt 1 , t 1 + δt 0 , µ + δµ 0
)
,
0 ≈ h ( X1 − + δX− 1 + f (
1 X
−
1 + δX1 − , t 1, µ ) )
(1.6)
δt 1 , t 1 + δt 0 , µ + δµ 0 ,
0 ≈ h ( X1 − , t 1, µ ) (
+ H X X
−
1 , t 1 , µ ) . [ δX1 − + f (
1 X
−
1 , t 1 , µ ) ] (
δt 1 + HT X
−
1 , t 1 , µ ) δt 1
(
+H T X
−
1 , t 1 , µ ) (
δt 0 + H µ X
−
1 , t 1 , µ ) .δµ 0 ,
0 ≈ [ (
H X X
−
1 , t 1 , µ ) (
.f 1 X
−
1 , t 1 , µ ) (
+ H T X
−
1 , t 1 , µ )] δt 1
+ [ (
H X X
−
1 , t 1 , µ ) .δX1 − + H (
T X
−
1 , t 1 , µ ) (
δt 0 + H µ X
−
1 , t 1 , µ ) ]
.δµ 0 .
Avec h ( X1 − , t 1, µ ) = 0. Alors :
δX ( t − )
1 = δX − est le vecteur position juste avant la discontinuité.
¯X est le vecteur position de la trajectoire perturbée.
⎧ (
H X X
−
1 , t 1 , µ ) =
∂h
∂X T | X − 1 ,t 1,µ ,
⎪⎨ (
H T X
−
1 , t 1 , µ ) =
∂h
∂t | X − 1 ,t 1,µ ,
⎪⎩
H µ
(
X
−
1 , t 1 , µ ) =
(1.7)
∂h
∂µ T | X − 1 ,t 1,µ .
On suppose que A = H X
(
X
−
1 , t 1 , µ ) .f 1
(
X
−
1 , t 1 , µ ) + H T
(
X
−
1 , t 1 , µ ) est inversible. Cela
signifie que la fonction indicatrice n’est pas identiquement nulle et que la trajectoire perturbée,
c’est-à-dire celle dont les conditions initiales en espace et en temps et les paramètres ont été
perturbés, présente le même type de comportement que la trajectoire initiale. Alors :
δt 1
= − [ H X
(
X
−
1 , t 1 , µ ) .f 1
(
X
−
1 , t 1 , µ ) + H T
(
X
−
1 , t 1 , µ )] −1
× [ (
H X X
−
1 , t 1 , µ ) .δX1 − + H (
T X
−
1 , t 1 , µ ) (
δt 0 + H µ X
−
1 , t 1 , µ ) (1.8)
]
.δµ 0 .
δt 1 est la translation en temps entre l’instant de la discontinuité de la trajectoire initiale et celle
correspondant pour la trajectoire perturbée.
10

1.2. Explication générale du calcul de cette jacobienne
Or : ¯X− 1 = X ( t − ) (
1 + δX
−
1 + f 1 X
−
1 , t 1 , µ ) δt 1 .
¯X (¯t + ) (
1 = g ¯X
(¯t − )
1 , ¯t 1 , ¯µ ) ,
≈ g ( X − 1 + δX− 1 + f 1
(
X
−
1 , t 1 , µ ) δt 1 , t 1 + δt 0 , µ + δµ 0
)
,
≈ g ( X1 − , t 1, µ ) (
+ G X X
−
1 , t 1 , µ ) [
. δX1 − + f (
1 X
−
1 , t 1 , µ ) ]
(
δt 1 + G T X
−
1 , t 1 , µ ) δt 1
(1.9)
avec :
+G T
(
X
−
1 , t 1 , µ ) δt 0 + G µ
(
X
−
1 , t 1 , µ ) .δµ 0 ,
⎧
⎪⎨
⎪⎩
G X
(
X
−
1 , t 1 , µ ) =
G T
(
X
−
1 , t 1 , µ ) =
G µ
(
X
−
1 , t 1 , µ ) =
∂g
∂X T | X − 1 ,t 1,µ ,
∂g
∂t | X − 1 ,t 1,µ ,
(1.10)
∂g
∂µ T | X − 1 ,t 1,µ .
g ( X1 − , t 1, µ ) = X ( t + )
1 ,
δX 1 + = ¯X (¯t + )
1 − X
(¯t + )
1 ,
δX 1 + (
= G X X
−
1 , t 1 , µ ) .δX1
− (1.11)
[
(
+ G X X
−
1 , t 1 , µ ) (
.f 1 X
−
1 , t 1 , µ ) (
+ G T X
−
1 , t 1 , µ ) (
− f 2 X
+
1 , t 1 , µ ) ] δt 1
(
+G T X
−
1 , t 1 , µ ) (
δt 0 + G µ X
−
1 , t 1 , µ ) .δµ 0 .
δX 1 + = ¯X (¯t + )
1 − X
(¯t + )
1 est alors le vecteur position juste après la première discontinuité.
Finalement :
avec :
t > t 1 :
δẊ = F 2X (X, t, µ).δX + F 2T (X, t, µ)δt 0 + F 2µ (X, t, µ).δµ 0 ,
⎧
⎪⎨
F 2X (X, t, µ) = ∂f 2
∂X T | X,t,µ ,
F 2t (X, t, µ) = ∂f 2
∂t | X,t,µ ,
(1.12)
(1.13)
⎪⎩
F 2µ (X, t, µ) = ∂f 2
∂µ T | X,t,µ .
11

Chapitre 1. Jacobienne généralisée pour les systèmes dynamiques non réguliers
Remarques :
– On peut retrouver
⎡
ce
⎤
résultat en utilisant la référence [76], en substituant le vecteur X par
X
le vecteur V = ⎣ t ⎦. On utilise alors le fait que ṫ = 1 et ˙µ = 0 (on suppose ici que les
µ
paramètres sont indépendants du temps).
– A partir de ce qui a été fait ci-dessus, on peut retrouver directement les résultats de [76]
(voir l’annexe A, page 341 pour le détail des calculs).
Dans ce qui suit, nous allons considérer f 1 (X, t, µ) = f 2 (X, t, µ) = f (X, t, µ); en effet, cela
est suffisant pour les exemples que nous étudions.
Donc la divergence de comportement régulier du système mécanique entre une discontinuité
i et la suivante (i + 1) pourra être modélisée par :
δẊ = F (X, t, µ).δX, δX (t i) = δX + i
. (1.14)
Ainsi en intégrant entre t + i
et t − i+1
, on pourra écrire :
J i est appelée matrice de passage.
De même :
δX − i+1 = J i . δX + i
. (1.15)
soit :
[
(
H X X
−
i
, t i , µ ) .f ( Xi − , t i, µ ) + ∂h (
X
−
∂t i
, t i , µ )] δt i =
( )
−H X X
−
i
, t i .δX
−
i
− ∂h (
X
−
∂t i
, t i , µ ) (
δt 0 − H µ X
−
i
, t i , µ ) .δµ 0 ,
[
(
δt i = − H X X
−
i
, t i , µ ) .f ( Xi − , t i, µ ) + ∂h (
X
−
∂t i
, t i , µ )] −1
[
( )
× H X X
−
i
, t i .δX
−
i
+ ∂h (
X
−
∂t i
, t i , µ ) (
δt 0 + H µ X
−
i
, t i , µ ) ]
.δµ 0
.
(1.16)
(1.17)
Comme cela a déjà été précisé ci-dessus, l’inversibilité du premier terme de la première
équation du système (1.16) est assurée par la condition imposant que le système perturbé possède
un comportement similaire à celui du système non perturbé (voir [76]).
Dans ce qui suit, nous distinguons si seules les conditions initiales en position et en vitesse
sont incertaines, ou si les paramètres et le temps initial le sont également.
12

1.3. Seules les positions et vitesses initiales sont incertaines
1.3 Seules les positions et vitesses initiales sont incertaines
Nous nous restreignons donc au cas où δµ 0 = 0 et δt 0 = 0 (la valeur numérique des paramètres
est fixe et connue, ainsi que l’origine des temps). Dans ces conditions, il existe une matrice de
saut explicite permettant le passage entre δXi − et δX
i + . Cette matrice s’écrit :
δX + i
= S i . δX − i
,
avec : S i
= G ( Xi − , t i, µ ) (
−
[G X X
−
i
, t i , µ ) .f ( Xi − , t i, µ ) − f ( X
i + , t i, µ ) (
+ G T X
−
i
, t i , µ ) ]
(
×
[H X X
−
i
, t i , µ ) .f ( Xi − , t i, µ ) (
+ H T X
−
i
, t i , µ ) ] −1
(
.H X X
−
i
, t i , µ ) .
(1.1)
S i est appelée matrice de saut pour la discontinuité i.
La jacobienne du mouvement peut alors être évaluée suivant une formule du type :
J =
N∏
J N−i S N−i J 0 , (1.2)
i=1
où N est le nombre de discontinuités par période (qui peut être infinie) ,
N∏
N∏
|||J||| = ||| J N−i S N−i J 0 ||| ≤ |||J 0 ||| × |||J i ||| × |||S i ||| , (1.3)
i=1
i=1
où |||..||| est une norme subordonnée.
(1.4)
Notre but est alors d’étudier cette matrice J. De plus, afin de déterminer une taille de maille
adéquate pour des calculs sur grille, nous nous intéressons plus particulièrement à une norme
subordonnée de J.
Théorème 1.3.1 Accroissements finis généralisés
Soit un système mécanique non-régulier :
∀t ≠ t i , Ẋ = f (X, t, µ) ,
∀t i tel que h(X, t i , µ) = 0, g (X, t i , µ) = 0 ,
f, g, h ∈ C 1 (R n , R, R s ) .
(1.5)
13

Chapitre 1. Jacobienne généralisée pour les systèmes dynamiques non réguliers
n est alors le nombre de variables d’espace, s est le nombre de paramètres,
soit J = ∏ N
i=1 J N−iS N−i .J 0 la jacobienne du mouvement,
soit T ∈ R la période du mouvement,
∀i ∈ N, i = 1...N, h(X, t i , µ) = 0.
Alors :
1 : Si N est fini :
S’il existe M ∈ R tel que |||J||| ≤ M,
Soit a et b ∈ R,
∀ǫ > 0, ||a − b|| ≤ ǫ , ||f (a) − f (b) || ≤ ǫ.
M
2 : Si N est infini :
2.1 : ∀i ∈ N ∗ , |||J i ||| × |||S i ||| ≤ 1,
∀ǫ > 0, ||a − b|| ≤
2.2 : ∀i ∈ N ∗ , |||J i S i ||| ≤ 1,
∀ǫ > 0, ||a − b|| ≤
ǫ , ||f (a) − f (b) || ≤ ǫ.
|||J 0 |||
ǫ , ||f (a) − f (b) || ≤ ǫ.
|||J 0 |||
La preuve est immédiate compte-tenu de ce qui précède.
Remarques :
– La période T peut être infinie.
– Nous ne donnons que des conditions suffisantes commodes à vérifier en n’étudiant que les
événements pris séparément. Par exemple, si le nombre de discontinuités est infini et que
les normes des matrices de saut et de passage et des jacobiennes sont supérieures à 1, il
faudrait procéder différemment pour espérer avoir un résultat similaire.
Ce souci évoqué ici ne se restreint pas aux systèmes non réguliers. En effet, de tels phénomènes
se produisent également dans des systèmes réguliers non linéaires chaotiques. On
cherche alors à avoir des ”shadowing lemmas“.
– Le premier cas est illustré par la section 4 (impact de blocs de pierre sur une pente, page
31).
14

1.4. Dans le cas général : les conditions initiales et les paramètres sont incertains
1.4 Dans le cas général : les conditions initiales et les paramètres
sont incertains
Si on n’a pas δt 0 = 0 et δµ = 0, la matrice de saut ne peut plus être explicitée ainsi.
Dans ce cas, nous réécrivons les expressions précédentes de la manière suivante :
[
δt i = −A −1 (
. H X X
−
i
, t i , µ ) ]
.δXi − + B ,
avec :
δX − i
= G X
(
X
−
i
, t i , µ ) .δX − i
+ Cδt i + D ,
A = H X
(
X
−
i
, t i , µ ) − f ( X − i , t i, µ ) + H T
(
X
−
i
, t i , µ ) ,
B = H T
(
X
−
i
, t i , µ ) δt 0 + H µ
(
X
−
i
, t i , µ ) ,
C = G X
(
X
−
i
, t i , µ ) .f ( X − i , t i, µ ) + G T
(
X
−
i
, t i , µ ) − f ( X + i , t i, µ ) ,
D = G T
(
X
−
i
, t i , µ ) δt 0 + G µ
(
X
−
i
, t i , µ ) .δµ 0 .
(1.1)
(1.2)
On obtient alors :
[
δX
i + (
= G X X
−
i
, t i , µ ) − CA −1 (
H X X
−
i
, t i , µ ) ] .δXi − − CA −1 B + D . (1.3)
Remarque : si on pose δt 0 = 0 et δµ 0 = 0, cette équation 1.3 s’écrit bien de la forme 1.1 :
[
δX
i + (
= G X X
−
i
, t i , µ ) − CA −1 (
H X X
−
i
, t i , µ ) ] .δXi − . (1.4)
Nous réécrivons alors le problème de la façon suivante :
δX − i
= J i .δX + i−1 , (1.5)
δX + i
= S 1i .δX − i
+ S 2i . (1.6)
Par récurrence, la divergence de trajectoire après le saut i peut être exprimée en fonction de la
divergence de conditions initiales δX 0 :
∏i−1
δX
i + = S 1(i−j) .J i−j .δX 0 +
j=0
i∑
S 2j .
j=1
i∏
l=j+1
S 1l .J l , (1.7)
où : ∀k > i, S 1k = J 1k = 0 . (1.8)
Il est à remarquer que cette équation 1.8 fait intervenir les variables S 1i , S 2i et J i , qui sont
fonction de la divergence en temps δt 0 et celle en paramètre δµ 0 .
En particulier, si nous pouvons écrire :
⎧
⎨ |||J i ||| ≤ J ,
|||S 1i ||| ≤ S 1 ,
⎩
|||S 2i ||| ≤ S 2 .
(1.9)
15

Chapitre 1. Jacobienne généralisée pour les systèmes dynamiques non réguliers
L’équation 1.8 peut se majorer :
||δX
i + || ≤ (S ∑i−1
1.J) i .||δX 0 || + S 2 . (S 1 .J) j . (1.10)
Si S 1 J ≠ 1 : ||δX + i || ≤ (S 1J) i ||δX 0 || + S 2
1 − (S 1 J) i
1 − S 1 J ,
Si S 1 J = 1 : ||δX + i || ≤ (S 1J) i ||δX 0 || + iS 2 .
Théorème 1.4.1 Accroissements finis généralisés en fonction des variables d’espace, de temps
et des paramètres
Soit un système mécanique non-régulier :
j=0
∀t ≠ t i , Ẋ = f (X, t, µ) ,
∀t i tel que h(X, t i , µ) = 0, g (X, t i , µ) = 0 ,
f, g, h ∈ C 1 (R n , R, R s ) .
(1.11)
n est alors le nombre de variables d’espace, s est le nombre de paramètres,
soit A = H X
(
X
−
i
, t i , µ ) .f ( X − i , t i, µ ) + H T
(
X
−
i
, t i , µ ) ,
soit C = G X
(
X
−
i
, t i , µ ) .f ( X − i , t i, µ ) + G T
(
X
−
i
, t i , µ ) − f ( X + i , t i, µ ) .
∀ ||δX 0 ||
∀ ||δt 0 ||
∀ ||δµ 0 ||
≤
≤
≤
ǫ
(S 1 J) i ,
ǫ
∑ i−1
j=0 (S (
1J) ||| − CA −1 H T X
−
i
, t i , µ ) (
+ G T X
−
i
, t i , µ ) ||| ,
(1.12)
ǫ
∑ i−1
j=0 (S (
1J) ||| − CA −1 H µ X
−
i
, t i , µ ) (
+ G µ X
−
i
, t i , µ ) ||| ,
||δX
i + || ≤ 3ǫ .
Ici, comme auparavant, nous ne donnons qu’une condition suffisante pour l’estimation de la
divergence de trajectoire. En effet, la condition (1.10) est très restrictive. Il est alors nécessaire
de réaliser la majoration à l’aide de la formule générale (1.8) obtenue par récurrence.
Nous étudions maintenant trois systèmes mécaniques en appliquant ceci. D’abord, nous nous
intéressons à la trajectoire d’un oscillateur linéaire à impacts.
16

Chapitre 2
Oscillateur linéaire à impact :
problème de la bifurcation par
effleurement
Nous appliquons cette théorie au cas d’un oscillateur linéaire, dont le mouvement
est limité à un intervalle semi-infini. Nous observons que la bifurcation
par effleurement pose problème et qu’elle donne lieu à des comportements
complexes.
Sommaire
2.1 Définition de cet oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Calcul de la pseudo-jacobienne de cet oscillateur . . . . . . . . . 19
2.3 Schéma de l’oscillateur linéaire avec impacts étudié et résultats
numériques obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Nous étudions le système dynamique de la figure 2.1 :
Un oscillateur linéaire amorti de masse m, de raideur k et d’amortissement a est soumis
à une force sinusoïdale g cos(wt). A l’abscisse x = x max est posé un mur sur lequel impacte
l’oscillateur, de sorte que x oscillateur ≤ x max .
2.1 Définition de cet oscillateur
Nous posons :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
w 2 1 = k m
c = am
g = fm
17

Chapitre 2. Oscillateur linéaire à impact : problème de la bifurcation par effleurement
k
a
m
g cos(wt)
x = x max
Fig. 2.1 – Schéma de l’oscillateur linéaire à impacts étudié dans ce paragraphe
On appelle e le coefficient de restitution en translation.
Alors les équations du mouvement de cet oscillateur sont :
⎧
⎨
⎩
ẍ + aẋ + w1 2 x = f cos (wt) − λ ,
x max − x(t) ≥ 0, λ (x max − x) = 0 ,
ẋ(t + ) = −e ẋ(t − ) si x(t) = x max .
(2.1)
nous remarquons que si |f| < w 2 1 x max, il ne pourra pas y avoir de contact prolongé (voir
[54]).
Les équations (2.1) s’écrivent également :
⎧
⎨
⎩
ẍ + aẋ + w1 2 x = f cos (wt) ,
ẋ(t + ) = −eẋ(t − ) si x(t) = x max ,
x(0) = x 0 ≤ x max , ẋ(0) = ẋ 0 .
(2.2)
On écrit : a = 2ǫw 1 , ǫ ≪ 1 .
On note t k , la suite des instants d’impact (t k étant l’instant de l’impact k). Alors la solution
générale des équations du mouvement (2.1) est, entre les impacts (k − 1) et k :
[
]
x(t) = e −ǫw 1t
A k cos ( ˜w 1 t) + B k sin( ˜w 1 t) + f 1 cos (wt) + f 2 sin (wt) , (2.3)
avec :
18

2.2. Calcul de la pseudo-jacobienne de cet oscillateur
⎧
˜w 1 = w 1
√
1 − ǫ 2 ,
η = ǫ w 1
˜w 1
,
f 1
w1 2 = f ( − w2
w
2
1 − w 2) 2 + 4ǫ 2 w ,
1 2w2 ⎪⎨
f 2
2ǫw 1 w
= f (
w
2
1 − w 2) 2 + 4ǫ 2 w ,
1 2w2 (2.4)
⎪⎩
⎛
⎝
(
A1
B 1
)
=
⎞
A k+1
⎠ =
B k+1
⎛
⎝
(
Ak
x 0 − f 1
ẋ 0 − f 2 w
˜w 1
+ η (x 0 − f 1 )
⎞
⎠ ,
B k
)
+ (1 + e) eǫw 1t k
˜w 1
ẋ(t k )
( sin( ˜w1 t k )
− cos( ˜w 1 t k )
)
.
En fonction des paramètres intervenant dans cet oscillateur et de ses conditions initiales, celui-ci
peut présenter différents comportements, qui peuvent être périodiques ou non[53].
Les mouvements périodiques seront de la forme (n, k), c’est-à-dire que leur période sera nT
(T = 2π est la période de la sollicitation) avec k impacts par période. La représentation d’un
w
comportement périodique de type (1,2) est donné figure 2.2.
2.2 Calcul de la pseudo-jacobienne de cet oscillateur
On pose : x = x 1 , ẋ = x 2 et X =
{
x1
x 2
}
. Ainsi l’équation (2.2) s’écrit aussi :
Ainsi :
t i−1 < t < t i : δẊ = [
{
x1 ˙ = x 2 ,
x˙
2 = −2ǫw 1 x 2 − w1 2x 1 + f cos (wt) .
0 1
−a
−w 2 1
t = t i : H i = [ 1 0 ] , G i =
]
.δX, δX (t i ) = δX + i
,
[ 1 0
0 −e
]
, δt i = − δx ( )
1 t
−
( i
)
x 2 t
−
.
i
(2.1)
(2.2)
19

Chapitre 2. Oscillateur linéaire à impact : problème de la bifurcation par effleurement
15
10
5
0
x
−5
−10
−15
−20
0 5 10 15 20
t
Fig. 2.2 – Comportement périodique de type (1,2) de l’oscillateur de la figure 2.1 avec les
paramètres suivants : w 1 = 2.5, ǫ = 1%, x max = 14, e = 0.9, f = 20, w = 1.45, x 0 = −9.89493,
et ẋ 0 = −20.71102.
On peut en déduire les matrices de saut et de passage :
⎡
J i = e −ηφ i ⎣ cos (φ sin (φ i )
i) + η sin(φ i )
( ˜w 1
− ˜w 1 η 2 + 1 ) sin(φ i ) −η sin(φ i ) + cos (φ i )
⎤
⎦ ,
(2.3)
où : T i = t i − t i−1 , ˜w 1 = w 1
√
1 − ǫ 2 , φ i = ˜w 1 T i , η = ǫ w 1
˜w 1
.
De même, la matrice de saut s’écrit :
⎡
S i = ⎣
Nous estimons la norme triple de J =
−e 0
− e + ( 1 ) (
x 2 t
−
w1x 2 max − f cos (wt i ) ) −e
i
N−1
⎤
⎦ . (2.4)
∏
J N−i S N−i .J 0 , où N est le nombre d’impacts :
i=0
D’où :
N−1
∏
N−1
∏
|||J||| = ||| J N−i S N−i J 0 ||| ≤ |||J 0 ||| |||J N−i ||| × |||S N−i ||| . (2.5)
i=0
i=0
20

2.3. Schéma de l’oscillateur linéaire avec impacts étudié et résultats numériques obtenus
}
|||J i ||| = e −ηφ i
× max{Ã, ˜B
où : Ã = | cos (φ i ) + η sin(φ i ) | + | sin(φ i) |
,
( ˜w 1
˜B = ˜w 1 1 + η
2 ) | sin(φ i ) | + | cos (φ i ) − η sin (φ i ) | ,
|||S i |||
= max
{
e,
,
e + 1
|x 2
(
t
−
i
)
|
|w 2 1x max − f cos (wt i ) | + e
}
.
(2.6)
Ainsi si x 2
(
t
−
i
)
= 0, |||Si ||| n’est pas définie.
Cette bifurcation par effleurement a été étudiée en détail dans [53]. En particulier, il n’est pas
possible de contraindre |x 2
(
t
−
i
)
| à rester strictement positif en restreignant le domaine d’étude
des différents paramètres (voir annexe D).
Ainsi, en utilisant la norme triple comme nous l’avons fait, la ”conclusion“ est :
|||J||| ≤ +∞ . (2.7)
On ne peut donc pas utiliser |||J||| ≤ |||J 0 ||| × ∏ |||J i ||| × |||S i ||| commodément. Il s’agit donc de
l’utiliser autrement ou de trouver une autre norme, plus adéquate.
Cela se traduit par des résultats par grille faussés.
Ainsi en calculant la trajectoire à partir de quatre conditions initiales (x 0 , x˙
0 ), la trajectoire
partant d’une condition initiale comprise entre les quatre premières et donnant lieu à un contact
par effleurement peut ne pas rester dans le faisceau formé par les quatre trajectoires précédentes
(voir figure 2.3, page 22).
2.3 Schéma de l’oscillateur linéaire avec impacts étudié et résultats
numériques obtenus
Nous réalisons des simulations numériques à partir des solutions analytiques de la réponse
des phases continues du mouvement. L’algorithme utilisé est basé sur celui de [19].
Nous observons donc que la trajectoire pour laquelle x 0 = 6.133322228m et ẋ 0 = 26.51594635ms −1
et dont la vitesse lors du premier impact est nulle n’est pas comprise entre celles issues des autres
conditions initiales (figures 2.3 et 2.4).
En effet, si on contrôle la valeur numérique de |||J|||, il existe des indices sur la trajectoire
correspondante. Bien sûr, l’amplification est ici finie, mais elle pourrait (théoriquement) devenir
importante. Un calcul sur grille peut ainsi se révéler être faux en ce qui concerne les points
intérieurs à celle-ci.
Ceci est un cas où l’utilisation de la jacobienne et de sa norme n’est pas simple à réaliser.
Nous étudions maintenant un exemple comparable du point de vue théorique et très parlant, le
billard.
21

x
x
x
Chapitre 2. Oscillateur linéaire à impact : problème de la bifurcation par effleurement
15
10
Trajectoire d’un oscillateur linéaire pour 5 conditions initiales différentes
(x10,x20)=(6,26)
(x10,x20)=(7,26)
(x10,x20)=(7,27)
(x10,x20)=(6,27)
(x10,x20)=(6.133322228,26.51594635)
5
0
−5
−10
−15
−20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
Fig. 2.3 – La courbe 5 présente des conditions initiales comprises entre celles des courbes 1,
2, 3 et 4, pourtant elle sort du faisceau formé par les quatre autres trajectoires. Les valeurs
numériques prises pour les différents paramètres sont : ǫ = 0.01, w 1 = 2.5, f = 20, w = 2.6,
x max = 14, e = 0.9, ∆t = 0.001, T ∞ = 5.
Trajectoire d’un oscillateur linéaire pour 5 conditions initiales différentes : lors du premier impact
Trajectoire d’un oscillateur linéaire pour 5 conditions initiales différentes : après le premier impact
(x10,x20)=(6,26)
(x10,x20)=(6,26)
14.5
(x10,x20)=(7,26)
−15
(x10,x20)=(7,26)
(x10,x20)=(7,27)
(x10,x20)=(7,27)
(x10,x20)=(6,27)
(x10,x20)=(6,27)
14
(x10,x20)=(6.133322228,26.51594635)
−15.5
(x10,x20)=(6.133322228,26.51594635)
−16
13.5
−16.5
13
−17
12.5
−17.5
12
−18
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
t
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
t
Fig. 2.4 – Détails de l’oscillateur linéaire ci-dessus lors du premier impact et de la première
position extrêmale après celui-ci. Les divergences par rapport au théorême des accroissements
finis habituel interviennent lors des positions extrêmales.
22

Chapitre 3
Problème du billard
Ici, nous appliquons le développement général au cas du billard dont les bords
ne sont pas parfaitement perpendiculaires. Nous comparons ces calculs avec
les résultats exacts, possibles dans ce cas.
Sommaire
3.1 Le problème complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Le problème étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Comparaison entre divergences exacte et approchée . . . . . . . 28
Nous considérons le problème constitué par un billard dont une des parois n’est pas exactement
plane (ou un des angles n’est pas parfaitement droit). Nous étudions la divergence de
trajectoire de la boule après impact sur ce côté par rapport au cas théorique du billard parfaitement
rectangulaire.
3.1 Le problème complet
Nous représentons le problème général de la façon suivante (voir schéma 3.1) :
θ est alors la rotation de la paroi du billard pour y > 0 et α celle pour y < 0.
(x 0 , ẋ 0 , y 0 , ẏ 0 ) sont les conditions initiales en position et vitesse pour la boule de billard.
Aucune force particulière n’est appliquée à la boule (la gravité, n’intervenant pas dans cette
étude, est la seule force s’exerçant sur la boule).
Avant l’impact, le mouvement est donc régi par les équations :
{ x = ẋ0 t + x 0 ,
(3.1)
y = ẏ 0 t + y 0 .
Il y a impact lorsque x(t 1 ) − y (t 1 )tan (θ) = 0.
23

Chapitre 3. Problème du billard
y
θ
(x 0 , ẋ 0 , y 0 , ẏ 0 )
x
α
Fig. 3.1 – Coin de billard non parfaitement droit et trois trajectoires très différentes
Nous modélisons l’impact par une loi de réflexion de la forme :
⎧
⎨ ẋ ( t + ) (
1 = e 1 − 2 cos (θ) 2) ẋ ( t − ) ( )
1 + esin (2θ) ẏ t
−
1 ,
⎩ ẏ ( t + ) ( ) ( )
1 = esin (2θ)ẋ t
−
1 + 2 cos (θ) 2 − 1 ẏ ( t − ) (3.2)
1 .
Elle est semblabe à une loi optique : l’angle de réflexion par rapport à la normale au plan d’impact
est égal à l’angle d’incidence. Mais l’amplitude de la vitesse réfléchie est égale à une fraction de
l’amplitude de la vitesse incidente, en accord avec la définition du coefficient de restitution (voir
[12]).
Après impact, les équations du mouvement sont (car x(t + 1 ) = x(t− 1 ) = x(t 1), y(t + 1 ) = y(t− 1 ) =
y(t 1 )) :
{ ( )
x = ẋ t
+
1 t + x(t1 ) ,
y = ẏ ( t + ) (3.3)
1 t + y (t1 ) .
24
Pour déterminer l’indicateur de variation tangente, nous utilisons les notations suivantes :
⎡ ⎤
⎡ ⎤
x
[ ]
x 2
X = ⎢ ẋ
⎥ e
⎣ y ⎦ , µ = , f (x, t, µ) = ⎢ 0
⎥
θ
⎣ x 4
⎦ . (3.4)
ẏ
0
La fonction indicatrice de la discontinuité s’écrit :
h(X) = x 1 − x 3 tan (θ) = 0 . (3.5)
(3.6)

3.1. Le problème complet
De même, la fonction de transition est :
g (X) =
⎛
⎜
⎝
x ( t + )
( 1 )
x 2 t
+
( 1 )
x 3 t
+
( 1 )
x 4 t
+
1
⎛
⎞
⎟
⎠ = ⎜
⎝
( )
x 1 t
−
1
e
(1 − 2 cos (θ) 2) ( ) ( )
x 2 t
−
1 + esin (2θ)x4 t
−
( )
1
x 3 t
−
( ) 1 )
esin (2θ)x 2 t
−
1 + e
(2 cos (θ) 2 ( )
− 1 x 4 t
−
1
⎞
⎟
⎠ . (3.7)
On obtient directement la matrice de passage :
J =
⎡
⎢
⎣
1 t 1 − t 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 t 1 − t 0
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦ . (3.8)
La condition pour que la matrice de saut soit calculable et donc la méthode applicable est
telle que :
x 2
(
t
−
1
)
− x4
(
t
−
1
)
tan (θ) ≠ 0 . (3.9)
Cette condition, qui est identique à celle trouvée dans les cas de l’oscillateurlinéaire à impacts
ou de la chute de blocs, interdit les impacts à vitesse nulle (et les trajectoires parallèles à la
paroi étudiée, mais ce cas est écarté car alors il n’y aurait pas d’impact).
Si cette condition est remplie, la relation de passage pour la divergence peut alors s’écrire :
25

Chapitre 3. Problème du billard
δX + =
⎡
⎢
⎣
A
(
0 B 0
0 e 1 − 2 cos (θ) 2) 0 esin (2θ)
C 0 1 + D
(
0
)
0 esin (2θ) 0 e 2 cos (θ) 2 − 1
⎤
⎡
⎥
⎦ δX− + ⎢
⎣
0 E
F G
0 H
I J
⎤
⎥
⎦ δµ 0 ,
avec :
(
)
x − 2 1 − e + 2ecos (θ) − esin (2θ) x − 4
A = 1 −
x − 2 − tan ,
(θ)x− 4
(
x − 2 1 − e − 2ecos (θ) 2) − esin(2θ)x − 4
B = tan (θ)
x − 2 − tan ,
(θ)x− 4
(
)
x − 4 1 − 2ecos (θ) 2 + e − esin (θ)x − 2
C = −
x − 2 − tan ,
(θ)x− 4
(
x − 4 1 + e − 2ecos (θ) 2) − esin(θ)x − 2
(3.10)
D = tan (θ)
x − 2 − tan ,
(θ)x− 4
x − 3
(1 + tan (θ) 2) (
E =
x − 2 − tan x −
(θ)x− 2
(1 − e + 2ecos (θ) 2) )
− x − 4 esin (2θ) ,
4
(
F = 1 − 2 cos (θ) 2) x − 2 + sin(2θ)x− 4 ,
G = 4esin (θ)cos (θ)x − 2 + 2ecos (2θ)x− 4 ,
x − 3
(1 + tan (θ) 2) (
H =
x − 2 − tan x −
(θ)x− 4
(1 + e − 2ecos (θ) 2) )
− x − 2 esin (2θ) ,
4
)
I = sin(2θ)x − 2
(2 + cos (θ) 2 − 1 x − 4 ,
J = 2ecos (2θ)x − 2 − 4esin (θ)cos (θ)x− 4 .
Cette expression est très compliquée. Afin de comparer avec une majoration de cet indicateur
avec la divergence exacte, nous allons simplifier le problème.
26

3.2. Le problème étudié
3.2 Le problème étudié
En effet, nous supposons que le traject incident arrive avec une vitesse en y nulle (voir
schéma 3.2). De plus, nous restreignons notre étude aux ordonnées positives, donc un seul angle
de rotation de la paroi est pris en compte (θ ici).
y
θ
x
Fig. 3.2 – Schéma du billard tel qu’étudié dans la suite
Les conditions initiales sont ici (x 0 , ẋ 0 , y 0 ), puisque ẏ 0 = 0.
Avant impact, les équations du mouvement sont :
{ x = ẋ0 t + x 0 ,
y = y 0 .
(3.1)
Nous appliquons la même loi de restitution lors de l’impact que précédemment. Les équations
du mouvement après impact sont alors :
⎧
⎨ x = [ e|x − 2 | cos (2θ)] t + y 0 tan (θ) ,
⎩
y = [ (3.2)
e|x − 2 | sin(2θ)] t + y 0 .
Nous utilisons les mêmes notations que dans la section précédente.
La matrice de passage est toujours :
J =
⎡
⎢
⎣
1 t 1 − t 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 t 1 − t 0
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦ . (3.3)
27

Chapitre 3. Problème du billard
Ici pour que la méthode puisse s’appliquer, la condition s’écrit :
x − 2 ≠ 0 . (3.4)
Les bifurcations par effleurement (“grazing” bifurcation) sont donc interdites. Cela signifie que
le cas ẋ 0 = 0 est à proscrire, ce qui est évident puisque dans ce cas-là, il n’y aurait alors pas
d’impact. Ainsi, comme dans le problème plus complexe exposé dans la section précédente, la
condition pour la réalisation des calculs est naturellement satisfaite.
La relation de passage s’écrit alors :
δX + =
⎡
⎢
⎣
+ ⎢
⎣
−ecos (2θ) 0 tan (θ)(1 − ecos (2θ)) 0
0 ecos (2θ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 esin(2θ)
⎡
0 − (1 − ecos (2θ))x − 3
(1 + tan(θ) 2) ⎤
x − 2 cos (2θ)
−2ex− 2 sin(2θ)
⎥
0 0
⎦ δµ 0 .
−x − 2 sin (2θ) 2ex− 2 cos (2θ)
⎤
⎥
⎦ δX−
Si nous considérons que les paramètres sont certains, nous pouvons écrire une véritable
matrice de passage :
S =
⎡
⎢
⎣
−ecos (2θ) 0 tan (θ)(1 − ecos (2θ)) 0
0 ecos (2θ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 esin (2θ)
⎤
(3.5)
⎥
⎦ . (3.6)
Dans la section suivante, nous cherchons cette divergence (et particulièrement la borne de
cette divergence), avec la divergence réelle qu’il est possible de calculer en simplifiant encore le
problème.
3.3 Comparaison entre divergence exacte et estimée à l’aide des
matrices de passage et de transition
Nous calculons ici la divergence exacte de deux rayons à l’instant t, en fonction d’une légère
divergence initiale. En outre, nous supposons de plus ici que x 0 = cste < 0 et ẋ 0 = cste > 0.
Plusieurs cas sont à distinguer, d’après la valeur de y 0 . Ces calculs sont menés dans l’annexe B,
page 343.
Nous utilisons par exemple les valeurs numériques suivantes : θ = 0.30 rad, e = −0.7,
x 0 = −2m, y 0 = 0m, ẋ 0 = 1ms −1 , ẏ 0 = 0ms −1 . Nous faisons varier les incertitudes δy 0 et δθ 0 .
A t = 2.1s, nous obtenons les divergences de trajectoire suivantes (voir tableau 3.1) :
28

3.3. Comparaison entre divergences exacte et approchée
Paramètres incertains Formule exacte Majoration avec l’indicateur
δy 0 = 0
δθ 0 = 0 0 0
δy 0 = 0.1
δθ 0 = 0 0.1 0.33
δy 0 = 0.1
δθ 0 = 0.3 0.13 0.9
δy 0 = 0.01
δθ 0 = 0.3 0.05 0.6
δy 0 = 0.1
δθ 0 = 0.2 0.12 0.7
δy 0 = 0.01
δθ 0 = 0.2 0.04 0.4
Tab. 3.1 – Divergence exacte de trajectoire et sa majoration donnée par l’indicateur de variation
tangente, dans le cas du billard.
Nous remarquons que la majoration obtenue avec l’indicateur est supérieure à la valeur
exacte; en fait, elle est comprise entre 3 fois et 12 fois la valeur exacte. De plus, cette majoration
obtenue avec l’indicateur est plus efficace lorsque les incertitudes sont grandes. Mais ceci peut
être seulement une conséquence d’une des caractéristiques de la norme utilisée. En outre, plus
les incertitudes grandissent, moins l’indicateur est exact. Finalement, nous devons reconnaitre
que cette majoration est peu précise, mais elle permet de traiter des cas qui ne pourrait l’être
facilement de façon précise (nous avons beaucoup simplifié le problème ici afin de pouvoir le
traiter exactement sans multiplier les cas à étudier).
Pourtant, je voudrais faire remarquer ici que les valeurs numériques des paramètres (θ, e,
x 0 ,...) ont été choisis en adéquation avec la référence [54], et non dans le but de maximiser
l’efficacité de cet indicateur.
29

Chapitre 3. Problème du billard
30

Chapitre 4
Chute d’un bloc sur une pente
d’angle constant
Ici, nous étudions le mouvement non-régulier de la chute de blocs le long d’une
pente. Nous estimons une incertitude en conditions initiales et en paramètres
menant à une incertitude sur le mouvement que nous imposons inférieure à
une valeur limite prédéfinie.
Sommaire
4.1 Théories existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.1 Mise en oeuvre pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.2 Les différentes phases du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.3 Les modélisations les plus importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Les vitesses et positions initiales sont incertaines . . . . . . . . . 38
4.3 Les conditions initiales, le temps initial et les paramètres sont
incertains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 Modélisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.2 Majoration de la divergence de trajectoire en fonction des divers
paramètres du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Application concrète de ces résultats . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Avec le phénomène de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Prise en compte de la forme physique du bloc et de la rotation
de celui-ci au cours du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
31

Chapitre 4. Chute d’un bloc
4.1 Inventaire des méthodes et théories existantes pour cerner
ce problème
4.1.1 Mise en oeuvre pratique
La problématique des chutes de blocs prend toute son importance aujourd’hui, suite à l’étalement
de la population et des activités. Les moyens de lutte consistent, entre autres, en la
définition des zones à risque et la construction de systèmes de défense adéquats. Pour réaliser
ceci, trois étapes sont nécessaires :
– L’évaluation des risques d’instabilité passe par la reconnaissance des masses instables,
ainsi que des mécanismes de rupture (ce qui permet de d’estimer les conditions initiales
en position et en vitesse du mouvement de chute de ces blocs).
– L’évaluation de la zone menacée détermine jusqu’où vont les roches, ainsi que la hauteur
maximale atteinte par leur trajectoire.
– La proposition de mesures de protection utilise essentiellement deux sortes de méthodes :
les méthodes expérimentales et les méthodes analytico-numériques.
Notre but ici est de proposer un moyen permettant de vérifier les résultats obtenus par une
des méthodes précédentes. Ainsi notre travail se situe au niveau de la deuxième étape. Plus
précisément, ses conclusions permettent de valider ou non cette étape.
La troisième étape se décompose en deux catégories disctinctes :
– Les travaux actifs éliminent le risque en consolidant le ou les blocs instables ou les enlevant
de manière contrôlée.
– Les travaux passifs déplacent les biens/personnes menacées ou édifient une protection
autour d’eux.
4.1.2 Les différentes phases du mouvement
La trajectoire du bloc se décompose en deux phases distinctes :
– La partie aérienne de la trajectoire du bloc dans l’air se caractérise par l’absence de contact
entre le bloc et le terrain.
– L’interaction du bloc et du terrain fit intervenir plusieurs phénomènes dont :
– la fragmentation qui joue un rôle important dans le mouvement,
– la trajectoire du bloc suit la ligne de plus grande pente. De plus, les blocs volumineux
vont en général plus loin.
– Le rôle de la végétation peut être important.
La trajectoire du bloc dans l’air est régie par deux forces : la pesanteur et la résistance de
l’air, qui souvent est considérée comme négligeable.
L’interaction entre le bloc et la pente peut prendre plusieurs formes :
Le glissement : le bloc se déplace parallèlement au profil sur une de ses faces. La condition
pour ce genre de mouvement est que les blocs soient assez plats et que le profil de la pente
32

4.1. Théories existantes
soit régulier.
Ce phénomène a lieu généralement quand la vitesse est assez faible, donc en début ou fin
de trajectoire. Du frottement intervient, il dépend de la nature du bloc, du profil et des
surfaces engagées.
Le glissement est souvent modélisé par le modèle de Heim : la masse ne varie pas, le
coefficient de frottement est constant, la pression intersticielle est négligeable, il n’y a pas
de modification des surfaces de contact.
D’autres modélisations sont nées suite à l’idée que le glissement est facilité par la lubrification
:
– Par une couche d’air supportant la masse en mouvement (Kent, 1966 et Erisman, 1979).
– Par une couche de vapeur se formant au niveau de la zone de frottement ( Habib, 1967,
Goguel, 1972 et Pautre-Sabarly-Schneider, 1974).
– Par autolubrification (Erismann).
Le roulement intervient à la suite d’une irrégularité ou d’une vitesse de rotation élevée.
Sur terrain dur, ce phénomène peut être modélisé par une succession de mini-rebonds (ce
qui aura pour effet d’émousser les angles vifs du bloc).
Sur terrain mou, il y a alors poinçonnement.
L’impact est la discontinuité intervenant dans ce phénomène non-régulier. Il se traduit par une
variation brutale de la vitesse.
4.1.3 Les modélisations les plus importantes
Si le comportement est élastique (Sneddon, 1965), le bloc peut être considéré comme un
poinçon rigide de forme un cône de symétrie de révolution sur un plan horizontal semiinfini
élastique. L’enfoncement h est alors tel que h =
E
(1 − µ 2 ) π tan (θ)2h2 , où θ est le
demi-angle au sommet du cône, E et µ sont le module de Young et le coefficient de Poisson
du massif, P est la charge.
Si le comportement est rigide plastique (Houlsby, 1982), on pourra écrire P = Kh 2 , où K
est fonction des propriétés du matériau et de la géométrie du bloc.
Pendant la phase de restitution la force normale pourra être calculée F = Kh n , où n est
fonction de la forme dont le bloc se présente par rapport au profil.
Un autre phénomène pouvant intervenir dans ce type de trajectoire est la fragmentation :
lors d’un impact, un bloc se fragmente alors en blocs plus petits, dans différentes directions,
avec des vitesses différentes. Les plus petits s’arrêtent alors rapidement, tandis que les plus gros
continuent leur trajectoire pendant un certain temps. Ceci dépend de la nature de la roche et
du sol, ainsi que leur état de fissuration.
La fragmentation est déterminée par méthode expérimentale (voir [32]). Quand l’impact a
lieu, les contraintes sont élevées, elles vont se développer et se propager sous forme d’ondes. Des
hypothèses sont alors réalisées :
33

Chapitre 4. Chute d’un bloc
– La matériau est homogène, isotrope, élastique linéaire,
– l’impulsion initiale est connue,
– la célérité de l’onde transmise est constantel
– l’étude est limitée au cas plan et aux ondes élastiques.
Si l’onde de compression est notée σ 0 , la longueur d’onde λ, la limite de traction du matériau
σ t , l’impédance du milieu ρ c , l’épaisseur de l’écaille sera alors δ = σ t λ
, elle sera éjectée à une
σ 0 2
vitesse v = 2σ 0 − σ t
.
ρ c
Il existe un grand nombre de sortes de modélisation du terrain, dont la plupart sont bidimensionnelles.
Dans ce cas, le profil est souvent présenté comme une succession de segments.
Les propriétés et les caractéristiques du terrain sont alors définies sur chaque segment.
Azinimi et Al (1982) présente une méthode numérique, la ”lumped mass method“. Le profil,
en deux dimensions, est représenté par une succession de segments, dont l’inclinaison est
aléatoire. Le bloc est représenté par un point matériel, donc la rotation n’intervient pas. Le
mouvement est considéré comme une succession de rebonds, caractérisés par un coefficient de
restitution aléatoire variant autour d’une valeur moyenne.
La fragmentation est possible si une certaine densité d’énergie est supérieure à une valeur critique.
La réduction de la masse du bloc est alors proportiennelle à l’énergie consommée.
Falcetta[32] considère une pente en deux dimensions avec un bloc rigide et indéformable. Le
profil est modélisé par une succession de segments, caractérisés chacun par 5 paramètres. Le
bloc est modélisé par une suite fermée de segments de droite.
Ce modèle se base sur le calcul à tout instant des forces agissant sur le bloc, ce qui permet
de remonter jusqu’à sa vitesse et donc enfin jusqu’à sa trajectoire.
Pendant les périodes de trajectoire sans contact avec le sol, la seule action agissant sur le
bloc est le poids. Si le contact a lieu, F N est la force normale au profil et F T la force tangentielle.
Lors du glissement, F N est égale et opposée à la composante normale du poids du bloc et
F T = M u F N , où M u est un coefficient de frottement.
L’enfoncement a lieu quand au moins un des points de contact a une vitesse dirigée vers l’intérieur
du profil. Alors F N = Kh 2 , puis F N diminue jusqu’à s’annuler (déchargement). Pendant
tout ce mouvement, F T = 1 k
2 K F N = min(tan (u),M u )F N , où u est l’angle entre la normale au
profil et le vecteur vitesse du point de contact.
Le roulement est considéré comme des mini-rebonds d’une arête à l’autre.
Le modèle de Azzoni et Al [5], permet l’estimation des vitesses, des hauteurs de rebond, des
énergies et des distances parcourues jusqu’à l’arrêt.
Ce modèle, bi-dimensionnel, considère le profil comme une succession de segments. Le bloc
est un ellipsoïde avec une rotation autour du plus petit axe. Il n’y a pas de fragmentation des
blocs. Les trajectoires des différents blocs sont indépendantes.
34

4.1. Théories existantes
La chute libre a lieu après une phase de roulement ou de glissement, suite à un changement
abrupt de l’inclinaison, ou après un rebond. Seul le poids est pris en compte. Le mouvement est
la composition d’une translation du centre de gravité et d’une rotation autour de celui-ci.Les
conditions initiales sont prises lorsque le bloc se détache du profil. Il y a impact lorsqu’il y a
intersection de la parabole de la trajectoire avec le profil du sol.
Lors de l’impact, le contact a lieu sur une surface infinitésimale autour d’un point P, autour
duquel il y a rotation lors du rebond (s’il y a rebond). En effet, on compare la composition
normale de la vitesse V y et une valeur estimée expérimentalement Vy e : Si V y < Vy e , il y a
glissement ou roulement. Si V y > Vy e , il y a rebond après l’impact.
Toutes les valeurs sont définies autour d’une valeur moyenne, le résultat est alors obtenu par
simulation numérique (Monte Carlo).
Il existe encore d’autres méthodes :
– Analyse par déformations continues, en considérant le bloc comme une sphère [117] ou
comme des ensembles rigides ([59]).
– Répartition des différentes formes de trajectoires selon la valeur de l’inclinaison [84].
– Méthodes basées sur des systèmes d’informations géographiques. En particulier, la recherche
de la trajectoire de chute est basé sur l’analyse du voisinage par des fenêtres :
méthode D-8 par O’Callaghan et Mark en 1984 et méthode D-16 par Meissl en 1998.
– ...
Ainsi, les possibilités de modélisation du problème physique et du phénomène de chute sont
nombreuses. Il n’y a pas vraiment lieu de privilégier une méthode par rapport à une autre.
Nous avons alors décidé de modéliser notre problème de la façon la plus simple possible,
sachant qu’il est alors possible d’adapter rapidement la méthode à une autre modélisation, en
particuluer dans les programmes et calculs numériques.
Par conséquent, notre profil est représenté par un unique segment d’inclinaison donnée α. Le
bloc est représenté par un point matériel, dont les seuls mouvements possibles sont la chute libre
et l’impact (rebond). Par conséquent, nous ne tenons pas compte des phénomènes de rotation
et de glissement.
Une trajectoire typique obtenue avec cette modélisation est représentée sur la figure 4.1.
Nous modélisons le problème de la façon suivante (figure 4.2) : x est la coordonnée le long
de la pente, y est la direction normale dirigée vers le bas. L est la longueur horizontale de la
pente, θ est sa pente.
Nous posons : X =
⎡
⎢
⎣
x
ẋ
y
ẏ
⎤ ⎡
⎥
⎦ = ⎢
⎣
⎤
x 1
x 2
⎥
x 3
⎦
x 4
. Donc l’équation du mouvement est :
⎧
⎪⎨
Ẋ = f (X, t) =
⎪⎩
x 2
g sin (θ)
x 4
g cos (θ)
⎫
⎪⎬
⎪⎭
. (4.1)
35

Chapitre 4. Chute d’un bloc
10
0
−10
y −20
−30
−40
−50
0 10 20 30 40 50 60
x
Fig. 4.1 – Trajectoire d’un bloc de pierre sur une pente obtenue avec notre modélisation (x 0 =
0m, ẋ 0 = 1ms −1 , y 0 = −10m, ẏ 0 = 0ms −1 , θ = 45 ◦ , L = 50m, éboulis meuble).
y
x
L
Fig. 4.2 – Modélisation de la pente
θ
36

4.1. Théories existantes
On utilise les deux constantes de restitution suivantes :
{
Vrx = αV ix (α > 0) ,
V ry = βV iy (β < 0) .
(4.2)
Les valeurs des constantes α et β peuvent être prises en adéquation avec des valeurs physiques
utilisées pour des calculs de trajectoires de blocs de pierre sur pente. En effet, elles dépendant
de la pente, de la nature du sol, de la nature du bloc en chute.
Les fonctions indicatrices et de passage sont :
h(X) = x 3 = 0 ,
g (X) =
⎛
⎜
⎝
x + 1
x + 2
x + 3
x + 4
⎞ ⎛
⎟
⎠ = ⎜
⎝
x − 1
αx − 2
x − 3
βx − 4
⎞
(4.3)
⎟
⎠ .
Nous pouvons alors distinguer plusieurs cas, d’après que (δt 0 , δµ 0 ) = (0, 0) ou non. Dans le
premier cas, seules les conditions initiales en position et en vitesse sont incertaines.
37

Chapitre 4. Chute d’un bloc
4.2 Les vitesses et positions initiales sont incertaines
Dans ce cas, où δt 0 = 0 et δµ 0 = 0, en appelant t i l’instant de la discontinuité i, les expressions
des fonctions indicatrices et de passage sont :
t i−1 ≤ t < t i
⎡
: δẊ = ⎢
⎣
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎤
⎥
⎦ δX, δX (t i−1) = δX + i−1 ,
t = t i : H i = [ 0 0 1 0 ] ,
t > t i
G i =
⎡
⎢
⎣
δX + =
⎢
⎣
⎡
: δẊ = ⎢
⎣
1 0 0 0
0 α 0 0
0 0 1 0
0 0 0 β
⎡
⎤
⎥
⎦ , δt i = − δx 3
(
t
−
i
)
x 4
(
t
−
i
) ,
δx − 1 − (α + 1) x ( )
2 t
−
( i
x 4 t
−)δx − 3
i
αδx − 2 + (1 − α) g sin (θ) δx − 3
x 4
(
t
−
i
)
δx − 3 + (β − 1)δx− 3
βδx − 4 + (1 − β)g cos (θ) δx − 3
x 4
(
t
−
i
)
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎤
⎤
⎥
⎦
⎥
⎦ δX, δX (t = t i) = δX + i
.
,
(4.1)
38

4.2. Les vitesses et positions initiales sont incertaines
Nous pouvons donc en déduire les matrices de saut et de passage :
⎡ ⎤
1 T i 0 0
J i = ⎢ 0 1 0 0
⎥
⎣ 0 0 1 T i
⎦ , où : T i = t i − t i−1 ,
0 0 0 1
S i =
⎡
⎢
⎣
1 0 − (α + 1) x ( )
2 t
−
( i
)
x 4 t
−
0
i
0 α (1 − α) g sin(θ) ( )
x 4 t
−
i
0
0 0 β 0
0 0
g cos (θ)
(1 − β) ( )
x 4 t
−
i
β
⎤
⎥
⎦
.
(4.2)
Avec cette modélisation du problème, le cas où δt devient infini n’est pas pénalisant.
En effet, δt devient infini lorsque :
x 4
(
t
−
i
)
= 0 ⇔ x4
(
t
+
i−1
)
= 0 . (4.3)
Alors avec la loi de restitution qui a été choisie, il nous faut exclure le cas :
( )
x 4 t
+
0 = y0 ˙ = 0 et y 0 = 0 . (4.4)
En effet, si ce cas est exclu, c’est-à-dire si ẏ 0 ≠ 0, même en itérant il ne pourra jamais y avoir
x 4 (t) = 0 : L’ensemble ( x 1 (t − i ), x 2(t − i ), x 3(t − i ), x 4(t − i )) est entièrement compris dans l’ensemble
(
x1 (t + i−1 ), x 2(t + i−1 ), x 3(t + i−1 ), x 4(t + i−1 )) .
De plus, le cas d’une infinité d’impacts (dans lequel, même si ẏ 0 ≠ 0, ẋ 4 → 0) est impossible
ici avec la modélisation qui a été utilisée, si L est fini et l’angle de la pente assez conséquent
(supérieur à 45◦).
D’où :
Donc : J =
∏
J N−i S N−i J 0 .
N−1
i=0
N−1
∏
|||J||| ≤ |||J 0 ||| |||J N−i ||| × |||S Ni ||| . (4.5)
i=0
On utilise la norme subordonnée : |||A||| = max
i
∑
|a ij | .
j
|||J i ||| = max {1, 1 + T i } = 1 + T i . (4.6)
39

Chapitre 4. Chute d’un bloc
Les valeurs absolues des valeurs propres de S i sont 1, α et β (de multiplicité 2).
Donc le rayon spectral de S i est égal à : ρ (S i ) = 1.
Il existe donc une norme subordonnée N telle que :
∀ǫ > 0, ρ (S i ) ≤ N (S i ) ≤ ρ (S i ) + ǫ , (4.7)
∀ǫ > 0, 1 ≤ N (S i ) ≤ 1 + ǫ . (4.8)
Or la dimension est finie ici, donc il existe deux constantes L 1 et L 2 connues, telles que :
L 1 ≤ |||S i ||| ≤ L 2 (1 + ǫ).
Donc :
∃L 2 ∈ R ∗ , ∀ǫ > 0, |||J||| ≤ (1 + T i ) N+1 L N 2 (1 + ǫ) N . (4.9)
Pour pouvoir affirmer que cette borne de |||J||| est finie, il nous suffit donc d’évaluer le
nombre d’impacts N.
Pour ceci, on évalue la distance parcourue lors d’un bond :
(
Avec : X = tan (θ) −ẏ 0 + √ )
ẏ0 2 − 2gy 0 cos (θ) + ẋ 0 ,
Y = −ẏ 0 + √ ẏ 2 0 − 2gy 0 cos (θ) ,
Z = √ ẏ 2 0 − 2gy 0 cos (θ) ,
∆x 1 = x 1 − x 0 = sin(θ)
2g cos (θ) 2Y 2 ẋ 0
+
g cos (θ) Y ,
∀i ≥ 2, ∆x i = x i − x i−1 ,
(4.10)
= 2 sin(θ)
g cos (θ) 2 (−β)2i−2 Z 2 2
+
g cos (θ) α (−β)i−1 Z
×
[
α i−2 X − (−β) i−2 2 tan (θ)Z 1 − (−α/β)i−2
1 + α/β
]
.
Ces calculs sont explicités dans l’annexe C.
N est donc le premier entier tel que :
40
x 1 − x 0 +
N∑
x i − x i−1 ≥ L . (4.11)
i=2

4.3. Les conditions initiales, le temps initial et les paramètres sont incertains
En particulier, une majoration du nombre d’impacts N peut être obtenue par :
N ≤ N1, avec :
N 1 =
ln
(1 − g cos ( (θ)2 1 − β 2) [
2 sin(θ)Z 2 L −
2 ln (−β)
sin (θ)
2g cos (θ) 2Y 2 −
] )
ẋ 0
g cos (θ) Y
+ 2 .
(4.12)
Ainsi, la norme de J peut être majorée par :
On pose : M 1 = (1 + T i ) N 1+1 L N 1
2 (1 + ǫ) N 1
.
Alors :
|||J||| ≤ (1 + T i ) N 1+1 L N 1
2 (1 + ǫ) N 1
. (4.13)
||f (x 0 + h) − f (x 0 ) || ≤ |||J||| × ||h|| ≤ M 1 ||h|| . (4.14)
En fixant une valeur limite à l’erreur ||f (x 0 + h)−f (x 0 ) ||, il est alors possible de déterminer
un pas maximum ||h|| à utiliser lors de calculs sur grille.
Remarques :
– La formule (4.12) de majoration du nombre d’impacts peut parfois se révéler être trop
grossière. Il suffit alors d’incrémenter la distance parcourue avec des x i − x i−1 jusqu’à ce
que celle-ci soit supérieure à L. Le nombre d’impacts est ainsi obtenu très facilement.
– Cette même formule dépend de conditions initiales et de paramètres qui peuvent être
aléatoires. Il s’agit alors de choisir les valeurs numériques les plus contraignantes pour
calculer le nombre maximum d’impacts possibles.
– Ce calcul n’est réellement valable que pour des pentes d’inclinaison forte ou de longueur
faible à moyenne. Pour des pentes de longueur supérieure et d’inclinaison faible (voir [84]),
il sera nécessaire de tenir compte de certaines phénomènes plus complexes, tels que la
friction ou le glissement...
4.3 Les conditions initiales, le temps initial et les paramètres
sont incertains
Dans ce cas, plus général : δµ 0 ≠ 0 et δt 0 ≠ 0.
4.3.1 Modélisation du problème
Nous modélisons le( problème ) comme auparavant, avec de plus, le vecteur de paramètres
α
aléatoires égal à : µ = .
β
41

Chapitre 4. Chute d’un bloc
Alors :
⎢
⎣
(t i−1 ≤)t < t i : δẊ = ⎡
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎤ ⎡
⎥
⎦ δX + ⎢
⎣
0 0
0 0
0 0
0 0
⎤
⎥
⎦ δµ 0 , (4.1)
t = t i : δt i = − δx− 3
x − 4
⎡
δX + =
⎢
⎣
,
δx − 1 − (α + 1)x− 2
x − δx − 3
4
αδx − 2 + (1 − α)g sin(θ)δx− 3
x − 4
δx − 3 − (β + 1)δx− 3
βδx − 4 + (1 − β)g cos (θ) δx− 3
x − 4
⎤
⎡
+ ⎢
⎣
⎥
⎦
0 0
x − 2 0
0 0
0 x − 4
⎤
⎥
⎦ δµ 0 ,
(4.2)
On obtient de ceci des matrices de passage et de saut modifiées :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
δX − i
=
δX + i
=
⎡
⎢
⎣
1 t i − t i−1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 t i − t i−1
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦ δX+ i−1 ,
⎡
⎤
1 0 −(α + 1) x− 2
x − 0
⎡
4
0 α (1 − α) g sin(θ)
x − 0
4
δX − i
+ ⎢
⎣
⎢ 0 0 −β 0
⎥
⎣ g cos (θ) ⎦
0 0 (1 − β)
x − β
4
0 0
x − 2 0
0 0
0 x − 4
⎤
⎥
⎦ δµ 0 .
(4.3)
4.3.2 Majoration de la divergence de trajectoire en fonction des divers paramètres
du système
Pour cela, nous majorons le système d’équations 4.3 où les conditions initiales et les paramètres
sont supposés aléatoires. Il est ensuite aisé de retrouver le cas plus simple du paragraphe
4.2.
Il nous faut maintenant estimer les vitesses avant impacts x 2
(
t
−
i
)
et x4
(
t
−
i
)
. Les mouvements
42

4.3. Les conditions initiales, le temps initial et les paramètres sont incertains
selon les axes x et y sont régis par les équations :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x =
y =
g sin(θ) (t − t 0 ) 2 + ẋ 0 (t − t 0 ) + x 0 ,
g cos(θ) 2
(t − t 0 ) 2 + ẏ 0 (t − t 0 ) + y 0 .
2
(4.4)
Il y a impact lorsque y = 0, donc lorsque :
t − t 0 = −ẏ 0 + √ ẏ 2 0 − 2y 0g cos (θ)
g cos (θ)
. (4.5)
Lors d’un impact, on a :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẋ = g sin(θ) −ẏ 0 + √ ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ)
g cos (θ)
ẏ = g cos (θ) −ẏ 0 + √ ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ)
g cos (θ)
+ ẋ 0 ,
+ ẏ 0 .
(4.6)
où ẋ 0 , y 0 et ẏ 0 sont les conditions initiales de cette trajectoire aboutissant à cet impact.
Donc pour le premier impact, les vitesses avant impact sont :
{
ẋ − 1 = ẋ(t− 1
(−ẏ ) = tan (θ) 0 + √ )
ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ) + ẋ 0 ,
ẏ − 1 = ẏ(t− 1 ) = √ ẏ 2 0 − 2y 0g cos (θ) .
(4.7)
Lors du premier impact, on a alors :
( ) [
Ẋ 1 + ẋ(t
+ = 1 ) α 0
ẏ(t + 1 ) =
0 β
]
Ẋ − 1 . (4.8)
Pour les impacts suivants, on aura y 0 = 0, soit :
{
ẋ− n = −2 tan (θ)ẏ + n−1 + ẋ+ n−1 ,
ẏ − n = −ẏ + n−1 . (4.9)
43

Chapitre 4. Chute d’un bloc
Par récurrence, on obtient les résultats suivants :
⎧
∀i ≥ 1 , ẏ ( t − )
i = (−β)
i−1 √ ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ) ,
⎪⎨
∀i > 1 , ẋ ( t − )
i = α
i−1ẋ ( t − )
1 + 2 tan (θ) (−β)
i−1 1 − (−α/β) i−1 √
ẏ0 2 1 + α/β
− 2y 0g cos (θ) ,
∀i > 1 , x− i
y − i
=
(
(
− α ) i−1 tan (θ) −ẏ 0 + √ )
ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ)
√ẏ2
β
0 − 2y 0 g cos (θ)
−2 tan(θ) 1 − (−α/β)i−1 ,
1 + α/β
+ ẋ 0
(4.10)
t 1 − t 0 = −ẏ 0 + √ ẏ 2 0 − 2y 0g cos (θ)
g cos (θ)
,
⎪⎩
∀i > 1 , t i − t i−1 = 2 √
(−β)i ẏ0 2 g cos(θ)
− 2y 0g cos (θ) .
Nous utilisons les notations suivantes :
⎡
A i =
⎢
⎣
1 t i − t i−1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 t i − t i−1
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦ , (4.11)
⎡
B i =
⎢
⎣
1 0 − (α + 1) x ( )
2 t
−
( i
)
x 4 t
−
0
i
0 α (1 − α) g sin(θ) ( )
x 4 t
−
i
0
0 0 −β 0
0 0
g cos (θ)
(1 − β) ( )
x 4 t
−
i
β
⎤
⎥
⎦
, (4.12)
C i =
⎡
⎢
⎣
(
0
)
0
x 2 t
−
i
0
0
(
0
)
0 x 4 t
−
i
Nous calculons une norme subordonnée pour ces matrices.
44
⎤
⎥
⎦ . (4.13)

Comme auparavant, nous utilisons |||M||| = sup
i
4.3. Les conditions initiales, le temps initial et les paramètres sont incertains
n∑
|m ij | :
j=1
|||A i ||| = max {1, 1 + t i − t i−1 } , (4.14)
= 1 + t i − t i−1 , (4.15)
⎧
1 + −ẏ 0 + √ ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ)
si i = 1 ,
⎪⎨ g cos (θ)
=
(4.16)
⎪⎩ 1 + 2 √
(−β)i ẏ0 2 g cos (θ)
− 2y 0g cos (θ) si i > 1 .
De même :
|||B i |||
{
= max 1 + (α + 1) x ( )
2 t
−
( i
x 4 t
−), α + (1 − α) g sin(θ) ( )
i
x 4 t
−
, −β + (1 − β)
i
}
g cos (θ)
( )
x 4 t
−
i
. (4.17)
Donc si i = 1 :
⎧
⎡ (
1 + (α + 1) ⎣ tan (θ) −ẏ 0 + √ )
ẏ0 2 − 2y ⎤
0g cos (θ) + ẋ 0
√ẏ2 ⎦
0 − 2y 0 g cos (θ)
⎫
|||B 1 |||
⎪⎨
= max
α + (1 − α)
g sin(θ)
√ẏ2
0 − 2y 0 g cos (θ)
⎪⎬
. (4.18)
⎪⎩
−β + (1 − β)
g cos (θ)
√ẏ2
0 − 2y 0 g cos (θ)
⎪⎭
De même, si i > 1 :
⎧
⎡
(
1 + (α + 1) ⎣ − α β
(
) i−1 tan (θ)
−ẏ 0 + √ )
ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ) + ẋ 0
√ẏ2
0 − 2y 0 g cos (θ)
⎫
|||B i |||
⎪⎨
= max
]
−2 tan(θ) 1 − (−α/β)i−2
1 + α/β
g sin(θ)
α + (1 − α)
(−β) i−1 √ ẏ0 2 − 2y 0g cos(θ)
⎪⎬
.
⎪⎩
g cos (θ)
−β + (1 − β)
(−β) i−1 √ ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ)
⎪⎭
45

Chapitre 4. Chute d’un bloc
On a : |||C i ||| = max { x 2
(
t
−
i
)
, x4
(
t
−
i
)}
. Ainsi, on aura :
Si i = 1
|||C 1 ||| =
{ (
max tan (θ) −ẏ 0 + √ )
ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ) + ẋ 0 , √ }
ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ)
. (4.19)
Si i > 1 : (4.20)
⎧
(−β) i−1 √ ẏ0 2 − 2y ⎫
0g cos (θ)
⎪⎨
(
|||C i ||| = max α
[tan i−1 (θ) −ẏ 0 + √ ) ] ⎪⎬
ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ) + ẋ 0 . (4.21)
⎪⎩ −2 tan (θ)(−β) i−1 1 − (−α/β) i−2 √
ẏ0 2 1 + α/β
− 2y 0g cos (θ)
⎪⎭
Si nous supposons que les conditions initiales sont bornées : par exemple, supposons que x 0 ∈ [x 01 , x 02 ],
ẋ 0 ∈ [ẋ 01 , ẋ 02 ], y 0 ∈ [y 01 , y 02 ], ẏ 0 ∈ [ẏ 01 , ẏ 02 ], α ∈ [α 1 , α 2 ] et β ∈ [β 1 , β 2 ].
Nous avons alors logiquement y 01 ≤ 0 et y 02 ≤ 0.
De même, d’après leur définition, on a α ≥ 0 et β ≤ 0, donc on a : α 1 ≥ 0, α 2 ≥ 0 et β 1 ≤ 0, α 2 ≥ 0.
Mais nous supposons également pour simplicité des calculs ẏ 01 ≤ 0 et ẏ 02 ≤ 0 (ce qui semble naturel si le bloc
se détache d’une falaise).
De plus, nous notons :
⎧
Z = √ ẏ 2 0 − 2y 0g cos (θ) ,
Z 1 = √ ẏ 2 01 − 2y 01g cos (θ) ,
Z 2 = √ ẏ 2 02 − 2y 02g cos (θ) ,
Y = −ẏ 0 + √ ẏ 2 0 − 2y 0g cos (θ) ,
⎪⎨
Y 1 = −ẏ 01 + √ ẏ 2 01 − 2y 01g cos (θ) ,
Y 2 = −ẏ 02 + √ ẏ 2 02 − 2y 02g cos (θ) ,
(
X = tan (θ) −ẏ 0 + √ )
ẏ0 2 − 2y 0g cos (θ) + ẋ 0 ,
(4.22)
⎪⎩
X 1
X 2
(
= tan (θ) −ẏ 01 + √ )
ẏ01 2 − 2y 01g cos (θ) + ẋ 02 ,
(
= tan (θ) −ẏ 02 + √ )
ẏ02 2 − 2y 02g cos (θ) + ẋ 01 .
46

4.3. Les conditions initiales, le temps initial et les paramètres sont incertains
Nous obtenons alors les majorations suivantes :
De même :
Enfin :
1 + (α 2 + 1)
⎪⎨
∀i > 1 , |||B i ||| ≤ max
⎪⎩
|||A 1 ||| ≤ 1 + Y 1
g cos(θ) , (4.23)
∀i > 1 , |||A i ||| ≤ 1 + 2 (−β 1) i
g cos (θ) Z 1 . (4.24)
{
|||B 1 ||| ≤ max 1 + (α 2 + 1) X 1
, α 2 + (1 − α 1 ) g sin(θ) , −β 1 + (1 − β 1 )
Z 2 Z 2
⎧ [ (
− α ) ]
i−1
2 X 1
− 2 tan (θ) 1 − (−α 1/β 1 ) i−2
,
β 2 Z 2 1 + α 1 /β 1
}
g cos (θ)
Z 2
, (4.25)
⎫⎪ ⎬
g sin(θ)
α 2 + (1 − α 1 )
(−β 2 ) i−1 ,
. (4.26)
Z 2
g cos (θ)
−β 1 + (1 − β 1 )
⎪ ⎭
(−β 2 ) i−1 Z 2
(4.27)
|||C 1 ||| ≤ max {X 2 , Z 1 } , (4.28)
∀i > 1 , |||C i ||| ≤ max
Nous savons quel est le nombre maximal d’impacts. On a :
ln
{
}
(−β 1 ) i−1 Z 1 , α2 i−1 X 2 − 2 tan(θ)(−β 1 ) i−1 1 − (−α 2 /β 2 ) i−2
Z 1
1 + α 1 /β 1
(1 − g cos ( (θ)2 1 − β 2) [
2 sin(θ)Z 2 L −
sin(θ)
2g cos (θ) 2Y 2 −
] )
ẋ 0
g cos (θ) Y
. (4.29)
N ≤ N 1 où N 1 =
+ 2 , (4.30)
2 ln (−β)
Donc en prenant en compte l’incertitude des paramètres et des conditions initiales, (4.31)
(
ln 1 − g cos ( (θ)2 1 − β 2 ) [
2
2 sin (θ)Z 2 L −
sin(θ)
] )
1 2g cos (θ) 2Y 2 ẋ 0
2 −
g cos(θ) Y 2
N 1 =
+ 2 . (4.32)
2 ln (−β 2 )
Si nous supposons encore que − α 1
β 1
≥ 1 et − α 2
β 2
≥ 1 (proportionnellement la composante normale de la vitesse
47

Chapitre 4. Chute d’un bloc
est plus transmise que la composante tangentielle, vérifié par une grande majorité de sols réels), nous obtenons :
|||A 1 ||| ≤ 1 + Y 1
g cos (θ) ,
∀i ≥ 2 , |||A i ||| ≤ 1 + 2Z 1
g cos (θ) ,
{
|||B 1 ||| ≤ max 1 + (1 + α 2 ) X 1
, α 2 + (1 − α 1 ) g sin(θ) , −β 1 + (1 − β 1 )
Z 2
∀i ≥ 2 , |||B i ||| ≤ max
∀i , |||C i ||| ≤ max
{
1 + (1 + α 2 )
α 2 + (1 − α 1 )
{
Z 2
}
g cos (θ)
Z 2
[ (
− α ) ]
N1
2
−1 X 1
− 2 tan (θ) 1 − (−α 1/β 1 ) N 1−2
,
β 2 Z 2 1 + α 1 /β 1
g sin(θ)
(−β 2 ) N 1−1 Z 2
, −β 1 + (1 − β 1 )
X 2 + 2 tan (θ)Z 1
1 − (−α 2 /β 2 ) N 1−2
1 + α 1 /β 1
, Z 1
}
}
g cos (θ)
(−β 2 ) N1−1 Z 2
.
,
,
(4.33)
Nous notons :
A 1 = 1 + Y 1
g cos (θ) ,
∀i ≥ 2 , A i = 1 + 2Z 1
g{
cos (θ) ,
B 1 = max 1 + (1 + α 2 ) X 1
, α 2 + (1 − α 1 ) g sin(θ) , −β 1 + (1 − β 1 )
{ Z[ 2 Z ( 2
∀i ≥ 2 , B i = max 1 + (1 + α 2 ). − α ) ]
N1 −1
2
. X 1
− 2 tan (θ). 1 − (−α 1/β 1 ) N 1−2
,
β 2 Z 2 1 + α 1 /β 1
∀i , C i
α 2 + (1 − α 1 )
{
= max
g sin (θ)
(−β 2 ) N 1−1 Z 2
, −β 1 + (1 − β 1 )
X 2 + 2 tan(θ).Z 1 . 1 − (−α 2/β 2 ) N 1−2
1 + α 1 /β 1
, Z 1
}
}
g cos (θ)
(−β 2 ) N1−1 Z 2
.
}
g cos (θ)
Z 2
,
,
(4.34)
Lors d’un seul impact, la précision de la maille à utiliser pourra être déduite de :
||δX1 − || ≤ A 1||δX 0 || ,
||δX 1 + || ≤ A 1B 1 ||δX 0 || + C i ||δµ 0 || .
(4.35)
48

4.4. Application concrète de ces résultats
De plus :
n−2
||δX n + || ≤ BA||δX n−1 + || + C||δµ 0|| ≤ (BA) n−1 ||δX 1 + || + C||δµ ∑
0|| (BA) j ,
Donc :
j=0
Si BA=1 :
||δX + n || ≤ (AB) n−1 B 1 A 1 ||δX 0 || + (n − 1) C||δµ 0 || ,
(4.36)
Si BA ≠ 1 :
||δX + n || ≤ (AB) n−1 B 1 A 1 ||δX 0 || + C 1 − (AB)n
1 − AB ||δµ 0|| .
4.4 Application concrète de ces résultats
Nous avons donné l’expression de la jacobienne. Ceci nous permet de déterminer la finesse
des calculs sur grille nécessaire pour obtenir une certaine précision ǫ.
Par exemple (figure 4.3), pour déterminer la hauteur minimale H min d’un ouvrage de protection
contre la chute de blocs de manière numérique, cela nous donne le pas en conditions initiales à
utiliser pour que la hauteur maximale de saut h max soit toujours telle que :
h max ≤ H min + ǫ . (4.1)
(x 0 , ẋ 0 )
✻
h max
✻
❄ h
❄
Fig. 4.3 – Problème étudié : le but est de chercher h max qui est la hauteur maximale en bas de
pente pouvant être atteinte pour un hypercube de conditions initiales et de paramètres.
Nous utilisons la formule (4.36) trouvée précédemment . Nous comparons alors ces résultats
à ceux obtenus numériquement.
49

Chapitre 4. Chute d’un bloc
||δX 1 + || ||δX+ 2 || ||δX+ 3 ||
Indép. i Dép. i Indép. i Dép. i Indép. i Dép. i
||δX 0 || = 0.01 et ||δµ 0 || = 0.01 1.1 0.4 329 11.1 98185 850
||δX 0 || = 0.1 et ||δµ 0 || = 0.1 11 4 3288 111 981841 8495
||δX 0 || = 0.1 et ||δµ 0 || = 0 2.2 2.2 635 59 189441 4511
||δX 0 || = 0.01 et ||δµ 0 || = 0 0.22 0.22 63.5 5.9 18945 451.1
||δX 0 || = 0 et ||δµ 0 || = 0.1 8.9 1.84 2653 51.8 792401 3983.4
||δX 0 || = 0 et ||δµ 0 || = 0.01 0.89 0.184 265.3 5.18 79240.1 398.34
Tab. 4.1 – Divergences de trajectoires après les 1 er , 2 e et 3 e impact, en fonction des divergences
initiales et de la méthode utilisée.
Nous utilisons les valeurs numériques suivantes : x 0 = 0m, ẋ 01 = 0ms −1 , ẋ 02 = 1ms −1 , y 01 =
−10m, y 02 = −9m, ẏ 01 = −2ms −1 , ẏ 0 2 = −0.5ms −1 , β 1 = −0.22rad, β 2 = −0.17rad, α 1 =
0.69rad, α 2 = 0.82rad, θ = 0.88rad, L = 25m. Alors N 1 ≤ 3.
Nous calculons les majorations de ||δX 1 + ||, ||δX+ 2 || et ||δX+ 3 ||, pour différentes valeurs de
la maille (0, 0.1 et 0.01), pour la majoration indépendante de i et celle dépendant de i. La
majoration indépendante de i est donée par la formule (4.34) (page 48), alors que celle dépendant
de i correspondant aux équation (4.27) à (4.29) (page 47).
Les résultats sont présentés dans le tableau 4.1 :
– Pour la majoration indépendante de i, on observe une relative proportionnalité des erreurs
réalisées par rapport aux mailles ||δX 0 || et ||δµ 0 ||. Ceci est conforme aux résultats trouvés
précédemment.
– La majoration introduite par la formule 4.33 est grossière. En effet, elle est indépendante
du saut considéré, contrairement à la majoration dont les résultats sont écrits entre parenthèses.
– Si on considère la majoration indépendante de i, le caractère aléatoire des paramètres a
des conséquences plus importantes que celui des conditions initiales : pour une variation
égale des paramètres et des conditions initiales, la jacobienne varie plus pour la variation
de paramètres.
– Cela n’est plus le cas si on considère la majoration plus fine, dépendante de i. Dans ce cas,
une variation des conditions initiales et une variation des paramètres de même amplitudes
ont pratiquement le même effet. Ici, avec les amplitudes d’incertitude utilisées, la majoration
dépendante de i semble beaucoup plus intéressante. Pourtant il faut remarquer que
le pas en espace et en temps utilisés (δX 0 et δµ 0 ) sont importants. En pratique, la majoration
indépendante de i peut être suffisante, et en particulier elle peut suffire à réaliser
une première estimation.
La maille à utiliser pour obtenir une certaine erreur peut donc être calculée simplement et
rapidement.
50

4.4. Application concrète de ces résultats
10
5
0
Trajectoires d’un bloc le long d’une pente
1
2
3
4
5
6
7
y
−5
−10
−15
−20
6 8 10 12 14 16 18
x
Fig. 4.4 – Trajectoires d’un bloc avec diverses conditions initiales et des coefficients de restitution
différents. Pour toutes ces courbes : x 0 = 0m, ẋ 0 = 0ms −1 , θ = 0.88rad, L = 25m. Pour la
trajectoire 1 : α = 0.69rad, β = −0.17rad, y 0 = −10m et ẏ 0 = −2ms −1 . Pour la trajectoire 2 :
α = 0.82rad, β = −0.17rad, y 0 = −10m et ẏ 0 = −2ms −1 . Pour la trajectoire 3 : α = 0.69rad,
β = −0.22rad, y 0 = −10m et ẏ 0 = −2ms −1 . Pour la trajectoire 4 : α = 0.82rad, β = −0.22rad,
y 0 = −10m et ẏ 0 = −2ms −1 . Pour la trajectoire 5 : α = 0.69rad, β = −0.22rad, y 0 = −10m et
ẏ 0 = −0.5ms −1 . Pour la trajectoire 6 : α = 0.69rad, β = −0.22rad, y 0 = −9m et ẏ 0 = −2ms −1 .
Pour la trajectoire 7 : α = 0.69rad, β = −0.22rad, y 0 = −9m et ẏ 0 = −0.5ms −1 .
Finalement, il est à remarquer que ces majorations (4.33) sont grossières. Si on désire des
améliorations, il est alors possible de normer ces matrices en fonction du saut considéré et non
plus en fonction du nombre maximal N 1 de sauts.
Numériquement, nous obtenons les trajectoires de la figure 4.4 :
Certaines remarques peuvent être réalisées :
– Si θ augmente, A 1 , A, B 1 , B et C augmentent. Mais le nombre de bonds diminue. Au
contraire, si θ diminue, l’erreur diminue.
– Si la longueur de la pente, L, augmente, l’erreur faite lors de l’approximation de la trajectoire
reste la même. Mais le nombre de sauts augmente, donc en fin de trajectoire, l’erreur
sera plus grande avec une longueur de pente plus importante.
– Si β 1 diminue, C augmente donc l’erreur également.
Si β 2 augmente, B et C augmentent, ainsi que le nombre de bonds effectués.
– Si α 1 diminue, C augmente.
Si α 2 augmente, B et C augmentent.
– La valeur de x 0 n’a aucune incidence sur la norme des matrices, mais elle détermine le
51

Chapitre 4. Chute d’un bloc
nombre de sauts effectués : si x 0 augmente, le nombre de sauts diminue et vice-versa.
Si ẋ 0 augmente, alors les normes B 1 et B également.
Si y 01 diminue, A 1 , A, B 1 , B et C augmentent, donc l’erreur également. Si y 02 augmente,
B 1 et B également, mais C i diminue. Attention, car alors la majoration (4.32) peut ne
plus être applicable.
Finalement, si ẏ 01 diminue, A 1 , A, B 1 , B et C augmentent. Si ẏ 02 augmente, ce sont les
normes B 1 , B et C qui augmentent ainsi que le nombre maximum de sauts N 1 .
Il est possible de se ramener au cas du paragraphe 4.2 quand les paramètres sont supposés
parfaitement connus en posant C = 0. Alors ||δX + n || ≤ (A.B) n−1 .A 1 .B 1 .||δX 0 ||. Une “vraie
jacobienne” peut être écrite.
Maintenant, nous allons donner quelques pistes pour une modélisation du phénomène plus
réelle.
4.5 Avec le phénomène de frottement
Nous utilisons la même modélisation du terrain que précédemment.
Les coefficient de restitution et de friction se définissent de la façon suivante d’après [13] :
e = − v 1n
V 1n
, 0 ≤ e ≤ 1 ,
µ = − P t
,
P n
où v 1n est la vitesse normale avant impact,
où V 1n est la vitesse normale après impact,
où P t est la perte de puissance tangentielle,
où P n est la perte de puissance normale.
(4.1)
Avec : P n = m 1 (v 1n − V 1n ) = −m 2 (v 2n − V 2n ) et P t = m 1 (v 1t − V 1t ) = −m 2 (v 2t − V 2t ).
Donc : V 1t − v 1t = µ(V 1n − v 1n ). Les vitesses finales peuvent être calculées :
{
v1n = −eV 1n ,
v 1t = V 1t − µ(1 + e) V 1n .
(4.2)
Si nous appelons T L la part d’énergie dissipée, celle-ci peut-être exprimée par :
T L = 1 2
[(
V
2
1t + V 2
1n)
−
(
v
2
1t + v 2 1n)]
. (4.3)
Cette énergie peut s’écrire sous la forme adimensionnelle : T ′
l (e) = 1 2 (1 + e) [ (1 − e) + 2µr − µ 2 (1 + e) ]
où r = V 1t
. Cette dernière présente un maximum pour µ = µ m =
V 1n
Deux comportements sont alors possibles :
52
r
1 + e .

4.6. Prise en compte de la forme physique du bloc et de la rotation de celui-ci au cours du mouvement
1. Si µ < µ m : Il y a glissement à la séparation, et les vitesses finales sont données par :
{
v1n = −eV 1n ,
v 1t = V 1t − µ(1 + e)V 1n .
[ ]
v1t
Donc si nous appelons v = la vitesse finale (après impact) et V =
v 1n
vitesse initiale (avant impact), nous aurons :
v = SV avec S =
[ 1 −µ(1 + e)
0 −e
]
[
V1t
V 1n
]
(4.4)
la
. (4.5)
2. Si µ ≥ µ m : Il n’y a pas de glissement, et les vitesses finales sont données par v 1t = v 2t = 0
et v 1n = −eV 1n . Nous pouvons donc écrire :
[ ] 0 0
v = SV avec S = . (4.6)
0 −e
Dans ce cas où la pente est modélisée très simplement (sans végétation), nous pouvons
supposer le cas 2 comme physiquement impossible. Pourtant, le modèle de restitution doit alors
être modifié. Nous aurons :
{
Vrx = V ix + αV iy ,
(4.7)
V ry = βV iy .
Nous ne tenons ici pas compte du phénomène de glissement : en effet, l’expérience montre
que celui-ci n’a lieu qu’en début de mouvement (interdit par les restrictions que nous faites sur
les conditions initiales) ou en fin.
4.6 Prise en compte de la forme physique du bloc et de la rotation
de celui-ci au cours du mouvement
Soit v in et v it respectivement les vitesses normales et tangentielles du corps i, w i le taux de
rotation du corps i, d i la distance entre le centre de gravité et le point de contact.
Soit h la distance entre le centre de gravité et le point de contact selon l’axe normal, d la
même distance mais selon l’axe tangentiel.
Soit e le coefficient de restitution en vitesse et e ′
le coefficient de restitution en rotation.
Alors nous pouvons écrire les équations suivantes :
⎧
⎨
⎩
v 1n + d 1 .w 1 = −e(V 1n + d 1 .ω 1 ) ,
µ(v 1n − V 1n ) = v 1t − V 1t ,
−I 1 w 1 − m 1 d.e ′ v 1n + m 1 he ′ v 1t = I 1 e ′ ω 1 − m 1 de ′ V 1n + m 1 he ′ V 1t .
(4.1)
53

Chapitre 4. Chute d’un bloc
⎡
Nous notons v = ⎣
Alors v = SV avec :
⎤
v 1t
v 1n
w 1
⎡
⎦, V = ⎣
⎤
V 1t
V 1n
⎦.
ω 1
S =
1
I 1 − d 1 m 1 de ′ + m 1 he ′ d 1 µ × (4.2)
⎡
(
I 1 − d 1 m 1 de ′ + m 1 he ′ d 1 µ −µI 1 (e + 1) −d 1 µI 1 e − e ′) ⎤
(
⎢
⎣ 0 −I 1 e + m 1 he ′ d 1 µ − d 1 m 1 de ′ −d 1 I 1 e − e ′)
⎥
⎦ .
0 −m 1 e ′ (−ed + eµh + µh − d) −e ′ (−m 1 ed 1 d + m 1 ed 1 µh + I 1 )
Dans ce cas-là également, nous pouvons appliquer directement la formule (4.36) et estimer
l’évolution de la divergence. Nous ne développons pas cette étude dans cette thèse. En effet cette
modélisation, comme celle utilisée auparavant, en est une parmi d’autres. De plus, notre but ici
est de développer et expliciter une méthode pour estimer l’incertitude de la réponse du système.
54

Conclusion
Notre but ici était d’expliquer l’intérêt, de généraliser l’inégalité des accroissements finis aux
systèmes mécaniques non réguliers et d’examiner la faisabilité des calculs.
Pour ceci, tout d’abord, nous avons défini en toute généralité les matrices de saut et de passage
pour ces systèmes. Ensuite, nous avons appliqué ceci à un oscillateur linéaire à impacts. Nous
nous sommes ainsi aperçus que ce cas ne permettait pas d’obtenir des conclusions pertinentes
en ce qui concerne le calcul sur grille. Enfin, nous avons étudié les problèmes du billard et de la
chute de blocs sur une pente. Dans ce cas, nous avons pu majorer la jacobienne, ce qui permet
d’intuiter la taille de la maille à utiliser.
Cette méthode tout à fait générale, peut être appliquée à toute sorte de systèmes mécaniques
non réguliers. De plus, cette étude appelle un certain nombre de perspectives, par exemple dans
l’étude de la chute de blocs :
– Avec ce qui a été fait ici, il est possible de déterminer l’influence de conditions initiales,
de l’origine du temps ou des paramètres, dont la valeur numérique n’est pas connue exactement.
Mais, nous n’avons pas traité de cas ayant des paramètres incertains. Il pourrait
donc être utile d’examiner la jacobienne de la transformation en fonction d’un vecteur
paramètres µ, et de comparer ces résultats avec d’autres existants ([105]).
– La modélisation n’a fait intervenir qu’un seul bloc, ce qui est un cas assez simple. Elle
pourrait donc être améliorée en faisant l’hypothèse de plusieurs blocs en chute libre, qui
peuvent alors avoir des trajectoires indépendantes ou non. Si des blocs s’entrechoquent, il
s’agit alors d’en chercher les conséquences possibles : fissuration, diminution des coefficients
de restitution lors d’impacts...
– La modélisation même de la trajectoire des blocs a été choisie très simple ici. Ceci peut
être corrigé : tout d’abord, il est certain que le bloc de pierre en chute libre n’est pas un
point matériel, il est souvent modélisé par un ellipsoïde ou une boule ([5]). En particulier,
il peut présenter un mouvement de rotation qui n’a pas été pris en compte ici. Le vecteur
position aura alors deux composantes supplémentaires : la rotation et le taux de rotation.
– De plus, il a été considéré ici que le mouvement se décompose en deux phases distinctes :
la chute libre et l’impact. Or il est certain qu’un bloc peut présenter des mouvements de
roulement et de glissement. D’ailleurs, ces derniers sont ceux qui posent le plus problème.
55

Conclusion
En effet, on a alors : x 4
(
t
−
i
)
= 0, la formule (1.16) n’est plus valable. Même en pratique,
dans les carrières, ces phénomènes empêchent la prévision exacte des mouvements (avec
[13]).
– En outre, la modélisation de l’impact est elle-aussi très simple. Or en toute généralité, si
le bloc de pierre n’est pas considéré comme un point matériel mais comme un solide de
volume V fini, il faut considérer plusieurs cas, selon la manière dont le bloc impacte. En
effet, il faudra alors distinguer les cas d’impact sur les arêtes, les faces...( voir [50]).
– Enfin, la pente a été supposé ici d’angle constant et en deux dimensions. Il est certain qu’il
est envisageable de traiter les pentes dont l’angle varie et en trois dimensions. Cela est
réalisable simplement de manière numérique. Réaliser cela analytiquement semble toutefois
problématique (voir [12]).
Ainsi, cet article ne prétend pas résoudre le problème des chutes de blocs, mais seulement
apporter un moyen de contrôle des calculs à adapter selon les modélisations utilisées.
Enfin, je voudrais faire remarquer que ces matrices de passage et de saut ont des applications
très différentes. En particulier, dans le cadre de cette thèse, elles ont utilisées également dans
la partie sur les exposants de Lyapunov en temps fini, afin de définir ceux-ci pour des systèmes
dynamiques non-réguliers (puisque cet exposant caractérise l’évolution d’une divergence initiale
au cours du temps).
56

Deuxième partie
Etude de l’équation de
Fokker-Planck
57

Cette partie a été le sujet d’un article et de la participation à trois conférences avec actes :
– F. Schmidt, C.-H. Lamarque 2009. “Computation of the solutions of the Fokker-Planck
equation for one and two DOF systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical
Simulation, Vol. 14, No 2, p.529-543, [96].
– C.-H. Lamarque, F. Schmidt, “Etude de systèmes incertains avec l’équation de Fokker-
Planck”, 18 e Congrès Français de Mécanique, Grenoble, 27-31 août 2007, [65].
– C.-H. Lamarque, F. Schmidt, “A probabilistic approach to uncertain dynamical systems”,
ECCOMAS conference on Computationnal Methods, Rethymno, Crète, Grèce, 13-16 Juin
2007, [66].
– C.-H. Lamarque, S. Pernot, E. Gourdon, S. Coutel, F. Schmidt,“Energy pumping : design,
experiment, efficiency”, 2nd International Conference on Nonlinear Normal Modes and
Localization in Vibrating Systems, Samos, 19-23 juin 2006, [64].
59

Introduction
Sommaire
4.1 Théories existantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.1 Mise en oeuvre pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.2 Les différentes phases du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1.3 Les modélisations les plus importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Les vitesses et positions initiales sont incertaines . . . . . . . . . 38
4.3 Les conditions initiales, le temps initial et les paramètres sont
incertains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 Modélisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.2 Majoration de la divergence de trajectoire en fonction des divers
paramètres du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Application concrète de ces résultats . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Avec le phénomène de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Prise en compte de la forme physique du bloc et de la rotation
de celui-ci au cours du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
L’équation de Fokker-Planck permet de substituer à l’étude microscopique d’un système une
étude macroscopique, moins complexe. Pour réaliser une étude microscopique d’un fluide par
exemple, il faudrait résoudre toutes les équations du mouvement de toutes les particules du
fluide (du nombre d’environ 10 23 ). Il faudrait également connaitre la force totale (aléatoire) des
molécules sur la particule, ainsi que toutes les conditions initiales (vitesse et position à l’instant
initial de toutes les particules du volume).
On étudie par conséquent le système à l’aide de variables macroscopiques qui fluctuent aléatoirement.
Ainsi l’équation de Fokker-Planck donne la densité de probabilité des états du système,
notée w ci-dessous. En effet, pour une seule variable appelée x ci-dessous, cette équation s’écrit :
∂w
∂t
[
= − ∂
]
∂x D(1) (x) + ∂2
∂x 2D(2) (x) w ,
où :
D (1) (x) est le coefficient de dérive (”drift“) et D (2) (x) > 0 est le coefficient de diffusion.
Ces deux coefficients peuvent dépendre du temps.
Mathématiquement, l’équation de Fokker-Planck est une équation aux dérivées partielles du
61
(1)

Introduction
second ordre de type parabolique. Cette équation ressemble à une équation de diffusion, mais
avec un terme supplémentaire de dérivée première en x.
Enfin, il nous faut remarquer qu’il existe d’autres équations permettant de réaliser ce passage
d’une étude microscopique à une étude macroscopique : l’équation de Boltzmann, la ”master
equation“...
Cette équation permet de prendre en compte des sollicitations stochastiques (ondes sismiques,
sollicitations mobiles...), mais elle permet également de traiter le cas de paramètres
incertains ([51, 99]). Pour tenir compte de milieux aléatoires (milieux composites ou multicouches,
non connus...) ou de paramètres réputés non connus (amortissement...), il est possible
d’écrire c = c 0 + c 1 .ξ(t), où c est le paramètre incertain, c 0 est sa valeur moyenne. La variation
de c est alors quantifié par ξ(t), qui peut être représenté par un bruit blanc ou coloré, comme
par exemple lors de l’application de l’équation de Fokker-Planck.
Finalement, la force aléatoire intervenant dans l’équation de Fokker-Planck peut aussi représenter
un bruit. Ce bruit peut être la conséquence de divers phénomènes, les sollicitations aléatoires
ou les paramètres incertains comme mentionné ci-dessus ou même par exemple le caractère rustique
et approximatif des modèles physiques utilisés.
La simplicité et le vaste champ d’applications de Fokker-Planck en font une équation populaire
tant au niveau théorique qu’expérimental. D’un côté, cette équation est toujours étudiée intensément
de manière théorique. De l’autre, de nombreux phénomènes physiques sont découverts
comme étant correctement décrits par l’équation de Fokker-Planck. Ainsi l’effort se concentre sur
la résolution de cette équation de manière efficace et correcte (voir section 1.2.2, page 74). Pourtant
des solutions analytiques exactes n’existent que pour un nombre très restreint de systèmes
physiques. Celles-ci servent alors essentiellement à tester et calibrer les procédures numériques.
Cette multiplicité de possibilités d’application de l’équation de Fokker-Planck entraine un
champ d’applications étendu, du monde économique et financier aux applications mécaniques,
en passant par les phénomènes biologiques.
Tout d’abord, la théorie de Fokker-Planck a été utilisé avec succès dans les sphères économique
et financière : ainsi, le taux de change US Dollar/Deutsche Mark présentant les caractéristiques
d’un processus de Markov ([33]), une équation différentielle partielle donnant la densité de probabilité
de ce taux de change a pu être écrite.
En ce qui concerne les phénomènes biologiques, l’équation de Fokker-Planck permet d’estimer les
croissances démographiques ([99]). En particulier, il a été montré que le maximum de variance
n’est pas atteint dans l’état stationnaire, ce qui est essentiel, par exemple, dans l’étude de la
qualité de l’eau par la croissance de la population des micro-organismes.
Enfin le domaine de la mécanique a été abordé lors de l’étude d’oscillateurs bien connus tel le
Duffing ([124, 116], ...) ou l’analyse de la dynamique des véhicules ([111]). Dans ce dernier cas,
le bruit introduit permet de rendre compte des inégalités de côte du terrain.
Finalement, il s’agit de remarquer que l’équation de Fokker-Planck possède encore plus d’exemples
62

d’applications, par exemple dans le domaine de la logique floue et des réseaux de neurones ([77]).
Dans notre travail, nous nous bornerons à appliquer cette équation à des oscillateurs à un
ou deux degrés de liberté.
Enfin, une remarque doit être faite dans cette introduction : les densités de probabilité ici
calculées peuvent avoir ponctuellement des valeurs strictement supérieures à 1. En effet, nous
utilisons trois contraintes pour fixer les constantes et les limites aux bords dans ce problème
d’évolution :
– Les probabilités et densités de probabilité doivent être positives. Si cela n’est pas le cas,
dû par exemple à des schémas d’intégration trop raides ou un paramètre mal choisi, nous
opérons une translation de toutes les densités (donc pour tous les noeuds du maillage) afin
que toutes soient positives.
– De plus, les densités de probabilité sont supposées nulles à l’infini. Ainsi, nous supputerons
qu’elle sont numériquement nulles aux bords de notre domaine d’étude, si celui-ci est
suffisamment étendu pour tenir compte de tous les phénomènes apparaissant au cours de
la dynamique.
Ceci est lié directement à la dernière propriété des densités de probabilité dont nous tiendrons
compte :
– L’intégrale de la densité de probabilité sur le domaine d’étude sera fixée égale à 1. Encore
une fois, nous supposons que le domaine d’étude choisi est suffisamment vaste pour
rendre compte de toutes les évolutions du système dynamique, ce qui suppose une certaine
connaissance du comportement déterministe de ce dernier.
63

Introduction
64

Chapitre 1
Ecriture, discrétisation et
vérification numérique des résultats
L’équation de Fokker-Planck-Kolmogorov est écrite pour des systèmes dynamiques
à un degré de liberté. Elle est résolue par une méthode numérique et
comparée à sa solution exacte dans un cas où cette dernière existe.
Sommaire
1.1 La théorie de l’équation de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . 65
1.2 Fokker-Planck pour systèmes à un ddl . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.2.1 Oscillateur de type Duffing sans sollicitation extérieure . . . . . . . 68
1.2.2 Oscillateur de type Duffing avec sollicitation extérieure . . . . . . . 72
1.3 Résolution par différences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.3.1 Différenciation par directions alternées . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.3.2 Recherche de schémas stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.3.3 Discrétisation du problème selon ces schémas . . . . . . . . . . . . 87
1.3.4 Avec seulement deux directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.3.5 Avec des conditions aux bords non nulles . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.3.6 Validation du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.1 La théorie de l’équation de Fokker-Planck
Les explications que nous donnons ici sont issues principalement de [15] et [100].
L’équation de Fokker-Planck ne peut être écrite que pour des processus de diffusion, qui sont
une classe particulière de processus de Markov.
65

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Soit X(t) = (X 1 (t), ..., X n (t)) un processus de Markov indexé sur T = [s 0 , +∞[ à valeurs
dans R n .
Définition 1.1.1 Processus de diffusion
Soit Q(s, x; t, B) sa probabilité de transition avec s 0 ≤ s < t < +∞, x ∈ R n et B ∈ B(R n ). Alors
le processus X(t) est de diffusion si et seulement si :
1 La limite suivante existe :
∀ǫ > 0, ∀x ∈ R n , ∀s 0 < t < t + h,
∫
1
lim Q(t, x; t + h, dy) = 0 . (1.1)
h→0 + h ||x−y||≥ǫ
2 Il existe une fonction R n ×T → R n , (x, t) → b(x, t) = (b 1 (x, t), ..., b n (x, t)) appelée vecteur de
dérive (”drift“) telle que :
∀ǫ > 0, ∀x∫∈ R n , ∀y ∈ R n , ∀s 0 < t < t + h, ∀j ∈ {1, ...n},
1
lim (y j − x j )Q(t, x; t + h, dy) = b j (x, t) .
h→0 + h
||x−y|| 0, ∀x ∈ R n , ∀s 0 < t < t + h, ∀j, k ∈ {1, ..., n} 2 ,
1
lim (y j − x j )(y k − x k )Q(t, x; t + h, dy) = σ jk (x, t) .
h→0 + h
||x−y||

1.2. Fokker-Planck pour systèmes à un ddl
Alors la fonction (t, y) → p(s, x; t, y) vérifie l’équation de Fokker-Planck (aussi appelée équation
de Kolmogorov directe) :
∂ t p − L ∗ p = 0, t ∈]s,+∞[ ,
où :
n∑
)
L ∗ p = − ∂ j
(b j (y, t)p(s, x; t, y) + 1 n∑
)
∂ j ∂ k
(σ jk (y, t)p(s, x; t, y) ,
2
j=1
j,k=1
avec la∫
condition initiale suivante :
lim p(s, x; t, y)g(y)dy = g(x)
t→s + R n
Une preuve très simple de ceci peut être trouvée dans [15].
Cette équation d’évolution est ici donnée pour une condition initiale sous la forme d’un dirac.
Par linéarité, ceci peut se généraliser facilement à une somme dénombrable de conditions initiales
ponctuelles. Mais de fait, le résultat est beaucoup plus général que cela.En effet :
Corollaire 1.1.3 Conditions initiales pour l’équation de Fokker-Planck
Soit X(t) un processus de Markov sur T = [s 0 , +∞[ à valeurs dans R n , tel que pour t = s 0 :
(1.5)
X(s 0 ) = X 0 presque sûrement , (1.6)
où X 0 est une variable aléatoire à valeurs dans R n ayant une loi de probabilité P X0 (dy) admettant
une densité q 0 par rapport à la mesure de Lebesgue dy :
Alors
P X0 (dy) = q 0 (y)dy . (1.7)
∀t ∈ ]s 0 , +∞[ fixé, P X(t) (t, dy) = q(t, y)dy , (1.8)
et cette densité vérifie l’équation de Fokker-Planck :
∂ t q − L ∗ q = 0, t ∈ ]s 0 , +∞[ ,
avec la condition initiale :
q(s 0 , y) = q 0 (y), y ∈ R n .
(1.9)
Ainsi l’équation de Fokker-Planck s’applique également à des processus de diffusion dont la
densité de probabilité initiale (t = s 0 , x suit la densité q 0 ) Lebesgue-intégrable. Ceci inclut donc
les fonctions continues, continues par morceaux ou des diracs (probabilités ponctuelles).
1.2 Equation de Fokker-Planck pour des systèmes dynamiques
à un seul degré de liberté
Les systèmes dynamiques possédant un seul degré de liberté ont des équations de Fokker-
Planck similaires. Pourtant en ce qui concerne les applications, les oscillateurs de type Duffing
sont particulièrement intéressants.
67

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Ceux-ci ont été déjà largement étudiés : [11, 60, 86, 89, 116, 120, 123, 124, 6] ... Ainsi,
nous étudierons dans cette section l’équation de Fokker-Planck pour des oscillateurs de type
Duffing, sans et avec sollicitation. Pour chacun de ces deux cas, nous chercherons cette équation
et donnerons sa solution, ou du moins, les moyens (numériques) pour l’obtenir.
1.2.1 Oscillateur de type Duffing sans sollicitation extérieure
Nous choississons ici une perturbation de type ”bruit blanc“. En effet, cette modélisation est
suffisante pour représenter les bruits (routiers par exemple) auxquels sont soumises les structures
de génie civil.
Ecriture de l’équation de Fokker-Planck
Nous supposons dans ce premier cas que l’oscillateur de Duffing n’est soumis à aucune sollicitation
extérieure. Pourtant nous considérons une sollicitation de type ”bruit blanc“ f(t),
c’est-à-dire gaussienne stationnaire de moyenne nulle et de coefficient de diffusion W 0 :
ẍ + aẋ + bx + cx 3 = f (t) . (1.1)
Donc f (t) est un bruit aléatoire gaussien de type bruit blanc de la forme :
< f (t) >= 0, < f (t 1 )f (t 2 ) >= W 0
2 δ (t 1 − t 2 ) .
Cette sollicitation pourra alors représenter le bruit auquel est soumis l’oscillateur, mais également
la variation des paramètres au cours du temps.
L’équation du mouvement s’écrit également :
{
y1 ˙ = y 2 ,
y˙
2 = −ay 2 − by 1 − cy1 3 + f (t) . (1.2)
Nous calculons les coefficients intervenant dans l’équation de Fokker-Planck (ce calcul n’a
pas été explicité ici, mais il est détaillé précisément dans la section suivante 1.2.2, page 72, où
68

1.2. Fokker-Planck pour systèmes à un ddl
le calcul est plus complexe car la sollicitation extérieure n’est pas nulle) :
⎧
< ∆y 1 >
a 1 = lim = y 2 = y˙
1 ,
∆t→0 ∆t
⎪⎨
< ∆y 2 >
a 2 = lim = −ay 2 − by 1 − cy1 3 ,
∆t→0 ∆t
< ∆y1 2 b 11 = lim
> = 0 ,
∆t→0 ∆t
b 12
< ∆y 1 ∆y 2 >
= b 21 = lim = 0 ,
∆t→0 ∆t
⎪⎩
< ∆y2 2 b 22 = lim
> = W 0
∆t→0 ∆t
Les équations de Fokker-Planck, stationnaire et non stationnaire, s’écrivent alors respectivement
:
W 0
4
∂ 2 p
−
∂y 2 2
W 0
4
∂ 2 p
−
∂y 2 2
∂ (y 2 p) + ∂ { } (ay2
+ by 1 + cy 3 )
1 p = ∂p
∂y 1 ∂y 2
}
)
p
∂ (y 2 p) + ∂ { (ay2
+ by 1 + cy1
3 ∂y 1 ∂y 2
Solution analytique de l’équation stationnaire
2 . (1.3)
∂t , (1.4)
= 0 . (1.5)
Cette équation (1.5) a pu être résolue de différentes manières (par exemple [15]). On peut
l’écrire de la manière suivante :
[
a ∂ −
∂ ] [
y 2 ψ + W ]
0 ∂ψ
+ ∂ [ ]
(by1
+ cy 3 ) W 0 ∂ψ
1 ψ + = 0 . (1.6)
∂y 2 ∂y 1 4a ∂y 2 ∂y 2 4a ∂y 1
Donc :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y 2 ψ + W 0
4a
(
by1 + cy 3 1)
ψ +
W 0
4a
∂ψ
∂y 2
= 0 ,
∂ψ
∂y 1
= 0 ,
deux équations qui sont indépendantes. Ce sont deux équations aux dérivées partielles du premier
ordre donc nous cherchons deux intégrales premières avec le théorême des fonctions implicites.
Cette solution de l’équation de Fokker-Planck stationnaire s’écrit :
ψ (y 1 , y 2 ) = C exp
(
− 4a [ y
2
2
W 0 2 + by2 1
2 + cy4 1
4
(1.7)
])
, (1.8)
où C est la constante de normalisation (dépendant de la condition initiale et des paramètres de
simulation), puisque la probabilité de l’univers doit être égale à 1.
69

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Solution analytique de l’équation non-stationnaire
L’équation de Fokker-Planck non stationnaire de l’oscillateur de type Duffing, équation (1.4),
ne peut être résolue dans le cas général. Seul le cas c = 0 (oscillateur linéaire) peut être résolu
analytiquement car il correspond à un processus de Ornstein-Uhlenbeck [83]. En réalité, même
l’équation de Fokker-Planck d’un oscillateur à non-linéarité double pourrait être résolu. Mais
nous faisons le choix ici de nous intéresser à l’équation de l’oscillateur linéaire, pour comparer
nos résultats numériques à ceux de [123].
Nous réécrivons l’équation de Fokker-Planck (1.4) de la manière suivante :
∂p
∂t
avec : L K
= L K p ,
= − ∂
∂x v + ∂ ∂v
( )
av + f ′ (x) + W 0
4
∂ 2
(1.9)
∂v 2 ,
où f ′ (x) = bx, soit f (x) = bx2 . Cette équation peut alors être résolue de diverses manières :
2
en utilisant la transformation de Kramer, la transformation de Laplace ou les processus de
Ornstein-Uhlenbeck (voir [83]). Cette dernière méthode de résolution est présentée ici. Soit :
[
d x
dt v
]
[ 0 −1
= −
b a
] [ x
v
] [
+
0
Γ(t)
]
, (1.10)
où Γ(t) est le bruit blanc :
∥
< Γ(t) >= 0 ,
< Γ(t)Γ(t ′ ) >= W 0
2 δ(t − t′ ) .
(1.11)
[ 0 −1
Ceci est un processus de Ornstein-Uhlenbeck avec γ =
b a
] [ 0 0
, D =
0
4
. La probabilité
de transition recherchée P(x, v, t|x 0 , v 0 , 0) est donnée par la distribution :
W 0
]
P(x, v, t|x 0 , v 0 , 0) =
{
1
2π √ detσ × exp − 1 2 [σ−1 (t)] xx (x − x(t)) 2
−[σ −1 (t)] xv (x − x(t)) (v − v(t)) − 1 2 [σ−1 (t)] vv (v − v(t)) 2 }
,
(1.12)
70

1.2. Fokker-Planck pour systèmes à un ddl
avec :
⎧
λ 1,2 = 1 2
(
a ± √ )
a 2 − 4b
si a 2 − 4b ≥ 0 ,
λ 1,2 = 1 2
(
a ± √ )
a 2 + 4b
si a 2 − 4b < 0 ,
⎪⎨
⎪⎩
[
σ
−1 ] xx
= σ vv
det σ ,
[
σ
−1 ] xv
= [σ −1 ] vx = − σ xv
detσ ,
[
σ
−1 ] vv
= σ xx
det σ ,
det σ = σ xx σ vv − σ 2 xv ,
(1.13)
et :
⎧
σ xx (t) =
[
W 0 λ1 + λ 2 4
4(λ 1 − λ 2 ) 2 + (exp(−(λ 1 + λ 2 )t) − 1)
λ 1 λ 2 λ 1 + λ 2
⎪⎨
σ xv (t) =
− 1 exp(−2λ 1 t) − 1 ]
exp(−2λ 2 t)
λ 1 λ 2
W 0
4(λ 1 − λ 2 ) 2 [exp(−λ 1t) − exp(−λ 2 t)] 2 ,
,
(1.14)
⎪⎩
σ vv (t) =
[
W 0
4(λ 1 − λ 2 ) 2 λ 1 + λ 2 + 4λ 1λ 2
(exp(−(λ 1 + λ 2 )t) − 1)
λ 1 + λ 2
− λ 1 exp(−2λ 1 t) − λ 2 exp(−2λ 2 t)].
Dans cette formule (1.12) générale, les valeurs moyennes x(t) et v (t) sont données par :
< x >= x(t) = [exp(−γt)] xx
x 0 + [exp(−γt)] xv
v 0 ,
[exp(−γt)] xx
= λ 1 exp(−λ 2 t) − λ 2 exp(−λ 1 t)
λ 1 − λ 2
,
(1.15)
[exp(−γt)] xv
= exp(−λ 2t) − exp(−λ 1 t)
λ 1 − λ 2
,
71

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
et :
< v >= v (t) = [exp(−γt)] vx
x 0 + [exp(−γt)] vv
v 0 ,
[exp(−γt)] vx
= b. λ 1 exp(−λ 2 t) − λ 2 exp(−λ 1 t)
λ 1 − λ 2
,
(1.16)
[exp(−γt)] vv
= λ 1 exp(−λ 1 t) − λ 2 exp(−λ 2 t)
λ 1 − λ 2
.
Cet exemple sera important pour nous dans la section 1.3.6, page 102, pour tester notre
programme numérique et déterminer sa précision et sa fiabilité. Mais il est certain que ses
applications, tout en étant réelles, restent limitées. C’est pour ceci que nous nous tournons à
présent vers l’oscillateur de type Duffing soumis à une sollicitation extérieure.
1.2.2 Oscillateur de type Duffing avec sollicitation extérieure
Cet exemple a été beaucoup étudié ([86] ou [60] pour ne citer que deux exemples), et cela
de manière numérique. En particulier, il permet de déterminer certaines propriétés de la dynamique
de l’oscillateur de Duffing, comme les points fixes, les attracteurs étranges, les bassins
d’attraction...
Ecriture de l’équation de Fokker-Planck
Un tel oscillateur soumis en outre à un bruit blanc a pour équation du mouvement :
ẍ + aẋ + bx + cx 3 = f cos (wt) + f (t) , (1.17)
soit :
{
y1 ˙ = y 2 ,
y˙
2 = −ay 2 − by 1 − cy1 3 + f cos (wt) + f (t) . (1.18)
On obtient les valeurs suivantes pour les constantes intervenant dans l’équation de Fokker-
Planck :
72

1.2. Fokker-Planck pour systèmes à un ddl
< ∆y 1 >
a 1 = lim = y 2 = y˙
1 ,
∆t→0 ∆t
< ∆y 2 >
a 2 = lim
∆t→0 ∆t
,
⎧
⎪⎨ < [ ∫
−ay 2 − by 1 − cy 3 ] t+∆t
1 ∆t > + < f (τ)dτ > + <
t
= lim
∆t→0
∆t
⎪⎩
∫ t+∆t
t
⎫
f cos (wτ)dτ > ⎪⎬
⎪⎭
,
∫ t+∆t
f cos (wτ)dτ
= −ay 2 − by 1 − cy1 3 + 0 + lim < t
∆t→0 ∆t
= −ay 2 − by 1 − cy 3 1 + < lim
∆t→0
= −ay 2 − by 1 − cy1 3 + f cos (wt) ,
< ∆y1 2 b 11 = lim
> = 0 ,
∆t→0 ∆t
(
2f w∆t
w sin 2
)
cos
∆t
> ,
( ) w (2t + ∆t)
2
> ,
(1.19)
b 12
< ∆y 1 ∆y 2 >
= b 21 = lim
∆t→0 ∆t
,
{ ∫ (−ay2
< y 2 ∆t − by 1 − cy 3 ) t+∆t
1 ∆t + f (τ)dτ +
t
= lim
∆t→0
∆t
{ ∫ (−ay2 t+∆t
= lim < y 2 − by 1 − cy1) 3 ∆t + f (τ)dτ +
∆t→0 t
= 0 ,
∫ t+∆t
t
∫ t+∆t
t
}
f cos(wτ)dτ >
}
f cos (wτ)dτ > ,
,
(1.20)
73

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
< ∆y2 2 b 22 = lim
>
∆t→0 ∆t
,
{ ∫ (−ay2
< − by 1 − cy 3 ) t+∆t
1 ∆t + f (τ)dτ +
t
= lim
∆t→0
∆t
∫ t+∆t
t
f cos (wτ)dτ} 2
>
,
= lim < ( −ay 2 − by 1 − cy 3 ) (
1 ∆t + 2 −ay2 − by 1 − cy1) ∫ 3 t+∆t
∆t→0
= W 0
f (τ)dτ ,
t
(1.21)
+2 ( ay 2 − by 1 − cy1
3 ) ∫ t+∆t
f cos (wτ)dτ + 1 ∫ ∫
f (τ 1 )f (τ 2 ) dτ 1 dτ 2 ,
t
∆t
+ 1 ∫ ∫
f 2 cos (wτ 1 ) cos(wτ 2 )dτ 1 dτ 2 + 2 ∫ ∫
f (τ 1 )f cos (wτ 2 ) dτ 1 dτ 2 > ,
∆t
∆t
2 .
Ainsi l’équation de Fokker-Planck dynamique s’écrit :
W 0
4
∂ 2 p
−
∂y 2 2
∂ (y 2 p) + ∂ { (ay2
+ by 1 + cy1 3 − f cos (wt) ) }
p = ∂p
∂y 1 ∂y 2 ∂t . (1.22)
Cette équation (1.22) ne peut être résolue analytiquement de façon exacte. Mais il existe des
méthodes, plus ou moins numériques permettant d’approcher la solution.
Méthodes de résolution de cette équation
Cette équation différentielle aux dérivées partielles du second ordre ne peut être résolue
de manière exacte et analytique que pour certains cas particuliers : vecteur de dérive nul ou
polynomial de degré inférieur ou égal à deux, hypothèse de stationnarité ... et si f est nul.
Pour résoudre les cas plus complexes (et plus réels), deux types de méthodes existent. D’un
côté, des techniques analytico-numériques permettent d’obtenir des indices sur la réponse du
système (moments par exemple). Parmi celles-ci, nous pouvons citer l’utilisation de la transformée
de Laplace, les échelles multiples et autres développements, la linéarisation stochastique
(ou équivalente), la méthode de la distribution du maximum d’entropie.... Mais les informations
obtenues sont limitées.
Par conséquent il existe également de nombreuses méthodes principalement numériques. La plus
connue est la ”path integration“ (integration sur la forme) qui donne de bons résultats. D’autres
méthodes numériques, plus générales, pour résoudre cette équation différentielle sont les différences
finies ([20]) et les éléments finis ([67]).
74

1.2. Fokker-Planck pour systèmes à un ddl
Les méthodes analytiques Par définition plus exactes que les méthodes à dominante numérique,
elles ont l’inconvénient de ne pas donner la réponse complète et exacte du système, mais
seulement certaines propriétés de celle-ci. Parmi elles, nous pouvons citer la transformation de
Laplace, la méthode des échelles multiples, le développement en séries de Fourier...
La transformation de Laplace L’utilisation de la transformée de Laplace permet d’obtenir
la solution de l’équation de Fokker-Planck dans certains cas simples ([83]).
Dans [112], cette transformation est utilisée pour obtenir les écritures des variances de la
position et de la vitesse. Ensuite leur comportement pour t → 0 et t → ∞ sont étudiés.Dans
ce cas (oscillateur linéaire, bruits internes ou externes), ce résultat peut être injecté dans
la solution analytique exacte de l’équation de Fokker-Planck afin d’obtenir les probabilités
conjointe et marginale des états du système.
Développement en séries Puisque l’équation de Fokker-Planck d’un oscillateur linéaire (vecteur
de dérive égal à Kx) peut être résolue, alors que cela n’est pas possible pour un
oscillateur de type Duffing (vecteur de dérive de la forme Kx + cx 3 ), une solution peut
être trouvée en considérant le terme supplémentaire comme une perturbation et de développer
la solution de l’oscillateur linéaire ( en fonction de celle-ci ([46]). En effet, la solution
stationnaire s’écrit : P(x) = N(c)exp − K 2D x2 −
c )
4D x4 , où D est le coefficient de diffusion,
N(c) est la constante de normalisation. En particulier, il peut être montré ([30]) qu’en
développant ainsi directement le problème, la série obtenue est divergente. La solution est
alors d’écrire le potentiel φ de la forme φ = g 2 x2 + C 4 x4 + K − g x 2 . La solution est alors
2
convergente de manière exponentielle.
La méthode des échelles multiples peut être utilisée pour obtenir des renseignements sur
la solution. En particulier dans [101], cette technique est utilisée pour obtenir des informations
sur la trajectoire de la densité de probabilité solution de l’équation de Fokker-Planck.
Il est également possible de développer la solution sur des familles de fonctions orthogonales
(des polynômes adaptés à la solution, les fonctions sinus et cosinus pour le développement
en séries de Fourier...). En particulier, les méthodes permettant de réaliser ceci étant multiples,
nous ne ferons ici qu’un bref résumé de certaines d’entre elles.
En considérant un système dynamique soumis à une sollicitation f(t) dépendant du temps
quelconque, une solution logique est de développer f(t) en séries de Fourier ([11]). En
réalisant une transformation de Van Der Pol et en moyennant le système obtenu, un développement
en série de la solution de Fokker-Planck est obtenu, les coefficients étant
fonction de ceux du développement de f(t).
Entre autres méthodes de développement de la solution sur des familles de fonctions orthogonales,
nous pouvons citer les méthodes classiques de Hermite et de Legendre ou la
méthode de discrétisation adaptée (”quadrature discretization method“). Cette dernière
se distingue par la possibilité de choisir les fonctions de poids, en fonction de la solution
recherchée. Cette méthode s’apparente donc également à une méthode de style ”éléments
finis“. Mais il est montré que cette technique nécessite moins de points d’interpolation, et
qu’elle donne de meilleurs résultats que les méthodes de Legendre ou de Hermite.
75

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
D’autres approches numériques se basent sur quelques premiers moments du système. Une
première méthode est d’évaluer numériquement ces moments (souvent avec des simulations
de Monte-Carlo) puis de trouver une solution, polynômiale par exemple, s’adaptant à ces
moments. Enfin, il est aussi possible de développer les moments d’ordre N de la probabilité
de Fokker-Planck en séries de polynômes en u et ˙u, respectivement la position et la vitesse
de l’état. Ensuite, à l’aide de ceux-ci, la probabilité entière peut être déduite ([6]). Plus N
est grand, plus la solution ainsi trouvée sera ressemblante à la solution exacte.
Ces développements en série sont situés à la jointure des raisonnements analytiques et des
calculs numériques. En effet, bien que permettant une expression approchée assez explicite de la
solution recherchée, il est souvent nécessaire de faire appel à des calculs massifs pour déterminer
les coefficients des développements en séries.
Les calculs numériques Cette équation de Fokker-Planck est la plupart du temps résolue
numériquement.
Intégration sur la forme (”path integration“ ([120, 116]) Elle se base sur la méthode d’intégration
de Gauss-Legendre. En effet, on écrit :
) ∫
) )
p
(x (i) , t i = q
(x (i) , t i |x (i−1) , t i−1 p
(x (i−1) , t i−1 dx (i−1) , (1.23)
R s
où :
– R S est le domaine d’évolution de la densité de probabilité (déterminé de telle façon qu’en
dehors de R S , cette dernière soit nulle). R S est la plupart du temps un hypercube de
R n .
– q ( x (i) , t i |x (i−1) , t i−1
)
est la densité de probabilité de transition entre l’état
(
x (i−1) , t i−1
)
et l’état ( x (i) , t i
)
.
Cette intégrale est alors discrétisée en utilisant Gauss-Legendre :
)
p
(x (i) , t i =
K∑ δ k
2
k=1
L k
∑
l=1
c kl p ( x i−1 ) ( )
kl
, t i−1 q x (i) , t i |x (i)
kl , t i−1
, (1.24)
où :
– K est le nombre de sous-intervalles,
– L k est le nombre de points d’interpolation dans chaque sous-intervalle k,
– δ k est la mesure de chaque sous-intervalle k,
– x kl est la position du point d’interpolation de Gauss-Legendre et c kl est le poids correspondant.
La probabilité de transition q
( )
x (i) , t i |x (i)
kl , t i−1 est obtenue de façon approchée en calculant
les premiers et deuxièmes moments de la solution de Fokker-Planck et en les supposant
nuls aux ordres supérieurs (”Gaussian closure procedure“).
76

1.2. Fokker-Planck pour systèmes à un ddl
La méthode des éléments finis, [67, 18] Il s’agit également d’une méthode de développement
de la solution.
En effet, si nous supposons que l’équation du système dynamique s’écrit :
d
dt X i(t) = a i +
d∑
B ij N j (t), i = 1..d, où :
j=1
a i et B ij sont des fonctions de X 1 , , .., X d ,
N i (t) est un bruit blanc .
Alors l’équation de Fokker-Planck s’écrit :
∂p
= − ∑ }
∂
{a r p − 1 d∑ ∂
(C rs p) , x ∈ Ω ⊂ R d ,
∂t ∂x r 2 ∂x
r=1 d s=1 s
d∑
où C rs = B rq B sq ,
q=1 ∫
avec la contrainte p(x) dx 1 . . .dx d = 1 .
Avec le théorème d’Ostrogradski :
∫ (
d∑
a r p − 1 2
∂Ωr=1
s=1
Ω
)
d∑ ∂
(C rs p) χ r ds = 0 ,
∂x s
où χ r est la normale sortante au domaine d’étude .
(1.25)
(1.26)
(1.27)
Nous prenons donc comme condition limite :
(
)
d∑
a r p − 1 d∑ ∂
(C rs p) χ r = 0 . (1.28)
2 ∂x s
r=1
Il existe deux problèmes :
s=1
1. Si l’équation (1.26) est résolue simplement avec la condition limite (1.28), la solution
trouvée naturellement est la solution triviale.
2. Les domaines d’étude sont a priori infinis.
Avec des développements en série de polynômes de Hermite, ces problèmes sont résolus.
Pour cela, une formulation du problème composé de l’équation (1.26) et de la condition
limite (1.28) est écrite. Notons alors :
{ ∫
}
– V = v ∈ H 1 (Ω); v dx 1 . . . dx d = 1 ,
Ω
∫ { d∑
)}
∂φ
– L(p, φ) =
(a r p − 1 d∑ ∂
(C rs p) dx 1 . . .dx d .
Ω ∂x
r=1 r 2 ∂x
s=1 s
77

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Le problème ((1.26)+(1.28)) peut s’écrire sous la forme variationnelle :
Alors φ ∈ W =
(P)
{ ∫
v ∈ H 1 (Ω);
{ Trouver p ∈ V tel que :
L(p, φ) ≥ 0, φ = v − p, ∀v ∈ V .
Ω
}
wdx 1 . . .dx d = 0 .
(1.29)
Or si φ ∈ W, alors −φ ∈ W. Nous remplaçons alors le problème (P) par le problème (P 1 )
équivalent :
(P 1 )
{ Trouver p ∈ V tel que :
L(p, φ) = 0, φ = v − p, ∀v ∈ V .
(1.30)
Nous écrivons une version discrétisée de (P 1 ) en approximant p par p h , qui appartient à
un domaine d’étude de dimension finie. Donc :
p(x) ≈ p h (x) =
n∑
H j (x)p j , (1.31)
j=1
où les H j (x) sont les fonctions standards de la méthode des éléments finis, p i sont les
constantes poids à∫déterminer.
Alors la condition p h (x)dx 1 ..dx d = 1 peut être écrite sous forme condensée :
Ω
C T p = 1 , où C =
∫
et c i =
Ω
⎡
⎢
⎣
Nous cherchons à résoudre le problème (P h ) :
⎤
c 1
⎥
. ⎦, p =
c n
⎡
⎢
⎣
⎤
p 1
⎥
. ⎦ , (1.32)
p n
H i (x)dx 1 . . .dx d , ∀i ∈ {1, . . .,n} . (1.33)
(P h )
{ Trouver p h ∈ V h tel que :
L(p h , φ h ) = 0, φ h = v h − p h , ∀v h ∈ V h .
(1.34)
Donc φ h ∈ W h , où :
⎧
⎨ n∑
– V h =
⎩ v = H j (x)v j , v j ∈ R, H j ∈ H 1 (Ω), j = 1...n,
j=1
⎧
⎨ n∑
– W h =
⎩ v = H j (x)v j , v j ∈ R, H j ∈ H 1 (Ω), j = 1...n,
j=1
⎫
n∑ ⎬
c j v j = 1
⎭ ,
⎫
n∑ ⎬
c j v j = 0
⎭ .
j=1
j=1
78

1.3. Résolution par différences finies
Définissons l’espace vectoriel :
U = { q = (q 1 , . . .,q n ) T ∈ R n , C T q = 0 } . (1.35)
Alors nous pouvons construire φ h ∈ W h : φ h =
Le problème s’écrit alors :
n∑
q i H i (x), q ∈ U.
i=1
{ q T Kp = 0
C T p = 1 ,
∫ [ d∑
K ij =
∂Ω r=1
où : K est une matrice de taille n × n, avec :
∂H i
∂x r
{a r H j − 1 2
d∑
s=1
}]
∂
(C rs H j ) dx 1 . . .dx n .
∂x s
(1.36)
Il existe alors des méthodes pour stabiliser la solution (méthode de Petrov-Galerkin), pour
faciliter l’utilisation numérique (avec des multiplicateurs de Lagrange), tenir compte des
domaines d’étude infinis, ...(voir [67]).
La méthode des différences finies ([20, 123, 124]) Elle est particulièrement adaptée pour
trouver la solution d’équations aux dérivées partielles. Cette technique peut être utilisée
de différentes manières (implicite, explicite, mixte) et différents schémas de discrétisation
(centré, Cranck-Nicholson). Pour leur facilité d’utilisation, les schémas entièrement implicites
sont les plus utilisés. En effet, leur stabilité est assurée. En outre, une technique
supplémentaire utilisée pour simplifier les calculs est la méthode de distinction des directions
(”operator splitting“,[79, 123, 124]).
Nous avons fait le choix d’une méthode numérique, afin de pouvoir élargir simplement cette
étude à des oscillateurs à plusieurs degrés de liberté ce qui est notre but premier. De plus, nous
utiliserons la méthode des différences finies, peu étudiée jusqu’à présent. En effet, puisque le
domaine d’étendu est a priori peu étendu et que nous étudierons des systèmes dynamiques d’au
plus deux degrés de liberté, elle semble être optimale.
1.3 Résolution numérique par différences finies de l’équation de
Fokker-Planck
Plusieurs remarques doivent être rappelées :
– L’inconnue recherchée, la probabilité de l’état (y 1 , y 2 ) à l’instant t, est une fonction de
trois variables : y 1 , y 2 et t.
– L’équation différentielle est linéaire en p, par définition.
79

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Il s’agit donc d’un problème de Cauchy où plusieurs opérateurs dérivation interviennent : la
différenciation par rapport au temps, celles par rapport à la position et la vitesse et la différenciation
double par rapport à la vitesse. Alors pour simplifier la programmation du problème et
accélérer la résolution numérique, nous avons fait le choix de décomposer le problème différentiel
avec la méthode des directions alternées.
1.3.1 Différenciation par directions alternées
Nous étudierons tout d’abord l’oscillateur de type Duffing sans sollicitation extérieure, dont
l’équation de Fokker-Planck s’écrit :
∂p
∂t
∂p
∂t
∂p
= −y 2 + ∂ [(βy 2 + F (y 1 )) p] + W 0
∂y 1 ∂y 2 4
soit :
∂ 2 p
∂y 2 2
= ∂
∂y 1
[−y 2 p] + ∂
∂y 2
[(βy 2 + F (y 1 ))p] + ∂2
∂y 2 2
, (1.1)
[
W0
4 p ]
. (1.2)
Nous utilisons la méthode des pas intermédiaires (method of fractional steps ou time splitting).
Ainsi nous pouvons écrire :
∂p
∂t
= L 1 p + L 2 p + L 3 p (1.3)
⎧
L 1 u = ∂ [−y 2 u] ,
∂y 1
avec :
⎪⎨
⎪⎩
L 2 u = ∂
∂y 2
[(βy 2 + F (y 1 )) u] ,
[ ]
L 3 u = ∂2 W0
∂y2
2 4 u
.
(1.4)
Nous supposons que pour chacun des L i (i=1, 2, 3), il existe un schéma différentiel permettant
d’aller de u(t n )(u à l’instant n) à u(t n+1 ) (u à l’instant n+1), correct si ce L i était le seul terme
à droite dans l’équation (1.3), c’est-à-dire qu’il existe des schémas U 1 , U 2 et U 3 (correspondants
respectivement à L 1 , L 2 et L 3 ) tels que :
⎧
⎨
⎩
u n+1 = U 1 (u n , ∆t) ,
u n+1 = U 2 (u n , ∆t) ,
u n+1 = U 3 (u n , ∆t) .
La méthode des temps intermédiaires consiste alors à écrire :
⎧
⎨ u n+1/3 = U 1 (u n , ∆t) ,
u
⎩
n+2/3 (
= U 2 u n+1/3 , ∆t ) ,
u n+1 (
= U 3 u n+2/3 , ∆t ) .
(1.5)
80

1.3. Résolution par différences finies
Ainsi il s’agit bien ici d’une méthode de ”splitting operator“ mais ce n’est pas la méthode ADI
(alternating-direction implicit), légèrement différente (voir [58]).
Il s’agit alors maintenant pour nous de chercher des schémas stables pour chacune des trois
directions.
1.3.2 Recherche de schémas stables
Nous cherchons ici des schémas pour chacune des trois directions déterminées dans la section
précédente. Nous appliquons des schémas connus à ces trois directions, puis testons leur stabilité
avec la méthode de Von Neumann. Ces schémas sont explicites (centré en espace, méthode de Lax
ou Cranck-Nicholson), implicites (simple, upwind differencing) ou mixtes (staggered leapfrog).
Nous commençons maintenant par la première direction.
Pour la première direction
Schéma explicite centré en espace Nous avons fait le choix de centrer les schémas car
ceci nous permet d’analyser le problème plus simplement (Von Neumann, valeurs propres de la
matrice résultant de la discrétisation) et de simplifier le calcul numérique.
Ce schéma s’écrit :
p n+1/3
i,j
= p n i,j + ∆ty 2j [
p
n
2∆y i−1,j − p n ]
i+1,j . (1.6)
1
Nous utilisons l’analyse de Von Neumann pour déterminer la stabilité de ce schéma ([79]).
L’analyse de Von Neumann est locale : on suppose que les coefficients de l’équation aux différences
finies varient si lentement qu’ils peuvent être considérés constants en espace et en temps. Dans
ce cas, les solutions indépendantes (”modes propres“) de l’équation aux différences finies sont
toutes de la forme :
u n j = ξn exp(ikj∆x) ,
où : k ∈ R est un nombre d’onde spatial,
ξ = ξ(k) est un nombre complexe dépendant de k.
(1.7)
La dépendance par rapport au temps d’un mode propre est alors décidée par la puissance du ξ.
Par conséquent, les équations aux différences finies sont instables si : ∃k , |ξ(k)| > 1 . Donc nous
posons p n l,j = ξn e iklδx , expression que nous remplaçons dans l’équation (1.6). Alors :
ξ 1/3 = 1 − i ∆ty 2j
∆y 1
sin (k∆y 1 ) .
Ainsi, |ξ| ≥ 1, le schéma est inconditionnellement instable.
81

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Schéma de Lax Ce schéma est toujours explicite, mais sa particularité est que la dérivée en
temps est centrée. Nous centrons de plus la dérivée en espace. Ce schéma s’écrit :
p n+1/3
i,j
= 1 (
p
n
2 i+1,j + p n ∆t [
i−1,j)
+ y2j p n i−1,j − y 2j p n ]
i+1,j . (1.8)
2∆y 1
La condition de Von Neumann donne :
ξ 1/3 = cos (k∆y 1 ) − i ∆t
∆y 1
y 2j sin (k∆y 1 ) .
Ce schéma est conditionnellement stable, la condition de stabilité étant la condition de
Courant-Friedrichs-Lewy :
∆t
∆y 1
|y 2j | ≤ 1 .
Schéma implicite Ce schéma s’écrit :
p n+1/3
i,j
= p n i,j + y (
)
2j∆t
p n+1/3
i−1,j
− p n+1/3
i+1,j
2∆y 1
. (1.9)
Donc avec Neumann :
ξ 1/3 =
|ξ 1/3 | 2 =
1
1 + i ∆t
, (1.10)
y 2j sin(k∆y 1 )
δy 1
soit :
1
( ) ∆t
2
≤ 1 . (1.11)
1 + y 2j sin(k∆y 1 )
∆y 1
Le schéma est inconditionnellement stable.
Schéma upwind-differencing (”contre le vent“) La variable advectée peut subir des soudains
changements d’état. Pour augmenter la fidélité, on utilise ici le schéma nommé ”upwind
differencing“.
Les méthodes de discrétisation permettant de rendre compte de chocs (ou de non-régularités)
peuvent être classées en deux catégories : les méthodes appelées ”classiques“ et celles nommées
”modernes“ (voir [118]). Un calcul stable en présence d’ondes de choc nécessite une certaine
quantité de dissipation numérique, afin d’éviter la formation de fausses oscillations numériques,
qui peuvent diminuer la précision et empêcher la convergence vers des solutions stables. Dans
le cas des méthodes classiques, les termes de dissipation numérique sont en général linéaires et
la même quantité est appliquée à tous les points de la grille. Ces méthodes ne donnent des résultats
corrects que dans le cas de solutions régulières ou avec des chocs faibles. En effet, quand
des ondes de choc importantes sont présentes dans la solution, des instabilités non linéaires et
82

1.3. Résolution par différences finies
des oscillations peuvent apparaître lors des discontinuités. Les méthodes modernes possèdent
un terme de dissipation numérique non-linéaire, avec un mécanisme automatique de rétroaction
qui permet d’ajuster la quantité dissipée dans chaque cellule de la grille en fonction de la solution
réelle. Il a été prouvé que ces schémas sont stables et précis même pour des problèmes
présentant d’importantes ondes de choc. Les méthodes modernes de traitement des chocs sont
en général basées sur des ”upwind differencies“, des différences dirigées, en opposition avec les
discrétisations classiques symétriques ou centrées. La différenciation finie cherche à discrétiser
des équations différentielles partielles hyperboliques en utilisant la différenciation dirigée vers la
direction déterminée par le signe des vitesses caractéristiques. Ici ce schéma peut s’écrire ainsi :
p n+1/3
i,j
∆t
− p n i,j
p
⎧⎪ n+1/3
i,j
− p n+1/3
i−1,j
si y ⎨ 2j > 0 ,
∆y 1
= −y 2j
⎪ ⎩
p n+1/3
i+1,j
− p n+1/3
i,j
si y 2j ≤ 0 .
∆y 1
(1.12)
En utilisant ce qui a été fait auparavant, on trouve directement que ce schéma est inconditionnellement
stable :
|ξ 1/3 | 2 1
= ( ) ∆t
2
.
1 + y 2j sin(k∆y 1 )
2∆y 1
Schéma du saute-mouton(”staggered leapfrog“) Ce schéma est explicite et d’ordre 2
en temps et en espace. Il a l’avantage d’être précis tout en étant plus rapide (un seul calcul
par pas de temps). Les inconvénients sont la quantité de mémoire nécessitée (il faut garder en
mémoire deux pas de temps) et le phénomène de mesh drifting. En effet, le domaine d’étude se
découpe alors en deux zones qui n’ont pas d’influence l’une sur l’autre. Des gradients forts ou
des non-linéarités peuvent alors rendre le schéma instable. Pour réduire ces perturbations, un
faible terme de viscosité ǫ(u n j+1 −2un j +un j−1 ), ǫ

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
de dissipation d’amplitude :
ξ 1/3
∆t
= −iy 2j sin(k∆y 1 )
∆y
√ 1
(
)
∆t
2
± 1 − y 2j sin(k∆y 1 ) , (1.14)
∆y 1
donc : |ξ 1/3 | 2 = 1 . (1.15)
La condition de stabilité (qui est la condition d’existence de cette solution) est la condition
de Courant :
∆t
∆y 1
|y 2j | ≤ 1 .
Pour la deuxième direction
Schéma de Lax Ce schéma s’écrit :
[
p n+2/3
i,j
= p n+1/3 1
i,j−1
2 − ∆t (
βy2(j−1) + F (y 1i ) )]
[ 2∆y 2
+p n+1/3 1
i,j+1
2 + ∆t (
βy2(j+1) + F (y 1i ) )] .
2∆y 2
Alors, comme auparavant :
ξ 1/3 = (1 + β∆t)cos(k∆y 2 ) + i ∆t
∆y 2
(β (y 0 + j∆y 2 ) + F (y 1i ))sin (k∆y 2 ) .
(1.16)
Ce schéma est donc conditionnellement stable, la condition de stabilité dépendant des paramètres
du système.
Schéma implicite La discrétisation obtenue est :
p n+2/3
i,j
= p n+1/3
i,j
+ ∆t [ (βy2(j+1)
+ F (y 1i ) ) p n+2/3
i,j+1
2∆y 2 ]
.
− ( βy 2(j−1) + F (y 1i ) ) p n+2/3
i,j−1
(1.17)
L’analyse de Von Neumann donne :
ξ 1/3 =
|ξ 1/3 | 2 =
1
(1 − β∆t cos(k∆y 2 )) − i ∆t [βy 2j + F (y 1i )] sin(k∆y 2 )
∆y 2
soit :
1
, (1.18)
≤ 1 . (1.19)
[1 − β∆t cos (k∆y 2 )] 2 + ∆t2
∆y2
2 [βy 2j + F (y 1i )] 2 sin(k∆y 2 ) 2
Le schéma est inconditionnellement stable.
84

1.3. Résolution par différences finies
Schéma upwind-differencing Ici la discrétisation selon cette méthode s’écrit :
⎧
F (y 1i ) pn+2/3 i,j+1 − pn+2/3 i,j−1
p n+2/3
i,j
− p n+2/3
i,j−1
+ βy 2j
2∆y 2
∆y 2
p n+2/3
i,j
− p n+1/3
i,j
∆t
⎪⎨
=
⎪⎩
+ β 2
(
)
p n+2/3
i,j−1 + pn+2/3 i,j+1
F (y 1i ) pn+2/3 i,j+1 − pn+2/3 i,j−1
2∆y 2
+ β 2
(
)
p n+2/3
i,j−1 + pn+2/3 i,j+1
si βy 2j > 0 ,
p n+2/3
i,j+1
+ βy − pn+2/3 i,j
2j
∆y 2
si βy 2j < 0 .
(1.20)
Avec l’analyse de stabilité selon Von Neumann, on trouve :
|ξ 1/3 | 2 =
1 + ∆t 2 [ F (y1i )
∆y 2
Donc ce schéma est ici aussi inconditionnellement stable.
1
− β 2 sin(k∆y 2) + βy (
2j
k 2
≤ 1 .
e −ik/(2∆x) sin 2)]
∆y 2 2 ∆y
Schéma du staggered leapfrog Ici, la discrétisation s’écrit :
p n+2/3
i,j
= p n i,j + ∆t [ (ay2(j+1)
+ F(y 1i ) ) p n+1/3
i,j+1
2∆y − ( ay 2(j−1) + F(y 1i ) ) ]
p n+1/3
i,j−1
2
. (1.21)
Ainsi avec l’analyse de Neumann et en notant ξ 1/3 = E :
E 2 = 1 + E ∆t
2∆y 2
[
2i sin(k∆y2 )F(y 1i ) + a ( y 2(j+1) exp(ik∆y 2 ) − y 2(j−1) exp(−ik∆y 2 ) )] .(1.22)
On introduit : y 2(j+1) exp(ik∆y 2 ) − y 2(j−1) exp(−ik∆y 2 ) ≈ y 2j (exp(ik∆y 2 ) − exp(−ik∆y 2 )) ≈
2iy 2j sin(k∆y 2 ). Donc :
E = i ∆t
2∆y 2
sin(k∆y 2 )[F(y 1i ) + ay 2j ]
√
( ) ∆t 2
± 1 − sin(k∆y 2 )
2∆y 2 (F(y 1i ) + ay 2j ) 2 ,
2
et en particulier : |ξ 1/3 | 2 = E 2 = 1 .
(1.23)
La condition de stabilité s’écrit :
∆t
∆y 2
≤
2
|F(y 1i + ay 2j )| . (1.24)
85

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Pour la troisième direction
Schéma explicite Ce schéma s’écrit :
p n+1
i,j
= p n+2/3
i,j
+ W [
0.∆t
4 (∆y 2 ) 2 p n+2/3
i,j+1 − 2pn+2/3 i,j
]
+ p n+2/3
i,j−1
. (1.25)
Donc :
( )
ξ 1/3 ∆t k
= 1 − W 0
(∆y 2 ) 2 sin 2 ∆y 2
. (1.26)
Ainsi ce schéma est conditionnellement stable (W 0 est supposé positif ici). La condition est :
W 0 ∆t
(∆y 2 ) 2 ≤ 2 . (1.27)
Schéma de Lax Ce schéma s’écrit ici :
p n+1
i,j
= 1 (
)
p n+2/3
i,j+1
2
+ pn+2/3 i,j−1
+ W (
0∆t
4∆y2
2 p n+2/3
i,j+1 − 2pn+2/3 i,j
)
+ p n+2/3
i,j−1
. (1.28)
Alors :
(
ξ 1/3 ∆t k 2
= cos (k∆y 2 ) − W 0
∆y2
2 sin 2)
2 ∆y .
Le schéma est inconditionnellement instable.
Schéma implicite La discrétisation s’écrit de la façon suivante :
p n+1
i,j
= p n+2/3
i,j
+ W (
)
0∆t
4 (∆y 2 ) 2 p n+1
i,j+1 − 2pn+1 i,j
+ p n+1
i,j−1
. (1.29)
Donc avec Neumann :
ξ 1/3 =
1
)
∆t k 2
≤ 1 . (1.30)
1 + W 0 sin(
∆y2
2 2 ∆y 2
(1.31)
Le schéma est inconditionnellement stable.
86

1.3. Résolution par différences finies
Schéma de Cranck-Nicholson La discrétisation selon le schéma de Cranck-Nicholson s’écrit :
(
) (
)
p n+1
i,j
− p n+2/3
i,j
= W u n+1
0 i,j+1 − 2un+1 i,j
+ u n+1
i,j−1
+ u n+2/3
i,j+1 − 2un+2/3 i,j
+ u n+2/3
i,j
. (1.32)
∆t 8
Cette discrétisation est d’ordre deux en espace et en temps. Son inconvénient est de générer
des oscillations très importantes dès qu’il y a des discontinuités. Elle devra alors être évitée
dans notre cas si nous choississons une condition initiale ponctuelle. L’analyse de Von Neumann
donne :
( ) k∆y2
1 − 2α sin
2
ξ = ( k∆y2
1 + 2α sin
2
Ce schéma est inconditionnellement stable.
∆y 2 2
), avec : α = W 0
4
∆t
∆y 2 2
. (1.33)
Nous venons de déterminer les schémas stables pour ces trois pas de temps. Il s’agit maintenant
d’écrire les matrices correspondant à ces discrétisations. Pour ceci, nous décomposerons
le problème selon deux maillages différents (pour les directions x et y), pour tous les schémas
présentés ci-dessus.
1.3.3 Discrétisation du problème selon ces schémas
Nous utilisons la méthode des pas intermédiaires telle qu’elle a été décrite dans la section
1.3.1. En outre, pour plus de généralité, nous étudions ici le système :
ẍ + aẋ + F (x) = f (t) .
L’équation de Fokker-Planck correspondante sera alors :
W 0
4
∂ 2 p
−
∂y 2 2
∂
∂y 1
(y 2 p) + ∂
∂y 2
{(ay 2 + F (y 1 ))p} = ∂p
∂t . (1.34)
Pour la première direction
Cette partie de l’équation différentielle fait seulement intervenir une différentielle en y 1 . Pour
ceci, nous utiliserons la discrétisation suivante :
Nous avons utilisé le même nombre de points de maillage selon les deux directions de l’espace.
Nous appelons ∆y 1 = L 1
2N et ∆y 2 = L 2
respectivement les pas de discrétisation en espace selon
2N
y 1 et y 2 .
87

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
y 2 (j)
1
o
2
o
2N + 1
o
2N + 2 o
y 1 (i)
o
(2N + 1) × (2N + 1)
Fig. 1.1 – Maillage utilisé pour la discrétisation selon la premièe direction.
Schéma implicite Le schéma implicite s’écrit :
p n+1/3
i,j
= p n i,j + y (
)
2j∆t
p n+1/3
i−1,j
− p n+1/3
i+1,j
2∆y 1
. (1.35)
De ceci, nous dérivons avec la discrétisation que nous avons choisie un système de (2N + 1) ×
(2N +1) équations linéaires à (2N +1)×(2N +1) inconnues (la probabilité aux différents noeuds
du maillage). En particulier, il peut se mettre sous la forme d’une équation de matrices :
B a P n+1/3 = P n , (1.36)
où P m est le vecteur des inconnues [ de longueur ](2N[
+ 1) × (2N + 1) à]
l’instant t = m, B a est
une matrice carrée de taille (2N + 1)(2N + 1) × (2N + 1)(2N + 1) . Ils sont de la forme :
88

1.3. Résolution par différences finies
⎡
P m =
⎢
⎣
p m 1,1
p m 2,1
.
p m 2N+1,1
p m 1,2
.
p m 1,k
p m 2,k
.
p m 2N+1,k
.
p m 1,2N+1
.
⎤
⎡
, B a =
⎢
⎣
⎥
⎦
BN a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 BN−1 a 0 . ............. 0
.
0 0 .. 0 . . . . . . . . . 0
0 . . . 0 B0 a 0 . . . 0
0 . . . . . . . . . . 0 B−1 a 0 0
.
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 .. 0
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 B−N
a
⎤
. (1.37)
⎥
⎦
p m 2N+1,2N+1
p m i,j est alors la probabilité à l’instant t = m de l’état au point de maillage (i, j), c’est-à-dire du
{ }
point de coordonnées (y 1 , y 2 ) = (−i + (N + 1)) ∆y 1 , (j − (N + 1)) ∆y 2 dans le repère utilisé.
Le système peut donc être découplé en (2N + 1) systèmes de (2N + 1) équations à (2N + 1)
inconnues. Nous écrivons ceci par :
où, avec A a = ∆t
2∆y 1
∆y 2 :
∀i ∈ [−N, N], B a i P n+1/3
i
= P n
i , (1.38)
P m
i =
⎡
⎢
⎣
p m 1,−i+(N+1)
p m 2,−i+(N+1)
.
p m 2N+1,−i+(N+1)
⎡
⎤
⎥
⎦ , Ba i =
⎢
⎣
1 iA a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
−iA a 1 iA a 0 . . . . . . . . . . . . 0
0
. .. . .. . .. 0 . . . . . 0
0 . . . −iA a 1 iA a . . . . . 0
0 . . . . . . . . . . .
. .. . .. . .. . . .
0 . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1 iA a
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1
⎤
. (1.39)
⎥
⎦
89

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Schéma upwind-differencing Ce schéma de discrétisation s’écrit :
p n+1/3
i,j
∆t
− p n i,j
p
⎧⎪ n+1/3
i,j
− p n+1/3
i−1,j
si y ⎨ 2j > 0 ,
∆y 1
= −y 2j
⎪ ⎩
p n+1/3
i+1,j
− p n+1/3
i,j
sinon .
∆y 1
(1.40)
Nous utilisons les mêmes notations que pour la discrétisation implicite présentée ci-dessus.
Le problème possède ici la même structure. En particulier, ici aussi nous pouvons décomposer le
problème en (2N + 1) systèmes de (2N + 1) équations à (2N + 1) inconnues. Tous les systèmes
obtenus sont alors de la forme (1.38) avec :
⎡
1 − iA a iA a ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 1 − iA a iA a 0 . . . . . . . . . . . . . 0
.
∀i ∈ [−N, 0], Bi a 0 .. . .. . .. 0 . . . . . . . 0
=
0 . . . 0 1 − iA a iA a . . . . . . . 0
, (1.41)
.
⎢ 0 . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . .
⎥
⎣ 0 . . . . . . . . . . . . . 0 0 1 − iA a A a ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 1 − iA a
⎡
1 + iA a ⎤
0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
−iA a 1 + iA a 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0
.
∀i ∈ [1, N] , Bi a 0 .. . .. . .. 0 . . . . . . . 0
=
0 . . . −iA a 1 + iA a 0 . . . . . . . 0
(1.42)
.
⎢ 0 . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . .
⎥
⎣ 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1 + iA a 0 ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1 + iA a
Schéma du staggered leapfrog Avec les notations utilisées ci-dessus, cette discrétisation
s’écrit :
90
∀i ∈ [−N, N], P n+1/3
i
= P n−1/3
i
+ B a i P n
i , (1.43)

1.3. Résolution par différences finies
où, avec A a = ∆t
2∆y 1
∆y 2 :
P m
i =
⎡
⎢
⎣
p m 1,−i+(N+1)
p m 2,−i+(N+1)
.
p m 2N+1,−i+(N+1)
⎡
⎤
⎥
⎦ , Ba i =
⎢
⎣
0 2iA a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
−2iA a 0 2iA a 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0
0
. .. . .. . .. 0 . . . . . . 0
0 . . . −2iA a 0 2iA a . . . . . . 0
0 . . . . . . . . . . . . .
. .. . .. . .. . . .
0 . . . . . . . . . . . . . 0 −2iA a 0 2iA a
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 −2iA a 0
⎤
(1.44) .
⎥
⎦
Schéma explicite centré en espace Ce schéma est instable. Mais nous cherchons tout de
même sa discrétisation, il nous permettra de réaliser des vérifications. Ce schéma amène à la
discrétisation suivante :
où, avec A a = ∆t
2∆y 1
∆y 2 :
P m
i =
⎡
⎢
⎣
p m 1,−i+(N+1)
p m 2,−i+(N+1)
.
p m 2N+1,−i+(N+1)
Pour la deuxième direction
∀i ∈ [−N, N], P n+1/3
i
Le maillage utilisé ici est celui de la figure 1.2.
Les notations sont les mêmes qu’auparavant.
= B a i P n
i , (1.45)
⎡
0 iA a ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
⎤
−iA a 0 iA a 0 . . . . . . . . . . . . 0
. ⎥
⎦ , 0 .. . .. . .. 0 . . . . . 0
Ba i =
0 . . . −iA a 0 iA a . . . . . 0
. (1.46)
.
⎢ 0 . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . .
⎥
⎣ 0 . . . . . . . . . . . 0 −iA a 0 iA a ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 −iA a 0
Schéma implicite La discrétisation obtenue ici est :
p n+2/3
i,j
= p n+1/3
i,j
+ ∆t [ (βy2(j+1)
+ F (y 1i ) ) p n+2/3
i,j+1
2∆y 2 ]
.
− ( βy 2(j−1) + F (y 1i ) ) p n+2/3
i,j−1
(1.47)
De ceci, en utilisant le maillage ci-dessus, nous obtenons un système de (2N + 1) × (2N + 1)
équations linéaires à (2N + 1) × (2N + 1) inconnues (la probabilité aux différents noeuds du
maillage). En particulier, il peut se mettre sous la forme d’une équation de matrices :
B b P n+2/3 = P n+1/3 , (1.48)
91

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
y 2 (j)
1
o
2N + 2
o
2
o
o
y 1 (i)
o
2N + 1
o
(2N + 1) × (2N + 1)
Fig. 1.2 – Maillage utilisé pour la discrétisation selon la deuxième direction.
où P m est le vecteur des inconnues [ de longueur ](2N[
+ 1) × (2N + 1) ] à l’instant t = m, B b est
une matrice carrée de taille (2N + 1)(2N + 1) × (2N + 1)(2N + 1) . Ils s’écrivent :
⎡
P m =
⎢
⎣
p m 1,1
p m 1,2
.
p m 1,2N+1
p m 2,1
.
p m k,1
p m k,2
.
p m k,2N+1
.
p m 2N+1,1
.
⎤
⎡
, B b =
⎢
⎣
⎥
⎦
BN b 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 BN−1 b 0 . . . . . . . . . . . . . 0
.
0 0 .. 0 . . . . . . . . . 0
0 . . . 0 B0 b 0 . . . 0
0 . . . . . . . . . . 0 B−1 b 0 0
.
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 .. 0
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 B−N
b
⎤
. (1.49)
⎥
⎦
p m 2N+1,2N+1
Ici p m i,j
est la probabilité à l’instant t = m de l’état au point de maillage (i, j), c’est-à-dire au
92

point de coordonnées (y 1 , y 2 ) =
{
(i − (N + 1)) ∆y 1 , (−j + (N + 1)) ∆y 2
}
1.3. Résolution par différences finies
dans ce repère. Le
système peut donc être découplé en (2N+1) systèmes de (2N+1) équations à (2N+1) inconnues.
Nous écrivons ceci par :
où, avec A b = ∆t
2∆y 2
:
où :
P m
i =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎡
⎢
⎣
p m i−(N+1),1
p m i−(N+1),2
.
p m i−(N+1),2N+1
∀i ∈ [−N, N], B b iP n+2/3
i
= P n+1/3
i
, (1.50)
⎡
1 a b ⎤
0 . . . . . . . . . . . . 0
⎤
b b 1 c b 0 . . . . . . . 0
. ⎥
⎦ , 0 .. . .. . .. 0 . . . 0
Bb i =
0 . . . d b 1 e b . . .
, (1.51)
.
⎢ 0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
⎣ 0 . . . . . . . 0 f b 1 g b ⎦
0 . . . . . . . . . . . . 0 h b 1
a b = −A b (a(N − 1)∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
b b = A b (aN∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
c b = −A b (a(N − 2)∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
d b = A b (a(−j + N + 2)∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
e b = −A b (a(−j + N)∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
f b = A b (−aN∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
g b = −A b (−aN∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
h b = A b (−a(N − 1)∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) .
(1.52)
Schéma upwind-differencing Ici la discrétisation selon selon cette méthode s’écrit :
⎧
F (y 1i ) pn+2/3 i,j+1 − pn+2/3 i,j−1
p n+2/3
i,j
− p n+2/3
i,j−1
+ βy 2j
2∆y 2
∆y 2
p n+2/3
i,j
− p n+1/3
i,j
∆t
⎪⎨
=
⎪⎩
+ β 2
(
)
p n+2/3
i,j−1 + pn+2/3 i,j+1
F (y 1i ) pn+2/3 i,j+1 − pn+2/3 i,j−1
2∆y 2
+ β 2
(
)
p n+2/3
i,j−1 + pn+2/3 i,j+1
si βy 2j > 0 ,
p n+2/3
i,j+1
+ βy − pn+2/3 i,j
2j
∆y 2
si βy 2j < 0 .
(1.53)
Nous utilisons les mêmes notations que dans la discrétisation implicite présentée ci-dessus.
Le problème possède la même structure. En particulier, ici aussi nous pouvons décomposer le
93

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
problème en (2N + 1) systèmes de (2N + 1) équations à (2N + 1) inconnues, systèmes étant de
la forme (1.50) avec :
⎡
a b b b ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
. .. . .. . .. 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
. . . c b d b e b 0 . . . . . . . . . . . . 0
.
Bi b 0 . . . .. . .. . .. 0 . . . . . . . 0
=
0 . . . 0 f b g b h b 0 . . . 0
, (1.54)
. 0 . . . . . . . 0 .. . .. . .. . . . 0
0 . . . . . . . . . . . . 0 i b j b k b . . .
⎢
⎣
.
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .. . .. . ..
⎥
⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 l b m b
avec :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a b = 1 − 2aNA b ∆y 2 ,
b b = A b (F ((i − N − 1)∆y 1 ) + a∆y 2 (2N − 1)) ,
c b = −A b (F ((i − N − 1) ∆y 1 ) − a∆y 2 (−j + N + 2)) ,
d b = 1 + 2a(−j + N + 1) A b ∆y 2 ,
e b = A b (F ((i − N − 1)∆y 1 ) − a∆y 2 ) ,
f b = −A b (F ((i − N − 1) ∆y 1 ) − a∆y 2 ) ,
g b = 1 ,
h b = A b (F ((i − N − 1)∆y 1 ) − a∆y 2 ) ,
i b = −A b (F ((i − N − 1) ∆y 1 ) − a∆y 2 ) ,
j b = 1 − 2a(−j + N + 1) A b ∆y 2 ,
k b = A b (F ((i − N − 1)∆y 1 ) + a∆y 2 (2 (−j + N + 1) − 1)) ,
l b = −A b (F ((i − N − 1) ∆y 1 ) + a∆y 2 (2N − 1)) ,
m b = 1 − 2NaA b ∆y 2 .
Schéma du staggered leapfrog Dans ce cas, la discrétisation peut se résumer par :
où, avec A b = ∆t
2∆y 2
:
94
P m
i =
⎡
⎢
⎣
∀i ∈ [−N, N], P n+2/3
i
p m i−(N+1),1
p m i−(N+1),2
.
p m i−(N+1),2N+1
(1.55)
= P n
i + B b iP n+1/3
i
, (1.56)
⎡
1 2a b ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . 0
⎤
2b b 1 2c b 0 . . . . . . . . . 0
. ⎥
⎦ , 0 .. . .. . .. 0 . . . 0
Bb i =
0 . . . 2d b 1 2e b . . .
, (1.57)
.
⎢ 0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
⎣ 0 . . . . . . . . 0 2f b 1 2g b ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . 0 2h b 1

1.3. Résolution par différences finies
où :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a b = −A b (a(N − 1)∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
b b = A b (aN∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
c b = −A b (a(N − 2)∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
d b = A b (a(−j + N + 2)∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
e b = −A b (a(−j + N)∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
f b = A b (−aN∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
g b = −A b (−aN∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
h b = A b (−a(N − 1)∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) .
(1.58)
Pour la troisième direction
Nous utilisons le même maillage que dans la section précédente ( voir schéma 1.2, page 92).
Les notations sont également les mêmes.
Schéma implicite La discrétisation s’écrit de la façon suivante :
p n+1
i,j
= p n+2/3
i,j
+ W (
)
0∆t
4 (∆y 2 ) 2 p n+1
i,j+1 − 2pn+1 i,j
+ p n+1
i,j−1
. (1.59)
Nous écrivons ainsi un système de (2N+1)×(2N+1) équations linéaires à (2N+1)×(2N+1)
inconnues (la probabilité aux différents noeuds du maillage). En particulier, celui-ci peut se
mettre sous la forme d’une équation de matrices :
B c P n+1 = P n+2/3 , (1.60)
où P m est le vecteur des inconnues de longueur (2N + 1) × (2N + 1), B c est une matrice carrée
95

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
de taille
[
] [
]
(2N + 1)(2N + 1) × (2N + 1)(2N + 1) . Ils s’écrivent :
⎡
P m =
⎢
⎣
p m 1,1
p m 1,2
.
p m 1,2N+1
p m 2,1
.
p m k,1
p m k,2
.
p m k,2N+1
.
p m 2N+1,1
.
⎤
⎡
, B c =
⎢
⎣
⎥
⎦
B 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 B 0 . . . . . . . . . . 0
.
0 0 .. 0 . . . . . . 0
0 . . . 0 B 0 . . . 0
0 . . . . . . . 0 B 0 0
.
0 . . . . . . . . . . . 0 .. 0
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 B
⎤
. (1.61)
⎥
⎦
p m 2N+1,2N+1
Ici p m i,j est la probabilité à l’instant t = m de l’état au point de maillage (i, j), c’est-à-dire du
{ }
point de coordonnées (y 1 , y 2 ) = (i − (N + 1)) ∆y 1 , (−j + (N + 1)) ∆y 2 dans le repère utilisé.
Le système peut donc être découplé en (2N + 1) systèmes de (2N + 1) équations à (2N + 1)
inconnues. Nous écrivons ceci par :
avec :
∀i ∈ [−N, N], B c P n+1
i
= P n+2/3
i
, (1.62)
P m
i =
⎡
⎢
⎣
p m i−(N+1),1
p m i−(N+1),2
.
p m i−(N+1),2N+1
⎡
⎤
⎥
⎦ , Bc =
⎢
⎣
1 − 2A c A c ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
A c 1 − 2A c A c 0 . . . . . . . . . . . . 0
.
0 .. . .. . .. 0 . . . 0
0 . . . A c 1 − 2A c A c . . . 0
(1.63) ,
.
0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
0 . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c A c ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c
où : A c = − W 0
4
96
∆t
(∆y 2 ) 2.

1.3. Résolution par différences finies
Schéma de Cranck-Nicholson La discrétisation peut se résumer par :
avec :
∀i ∈ [−N, N], B c 1
P n+1
i
= B c 2
P n+2/3
i
, (1.64)
⎡
0 A c 0 . . . . . . . . . . . . 0
⎡
⎤
p m A c 0 A c 0 . . . . . . . 0
i−(N+1),1
p m .
Pi m =
i−(N+1),2
⎢
⎥
⎣ . ⎦ , 0 .. . .. . .. 0 . . . 0
Bc 1
=
0 . . . A c 0 A c . . . 0
p m .
⎢ 0 . . . 0 .. . .. . .. 0
i−(N+1),2N+1 ⎣ 0 . . . . . . . 0 A c 0 A c
⎡
0 . . . . . . . . . . . . 0 A c 0
0 −A c ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0
−A c 0 −A c 0 . . . . . . . . . . . 0
. 0 .. . .. . .. 0 . . . 0
B c 2
=
0 . . . −A c 0 −A c . . . 0
,
.
⎢ 0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
⎣ 0 . . . . . . . . . . . 0 −A c 0 −A c ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 −A c 0
⎤
,
⎥
⎦
(1.65)
où : A c = − W 0 ∆t
8 (∆y 2 ) 2.
Nous venons d’écrire explicitement les discrétisations issues de notre choix de diviser le
problème en trois directions. Mais afin de pouvoir mieux comparer avec [123], nous écrivons
également le problème en ne le décomposant qu’en deux directions.
1.3.4 Avec seulement deux directions
Pour écrire la discrétisation de l’équation (1.9), nous utilisons :
avec :
⎡
⎢
⎣
∂p
∂t = L 1p + L 2 p ,
L 1 = −y 2
∂
∂y 1
,
L 2 = ∂ [
(ay 2 + by 1 ) + W 0
∂y 2 4
]
∂
∂y 2
.
(1.66)
Pour L 1 , la discrétisation s’écrit :
p n+1/2
i,j
= p n i,j + y (
)
2j∆t
p n+1/2
i−1,j
− p n+1/2
i+1,j
2∆y 1
.
97

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Comme auparavant, on obtient alors une équation matricielle :
B a P n+1/2 = P n , (1.67)
où P m est [ le vecteur des inconnues ] [ de longueur (2N ] + 1) × (2N + 1), B a est une matrice carrée
de taille (2N +1)(2N +1) × (2N +1)(2N +1) . Ce vecteur et cette matrice sont de la forme :
⎡
P m =
⎢
⎣
p m 1,1
p m 2,1
.
p m 2N+1,1
p m 1,2
.
p m 1,k
p m 2,k
.
p m 2N+1,k
.
p m 1,2N+1
.
⎤
⎡
, B a =
⎢
⎣
⎥
⎦
BN a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
0 BN−1 a 0 . . . ........... 0
.
0 0 .. 0 . . . . . . . . . 0
0 . . . 0 B0 a 0 . . . 0
0 . . . . . . . . . . 0 B−1 a 0 0
.
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 .. 0
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 B−N
a
⎤
. (1.68)
⎥
⎦
p m 2N+1,2N+1
Ce système peut donc être découplé en (2N + 1) systèmes de (2N + 1) équations à (2N + 1)
inconnues. Nous écrivons ceci par :
∀i ∈ [−N, N], B a i P n+1/2
i
= P n
i , (1.69)
où, avec A a = ∆t
2∆y 1
∆y 2 :
P m
i =
⎡
⎢
⎣
p m 1,−i+(N+1)
p m 2,−i+(N+1)
.
p m 2N+1,−i+(N+1)
⎡
⎤
⎥
⎦ , B1 i =
⎢
⎣
1 iA a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
−iA a 1 iA a 0 . . . . . . . . . . . . 0
0
. .. . .. . .. 0 . . . . . 0
0 . . . −iA a 1 iA a . . . . . 0
0 . . . . . . . . . . .
. .. . .. . .. . . .
0 . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1 iA a
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1
⎤
. (1.70)
⎥
⎦
98

1.3. Résolution par différences finies
Pour L 2 , nous pouvons écrire :
p n+1
i,j
− p n+1/2
i,j
∆t
= 1 [
(ay2(j+1)
+ by 1i + cy 3 )
1i p
n+1
i,j+1
2∆y − ( ]
ay 2(j−1) + by 1i + cy1i
3 )
p
n+1
i,j−1
2
+ W 0 1
[ ]
Ri,j+1 n+1
4 ∆y − Rn+1 i,j−1
,
2
où : R n+1
i,j+1 = pn+1 i,j+1 − pn+1 i,j
∆y 2
.
Donc :
p n+1
i,j
− p n+1/2
i,j
∆t
= 1 [
(ay2(j+1)
+ by 1i + cy 3 )
1i p
n+1
i,j+1
2∆y − ( ]
ay 2(j−1) + by 1i + cy1i
3 )
p
n+1
i,j−1
2
1
]
+ W 0
4
∆y 2 2
[
p n+1
i,j+1 − 2pn+1 i,j
+ p n+1
i,j−1
. (1.71)
On peut donc écrire : Pi
n+1
aux paragraphes 1.50 et 1.62 :
Avec A b i = ∆t et A c i
2∆y = −W 0
2 4
= ( Bi b + ) −1 Bc n+1/2
i P
∆t
(∆y 2 ) 2 :
i
, avec P n+1
i
, B b i et Bc i
tels qu’ils ont été définis
P m
i =
⎡
⎢
⎣
p m i−(N+1),1
p m i−(N+1),2
.
p m i−(N+1),2N+1
⎡
⎤
⎥
⎦ , Bb i =
⎢
⎣
1 a bc 0 . . . . . . . . . . . . 0
b bc 1 c bc 0 . . . . . . . . 0
.
0 .. . .. . .. 0 . . . 0
0 . . . d bc 1 e bc . . .
.
0 . . . 0 .. . .. . .. 0
0 . . . . . ... 0 f bc 1 g bc
0 . . . . . . . . . . . . 0 h bc 1
⎤
, (1.72)
⎥
⎦
où :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a bc = −A b (a(N − 1) ∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
b bc = A b (aN∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
c bc = −A b (a(N − 2) ∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
d bc = A b (a(−j + N + 2) ∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
e bc = −A b (a(−j + N)∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
f bc = A b (−aN∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
g bc = −A b (−aN∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
h bc = A b (−a(N − 1) ∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
(1.73)
99

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
et :
⎡
B c =
⎢
⎣
1 − 2A c A c ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
A c 1 − 2A c A c 0 . . . . . . . . . . . . 0
.
0 .. . .. . .. 0 . . . 0
0 . . . A c 1 − 2A c A c . . . 0
.
0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
0 . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c A c ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c
. (1.74)
De plus, dans tout ce qui a été fait jusqu’à maintenant, nous n’avons pas tenu compte des
conditions limites. En réalité, nous avons simplifié le problème en fixant à zéro les conditions aux
bords du domaine d’étude (aux bords du maillage en réalité). Cela signifie que nous avons fixé à
0 la probabilité aux bords du domaine d’étude, ce qui semble cohérent si celui-ci est suffisamment
étendu puisque cette probabilité doit tendre vers 0 à l’infini (en x et y) car Lebesgue-intégrable et
d’intégrale égale à 1. Ensuite, nous imposons à l’intégrale de la densité de probabilité trouvée sur
le domaine d’étude d’être égale à 1, en la multipliant par le coefficient adéquat. Ces conditions
limites sont artificielles, donc nous voulons tester quel est le résultat avec des conditions aux
bords non nulles, mais égales à ǫ, avec ǫ

1.3. Résolution par différences finies
où, avec A a = ∆t
2∆y 1
∆y 2 :
P m
i =
⎡
⎢
⎣
p m 1,−i+(N+1)
p m 2,−i+(N+1)
.
p m 2N+1,−i+(N+1)
⎡
1 iA a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
⎤
−iA a 1 iA a 0 . . . . . . . . . . . . 0
. ⎥
⎦ , Ba i = 0 .. . .. . .. 0 . . . . . 0
0 . . . −iA a 1 iA a . . . . . 0
.
⎢ 0 . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . .
⎣ 0 . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1 iA a
⎡
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1
−sign(i)A a ⎤
ǫ
0
Ui a =
⎢ .
.
⎥
⎣ 0 ⎦
sign(i)A a ǫ
⎤
,
⎥
⎦
(1.76)
De même, pour L 2 :
∀i ∈ [−N, N], B b iP n+2/3
i
+ U b = P n+1/3
i
, (1.77)
où, avec A b = ∆t
2∆y 2
:
P m
i =
⎡
⎢
⎣
p m i−(N+1),1
p m i−(N+1),2
.
p m i−(N+1),2N+1
⎡
⎤ + ∆t [
a∆y2 (N + 1) + bi∆y 1 + c(i∆y 1 ) 3] × ǫ
2∆y 2 0
⎥
⎦ , Ub =
.
⎢
0
⎣
− ∆t [
−a∆y2 (N + 1) + bi∆y 1 + c(i∆y 1 ) 3] × ǫ
⎡ 2∆y 2
1 a bǫ ⎤
0 . . . . . . . . . . . . 0
b bǫ 1 c bǫ 0 . . . . . . . . 0
.
Bi b = 0 .. . .. . .. 0 . . . 0
0 . . . d bǫ 1 e bǫ . . .
,
.
⎢ 0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
⎣ 0 . . . . . . . 0 f bǫ 1 g bǫ ⎦
0 . . . . . . . . . . . . 0 h bǫ 1
⎤
⎥
⎦
,
(1.78)
101

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
où :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a bǫ = −A b (a(N − 1) ∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
b bǫ = A b (aN∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
c bǫ = −A b (a(N − 2) ∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
d bǫ = A b (a(−j + N + 2) ∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
e bǫ = −A b (a(−j + N) ∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
f bǫ = A b (−aN∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) ,
g bǫ = −A b (−aN∆y 2 + F ((i − N − 1)∆y 1 )) ,
h bǫ = A b (−a(N − 1) ∆y 2 + F ((i − N − 1) ∆y 1 )) .
(1.79)
Enfin, pour L 3 :
∀i ∈ [−N, N], B c P n+1
i
+ U c = P n+2/3
i
, (1.80)
avec :
⎡
B c =
⎢
⎣
P m
i =
⎡
⎢
⎣
p m i−(N+1),1
p m i−(N+1),2
.
p m i−(N+1),2N+1
⎤
⎡
⎥
⎦ , Uc =
⎢
⎣
A c ǫ
0
.
0
−A c ǫ
⎤
,
⎥
⎦
1 − 2A c A c ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
A c 1 − 2A c A c 0 . . . . . . . . . . . . 0
.
0 .. . .. . .. 0 . . . 0
0 . . . A c 1 − 2A c A c . . . 0
,
.
0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
0 . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c A c ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c
(1.81)
où : A c = − W 0 ∆t
4 (∆y 2 ) 2.
Après avoir explicité toutes ces différentes discrétisations, nous cherchons maintenant à tester
notre programme en comparant ses résultats à des solutions connues pour certains cas.
1.3.6 Validation du programme
Pour ceci, nous allons commencer par tester les différents opérateurs dérivation : nous les
appliquons à une fonction choisie pour certaines caractéristiques (nulle aux limites du domaine
d’étude) et nous comparons la solution donnée par notre algorithme avec la solution exacte (qui
peut bien sûr être calculée analytiquement).
102

1.3. Résolution par différences finies
Validation des différents opérateurs
Dans la première direction Dans ce paragraphe, nous testons la fonction L 1 u = −y 2
∂u
∂y 1
.
Par exemple, nous utilisons la fonction : f(y 1 , y 2 ) = (y 1 − L 1
2 )2 (y 2 − L 2
2 )2 . Les dérivées numériques
et analytiques sont alors quasiment identiques (voir figure 1.3) :
Dérivée calculée analytiquement
Erreur de la solution numérique par rapport à la solution exacte
x 10 4
3
Dérivée
2
1
0
−1
0.014
0.012
−2
−3
90
80
70
60
50
40
y2
30
20
10
0
0
10
20
30
y1
40
50
60
70
80
90
Erreur
0.01
0.008
Dérivée calculée numériquement
0.006
x 10 4
3
2
0.004
Dérivée
1
0
−1
−2
0.002
−3
90
80
70
60
50
40
y2
30
20
10
0
0
10
20
30
y1
40
50
60
70
80
90
0
90
80
70
60
50
y2
40
30
20
10
0
10
20
30
40
y1
50
60
70
80
90
Fig. 1.3 – Tests sur l’opérateur L 1 , discrétisé avec le schéma implicite simple. A gauche : dérivées
analytique et numérique pour N=40, L 1 = L 2 = 8. A droite : erreur entre ces deux dérivées
pour N=40, L 1 = L 2 = 2.
Les erreurs effectuées sont donc localisées au bord du domaine d’étude : l’erreur, tout en
étant faible, atteint un maximum aux bords du domaine d’étude, suite à la condition limite.
Dans la deuxième direction De même pour L 2 u = ∂ [(ay 2 + F(y 1 ))u] :
∂y 2
Nous représentons sur la figure 1.4 les courbes de niveau de la solution analytique et de
la simulation numérique de l’opérateur L 2 u =
(
f(y 1 , y 2 ) = y 1 − L ) 2 (
1
y 2 − L ) 2
2
.
2 2
∂
∂y 2
[(ay 2 + F(y 1 ))u] appliqué à la fonction
Dans la troisième direction Enfin, pour l’opérateur L 3 u = ∂2 u
Sur la figure 1.5, nous nous apercevons que la seule erreur commise par la simulation numérique
est aux bords du domaine d’étude. Mais cette erreur est importante. Cela signifie que nous
devons nous attacher à choisir un domaine d’étude suffisamment vaste.
Maintenant nous testons la fiabilité de notre discrétisation.
∂y 2 2
:
103

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
80
Dérivée calculée analytiquement
70
Contours de la dérivée
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80
y1
80
Dérivée calculée numériquement
70
Contours de la dérivée
60
50
40
30
20
10
10 20 30 40 50 60 70 80
y1
Fig. 1.4 – Contours des dérivées analytique (en haut) et numérique (en bas) pour N=40, L 1 =
L 2 = 8, a=2.1, F(y 1 ) = ky 1 avec k=1. Le schéma utilisé ici est le staggered leapfrog.
x 10 4
Erreur de la dérivée calculée numériquement
2
Erreur
100 0 1
50
y2
0
0
20
40
y1
60
80
100
80
10000
60
8000
Erreur
40
20
6000
4000
2000
10 20 30 40 50 60 70 80
y1
Fig. 1.5 – Erreur entre les dérivées analytique et numérique pour N=40, L 1 = L 2 = 8. En haut :
représentation en trois dimensions. En bas : contours de cette erreur.
104

1.3. Résolution par différences finies
Comparaison de la solution numérique avec la solution exacte
Afin de comparer notre programme à celui de [123], nous fixons pour paramètres par défaut
les valeurs qui ont été choisis dans cet article.
Mode opératoire Nous étudions donc ici l’équation de Fokker-Planck de l’oscillateur linéaire :
ẍ + aẋ + kx = f(t), qui s’écrit :
∂p
∂t = −y ∂p
2 + ∂ [ ]
(ay 2 + ky 1 )p + W 0 ∂ 2 p
∂y 1 ∂y 2 4
∂y 2 2
,
(1.82)
où f(t) est un bruit blanc de coefficient de diffusion égal à W 0
. La solution exacte de cette
2
équation de Fokker-Planck est donnée par l’équation (1.12). Nous fixons les valeurs numériques
par défaut des paramètres : N = 40, L 1 = L 2 = 4, a = 2.1, k = 1, ∆t = π/1000 et W 0 = 3.2.
De plus, par défaut, les schémas utilisés sont les schémas implicites simples. Nous testons les
influences des valeurs des paramètres et celle des différents schémas utilisés. Pour quantifier
l’erreur des calculs numériques, nous utilisons trois mesures différentes de l’erreur :
Une norme appelée ”norme 1“ ici
√
1 ∑( ||e|| 1 =
p
exact
i,j
(2N + 1)(2N + 1)
i,j
− p num ) 2
i,j . (1.83)
Cette norme a été utilisée dans [123] pour quantifier l’erreur de leur solution numérique.
Mais elle présente quelques inconvénients : en effet, elle nivelle les erreurs. −1 ≤ p exact
i,j −
p num
i,j ≤ 1, donc en divisant par le nombre de noeuds dans le maillage, l’erreur reste toujours
très faible. De plus, cette mesure de l’erreur n’est pas relative par rapport à ce que nous
comparons ici (des probabilités, donc comprises par définition entre 0 et 1).
Une norme appelée ”norme 2“ Pour ceci, nous définissons une autre norme plus représentative
à notre sens :
⎛
∑ ( ) 2
⎞
⎜ i,j
p exact
i,j − p num
1/2
i,j ⎟
||e|| 2 = ⎝ ( ) 2 ⎠ . (1.84)
∑
i,j
p exact
i,j
Une norme infinie Cette dernière norme permet de déterminer les points de maillage où a
lieu le maximum d’erreur de notre algorithme numérique :
||e|| max =
max
i,j |pexact i,j − p num
i,j |
p exact
i,j
. (1.85)
La condition initiale de l’algorithme sera la solution exacte issue de (x 0 , y 0 ) = (0, 0) à t = 0.95s.
Nous testerons les combinaisons suivantes :
105

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Schémas de discrétisation En ce qui concerne la première direction, elle pourra être discrétisée
suivant les schémas implicite, explicite, ”staggered leapfrog“ ou ”upwind differencing“.
La deuxième direction sera discrétisée suivant les schémas implicite, explicite ou ”staggered
leapfrog“. La dernière direction sera traitée de manière implicite, explicite ou à l’aide d’un
schéma de Cranck-Nicholson. Dans ces combinaisons de schémas, les valeurs des paramètres
utilisées sont les valeurs par défaut.
Valeurs des paramètres Nous utilisons les valeurs numériques suivantes :
N 20, 40, 80, 160
L 1 = L 2 2 , 8
∆t
π
500 , π
1000 , π
10000 , π
100000
Tab. 1.1 – Valeurs des paramètres utilisées pour tester le schéma numérique.
Autres discrétisations Nous testons également la décomposition du problème en seulement
deux directions de l’espace. Enfin, nous étudierons l’influence de conditions aux limites
non nulles.
Résultats sur la fiabilité du programme
Pour les valeurs des paramètres par défaut En utilisant pour les paramètres les
valeurs par défaut et en choississant les schémas implicites, nous observons que les deux normes
de l’erreur suivent la même forme au cours du temps (voir figure 1.6) : elles augmentent assez
rapidement jusqu’à environ t = π 5 = 0.6283s. Le maximum atteint est alors de ||e|| 1 = 0.00051180
et ||e|| 2 = 0.006057. Le temps de calcul (CPU) est e = 4.8484375.10 2 pour t = 6π . De plus,
5
nous recherchons la norme infinie de l’erreur : les résultats sont consignés dans le tableau 1.2.
Nous remarquons que le maximum d’erreur se concentre au niveau du pic. Cela signifie que
l’emplacement du pic et sa base sont corrects, mais son hauteur est légèrement plus faible dans
le cas numérique. Mais la perte de hauteur est acceptable, entre 2% et 10%. Cette diminution
de la hauteur est dûe à des pertes d’énergie dans le domaine d’étude, en dehors du pic, où la
densité de probabilité calculée numériquement est légèrement plus importante que celle calculée
analytiquement. Comme l’intégrale de la densité de probabilité sur tout le domaine d’étude est
normée à 1, ceci fait diminuer la hauteur du pic numérique.
En choississant des valeurs numériques différentes pour les paramètres Nous
utilisons comme simulation de référence la simulation réalisée avec les valeurs des paramètres
par défaut et les schémas implicites simples. Nous faisons alors varier un seul paramètre à chaque
106

1.3. Résolution par différences finies
0.01
x 10 −3
1
Erreur 2
0.005
0
0 5 10 15 20 25 30 35
Temps × 0.01π
0 5 10 15 20 25 30 35 0 0.5
Erreur 1
Fig. 1.6 – Evolution des deux normes de l’erreur au cours du temps, pour une simulation avec les
valeurs des paramètres par défaut et des schémas implicites simples (La norme 1 est représenté
en trait continu, la norme 2 en pointillés).
Temps max
i,j |pexact i,j − p num
i,j | p exact
i,j Point du maillage ||e|| max
π
100
0.0019 0.9133 (40,41) 0.00208
5π
100
0.0056 0.8066 (41,41) 0.006942
π
10
0.0069 0.7094 (41,40) 0.00972
3π
20
0.0069 0.6429 (41,41) 0.0107
3π
10
0.0049 0.5267 (41,41) 0.0093
Tab. 1.2 – Norme maximum de l’erreur à t = 6π 5
des schémas implicites simples.
, pour les valeurs des paramètres par défaut et
107

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
simulation. Nous observons par exemple les résultats suivants à l’instant t = 31π
100 s = 0.973896s
(voir tableau 1.3).
Paramètres Norme 1 Norme 2 Commentaires
Défaut 4.1307.10 −4 0.006547
∆t = π
500
∆t =
π
1000
7.36253.10 −4 0.0117223
9.17225.10 −4 0.01459
N = 20 0.00431 0.06928
N = 80 6.4155.10 −4 0.01010
N = 160 8.8087.10 −4 0.01383
L 1 = L 2 = 2 0.13214 0.529303
W 0 = 0.32 0.1315411 0.6593023 Diminution de la hauteur du pic, augmentation
de la probabilité en dehors du pic
W 0 = 0.032 0.6598393 0.998853 Disparition du pic, densité de probabilité
équirépartie
Tab. 1.3 – Normes de erreurs pour différentes valeurs des paramètres du schéma.
108
Plusieurs remarques peuvent être formulées :
– Seuls les cas avec une diffusion trop faible ou un domaine d’étude trop étroit sont inacceptables.
En effet, lorsque la diffusion est trop faible, les valeurs propres de la matrice B c
sont très faibles et donc (B c ) −1 possède des valeurs propres très importantes. Ceci fausse
les résultats. Le choix de L 1 = L 2 = 2 est, quant à lui, aberrant. En effet, la dynamique
du problème ne se limite pas au domaine [−1, 1] × [−1, 1]. Le résultat obtenu est donc
naturellement faux car tronqué d’une grande partie des phénomènes du système. De plus,
dans ce cas, les conditions limites sont elles-aussi inacceptables : en effet, aux frontières du
domaine d’étude, la densité de probabilité subit alors un saut de discontinuité important.
– Les autres cas présentent des erreurs faibles. Les valeurs des paramètres par défaut sont
celles qui donnent le meilleur résultat; mais elles ont probablement été choisies précisément
pour cela par les auteurs des références [123, 124]. D’ailleurs, nous pouvons remarquer
que pour les mêmes paramètres, les mêmes conditions initiales et les mêmes conditions

1.3. Résolution par différences finies
aux limites, leur erreur est supérieure à la notre. Cela semble justifier la décomposition
du problème en trois directions différentes, au lieu de deux. Mais il est intéressant de
remarquer que diviser le pas de temps ou le pas en espace par deux ne diminue pas l’erreur
par deux. Ceci est lié aux valeurs numériques prises par les valeurs propres des matrices
correspondant aux trois opérateurs B a , B b et B c . En effet, en prenant par exemple les
paramètres du tableau 1.4.
Paramètres
Norme 1 de l’erreur Norme 2 de l’erreur
∆t =
π
1000 , N = 40 4.1307.10−4 0.006547
∆t =
π
10000 , N = 80 2.03.10−4 0.003222
π
∆t =
100000 , N = 160 7.849.10−5 0.0011246
Tab. 1.4 – Erreur observée pour certaines combinaisons de paramètres.
En conclusion, nous pouvons donc affirmer que notre schéma de discrétisation donne des
erreurs avec des erreurs pouvant être qualifiées de faibles, voire de très faibles, à condition
d’adapter la taille du domaine d’étude aux phénomènes observés et de choisir une diffusion
adaptée.
Maintenant, nous comparons les performances des différents schémas que nous avons explicités
dans la section précédente.
Comparaison des différents schémas utilisés Nous utilisons les abbréviations suivantes
: I signifie ”implicite“, U signifie ”upwind differencing“ et E, S et C signifient respectivement
”explicite“, ”staggered leapfrog“ et ”Cranck-Nicholson“. Les erreurs obtenues avec les
différentes combinaisons de schémas au bout de 310 pas de temps (t = 0.973896s) sont notées
dans le tableau 1.5.
Nous voyons donc que certains schémas ne peuvent pas être utilisés : ce sont les combinaisons
UII, ISI, SII. D’autres devraient être évités : IIE, IEI et EII ont des erreurs très faibles mais
le schéma explicite est instable et lors de la simulation du contrôle passif de structures, il sera
difficile, voire impossible, de prévoir quels pas en temps et en espace seront suffisants pour assurer
des résultats corrects. Il reste ainsi les combinaisons III et IIC qui présentent des erreurs très
faibles, voir graphes 1.7.
Un autre point important est le temps de calcul, voir tableau 1.6. Celui-ci est équivalent
pour toutes les combinaisons de paramètres. Les combinaisons EII et UII semblent être les plus
rapides, IIC la plus lente. La combinaison III appartient aux plus rapides. En tenant compte de
tous ces indices, la combinaison III semble donc être optimale.
109

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Schémas Normes de l’erreur Commentaires
1 2 3 Norme 1 Norme 2
I I I 4.1307.10 −4 0.006547 Pic bien localisé, hauteur correcte
U I I 0.06116152 0.9693961 Jusqu’à t=0.722568s, erreurs très faibles.
Puis apparition d’effets de bord, disparition
du pic, irrégularités au bord du domaine
d’étude
I I C 3.30823.10 −4 0.00524
I I E 3.18653.10 −4 0.005050 Schéma 3 instable
I E I 3.46673.10 −4 0.005494 Schéma 2 instable
I S I 0.028167 0.446450 Pic tourne (sens trigonométrique). Base
du pic plus étroite, amplitude plus grande.
S I I 0.0614 0.967489 Pic tourne, sa base s’aplatit et s’allonge.A
t=0.43982s, apparition d’effets de bord. A
t=0.7854s, disparition du pic.
E I I 4.1073.10 −4 0.00651 Schéma 1 instable
Tab. 1.5 – Différentes normes de l’erreur obtenue au bout de 310 pas de temps avec les différentes
combinaisons de schémas.
Erreur 1 selon les différentes combinaisons de schémas
Erreur 2 pour les différentes combinaisons de schémas
5
III
EII
IEI
IIC
IIE
7
6
III
EII
IEI
IIC
IIE
4
5
Erreur 1
6 x 10−4 temps (x pi/100)
3
Erreur 2
8 x 10−3 temps (x pi/100)
4
2
3
2
1
1
0
0 5 10 15 20 25 30 35
0
0 5 10 15 20 25 30 35
Fig. 1.7 – Normes 1 et 2 de l’erreur pour les différentes combinaisons de schémas numériques.
110

1.3. Résolution par différences finies
Schémas CPU (jsuqu’à t = 0.973896s)
1 2 3
I I I 1.3325.10 2
U I I 1.2892.10 2
I E I 1.6354.10 2
I S I 1.6548.10 2
I I C 1.8310.10 2
I I E 1.2443.10 2
S I I 1.3473.10 2
E I I 1.2143.10 2
Tab. 1.6 – Temps de calcul pour les différentes combinaisons de schémas.
Programmation avec décomposition dans seulement deux directions Cette programmation
a été expliquée et explicitée dans 1.3.4. En comparant cette programmation à deux
schémas implicites avec la combinaison III, nous obtenons les valeurs de l’erreur consignées dans
le tableau 1.7. Bien que la décomposition du problème en seulement deux directions semble
donner des résultats corrects, son erreur est 100 fois supérieure à celle de la décomposition en
trois directions.
La programmation par décomposition en trois directions semble donc plus fiable, plus précise
et plus rapide.
Utilisation du programme avec des conditions aux bords non nulles Nous supposons
dans ce paragraphe que les conditions de bord ne sont pas nulles, mais égales à ǫ, avec
ǫ

Chapitre 1. Ecriture, discrétisation et vérification numérique des résultats
Schémas Normes de l’erreur à t = 0.973896s CPU Commentaires
Norme 1 Norme 2
III 4.1307.10 −4 0.006547 1.3329.10 2
II 0.011209 0.177661 2.484375.10 2 Effets de bords à partir
de t = 0.188496s. Même
forme de pic, même emplacement,
même hauteur
mais tourné.
Tab. 1.7 – Normes de l’erreur à t = 0.973896s pour les combinaisons III et II.
ǫ Normes de l’erreur Commentaires
Norme 1 Norme 2
0.01 0.0609336 0.965784 Effets de bords dès les 10 premiers pas de temps.
0.001 0.048867 0.77453 Solution correcte les 20 premiers pas de temps.
Ensuite, effets de bords mais le pic central reste
observable.
0.0001 0.009501 0.15059 Jusqu’à t = 0.596904s, la solution obtenue est
correcte. Ensuite, forme et emplacements du pic
sont corrects, seule amplitude trop faible.
Tab. 1.8 – Normes de l’erreur à t = 0.973896s pour des conditions aux bords non nulles.
112

Chapitre 2
Applications de cette méthode
numérique à des systèmes
dynamiques avec un degré de liberté
Ayant prouvé la précision de notre méthode numérique, nous l’appliquons à
certains systèmes dynamiques à un degré de liberté. Ces résultats probabilistes
sont alors comparés aux résultats déterministes.
Sommaire
2.1 Systèmes dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.2 Cas de l’oscillateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3 Cas de l’oscillateur de type Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3.1 Comparaison avec les résultats de Kunert et Pfeiffer, [60] . . . . . 115
2.3.2 Autres résultats connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.4 Systèmes paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4.1 Discrétisation utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4.2 Recherche de bassins d’attraction et d’attracteurs chaotiques . . . . 127
2.5 Systèmes avec friction de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5.1 Résultats déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5.2 Equation de Fokker-Planck pour problèmes non réguliers . . . . . . 131
2.5.3 Equation de Fokker-Planck du problème . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.5.4 Résultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.6 Loi de comportement élasto-plastique . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.6.1 Problème étudié et équation de Fokker-Planck correspondante . . . 136
2.6.2 Résultats théoriques sur le système dynamique avec loi de comportement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
113

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
2.6.3 Résultats des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.1 Equation de Fokker-Planck et discrétisation pour des systèmes
dynamiques dépendant du temps
Nous écrivons les équations du mouvement sous la forme :
ẍ + aẋ + F (x) = f cos (wt) + f (t) , (2.1)
où f(t) est le bruit blanc de diffusion W 0 .
L’équation de Fokker-Planck-Kolmogorov s’écrit dans ce cas (voir section 1.2.2) :
W 0
4
∂ 2 p
−
∂y 2 2
∂ (y 2 p) + ∂ { (ay2
+ by 1 + cy1 3 − f cos (wt) ) }
p = ∂p
∂y 1 ∂y 2 ∂t . (2.2)
Ainsi en appliquant la méthode des pas intermédiaires tel que cela a été réalisé dans la section
1.3.1, il s’avère que seul le deuxième pas de discrétisation est modifié. En particulier, les schémas
de discrétisation vont s’écrire :
a. Pour le schéma implicite :
p n+2/3
i,j
= p n+1/3
i,j
+ ∆t [ (βy2(j+1)
+ F (y 1i ) + ϕ (t n ) ) p n+2/3
i,j+1
2∆y 2
− ( βy 2(j−1) + F (y 1i ) + ϕ (t n ) ) ]
p n+2/3
i,j−1
.
(2.3)
b. Pour le schéma ”upwind-differencing“ :
p n+2/3
i,j
− p n+1/3
i,j
∆t
⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
(F (y 1i ) + ϕ (t n )) pn+2/3 i,j+1 − pn+2/3 i,j−1
2∆y 2
+ β 2
(
)
p n+2/3
i,j−1 + pn+2/3 i,j+1
si βy 2j > 0 ,
(F (y 1i ) + ϕ (t n )) pn+2/3 i,j+1 − pn+2/3 i,j−1
2∆y 2
+ β 2
(
)
p n+2/3
i,j−1 + pn+2/3 i,j+1
si βy 2j < 0 .
p n+2/3
i,j
+ βy 2j
− p n+2/3
i,j−1
∆y 2
p n+2/3
i,j+1
+ βy − pn+2/3 i,j
2j
∆y 2
(2.4)
114

2.2. Cas de l’oscillateur linéaire
Dans les deux cas, on pourra prendre :
⎧
−f cos ( )
wt n+2/3
ou ⎪⎨
ϕ (t n ) =
−f cos ( )
wt n+1/3
ou
⎪⎩
− f ( ( ) ( ))
cos wtn+1/3 + cos wtn+2/3
2
(2.5)
2.2 Cas de l’oscillateur linéaire
Nous considérons l’oscillateur linéaire :
ẍ + aẋ + kx = f cos (wt) + f (t) . (2.1)
L’équation de Fokker-Planck correspondante s’écrit alors :
W 0
4
∂ 2 p
−
∂y 2 2
∂
∂y 1
(y 2 p) + ∂
∂y 2
{
(ay 2 + ky 1 − f cos (wt))p
}
= ∂p
∂t . (2.2)
Nous réalisons des simulations numériques avec les paramètres suivants : N = 100, L 1 = 6,
L 2 = 6, T max = 20, ∆t = 5π
160 , a = 0.05, k = 1, f = 1, w = 1.6, W 0 = 0.32. Les notations
sont les mêmes qu’avant : L 1 (respectivement L 2 ) est la dimension du domaine d’étude dans la
direction des x (respectivement des ẋ), 2N +1 est le nombre de points de maillage dans chacune
de ces directions, T max est l’horizon d’étude en temps, ∆t est le pas en temps, W 0 est le coefficient
de diffusion du bruit blanc, a, k, f, w sont les paramètres physiques du système (respectivement
l’amortissement, la raideur linéaire, l’amplitude et la fréquence de la sollicitation).
Nous observons tout d’abord que le pic de probabilité correspondant au point fixe ”tourne“
(voir figure 2.1).
De plus, plus le coefficient de diffusion est élevé, plus ce pic est étalé,ce qui est conforme à
ce qui était attendu (graphe 2.2), car cela signifie que l’incertitude est plus grande (écart-type
de la diffusion).
2.3 Cas de l’oscillateur de type Duffing
2.3.1 Comparaison avec les résultats de Kunert et Pfeiffer, [60]
Dans cette section, nous cherchons à retrouver, avec notre méthode numérique, les résultats
consignés dans la référence [60]. Ainsi nous considérons le système dynamique suivant :
⎧
⎨
⎩
ẋ = y
ẏ = −dy + x − x 3 + acos(τ)
˙τ = 1
(2.1)
115

y2
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
Densité de probabilité pour t=T/4
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
y1
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
200
180
160
140
120
Densité de probabilité à t=T
0.11
0.1
0.09
0.08
0.07
y2
100
0.06
80
60
40
20
0.05
0.04
0.03
0.02
50 100 150 200
y1
0.01
(a) à t=T
(b) à t = T/4
200
Densité de probabilité à t=T/2
0.1
180
160
140
0.09
0.08
0.07
y2
120
100
80
60
0.06
0.05
0.04
40
20
0.03
0.02
(c) à t = T/2
50 100 150 200
y1
0.01
200
Densité de probabilité à t=3T/4
0.1
180
160
140
0.09
0.08
0.07
y2
120
100
80
60
0.06
0.05
0.04
40
20
0.03
0.02
(d) à t = 3T/4
50 100 150 200
y1
0.01
Fig. 2.1 – Probabilité des états de l’oscillateur linéaire de l’équation (2.1) pour quatre temps
différents. Les paramètres sont égaux à a = 0.05, k = 1, f = 1, w = 1.6, W 0 = 0.32. Ces densités
de probabilité sont exprimés en fonction des points du maillage.
116

2.3. Cas de l’oscillateur de type Duffing
200
150
Densité de probabilité pour t=T, W0=0.003
0.25
0.2
y2
100
0.15
50
0.1
y2
200
150
100
50
50 100 150 200
y1
Densité de probabilité pour t=T, W0=0.3
50 100 150 200
y1
0.05
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
Fig. 2.2 – Comparaison des densités de probabilité obtenues pour deux coefficients de diffusion
différents, pour l’oscillateur linéaire de l’équation (2.1) avec les paramètres a = 0.05, k = 1,
f = 1, w = 1.6.
Nous réalisons des simulations numériques. Par exemple, avec d = 0.15, a = 0.3, W 0 = 0.01,N =
200, L 1 = 4, L 2 = 4, ∆t = 0.2π. Nous utilisons les schémas implicites. Nous représentons les
sections de Poincaré pour des temps courts (t = T et t = 10T) et des temps plus longs (t = 90T)
où la solution semble avoir convergé (voir figure 2.3).
Nous pouvons observer ainsi les deux points fixes à (x = ±1, y = 0) et l’attracteur chaotique.
Ce résultat correpond aux résultats de l’article [60] (figure 9). Mais nous n’observons pas la
solution périodique; en effet, celle-ci ne peut être observe que pour certaines conditions initiales.
2.3.2 Autres résultats connus
D’autres résultats connus (par exemple [86], [87],...) ont été retrouvés avec notre programmation
numérique . Nous donnons nos résultats ci-dessous en vrac.
Si nous étudions ici le système :
ẍ − cẋ − kx + kλx 3 = σw(t) , (2.2)
où w(t) est un bruit blanc de variance unitaire. Les résultats sont représentés sur le graphe 2.4 :
nous observons les deux points fixes du système, d’autant plus visibles que la diffusion est faible.
En effet, plus la diffusion est importante, plus les pics de probabilité sont étaler jusqu’à former
une ”cordillère“ de probabilité.
Ensuite, nous nous appuyons sur l’article [86] pour fixer les paramètres pour nos simulations
numériques du système dynamique :
ẍ(t) + 2ηw 0 ẋ(t) + w 2 0x(t) + γw 2 0x 3 (t) = Γ cos(Ωt) + ξ(t) , (2.3)
117

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
Fig. 2.3 – Densités de probabilité de Fokker-Planck pour l’oscillateur de type Duffing de l’équation
(2.1), au temps t = T, t = 10T et t = 90T avec les paramètres d = 0.15, a = 0.3, W 0 = 0.01,
T = 2π.
118

2.3. Cas de l’oscillateur de type Duffing
Probabilité de Fokker−Planck pour l’oscillateur de Duffing
Probabilité de Fokker−Planck pour l’oscillateur de Duffing
0.8
0.4
0.6
0.3
p
0.4
p
0.2
0.2
0.1
0
100
50
x 2
0
0
20
40
x 1
60
80
100
0
0
50
100
150
200 0
50
x 2
100
150
200
x 1
(a) W 0 = 0.1, L 1 = L 2 = 4.0
(b) W 0 = 0.032, L 1 = L 2 = 2.0
Fig. 2.4 – Probabilités des états du système (2.2), avec k = 1, c = 0.05, λ = 10, σ 2 = W 0
2 .
où ξ(t) est un bruit blanc de coefficient de diffusion 2D. Certains paramètres sont fixes :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
w 0 = 1 ,
γ = 1.0 ,
η = 0.01 ,
Γ = 0.1 .
(2.4)
Nous faisons varier l’intensité du bruit et la fréquence de la sollicitation :
1 2 3 4 5 6
Ω 1.5 1.5 1.5 1.2 1.2 1.2
D 0.001 0.005 0.01 0.0001 0.001 0.005
Tab. 2.1 – Paramètres utilisés pour simuler l’oscillateur de type Duffing de l’équation (2.3).
En observant les résultats des trois premières simulations, nous observons un phénomène
relevé par plusieurs chercheurs ayant travaillé sur l’oscillateur de type Duffing (par exemple,
[116]) : la probabilité de Fokker-Planck de cet oscillateur possédant les paramètres adéquats
exhibe un pic principal et une ”queue“(tail) de probabilité, comme sur la figure 2.5. Ces derniers
correspondent respectivement au point fixe en (0, 0) (stable) et un autre point fixe (instable).
Au fil du temps, le pic s’affine autour du point (x, y) = (0, 0) et la queue est détruite. Donc sous
l’effet de la sollicitation, tout le mouvement du système est concentré en (0, 0).
119

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
(a) t = π
(b) t = 2π
(c) t = 4π
(d) t = 5π
(e) t = 6π
(f) t = 8π
Fig. 2.5 – Probabilité de Fokker-Planck pour l’oscillateur de Duffing de l’équation (2.4) avec
w 0 = 1.0, γ = 1.0, η = 0.01, Γ = 0.1, Ω = 1.5 et D = 0.001, pour différents temps d’observation.
La condition initiale choisie est une probabilité équirépartie, ce qui explique la forme plate de la
densité de probabilité en temps courts.
120

2.3. Cas de l’oscillateur de type Duffing
Avec ces trois simulations, nous observons également l’influence de la diffusion. En effet,
nous observons qu’à temps égal, une diffusion plus importante étale le pic central et détruit
plus rapidement la queue. Ceci est logique : une diffusion plus importante correspondant à un
bruit plus fort, ce qui entraine la destruction des phénomènes instables et une diffusion des
phénomènes stables (figure 2.6).
(a) D = 0.001 (b) D = 0.005
(c) D = 0.01
Fig. 2.6 – Densité de probabilité de Fokker-Planck pour l’oscillateur de Duffing de l’équation
(2.4) avec w 0 = 1.0, Ω = 1.5, γ = 1.0, η = 0.01, Γ = 0.1, t = 6π. Nous observons que quand la
diffusion augmente, le pic central s’étale et la queue de probabilité disparait.
En observant les simulations 4, 5 et 6, un tout autre comportement apparait. Ici aussi, nous
observons l’effet de la diffusion (figure 2.7).
Un autre phénomène intéressant à remarquer est la rotation de la densité de probabilité
autour du point (0, 0) dans le sens trigonométrique, par exemple avec les figures 2.8 et 2.9. Il
s’agit de l’effet de la sollicitation, qui est ici sinusoïdale de la forme Γ cos(Ωt).
Ces résultats sont identiques à ceux consignés dans les articles existants ([86, 87]).
121

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
(a) D = 0.0001 (b) D = 0.001
(c) D = 0.005
Fig. 2.7 – Densité de probabilité de Fokker-Planck pour l’oscillateur de Duffing de l’équation
(2.4) avec w 0 = 1.0, γ = 1.0, η = 0.01, Γ = 0.1, t = 21π, Ω = 1.2.
122

2.3. Cas de l’oscillateur de type Duffing
(a) A t = 10π (b) A t = 10.1π
(c) A t = 10.2π
Fig. 2.8 – Densité de probabilité de Fokker-Planck pour l’oscillateur de type Duffing de l’équation
(2.4), avec w 0 = 1.0, γ = 1.0, η = 0.01, Γ = 0.1, Ω = 1.2, D = 0.005.
123

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
(a) A t = 35π (b) A t = 35.1π
(c) A t = 35.2π
Fig. 2.9 – Densité de probabilité de Fokker-Planck pour l’oscillateur de type Duffing de l’équation
(2.4), avec w 0 = 1.0, γ = 1.0, η = 0.01, Γ = 0.1, Ω = 1.5, D = 0.0001.
124

2.4. Systèmes paramétriques
2.4 Systèmes paramétriques
2.4.1 Discrétisation utilisée
Le système étudié est celui de [71] :
ü + δ ˙u + ( w 2 0 + γ cos (wt) ) u + αu 2 + βu 3 = f (t) , (2.1)
qui s’écrit également sous la forme :
{
ẏ1 = y 2 ,
ẏ 2 = −δy 2 − ( w 2 0 + γ cos (wt)) u − αy 2 1 − βy3 1 + f (t) . (2.2)
f (t) est un bruit blanc de diffusion W 0 :
< f (t) >= 0, < f (t 1 ).f (t 2 ) >= W 0
2 δ (t 1 − t 2 ) .
L’équation de Fokker-Planck correspondante s’écrit :
∂p
∂t = − ∂ (a 1 p) −
∂ (a 2 p) +
∂2
(b 12 p) + 1 ∂y 1 ∂y 2 ∂y 1 ∂y 2 2
avec :
∂ 2
∂y 2 1
(b 11 p) + 1 2
∂ 2
∂y 2 2
(b 22 p) , (2.3)
< ∆y 1 >
a 1 = lim = ẏ 1 = y 2 ,
∆t→0 ∆t
< ∆y 2 >
a 2 = lim ,
∆t→0
⎧ ∆t
∫ t+∆t
∫ t+∆t ⎫
⎪⎨ < −δy 2 − w0 2y 1 − αy1 2 − βy3 1 > ∆t − γ < cos(wτ) > dτ + < f (τ) > dτ ⎪⎬
t
t
= lim
∆t→0
∆t
⎪⎩
⎪⎭
,
= −δy 2 − w 2 0 y 1 − αy 2 1 − βy3 1 − γ lim
∆t→0
∫ t+∆t
t
cos(wτ)
y 1 dτ ,
∆t
= −δy 2 − w0 2y 1 − αy1 2 − βy3 1 − 2γ
( ) ( )
w∆t w (2t + ∆t)
w∆t lim y 1 (τ 1 )sin cos
∆t→0 2 2
,
= −δy 2 − w 2 0 y 1 − αy 2 1 − βy3 1 − γy 1 (t)cos (wt) ,
< ∆y1 2 b 11 = lim
> = 0 ,
∆t→0 ∆t
125

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
b 12
< ∆y 1 .∆y 2 >
= b 21 = lim
,
⎧∆t→0
[ ∆t
∫ (−δy2
⎪⎨ < y 2 ∆t − w0 2y 1 − αy1 2 − ) t+∆t ∫ t+∆t
] ⎫
βy3 1 ∆t − γ cos (wτ)dτ + f (τ)dτ > ⎪⎬
t
t
= lim
∆t→0
∆t
⎪⎩
⎪⎭
{ ∫ (−δy2
= < y 2 − w0 2y 1 − αy1 2 − ) t+∆t ∫ t+∆t
}
βy3 1 ∆t − γ cos (wτ)dτ + f (τ)dτ > ,
= 0 ,
t
t
,
< ∆y2 2 b 22 = lim
>
∆t→0 ∆t
,
{ (−δy2
< − w0 2y 1 − αy1 2 − βy3 1
= lim
∆t→0
∫
) t+∆t
∆t + f (τ) dτ − γ
t
∆t
∫ t+∆t
t
cos (wτ)y 1 (τ)dτ} 2
>
,
= W 0
2 .
Finalement l’équation de Fokker-Planck s’écrit :
W 0
4
∂ 2 p
−
∂y 2 2
∂ (y 2 p) + ∂ {(
δy2 + ( w0 2 + γ cos (wt) ) y 1 + αy1 2 + βy 3 ) } ∂p
1 p =
∂y 1 ∂y 2 ∂t . (2.4)
Soit en notant F (y 1 , t) = ( w 2 0 + γ cos (wt)) y 1 + αy 2 1 + βy3 1 :
W 0
4
∂ 2 p
−
∂y 2 2
∂
∂y 1
(y 2 p) + ∂
∂y 2
{(δy 2 + F (y 1 , t)) p} = ∂p
∂t . (2.5)
Comme pour la section précédente, nous remarquons que seul le deuxième pas de discrétisation
est modifié. En particulier, la discrétisation dans cette direction s’écrit alors :
a. Pour le schéma implicte :
p n+2/3
i,j
= p n+1/3
i,j
+ ∆t [ (βy2(j+1)
+ F (y 1i , t n ) ) p n+2/3
i,j+1
2∆y 2
− ( βy 2(j−1) + F (y 1i , t n ) ) ]
p n+2/3
i,j−1
.
(2.6)
126

2.4. Systèmes paramétriques
b. Pour le schéma ”upwind-differencing“ :
p n+2/3
i,j
− p n+1/3
i,j
∆t
⎧
⎪⎨
=
⎪⎩
(F (y 1i , t n )) pn+2/3 i,j+1 − pn+2/3 i,j−1
2∆y 2
+ β 2
(
)
p n+2/3
i,j−1 + pn+2/3 i,j+1
(F (y 1i , t n )) pn+2/3 i,j+1 − pn+2/3 i,j−1
2∆y 2
+ β 2
(
)
p n+2/3
i,j−1 + pn+2/3 i,j+1
+ β.y 2j . pn+2/3 i,j
si βy 2j > 0 ,
− p n+2/3
i,j−1
∆y 2
+ β.y 2j . pn+2/3 i,j+1 − pn+2/3 i,j
∆y 2
si βy 2j < 0 .
(2.7)
Ici aussi plusieurs choix sont possible pour t n ; nous choissirons t n = 1 2
(
tn+1/3 + t n+2/3
)
.
2.4.2 Recherche de bassins d’attraction et d’attracteurs chaotiques
Nous étudions le système présenté page 116 de la référence [71], c’est-à-dire le système décrit
par l’équation (2.1) avec les paramètres suivants : δ = 0.9, γ = 0.9, w 0 = 1, w = 1.895, α = 1,
β = 1. Nous étudions ce système numériquement avec W 0 = 0.003, ∆t =
π
18.95 , N = 200,
L 1 = 6 et L 2 = 8.
Lorsque nous utilisons comme condition initiale pour l’algorithme un dirac situé dans le
bassin d’attraction du cycle limite de période 2T, nous retrouvons bien un pic comme solution
pour tous les instants t ≡ 0[2π] (observation de la section de Poincaré, figure 2.10).
Fig. 2.10 – Pic de probabilité correspondant à la solution périodique du système de l’équation
(2.1) δ = 0.9, γ = 0.9, w 0 = 1, w = 1.895, α = 1, β = 1, avec pour un coefficient de diffusion
égal à W 0 = 0.001.
127

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
Pour observer les autres bassins d’attraction (à deux ou quatre bandes), il faut alors choisir
une condition initiale convenable, ainsi qu’une diffusion faible (graphes 2.11).
(a) W 0 = 0.000001 (b) W 0 = 0.0000000001
Fig. 2.11 – Etude du système de l’équation (2.1) avec δ = 0.9, γ = 0.9, w 0 = 1, w = 1.895,
α = 1, β = 1, pour W 0 = 0.000001 et W 0 = 0.0000000001.
De plus, la valeur numérique du coefficient de diffusion utilisée est déterminante pour la solution
numérique obtenue. En effet, les valeurs propres des matrices intervenant dans la méthode
des différences finies sont liées étroitement à la valeur numérique du coefficient de diffusion.
Ces dernières peuvent alors être mal conditionnées, ce qui entraine des résultats non précis.
L’attracteur n’est alors plus visible.
2.5 Systèmes avec friction de Coulomb
Nous étudions dans ce paragraphe un système dynamique soumis à la friction de Coulomb.
Bien sûr, le problème de cette sollicitation est qu’elle n’est pas univoque.
2.5.1 Résultats déterministes
où :
L’équation du mouvement s’écrit :
mẍ + aẋ + kx + ασ(ẋ) ∋ f sin(wt) + f(t) , (2.1)
– f(t) est un bruit blanc de coefficient de diffusion W 0
2 .
– σ(ẋ) est la fonction signe de la vitesse.
La fonction signe n’est pas univoque. En effet, σ(u) est égale à +1 si u > 0, −1 si u < 0 et à
l’intervalle [−1, 1] si u = 0 (figure 2.12).
128

2.5. Systèmes avec friction de Coulomb
σ(x)
+1
x
-1
Fig. 2.12 – Graphe de la fonction signe.
Pour rechercher les points fixes, on écrit :
ẍ = ẋ = 0 , soit : (2.2)
kx + ασ(0) ∋ f sin(wt) + f(t) . (2.3)
Le problème ici est bien sûr que σ(0) est inconnu, ou plutôt que cette valeur est ”égale“ au
segment fermé [−1, 1].
La solution de l’équation ci-dessus est la somme de la solution du problème homogène et
d’une solution particulière.
En particulier, lorsque la sollicitation sinusoïdale est supposée nulle ou négligeable (f = 0),
le problème s’écrit :
kx + ασ(0) ∋ f(t) , soit : (2.4)
− 1 (ασ(0) − f(t)) ∈ x . (2.5)
k
Donc si nous supposons f(t) négligeable (ce qui est vrai pour des temps courts), les points fixes
du système auront une abscisse x telle que :
x ∈
[
− α k , α ]
k
Pour le problème avec second membre, nous avons de même :
. (2.6)
x ∈ − 1 (ασ(0) − f(t) − f sin(wt)) (2.7)
k
Dans le cas déterministe, le portrait de phase a pu être représenté (voir figure 2.13) pour des
systèmes similaires, par exemple dans [61] :
129

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
Fig. 2.13 – Portrait de phase déterministe d’un pendule à un degré de liberté soumis à la
friction. Cette figure est extraite de la référence [61]. L’équation du mouvement est donc ẍ +
aẋ + λ sin(x) + ασ(ẋ) − f(t) ∋ 0, ce qui est similaire à notre système dynamique pour x petit.
130

2.5. Systèmes avec friction de Coulomb
2.5.2 Equation de Fokker-Planck pour problèmes non réguliers
Le développement de l’équation de Fokker-Planck tel qu’il est réalisé la plupart du temps
n’est valable que dans le cas de problèmes réguliers.
Mais cette théorie et sa preuve peuvent se généraliser dans le cas où les points de discontinuité
sont de mesure nulle. Ceci est donc le cas pour la friction ([72] ou [48]). En effet, en reprenant
la démonstration de l’équation de Fokker-Planck par Caughey ([15]) et en écrivant l’équation de
Smoluchowski :
∫
n∏
p c (x|y, t + ∆t) = p c (x|z, t)p c (z|y, ∆t) dz i . (2.8)
(R ∗ ) n
i=1
p c (x|y, t) est la probabilité de transition entre les états
{
x et y
}
à l’instant t. Dans l’exemple de la
ẋ
friction étudié ici, x et y sont des vecteurs de la forme .
x
{0} étant de mesure nulle, cette intégrale de Lebesgue s’écrit donc également :
∫
p c (x|y, t + ∆t) = p c (x|z, t)p c (z|y, ∆t)dz 1 . . . dz n . (2.9)
R n
Soit R(y) une fonction telle que R(y) → yi →±∞0.
Alors en multipliant par R(y) et en intégrant sur l’espace des phases :
∫
R n R(y)p c (x|y, t + ∆t)dy 1 . . . dy n =
∫R n ∫
Alors en développant R(y) en séries de Taylor :
R n R(y)p c (x|z, t)p c (z|y, ∆t)dy 1 . . .dy n dz 1 . . .dz n .(2.10)
R(y) = R(z) + ∑ n
i=1 (y i − z i ) ∂R(y)
∂z i
+ 1 2
ainsi en remplaçant dans l’équation (2.10),
∫
i=1 j=1
n∑
n∑
i=1 j=1
(y i − z i )(y j − z j ) ∂2 R(y)
∂z i ∂z j
+ O(|y − z| 2 ) ,
{p c (x|y, t + ∆t) − p c (x|y, t)} dy 1 . . .dy n
R n {
n∑
∫
(2.11)
∂
= − (z i − y i )p c (z|y, ∆t)dz 1 . . . dz n p c (x|y, t)
∫R n ∂y
i=1 i R n
+ 1 n∑ n∑ ∂ 2 [∫
] ⎫ ⎬
(z i − y i )(z j − y j )p c (y|z, ∆t)dz 1 . . .dz n p c (x|y, t)
2 ∂y i ∂y j R n ⎭ dy 1 . . .dy n .
131

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
On note :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A i (y, t) =
B ij (y, t) =
a i (y, t) =
b ij (y, t) =
∫
(z i − y i )p c (y|z, ∆t)dz 1 ..dz n ,
R n
∫
(z i − y i )(z j − y j )p c (y|z, ∆t)dz 1 ..dz n ,
R n
lim
∆t→0
lim
∆t→0
(2.12)
A i
∆t ,
B ij
∆t .
Donc en utilisant l’équation (2.11), en multipliant par 1 , en faisant tendre ∆t vers 0, et comme
∆t
cette équation est vraie pour toute fonction R(y) telle que R(y)→ yi →±0, nous obtenons l’équation
de Fokker-Planck :
∂p c
n∑
( )
∂t (x|y, t) = − ∂
a i p c (x|y, t) + 1 ∂y i 2
i=1
n∑
n∑
i=1 j=1
∂ 2 ( )
b ij p c (x|y, t)
∂y i ∂y j
. (2.13)
Ainsi, l’équation de Fokker-Planck peut être généralisée aux systèmes non réguliers dont la
mesure des points de non-régularité est nulle.
2.5.3 Equation de Fokker-Planck du problème
Nous pouvons traduire ceci par :
{
ẏ1 = y 2 ,
ẏ 2 = −F(y 1 , y 2 , t) + f(t) ,
(2.14)
où F(y 1 , y 2 , t) = a m y 2+ k m y 1+ α m σ(y 2)− f sin(wt). L’équation de Fokker-Planck correspondante
m
s’écrit :
∂p
∂t = −y ∂p
2 + ∂ {
∂y 1 ∂y 2
}
F(y 1 , y 2 , t)p
+ W 0
4
∂ 2 p
∂y 2 2
. (2.15)
Comme la fonction signe n’est pas univoque, nous avons fait le choix de la régulariser pour
la programmation numérique.
Pour ceci, nous remplaçons cette fonction σ(x) par la fonction ˜σ(x) suivante :
132

σ(x)
2.5. Systèmes avec friction de Coulomb
+1
−∆y 1 ∆y x
1 ˜σ(x) =
-1
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−1 si x < −∆y 1
x
∆y 1
si x ∈ [−∆y 1 , ∆y 1 ]
1 si x > ∆y 1 .
Dans notre discrétisation, ceci sera utilisé de la manière suivante : avec x i = − L 2 + i∆x, i ∈
[1, 2N + 1],
⎧
⎨
⎩
˜σ(0) = ˜σ(x 2N+1 ) = 0 ,
∀i < 2N + 1, ˜x i = −1 ,
∀i > 2N + 1, ˜x i = 1 .
(2.16)
Les trois matrices intervenant dans les trois étapes de calcul sont explicitées dans l’annexe E,
page 353.
2.5.4 Résultats des simulations
Nous utilisons par défaut les paramètres suivants : ∆t = 0.001π, N = 200, T = 20π,
L 1 = L 2 = 3, m = 1, a = 0.03, k = 1.0, w = 0.9. Nous faisons varier certains paramètres : la
demie-hauteur de saut α, l’amplitude de la sollicitation sinusoïdale f, la condition initiale et le
bruit W 0 . Diverses possibilités ont été testées, résumées dans le tableau 2.2.
α f Condition initiale W 0
0.1 0 Gausienne en (0.1, 0.1) 0.001
1 0.1 Gaussienne en (0, 0) 0.01
10 1 Gaussienne en (0, 0) 0.1
Tab. 2.2 – Combinaisons de paramètres utilisés pour simuler l’équation de Fokker-Planck du
système avec friction.
Nous retrouvons les résultats déterministes sur ce problème de la friction, exposés par exemple
dans la référence [61]. Pour des temps courts la densité de probabilité prend la forme du segment
133

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
[
− α k , α ]
. Ensuite, celui-ci se déforme et subit une rotation d’environ 90 ◦ . Il prend alors la forme
k
d’un S, dont les extrémités continuent à se recourber jusqu’à présenter la forme d’un escargot.
Les différentes simulations numériques et les phénomènes observés sont résumés dans le tableau
2.3.
Numéro simulation Paramètres Commentaires
f = 0.1 Au fil du temps :
α = 1.0 segment de [−1, 1]
1 W 0 = 0.001 puis commence à s’incurver à T =
160∆t
CI = S visible à T = 230∆t
Gaussienne en (0.1, 0.1)
CI =
2 Gausienne en (0.1, 0.1) S moins incurvé et plus long
3 f = 0 Tourne également mais plus
lentement
4 f = 0 Segment beaucoup moins long
α = 0.1 Densité de probabilité peu évoluée
5 f = 0 Segment très long
α = 10 A partir de N sim = 40, le domaine
d’étude est trop petit
6 W 0 = 0.01 Plus flou
7 W 0 = 0.1 Encore plus flou
Tab. 2.3 – Paramètres et résultats des simulations de l’équation de Fokker-Planck du système
avec friction. Pour outes ces simulations, certains paramètres sont fixes : ∆t = 0.001.π, N = 200,
T = 20π, L 1 = L 2 = 30, m = 1, a = 0.03, k = 1.0, w = 0.9.
L’évolution de la densité de probabilité pour f faible peut être décrite de la façon suivante :
tout d’abord, elle prend la forme d’un segment pendant un certain temps (environ 0.3π dans
le cas présent), puis cette densité s’incurve. Finalement, elle s’ ”enroule“ sur elle-même pour
finalement prendre la forme d’un escargot ou d’une rose. En temps long, la spirale s’étend de
plus en plus et le bruit est trop important pour notre étude.
Ce comportement est résumé par les représentations suivantes 2.14.
134

2.5. Systèmes avec friction de Coulomb
(a) t = 0 (b) t = 30∆t (c) t = 170∆t
(d) t = 250∆t
(e) t = 530∆t
Fig. 2.14 – Densité de probabilité de Fokker-Planck du système dynamique avec friction décrit
par l’équation (2.1) où m = 1, a = 0.03, k = 1.0, α = 1.0, f = 0.1, w = 0.9. Pour la simulation,
nous avons fixé le pas de temps à ∆t = 0.001π, le nombre de points du maillage à N = 200, le
coefficient de diffusion W 0 du bruit blanc à 0.001. La condition initiale est une gaussienne centréeen
(0.1, 0.1). Nous observons que la densité de probabilité initiale, qui forme une gaussienne,
se déforme pour donner un segment de probabilité s’étalant environ de − α k à +α , qui s’incurve
k
assez rapidement.
135

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
Ensuite, pour des temps longs, les extrémités du S s’incurvent pour former une sorte d’escargot
(figures 2.15 et 2.16).
Ces comportements probabilistes sont similaires à ce que l’on peut observer dans le cas
déterministe (voir portrait de phase 2.13).
De plus, nous retrouvons le fait que le segment de probabilité s’étend de
[
− α k , α ]
. En
k
comparant les cas α = 1.0, α = 0.1 et α = 10, voir figure 2.17.
Pour α = 0.1, le segment est tellement court que sa forme n’est plus reconnaissable. Par
contre, pour cette même valeur de α et en prenant un bruit inférieur, le phénomène apparait à
nouveau comme nous pouvons le remarquer sur la figure 2.18 :.
Si l’amplitude de la sollicitation est plus forte, le comportement est très différent, surtout
pour des temps longs. Par exemple, les deux extrémités ne s’incurvent pas de la même manière
(graphe 2.19).
2.6 Etude d’une loi de comportement élasto-plastique régularisée
Ce problème a été étudié par [18] où il a été résolu par la méthode des éléments finis.
2.6.1 Problème étudié et équation de Fokker-Planck correspondante
Nous souhaitons étudier le comportement d’un matériau élasto-plastique soumis à une sollicitation
harmonique et un bruit blanc. Ce dernier peut rendre compte de la réponse d’un modèle
à un degré de liberté ”élasto-plastique“, résultat de l’approximation d’un modèle continu en environnement
bruité : les degrés de liberté négligés et cet environnement créent un bruit dont on
considère que Fokker-Planck peut donner une représentation.
Ceci pourra être modélisé par :
mẍ + aẋ + F(x) = g(t) + f(t) , (2.1)
où :
– g(t) est la sollicitation harmonique. Nous noterons g(t) = g sin(wt).
– f(t) est un bruit blanc de coefficient de diffusion W 0
2 .
– F(x) est la loi de comportement étudiée. F a donc la forme de le figure 2.20 : après
une phase de comportement élastique pur, le comportement est plastique pur pendant un
certain temps avant de subir un endommagement total.
Sur ce graphe, x représente la déformation et F(x) est la contrainte. Cette loi de comportement
a été choisie symétrique par rapport à l’état d’équilibre ǫ = 0 pour tenir compte du
phénomène d’hystérésis qui pourrait exister. Le phénomène d’écrouissage est complet, c’est-àdire
qu’à partir d’une certaine déformation la contrainte diminue jusqu’à être nulle.
Nous testons différentes valeurs numériques pour les paramètres α, β, γ et δ afin de simuler
différentes lois de comportement : élastique pur, élasto-plastique pur,... avec différents seuils de
plasticité.
136

2.6. Loi de comportement élasto-plastique
(a) t = 10 × 0.01π (b) t = 20 × 0.01π
(c) t = 30 × 0.01π (d) t = 40 × 0.01π
Fig. 2.15 – Densité de probabilité de Fokker-Planck du système dynamique avec friction décrit
par l’équation (2.1) où m = 1, a = 0.03, k = 1.0, α = 1.0, f = 0.1, w = 0.9. Ainsi pour des
temps d’observation assez importants, le segment de pic de densité de probabilité s’incurve aux
extrémités pour former un ”S“. Puis il s’enroule sur lui-même pour former un escargot (ou une
rose). Il peut être remarqué que ce phénomène ne s’arrête pas, c’est-à-dire que cette densité de
probabilité continue de s’enrouler sur elle-même, en s’étalant de plus en plus dans l’espace (donc
non visible pour un domaine d’étude donné au bout d’un certain temps).
137

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
(a) t = 10 × 0.01π (b) t = 20 × 0.01π
(c) t = 30 × 0.01π (d) t = 40 × 0.01π
Fig. 2.16 – Densité de probabilité de Fokker-Planck du système dynamique avec friction décrit
par l’équation (2.1) où m = 1, a = 0.03, k = 1.0, α = 1.0, f = 0.1, w = 0.9. Ici aussi, nous
observons le pic en forme de ”S“ qui s’enroule sur lui-même.
138

2.6. Loi de comportement élasto-plastique
(a) α = 1.0 (b) α = 0.1
(c) α = 10.0
Fig. 2.17 – Densité de probabilité de Fokker-Planck du système dynamique avec friction décrit
par l’équation (2.1) où m = 1, a = 0.03, k = 1.0, f = 0.1, w = 0.9, pour différentes [ valeurs de
la friction. Ainsi pour chacun de ces cas, le ”segment“ observé est égal environ à − α ]
k , +α . Le
k
premier cas est celui étudié jusqu’à présent. Dans le deuxième cas, la distance du segment est
tellement faible que celui-ci ressemeble à un pic ponctuel. Enfin pour le dernier cas, le segment
présente cette forme incurvée car le domaine d’étude n’est pas dimensionné de manière optimale
pour le représenter en entier.
139

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
(a) t = 10 × 0.01π
(b) t = 20 × 0.01π
(c) t = 30 × 0.01π
(d) t = 40 × 0.01π
Fig. 2.18 – Densité de probabilité de Fokker-Planck du système dynamique avec friction décrit
par l’équation (2.1) où m = 1, a = 0.03, k = 1.0, α = 0.1, f = 0.1 et W 0 = 0.001.
140

2.6. Loi de comportement élasto-plastique
(a) t = 10 × 0.01π (b) t = 10 × 0.01π
Fig. 2.19 – Densité de probabilité du système dynamique avec friction décrit par l’équation (2.1)
avec f = 1. Ici le comportement de la densité de probabilité est radicalement différent de celui
du système dynamique sans sollicitation extérieure. De plus, ici l’amplitude de la sollicitation
est relativement faible : f = 1. Pour des amplitudes plus importantes, le phénomène observé
jusqu’à présent est complètement détruit.
f(x)
α
-δ -γ -β
β
γ δ
x
-α
Fig. 2.20 – Graphe de la loi de comportement ”élasto-plastique“ : la partie élasto-plastique (de
−γ à +γ) est physique, alors que les parties ] − ∞, −γ[ et ]gamma,+∞[ correspondent à la
modélisation mathématique du pàhénomène physique d’écrouissage.
141

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
Les équations du mouvement de cet oscillateur se mettent sous la forme :
{
ẏ1 = y 2 ,
ẏ 2 = −G (y 1 , y 2 , t) + g(t) ,
(2.2)
où G (y 1 , y 2 , t) = a m y 2 + 1 m F(y 1). L’équation de Fokker-Planck s’écrit alors :
∂p
∂t = −y ∂p
2 + ∂ {
∂y 1 ∂y 2
}
G (y 1 , y 2 , t)p
+ W 0
4
∂ 2 p
∂y 2 2
. (2.3)
F(x) est égale à :
⎧
⎪⎨
F(x) =
⎪⎩
0 si x < −δ ,
k 2 x si −δ < x < −γ ,
−α si −γ < x < −β ,
k 1 x si −β < x < β ,
α si β < x < γ ,
k 2 x si γ < x < δ ,
0 si x > δ .
(2.4)
La discrétisation effectuée et les matrices correspondantes peuvent être trouvées dans l’annexe
F, page 357.
2.6.2 Résultats théoriques sur le système dynamique avec loi de comportement
L’équation dynamique du mouvement s’écrit :
la recherche des points fixes nous mène à écrire :
mẍ + aẋ + F(x) = g(t) + f(t), donc : (2.5)
(2.6)
F(x) = g(t) + f(t), ∀t . (2.7)
Ici, contrairement au cas de la friction, F(x) est univoque. Or F(x) ∈ [−α, α], donc g(t) + f(t)
ne doit pas avoir une valeur trop importante.
Si g(t) est supposée être une sollicitation sinusoïdale de la forme g cos(wt), nous pouvons
contraindre l’amplitude de celle-ci (|g| < α) afin d’assurer l’existence de points fixes à tout
instant, si elle était la seule sollicitation à s’exercer sur le système.
Malheureusement, f(t) est un bruit blanc, c’est-à-dire une sollicitation aléatoire gaussienne de
moyenne nulle et surtout d’écart-type égal à √ t (où t est le temps). Il est donc prévisible que
cette simulation sera instable à long terme.
142

2.6. Loi de comportement élasto-plastique
2.6.3 Résultats des simulations
Nous utilisons par défaut les paramètres suivants :
⎧
m = 1 ,
a = 0.03 ,
⎪⎨ k = 0 ,
∆t = 0.001π ,
N = 200 ,
w = 0.9 ,
⎪⎩
L 1 = L 2 = 20 .
(2.8)
Nous faisons varier les autres paramètres. En particulier, le tableau 2.4 résume les différentes
valeurs que nous prendrons pour ces paramètres :
Numéro de la simulation Paramètres Commentaires
1 k 1 = 1.0 Densité garde la forme d’un pic presque
gaussien
k 2 = −1.0 Pic se dirige vers x négatifs
α = β = 1.0 Sort du domaine d’étude pour N sim = 340
et (i, j) = (0, 320)
γ = 5.0 Pic s’applatit dans la direction de son
mouvement
δ = 6.0
W 0 = 0.001
g = 0.1
CI = (0.1, 0.1)
2 CI = (1.0, 0.1) Même comportement, avec N sim = 310 et
(i, j) = (0, 325)
3 CI = (3.0, 0.1) Idem, N sim = 250 et (i, j) = (0, 350)
4 CI = (5.0, 0.1) Idem, N sim = 210 et (i, j) = (0, 380)
5 CI = (8.0, 0.1) Idem, N sim = 150 et (i, j) = (50, 400)
6 CI = (0, 0) Idem, N sim = 350 et (i, j) = (0, 310)
7 g = 0.0 Idem, N sim = 340 et (i, j) = (0, 315)
8 g = 1.0 Idem, N sim = 310 et (i, j) = (0, 300)
9 γ = 10 Ne se déplace que très légèrement vers x
négatifs
δ = 11 Pic subit une rotation de 45 degrés, s’aplatit
Suite sur la page suivante...
143

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
Tab. 2.4 – Suite
Numéro de la simulation Paramètres Commentaires
γ = 10
10 k 1 = 10 Se déplace très rapidement
k 2 = −10 Sort du domaine d’étude pour N sim = 40
et (i, j) = (0, 220)
β = 1.0 Pic s’aplatit beaucoup
α = 10
11 k 1 = 0.1 Pic s’aplatit beaucoup
k 2 = −0.1 Se déplace très peu et très lentement
β = 1.0 ,α = 0.1
12 k 1 = 0.1 Pic ne se déplace pas
k 2 = −0.1 S’aplatit beaucoup mais moins que la simulation
11
Rotation de 45 degrés, moins que la simulation
11
δ = 11
13 W 0 = 0.01 Idem que la simulation 1, mais pic plus
étalé
N sim = 350 et (i, j) = (0, 320)
14 W 0 = 0.1 Idem, N sim = 350 et (i, j) = (0, 320)
15 γ = 1.0 Pic commence à bouger pour N sim = 40,
s’aplatit
δ = 2.0 Pour N sim = 430, (i, j) = (120, 250)
16 k 1 = −k 2 = ∞ Se déplace très peu
α = 1.0 S’aplatit peu
β = 0.0 Rotation importante, presque 90 degrés
γ = 11
δ = 12
17 g = −0.1 Idem que la simulation 1, N sim = 350 et
(i, j) = (0, 320)
18 CI = (−0.1, −0.1) Idem, N sim = 350 et (i, j) = (0, 320)
Tab. 2.4: Différentes combinaisons de paramètres utilisées
pour les simulations de la densité de probabilité de Fokker-
Planck réalisées de la loi de comportement. Evolutions de
cette densité de probabilité.
144
Plusieurs conclusions peuvent être tirées de ces résulats de simulation. Tout d’abord, la

2.6. Loi de comportement élasto-plastique
densité de probabilité initiale se disperse très peu (ici, la gaussienne initiale est plus ou moins
conservée tout au long du mouvement). La condition initiale est donc déterminante pour la suite
du mouvement. De plus, la loi de comportement élasto-plastique avec déchargement n’est pas
stable, comme nous pouvons le voir sur la figure 2.21.
(a) t = 10∆t
(b) t = 20∆t
(c) t = 30∆t
Fig. 2.21 – Densité de probabilité de Fokker-Planck pour les paramètres de la simulation numéro
1 à différents temps.
D’autres comportements sont plus stables : pour ceux-ci, le pic de probabilité se déplace peu,
il s’aplatit et tourne autour de son axe. Mais le domaine d’étude peut alors être réduit pour une
étude plus précise. Ces comportements sont :
– Le comportement élasto-plastique parfait (simulation 9). Bien que le pic de probabilité se
145

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
déplace, ce n’est que très lentement sous l’effet de la sollicitation. On observe également
un aplatissement et une rotation du pic de probabilité.
Ainsi, c’est la caractéristique de décharge de la loi de comportement élasto-plastique non
parfaite qui est source d’instabilité.
– Le comportement élasto-plastique (parfait ou non parfait) avec une contrainte élastique
limite faible (simulations 11, 12). Dans ces cas, le pic de probabilité se déplace très peu
(moins que dans le cas de loi sans décharge), mais il s’aplatit beaucoup et tourne d’un
angle compris entre 45 degrés et 80 degrés.
Dans ce cas, le système réagit comme si la contrainte était constante sur l’intervalle des
positions possibles.
– Ceci est également le cas de la loi de comportement similaire à une ”friction en position“
(simulation 12). Ici également, le pic de probabilité est très stable.
D’autres remarques peuvent être formulées : la position de la condition initiale n’a qu’une
influence très faible sur le système, ainsi que l’amplitude de la sollicitation (en restant dans des
limites de variation faibles).
Une augmentation du coefficient de diffusion, donc une augmentation du bruit, entraine des pics
plus étalés et moins élevés, mais le comportement général reste le même.
En conclusion, nous pouvons affirmer que si les vitesse et position initiales du système sont
suffisamment connues (condition initiale sous la forme d’une gaussienne), l’évolution générale du
système peut être prédite assez correctement. Ces prédictions seront d’autant plus fiables que la
décharge est faible (voire nulle).
146

2.7. Conclusion
2.7 Conclusion
Deux types de conclusions peuvent être tirées à la suite de ce travail de résolution numérique
de l’équation de Fokker-Planck pour des systèmes dynamiques à un degré de liberté :
Tout d’abord, la méthode de résolution de l’équation de Fokker-Planck choisie, la méthode des
différences finies, semble être un bon choix dans ces cas. En effet, nous désirons avec cette technique
étudier le contrôle passif de structures par pompage énergétique. Ce dernier est constitué
d’un oscillateur non-linéaire (généralement avec une raideur cubique) lié à la structure (oscillateur
linéaire). La méthode des différences finies permet alors de facilement généraliser l’analyse
réalisée ici pour un degré de liberté en une analyse adaptée au pompage énergétique.
De plus, la différenciation des directions et les schémas implicites représentent la meilleure alternative.
En effet, les schémas implicites sont convergents et très efficaces ici. En outre, suite
à l’utilisation de la méthode d’ ”operator splitting“, les matrices à inverser lors de l’application
des schémas implicites sont tridiagonales, donc facilement inversibles. Ainsi dans ce qui suit
(application de cette méthode aux systèmes avec deux degrés de liberté), nous utiliserons exclusivement
la méthode des différences finies, appliquée avec la différenciation des directions et les
schémas implicites.
Enfin, il nous faut souligner la difficulté de choisir les paramètres intervenant dans ces schémas
et ceux liés au bruit. En effet, les paramètres structuraux (masse, raideur...) sont fixés
conformément au système et à la sollicitation qu’on désire étudier, même s’ils sont supposés incertains.
Pourtant, d’autres paramètres, à fixer, subsistent : les dimensions du domaine d’étude,
les pas en espace et en temps, le temps d’observation, la condition initiale, la diffusion du bruit.
Certains de ces paramètres, pour être fixés, nécessitent que nous réalisions en premier une étude
déterministe. Ainsi le domaine d’étude, qui doit être suffisamment étendu pour contenir tous les
phénomènes dynamiques, pourra être déterminé suite à des calculs déterministes (et en intégrant
une marge de manoeuvre, nécessaire suite à la diffusion). De même, l’horizon en temps d’observation
du système devrait être déterminé de cette manière, même si le temps de convergence
déterministe et celui de l’étude probabiliste ne sont pas obligatoirement identiques.
Mais il reste trois paramètres, complexes à fixer. D’un côté, les pas en espace et en temps ont
des effets opposés : les constantes intervenant dans les intégrations numériques présentent souvent
une fraction de ces deux paramètres. De l’autre, la diffusion peut, si sa valeur numérique est
mal choisie, entrainer une solution complètement inintéressante de l’équation de Fokker-Planck
(trop de diffusion ou une résolution fausse suite aux conditions aux limites). Dans le cas de
l’oscillateur linéaire, pour travailler avec des matrices correctement conditionnées, il est possible
d’étudier les valeurs propres des matrices associées aux schémas de discrétisation, comme cela a
été probablement fait dans [123] et [124]. Mais pour les cas non-linéaires, et a fortiori pour les
systèmes comportant plusieurs degrés de liberté, ceci n’est pas réalisable sans adaptation.
147

Chapitre 2. Systèmes à un degré de liberté
Dans le chapitre suivant, nous allons nous intéresser au système constituant le pompage
énergétique, en essayant de quantifier l’effet de la diffusion et celui des conditions initiales,
essentielles pour que le pompage s’amorce.
148

Chapitre 3
Contrôle passif de structures :
pompage énergétique
Sommaire
3.1 Principe et principaux résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1 Etude de l’évolution au cours du temps de l’énergie des deux oscillateurs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.2 Développement de Van Kampen ([110], [114]) . . . . . . . . . . . . 154
3.2 Prise en compte de l’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.3 Ecriture de l’équation de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . 156
3.3.1 Dans le cas non sollicité, mais avec deux bruits blancs non corrélés 156
3.3.2 Pour deux bruits blancs corrélés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.3.3 Pour des bruits colorés et corrélés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.4 Résolution numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.4.1 Application de la méthode des directions alternées pour cette équation
aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.5 Comparaison avec des simulations de type Monte Carlo . . . . 160
3.5.1 Méthodologie des simulations de type Monte Carlo . . . . . . . . . 161
3.5.2 Comparaison des moments du système dynamique calculés avec
Monte Carlo avec ceux obtenus avec l’équation de Fokker-Planck . 163
3.5.3 Résultats de la comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3.6 Simulations du pompage énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.1 Principe et principaux résultats
Le pompage énergétique est donc le transfert d’énergie d’une structure principale, ici linéaire,
vers une struture annexe. Ainsi pour quantifier ce pompage, et en particulier, son efficacité, il
est possible d’analyser l’évolution au cours du temps de l’énergie de ces deux oscillateurs.
149

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
3.1.1 Etude de l’évolution au cours du temps de l’énergie des deux oscillateurs
Dans ce qui suit, nous considérons le système suivant :
{ ǫMÿ1 + c 1 ẏ 1 + cy 3 1 + γ(y 1 − y 2 ) = 0,
Mÿ 2 + c 2 ẏ 2 + k 2 y 2 + γ(y 2 − y 1 ) = 0,
(3.1)
avec les conditions initiales :
y 1 (0) = ẏ 1 = y 2 (0) = 0, ,ẏ 2 (0) = √ 2h.
D’après [43], nous pouvons exprimer l’énergie de ces deux oscillateurs :
⎧
[
2 ǫMẏ
2
∫ t
]
E 1N =
1
⎪⎨ Mh 2 + cy4 1
2 4 + c 1 ẏ 1 (s)ds ,
⎪⎩
E 2N =
[
2 Mẏ
2
2
Mh 2 2
+ k 2y 2 2
2
0
+ c 2
∫ t
0
]
ẏ 2 (s)ds
.
(3.2)
Une preuve du pompage énergétique est apportée s’il s’opère un transfert d’énergie E 2N
en énergie E 1N . En particulier, cela est le cas s’il existe un temps t tel que E 1N (t) ≥ E 2N (t).
Dans [43], une étude déterministe a été réalisée pour déterminer quels sont les paramètres et les
conditions initiales optimaux pour que le pompage ait lieu et qu’il soit efficace.
En effet, en observant les positions successives des deux oscillateurs au cours du temps, le
phénomène de pompage énergétique est mis en évidence (figure 3.1) :
A t = 0s, le deuxième oscillateur (linéaire) n’est pas au repos. Mais le premier commence
son oscillation très rapidement alors qu’il était initialement au repos. Ce transfert est visible en
représentant la position de l’oscillateur 1 en fonction de celle de l’oscillateur 2 (figure 3.2).
Les oscillations sont visibles sur ce graphique : alors qu’à t = 0, seul l’oscillateur 2 est en
mouvement, ce dernier finit par n’affecter plus que l’oscillateur 1 (oscillations horizontales sur
la figure 3.2).
Pour observer le transfert, nous représentons sur un graphique E 1N et E 2N , tels que définis
dans l’équation (3.2) en fonction du temps (figure 3.3).
L’efficacité du pompage énergétique peut alors être constatée en représentant l’influence de
la condition initiale (voir graphe 3.4). Le rôle déterminant de l’énergie initiale est visible : nous
observons donc que pour une énergie initiale trop faible (h = 0.0001 et h = 0.001), le pompage
énergétique ne s’amorce pas. Mais une énergie trop importante est également nuisible pour
l’efficacité du pompage énergétique. Ainsi la condition initaile{ optimale √ pour le phénomène de
2h = ẏ(0)
pompage énergétique est, dans ce cas et avec ces paramètres, :
x(0) = ẋ(0) = y(0) = 0 , avec
h = 0.01.
De même, nous pouvons examiner l’influence des valeurs numériques des paramètres. Ainsi
en examinant différentes valeurs du paramètre raideur non linéaire c (voir figure 3.5), nous
150

3.1. Principe et principaux résultats
0.25
0.2
0.15
0.1
Déplacements
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
0 20 40 60 80 100
Temps
Fig. 3.1 – Position des deux oscillateurs de l’équation (3.1) au cours du temps (structure linéaire
en pointillés, structure non linéaire en trait continu). Les paramètres utilisés sont ceux de [43] :
ǫ = 0.05, M = 1, c 1 = 0.01, c = 1, c 2 = 0.01, k 2 = 1, γ = 0.04. A t = 0, l’oscillateur linéaire n’est
pas au repos, contrairement à l’oscillateur non linéaire. Mais l’oscillation de ce dernier s’amorce
rapidement. Dès ce moment, l’amplitude des oscillations de l’oscillateur linéaire diminue. Cette
diminution est plus rapide que si seul l’amortissement jouait (la courbe reliant les maximums
d’oscillation n’est pas une droite).
151

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
0.15
0.1
0.05
0
y2
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
y1
Fig. 3.2 – Position de l’oscillateur 1 en fonction de la position de l’oscillateur 2. A t = 0,
seul l’oscillateur 2 est en mouvement (trait pratiquement vertical), l’amplitude de y 2 augmente
jusqu’à une certaine valeur (environ 0.12) où l’oscillateur 1 commence à osciller. De l’énergie est
transférée (oscillations de plus en plus penchées), jusqu’à ce que l’oscillateur 1 soit pratiquement
le seul à osciller (oscillations quasi-horizontales sur le graphique). Ces mouvements finissent par
s’annuler.
700
600
Energie non−linéaire
Energie linéaire
500
Energies
400
300
200
100
0
0 2000 4000 6000 8000 10000
Temps (x 1/100)
Fig. 3.3 – Energies des oscillateurs linéaire et non-linéaire en fonction du temps. Les paramètres
sont ceux explicités dans la figure 3.1.
152

3.1. Principe et principaux résultats
Oscillateur non linéaire
Oscillateur linéaire
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0 20 40 60 80 100
Temps
0.5
0
Energies
40
35
30
25
20
15
10
5
Energie non−linéaire
Energie linéaire
−0.5
0 20 40 60 80 100
Temps
0
0 2000 4000 6000 8000 10000
Temps (x1/100)
(a) h = 0.1 : l’efficacité du pompage est maximum
Oscillateur non linéaire
Oscillateur linéaire
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
0 20 40 60 80 100
Temps
0.05
0
Energies
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
Energie non−linéaire
Energie linéaire
−0.05
0 20 40 60 80 100
Temps
0
0 2000 4000 6000 8000 10000
Temps (x1/100)
(b) h = 0.001 : le pompage s’amorce mais n’est pas efficace.
Oscillateur non linéaire
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0 20 40 60 80 100
Temps
0.2
Oscillateur non linéaire
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
0 20 40 60 80 100
Temps
0.02
Oscillateur linéaire
0.1
0
−0.1
Oscillateur linéaire
0.01
0
−0.01
−0.2
0 20 40 60 80 100
Temps
(c) h = 0.01
−0.02
0 20 40 60 80 100
Temps
(d) h = 0.0001
Fig. 3.4 – Positions et énergies des deux oscillateurs pour différentes conditions initiales.
153

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
observons que le pompage énergétique est plus efficace dans le cas c = 0.7 que dans le cas
c = 1.3.
800
700
Energie non−linéaire
Energie linéaire
600
500
Energie non−linéaire
Energie linéaire
600
500
400
Energies
400
Energies
300
300
200
200
100
100
0
0 2000 4000 6000 8000 10000
Temps(x1/100)
0
0 2000 4000 6000 8000 10000
Temps (x1/100)
(a) c = 0.7
(b) c = 1.3
Fig. 3.5 – Energies des deux oscillateurs pour h = 0.01 et différentes valeurs de la raideur non
linéaire.
Finalement, en analysant l’effet de la valeur des amortissements (figure 3.6), l’état d’équilibre
est atteint plus rapidement pour un amortissement plus important.
Ainsi les aparmètres et les conditions initiales sont intimement liés pour déterminer l’efficacité
du pompage énergétique. Une incertitude sur une de ces valeurs entrainerait une efficacité pouvant
être modifiée. L’équation de Fokker-Planck peut donc, en théorie, nous permettre d’estimer
cette ”robustesse“ du pompage énergétique.
3.1.2 Développement de Van Kampen ([110], [114])
Le travail originel de Van Kampen et Rodriguez ([110]) propose une méthode pour extraire
de l’information de l’équation de Fokker-Planck sans devoir la résoudre. Ce développement se
base sur l’étude de la dérivée première en temps des moments de la réponse. Nous reprenons ici
ce travail pour tester en particulier jusqu’à quelle amplitude du bruit l’analyse de Van Kampen
peut être considérée comme adéquate.
L’analyse de Van Kampen ([110], [114]) consiste à estimer les moments des déplacements et
vitesses du système en fonction du temps. Pour cela, à l’aide des équations du mouvement du
système, les taux de variation des différents moments sont estimés.
Par conséquent, cette méthode sans nous donner accès à toute l’évolution du système, nous
permet d’avoir des indices sur celle-ci : les moments du système. Ainsi, comme avec la méthode
Monte Carlo, nous obtenons les différents moments du système, mais sans calculs massifs. En
effet, il s’agit d’intégrer les taux de variation desdits moments.
De plus, il n’y a pas de problèmes de convergence. Mais des erreurs apparaissent, dûes à
l’inexactitude de la méthode. En effet, les moments d’ordre supérieur sont négligés, ainsi que le
154

3.1. Principe et principaux résultats
Oscillateur non linéaire
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
0 20 40 60 80 100
0.4
Oscillateur linéaire
0.2
0
−0.2
−0.4
0 20 40 60 80 100
Fig. 3.6 – Positions des oscillateurs linéaire et non-linéaire, pour des amortissements égaux à
c 1 = c 2 = 0.2.
bruit : les équations obtenues sont moyennées, ce qui élimine le bruit (qui, par définition d’un
bruit blanc, est de moyenne nulle).
Nous allons développer ici cette méthode pour les moments d’ordre un et deux (en temps)
des positions et des vitesses des deux oscillateurs. Pour ceci, nous nous intéressons au système
dynamique du pompage énergétique :
{ ẍ + a1 ẋ + c 1 x 3 + d 1 (x − y) = f 1 (t)
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + d 2 (y − x) = f 2 (t) ,
(3.3)
où f 1 (t) et f 2 (t) sont des bruits blancs de coefficients de diffusion respectifs W 01
et W 02
2 2 .
Cette étude et les résultats numériques sont developpés dans l’annexe G, page 361.
Suite à ces simulations, nous remarquons seulement en conclusion que l’analyse de Van
Kampen calcule des amplitudes de réponse trop faibles, mais elle permet de donner une allure
générale des courbes. Le temps de calcul est très faible (contrairement aux calculs de type
Monte Carlo pour lesquels un nombre important de simulations est ici nécessaire pour assurer
la convergence). Enfin, ici nous avons testé la nature de bruit qui nous intéresse, c’est-à-dire
un bruit blanc. Ceci est le cas le plus défavorable, les résultats sont meilleurs pour un bruit
coloré (voir [114]). Donc, pour les situations qui nous intéressent, cette méthode ne répond pas
correctement à nos interrogations.
155

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
3.2 Prise en compte de l’incertitude
Dans cette partie également, nous décidons de prendre en compte l’incertitude sur les paramètres
en introduisant dans le système un bruit blanc et en résolvant l’équation de Fokker-Planck
correspondante, ce qui permet d’obtenir la probabilité des états du système à un instant t.
3.3 Ecriture de l’équation de Fokker-Planck
3.3.1 Dans le cas non sollicité, mais avec deux bruits blancs non corrélés
{ ẍ + a1 ẋ + k 1 x + c 1 x 3 + γ (x − y) = 0 (+f 1 (t)) ,
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + γ (y − x) = 0 (+f 2 (t)) .
(3.1)
f 1 (t) et f 2 (t) sont alors deux bruits blancs non corrélés de coefficients de diffusion respectifs
W 01 et W 02 , c’est-à-dire que :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
y 1 = x
⎪⎨
y
En posant 2 = ẋ
y ⎪⎩ 3 = y
y 4 = ẏ
< f 1 (t) > = 0 ,
< f 2 (t) > = 0 ,
∀(i, j) ∈ {1, 2} 2 , < f i (t k )f j (t l ) > =
W 0i
2 δ ijδ (t k − t l ) .
⎧
⎪⎨
⎪⎩
, nous réécrivons le système dynamique de la façon suivante :
ẏ 1 = y 2 ,
ẏ 2 = −a 1 y 2 − k 1 y 1 − c 1 y1 3 − γ (y 1 − y 3 ) + f 1 (t) ,
ẏ 3 = y 4 ,
ẏ 4 = −a 2 y 4 − k 2 y 3 − γ (y 3 − y 1 ) + f 2 (t) .
(3.2)
(3.3)
Nous généralisons ceci par :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẏ 1 = y 2 ,
ẏ 2 = −F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t) + f 1 (t) ,
ẏ 3 = y 4 ,
ẏ 4 = −F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t) + f 2 (t) .
(3.4)
où, dans le cas que nous étudions ici :
{
F1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t) = a 1 y 2 + k 1 y 1 + c 1 y 3 1 + γ (y 1 − y 3 ) ,
F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t) = a 2 y 4 + k 2 y 3 + γ (y 3 − y 1 ) .
(3.5)
156

3.3. Ecriture de l’équation de Fokker-Planck
En notant p = p (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t) la probabilité de l’état (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t) du système, nous pouvons
écrire l’équation de Fokker-Planck :
∂p
4∑
∂t = − ∂
(a i p) + 1 ∂y i 2
i=1
4∑
i,j=1
avec, comme pour le cas de l’oscillateur de type Duffing :
∂ 2
∂y i ∂y j
(b ij p) , (3.6)
a 1 = lim ∆t→0
< ∆y 1 >
∆t
< ∆y 2 >
= ẏ 1 = y 2 , a 2 = lim = −F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t) , (3.7)
∆t→0 ∆t
a 3 = lim ∆t→0
< ∆y 3 >
∆t
< ∆y 4 >
= ẏ 3 = y 4 , a 4 = lim = −F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t) , (3.8)
∆t→0 ∆t
b 11 = 0 , b 22 = W 01
2
, b 33 = 0 , b 44 = W 02
2
, (3.9)
b 12 = b 21 = lim ∆t→0
< ∆y 1 .∆y 2 >
∆t
< ∆y 3 .∆y 4 >
= 0 , b 34 = b 43 = lim
= 0 , (3.10)
∆t→0 ∆t
< ∆y 1 .∆y 3 >
b 13 = b 31 = lim
= lim
∆t→0 ∆t
< y 2∆t.y 4 ∆t
>= 0 , (3.11)
∆t→0 ∆t
< ∆y 1 ∆y 4 >
b 14 = b 41 = lim
∆t→0 ∆t
[
y 2 ∆t −
= lim <
∆t→0
[
= lim < y 2 −
∆t→0
∫ t+∆t
t
∫ t+∆t
t
,
F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , τ) dτ +
∆t
F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , τ)dτ +
∫ t+∆t
t
∫ t+∆t
t
]
f (τ) dτ
> ,
]
f (τ)dτ >= 0 ,
(3.12)
< ∆y 2 .∆y 3 >
b 23 = b 32 = lim
= 0 , (3.13)
∆t→0 ∆t
157

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
< ∆y 2 .∆y 4 >
b 24 = b 42 = lim
∆t→0 ∆t
,
= lim
∆t→0 < 1 ∆t × [∫ t+∆t
t
∫ t+∆t
t
F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , τ 1 ) F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , τ 2 ) dτ 1 dτ 2
−
−
∫ t+∆t ∫ t+∆t
t t
∫ t+∆t ∫ t+∆t
t t
F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , τ 1 )f 2 (τ 2 ) dτ 1 dτ 2
F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , τ 1 )f 1 (τ 2 ) dτ 1 dτ 2
(3.14)
+
∫ t+∆t ∫ t+∆t
t
= lim
∆t→0 < 1 ∆t
t
f 1 (τ 1 ) f 2 (τ 2 )dτ 1 dτ 2
]
> ,
∫ t+∆t ∫ t+∆t
t
t
f 1 (τ 1 )f 2 (τ 2 )dτ 1 dτ 2 >= 0 ,
car ici les bruits blancs sont indépendants. L’équation de Fokker-Planck qui résulte de ceci est :
∂p
∂t
∂p
= −y 2 + ∂ [F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t)p] + W 01 ∂ 2 p
∂y 1 ∂y 2 4 ∂y2
2
3.3.2 Pour deux bruits blancs corrélés
∂p
−y 4 + ∂ [F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t)p] + W 02 ∂ 2 p
∂y 3 ∂y 4 4 ∂y4
2
.
(3.15)
L’équation du mouvement est alors la même que (3.1), les deux bruits blancs étant maintenant
définis par :
∀(i, j) ∈ {1, 2} 2 , < f i (t) >= 0, < f i (t 1 )f j (t 2 ) >= C i,j
2 δ(t 1 − t 2 ) . (3.16)
On obtient les mêmes coefficients que dans la section précédente 3.3.1, sauf pour :
b 24 = b 42 = lim
∆t→0 < 1 ∆t
Donc l’équation de Fokker-Planck est :
158
∂p
∂t
∫ t+∆t ∫ t+∆t
= −y 2
∂p
∂y 1
+ ∂
∂y 2
[F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t)p]
t
t
f 1 (τ 1 )f 2 (τ 2 )dτ 1 dτ 2 >= C 1,2
2
. (3.17)
∂p
−y 4 + ∂ [F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t)p] + C 1,1 ∂ 2 p
∂y 3 ∂y 4 4 ∂y2
2 + C 1,2 ∂ 2 p
+ C 2,2 ∂ 2 p
2 ∂y 2 ∂y 4 4 ∂y4
2
.
(3.18)

3.3.3 Pour des bruits colorés et corrélés
3.3. Ecriture de l’équation de Fokker-Planck
Ici aussi, l’équation s’écrit de la façon (3.1), mais avec une définition autre des deux bruits.
Par exemple, en supposant que ces bruits sont des bruits de type Ornstein-Uhlenbeck, nous
aurons :
∀(i, j) ∈ {1, 2} 2 , < f i (t) >= 0 , < f i (t 1 )f j (t 2 ) >= C (
i,j
2τ exp − |t )
1 − t 2 |
. (3.19)
τ
Ces bruits sont équivalents aux processus suivants :
∀i ∈ {1, 2} , f˙
i (t) = − 1 τ f i(t) + 1 τ η i(t) , (3.20)
où η i (t) est un bruit blanc :
[ < ηi (t) >= 0 ,
< η i (t 1 )η j (t 2 ) >= C i,j
2 δ(t 1 − t 2 ) .
(3.21)
Le processus, auparavant de dimension 4 et non-Markovien, est ainsi transformé en un processus
Markovien de dimension 6, auquel on peut appliquer la définition générale de Fokker-Planck. Ce
processus s’écrit :
où :
⎧
⎪⎨
⎡
⎢
⎣
⎪⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + c 1 x 3 + γ(x − y) = 0 (+f 1 (t)) ,
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + γ(y − x) = 0 (+f 2 (t)) ,
ż + 1 τ z = 1 τ f 3(t) ,
< f 1 (t) >= 0, < f 1 (t 1 )f 1 (t 2 ) >= W 01
2 δ(t 1 − t 2 ) ,
< f 2 (t) >= 0, < f 2 (t 1 )f 2 (t 2 ) >= W 02
2 δ(t 1 − t 2 ) ,
< f 3 (t) >= 0, < f 3 (t 1 )f 3 (t 2 ) >= W 03
2 δ(t 1 − t 2 ) .
Nous avons supposé ici que les bruits f 1 (t), f 2 (t) et f 3 (t) n’étaient pas corréles.
L’équation de Fokker-Planck s’écrit alors :
(3.22)
(3.23)
∂p
∂t
= 1 τ
∂
∂y 5
(y 5 p) − y 2
∂p
∂y 1
+ ∂
∂y 2
[F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t)p]
∂p
−y 4 + ∂ [F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t)p] + W 01 ∂ 2 p
∂y 3 ∂y 4 4 ∂y2
2 + W 02 ∂ 2 p
4 ∂y4
2 + W 03 ∂ 2 p
4 ∂y6
2
.
(3.24)
159

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
3.4 Résolution numérique par la méthode des différences finies
de l’équation de Fokker-Planck pour deux oscillateurs couplés
soumis à deux bruits blancs
Cette équation est donnée par la formule (3.15). Il s’agit donc d’une équation aux dérivées
partielles. En particulier, il n’y a pas de dérivées secondes croisées. Nous appliquons ainsi la méthode
des directions alternées pour tirer avantage de ce qui a été fait dans le chapitre précédent.
3.4.1 Application de la méthode des directions alternées pour cette équation
aux dérivées partielles
Cette méthode a été expliquée dans le chapitre précédent. Nous l’appliquerons ici directement
en réécrivant l’équation (3.15) de la manière suivante :
avec :
– L 1 = −y 2
∂
∂y 1
,
– L 2 = ∂ [F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t)],
∂y 2
∂ 2
– L 3 = W 01
2 ∂y2
2 ,
∂
– L 4 = −y 4 ,
∂y 3
– L 5 = ∂ [F 2 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t)],
∂y 4
∂ 2
∂p
∂t = L 1p + L 2 p + L 3 p + L 4 p + L 5 p + L 6 p , (3.1)
– L 6 = W 02
2 ∂y4
2 .
On utilise ainsi six schémas de discrétisations (cinq pas de temps intermédiaires). Ces derniers
sont explicités dans l’annexe H, page 371.
3.5 Comparaison avec des simulations de type Monte Carlo
Cette comparaison n’utilise que très partiellement les résultats des intégrations numériques
de l’équation de Fokker-Planck. En effet, les calculs de type Monte Carlo permettent seulement
d’obtenir les différents moments de la réponse du système. Nous utilisons donc la densité de
probabilité calculée à l’aide de l’équation de Fokker-Planck pour estimer les moments du système
en fonction du temps. En parallèle, nous simulons le système par des calculs massifs, en utilisant
le fait que la dérivée d’un bruit blanc est une variable aléatoire de moyenne nulle et d’écart-type
√
t.
160

3.5. Comparaison avec des simulations de type Monte Carlo
Nous rappelons le système étudié :
{ ǫMÿ1 + c 1 ẏ 1 + cy 3 1 + γ (y 1 − y 2 ) = f 1 (t),
Mÿ 2 + c 2 ẏ 2 + k 2 y 2 + γ (y 2 − y 1 ) = f 2 (t) .
Les valeurs numériques des paarmètres sont prises égales à celles de la référence [43] :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ǫ = 0.05 ,
M = 1 ,
c 1 = 0.01 ,
c = 1 ,
c 2 = 0.01 ,
k 2 = 1 ,
γ = 0.04 .
(3.1)
(3.2)
Les f i (t) (i = 1 ou 2) sont des bruits blancs gaussiens, donc ce sont des fonctions aléatoires,
continues en temps (t ∈ R ou R ∗ ) possédant les propriétés suivantes :
– f i (t) est gaussienne,
– f i (t) est de moyenne nulle,
– f i (t) est stationnaire à tous les ordres (c’est-à-dire au sens strict),
– f i (t) a une fonction d’auto-covariance proportionnelle à la fonction δ (dirac) :
C fi f i
(τ) =< f i (t + τ)f i (t) >= c 0 δ(τ) = W 0i
δ(τ) . (3.3)
2
3.5.1 Méthodologie des simulations de type Monte Carlo
Cette simulation peut ne pas converger, surtout pour des moments d’ordre suffisamment
important [58].
Le système d’équations (3.1) s’écrit également sous la forme d’un système de deux équations
différentielles stochastiques. Nous choississons dans ce qui suit la terminologie d’Itô, donc :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
dX 1 (t) =
[
X 2 (t)dt ,
dX 2 (t) = − c 1
ǫM X 2(t) −
dX 3 (t) = X 4 (t)dt ,
dX 4 (t) =
c
ǫM X 1(t) 3 −
[
− c 2
M X 4(t) − k 2
M X 3(t) −
⎧
X 1 (0) = X 10
⎪⎨
⎫⎪ ⎬
X
avec 2 (0) = X 20
, 0 ≤ t ≤ T.
X ⎪⎩ 3 (0) = X 30 ⎪ ⎭
X 4 (0) = X 40
γ
]
ǫM (x 1(t) − X 3 (t)) dt + dW 1 (t) ,
γ
ǫM (X 3(t) − X 1 (t))
]
dt + dW 2 (t) ,
(3.4)
161

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
⎧
⎪⎨
Donc en notant : X(t) =
⎪⎩
⎧
⎪⎨
g(X) =
⎪⎩
, nous pouvons réécrire l’équation (3.4) sous la forme diffé-
⎪⎭
rentielle :
0
1
0
1
⎫ ⎧
⎪⎬ ⎪⎨
et W =
⎪⎭ ⎪⎩
X 1 (t)
X 2 (t)
X 3 (t)
X 4 (t)
0
W 1 (t)
0
W 2 (t)
⎫
⎪⎬
⎫
⎪⎬
, f(X) =
⎪⎭
⎧
⎪⎨
⎪⎩
− c 1
ǫM X 2(t) −
X 2
c
ǫM X 1(t) 3 −
X 4 (t)
− c 2
M X 4(t) − k 2
M X 3(t) −
γ
ǫM (x 1(t) − X 3 (t))
γ
ǫM (X 3(t) − X 1 (t))
dX(t) = f (X(t)) dt + g (X(t)) dW(t), X(0) = X 0 , 0 ≤ t ≤ T . (3.5)
Les fonctions f(x) et g(x) sont continues, donc en particulier continues à droite avec limite à
gauche et lipschitziennes. Donc nous pouvons affirmer ([27, 28, 29, 80]...) l’existence et l’unicité de
la solution de (3.5). Pour appliquer une méthode pour résoudre (3.5), nous discrétisons l’intervalle
en temps et nous posons : ∆t = T J , où J est un nombre entier strictement positif, et τ j = j∆t,
∀j ∈ {1, 2, ..., J}. L’approximation numérique de X(τ j ) est notée X j . Deux schémas simples
peuvent être utilisés :
– La méthode de Euler-Maruyama s’écrit :
[
]
X j = X j−1 + f(X j−1 )∆t + g(X j−1 ) W(τ j ) − W(τ j−1 ) , j = 1, 2, ..., J . (3.6)
Si f et g vérifient certaines propriétés, l’ordre de convergence forte est 1/2, alors que celui
de la convergence faible est 1.
– Pour obtenir une convergence plus forte, le schéma de Milstein peut être utilisé :
[
]
X j = X j−1 + f(X j−1 )∆t + g(X j−1 ) W(τ j ) − W(τ j−1 )
+ 1 [
]
(3.7)
2 g(X j−1)g ′ (X j−1 ) (W(τ j ) − W(τ j−1 )) 2 − ∆t , j = 1, 2, ..., J .
Ici, les résultats obtenus par le schéma de Euler-Maruyama ou par le schéma de Milstein
sont identiques (g est une fonction constante).
Lors de la programmation de cette équation différentielle stochastique, nous utilisons la
propriété :
W(τ j ) = W(τ j−1 ) + dW(τ j ) , (3.8)
où dW(x) est une variable aléatoire de moyenne nulle et d’écart-type σ (σ 2 = W 0
). En particulier,
nous pourrons écrire
2
:
où dη(x) est une variable aléatoire centrée réduite.
162
dW(x) = σdη(x) , (3.9)
⎫
⎪⎬
,
⎪⎭

3.5. Comparaison avec des simulations de type Monte Carlo
3.5.2 Comparaison des moments du système dynamique calculés avec Monte
Carlo avec ceux obtenus avec l’équation de Fokker-Planck
Calcul des différents moments avec la solution donnée par l’algorithme de Monte
Carlo
Dans ce cas, les moments se calculent de manière classique avec :
E (y(t)) = 1
M n (y(t)) = 1
N sim
N sim
N sim
N sim
∑
y i (t) , (3.10)
i=1
∑
[y i (t)] n , (3.11)
où E est la moyenne de la variable aléatoire considérée (X 1 , X 2 , X 3 ou X 4 par exemple), M n est
le moment d’ordre n et N sim est le nombre de tirages effectués avec Monte Carlo. En particulier,
la variance se calcule de la manière suivante :
i=1
V ar (y(t)) = σ 2 (t) = M 2 (y(t)) − (E(y(t))) 2 . (3.12)
Nous réalisons un grand nombre de simulations, pour diverses valeurs des deux bruits.
Nous utilisons les mêmes ( valeurs de paramètres qu’auparavant. La condition initiale est égale
à (x 0 , ẋ 0 , y 0 , ẏ 0 ) = 0, 0, 0, i )
0L
avec i 0 = 1. Le tableau suivant résume les différents bruits
2N
utilisés pour les simulations :
W 01
ǫ
0.01, 0.1, 1, 10, 0
W 02 0.0001, 0.001, 0.01, 0.1, 1, 0
Tab. 3.1 – Les différentes valeurs du coefficient de diffusion utilisées pour simuler par Monte
Carlo le système dynamique du pompage énergétique.
Calcul des différents moments avec la solution obtenue par la méthode des différences
finies
Nous nommons p la densité de probabilité calculée précédemment. C’est la densité de probabilité
du vecteur aléatoire X = (X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) tel que :
[
p : Ω = − L 1
2 , L ] [
1
× − L 2
2 2 , L ] [
2
× − L 3
2 2 , L ] [
3
× − L 4
2 2 , L ]
4
→ R
2
(3.13)
X = (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , X 3 = x 3 , X 4 = x 4 ) → p (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
163

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
Nous prolongeons cette densité sur R 4 :
˜p : R 4 →
{
R
p (x1 , x
X = (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , X 3 = x 3 , X 4 = x 4 ) →
2 , x 3 , x 4 ) si (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ∈ Ω ,
0 sinon .
˜p, comme p, est normé. En effet, nous avons :
∫R 4 ˜pdX = 1 = ∫
= L 1
2N
R 4 ˜p(X 1(t) = x 1 , X 2 (t) = x 2 , X 3 (t) = x 3 , X 4 (t) = x 4 )dX 1 dX 2 dX 3 dX 4
L 2
2N
L 3
2N
L 4
2N
1 = L 2N+1
1L 2 L 3 L 4
∑
16N 4
i,j,k,l=1
2N+1
∑
i,j,k,l=1
p (X 1 (t) = x 1i , X 2 (t) = x 2j , X 3 (t) = x 3k , X 4 (t) = x 4l )
(3.14)
p (X 1 (t) = x 1i , X 2 (t) = x 2j , X 3 (t) = x 3k , X 4 (t) = x 4l ) .
La densité marginale de X i peut être obtenue par :
∫
˜p(X i ) =
R ˜p (X 3 j = x j , X k = x k , X l = x l )dX j dX k dX l . (3.15)
∫
Le vecteur aléatoire X = (X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ) est dit intégrable si |x|˜pdx ≤ +∞. On définit alors
R
son espérance (moyenne) par :
∫
E(X) = x˜p(x)dX . (3.16)
4
R
∫
De même, le moment d’ordre n ne peut être défini que si
R |x|n˜p(x)dX ≤ +∞, alors :
∫
M n (X) =
R xn˜p(x)dX . (3.17)
4
3.5.3 Résultats de la comparaison
Nous utilisons les valeurs numériques de paramètres explicités au 3.5. De plus, pour la simulation,
nous choississons le domaine d’étude L 1 = L 2 = L 3 = L 4 = 4, le pas de temps ∆t = 0.02π
et le nombre de mailles par direction 2N + 1 = 41 (donc le pas en espace est identique dans
toutes les directions et ∆y 1 = ∆y 2 = ∆y 3 = ∆y 4 = 0.1). Nous simulons le système (3.1) avec et
sans sollicitation sinusoïdale (F 1 = f 1 cos(w 1 t) où f 1 = w 1 = 0 et F 2 = f 2 cos(w 2 t) où f 2 = 0.1
et w 2 = 0.5). De plus, nous testons trois combinaisons de bruits blancs :
164
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1○ W 01 = W 02 = 0.01π ,
2○ W 01 = 0.01πǫ et W 02 = 0.01π ,
3○ W 01 = 0.01π et W 02 = 0.01π .
ǫ
(3.18)

3.6. Simulations du pompage énergétique
Certains moments sont identiques quand ils sont calculés par les deux méthodes. C’est le cas
du moment d’ordre deux pour l’oscillateur non-linéaire.
De même, la forme de certains moments est correcte, mais la valeur numérique ne l’est pas
(figure 3.7).
1.5
Moment d’ordre deux de la position de l’oscillateur 1
1.5
Moment d’ordre deux de la position de l’oscillateur 1
Fokker−Planck
1
0.5
Fokker−Planck
1
0.5
0
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
0
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
0.4
2
Monte Carlo
0.3
0.2
0.1
0
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
(a) Sans sollicitation et W 01 = 0.01πǫ et W 02 = 0.01
Monte Carlo
1.5
1
0.5
0
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
(b) Avec sollicitation et W 01 = W 02 = 0.01
Fig. 3.7 – Moment d’ordre deux de la position de l’oscillateur non-linéaire.
Pour les moments d’ordre un (moyennes), les oscillations n’apparaissent pas pour le calcul
Fokker-Planck non sollicité, car elles sont trop faibles. Elles apparaissent quand la sollicitation
est présente. Pourtant, la présence des oscillations très faibles dans les résultats du calcul Monte
Carlo peut être critiquée. En effet, la convergence du calcul ne semble pas être toujours assurée
(dans le cas libre), voir figure 3.8.
De plus pour des moments d’ordre supérieur à deux, les calculs massifs par Monte Carlo
divergent (figure 3.9). Il faudrait alors examiner en détail l’algorithme de Monte Carlo utilisé et
utiliser une des versions modifiées et améliorées de Monte Carlo.
Les calculs de type Monte Carlo sont difficiles à faire converger, ainsi que ceux réalisés sur
l’équation de Fokker-Planck. Ces deux types de calcul donnent une tendance qui peut permettre
des études qualitatives.
3.6 Résultats des simulations de l’équation de Fokker-Planck
Caractérisation du pompage énergétique
Nous étudions le système suivant, extrait de la référence [42] :
{ Mẍ + λ1 ẋ + k 1 x + γ(x − y) = 0 ,
mÿ + λ s ẏ + Cy 3 + γ(y − x) = 0 ,
(3.1)
165

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
1
Moyenne de la position de l’oscillateur 1
Fokker−Planck
0.5
0
−0.5
−1
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
Fokker−Planck
5 10−7 0
−5
−10
−15
0 500 1000 1500 2000 2500
x
t ( × 0.01 π )
Monte Carlo
5 x 10−3 0
t ( × 0.01 π )
Monte Carlo
0.02
0.01
0
−5
0 500 1000 1500 2000 2500
(a) Cas libre, W 01 = W 02 = 0.01π
−0.01
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
(b) Cas libre, W 01 = 0.01π et W 02 = 0.01π
ǫ
Moyenne de la position de l’oscillateur 1
Fokker−Planck
0.5
0
−0.5
1 x 10−3 t ( × 0.01 π )
Fokker−Planck
1 x 10−3
0.5
0
t ( × 0.01 π )
−0.5
−1
0 500 1000 1500 2000 2500
−1
0 500 1000 1500 2000 2500
0.04
0.2
Monte Carlo
0.02
0
−0.02
−0.04
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
(c) Cas sollicité, W 01 = W 02 = 0.01π
Monte Carlo
0.1
0
−0.1
−0.2
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
(d) Cas sollicité, W 01 = 0.01πǫ et W 02 = 0.01π
Fig. 3.8 – Moyenne de la position de l’oscillateur non-linéaire.
166

3.6. Simulations du pompage énergétique
4
Fokker−Planck
10 x 10−6 t ( × 0.01 π )
5
0
Fokker−Planck
3
2
1
−5
0 500 1000 1500 2000 2500
0
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
Monte Carlo
0.5
0
−0.5
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
Monte Carlo
100
80
60
40
20
0
0 500 1000 1500 2000 2500
t ( × 0.01 π )
(a) Moment d’ordre trois de la position (b) Moment d’ordre quatre de la position
de l’oscillateur linéaire, dans le cas libre, de l’oscillateur linéaire, dans le cas forcé
avec W 01 = 0.01π et W 02 = 0.01π (f
ǫ 1 = w 1 = 0, f 2 = 0.1 et w 2 = 0.5),
avec W 01 = 0.01π et W 02 = 0.01π
ǫ
Fig. 3.9 – Comparaison Monte-Carlo/Fokker-Planck pour des moments d’ordre supérieur.
avec les conditions initiales :
et les paramèteres :
{ x(0) = y(0) = ẏ(0) = 0 ,
ẋ(0) = √ 2h ,
⎧
⎪⎨
⎪⎩
k 1 = 4000N.m −1 ,
λ 1 = 100N.s.m −1 ,
M = 4000Kg ,
γ = 1000N.m −1 ,
m = 4000Kg ,
λ s = 300N.s.m −1 ,
c = 600N.m −3 .
(3.2)
(3.3)
Nous étudions les cas libre et forcé. Ce dernier correspond au système précédent où l’oscillateur
non-linéaire est soumis à une sollicitation sinusoïdale f 2 cos(w 2 t) où f 2 = 0.1 et w 2 = 0.5.
De plus, la condition initiale ne sera pas un dirac, mais une gaussienne d’intégrale 1 centrée
sur le point (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (0, √ 2h, 0, 0). Nous utilisons cet artifice afin d’éviter d’éventuels
problèmes de stabilité en temps court. Enfin, nous étudions les résultats numériques de ces simulations
pour plusieurs valeurs du coefficient de diffusion : W 01 = W 02 = 10.0, W 01 = W 02 = 1.0
et W 01 = W 02 = 0.1.
Le problème est ici que les tableaux que nous calculons sont de taille (2N+1) 4 (où 2N+1 est le
nombre de noeuds du maillage dans une direction). Or pour pouvoir représenter graphiquement
le phénomène de pompage énergétique, nous nécessitons des éléments de R 2 . Ceci peut être
réalisé de deux manières différentes : tout d’abord, nous allons fixer la deuxième et la quatrième
167

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
dimensions (les vitesses des deux oscillateurs), pour obtenir une matrice de R 2 . Ensuite, une
deuxième méthode plus logique consiste à calculer certaines lois marginales du système. En
particulier, nous nous intéressons à celle de l’oscillateur linéaire, celle de l’oscillateur non-linéaire
et celle des deux positions.
Ainsi en utilisant la deuxième méthode et en examinant le système (3.1) sans sollicitation ,
le phénomène de pompage énergétique peut être observé.
Pour la densité de probabilité marginale du premier oscillateur (Figure 3.10), la condition
initiale est une gaussienne centrée sur ( √ 2h, 0). Rapidement, cet oscillateur arrive au repos suite
au pompage énergétique. Ensuite, la zone spatiale où l’oscillateur linéaire est au repos se rétrécit.
Enfin, la densité prend la forme du mode non-linéaire (Figure 3.11).
Il faut souligner que les instabilités aux bords du domaine d’étude sont dûes aux schémas
numériques, mais elles n’affectent pas les résultats aux temps suivants (Section 1.3.6, page 1.3.6).
En ce qui concerne l’oscillateur non-linéaire, la condition initiale centrée en (0, 0) se transforme
rapidement en un pic presque gaussien qui n’est plus symétrique et centré sur l’origine :
cet oscillateur a commencé à osciller (Figure 3.12). Ensuite après avoir présenté une densité
de probabilité équirépartie pendant un certain laps de temps, cet oscillateur suit le mode non
linéaire (Figure 3.13 ou 3.17).
Nous calculons et représentons également la densité de probabilité marginale de la position
des deux oscillateurs du système (3.1) sans sollicitation extérieure et avec W 01 = W 02 = 10.0
(Figure 3.14). A t = 0, seul l’oscillateur linéaire, dont la position est x 1 , est en mouvement. Mais
dès t = 200∆t, l’oscillateur non-linéaire cumule la plus grande partie de l’énergie du système.
En temps long, les positions du système s’orientent suivant la première diagonale (Figure 3.15).
Suite au bruit, le pompage énergétique ne s’effectue pas entièrement.
En effet, le fait que le pompage énergétique ne s’effectue pas entièrement peut être représenté
en analysant le lieu du maximum de la densité de probabilité marginale de la position des deux
oscillateurs (Figure 3.16, par analogie avec l’étude déterministe, Figures 3.2 ou 3.17).
Maintenant nous analysons l’influence de la valeur numérique du coefficient de diffusion. Nous
représentons sur les figures 3.18 et 3.19 la densité marginale de la position des deux oscillateurs
pour les trois valeurs des coefficients de diffusion W 01 = W 02 = 10.0, W 01 = W 02 = 1.0 et
W 01 = W 02 = 0.1.
Nous observons que dans ce cas précis, le phénomène de pompage énergétique est accéléré
pour un bruit plus élevé. Ceci peut être prouvé par l’analyse du lieu du maximum de la densité
de probabilité marginale de la position des deux oscillateurs pour ces trois valeurs du coefficient
de diffusion (Figure 3.20).
Finalement, nous étudions les conséquences d’une sollicitation de la forme F 1 = 0 et F 2 =
f 2 cos(w 2 t). Nous avons choisi ici f 2 = 0.1 et w 2 = 0.5. Nous observons ici (Figures 3.21 et
3.22) que le phénomène de pompage énergétique est détruit. Ces deux comportements sont
radicalement différents. Ceci peut également être vu en représentant le lieu du maximum de la
densité de probabilité marginale de la position des deux oscillateurs pour ces deux cas (cas non
168

3.6. Simulations du pompage énergétique
0.2
0.02
0.15
0
0.1
0.05
−0.02
−0.04
−0.06
0
−0.08
−0.05
60
−0.1
60
40
x 2
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
40
x 2
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(a) t = 0∆t
(b) t = 200∆t
50
0.5
0.2
0
−0.2
0
10
20
30
40
50
0
10
20
x 2
30
40
0
−0.5
50
40
30
20
x 2
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
x 1
(c) t = 300∆t
(d) t = 500∆t
0.5
0.4
0
0.2
−0.5
50
40
0
−0.2
30
x 2
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.4
60
40
x 2
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(e) t = 1000∆t
(f) t = 5900∆t
Fig. 3.10 – Densité de probabilité marginale de l’oscillateur linéaire du système de l’équation
(3.1) sans sollicitation extérieure et avec W 01 = W 02 = 10.0, ∆t = 0.001π.
169

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
40
35
0.2
0.1
30
0
25
−0.1
−0.2
x 2
20
−0.3
50
15
40
30
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
10
5
5 10 15 20 25 30 35 40
x 2
x 1
Fig. 3.11 – Densité de probabilité marginale de l’oscillateur linéaire du système de l’équation
(3.1) sans sollicitation extérieure avec W 01 = W 02 = 10.0. Le temps représenté est t = 4450∆t,
où ∆t = 0.001π.
sollicité et cas sollicité), Figure 3.23.
170

3.6. Simulations du pompage énergétique
0.5
15
0
10
5
−0.5
50
0
40
30
−5
60
40
x 4
20
0
0
10
20
x 3
30
40
50
x 4
20
10
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x 3
(a) t = 0∆t
(b) t = 300∆t
0.5
0.4
0.2
0
0
−0.2
−0.5
50
40
−0.4
50
40
30
30
20
10
x 4
0
0
10
20
x 3
30
40
50
20
10
x 4
0
0
10
20
x 3
30
40
50
(c) t = 700∆t
(d) t = 1000∆t
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
50
0.4
0.2
0
−0.2
40
30
x 4
20
10
0
0
10
20
x 3
30
40
50
−0.4
60
40
x 4
20
0
0
10
20
x 2
30
40
50
(e) t = 1600∆t
(f) t = 5900∆t
Fig. 3.12 – Densité de probabilité marginale de l’oscillateur non-linéaire du système de l’équation
(3.1) sans sollicitation extérieure et avec W 01 = W 02 = 10.0, ∆t = 0.001π.
171

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
40
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
60
40
x 4
15
10
50
40
30
5
20
20
10
x 0 0
5 10 15 20 25 30 35 40
4 x 3
x 3
35
30
25
20
Fig. 3.13 – Densité de probabilité marginale de l’oscillateur non-linéaire du système de l’équation
(3.1) sans sollicitation extérieure avec W 01 = W 02 = 10.0. Le temps représenté est t = 4450∆t,
où ∆t = 0.001π.
172

3.6. Simulations du pompage énergétique
1
0.5
1
0.8
0
0.6
−0.5
0.4
−1
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
0.2
0
−0.2
−0.4
50
40
30
20
10
0
0
60
40
20
x 1
x 3
(a) t = 0∆t
(b) t = 200∆t
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.4
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(c) t = 500∆t
(d) t = 700∆t
0.2
0.5
0
0
−0.2
−0.5
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.4
−0.6
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(e) t = 1400∆t
(f) t = 5900∆t
Fig. 3.14 – Densité de probabilité marginale des positions des deux oscillateurs du système de
l’équation (3.1) sans sollicitation extérieure et avec W 01 = W 02 = 10.0, ∆t = 0.001π.
173

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
40
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
50
40
x 3
15
10
30
50
40
20
30
5
10
20
x 10
3 0 0
5 10 15 20 25 30 35 40
x 1
x 1
35
30
25
20
Fig. 3.15 – Densité de probabilité marginale de la position des deux oscillateurs du système de
l’équation (3.1) sans sollicitation extérieure avec W 01 = W 02 = 10.0. Le temps représenté est
t = 4450∆t, où ∆t = 0.001π.
45
40
35
30
25
x 3
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x 1
(a) t de 0 à 5900∆t
Fig. 3.16 – Lieu du maximum de la densité de probabilité marginale de la position des deux
oscillateurs du système de l’équation (3.1) sans sollicitation extérieure et avec W 01 = W 02 = 10.0.
174

3.6. Simulations du pompage énergétique
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
−2
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
Fig. 3.17 – Oscillations non-linéaires en fonction des oscillations linéaires, pour le système déterministe
de l’équation (3.1), pour différentes conditions initiales. La forme du mode non-linéaire
ressemble donc à celle des couples (x 1 , x 3 ) du maximum de la densité de probabilité de Fokker-
Planck (Figure 3.16).
175

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
1
1
1
0.5
0.8
0.5
0.6
0
0.4
0
0.2
0
−0.2
−0.4
50
40
30
20
x 3
10
0
60
40
20
0 x 1
−0.5
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.5
50
40
30
20
10
x 3
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(a) W 01 = W 02 = 10, t = 200∆t
(b) W 01 = W 02 = 1, t = 200∆t
(c) W 01 = W 02 = 0.1, t = 200∆t
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
−0.2
−0.2
−0.2
−0.4
60
−0.4
60
−0.4
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(d) W 01 = W 02 = 10, t = 500∆t
(e) W 01 = W 02 = 1, t = 500∆t
(f) W 01 = W 02 = 0.1, t = 500∆t
0.4
0.2
0
0.4
0.2
0
0.4
0.2
0
−0.2
−0.2
−0.2
−0.4
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.4
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.4
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(g) W 01 = W 02 = 10, t = 700∆t
(h) W 01 = W 02 = 1, t = 700∆t
(i) W 01 = W 02 = 0.1, t = 700∆t
Fig. 3.18 – Densité de probabilité marginale des positions des deux oscillateurs du système de
l’équation (3.1) sans sollicitation extérieure avec ∆t = 0.001π.
176

3.6. Simulations du pompage énergétique
0.4
0.2
0
0.4
0.2
0
−0.2
0.4
0.2
0
−0.2
−0.2
−0.4
50
−0.4
50
−0.4
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(a) W 01 = W 02 = 10, t = 800∆t
(b) W 01 = W 02 = 1, t = 800∆t
(c) W 01 = W 02 = 0.1, t = 800∆t
0.5
0
0.4
0.2
0
−0.2
0.4
0.2
0
−0.2
−0.5
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.4
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.4
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(d) W 01 = W 02 = 10, t = 1400∆t
(e) W 01 = W 02 = 1, t = 1400∆t
(f) W 01 = W 02 = 0.1, t = 1400∆t
0.2
0
0.4
0.2
0.4
0.2
−0.2
−0.4
−0.6
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
0
−0.2
−0.4
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
0
−0.2
−0.4
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(g) W 01 = W 02 = 10, t = 5900∆t
(h) W 01 = W 02 = 1, t = 5900∆t
(i) W 01 = W 02 = 0.1, t = 5900∆t
Fig. 3.19 – Densité de probabilité marginale des positions des deux oscillateurs du système de
l’équation (3.1) sans sollicitation extérieure avec ∆t = 0.001π.
177

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
45
40
35
x 3
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x 1
(a) W 01 = W 02 = 10.0
x 2
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x 1
(b) W 01 = W 02 = 1.0
45
40
35
30
25
x 2
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x 1
(c) W 01 = W 02 = 0.1
Fig. 3.20 – Lieu du maximum de la densité de probabilité marginale de la position des deux
oscillateurs du système de l’équation (3.1) sans sollicitation extérieure.
178

3.6. Simulations du pompage énergétique
1
0.5
1
0.8
0
−0.5
0.6
−1
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
50
40
30
20
x 3
10
0
0
60
40
20
x 1
−1.5
60
40
20
x 3 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x 1
(a) Sans sollicitation, t = 200∆t
(b) Avec sollicitation, t = 200∆t
0.4
0.5
0.2
0
0
−0.2
−0.5
50
−0.4
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(c) Sans sollicitation, t = 500∆t
(d) Avec sollicitation, t = 500∆t
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−0.4
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.2
−0.4
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(e) Sans sollicitation, t = 700∆t
(f) Avec sollicitation, t = 700∆t
Fig. 3.21 – Densité de probabilité marginale des positions des deux oscillateurs du système de
l’équation (3.1) sans et avec sollicitation extérieure (f 2 = 0.1 et w 2 = 0.5) pour ∆t = 0.001π.
179

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
0.4
0.2
0
−0.2
0.5
0
−0.5
50
−0.4
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(a) Sans sollicitation, t = 800∆t
(b) Avec sollicitation, t = 800∆t
0.4
0.5
0.2
0
0
−0.2
−0.5
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.4
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(c) Sans sollicitation, t = 1400∆t
(d) Avec sollicitation, t = 1400∆t
0.2
0.4
0
0.2
−0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
60
40
x 3
20
0
0
10
20
x 1
30
40
50
−0.4
50
40
30
x 3
20
10
0
0
10
20
x 1
30
40
50
(e) Sans sollicitation, t = 5900∆t
(f) Avec sollicitation, t = 5900∆t
Fig. 3.22 – Densité de probabilité marginale des positions des deux oscillateurs du système de
l’équation (3.1) sans et avec sollicitation extérieure (f 2 = 0.1 et w 2 = 0.5) pour ∆t = 0.001π.
180

3.6. Simulations du pompage énergétique
45
45
40
x 3
40
35
30
25
20
15
10
x 3
35
30
25
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x 1
(a) Sans sollicitation
5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x 1
(b) Avec sollicitation
Fig. 3.23 – Lieu du maximum de la densité de probabilité marginale de la position des deux
oscillateurs du système de l’équation (3.1) avec W 01 = W 02 = 10.0.
181

Chapitre 3. Contrôle passif de structures : pompage énergétique
182

Conclusion
L’équation de Fokker-Planck est une équation aux dérivées partielles linéaire, dont l’inconnue
est p(X, t), densité de probabilité de l’état X au temps t (X est alors un vecteur de positions,
vitesses..).
Cette équation a été écrite ici pour des oscillateurs à un seul degré de liberté, puis pour des
oscillateurs à deux degrés de liberté. Cette écriture formelle ne pose pas de problème et peut être
généralisée facilement à des systèmes plus complexes. Le principal problème de cette équation
est qu’elle n’admet une solution analytique que dans un nombre très limité de cas. En particulier,
une sollicitation analytique existe pour l’équation de Fokker-Planck de l’oscillateur linéaire : ce
cas a été utilisé pour prouver l’exactitude des résultats de notre simulation numérique. L’erreur
calculée dans ce cas est très faible.
L’intégration numérique de l’équation de Fokker-Planck a tout d’abord été réalisée pour des
oscillateurs possédant un seul degré de liberté : l’oscilateur de type Duffing, un système simple
soumis à de la friction, un corps possédant une loi de comportement élasto-plastique. Certains de
ces cas étant déjà étudiés dans la littérature, nous avons pu mesurer la cohérence de nos calculs.
Pour d’autres, nous avons pu retrouver le cas déterministe pour des bruits faibles et montrer
qu’un certain niveau de bruit entraine la disparition du phénomène déterministe.
Finalement, nous avons examiné l’influence de l’existence d’un bruit sur le phénomène du
pompage énergétique. Pour cela, après avoir écrit l’équation de Fokker-Planck pour le système
dynmique considéré, nous avons intégré numériquement cette équation aux dérivées partielles
pour des systèmes dynamiques extraits de [43] et [42]. Via les densités de probabilité ainsi
calculées, l’occurence, la stabilité et l’efficacité du pompage énergétique peuvent être estimés.
Cette intégration de l’équation de Fokker-Planck par la méthode des différences finies pour
un système dynamique à deux degrés de liberté est réalisé pour la première fois. En réalité,
cette simulation calculant la densité p(x,ẋ, y,ẏ), où x et y sont les deux positions, et ẋ et ẏ
les deux vitesses, n’a jamais été réalisé par aucune méthode. Cela s’explique par la lourdeur
des calculs. Dans notre calcul, si nous appelons 2N + 1 le nombre de noeuds du maillage dans
chaque direction, à chaque t, la densité de probabilité calculée s’exprime à l’aide d’une matrice
(2N +1)×(2N +1)×(2N +1)×(2N +1). Par la méthode ici employée (méthode des différences
finies associée à la méthode des directions alternées), nous pouvons décomposer ce problème
unique en (2N +1)×(2N +1) problèmes linéaires avec des matrices de taille (2N +1)×(2N +1).
Ainsi les calculs sont lents (10 fois avec Matlab qu’avec C++), et les données calculées sont
volumineuses (fichiers de l’ordre de 30 Mo pour N = 20).
183

Conclusion
Mais, il est à prévoir que la méthode des éléments finis ne serait pas plus efficace. En effet,
puisqu’à chaque instant, la probabilité appartient à R 4 , les éléments à choisir seraient des
hypercubes de dimension 4.
En ce qui concerne la méthode des différences finies ici utilisée, elle possède un inconvénient
majeur : les divers paramètres de simulation (pas en espace, en temps) sont liés entre eux et
aux paramètres extérieurs (le bruit), et ils déterminent l’exactitude et la véracité de la densité
de probabilité calculée (cela est dû à la forme des matrices à inverser dans la méthode d’Euler
implicite). Ainsi des instabilités peuvent apparaitre, ainsi que des résultats manifestement faux :
effets de bords liés à l’obligation à la densité d’être égale à zéro sur le bord, des phénomènes de
soulèvement de tapis de la densité de probabilité dûs souvent à un niveau de bruit trop faible...
Ainsi les paramètres utilisés pour la simulation doivent être choisis avec soin.
Donc, en conclusion, cette méthode de résolution de l’équation de Fokker-Planck semble
adaptée à l’étude de systèmes dynamiques pouvant être réduits à peu (1 ou 2) degrés de liberté
et soumis à une sollicitation diffuse et inconnue. Pourtant, les outils informatiques doivent être
conséquents.
184

Troisième partie
Etude sur les exposants de Lyapunov
185

Le premier chapitre de cette partie a été le sujet d’une communication en conférence en
comité de lecture et d’une contribution à un livre post-conférence :
– Schmidt F., Lamarque C.-H., ”On the numerical value of finite-time pseudo-Lyapunov
exponents“, 9 th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications, December
17-20, 2007, Lodz, Poland, [91].
– Schmidt F., Lamarque C.-H., ”On the numerical value of finite-time pseudo-Lyapunov exponents“,
Modeling, Simulation and Control of Nonlinear Engineering Dynamical Systems,
multi-authored book, Springer Publisher.
Le deuxième chapitre a fait l’objet d’une collaboration avec le Moscow Institute of Technology
dans le cadre d’une coopération européenne et un article est en phase de soumission.
187

188

Introduction
Il existe trois caractéristiques principales du chaos :
1. un spectre continu de fréquences qui est semblable à un bruit aléatoire,
2. la sensibilité aux conditions initiales,
3. et l’ergodicité et le mélange des orbites dynamiques.
Les exposants de Lyapunov ([70, 98]) mesurent la sensibilité aux conditions initiales des systèmes
dynamiques chaotiques. Ainsi, une différence infiniment petite en entrée peut entrainer des
différences très importantes en sortie se traduisant par une divergence ”maximale“ confinée sur
la géométrie de l’attracteur. Ceci est appelé ”sensibilité aux conditions initiales“. Cette quantité
permet donc dans une certaine mesure une quantification de l’incertitude sur le comportement
du système dynamique considéré en fonction de l’incertitude en conditions initiales.
Pour caractériser quantitativement un attracteur chaotique, l’exposant de Lyapunov est un
outil précieux, par exemple pour estimer la sensibilité aux conditions initiales. Si au moins un
des exposants de Lyapunov est positif, l’attracteur est sensible aux conditions initiales. Il est
alors chaotique en temps infini mathématiquement, en pratique en temps fini.
Pour la définition formelle des exposants de Lyapunov, considérons le flot unidimensionnel
suivant : x n+1 = f(x n ). La différence entre deux états infiniment proches (distants de ǫ, avec
ǫ

Introduction
Ainsi dans le cas 2D, l’exposant de Lyapunov le plus grand en valeur absolue décrit le
taux moyen de divergence de deux trajectoires infiniment proches. La somme des exposants de
Lyapunov donne le taux moyen d’évolution du volume dans l’espace dse phases.
Nous voulons calculer log(|D(Sk )(x)v 0 |)
, où D est la différentielle de la transformation. Pour
k
obtenir des résultats fiables, nous devons normer à chaque étape les itérées; sinon, la norme des
vecteurs DS k (x)v 0 augmente exponentiellement avec k (comme la méthode puissance dans le
calcul des valeurs propres des matrices). Soit x j la suite
Alors par composition des différentielles :
Si on définit la suite de vecteurs :
Alors nous avons les identités :
x 0 = x , x j = S(x j−1 ) .
D(S k )(x) = DS(x k−1 )...DS(x 0 ) .
ˆv j = DS(x j−1 )v j−1 , v j = ˆv j
||ˆv j || . (2)
DS(x 0 ) = ˆv 1 , DS(x 1 )DS(x 0 )v 0 = ˆv 2 ||ˆv 1 || ,
et immédiatement :
k−1
∏
DS(x k−1 )...DS(x 0 ) = ˆv k ||ˆv j || .
j=1
Donc nous calculons λ 1,k = 1 k
k∑
log ||ˆv j ||, comme approximation de l’exposant de Lyapunov, si
j=1
celui-ci existe.
De même, nous devons calculer le deuxième exposant de Lyapunov. Il suffit de calculer
log |det D(S k )(x)| et de le soustraire à λ 1,k . Numériquement, cette procédure serait très peu
juste, puisque l’image d’une base par D(S k )(x) devient extrêmement singulière quand k tend
vers l’infini; donc, nous modifions l’algorithme :
det D(S k )(x) =
k∏
det DS(x j−1 ) ,
et nous calculons le déterminant de DS(x j−1 ) avec la suite de vecteurs w j définis par :
190
j=1
ŵ j = DS(x j−1 )w j−1 , w j =
ŵj − (ŵ j .v j )v j
||ŵ j − (ŵ j .v j )v j || .

En d’autres termes, la base {v j−1 , w j−1 } est transformée en {ˆv j , ŵ j } par la linéarisation de
la transformation, puis soumise à l’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Alors :
Nous définissons :
|det DS(x j−1 )| = ||ˆv j || ||ŵ j − (ŵ j .v j )v j || .
λ 2,k = 1 k
k∑
log ||ŵ j − (ŵ j .v j )v j || .
j=1
Cette partie est consacrée à deux points que nous avons étudié : tout d’abord, dans un
premier chapitre, sera traitée la variabilité par rapport aux conditions en espace, en temps,...
des exposants de yapunov en temps fini. De ce fait, ils peuvent, en temps fini, être supérieurs
en valeur absolue à leur valeur en temps infini qui est utilisée habituellement et qui est obtenu
avec l’algorithme de Wolf.
Dans le deuxième chapitre, résultat d’une collaboration avec le Moscow Institute of Technology
(Prof. Seyranian), une méthode différente pour calculer les exposants de Lyapunov est
développée, elle est ensuite appliquée à des systèmes dynamiques connus. Ainsi cette méthode a
pu être évaluée.
191

Introduction
192

Chapitre 1
Etude des exposants de Lyapunov en
temps fini
Les exposants de Lyapunov sont habituellement calculés en temps infini, ils
possèdent alors la propriété d’ergodicité. Pourtant ce n’est plus le cas en temps
fini, où ils dépendent du temps considéré, des conditions en espace, de la
divergence initiale... Il est alors dangereux d’utiliser les exposants en temps
infini pour réaliser des calculs en temps fini.
Sommaire
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
1.2 Systèmes à un degré de liberté, du deuxième ordre . . . . . . . 196
1.2.1 Etude des exposants de Lyapunov à court terme . . . . . . . . . . . 196
1.2.2 Pour l’oscillateur de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
1.2.3 Pour l’oscillateur de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
1.3 Systèmes à trois degrés de liberté, du premier ordre . . . . . . . 209
1.3.1 Etude théorique des exposants à court terme . . . . . . . . . . . . . 210
1.3.2 Pour le système de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
1.4 Pour le système du pompage énergétique . . . . . . . . . . . . . 216
1.5 Recherche de pseudo-exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs219
1.5.1 Explication des exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs . . . . . 219
1.5.2 Application à l’oscillateur de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
1.5.3 Application au système dynamique de Van Der Pol . . . . . . . . . 224
1.5.4 Application au système de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
193

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
1.1 Introduction
Définition 1.1.1 (Mesure invariante) Soient (X, µ) un espace de probabilités, et f : X → X
une application mesurable. La mesure µ est dite f-invariante si pour tout ensemble A ⊂ X, on
a µ ( f −1 (A) ) = µ(A), ou f −1 (A) designe l’image reciproque de A par f.
Définition 1.1.2 (Ergodicité) Soient (X, µ) un espace de probabilites, et f : X → X une
application mesurable telle que la mesure µ soit f-invariante. L’application f est dite ergodique
relativement a la mesure µ si tout sous-ensemble mesurable de X invariant par f est de mesure
0 ou 1.
Définition 1.1.3 (Unique ergodicité) Soient X un espace mesurable et f : X → X une application
mesurable. L’application f est dite uniquement ergodique s’il existe une unique mesure
de probabilite sur X invariante par f.
Théorème 1.1.4 (Théorème d’ergodicité d’Oseledec (Multiplicative Ergodic Theorem))
Soit f un difféomorphisme de M avec une dérivée uniformément bornée,
Soit µ une mesure de Borel de probabilité invariante sur M,
Alors pour presque tout x ∈ M, l’espace tangent M x peut être décomposé en sous-espaces
W 1 (x) ⊕ ... ⊕ W Mx (x) tels que :
1. Pour presque tout i, Df(x)(W i (x)) = W i (f(x)) (les sous-espaces sont conservés sous
l’action de Df).
2. Pour presque tout x ∈ M et pour presque tout i, il existe un nombre λ i (x) tels que :
(Donc λ i (f(x)) = λ i (x)).
∀x ∈ W i (x), lim
n→∞
3. Si nous appelons θ(x, i, j) l’angle entre W i (x) et W j (x) :
lim
n→∞
1
n log ||Df ±n (x)v|| = ±λ i (x) . (1.1)
1
n log | sin(θ)( f ±n (x), i, j ) | = 0 . (1.2)
Les nombres λ i (x), comptés avec leur multiplicité dimW i (x), sont appelés exposants de Lyapunov
de f en x.
Ces exposants sont indépendants de x si le système est ergodique.
En pratique, cet exposant est estimé analytiquement par les valeurs propres de la jacobienne.
Il peut également être calculé numériquement. Pour cela diverses méthodes existent : la plus
connue est celle de Wolf et al. ([115], voir introduction de cette partie, page 189). Cet algorithme
se base sur le contrôle de la divergence entre trajectoires voisines. On choisit dans un premier
temps deux orbites très voisines, et on note leur distance L(t 0 ). En un temps ultérieur, soit t 1 ,
cette distance est devenue L ′ (t 1 ). On effectue alors un remplacement : on se choisit une autre
194

1.1. Introduction
orbite, située à une distance L(t 1 ). On recommence alors ces opérations un grand nombre de fois
pour les temps t 1 , ...,t M et on calcule l’estimateur du plus grand exposant :
1
M [ ]
∑ L ′ (t k )
λ 1 = log
t M − t 0 L(t k−1 )
k=1
. (1.3)
D’autres méthodes existent, par exmple la décomposition QR de la jacobienne ([24]), des méthodes
hybrides (méthode appelée e S , [107]), ... Un état de l’art peut être trouvé dans [82],
[102].
Cette constante est parfois utilisée pour borner les plages de variation de la trajectoire à
temps fini (shadowing, [44]). Mais cela peut être faux. En effet, à temps fini, la divergence de
trajectoire dépend du temps et de l’espace considérés ([122, 57, 7]).
Un pseudo-exposant de Lyapunov en temps fini est alors défini :
λ t = 1 t
ln
||δX(t)||
||δX 0 ||
, t ≥ t 0 ≥ 0 . (1.4)
Cette variable n’est pas une constante : en effet elle dépend de la condition initiale, du
temps considéré, des vecteurs propres de la jacobienne, de la divergence initiale qui n’est pas
infinitésimale... En particulier, λ (t) ne peut être approximé par le coefficient de Lyapunov et λ (t)
peut se révéler être considérablement supérieur à λ. De même, λ (t) peut être positif pour une
certaine condition initiale et un certain temps alors que λ est négatif.
Ces pseudo-exposants de Lyapunov ont été étudiés dans la littérature, [74, 3, 2, 4]. Tout
d’abord, leur variation a été calculée en suivant une trajectoire en en calculant le pseudo(exposant
au fur et à mesure, [25, 103, 68, 97]. Ainsi il a été prouvé que leur valeur est sensible à tout
bruit, [113, 73, 55]. Pour résoudre ce problème, des zones de l’espace des phases où ces pseudoexposants
possèdent des comportements similaires ont été déterminées, [26, 75, 45, 69] ou des
intervalles de confiance ont été calculés, [122, 34].
Finalement, nous devons évoquer l’existence d’exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs,
[31], qui permettent dans certains cas d’obtenir des informations supplémentaires sur la dynamique
du système.
Cette partie est organisée de la façon suivante : tout d’abord nous allons examiner ces
pseudo-exposants de Lyapunov pour divers systèmes dynamiques. Tout d’abord, nous allons
nous intéresser à des systèmes du second ordre à un seul degré de liberté (oscillateur de type
Duffing, système de Van Der Pol). Ensuite, nous regarderons successivement des systèmes du
premier ordre ayant trois degrés de liberté (système de Lorenz), des systèmes définis par une
récurrence du premier ordre avec un seul degré de liberté (application logistique, ensemble de
Mandelbrot, application de Hénon). De plus, nous nous intéresserons à ces pseudo-exposants pour
le système du pompage énergétique. Finalement, nous calculerons quelques pseudo-exposants
d’ordre supérieur, défini comme dans l’équation (1.4) par analogie avec le cas en temps infini
(voir [31]). Notre but ici est d’estimer analytiquement ce pseudo-exposant de Lyapunov en
temps fini via l’expression de la divergence. Nous désirons ensuite étudier cette divergence, et
195

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
en particlier déterminer des conditions initiales et le temps correspondant pour que ce pseudoexposant
soit maximum : nous aurons ainsi déterminé une borne supérieure pour l’exposant de
Lyapunov.
1.2 Systèmes à un degré de liberté, du deuxième ordre
1.2.1 Etude des exposants de Lyapunov à court terme
Soit un système dynamique autonome de la forme : Ẋ = F(X). Une petite perturbation δX 0
se propagera sous la forme :
δẊ = DF(X 0)δX 0 , (1.1)
où DF(X 0 ) est la jacobienne de la fonction F évaluée en X 0 : [DF(X 0 )] ij = ∂F i
∂X j
(X 0 ). Alors en
intégrant :
δX = e tDF(X 0) δX 0 . (1.2)
En supposant la matrice DF(X 0 ) diagonalisable (ou du moins pouvant être mise sous la
forme d’une matrice triangulaire) et en la décomposant sous la forme :
DF(X 0 ) = PAP −1 ,
où A est une matrice diagonale ou de Jordan,
où P est une matrice inversible,
(1.3)
et en utilisant le fait que e B = I + B + B2
2!
+ . . ., on obtient :
e tDF(X 0)
= e tPAP −1 ,
= I + tPAP −1 + t2 PA 2 P −1
+ . . . ,
[
2! ]
= P I + tA + (tA)2 + . . . P −1 ,
2!
= Pe tA P −1 .
(1.4)
Si nous supposons ( que nous ) sommes en présence d’un système à un seul degré de liberté,
δx0
nous posons : δX 0 = . Alors avec la définition des exposants de Lyapunov à temps fini :
δẋ 0
196
λ t = 1 ( ) (
)
||X(t)||
t ln = 1 ||X 0 || t ln ||e tDF(X0) δX 0 ||
= g(t, δx 0 , δẋ 0 ) , (1.5)
||δX 0 ||

1.2. Systèmes à un degré de liberté, du deuxième ordre
où t doit être positif. Alors, avec les multiplicateurs de Lagrange :
L(t, δx 0 , δẋ 0 ) = g(t, δx 0 , δẋ 0 ) − αt ,
où α est un multiplicateur de Lagrange,
α ≥ 0 .
Avec les multiplicateurs de Lagrange :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎛
∇g(t, δx 0 , δẋ 0 ) − ⎝
α ≥ 0 ,
αt = 0 .
α
0
0
⎞
⎠ = 0 ,
Donc deux situations existent :
⎧
α = 0, t quelconque
֒→ ∂g
∂t (t, δx 0, δẋ 0 ) = ∂g (t, δx 0 , δẋ 0 ) = ∂g (t, δx 0 , δẋ 0 ) = 0 ,
∂δx 0 ∂δẋ 0
⎪⎨ t = 0, α quelconque
֒→ ∂g
∂t (0, δx 0, δẋ 0 ) = α ≥ 0 ,
(1.6)
(1.7)
(1.8)
⎪⎩
֒→
∂g
∂δx 0
(0, δx 0 , δẋ 0 ) = ∂g
∂δẋ 0
(0, δx 0 , δẋ 0 ) = 0 .
1.2.2 Pour l’oscillateur de Duffing
Etude théorique
Nous étudions le système :
ẍ + aẋ + bx + cx 3 = 0 , (1.9)
que nous réécrivons sous la forme :
{
ẋ1 = x 2 ,
ẋ 2 = −ax 2 − bx 1 − cx 3 1 . (1.10)
(
x1
)
On pose X = . Alors ce système dynamique peut s’écrire sous la forme Ẋ = F(X). Donc
x 2
pour des petites perturbations δX 0 :
δẊ = DF(X 0)δX 0 , (1.11)
[
]
0 1
où : DF(X 0 ) =
−b − 3cx 2 . (1.12)
1 −a
Pour cette matrice DF(X 0 ), trois cas peuvent se présenter :
197

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
Lorsque a 2 > 4(b + 3cx 2 1 ) DF(X 0) a deux valeurs propres réelles :
χ 1,2 = − a 2 ± 1 √
a
2
2 − 4(b + 3cx 2 1 ) . (1.13)
( ) ( )
1 1
Les vecteurs propres associés sont : et . Les matrices de passage peuvent alors
χ 1 χ 2
être choisies :
P =
[ ] 1 1
χ 1 χ 2
Posons : α = − a 2 et β = 1 2
exprimée en fonction du temps :
δX(t) = eαt
β
[ ]
et P −1 1 χ2 −1
=
. (1.14)
χ 2 − χ 1 −χ 1 1
√
a 2 − 4(b + 3cx 2 1 ). Alors, la divergence de trajectoire peut être
[ −α sinh(βt) + β cosh(βt) sinh(βt)
(
β 2 − α 2) sinh(βt) α sinh(βt) + β cosh(βt)
Lorsque a 2 = 4(b + 3cx 2 1 ) DF(X 0) a une valeur propre double :
]
δX 0 . (1.15)
χ = − a 2 . (1.16)
⎡ ⎤
L’espace propre associé est de dimension 1. La matrice de Jordan associé est ⎣ −a 1
2
0 − a ⎦.
⎡ ⎤
2
Nous posons donc ici : A = ⎣ −a 1
2
0 − a ⎦.
⎡ 2
a 2 ⎤ ⎡
En particulier, on a : A 2 ⎢ −a
= ⎣ 4 ⎥
a 2 ⎦, A 3 ⎢ − a3 3a 2 ⎤
= ⎣ 8 4 ⎥
⎦, ...
0
0 − a3
4
8
Avec des notations évidentes, nous pouvons calculer :
⎧ (
A n 11 = − a )
A11 n−1 + 0 ,
2 (
⎪⎨ A n 12 = A11 n−1 + − a )
A12 n−1 ,
( 2
A n 21 = − a )
(1.17)
A21 n−1 + 0 ,
2 (
⎪⎩ A n 22 = A21 n−1 + − a )
A22 n−1 .
2
Nous résolvons { immédiatement ( :
A n 21 = − a )
A
–
21
n−1
2 donc :
A 1 21 = 0 ,
⇒ ∀i ∈ N, A i 21 = 0 . (1.18)
198

–
–
–
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
{
(
A n 11 = − a )
A11
n−1
2
A 1 11 = − a 2 , donc :
(
A n 22 = − a )
A22
n−1
2
A 1 22 = − a 2 , donc :
A n 12
= A n−1
A 1 12 = 1 ,
11 +
(
− a )
A12
n−1
2
1.2. Systèmes à un degré de liberté, du deuxième ordre
⇒ ∀i ∈ N, A i 11 =
⇒ ∀i ∈ N, A i 22 =
donc :
(
− a 2) i
. (1.19)
(
− a 2) i
. (1.20)
(
⇒ ∀i ∈ N, A n 12 = i − a i−1
. (1.21)
2)
Ainsi avec : DF(X 0 ) = PAP −1 : e tDF(X 0) = Pe tA P −1 ,
avec :
avec e tA = I + tA + t2
2! A2 + ....
[ (
e
Donc dans notre cas ici : e tA tA )
= ( 11
e
tA ) 21
(
e
tA )
( 12
e
tA ) 22
(
e
tA ) = ( e tA) 11 22 ,
= 1 + . . . + tn (
− a n
+ . . . ,
n! 2)
n∑
(
1
= lim − at ) n
= e −at 2 ,
n→+∞ n! 2
i=0
(
e
tA ) = t + (−a) t2 (−
12 2! + . . . + n a ) n−1 t
n
2 n! + . . . ,
n∑ t i
= lim
(−
n→+∞ i! i a ) i−1
n∑
= lim
2
t 1
n→+∞ (i − 1)!
i=1
]
,
i=1
(
− ta 2
) i−1
,
(1.22)
Donc : e tA =
= te −ta 2 ,
(
e
tA ) 21
= 0 .
⎡
⎢
⎣
e −ta 2 te −ta 2
⎥
⎦ . Avec la formule δX(t) = PetA P −1 , l’évolution de la diver-
0 e −ta 2
gence peut être exprimée analytiquement.
⎤
199

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
Lorsque a 2 = 4(b + 3cx 2 1 )
Remarque 1.2.1 Nous n’étudions pas ce cas plus avant car il n’est réalisé que dans un espace
de dimension 0 (lorsque les valeurs numériques des paramètres a, b et c sont fixés).
Lorsque a 2 < 4(b + 3cx 2 1 ) DF(X 0) a deux valeurs propres complexes conjuguées :
χ 1,2 = − a 2 ± i 2
√
4(b + 3cx 2 1 ) − a2 , (1.23)
où i est tel que √ −1 = i. Ici encore, nous posons : α = − a 2 et γ = 1 2
ce cas, la divergence varie au cours du temps de la forme :
[
δX(t) = eαt −α sin(γt) + γ cos(γt) sin(γt)
γ −(α 2 + γ 2 )sin(γt) α sin(γt) + γ cos(γt)
Pseudo-exposant de Lyapunov en temps fini, résultats numériques
√
4(b + 3cx 2 1 ) − a2 . Dans
]
δX 0 . (1.24)
Nous étudions donc ici le pseudo-exposant de Lyapunov en temps fini λ t = 1 ||δX(t)||
ln
t ||δX 0 || .
Pour simplifier le problème et pour pouvoir mener à bien nos calculs analytiques, nous écrivons
la déviation initiale sous la forme :
( ) δx0
δX 0 = =
δẋ 0
( ρ cos(θ)
ρ sin(θ)
)
. (1.25)
Ceci ne diminue pas la portée de nos calculs.
La divergence initiale se situe donc dans un cercle de rayon ρ. Ceci permet de ne tenir compte
que de l’angle θ.
En effet, si δX(t) =
(
f1 (t, θ)
f 2 (t, θ)
)
δX 0 , alors λ t = 1 2t ln[ f 2 1(t, θ)cos 2 (θ) + f 2 2(t, θ)sin 2 (θ) ] .
Etude du pseudo-exposant de Lyapunov en temps fini dans le cas linéaire
Dans ce cas, c = 0.
Nous étudions tout d’abord ce cas pour montrer que le phénomène que nous rapportons ici n’est
pas dû à l’erreur réalisée par l’approximation [ ] de la divergence au premier ordre.
0 1
En effet, dans ce cas : δX(t) = δX
−b −a 0 .
Nous comparons l’exposant de Lyapunov tel qu’il est estimé habituellement (avec les valeurs
propres de la jacobienne) et le maximum de λ t dans ce tableau 1.1. Nous donnons également
l’instant t max et l’angle θ max de la perturbation pour lesquels ce maximum de l’exposant de
Lyapunov transitoire est atteint.
200

1.2. Systèmes à un degré de liberté, du deuxième ordre
Paramètres λ t max θ max Maximum de λ t
Déterminant positif :
a = 0.25, b = 0.01 −0.05 ; −0.2 8.9971 −4.9597 0.130924
Déterminant négatif :
a = 0.25, b = 1.00 −0.125 6.332 −9.4247 −0.125
Tab. 1.1 – Maximum de la variable λ t en fonction de différentes combinaisons de paramètres.
Nous observons que λ t peut être supérieur à λ. Si nous estimons l’exposant de Lyapunov par
l’algorithme de Wolf au cours du temps (voir figure 1.1), nous observons que le résultat consigné
dans le tableau 1.1 est vérifié : le pseudo-exposant en temps fini peut être supérieur à l’exposant
de Lyapunov.
0
0
−0.05
−0.05
−0.1
−0.1
−0.15
−0.15
−0.2
−0.2
−0.25
−0.25
−0.3
−0.3
−0.35
−0.35
−0.4
0 20 40 60 80 100 120
t
(a) a = 0.25 et b = 0.01
−0.4
0 20 40 60 80 100 120
t
(b) a = 0.25 et b = 1.00
Fig. 1.1 – Exposants de Lyapunov calculés avec l’algorithme de Wolf pour le système de l’équation
(1.9) avec c = 0, et différentes valeurs numériques pour a et b.
Etude de l’exposant de Lyapunov en temps fini dans le cas non-linéaire
Nous réalisons les mêmes calculs pour c ≠ 0. Par exemple, en utilisant a = 0.15, b = −1 et
c = 1 (cas de la section 1.2.2), nous montrons que le maximum de λ (t) peut être supérieur à
l’exposant de Lyapunov tel qu’il est utilisé habituellement.
Tout d’abord, en utilisant l’algorithme de Wolf, les exposants de Lyapunov en temps infini
convergent assez lentement (Figure 1.2). Leurs valeurs numériques sont stabilisées à t ≈ 80s,
après des oscillations conséquentes.
201

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0 20 40 60 80 100 120
t
Fig. 1.2 – Exposants de Lyapunov calculés avec l’algorithme de Wolf pour le système de l’équation
1.9 avec a = 0.15, b = −1.0 et c = 1.0 en fonction du temps.
Si nous cherchons le maximum de λ t = 1 ||δX(t)||
ln , nous trouvons les valeurs de la figure
t ||δX 0 ||
[ 1.3, avec ] les[ temps et angles ] correspondants. Ainsi, par exemple pour la condition initiale δX 0 =
δx0 ρ cos(θ)
= avec θ = −9.4247
δẋ 0 ρ sin(θ)
◦ et pour t = 6.4406s, on calcule λ (t) = 1 ||δX(t)||
lg =
t ||δX 0 ||
0.252718.
Ce comportement peut être illustré par les deux graphes de la figure 1.4 : il est évident que
entre t = 0 et t = 20s, la divergence entre les deux trajectoires est de valeur finie non nulle alors
qu’elle tend vers 0 en temps infini.
Remarque 1.2.2 Nous utilisons cette forme de la condition initiale pour simplifier les calculs.
Son effet est de limiter la recherche de maximum du pseudo-exposant de Lyapunov à l’ensemble
de conditions initiales constitué par le cercle de rayon ρ autour de l’origine. En faisant varier ρ
et θ, tous les points du plan de phase peuvent être retrouvés.
Pourtant, il est intéressant de remarquer qu’avec cette forme de la condition initaile et avec
ces calculs, le paramètre ρ n’intervient plus. La seule donnée qui intervient est l’angle entre la
position et la vitesse initiales.
1.2.3 Pour l’oscillateur de Van der Pol
L’équation générale d’un oscillateur de Van Der Pol s’écrit :
ẍ − ǫw 0 (1 − x 2 )ẋ + w 2 0x = 0 , (1.26)
ce que nous utilisons sous la forme :
{ ẋ = y ,
ẏ = ǫw 0 (1 − x 2 )y − w 2 0 x . (1.27)
202

1.2. Systèmes à un degré de liberté, du deuxième ordre
3
Exposant de Lyapunov transitoire en fonction de la condition initiale
180
Instant du maximum en fonction de la condition initiale
160
2
140
1
120
0
1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
100
80
–1
60
40
–2
20
–3
0
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
Angle du maximum en fonction de la condition initiale
80
60
40
20
0
1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
–20
–40
Fig. 1.3 – Maximum de λ t = 1 ||δX(t)||
ln en fonction de la condition initiale en x 1 et instants
t ||δX 0 ||
et angles correspondants. Ici les paramètres sont fixés : a = 0.15, b = −1.0 et c = 1.0.
2
1.8
x
1
1.6
x
1.4
20 40 60 80 100
t
1.2
–1
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
t
Fig. 1.4 – Position x du système de l’équation (1.9) en fonction du temps avec a = 0.15,
b = −1, c = 1. La condition initiale choisie est x 0 = ẋ 0 = 1. La perturbation est égale à
(δx 0 , δẋ 0 ) = (cos(−10.978), sin(−10.978)).
203

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
Certaines dynamiques de ce système sont présentés sur les figures 1.5 et 1.6.
Analyse théorique
La jacobienne du mouvement s’écrit :
[
J =
0 1
−2ǫw 0 xy − w 2 0 ǫw 0 (1 − x 2 )
]
. (1.28)
Les valeurs propres de cette matrice sont déterminées en fonction du déterminant :
∆ = ǫ 2 w 2 0(1 − x 2 ) 2 − 8ǫw 0 xy + 4w 2 0 . (1.29)
Nous limitons notre étude aux seuls cas ∆ < 0 et ∆ > 0, voir remarque 1.2.1, page 200.
Si le déterminant est négatif, soit ǫ 2 w0 2(1 −x2 ) 2 −8ǫw 0 xy +4w0 2 < 0 : Les valeurs propres
sont :
λ 1,2 = ǫw 0(1 − x 2 ) ± i √ −ǫ 2 w0 2(1 − x2 ) 2 + 8ǫw 0 xy − 4w0
2
2
= α ± γ ,
où : α = ǫw 0(1 − x 2 )
, γ = i√ −ǫ 2 w0 2(1 − x2 ) 2 + 8ǫw 0 xy − 4w0
2
2
2
, (1.30)
. (1.31)
L’approximation de l’exposant de Lyapunov telle qu’elle est réalisée habituellement donne :
λ = ǫw 0(1 − x 2 )
2
. (1.32)
Pour notre analyse, nous écrivons :
δX(t) = e tDF(X0) δX 0 = Pe tA P −1 δX 0 ,
où
[
:
]
λ1 0
A = ,
0 λ 2
P =
[ ] 1 1
, P
λ 1 λ −1 =
2
[
1 λ2 −1
λ 2 − λ 1 −λ 1 1
]
.
Comme dans le cas de l’oscillateur de Duffing, nous avons alors :
δX(t) = eαt
γ
[ −α sin(γt) + γ cos(γt) sin(γt)
−(α 2 + γ 2 )sin(γt) α sin(γt) + γ cos(γt)
]
δX 0 . (1.33)
204

1.2. Systèmes à un degré de liberté, du deuxième ordre
Si le déterminant est positif, soit ǫ 2 w0 2(1 − x2 ) 2 − 8ǫw 0 xy + 4w0 2
valeurs propres sont toutes deux réelles :
> 0 : Dans ce cas, les
λ 1,2 = ǫw 0(1 − x 2 ) ± √ ǫ 2 w0 2(1 − x2 ) 2 − 8ǫw 0 xy + 4w0
2
2
= α ± β ,
où : α = ǫw √
0(1 − x 2 ) ǫ
, β = 2 w0 2(1 − x2 ) 2 − 8ǫw 0 xy + 4w0
2
2
2
La divergence de trajectoire s’écrit :
δX(t) = eαt
β
Résultats numériques
[ −α sinh(βt) + β cosh(βt) sinh(βt)
(β 2 − α 2 )sinh(βt) α sinh(βt) + β cosh(βt)
, (1.34)
. (1.35)
]
δX 0 . (1.36)
Nous fixons les paramètres ǫ et w 0 égaux à : ǫ = 2.1 et w 0 = 1.0. Le système étudié est alors
chaotique. En particulier, pour ǫ ≠ 0, le système possède un cercle limite (Figures 1.5, 1.6 et
1.7).
2
1
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t
–1
–2
Fig. 1.5 – Trajectoire de l’oscillateur de Van Der Pol de l’équation (1.26) avec ǫ = 2.1, w 0 = 1.0,
x 0 = 0.134669, y 0 = −1.025543 pour t variant de 0 à 20s.
Nous calculons numériquement [ ] le maximum de la divergence en utilisant une divergence
ρ0 cos(θ)
initiale égale à δX 0 = .
ρ 0 sin(θ)
Par exemple, nous fixons certains paramètres : ǫ = 2.1, w 0 = 1.0 et une condition initiale
x 0 = 1.0. Nous faisons varier l’autre condition initiale y 0 de 0.24 à 1.0. Les maximums de
divergence obtenus sont représentés sur la figure 1.8.
205

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
4
2
2
1
–2 –1 1 2
–2 –1 1 2
–2
–1
–4
–2
(a) ǫ = 2.1
(b) ǫ = 0.1
1
0.5
–1 –0.5 0
0.5 1
–0.5
–1
(c) ǫ = 0.0
Fig. 1.6 – Diagrammes de phase de l’oscillateur de Van Der Pol de l’équation (1.26) pour
w 0 = 1.0, x 0 = 0.134669, y 0 = −1.025543, t variant de 0 à 20s, pour différentes valeurs du
paramètre ǫ.
206

1.2. Systèmes à un degré de liberté, du deuxième ordre
4
4
2
2
–2 –1 1 2
–2 –1 0
1 2
–2
–2
–4
–4
(a) x 0 = 0.134669 et y 0 = −1.025543
(b) x 0 = −0.134669 et y 0 = −1.025543
4
2
–2 –1 0
1 2
–2
–4
(c) x 0 = 0.0001 et y 0 = 0.0001
Fig. 1.7 – Diagrammes de phase de l’oscillateur de Van Der Pol de l’équation (1.26) pour ǫ = 2.1,
w 0 = 1.0, t variant de 0 à 20s, pour différentes conditions initiales.
207

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
Exposant de Lyapunov transitoire en fonction de la condition initiale
Instant du maximum en fonction de la condition initiale
0.8
0.6
0
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.4
0.2
–100
0
–0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
–200
–0.4
–0.6
–300
–0.8
–400
Angle du maximum en fonction de la condition initiale
0
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
–20
–40
–60
–80
–100
–120
Fig. 1.8 – Maximum de λ t = 1 ( ) ||δX(t)||
t ln , instants et angles correspondants en fonction
||δX 0 ||
de la condition initiale y 0 . Les paramètres sont fixés : ǫ = 2.1, w 0 = 1.0, x 0 = 1.0. La condition
initiale en y varie de 0.24 à 1.0.
208

1.3. Systèmes à trois degrés de liberté, du premier ordre
Ainsi par exemple, pour ces paramètres (ǫ = 2.1, w 0 = 1.0, x 0 = 1.0) et pour y 0 = 0.831,
on obtient λ t = 0.3044 à t = 2.9912s et θ = −15.7079 ◦ . Le calcul numérique des exposants
de Lyapunov via l’algorithme de Wolf donne le résultat de la figure 1.9 : après oscillations, les
exposants de Lyapunov se stabilisent autour de −3.5 et 0.
2
1
0
−1
−2
−3
−4
0 20 40 60 80 100 120
t
Fig. 1.9 – Exposants de Lyapunov calculés avec l’algorithme de Wolf pour le système de l’équation
(1.26) avec ǫ = 2.1 et w 0 = 1.0.
La conclusion est donc ici, pour le système de Van Der Pol, de même nature que pour
l’oscillateur de type Duffing. Même pour un système chaotique comme celui-ci, où l’exposant de
Lyapunov est strictement positif, il peut exister un ensemble de conditions initiales et d’instants
tels que les pseudo-exposants en temps fini soient supérieurs à l’exposant de Lyapunov.
1.3 Systèmes à trois degrés de liberté, du premier ordre
Nous nous intéressons ici aux systèmes dynamiques autonomes du premier ordre, à trois
⎛degrés ⎞de liberté. Nous supposons donc qu’il existe F suffisamment régulière qu’en notant X =
x
⎝ y ⎠ les coordonnées d’espace, le comportement du système peut s’écrire :
z
⎛
où X = ⎝
x
y
z
⎞
Ẋ = F(x) ,
⎠ et F est suffisamment régulière.
209

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
1.3.1 Etude théorique des exposants à court terme
⎛ ⎞
δx 0
Alors avec δX 0 = ⎝ δy 0
⎠ et δẊ = DF(X 0, t)δX 0 , on cherche le maximum en fonction du
δz 0
temps et du vecteur de divergence initiale de l’expression suivante :
λ t = 1 ( ) ||δX(t)||
t ln = g(t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) , (1.1)
||δX 0 ||
où t doit être positif.
Si nous utilisons les multiplicateurs de Lagrange :
L(t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) = g(t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) − αt , (1.2)
où
α est un multiplicateur de Lagrange,
∣ α ≥ 0 .
Alors :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎛
∇g(t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) − ⎜
⎝
α ≥ 0 ,
αt = 0 .
α
0
0
0
⎞
⎟
⎠ = 0 ,
(1.3)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Donc deux situations existent :
α = 0 , t quelconque ,
֒→ ∂g
∂t (t, δx 0, δy 0 , δz 0 ) = ∂g (t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) = ∂g (t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) = ∂g (t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) = 0 ,
∂δx 0 ∂δy 0 ∂δz 0
t = 0 , α quelconque ,
֒→ ∂g
∂t (t, δx 0, δy 0 , δz 0 ) = α ≥ 0 ,
֒→
∂g
∂δx 0
(t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) = ∂g
∂δy 0
(t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) = ∂g
∂δz 0
(t, δx 0 , δy 0 , δz 0 ) = 0 .
1.3.2 Pour le système de Lorenz
Le système de Lorenz est du premier ordre, présente trois degrés de liberté et son équation
générale s’écrit :
⎧
⎨
⎩
ẋ = σ (y − x) ,
ẏ = ρx − y − xz ,
ż = xy − bz .
(1.4)
210

1.3. Systèmes à trois degrés de liberté, du premier ordre
Analyse théorique
La jacobienne du mouvement en est déduite :
⎡
⎤
−σ σ 0
J = ⎣ ρ − z −1 −x ⎦ . (1.5)
y x −b
Nous utilisons les paramètres suivants, donnant lieu à un système chaotique et utilisés fréquemment,
notamment en météorologie :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
σ = 10 ,
ρ = 28 ,
b = 8 3 . (1.6)
Le système (1.4) avec ces valeurs numériques est alors chaotique. En fixant les conditions initiales
à (x 0 , y 0 , z 0 ) = (−0.134669, −1.025543, 0.3546) par exemple, nous obtenons les trajectoires
suivantes pour x et y (Figure 1.10).
15
10
40
5
0
–5
t
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
30
20
–10
–15
10
–20
(a) x
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
t
(b) z
Fig. 1.10 – Trajectoires des coordonnées x et z pour le système de l’équation (1.4) où σ = 10,
ρ = 28, b = 8 3 . Les conditions initiales sont égales à (x 0, y 0 , z 0 ) = (−0.134669, −1.025543, 0.3546).
Pour apercevoir ce comportement chaotique, nous observons les diagrammes de phase qui
prennent la forme très connue de “papillon” (Figure 1.11).
Comme pour les systèmes dynamiques étudiés précédemment, nous observons qu’une infime
divergence de la condition initiale peut entraîner des trajectoires très différentes (Figures 1.12),
ce qui est caractéristique du comportement chaotique de ce système avec ces paramètres.
On détermine les valeurs propres de la jacobienne. Celles-ci sont solution de :
P(λ) = −λ 3 + λ 2 (−σ − 1 − b) + λ(−σb − σ − b + σρ − x 2 − σz) + (−σb − σx 2 + σρb − σzb − σxy) .(1.7)
211

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
20
40
10
–20 –15 –10 –5 5 10 15
0
30
20
–10
–20
10
–20 –15 –10 –5 0 5 10 15
(a) x − y
(b) x − z
40
30
20
10
–20 –10 0
10 20
(c) y − z
Fig. 1.11 – Diagrammes de phase pour le système de l’équation (1.4) où σ = 10, ρ = 28, b = 8 3 .
Les conditions initiales sont prises égales à (x 0 , y 0 , z 0 ) = (−0.134669, −1.025543, 0.3546). Pour
ces diagrammes de phase, le temps varie de t = 0s à t = 200s.
212

1.3. Systèmes à trois degrés de liberté, du premier ordre
15
20
x
10
y
10
5
0
t
2 4 6 8 10 12 14
t
2 4 6 8 10 12 14
–5
–10
–10
–15
–20
(a) x
(b) y
40
30
z
20
10
0 2 4 6 8 10 12 14
t
(c) z
Fig. 1.12 – Trajectoires en x, y et z pour le système de l’équation (1.4) où σ = 10, ρ = 28,
b = 8 3 . Les conditions initiales sont (x 0, y 0 , z 0 ) = (10, 10, 10) (courbe de couleur foncée) et
(x 0 , y 0 , z 0 ) = (10, 10.01, 10) (courbe de couleur claire).
213

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
Donc avec σ = 10, ρ = 28, b = 8 , les valeurs propres sont solutions de :
3
( )
722
P(λ) = −λ 3 − 13λ 2 + λ
3 − x2 − 10z +
(720 − 10x 2 − 80 )
3 z − 10xy
. (1.8)
On souhaite que la jacobienne soit diagonalisable. Pour cela, on cherche une condition suffisante
pour que J admette ⎧ trois valeurs propres différentes.
A = −1 ,
⎪⎨ B = −13 ,
⎫⎪ ⎬
En notant : C = 722
3 − x2 − 10z , , on a alors :
⎪⎩ D = 720 − 10x 2 − 80 3 z − 10xy , ⎪ ⎭
P(λ) = Aλ 3 + Bλ 2 + Cλ + D . (1.9)
On pose : λ = z − B , on obtient :
3A
P(z) = z 3 + pz + q où
⎧
⎪⎨
⎪⎩
p = − B2
3A 2 + C A = −297 + x2 + 10z ,
q =
B ( 2B
2
27A A 2 − 9C A
)
(1.10)
+ D A − 13112 + 17 27 3 x2 − 50 3 z + 10xy .
Soit ∆ = q 2 + 4 27 p3 .
On cherche ∆ > 0.
Donc :
[
1 13112
+ 17 4 27 3 x2 − 50 ] 2
3 z + 10xy + 1 [
−297 + x 2 + 10z ] 3
> 0 . (1.11)
27
Alors : z = u + v où u 3 = −q + √ ∆
, v 3 = −q − √ ∆
.
2
2
Il existe trois solutions possibles :
⎧ (
−q + √ ) 1/3 (
∆ −q − √ ) 1/3
∆
z 1 =
+ ,
2
2
⎪⎨
(
−q + √ ) 1/3 ( ) (
∆ 2iπ
z 2 =
exp +
2
3
(
−q + √ ) 1/3 ( ) (
∆ 4iπ
⎪⎩ z 3 =
exp +
2
3
214
−q − √ ) 1/3
∆
exp
2
) 1/3
exp
−q − √ ∆
2
( ) 4iπ
3
( ) 2iπ
3
,
.
(1.12)

1.3. Systèmes à trois degrés de liberté, du premier ordre
Donc dans ce cas, les trois valeurs propres sont :
⎧ (
−q + √ ) 1/3 (
∆ −q − √ ) 1/3
∆
λ 1 =
+ − B 2
2 3A ,
⎪⎨
(
−q + √ ) 1/3 ( ) (
∆ 2iπ −q − √ ) 1/3 ( )
∆ 4iπ
λ 2 =
exp +
exp − B 2
3 2
3 3A , (1.13)
(
−q + √ ) 1/3 ( ) (
∆ 4iπ −q − √ ) 1/3 ( )
∆ 2iπ
⎪⎩ λ 3 =
exp +
exp − B 2
3 2
3 3A .
Il est alors possible d’écrire la matrice de passage et ainsi d’exprimer littéralement la divergence
de trajectoire. En effet, avec l’expression de la matrice de passage (et de son inverse) :
⎡
xσ xσ xσ
⎤
P = ⎣ x(σ + λ 1 ) x(σ + λ 2 ) x(σ + λ 3 ) ⎦ ,(1.14)
(ρ − z)σ + (1 − λ 1 )(σ + λ 1 ) (ρ − z)σ + (1 − λ 2 )(σ + λ 2 ) (ρ − z)σ + (1 − λ 3 )(σ + λ 3 )
la divergence de trajectoire peut être évaluée analytiquement. Nous notons ici :
⎡ ⎤
a 1 b 1 c 1
δX(t) = ⎣ d 1 e 1 f 1
⎦δX 0 . (1.15)
g 1 h 1 f 1
⎛
Donc en posant δX 0 = ⎝
temps fini :
⎞
δx 0
δy 0
⎠, nous pouvons estimer le pseudo-exposant de Lyapunov en
δz 0
λ t = 1 2t ln [(
R(a1 ) 2 + R(d 1 ) 2 + R(g 1 ) 2 + I(a 1 ) 2 + I(d 1 ) 2 + I(g 1 ) 2) (δx 0 ) 2 + . . .
δx 2 0 + δy2 0 + δz2 0
Exposant de Lyapunov en temps fini, résultats numériques
]
. (1.16)
Même en fixant les conditions initiales x, y et z, les deux problèmes (1.4) ne peuvent pas
être résolus. Nous fixons donc en plus un paramètre de la variation : t, δx 0 , δy 0 ou δz 0 .
Par exemple, en fixant les paramètres (σ = 10.0, ρ = 28.0, b = 8 ), les conditions initiales
3
(x = 10.0, y = 10.0, z = −12.0) et une direction de la divergence (δx 0 = 0.1284), la solution
de ce système peut être trouvée. On trouve alors un maximum égal à λ t = 5.856619878 pour
t = 1.7368, δy 0 = 0.22829 et δz 0 = 0.9517. Or cette valeur de λ t est bien supérieure à celle de
l’exposant de Lyapunov, qu’il soit estimé à l’aide des valeurs propres de la jacobienne ou avec
l’algorithme de Wolf ([115]).
En effet, l’exposant de Lyapunov, tel qu’il est défini habituellement peut être calculé via
l’algorithme de Wolf (Figure 1.13), il est strictement positif.
215

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
5
1.2
0
1
0.8
−5
0.6
λ
λ
−10
0.4
0.2
−15
0
−20
0 500 1000 1500 2000
t
0 200 400 600 800 1000
t
(a) t = 0 − 2000s, λ 1,2,3 (b) t = 0 − 1000s, λ 1,2
−0.2
Fig. 1.13 – Exposants de Lyapunov du système de l’équation (1.4) avec σ = 10.0, ρ = 28.0, b = 8 3
en fonction du temps. On observe un exposant de Lyapunov de valeur numérique strictement
positive à 1, ce qui signifie que le comportement du système est bien chaotique.
Sur cette figure, nous observons de façon très nette que l’exposant de Lyapunov ne se stabilise
qu’au bout d’un certain temps. Ce comportement est également visible en fixant (par exemple)
x et y (x = y = 10.0) et en variant la valeur numérique de z. Comme le système (1.4) ne peut
être résolu directement par Maple, nous fixons de plus δx 0 = 10.0. Nous faisons alors l’hypothèse
que dans ce cas :
Nous obtenons dans ce cas les résultats suivants (Figure 1.14).
max
δx 0
λ t ≥ max
δx 0 =10.0 λ t . (1.17)
Dans ce cas, la divergence initiale a été choisie importante, mais ce même résultat peut être
obtenu pour des divergences faibles, voire très faibles (Figure 1.15).
Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés à des systèmes dynamiques définis par une
équation différentielle. Nous nous tournons maintenant vers des systèmes à temps discret.
1.4 Pour le système du pompage énergétique
Nous nous intéressons également rapidement au système dynamique suivant :
{ ẍ + a1 ẋ + k 1 x + c 1 x 3 + γ(x − y) = 0 ,
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + γ(y − x) = 0 .
(1.1)
216

1.4. Pour le système du pompage énergétique
Maximum de l’exposant en fonction de la condition initiale
Temps du maximum en fonction de la condition initiale
5
8
0
–11 –10 –9 –8 –7 –6
6
–5
–10
4
–15
2
–20
0
–12 –11 –10 –9 –8 –7 –6
(a) Maximum
(b) Temps
Fig. 1.14 – Maximum du pseudo-exposant de Lyapunov transitoire et temps où il est atteint
en fonction de la condition initiale z, du système (1.4) avec σ = 10.0, ρ = 28.0, b = 8 3 . Les
conditions initiales sont fixées à x = 10.0, y = 10.0. De plus, une direction de la divergence a
été fixée : δx 0 = 10.0.
que nous réécrivons sous la forme :
⎧
ẋ 1 = x 2 ,
⎪⎨
ẋ 2 = −a 1 x 2 − k 1 x 1 − c 1 x 3 1 − γ(x 1 − x 3 ) ,
ẋ ⎪⎩ 3 = x 4 ,
ẋ 4 = −a 2 x 4 − k 2 x 3 − γ(x 3 − x 1 ) .
⎢
⎣
Donc en écrivant Ẋ = AX avec X = ⎡
⎤
x 1
x 2
⎥
x 3
x 4
⎡
⎦ et A = F(X) = ⎢
⎣
les variations des divergences s’écrivent (voir section suivante 1.5, page 219) :
(1.2)
x 2
−a 1 x 2 − k 1 x 1 − c 1 x 3 1 − γ(x 1 − x 3 )
x 4
−a 2 x 4 − k 2 x 3 − γ(x 3 − x 1 )
⎤
⎥
⎦ ,
δ 1 X =
δ 2 X =
avec
∂F
∂X δ1 X ,
∂F
∂X δ2 X + ∂2 F
∂X 2(δ1 X) 2 ,
. . . ,
⎡
⎤
0 1 0 0
∂F
∂X = ⎢ −k 1 − γ − 3c 1 x 2 1 −a 1 γ 0
⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦ , (1.3)
⎡
γ
⎤
0 −k 2 − γ −a 2
0 0 0 0
∂ 2 F
∂X 2 = ⎢ −6c 1 x 1 0 0 0
⎥
⎣ 0 0 0 0 ⎦ .
0 0 0 0
217

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
5
Maximum de l’exposant en fonction de la condition initiale
7
Temps du maximum en fonction de la condition initiale
6
4
5
3
4
2
3
1
2
1
0
–11 –10 –9 –8 –7 –6
0
–11 –10 –9 –8 –7 –6
(a) λ t, δx 0 = 0.0000001
(b) t, δx 0 = 0.0000001
6
Maximum de l’exposant en fonction de la condition initiale
8
Temps du maximum en fonction de la condition initiale
4
6
2
4
0
–11 –10 –9 –8 –7 –6
2
–2
0
–11 –10 –9 –8 –7 –6
(c) λ t, δx 0 = 0.001
(d) t, δx 0 = 0.001
6
Maximum de l’exposant en fonction de la condition initiale
8
Temps du maximum en fonction de la condition initiale
5
4
6
3
2
4
1
2
0
–11 –10 –9 –8 –7 –6
–1
0
–11 –10 –9 –8 –7 –6
(e) λ t, δx 0 = 1.0
(f) t, δx 0 = 1.0
Fig. 1.15 – Maximum du pseudo-exposant de Lyapunov et temps où il atteint en fonction de
la condition initiale z, du système (1.4) avec σ = 10.0, ρ = 28.0, b = 8 . Les conditions initiales
3
sont fixées à x = 10.0, y = 10.0. Une direction de la divergence initiale a été fixée.
218

1.5. Recherche de pseudo-exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs
Les exposants de Lyapunov classiques sont donnés par l’équation du quatrième degré suivante
:
⎧
A 1 = 1 ,
⎪⎨ A 2 = a 1 + a 2 ,
A 1 λ 4 + A 2 λ 3 + A 3 λ 2 + A 4 λ + A 5 = 0 , où A 3 = k 1 + 2γ + 3c 1 x 2 1 + a 1a 2 + k 2 , (1.4)
A ⎪⎩ 4 = (k 1 + γ + 3c 1 x 2 1 )(a 2 + 1) + a 2 (k 2 + γ) ,
A 5 = (k 1 + γ + 3c 1 x 2 1 )k 2 − γ .
Cette équation n’a pas de solution dans le cas général.
Nous utilisons pour la suite les valeurs numériques de [42] :
⎧
⎪⎨
a 1 = 3 40 , k 1 = 0 , c 1 = 3 20 , γ = 1 4 ,
⎪⎩
a 2 = 1 40 , k 2 = 1 .
(1.5)
En prenant x 1

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
0 200 400 600 800 1000
t
(a) Système entier
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
0 200 400 600 800 1000
t
(b) Oscillateur non-linéaire
0
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
−0.1
−0.12
−0.14
−0.16
−0.18
0 200 400 600 800 1000
t
(c) Oscillateur linéaire
Fig. 1.16 – Evolution du pseudo-exposant de Lyapunov du système de l’équation (1.3) avec les
paramètres de l’équation (1.5).
220

1.5. Recherche de pseudo-exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs
Ici encore, pour définir ces exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs, considérons le flot
unidimensionnel :
x n+1 = f(x n ),
où f ∈ C q (x 0 ).
(1.1)
Alors l’exposant de Lyapunov d’ordre supérieur est donné par :
λ (q) 1
(x 0 ) = lim log |x(q)
t→+∞
t |, (1.2)
t
où x 0 est la condition initiale.
Par analogie, nous définissons les pseudo-exposants de Lyapunov en temps fini pour des ordres
supérieurs :
λ(x 0 , t) = 1 t
log |x(q) t |. (1.3)
Pour réaliser ces calculs analytiques, nous utilisons comme précédemment :
δ 1 Ẋ =
δ 2 Ẋ =
δ 3 Ẋ =
δ 4 Ẋ =
∂F
∂X δ1 X, (1.4)
∂F
∂X δ2 X + ∂2 F (
δ 1
∂X 2 X ) 2
, (1.5)
∂F
∂X δ3 X + 3 ∂2 F
∂X 2δ1 Xδ 2 X + ∂3 F (
δ 1
∂X 3 X ) 3
, (1.6)
∂X δ4 X + ∂2 F
[
∂X 2 2δ 1 Xδ 3 + 3 ( δ 2 X ) ] 2
+ 6 ∂3 F (
δ 1
∂X 3 X ) 2
δ 2 X + ∂4 F (
δ 1
∂X 4 X ) 4
. (1.7)
1.5.2 Application à l’oscillateur de Duffing
[ ] [
]
x y
En posant X = et F(X, t) =
y
−ay − bx − cx 3 , l’équation dynamique du système
s’écrit : Ẋ = F(X, t) (voir équation (1.9), page 197).
Alors :
[
]
∂F
∂X = 0 1
−b − 3cx 2 ,
−a
∂ 2 [ ]
F 0 0
∂X 2 =
,
(1.8)
−6cx 0
∂ 3 [ ] [ ]
F 0 0
∂X 3 = et ∂4 F 0 0
−6c 0 ∂X 4 = .
0 0
[
Pour
]
estimer les exposants de Lyapunov jusqu’à l’ordre 4, notons ∀i ∈ {1, ..,4} , δ i X =
xi1
.
x i2
221

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Alors :
[ ]
x11 ˙
x˙
[ 12
]
x21 ˙
x˙
[ 22
]
x31 ˙
x˙
32
=
=
=
[
[
[
0 1
−b − 3cx 2 −a
0 1
−b − 3cx 2 −a
0 1
−b − 3cx 2 −a
] [ ]
x11
,
x
] [ 12
] [
x21 0 0
+
x 22 −6cx 0
] [ ] [
x31
+ 3
x 32
0 0
−6cx 0
][
x11
] 2
,
x
][ 12
] [ ] [
x11 x21
+
x 12 x 22
0 0
−6c 0
] [
x11
x 12
] 3
.
(1.9)
La première de ces équations ci-dessus :
{ [ ] [
x11 ˙
0 1
=
x˙
12 −b − 3cx 2 −a
][
x11
x 12
]
, (1.10)
a déjà été résolue dans la section 1.2.2 (voir page 197).
D’après la valeur de x (condition initiale), on a alors :
⎧ [ ] [ ] [ ]
x11
= eαt −α sinh(βt) + β cosh(βt) sinh(βt) x110
⎪⎨ x 12 β (β 2 − α 2 ,
)sinh(βt) α sinh(βt) + β cosh(βt) x 120
⎪⎩
[
x11
On pose :
x 12
]
= eαt
γ
{ [ ]
x11
x 12
[ −α sin(γt) + γ cos(γt) sin(γt)
−(α 2 + γ 2 )sin(γt) α sin(γt) + γ cos(γt)
[ ] [
x110 A1 (t) A
= A(t) =
2 (t)
x 120 A 3 (t) A 4 (t)
où A(t) aura une expression littérale différente suivant la valeur de x.
La solution de la deuxième équation :
{ [ ]
x21 ˙
x˙
22
=
[
0 1
−b − 3cx 2 −a
][
x21
x 22
]
+
[
0 0
−6cx 0
][
x110
x 120
]
.
(1.11)
] [ ]
x110
, (1.12)
x 120
] [
x11
x 12
] 2
. (1.13)
est la somme de la solution de l’équation homogène et d’une solution particulière.
Puisque l’équation homogène est la même qu’à l’ordre inférieur, la solution s’écrit simplement
:
{ [ ] [
]
x21
A 1 (t)x 210 + A 2 (t)x 220
=
x 22 A 3 (t) + A 4 (t)x 220 − 6cx(A 1 (t)x 110 + A 2 (t)x 120 ) 2 . (1.14)
Le pseudo-exposant de Lyapunov du deuxième ordre s’écrit alors :
(1.15)
222
λ (2)
(t) = 1 2t ln ||x2 21 + x2 22 ||
||x 2 210 + . (1.16)
x2 220 ||

1.5. Recherche de pseudo-exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs
On maximise λ (2)
(t) (t, x 110, x 120 , x 210 , x 220 ).
Avec les coefficients de Lagrange, nous pouvons écrire :
L(t, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 ) = g(t, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 ) − αt , (1.17)
avec α ≥ 0 .
On cherche à résoudre :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎛
∇g(t, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 ) −
⎜
⎝
αt = 0 ,
α ≥ 0 .
α
0
0
0
0
⎞
⎟
⎠ = 0 ,
(1.18)
Donc deux cas existent :
– α ≠ 0, t = 0 :
→
→
∂g
∂t (0, x 110, x 120 , x 210 , x 220 ) = α ≥ 0 ,
∂g
∂x 110
(0, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 ) =
= ∂g
∂x 210
(0, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 ) =
∂g
∂x 120
(0, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 )
∂g
∂x 220
(0, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 ) = 0 .
(1.19)
– α = 0, t quelconque :
∂g
∂t (t, x 110, x 120 , x 210 , x 220 ) = 0 ,
= ∂g
∂x 110
(t, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 )
= ∂g
∂x 120
(t, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 )
(1.20)
= ∂g
∂x 210
(t, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 )
= ∂g
∂x 220
(t, x 110 , x 120 , x 210 , x 220 ) .
223

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
Nous décidons ici de représenter la courbe de variation de λ (2) (t, x 0 ) en fonction du temps,
et en fixant le vecteur de conditions initiales x 0 et les quatre divergences initiales x 110 , x 120 , x 210
et x 220 (Figure 1.17). Nous voyons donc que ce pseudo-exposant de Lyapunov du second ordre
dépend du temps considéré, de la condition initiale x 0 et de la valeur initiale des divergences.
Par exemple, en fixant t et la valeur initiale de la divergence dans deux directions, nous
pouvons observer la variation de cette constante en fonction des deux directions de la divergence
restantes (Figure 1.18).
1.5.3 Application au système dynamique de Van Der Pol
Nous étudions le système dynamique (1.26) (page 202), donc les jacobiennes s’écrivent aux
différents ordres :
[
]
∂F
∂X = 0 1
−2ǫw 0 xy − w0 2 ǫw 0 (1 − x 2 ,
)
∂ 2 [ ]
F 0 0
∂X 2 =
,
(1.21)
−2ǫw 0 y 0
∂ 3 [ ]
F 0 0
∂X 3 = .
−0 0
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Alors :
[ ]
x11 ˙
x˙
[ 12
]
x21 ˙
[
x˙
22
]
x31 ˙
x˙
32
=
=
=
[
] [ ]
0 1 x11
−2ǫw 0 xy − w0 2 ǫw 0 (1 − x 2 ,
) x
[
] [ 12
] [
0 1 x21 0 0
−2ǫw 0 xy − w0 2 ǫw 0 (1 − x 2 +
[
)
] [
x 22
] [
−2ǫw 0 y 0
0 1 x31 0 0
−2ǫw 0 xy − w0 2 ǫw 0 (1 − x 2 + 3
) x 32 −2ǫw 0 y 0
][
x11
] 2
, (1.22)
][
x 12
] [ ]
x11 x21
.
x 12 x 22
La première équation avait été résolue. En notant ∆ = ǫ 2 w 2 0 (1 − x2 ) 2 − 8ǫw 0 xy + 4w 2 0 , on a :
Si ∆ < 0 : Avec α = ǫw 0(1 − x 2 )
2
s’écrit :
[
δ 1 X(t) = eαt −α sin(γt) + γ cos(γt) sin(γt)
γ −(α 2 + γ 2 )sin(γt) α sin(γt) + γ cos(γt)
si ∆ > 0 : Avec α = ǫw 0(1 − x 2 )
2
224
δ 1 X(t) = eαt
β
et γ = i√ −ǫ 2 w0 2(1 − x2 ) 2 + 8ǫw 0 xy − 4w0
2 , la solution
2
]
δ 1 X 0 . (1.23)
√
ǫ
et β = 2 w0 2(1 − x2 ) 2 − 8ǫw 0 xy + 4w0
2 , la solution est :
2
[ −α sinh(βt) + β cosh(βt) sinh(βt)
(β 2 − α 2 )sinh(βt) α sinh(βt) + β cosh(βt)
]
δ 1 X 0 . (1.24)

1.5. Recherche de pseudo-exposants de Lyapunov d’ordres supérieurs
0.6
0.2
0.5
0
t
20 40 60 80 100
0.4
0.3
–0.2
0.2
–0.4
0.1
–0.6
0
20 40 60 80 100
t
–0.8
(a) x 0 = 1.11, x 110 = x 120 = x 210 = 10 −7 ,
x 220 = 0
(b) x 0 = 1.11, x 110 = x 120 = x 210 = x 220 =
10 −7
6
2
5
4
0
t
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3
–2
2
–4
1
–6
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
(c) x 0 = 2.4, x 110 = x 120 = x 210 = 10 −7 , x 220 =
0
t
(d) x 0 = 2.4, x 110 = x 210 = x 220 = 10 −7 , x 120 =
0
2
0
t
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
–2
–4
–6
(e) x 0 = 2.4, x 120 = x 210 = x 220 = 10 −7 , x 110 =
0
Fig. 1.17 – Pseudo-exposant de Lyapunov en fonction du temps pour le système dynamique
(1.9), avec a = 0.15, b = −1 et c = 1 pour différentes conditions initiales x 0 et différentes
divergences initiales.
225

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
20
15
10
0
5
0
0.02
0.02
x110
0.06
0.04
0.04
x120
0.06
0.08
0.08
0.1
0.1
Fig. 1.18 – Pseudo-exposant de Lyapunov en fonction des divergences x 110 et x 120 du système
dynamique (1.9) avec a = 0.15, b = −1 et c = 1. La condition initiale, le temps et la valeur de la
divergence dans les deux directions restantes sont fixées : x 0 = 2.4, t = 0.5, x 210 = x 220 = 10 −7 .
Nous condensons cela sous la forme :
A(t) =
A(t) =
δ 1 X(t)
[
= A(t)δ 1 X 0 où :
]
−α sin(γt) + γ cos(γt) sin(γt)
−(α 2 + γ 2 si ∆ < 0 ,
)sin(γt) α sin(γt) + γ cos(γt)
eαt
γ
eαt
β
[ −α sinh(βt) + β cosh(βt) sinh(βt)
(β 2 − α 2 )sinh(βt) α sinh(βt) + β cosh(βt)
]
si ∆ > 0 .
(1.25)
Alors de la même façon, on aura :
δ 2 X(t) = A(t)δ 2 X 0 − 2ǫw 0 yx 2 11 ,
δ 3 X(t) = A(t)δ 2 (X 0 ) − 2ǫw 0 y [A 1 (t)x 10 + A 2 (t)x 20 ] 2 .
(1.26)
1.5.4 Application au système de Lorenz
Nous étudions le système dynamique (1.4) (page 210), donc les jacobiennes s’écrivent aux
différents ordres :
⎡
⎤
−σ σ 0
∂F
∂X
= ⎣ ρ − z −1 −x ⎦,
226
∂ 2 F
∂X 2 =
⎡
⎣
y x
⎤
−b
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎦.
(1.27)

1.6. Conclusion
Dans ce cas, les variations des différentes divergences se résument à :
⎧
⎪⎨
δ 1 Ẋ =
δ 2 Ẋ =
δF
δX δ1 X ,
δF
δX δ2 X ,
(1.28)
⎪⎩
δ 3 Ẋ =
δF
δX δ3 X , . . .
Dans ce cas précis, les pseudo-exposants de Lyapunov à tous les ordres présentent la même
équation dynamique :
⎡
∀n ∈ N ∗ , δ n Ẋ = ⎣
−σ σ 0
ρ − z −1 −x
y x −b
⎤
⎦δ n X . (1.29)
Cette équation peut alors être résolue analytiquement (voir section 1.3.2, page 211).
En conclusion de cette dernière section sur les pseudo-exposants de Lyapunov en temps fini
d’ordres supérieurs, nous pouvons affirmer que pour ces derniers également le pseudo-exposant
peut se révéler être supérieur à l’exposant de Lyapunov classique. En particulier, dans le cas
général, il n’existe pas de relation entre le comportement du pseudo-exposant d’ordre 1 et ceux
d’ordres supérieurs. De plus ces derniers n’expliquent pas et ne donnent pas les différences de
comportement entre le pseudo-exposant d’ordre 1 et l’exposant de Lyapunov.
1.6 Conclusion
Le but de cette étude est multiple : tout d’abord il s’agit de montrer qu’utiliser l’exposant
de Lyapunov classique pour estimer la divergence de trajactoires à temps fini, tel que cela a
été réalisé dans certains articles, peut donner des résultats faux. Cette approximation peut se
révéler être dangereuse et un calcul numérique peut se révéler utile. Ce fait, bien connu dans le
domaine de la météorologie, est plus ou moins inconnu dans celui du génie civil.
Ensuite, contrairement aux études déjà menées qui examinent la variation des pseudoexposants
de Lyapunov en temps fini en le calculant sur une trajectoire simulée, nous avons
établi une expression analytique pour ce pseudo-exposant (quand cela était possible) en exprimant
une divergence de trajectoires. Ceci nous a permis de déterminer le maximum de ce
pseudo-exposant en fonction des conditions initiales, des divergences initiales et du temps. Ainsi
une borne supérieure a été obtenue pour l’exposant de Lyapunov en temps fini.
Dans la plupart des cas, une conclusion générale et analytique sur la variation de ces speudoexposants
ne peut être obtenue (sauf dans le cas de l’espace de Mandelbrot). De plus, ce problème
n’est pas résolu est examinant également les pseudo-exposants de Lyapunov aux ordres supérieurs,
qui sont eux aussi fonctions de la divergence initiale, des conditions initiales, du temps et
227

Chapitre 1. Etude des exposants de Lyapunov en temps fini
des vecteurs propres des jacobiennes aux différents ordres. Toutefois, nous avons ainsi pu montrer
que ce pseudo-exposant peut se révéler être beaucoup supérieur à l’exposant classique. En
particulier, alors que ce dernier est négatif (le système est asymptotiquement stable), le pseudoexposant
peut être positif. La stabilité asymptotique peut donc parfois ne pas être suffisante
pour qualifier le comportement d’un système dynamique.
La même approche peut être appliquée aux systèmes non-réguliers, en utilisant la notion de
jacobienne généralisée. Ceci a été fait dans notre article [91].
Une piste qui resterait à explorer est celle de l’entropie ([119]), qui est la somme des composantes
du spectre de l’exposant de Lyapunov. Celle-ci doit donc également dépendre de ces
paramètres.
228

Chapitre 2
Calcul des exposants de Lyapunov
avec la matrice d’évolution
Dans ce chapitre, une équation définissant les exposants de Lyapunov avec la
matrice de monodromie est écrite. Elle est mise en application afin d’évaluer
son efficacité et sa robustesse pour calculer les exposants de Lyapunov.
Sommaire
2.1 Développements théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
2.1.1 Dérivées de la matrice d’évolution par rapport aux paramètres . . . 230
2.1.2 Solutions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
2.1.3 Les exposants de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
2.2 Applications et calculs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
2.2.1 Cas d’un oscillateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
2.2.2 Oscillateur de type Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
2.2.3 Système pseudo-périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2.2.4 Attracteur de Rossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Nous considérons un système dynamique non linéaire dépendant de paramètres.
2.1 Développements théoriques
Nous écrivons des formules donnant les dérivées de la matrice d’évolution du système par
rapport aux paramètres, sous la forme d’intégrales d’une fonction dépendant du vecteur de
phase, de ses dérivées par rapport aux paramètres et de la matrice d’évolution évaluée en un
certain point.
229

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
Pour des systèmes linéaires périodiques, les dérivées de la matrice de monodromie définissent
le domaine d’instabilité dans l’espace des paramètres. En ce qui concerne les systèmes autonomes,
nous écrivons les dérivées des exposants de Lyapunov par rapport aux paramètres qui s’expriment
en fonction des dérivées de la matrice d’évolution.
2.1.1 Dérivées de la matrice d’évolution par rapport aux paramètres
Considérons le système dynamique suivant :
ẋ = f(x, p, t), x(t 0 ) = x 0 , (2.1)
f : R q → R m est une fonction du vecteur de phase x ∈ R m , du vecteur de paramètres p ∈ R n et
du temps t, x 0 est un vecteur de conditions initiales donné, et le point signifie la dérivation par
rapport au temps.
Nous considérons un point p de l’espace des paramètres et un petit incrément ∆p j de la
j e composante du vecteur de paramètres. Alors le vecteur de phase subit un incrément ∆x qui,
en approximant au premier ordre, est décrit par l’équation différentielle :
.
{}}{
∆x = ∂f
où
(x, p, t)∆x +
∂f
∂p j
(x, p, t)∆p j , ∆x(t 0 ) = 0,
∂x [ ]
∂f
∂x = ∂fi
.
∂x k
On divise les deux membres de l’équation (2.2) par ∆p j et on prend la limite quand ∆x → 0.
Alors en notant le vecteur z = ∂x
∂p j
, l’équation différentielle suivante peut être écrite :
(2.2)
ż = ∂f ∂f
(x, p, t)z + (x, p, t), z(t 0 ) = 0. (2.3)
∂x ∂p j
En considérant à nouveau l’équation (2.2) linéarisée par rapport à x, on a pour le vecteur
y ∈ R m :
ẏ = ∂f (x, p, t)y. (2.4)
∂x
Une matrice fondamentale ou matrice d’évolution est alors donnée par :
Ẏ = ∂f
∂x (x, p, t)Y, Y (t 0) = I, (2.5)
où I est la matrice unité.
Alors une solution de l’équation différentielle (2.4) avec la condition initiale y(t 0 ) = y 0 est
donnée par : y(t) = Y (t)y 0 et une solution de (2.3) avec condition initiale nulle est donnée par
l’intégrale :
∫ t
z(t) = Y (t) Y −1 (τ) ∂f (x, p, τ)dτ . (2.6)
t 0
∂p j
230

2.1. Développements théoriques
Maintenant nous cherchons les dérivées de la matrice d’évolution par rapport aux paramètres
au point p. Suite à l’incrément ∆p j , la matrice d’évolution subit un incrément Y + ∆Y . En
substituant cette expression dans (2.5) et en développant le membre de droite en série de Taylor,
nous obtenons une équation au premier ordre :
∆Ẏ = ∂f
∂x (x, p, t)∆Y + CY, ∆Y (t 0) = 0,
où
C = ∂2 f
∂x 2 (x, p, t)∆x + ∂2 f
∂x∂p j
(x, p, t)∆p j .
(2.7)
Puisque Y (t) est une matrice fondamentale, elle est non-singulière. Nous multiplions les deux
membres de l’équation (2.7) par Y −1 et nous intégrons de t 0 à t. En intégrant par parties avec
la condition initiale (2.7), on obtient :
∫ t
Y −1 ∆Y ˙ dτ
t 0
.
∫ t
t 0
{}}{
Y −1 ∆Y dτ,
)
dτ.
= Y −1 (t)∆Y (t) −
∫ t
(
= Y −1∂f
t 0
∂x δY + Y −1 CY
(2.8)
Avec Y −1 Y = I, nous obtenons en différentiant :
(2.5) :
Avec cette nouvelle expression, l’équation (2.8) s’écrit :
.
{}}{
Y −1 = −Y −1 Ẏ Y −1 et avec l’équation
.
{}}{
Y −1 = −Y −1∂f
∂x . (2.9)
∫ t
∆Y (t) = Y (t) Y −1 CY dτ. (2.10)
t 0
Nous substituons l’expression de C (équation (2.7)) et nous divisons chaque membre de
l’équation par ∆p j . Le résultat s’écrit :
δY (t)
∆p j
∫ t
{ ∂
= Y (t) Y −1 2 }
f ∆x
t 0
∂x 2 + ∂2 f
Y dτ. (2.11)
∆p j ∂x∂p j
En faisant tendre ∆p j vers 0 et en utilisant la notation z = ∂x
∂p j
, nous obtenons :
∂Y (t)
∂p j
∫ t
{ ∂
= Y (t) Y −1 2 }
f
t 0
∂x 2 z + ∂2 f
Y dτ. (2.12)
∂x∂p j
231

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
En substituant le vecteur z de l’équation (2.6), finalement :
∂Y (t)
∂p j
∫ t
{ ∂
= Y (t) Y −1 2 ∫
f τ
t 0
∂x 2 Y (τ) Y −1 (ξ) ∂f
}
(x, p, xi)dξ + ∂2 f
(x, p, τ) Y (τ)dτ. (2.13)
t 0
∂p j ∂x∂p j
Donc, pour calculer la matrice d’évolution Y (t) et ses dérivées par rapport aux paramètres,
nous intégrons les équations (2.1) et (2.5) avec les conditions initiales correspondantes, puis nous
évaluons l’intégrale (2.13).
Connaître les dérivées de la matrice d’évolution permet de prédire le comportement du
système dynamique au voisinage du point p dans l’espace des paramètres.
2.1.2 Solutions périodiques
Nous considérons le cas où (2.1) présente une solution périodique x(t) = x(t+T) et la matrice
∂f(x(t), p, t)
est périodique de période T.
∂x
Alors la matrice d’évolution F = Y (T) est appelée matrice de monodromie. En accord avec
la théorie de Floquet, les valeurs propres de la matrice (multiplicateurs) sont responsables de
la stabilité de la solution périodique x(t) : si tous les multiplicateurs ont une valeur absolue
inférieure strictement à 1, alors la solution périodique x(t) est asymptotiquement stable, et
elle est instable si au moins un des multiplicateurs a une valeur absolue supérieure à 1. En
particulier, si nous considérons le système linéaire ẋ = G(p, t)x avec la matrice périodique
G(p, t+T) = G(p, t) et nous étudions la stabilité de la solution triviale x(t) ≡ 0, nous obtenons :
f = Gx,
∂f
∂x = G, ∂ 2 f
∂x 2 = 0,
∂ 2 f
= ∂G . (2.14)
∂x∂p j ∂p j
Alors avec (2.13) :
∂Y (t)
∂p j
∫ t
−1 ∂G
= Y (t) Y Y dτ. (2.15)
t 0
∂p j
Alors en évaluant la formule à t = T, nous obtenons les dérivées de la matrice de monodromie
F = Y (T) par rapport aux paramètres :
∫
∂F T
−1 ∂G
= F Y Y dτ. (2.16)
∂p j t 0
∂p j
Pour les formules (2.15) et (2.16), seules les matrices Y (t) et les dérivées de G par rapport
aux paramètres sont nécessaires.
232

2.1. Développements théoriques
Par exemple, considérons l’équation de Hill avec amortissement :
ẍ + βẋ + [ w 2 + ǫϕ(t) ] ⎧
x = 0,
β : amortissement,
ǫ : amplitude de l’excitation,,
⎪⎨
w : fréquence naturelle, ,
où
ϕ(t) : fonction continue périodique du temps de période 2π
⎪⎩
et de moyenne nulle soit
∫ 2π
0
ϕ(t)dt = 0.
(2.17)
Pour point initial, nous choississons t 0 = 0.
Notre but est de trouver analytiquement les domaines d’instabilité de la solution triviale
x = 0 (domaines de résonance paramétrique).
Alors l’équation (2.17) s’écrit sous la forme :
( ẋ
avec y =
x
ẏ = G(p,
(
t)y,
)
, G(t, p) =
0 1
−w 2 − ǫϕ(t) −β
)
.
(2.18)
Ce système comporte 3 paramètres, soit p = (ǫ, β, w).
Si nous substituons ǫ = 0, β = 0, avec l’équation (2.5), nous obtenons directement :
[
cos(wt) w
Y (t) =
−1 ] [
sin(wt)
, Y −1 cos(wt) −w
(t) =
−1 ]
sin(wt)
. (2.19)
−w sin(wt) cos(wt)
w sin(wt) cos(wt)
Alors la matrice de monodromie s’écrit :
[
cos(2πw)
F = Y (2π) =
−w sin(2πw)
w −1 sin(2πw)
cos(2πw)
]
. (2.20)
Les valeurs propres de cette matrice (multiplicateurs) sont :
ρ 1,2 = cos(2πw) ± i sin(2πw). (2.21)
Si w ≠ k (k = 1, 2, . . .), les multiplicateurs sont complexes conjugués appartenant au cercle
2
unité (instabilité). Il peut être montré qu’en ajoutant une petite sollicitation sinusoïdale et
l’amortissement (ǫ > 0, β > 0), les multiplicateurs se déplacent vers l’intérieur du cercle unité ce
qui entraine la stabilité asymptotique. En fait, suite à la propriété de continuité, les multiplicateurs
restent des quantités complexes conjuguées. Pour les multiplicateurs, nous avons l’équation
quadratique :
ρ 2 + c 1 ρ + c 2 = 0. (2.22)
Avec le théorême de Vieta et la formule de Liouville, le coefficient c 2 est égal à :
(∫ 2π
)
c 2 = ρ 1 ρ 2 = |ρ| 2 = exp tr(G)dt = exp(−2πβ) < 1. (2.23)
0
233

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
Cette inégalité signifie que si un amortissement et une sollicitation faibles sont ajoutés au
système non perturbé (ǫ = β = 0), les multiplicateurs complexes conjugués se déplacent à
l’intérieur du cercle unité et le système devient asymptotiquement stable.
Donc l’instabilité (résonance paramétrique) peut survenir seulement dans le voisinage des
points :
auquel cas les multiplicateurs sont doubles :
p 0 : ǫ = 0, β = 0, w = k , k = 1, 2, . . ., (2.24)
2
ρ 1 = ρ 2 = (−1) k . (2.25)
Pour trouver les domaines d’instabilité, nous développons la matrice de monodromie F en
série de Taylor dans le voisinage des points p 0 par rapport aux paramètres ǫ, β et ∆w = w − k 2 :
F(p) = F(p 0 ) + ǫ ∂F
∂ǫ + β∂F ∂β + ∆w∂F + . . .. (2.26)
∂w
Avec la formule (2.16) et en développant au premier ordre, nous développons :
⎡
⎤
F(p) = cos(πk) ⎣
1 + πa ǫ
k
k − πβ 2π(2∆wk − b k ǫ)
(
ǫ
) k 2
ǫ
⎦, (2.27)
−π ∆wk + b k 1 − πa k
2 k − πβ
où a k et b k sont les coefficients de Fourier de la fonction ϕ(t) :
a k = 1 π
∫ 2π
0
ϕ(t)sin(kt)dt, b k = 1 π
∫ 2π
Les multiplicateurs peuvent donc être estimés par :
ρ 1,2 = (−1) k (1 − πβ) ± π √ D,
où D = (a 2 k + b2 k ) ǫ2
k 2 − 4(∆w)2 .
0
ϕ(t)cos(kt)dt, k = 1, 2, . . .. (2.28)
(2.29)
Le système est instable si la valeur absolue d’au moins un des multiplicateurs est de valeur
absolue strictement supérieure à 1. Ceci est le cas si β < 0. Mais si β ≥ 0, le système est instable
si √ D > β. Alors, le domaine de résonance paramétrique est la moitié du cône :
(
4 w − k ) 2
+ β 2 < (a 2 k
2
+ b2 k ) ǫ2
k2, β ≥ 0. (2.30)
La formule (2.30) correspond à certaines déjà connues pour certains systèmes dynamiques.
Par exemple avec β = 0 et ϕ(t) = cos t, nous obtenons l’équation de Mathieu. Dans ce cas,
pour la première résonance (k = 1), nous obtenons : a 1 = 0, b 1 = 1, 1 − ǫ < 2w < 1 + ǫ avec
l’équation (2.30).
234

2.1. Développements théoriques
2.1.3 Les exposants de Lyapunov
Considérons le système autonome :
ẋ = f(x, p), x(t 0 ) = x 0 . (2.31)
La matrice d’évolution Y (t) est trouvée avec l’équation linéarisée :
Ẏ = ∂f
∂x (x, p)Y, Y (t 0) = I. (2.32)
Les exposants de Lyapunov sont définis par le problème aux valeurs propres de la matrice
V T = Y + T Y T (où + signifie la transposition) et T est la borne supérieure en temps de l’intégration :
V T u S = K S u S . (2.33)
La matrice V T est symétrique et définie positive. Dons toutes les valeurs propres K s , s =
1, . . .,m de la matrice V T sont positives. Les valeurs propres de la matrice √ V T sont appelées
valeurs singulières de la matrice Y T .
Les exposants de Lyapunov sont définis comme la limite :
Λ s = lim
T →∞
( lg Ks
2T
)
. (2.34)
Soit u s un vecteur propre, correspondant à la valeur propre K s de la matrice V T . Alors la
dérivée de la valeur propre K s par rapport aux paramètres est :
∂K s
∂p j
=
=
{
u + s
{
u + s
∂(Y + T Y }
T)
u s /(u + s u s ),
[ ∂p j (∂YT
∂p j
) +
Y T + Y + T
Alors, pour les exposants de Lyapunov :
( ∂YT
∂p j
) ] u s
}
/(u + s u s ).
(2.35)
∂Λ s 1
= lim
∂p j T →∞2T
∂ lg K s
∂p j
= lim
T →∞
1 ∂K s
. (2.36)
2TK s ∂p j
En combinant ces deux dernières équations :
∂Λ s 1
= lim
∂p j T →∞2TK s u + u + s
s u s
{ ( ∂YT
∂p j
) +
Y T + Y + T
( ∂YT
∂p j
)}
u s . (2.37)
Cette formule exprime donc la dérivée des exposants de Lyapunov par rapport aux paramètres.
235

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
2.2 Applications et calculs numériques
2.2.1 Cas d’un oscillateur linéaire
Nous choississons le système dynamique linéaire suivant :
ẍ + aẋ + kx = 0 . (2.1)
( ) { }
x1 = x p1 = a
Alors avec X = et P = , les équations du mouvement peuvent être
x 2 = ẋ p 2 = k
écrites sous la forme :
{ }
x
Ẋ = F(X, P) with F(X, P) = 2
. (2.2)
−ax 2 − kx 1
Nous voulons intégrer en temps l’équation différentielle du premier ordre dont l’inconnue est Y :
Ẏ = ∂F [ ] 0 1
∂X Y = Y, (2.3)
−k −a
avec les conditions initiales : Y (t 0 ) = I.
Pour réaliser ceci analytiquement, nous cherchons l’exponentielle de la matrice ∂F
∂X , à l’aide
de ses vecteurs propres et valeurs propres. Deux cas apparaissent :
– Si a 2 − 4k < 0 (amortissement faible et k > 0) .
Les valeurs propres sont de la forme : λ 1,2 = − a 2 ± i 2√
4k − a 2 .
Donc si nous notons : α = − a 2 and β = 1 2√
4k − a 2 , la matrice Y peut s’écrire :
Y (t) = eαt
β
[ −α sin(βt) + β cos(βt) sin(βt)
−(α 2 + β 2 )sin(βt) α sin(βt) + β cos(βt)
]
. (2.4)
Donc suite à ce qui a été développé au-dessus, nous cherchons les valeurs propres K s et
les vecteurs propres u s de la matrice V = (Y ) T Y .
– Si a 2 − 4k > 0 (raideur k < 0) .
Les valeurs propres sont de la forme : λ 1,2 = − a 2 ± 1 2√
a 2 − 4k.
Donc si nous notons : α = − a 2 and γ = 1 2√
a 2 − 4k, la matrice Y peut être exprimée :
Y (t) = eαt
γ
[ −α sinh(γt) + β cosh(γt) sinh(γt)
(γ 2 − α 2 )sinh(γt) α sinh(γt) + γ cosh(γt)
]
. (2.5)
Nous négligeons le cas a 2 − 4k = 0, qui est de mesure 0.
Dans ce qui suit, pour décrire ceci avec un exemple, nous choississons de considérer le cas
a 2 − 4k < 0. Par exemple, si a = 0.05, k = 1.0, la formule (2.34) peut être utilisé pour estimer
236

2.2. Applications et calculs numériques
0
25 50
t
75
100
0.15
−0.05
0.1
−0.1
0.05
−0.15
−0.2
0.0
0
25 50
t
75
100
(a) λ 1
(b) λ 2
Fig. 2.1 – Premier et deuxième exposant de Lyapunov du système linéaire de l’équation (2.1)
avec a = 0.05 et k = 1.0, obtenus analytiquement, en cherchant les valeurs propres de la matrice
(Y ) + Y , Y étant donné par l’équation (2.5).
l’évolution au cours du temps des exposants de Lyapunov : ils sont tous deux égaux à − a 2 (Figure
2.1), ce qui peut être vérifié analytiquement (en calculant les valeurs propres de la matrice ∂F
∂X ).
Dans ce cas où l’exposant de Lyapunov peut être exprimée analytiquement, sa variation par
rapport aux paramètres peut également être donnée analytiquement. Donc, pour chaque temps t,
nous calculons Y (t) (donnée par l’équation (2.5)), ses valeurs propres K s et ses vecteurs propres
u s , qui sont tous deux fonctions des paramètres p j . La sensibilité au paramètre p j au temps t
1 ∂K s
est alors donnée par . Les valeurs numériques sont représentées sur les figures 2.2, 2.3
2tK s ∂p j
et 2.4. Il doit être noté que ces résultats analytiques sont de la forme attendue : la dérivée des
exposants de Lyapunov tend vers − a (
2 = −0.025, qui est bien la dérivée de exp − a )
. De plus,
2
de nombreuses remarques peuvent être faites :
– A un temps t très faible, il existe une singularité dûe au fait que le temps apparait au
dénominateur de l’expression donnant la variabilité des exposants de Lyapunov par rapport
aux paramètres. Ainsi les valeurs numériques obtenues sont très importantes (Figure 2.2).
– Les quantités ∂λ i
∂p j
tendent rapidement vers leur limite (Figure 2.3).
– En réalité, ces quantités oscillent autour de leur limite (Figure 2.4).
Dans ce cas qui est le plus simple possible, toutes les quantités recherchées peuvent être exprimées
analytiquement. En toute généralité, dans les systèmes dynamiques réels, plus compliqués,
ce n’est plus le cas. Il est alors nécessaire de réaliser des calculs numériques. Nous appliquons
alors directement les développements explicités ci-dessus. En effet, pour chaque temps t, nous
intégrons l’équation (2.3) pour obtenir Y (t). Ensuite, nous cherchons ses valeurs et vecteurs
237

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
0
t
2 4 6 8 10
–5
–10
–15
–20
–25
–30
–35
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
2 4 6 8 10
(a)
1 ∂K 1
2T K 1 ∂a
(b)
t
1 ∂K 1
2T K 1 ∂k
35
0
t
2 4 6 8 10
30
–200
25
–400
20
–600
15
–800
10
–1000
5
–1200
0
2 4 6 8 10
–1400
(c)
t
1 ∂K 2
2T K 2 ∂a
(d)
1 ∂K 2
2T K 2 ∂k
1 ∂K s
Fig. 2.2 – Variabilité des exposants de Lyapunov par rapport aux paramètres , en
2T K s ∂p j
fonction du temps (de 0s à 10s). Ces résultats sont obtenus de façon analytique.
238

2.2. Applications et calculs numériques
–0.5
140
–1
120
–1.5
100
–2
80
–2.5
–3
–3.5
–4
60
40
20
0 20 40 60 80 100
(a)
t
1 ∂K 1
2T K 1 ∂a
0
20 40 60 80 100
(b)
t
1 ∂K 1
2T K 1 ∂k
3
0
t
20 40 60 80 100
2.5
–20
2
–40
1.5
–60
1
–80
0.5
–100
0
–0.5
20 40 60 80 100
t
–120
–140
(c)
1 ∂K 2
2T K 2 ∂a
(d)
1 ∂K 2
2T K 2 ∂k
1 ∂K s
Fig. 2.3 – Variabilité des exposants de Lyapunov par rapport aux paramètres , en
2T K s ∂p j
fonction du temps (de 0s to 100s). Ces résultats sont obtenus de façon analytique.
239

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
–0.505
0.4
–0.51
0.3
–0.515
–0.52
0.2
–0.525
0.1
20 30 40 50 60 70 80 90 100
(a)
t
1 ∂K 1
2T K 1 ∂a
20 30 40 50 60 70 80 90 100
(b)
t
1 ∂K 1
2T K 1 ∂k
–0.475
–0.1
–0.48
–0.2
–0.485
–0.49
–0.3
–0.495
–0.4
20 30 40 50 60 70 80 90 100
(c)
t
1 ∂K 2
2T K 2 ∂a
20 30 40 50 60 70 80 90 100
(d)
t
1 ∂K 2
2T K 2 ∂k
1 ∂K s
Fig. 2.4 – Variabilité des exposants de Lyapunov par rapport aux paramètres , en
2T K s ∂p j
fonction du temps (de 20s to 100s). Ces résultats sont obtenus de façon analytique.
240

2.2. Applications et calculs numériques
1
propres, ce qui nous donne λ i = lim
t→+∞2T log (K i) et ∂λ i 1 ∂K i
= lim . Les exposants
∂p j t→+∞2T K i ∂p j
de Lyapunov λ i sont représentés Figure 2.5 (à comparer avec les résultats analytiques donnés
avec la figure 2.1) : comme attendu, ces résultats convergent plus lentement que ceux obtenus
analytiquement.
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
λ 1
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
λ 1
−0.05
0 20 40 60 80 100
Temps
−0.05
0 200 400 600 800 1000
Temps
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
λ 2
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
λ 2
−0.05
0 20 40 60 80 100
Temps
(a) λ 1 and λ 2 pour t de 0s à 100s
−0.05
0 200 400 600 800 1000
Temps
(b) λ 1 and λ 2 pour t de 0s à 1000s
Fig. 2.5 – Exposants de Lyapunov du système linéaire de l’équation (2.1) avec a = 0.05 et
k = 1.0, obtenus numériquement.
Mais la variabilité des exposants de Lyapunov avec les paramètres présentent la même forme
au cours du temps, qu’ils soient calculés analytiquement ou numériquement(Figure 2.6, à comparer
avec Figure 2.2). Dans les deux cas, ces quantités oscillent autour de leur limite. Mais
l’amplitude des oscillations est supérieure dans le cas des calculs numériques. Mais les résultats
obtenus avec ces calculs numériques divergent après un certain temps : ils sont alors faux. En
effet, la matrice qui doit être intégrée dans l’équation (2.1) est mal conditionnée.
Ainsi dans ce cas linéaire, même si les exposants de Lyapunov oscillent pendant un certain
temps avant de tendre vers leur limite en l’infini, ils ne dépendent pas beaucoup des paramètres
en temps petit mais fini. Ainsi après un certain nombre d’intégrations numériques, ces calculs
sont très raides, en particulier en ce qui concerne l’intégration de la matrice Y . Ceci est visible
sur la figure 2.6 après le temps t ≈ 150s.
1 ∂K s
C’est pourquoi nous calculons les quantités (s = 1, 2, j = 1, 2) en orthonormalisant
la divergence après chaque pas de temps, comme cela est réalisé naturellement quand on
2T K s ∂p j
calcule les exposants de Lyapunov avec la méthode classique (par exemple avec l’algorithme de
Wolf, [115]). Les résultats sont donnés par les figures 2.7 et 2.8 : la figure 2.7 représente les
exposants de Lyapunov et la figure 2.8 leur variabilité avec les paramètres, chacune des deux
quantités étant obtenues en normalisant la divergence après chaque pas d’intégration. Dans ce
cas, avec cette procédure numérique, les résultats numériques sont identiques à ceux obtenus
analytiquement.
241

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
d λ 1
/d p 1
d λ 1
/d p 2
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0.3
0.2
0.1
−0.1
0 20 40 60 80 100
Temps
d λ 2
/d p 1
0
0 20 40 60 80 100
Temps
(a)
0 20 40 60 80 100
Temps
d λ 2
/d p 2
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0 20 40 60 80 100
Temps
1 ∂K i
2T K i ∂a , for t from 0s to 100s. 1 ∂K i
(b) , for t from 0s to 100s.
2T K i ∂k
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
d λ 1
/d p 1
d λ 1
/d p 2
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0.3
0.2
0.1
−0.1
0 50 100 150 200
Temps
d λ 2
/d p 1
0
0 50 100 150 200
Temps
(c)
1 ∂K i
2T K i ∂a , for t from 0s to 200s. 1 ∂K i
(d) , for t from 0s to 200s.
2T K i ∂k
0 50 100 150 200
Temps
d λ 2
/d p 2
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0 50 100 150 200
Temps
Fig. 2.6 – Variabilité des exposants de Lyapunov avec les paramètres
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
1
2T K s
∂K s
∂p j
.
242

2.2. Applications et calculs numériques
Du point de vue mathématique, ces calculs sont possibles grâce aux propriétés de la matrice
Y :
t 1 = h, λ 1 t 2 = h,λ 2
1 2 3
t 3 , λ 3
Pour la dynamique a : y(t 1 ) = Y a (t a )y(t 0 ),
Pour la dynamique b : y(t 2 ) = Y b (t b )y(t 1 ),
Pour la dynamique (a + b) : y(t 2 ) = Y c (t c )y(t 0 ),
Ainsi : Y c (t c ) = Y b (t b )Y a (t a ).
Nous réalisons les calculs numériques avec un pas de temps constant, que nous notons h. Pour
chaque pas de temps i, nous obtenons une matrice Y i (h). Ainsi :
Y n (t n ) = Y n (nh) =
n∏
Y i (h), (2.6)
∂f
avec Y i (h) = Y i (t = h) solution de Ẏ (t) =
∂X (X i−1, p, t i−1 ).Y (t), Y (t i−1 ) = I. Ensuite, nous
cherchons les valeurs propres K s1 et K s2 de Y (t n ). Alors :
i=1
λ 1,2 = 1 2t log K s1,2,
∂λ 1,2
∂p j
=
1
2tK s1,2
∂K s1,2
∂p j
.
Dans le cas général, il n’est pas possible de simplifier plus cette procédure de calculs. En
effet, les valeurs propres d’un produit de matrices n’est pas égale au produit des valeurs propres.
(2.7)
243

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
Dans ce cas linéaire, en normalisant la divergence à chaque pas de temps, les exposants de
Lyapunov calculés (Figure 2.7) sont similaires à ceux obtenus de manière analytique (Figure
2.1) et ceux obtenus numériquement (Figure 2.5). Nous cherchons également la sensibilité des
exposants de Lyapunov aux paramètres, voir Figure 2.8.
−0.01
λ 1
−0.02
−0.03
−0.04
0 20 40 60 80 100
Temps
−0.01
λ 2
−0.02
−0.03
−0.04
0 20 40 60 80 100
Temps
Fig. 2.7 – Exposants de Lyapunov du système linéaire de l’équation (2.1) avec a = 0.05 et
k = 1.0, obtenus numériquement et en normalisant la divergence.
En réalité, les résultats ne sont pas meilleurs que ceux obtenus de façon analytique (amplitude
de variation supérieure), mais ils ne divergent pas comme c’est le cas lorsque les calculs sont
effectués numériquement sans normalisation de la divergence après chaque pas d’intégration.
Finalement, il est intéressant de noter que dans ce cas linéaire, les calculs peuvent être
simplifiés. En effet, comme ∂F est constant, les valeurs propres du produit de matrices sont
∂X
égales au produit des valeurs propres.
244

2.2. Applications et calculs numériques
d λ 1
/d p 1
d λ 1
/d p 2
0.5
0.5
0
0
0 20 40 60 80 100
−0.5
−0.5
0 20 40 60 80 100
d λ 2
/d p 1
d λ 2
/d p 2
Temps
Temps
0.5
0.5
0
0
−0.5
0 20 40 60 80 100
Temps
−0.5
0 20 40 60 80 100
Temps
1 ∂K s
Fig. 2.8 – Variabilité des exposants de Lyapunov en fonction des paramètres , en
2T K s ∂p j
fonction du temps (de 0s à 100s). Ces résultats sont obtenus numériquement et en normalisant
la divergence après chaque pas de temps.
245

y
y
y
Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
2.2.2 Oscillateur de type Duffing
Dans ce cas, on ne peut pas réaliser de calculs analytiques, tous les calculs sont donc réalisés
numériquement. Nous choississons le système dynamique suivant :
ẍ = −x − p 2 ẋ − x 3 + p 1 cos(p 3 t),
avec les paramètres p 1 = 0.30, p 2 = 0.05, p 3 = 1.0.
Pour le système dynamique de l’équation (2.8) avec ces valeurs numavec un cercle limite.
(2.8)
1.5
1.5
1.5
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
x
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
x
−1.5
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
x
(a) Pour le temps de 0s à 50s
(b) Pour le temps de 0s à 100s
(c) Pour le temps de 0s à 1000s
Fig. 2.9 – Plan de phase de l’oscillateur de type Duffing de l’équation (2.8).
Nous calculons numériquement les exposants de Lyapunov et leur sensibilité aux paramètres
en appliquant directement les formules ci-dessus (voir Figures 2.10 et 2.12 pour le temps variant
de 0s à 20s et figures 2.11 et 2.13 pour le temps variant de 0s à 100s).
Les mêmes remarques que précédemment peuvent être faites : premièrement, pour des temps
très faibles, les résultats prennent des valeurs numériques très importantes car le temps t est
1 ∂K i
présent au dénominateur de l’expression analytique de . De plus, après un certain
2T K i ∂p j
1 ∂K i
temps les valeurs de divergent.
2T K i ∂p j
Les exposants de Lyapunov du système dynamique pour t variant entre 0s et 20s et entre 0s
et 100s sont représentés sur les figures 2.10 et 2.11. Au temps 100s, les résultats n’ont pas encore
complètement convergé. Mais c’est suffisant pour avoir des indices sur la stabilité du système.
De plus, il est intéressant de noter que ces calculs sont plus simples et plus rapides que ceux
induits par l’algorithme de Wolf [115].
La sensibilité des exposants de Lyapunov aux paramètres est représentée Figures 2.12 et
2.13. Pendant un temps long, leur valeur numérique oscille faiblement autour de leur moyenne,
avant de diverger vers t ≈ 60s.
1 ∂K s
Nous calculons les mêmes quantités numériques , en cherchant une matrice K i à
2T K s ∂p j
chaque pas de temps et en calculant les vecteurs et valeurs propres de la matrice résultante K.
Nous observons (Figures 2.14 et 2.15) que les exposants de Lyapunov calculés ainsi convergent
plus facilement, mais leur sensibilité aux paramètres diverge après un certain temps (en fait,
après avoir atteint une valeur presque constante).
246

2.2. Applications et calculs numériques
−0.12
λ 1
0
λ 2
−0.14
−0.02
−0.16
−0.04
−0.18
−0.06
−0.2
−0.08
−0.22
−0.1
−0.24
−0.12
−0.26
0 5 10 15 20
Temps
−0.14
0 5 10 15 20
Temps
(b) λ 2
Fig. 2.10 – Premier et deuxième exposants de Lyapunov de l’oscillateur de type Duffing de
l’équation (2.8) avec p 1 = 0.30, p 2 = 0.05 et p 3 = 1.0, obtenus en appliquant directement les
formules ci-dessus.
−0.12
λ 1
0
λ 2
−0.14
−0.02
−0.16
−0.04
−0.18
−0.06
−0.2
−0.08
−0.22
−0.1
−0.24
−0.12
−0.26
0 20 40 60 80 100
Temps
−0.14
0 20 40 60 80 100
Temps
(a) λ 1
(b) λ 2
Fig. 2.11 – Premier et deuxième exposants de Lyapunov de l’oscillateur de type Duffing de
l’équation (2.8) avec p 1 = 0.30, p 2 = 0.05 et p 3 = 1.0, obtenus en appliquant directement les
formules ci-dessus.
247

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
6
d λ 1
/d p 1
6
d λ 2
/d p 1
6
d λ 1
/d p 2
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
−1
0 5 10 15 20
Temps
(a)
1
2T K 1
∂K 1
−1
∂p 1
1 ∂K 2
1 ∂K 1
(b)
(c)
2T K 2 ∂p 1 2T K 1 ∂p 2
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
Temps
Temps
−1
6
d λ 2
/d p 2
6
d λ 1
/d p 3
6
d λ 2
/d p 3
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
−1
0 5 10 15 20
Temps
(d)
1
2T K 2
∂K 2
−1
∂p 2
1 ∂K 1
1 ∂K 2
(e)
(f)
2T K 1 ∂p 3 2T K 1 ∂p 3
0 5 10 15 20
0 5 10 15 20
Temps
Temps
−1
Fig. 2.12 – Sensibilité des exposants de Lyapunov aux paramètres
variant de 0s à 20s.
1
2T K s
∂K s
∂p j
, avec le temps
248

2.2. Applications et calculs numériques
2000
d λ 1
/d p 1
600
d λ 2
/d p 1
2000
d λ 1
/d p 2
1500
1000
400
1500
1000
500
200
500
0
−500
0
0
−500
−1000
−200
−1000
−1500
−2000
−400
−1500
−2000
−2500
0 20 40 60 80 100
Temps
(a)
1
2T K 1
∂K 1
−600
0 20 40 60 80 100
0 20 40 60 80 100
Temps
Temps
1 ∂K 2
1 ∂K 1
(b)
(c)
∂p 1 2T K 2 ∂p 1 2T K 1 ∂p 2
−2500
600
d λ 2
/d p 2
2000
d λ 1
/d p 3
800
d λ 2
/d p 3
400
200
0
−200
−400
1500
1000
500
0
−500
−1000
−1500
−2000
600
400
200
0
−200
−400
−600
0 20 40 60 80 100
Temps
(d)
1
2T K 2
∂K 2
−2500
0 20 40 60 80 100
0 20 40 60 80 100
Temps
Temps
1 ∂K 1
1 ∂K 2
(e)
(f)
∂p 2 2T K 1 ∂p 3 2T K 1 ∂p 3
−600
Fig. 2.13 – Sensibilité des exposants de Lyapunov aux paramètres
variant de 0s à 100s.
1
2T K s
∂K s
∂p j
, avec le temps
249

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
−0.1
λ 1
−0.15
−0.2
−0.25
−0.3
0 20 40 60 80 100 120
Temps
0.05
λ 2
0
−0.05
−0.1
−0.15
0 20 40 60 80 100 120
Temps
Fig. 2.14 – Exposants de Lyapunov de l’oscillateur de Duffing étudié, en cherchant la matrice
de divergence à chaque pas de temps, pour le temps variant de 0s à 100s. Il est à remarquer
que ces résultats convergent plus facilement que ceux obtenus sans orthonormalisation (Figure
2.11).
Pour évaluer l’efficacité de cette méthode, nous calculons également les exposants de Lyapunov
pour différentes valeurs numériques des paramètres p 1 et p 2 , en utilisant l’algorithme
classique de Wolf. Les résultats sont donnés Figures 2.16 et 2.17.
Nous observons donc que les résultats trouvés avec Wolf et ceux calculés avec la méthode
explicitée dans ce chapitre concordent. Mais, dans le cas où l’algorithme de Wolf est utilisé,
les calculs sont beaucoup plus longs. En effet, pour chaque valeur des paramètres p 1 et p 2 , les
calculs (évolution, réorthonormalisation de la divergence) doivent être réalisés jusqu’à un temps
suffisamment long pour que les résultats aient convergé.
Dans ce cas d’oscillateur de type Duffing avec ces valeurs numériques de paramètres, les
calculs sont suffisamment continus. C’est le cas ici car le système n’est pas chaotique. En effet,
si le système est chaotique, les calculs sont raides et les résultats numériques ne sont pas très
fiables. Des illustrations de ceci peuvent être vues dans la dernière section de ce chapitre traitant
de l’attracteur de Rossler (page 258).
250

2.2. Applications et calculs numériques
2000
1000
0
−1000
d λ 1
/d p 1
2000
1000
0
−1000
d λ 1
/d p 2
−2000
0 20 40 60 80 100 120
Temps
d λ 2
/d p 1
1000
500
0
−500
0 20 40 60 80 100 120
Temps
(a)
−2000
1 ∂K i
1 ∂K i
(b)
2T K i ∂p 1 2T K i
0 20 40 60 80 100 120
Temps
d λ 2
/d p 2
1000
500
0
−500
0 20 40 60 80 100 120
Temps
∂p 2
2000
d λ 1
/d p 3
1000
0
−1000
−2000
0 20 40 60 80 100 120
Temps
1000
d λ 2
/d p 3
500
0
−500
0 20 40 60 80 100 120
Temps
(c)
1
2T K i
∂K i
∂p 3
1 ∂K s
Fig. 2.15 – Sensibilité des exposants de Lyapunov aux paramètres , en calculant la
2T K s ∂p j
matrice de divergence pour chaque pas de temps, avec le temps variant de 0s à 100s.
251

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
−0.0345
0.08
−0.035
λ 1
λ 2
0.06
0.04
λ 1
λ 2
−0.0355
0.02
0
λ
−0.036
−0.0365
−0.037
λ
−0.02
−0.04
−0.06
−0.08
−0.1
−0.0375
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
p 1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
p 2
(a) λ pour différentes valeurs de p 1 (b) λ pour différentes valeurs de p 2
−0.12
Fig. 2.16 – Premier et deuxième exposant de Lyapunov de l’oscillateur de type Duffing de l’équation
(2.8) pour différentes valeurs numériques des paramètres p 1 et p 2 , en utilisant l’algorithme
de Wolf.
0.03
25
0.02
λ 1
λ 2
20
15
λ 1
λ 2
0.01
10
5
d λ/d p1
0
d λ/d p2
0
−5
−0.01
−10
−0.02
−15
−20
−0.03
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
p 1
−25
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
p 2
(a) ∂λ
(b) ∂λ
∂p 1 ∂p 2
Fig. 2.17 – Variation des premier et deuxième exposants de Lyapunov du système (2.8) avec p 1
et p 2 , calculés avec l’algorithme de Wolf.
252

2.2. Applications et calculs numériques
2.2.3 Système pseudo-périodique
Ici nous étudions le système dynamique pseudo-périodique suivant :
ẍ + p 2 ẋ + x + 0.01x 3 = p 1 cos(p 3 t) + p 4 cos(p 5 t) , (2.9)
avec p 1 = 0.3 , p 2 = 0.05 , p 3 = 1.0 , p 4 = 1.5 , p 5 = 0.115 .
Les deux exposants de Lyapunov sont négatifs, ainsi le système est pseudo-périodique, ce qui
est visible Figure 2.18.
4
−
4
−
3
3
2
2
1
1
y
0
y
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−5 0 5
x
(a) t = 0 − 200s
−4
−5 0 5
x
(b) t = 0 − 2000s
Fig. 2.18 – Cycle limite du système de l’équation (2.10), avec p 1 = 0.3, p 2 = 0.05, p 3 = 1.0, p 4 =
1.5 , p 5 = 0.115 et les conditions initiales x(0) = ẋ(0) = 0.
Lorsque nous appliquons la théorie explicitée ci-dessus (Figures 2.19 et 2.20), un certain
nombre de remarques peuvent être faites : tout d’abord les calculs divergent après un certain
temps, ce qui avait déjà été observé dans le cas linéaire (Figures 2.2.3, 2.2.3 et 2.2.3). De plus,
les paramètres p 3 et p 5 semblent avoir le même effet sur le système, mais cela ne pourrait être
qu’une conséquence du système dynamique choisi.
Maintenant, nous essayons de calculer ces mêmes quantités en cherchant la matrice de divergence
à chaque pas de temps comme cela a déjà été expliqué. Dans ce cas, les résultats ne
divergent pas en temps long (Figure 2.21 en ce qui concerne les exposants de Lyapunov et Figure
2.22 pour leur variation par rapport aux paramètres).
253

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
6
d λ 1
/d p 1
6
d λ 2
/d p 1
10
d λ 1
/d p 2
5
5
5
4
4
0
3
3
−5
2
2
−10
1
1
−15
0
0
−20
−1
0 50 100 150 200
Temps
(a)
1
2T K 1
∂K 1
−1
∂p 1
1 ∂K 2
1 ∂K 1
(b)
(c)
2T K 2 ∂p 1 2T K 1 ∂p 2
0 50 100 150 200
0 5 10 15 20 25 30
Temps
Temps
−25
6
d λ 2
/d p 2
6
d λ 1
/d p 3
6
d λ 2
/d p 3
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
−1
0 5 10 15 20 25 30
Temps
(d)
1
2T K 2
∂K 2
−1
∂p 2
1 ∂K 1
1 ∂K 2
(e)
(f)
2T K 1 ∂p 3 2T K 2 ∂p 3
0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30
Temps
Temps
−1
6
d λ 1
/d p 4
6
d λ 2
/d p 4
6
d λ 1
/d p 5
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
−1
0 5 10 15 20 25 30
Temps
(g)
1
2T K 1
∂K 1
−1
∂p 4
1 ∂K 2
1 ∂K 1
(h)
(i)
2T K 2 ∂p 4 2T K 1 ∂p 5
0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30
Temps
Temps
−1
6
d λ 2
/d p 5
5
4
3
2
1
0
−1
0 5 10 15 20 25 30
Temps
(j)
1
2T K 2
∂K 2
∂p 5
Fig. 2.19 – Sensibilité des exposants de Lyapunov du système pseudo-périodique de l’équation
(2.10) avec les paramètres p 1 = 0.3 , p 2 = 0.05 , p 3 = 1.0 , p 4 = 1.5 , p 5 = 0.115.
254

2.2. Applications et calculs numériques
500
d λ 1
/d p 1
150
d λ 2
/d p 1
1
Conditionning of the matrix Y, case 1
400
100
0.9
300
200
50
0.8
100
0
0.7
0
0.6
−100
−50
0.5
−200
−300
−100
0.4
−400
−150
0.3
−500
0 100 200 300 400 500
Temps
(a)
1
2T K 1
∂K 1
−200
0 100 200 300 400 500
0 20 40 60 80 100
Temps
Temps
1 ∂K 2
(b)
(c) Conditionnement de la matrice
∂p 1 2T K 2 ∂p 1
Y
0.2
6
d λ 1
/d p 3
6
d λ 2
/d p 3
1
Conditionning of the matrix Y, case 3
5
5
0.9
0.8
4
4
0.7
3
3
0.6
0.5
2
2
0.4
1
1
0.3
0.2
0
0
0.1
−1
0 5 10 15 20 25 30
Temps
(d)
1
2T K 1
∂K 1
−1
∂p 3
1 ∂K 2
(e)
(f) Conditionnement de la matrice
2T K 2 ∂p 3
Y
0 5 10 15 20 25 30
0 100 200 300 400 500
Temps
Temps
0
6
d λ 1
/d p 5
6
d λ 2
/d p 5
1
Conditionning of the matrix Y, case 5
5
5
0.9
0.8
4
4
0.7
3
3
0.6
0.5
2
2
0.4
1
1
0.3
0.2
0
0
0.1
−1
0 5 10 15 20 25 30
Temps
(g)
1
2T K 1
∂K 1
−1
∂p 5
1 ∂K 2
(h)
(i) Conditionnement de la matrice
2T K 2 ∂p 5
Y
0 5 10 15 20 25 30
0 100 200 300 400 500
Temps
Temps
0
Fig. 2.20 – Sensibilité des exposants de Lyapunov du système pseudo-périodique de l’équation
(2.10) avec les paramètres p 1 = 0.3 , p 2 = 0.05 , p 3 = 1.0 , p 4 = 1.5 , p 5 = 0.115.
255

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
−0.02
λ 1
−0.03
−0.04
−0.05
−0.06
0 100 200 300 400 500 600
Temps
0.01
λ 2
0
−0.01
−0.02
−0.03
0 100 200 300 400 500 600
Temps
Fig. 2.21 – Exposants de Lyapunov obtenus en calculant Y à chaque pas de temps pour le
système pseudo-périodique de l’équation (2.10) avec les paramètres p 1 = 0.3 , p 2 = 0.05 , p 3 =
1.0 , p 4 = 1.5 , p 5 = 0.115.
256

2.2. Applications et calculs numériques
500
d λ 1
/d p 1
500
d λ 1
/d p 3
0
0
−500
−500
−1000
0 100 200 300 400 500 600
Temps
d λ 2
/d p 1
200
0
−200
−400
−600
0 100 200 300 400 500 600
Temps
(a)
−1000
1 ∂K i
1 ∂K i
(b)
2T K i ∂p 1 2T K i
0 100 200 300 400 500 600
Temps
d λ 2
/d p 3
200
0
−200
−400
−600
0 100 200 300 400 500 600
Temps
∂p 3
500
d λ 1
/d p 5
0
−500
−1000
0 100 200 300 400 500 600
Temps
200
d λ 2
/d p 5
0
−200
−400
−600
0 100 200 300 400 500 600
Temps
(c)
1
2T K i
∂K i
∂p 5
Fig. 2.22 – Variabilité des exposants de Lyapunov du système pseudo-périodique de l’équation
(2.10) en calculant Y à chaque pas de temps, avec les paramètres p 1 = 0.3 , p 2 = 0.05 , p 3 =
1.0 , p 4 = 1.5 , p 5 = 0.115.
257

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
2.2.4 Attracteur de Rossler
Dans cette section, nous étudions le système dynamique suivant :
⎧
⎨
⎩
ẋ = −y − z,
ẏ = x + p 1 y,
ż = p 2 + z(x − p 3 ).
(2.10)
Nous choisissons les valeurs numériques des paramètres de telle façon que le système résultant
soit chaotique :
{
p1 = 0.10, p 2 = 0.10, , p 3 = 12.6,
x(0) = 0.0, y(0) = 0.0, z(0) = 0.0 .
(2.11)
Dans ce cas, les oscillations des trois degrés de liberté (Figure 2.23) sont chaotiques. Pour prouver
cela, nous cherchons son attracteur étrange dont la forme est bien connue, Figure 2.24.
25
x
20
y
35
z
20
15
30
15
10
5
0
−5
−10
10
5
0
−5
−10
25
20
15
10
−15
−15
5
−20
0 500 1000 1500 2000
Time
(a) x
−20
0 500 1000 1500 2000
Time
(b) y
0
0 500 1000 1500 2000
Time
(c) z
Fig. 2.23 – Oscillations des trois degrés de liberté x, y and z au cours du temps.
Les exposants de Lyapunov peuvent être calculés (Figure 2.25), ainsi que leur variabilité
avec le paramètre p 1 (Figure 2.26). Dans ce cas, le premier exposant λ 1 est très important et a
beaucoup d’impact sur le système (c’est le cas en fonction de chacun des trois paramètres).
Nous ne représentons ici que les variations des trois exposants avec le paramètre p 2 . Nous
observons qu’il existe des irrégularités dans le calcul. En particulier, ∂λ 2
et ∂λ 3
pourraient être
∂p 2 ∂p 2
fausses à partir de t ≈ 5s (matrices à intégrer mal conditionnées).
Si nous choisissons les paramètres p 1 = 0.2, p 2 = 0.2 et p 3 = 5.7, le comportement du système
est différent, Figure 2.27.
Si nous utilisons l’algorithme de Wolf, les exposants de Lyapunov peuvent être calculés pour
différentes valeurs numériques des paramètres (Figure 2.28). Alors les quantités ∂λ s
∂p j
peuvent
également être calculées (Figure 2.29). Dans ce cas chaotique, nous observons les inconvénients
de cette méthode de calcul : lorsque les matrices sont mal conditionnées, les calculs ne sont pas
précis et les résultats peuvent être faux.
258

2.2. Applications et calculs numériques
40
40
30
30
z
20
z
20
10
10
0
20
10
0
y
−10
−20
−20
−10
0
x
10
20
30
0
20
10
0
y
−10
−20
−20
−10
0
x
10
20
30
(a) x(0) = 0.0, y(0) = 0.0, z(0) = 0.0
(b) x(0) = 0.1, y(0) = 0.1, z(0) = 0.1
Fig. 2.24 – Attracteur du système de Rossler de l’équation (2.10) avec p 1 = 0.1, p 2 = 0.1,
p 3 = 12.6 et différentes conditions initiales.
−1
λ 1
0.1
λ 2
0.22
λ 3
−2
0.09
0.2
−3
0.08
0.18
0.07
−4
0.16
0.06
−5
0.05
0.14
−6
0.04
0.12
−7
0.03
0.1
−8
0 2 4 6 8 10
Temps
0.02
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
Temps
Temps
0.08
(c) λ 3
Fig. 2.25 – Exposants de Lyapunov du système de Rossler de l’équation (2.10) avec p 1 = 0.1,
p 2 = 0.1, p 3 = 12.6, calculés avec la méthode explicitée dans ce chapitre.
d λ 1
/d p 2
80
d λ 2
/d p 2
120
d λ 3
/d p 2
0
60
100
−0.5
40
80
60
−1
20
40
−1.5
20
−2
0
0
0.5 x 108 Temps
−2.5
−20
−20
−40
−3
−40
−60
−3.5
0 2 4 6 8 10
−60
(a) ∂λ1
∂p 2
(b) ∂λ2
∂p 2
(c) ∂λ3
∂p 2
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
Temps
Temps
−80
Fig. 2.26 – Variations ∂λ s
∂p 2
des exposants de Lyapunov du système de Rossler de l’équation
(2.10) avec p 1 = 0.1, p 2 = 0.1, p 3 = 12.6, calculés avec la méthode explicitée dans ce chapitre.
259

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
z
25
20
15
10
5
z
25
20
15
10
5
0
10
0
y
−10
−20
−10
−5
0
x
5
10
15
0
10
0
y
−10
−20
−10
−5
0
x
5
10
15
(a) x(0) = 0.0, y(0) = 0.0, z(0) = 0.0
(b) x(0) = 0.1, y(0) = 0.1, z(0) = 0.1
Fig. 2.27 – Attracteur du système de Rossler de l’équation (2.10) avec p 1 = 0.1, p 2 = 0.1,
p 3 = 12.6 et différentes conditions initiales.
2.3 Conclusion
Ce chapitre a fait l’objet d’un article car il explicite une méthode innovative pour calculer la
valeur numérique des exposants de Lyapunov. Cette méthode semble adaptée pour des systèmes
dynamiques stables, mais inefficace dans le cas de systèmes dynamiques.
Pourtant, cette méthode de calcul qui utilise la matrice de monodromie semble particulièrement
pour estimer le pseudo-exposant de Lyapunov en temps fini, et donc l’évolution au cours
du temps (fini) d’une divergence initiale (voir chapitre 1, page 193).
260

2.3. Conclusion
1
0
−1
−2
−3
0.02
0.01
0
−0.01
λ 1
λ 2
λ
−4
λ
−0.02
−5
−6
−7
λ 1
λ 2
λ 3
−0.03
−0.04
−8
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
p 1
(a) p 2 = 0.2, p 3 = 5.7
−0.05
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
p 1
(b) p 2 = 0.2, p 3 = 5.7
1
0.02
0
−1
0.01
0
λ 1
λ 2
λ
−2
−3
−4
−5
−6
−7
λ 1
λ 2
λ 3
λ
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
−0.05
−8
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
p 2
(c) p 1 = 0.2, p 3 = 5.7
−0.06
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
p 2
(d) p 1 = 0.2, p 3 = 5.7
1
0.12
λ 1
λ 1
0
λ 2
0.1
λ 2
λ 3
−1
0.08
λ
−2
−3
−4
−5
−6
λ
0.06
0.04
0.02
0
−7
5 5.2 5.4 5.6 5.8 6
p 3
(e) p 1 = 0.2, p 2 = 0.2
−0.02
5 5.2 5.4 5.6 5.8 6
p 3
(f) p 1 = 0.2, p 2 = 0.2
Fig. 2.28 – Exposants de Lyapunov du système de Rossler pour différentes valeurs des paramètres
p 1 , p 2 et p 3 , calculés avec l’algorithme de Wolf.
261

Chapitre 2. Calcul des exposants de Lyapunov avec la matrice d’évolution
d λ/d p1
300
λ 1
250
λ 2
λ 3
200
150
100
50
0
−50
0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
(a) ∂λs
∂p 1
, p 2 = 0.2, p 3 = 5.7
d λ/d p1
2
λ 1
1.5
λ 2
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
(b) ∂λs
∂p 1
, p 2 = 0.2, p 3 = 5.7
d λ/d p2
300
λ 1
250
λ 2
λ 3
200
150
100
50
0
−50
0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
(c) ∂λs
∂p 2
, p 1 = 0.2, p 3 = 5.7
d λ/d p2
3
λ 1
2.5
λ 2
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3
(d) ∂λs
∂p 2
, p 1 = 0.2, p 3 = 5.7
d λ/d p3
250
λ 1
λ 2
200
λ 3
150
100
50
0
−50
5 5.2 5.4 5.6 5.8 6
p 3
(e) ∂λs
∂p 3
, p 1 = 0.2, p 2 = 0.2
d λ/d p3
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
λ 1
λ 2
−3
−3.5
5 5.2 5.4 5.6 5.8 6
(f) ∂λs
∂p 3
, p 1 = 0.2, p 2 = 0.2
Fig. 2.29 – Sensibilité des exposants de Lyapunov du système de Rossler pour différentes valeurs
numériques des paramètres p 1 , p 2 et p 3 , déduites avec les exposants obtenus avec l’algorithme
de Wolf.
262

Conclusion
Le sujet de ce chapitre est très controversé : en effet certains articles sur ce sujet ont été
refusés à la publication (de M. Schatzmann et F. Nqi par exemple). En particulier, ils mettaient
en avant la variabilité des exposants de Lyapunov avec les paramètres de calcul (pas en temps,
nombre de réorthonormalisations par pas d’intégration, ...).
De même, lorsqu’ils ont été présentés en conférence ou en article, ces résultats ont été l’objet
de discussions : classiquement, l’exposant de Lyapunov n’est calculé qu’en temps infini et il est
considéré comme ergodique. De même, il est parfois utilisé pour estimer des divergences en temps
fini.
C’est ainsi que le premier chapitre de cette partie a un but principalement pédagogique : en
effet, nous montrons qu’en temps fini, la valeur numérique prise en temps fini par la fonction
définissant en temps infini l’exposant de Lyapunov dépend de divers paramètres : le temps
considéré, le point en espace considéré, les conditions initiales (en espace, en divergence...). Ainsi,
utiliser cette valeur pour estimer la divergence en temps fini est erroné. Nous définissons alors le
peusdo-exposant de Lyapunov en temps fini, qui correspond au maximum pris par cette fonction.
Celui-ci est alors adapté à la majoration de la divergence en temps fini. Malheureusement, il est
malaisé à calculer et dans le cas général, il n’existe pas de résultats simplifiant ce calcul.
Dans ce premier chapitre, les calculs numériques ont été réalisés à l’aide de l’algorithme de
Wolf. Une autre méthode de calcul est explicitée dans le second chapitre, qui utilise la matrice de
monodromie. Elle est difficile à mettre en oeuvre, suite aux calculs raides. Mais elle est adaptée
aux calculs en temps fini, et donc répond à notre problématique.
Ainsi, dans cette partie, le cas de conditions initiales incertaines ont été étudié. Ce cas est
habituellement considéré en temps infini (exposant de Lyapunov) en décidant de la stabilité ou
non du système dynamique. Ici, cette problématique a été abordée en temps fini, ce qui nous a
permis de mettre en évidence des phénomènes complexes.
263

Conclusion
264

Quatrième partie
Etude du pompage énergétique dans
un système à deux degrés de liberté
avec loi de comportement
élasto-plastique
265

Cette partie a fait l’objet de trois communications en conférences avec comité de lecture :
– ”Energy Pumping for Mechanical Systems with Non-Smooth Terms of Saint-Venant Type“,
Euromech Colloqium 498, Nonlinear Dynamics of Composite and Smart Structures, 21st-
24th May 2008, Kazimierz Dolny, Poland, [93].
– ”Energy Pumping with Plastic Structures : Numerical Evidences“, NPPS-2008, International
Conference on Nonlinear Phenomena in Polymer Solids and Lox-dimensional Systems,
7-10 July 2008, Moscow, Russia, [94].
– ”Numerical Evidence for Targeted Energy Transfer in Pure Plastic Oscillators and Damage
Oscillators“, Society of Engineering Science, 45 th Annual Technical Meeting, October 12-
15, 2008, University of Illinois, Urbana-Champaign, USA.
De plus, elle a permis d’écrire au moins un article publié dans ”International Journal of Nonlinear
Mechanics“.
267

268

Introduction
Dans ce qui précède, plusieurs sortes d’incertitudes ont été étudiées : les paramètres, les
conditions initiales, les sollicitations auxquelles est soumise la structure, ...
Dans cette partie, nous nous intéressons à l’incertitude liée à la loi de comportement. En
particulier, nous utilisons le système dynamique composé de deux oscillateurs, permettant le
phénomène de pompage énergétique, pour examiner le cas où la structure principale (linéaire)
a un comportement différent de celui supposé généralement (élastique parfait). En effet, pour
simplifier les calculs, les structures sont supposées élastiques linéaires. De plus, lors des campagnes
expérimentales, les résultats sont lissés, donc les lois de comportement sont simplifiées,
elles sont alors souvent élastiques linéaires.
Ainsi, dans un premier chapitre, nous considérons le comportement élastoplastique parfait
pour la structure linéaire. Il est modélisé à l’aide d’éléments de Saint-Venant. L’étude mathématique
est réalisée avec la théorie des opérateurs non-monotones, et sera implémentée avec des
simulations numériques.
Dans un deuxième chapitre, l’étude est élargie aux comportements élastoplastiques, sans ou
avec endommagement. Ici, seule une étude numérique sera menée.
Pourtant la conclusion sera la même pour tous ces cas : il est possible d’ajuster la nonlinéarité
cubique du deuxième oscillateur afin que du transfert efficace d’énergie ait lieu dans tous les cas,
élastique ou élastoplastique avec un intervalle de variation du seuil de plasticité.
269

Introduction
270

Chapitre 1
Incertitudes modélisées par des
éléments de Saint Venant
Dans ce chapitre, nous étudions une incertitude liée à la loi de comportement
du matériau. En effet, ici, nous supposons qu’elle peut être de deux types :
élastique parfait ou élastoplastique parfait. Nous montrons que, même si le
système de deux oscillateurs est conçu pour un comportement élastique, le
phénomène de pompage énergétique n’est pas toujours détruit dans le cas
d’un comportement élastoplastique. Mais le résultat le plus important est le
fait que, étant donné un ensemble de comportements propables, il est possible
de concevoir la nonlinéarité cubique pour que le transfert d’énergie ait lieu
dans tous les cas, et ce de manière efficace.
Sommaire
1.1 Présentation des systèmes étudiés dans le cas non sollicité . . . 272
1.1.1 Système dynamique sans incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
1.1.2 Système dynamique avec incertitudes : Avec un seul élément de
Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
1.1.3 Système dynamique avec incertitudes : Avec N éléments de Saint-
Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
1.2 Présentation des systèmes étudiés dans le cas sollicité . . . . . . 282
1.3 Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
1.3.1 Sans sollicitation et avec un seul élément de Saint-Venant . . . . . 288
1.3.2 Sans sollicitation et avec plusieurs éléments de Saint-Venant . . . . 289
1.3.3 Cas sollicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
1.4 Définition d’un coefficient d’amortissement équivalent . . . . . . 304
1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
271

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
1.1 Présentation des systèmes étudiés dans le cas non sollicité
Nous étudions le système dynamique du pompage énergétique sans et avec incertitude sur la
loi de comportement de la structure principale. Dans cette première section, les systèmes étudiés
sont libres.
1.1.1 Système dynamique sans incertitude
Equations différentielles du mouvement du sytème
Nous étudions le système dynamique, représenté Figure 1.1, constitué par une structure
principale (masse M, amortissement c 1 , raideur linéaire c 2 ) couplé linéairement (raideur g) avec
une structure annexe cubique (masse m, amortissement c 3 , raideur linéaire c 4 , raideur cubique
c 5 ), et qui est régi par les équations différentielles suivantes.
Soit x,ẋ (respectivement y, ẏ) le déplacement et la vitesse de M (respectivement m).
c 2
c 1
g
c 5
c 4
c 3
M
m
y
Fig. 1.1 – Système dynamique sans incertitudes : une structure principale, linéaire est couplée
avec une raideur linéaire à une structure, annexe, légère avec une non-linéarité cubique.
x
272
{
Mẍ + c 1 ẋ + c 2 x + g(x − y) = 0,
mÿ + c 3 ẏ + c 4 y + c 5 y 3 + g(y − x) = 0,
ce que nous réécrivons sous la forme :
{
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + γ 1 (x − y) = 0,
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
avec
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a 1 = c 1
M , k 1 = c 2
M , γ 1 = g M ,
(1.1)
(1.2)
a 2 = c 3
m , k 2 = c 4
m , c = c 5
m , γ 2 = g m , (1.3)

1.1. Présentation des systèmes étudiés dans le cas non sollicité
ou encore :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẋ 1 = x 2 ,
ẋ 2 = −a 1 x 2 − k 1 x 1 − γ 1 (x 1 − x 3 ),
ẋ 3 = x 4 ,
ẋ 4 = −a 2 x 4 − k 2 x 3 − cx 3 3 − γ 2(x 3 − x 1 ).
(1.4)
On discrétise ces relations avec un schéma d’Euler explicite :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x 1 (n + 1) = x 1 (n) + ∆t x
[ 2 (n),
]
x 2 (n + 1) = x 2 (n) + ∆t − a 1 x 2 (n) − k 1 x 1 (n) − γ 1 (x 1 (n) − x 3 (n)) ,
x 3 (n + 1) = x 3 (n) + ∆t x
[ 4 (n),
]
x 4 (n + 1) = x 4 (n) + ∆t − a 2 x 4 (n) − k 2 x 3 (n) − cx 3 (n) 3 − γ 2 (x 3 (n) − x 1 (n)) .
(1.5)
{
tn+1 = t
où ∆t est le pas de temps tel que
n + ∆t, ∀n ≥ 0,
t 0 = 0
⎟
⎠ est l’approximation
au temps t = t n = n∆t du vecteur
⎛
⎜
⎝
x 1 (t n )
x 2 (t n )
x 3 (t n )
x 4 (t n )
⎞
⎟
⎠ .
et
⎛
⎜
⎝
x 1 (n)
x 2 (n)
x 3 (n)
x 4 (n)
⎞
Occurence du pompage énergétique
Pour que ce transfert ait lieu, les valeurs numériques des paramètres doivent être tels que le
mode non-linéaire, selon lequel le transfert d’énergie se réalise, existe. De plus, dans ce cas libre,
l’énergie initiale doit être suffisante pour que le pompage s’amorce.
Des exemples et des illustrations de ceci peuvent être trouvés dans la section 1.3, page 286.
De nombreux articles existent sur ce sujet, par exemple [109, 43, 37, 35],.... Un résumé assez
actuel des méthodes et connaissances existantes est donné par [40].
1.1.2 Système dynamique avec incertitudes : Avec un seul élément de Saint-
Venant
Pour introduire l’incertitude sur la loi de comportement, nous ajoutons un élément de Saint-
Venant dans la structure linéaire. Ce dernier consiste en la mise en série d’un ressort linéaire k
et d’un patin de seuil α : pour un déplacement strictement positif (respectivement strictement
négatif), il développe une force égale à −α (respectivement α). Si le déplacement est nul, la force
développée est incertaine, comprise dans [−α,+α].
273

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
Pour plus de renseignements, de nombres références sont disponibles, par exemple [88, 63,
61, 10, 8, 14].
Equations différentielles du mouvement du sytème
Dans ce cas (Figure 1.2) où un élément de Saint-Venant (raideur linéaire k 3 , seuilα) a été
ajouté par rapport à la figure 1.1, les équations du mouvement s’écrivent :
c 2
c 1
k 3 α
g
c 5
c 4
c 3
M
m
y
Fig. 1.2 – Système dynamique avec un seul élément de Saint-Venant.
x
{ Mẍ + c1 ẋ + c 2 x + c 6 u + g(x − y) = 0,
mÿ + c 3 ẏ + c 4 y + c 5 y 3 + g(y − x) = 0,
avec
⎧
⎨
⎩
f = −k 3 u,
f ∈ −ασ(˙v),
x = u + v → ẋ = ˙u + ˙v.
(1.6)
Avec les deux premières équations, une condition d’existence apparait : ∀t, u(t) ∈
En particulier, il faut u 0 = u(t 0 ) = u(0) ∈
[− α , α ]
.
k 3 k 3
[− α k 3
, α k 3
]
.
274

1.1. Présentation des systèmes étudiés dans le cas non sollicité
Nous pouvons donc réécrire cela de la forme suivante :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + k 3 u + γ 1 (x − y) = 0,
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y +
(
cy 3 +
)
γ 2 (y − x) = 0,
k3
β
α u + u − ẋ ∋ 0,
avec les conditions initiales :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x(0) = x 0 ,
y(0) = y 0 ,
u(0) = u 0 ∈
[− α k 3
, α k 3
]
.
(1.7)
β est la fonction inverse de la fonction signe σ. Pour le calcul numérique, nous écrivons ces
équations sous la forme d’un système d’équations différentielles du premier ordre :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẋ 1 = x 2 ,
ẋ 2 = −a 1 x 2 − k 1 x 1 − k 3 x 5 − γ 1 (x 1 − x 3 ),
ẋ 3 = x 4 ,
ẋ 4 = −a 2 x 4 − k 2 x 3 − c 2 x 3 3 − γ 2(x 3 − x 1 ),
ẋ 5 ∋ x 2 − β
(
k3 x 5
α
)
.
Comme auparavant, les quatre premières équations sont résolues avec un schéma d’Euler
explicite. La dernière et cinquième équation est discrétisée avec un schéma d’Euler implicite.
Ainsi :
x 2 (n + 1) ∈ x 5(n + 1) − x 5 (n)
∆t
Il existe une suite (z n ) n∈N telle que :
⇒
Posons : η = α k 3
.
On a alors :
x 5 (n + 1) ∋
x 5 (n + 1) ∋
(
k3 x 5 (n + 1)
+ β
α
z(n + 1) = x (
5(n + 1) − x 5 (n) k3 x 5 (n + 1)
+ β
∆t
α
[
I + ∆t β
(
k3
α . )] −1 (
x 5 (n) + ∆tx 2 (n + 1)
(1.8)
)
. (1.9)
)
, (1.10)
)
. (1.11)
[ ( )] 1 −1 (
)
I + ∆t β
η . x 5 (n) + ∆tx 2 (n + 1) . (1.12)
275

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
On peut représenter cette fonction
[
I + ∆tβ
( 1
η . )] −1
(x)
η
[
I + ∆t β
( 1
η . )] −1
:
(
I + ∆tβ
( 1
η . )) −1
=
−η
−η
η
x
⎧
⎨
⎩
−η si x ∈] − ∞, −η],
x si x ∈] − η, η[,
η si x ∈]η,+∞[.
(1.13)
Cette fonction est univoque donc l’inclusion (1.12) devient une égalité :
x 5 (n + 1) =
[ ( )] 1 −1 (
)
I + ∆tβ
η . x 5 (n) + ∆tx 2 (n + 1) . (1.14)
Existence et unicité de la solution pour ce sytème avec un seul élément de Saint-
Venant
On prouve l’existence et l’unicité de la solution du système d’équations différentielles (1.7) :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + k 3 u + γ 1 (x − y) = 0,
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + c 2 y
( 3 + γ 2 (y − x) = 0,
u
β + u − ẋ ∋ 0.
η)
(1.15)
Nous essayons de nous ramener à la proposition 3.12 (page 106) de la référence [14] :
Proposition 1.1.1 (Proposition 3.12 de [14]) Soit ϕ une fonction convexe semi-continue
inférieurement propre sur H et B une application de [0, T] × D(ϕ) ¯ dans H, vérifiant :
– ∃w ≥ 0, ∀t ∈ [0, T], ∀u 1 , u 2 ∈ D(ϕ), ¯ |B(t, u 1 ) − B(t, u 2 )| ≤ w|u 1 − u 2 |,
– ∀u ∈ D(ϕ), ¯ l’application t ↦→ B(t, u) appartient à L 2 ([0, T], H).
Alors ∀u 0 ∈ D(ϕ), ¯ il existe une solution unique u solution de l’équation :
du
dt (t) + ∂ϕ(u(t)) + B(t, u(t)) ∋ 0, u(0) = u 0,
telle que √ t du
dt (t) ∈ L2 ([0, T], H).
(1.16)
Nous mettons le système étudié sous la forme (1.16) et nous montrons que toutes les hypothèses
sont vérifiées.
276

⎡
On note : H = R 5 , u =
⎢
⎣
1.1. Présentation des systèmes étudiés dans le cas non sollicité
⎤
x 1
x 2
x 3
⎥
x 4
⎦
x 5
Dans notre cas, nous posons :
⎡
, donc du
dt (t) = ⎢
⎣
∂ϕ(u) = 0 × 0 × 0 × 0 × β
Soit ϕ I la fonction indicatrice suivante :
⎤
ẋ 1
ẋ 2
ẋ 3
⎥
ẋ 4
ẋ 5
⎦ .
( )
x5
. (1.17)
η
∀x ∈ R, ϕ I (x) =
{ 0 si x ∈ I,
+∞ si x /∈ I.
(1.18)
Définition 1.1.2 Le sous-différentiel ∂ϕ de ϕ est défini par :
Alors :
y ∈ ∂ϕ(x) ⇔ ∀h ∈ R, ϕ(x + h) − ϕ(x) ≥ (y, h). (1.19)
De plus, nous posons :
∀y ∈ R, ∂ϕ [−1,1] (x) = β(x). (1.20)
B (1) (t, u(t)) = B (1) (u(t)) =
=
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
−x 2
a 1 x 2 + k 1 x 1 + k 3 x 5 + γ 1 (x 1 − x 3 )
−x 3
a 2 x 4 + k 2 x 3 + cx 3 3 + γ 2(x 3 − x 1 )
−x 2
−x 2
G 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) + k 3 x 5
−x 3
G 2 (x 1 , x 3 , x 4 )
−x 2
⎤
⎥
⎦
(1.21)
⎤
⎥
⎦ .
Or cette fonction n’est pas lipschitzienne en son deuxième (et unique) argument, suite à la
puissance cubique.
Soit M ≥ 1 > 0.
Nous { restreignons alors notre étude au pavé :
}
H M = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ∈ [−M, M] × [−M, M] × [−M, M] × [−M, M] × [−M, M] .
277

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
Nous réécrivons alors le système étudié sous la forme :
du M
dt (t) + ∂ϕ(u M(t)) + B M (t, u M (t)) ∋ 0, u M (0) = u 0 ∈ [−η, η] ⊂ [−M, M],
telle que √ t du
dt (t) ∈ L2 ([0, T], H).
avec :
– χ I la fonction indicatrice de l’espace I :
(1.22)
⎡
– u M =
⎢
⎣
⎤
x 1M
x 2M
x 3M
⎥
x 4M
x 5M
⎦ ∈ H M,
χ I (x) =
{ 0 si x /∈ I,
1 si x ∈ I.
(1.23)
– B M (t, u M (t)) = χ M (u M (t))B(t, u M (t)).
Ainsi avec T M = inf {t/∃i, |x i (t)| ≥ M}, nous résolvons sur [0, T M ] le problème différentiel
suivant :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
du M
dt (t) + ∂ϕ M(u M (t)) + B M (t, u M (t)) ∋ 0,
∀i ∈ {1, . . .,4} , x iM (0) = x i0 ∈ [−M, M],
x 5M (0) = x 50 ∈ [−η, η] ⊂ [−M, M].
(1.24)
Alors :
– ∂ϕ(u M (t)) est la sous-différentielle d’une fonction semi-continue inférieurement propre sur
H M : ϕ M = χ [−1,1] .
– B M est une application de [0, T M ] × ( D(ϕ) ¯ ∩ [−M, M] ) = [0, T M ] × D(ϕ) ¯ (pour M suffisamment
grand) dans H M tel que :
– ∀u M ∈ D(ϕ)∩[−M, ¯ M] = D(ϕ), ¯ l’application t ↦→ B M (t, u M ) appartient à L 2 ([0, T M ], H M ).
En effet, t ↦→ B M (t, u M ) est continue donc de carré intégrable sur les compacts.
– ∃w M ≥ 0, ∀t ∈ [0, T M ], ∀u 1 , u 2 ∈ D(ϕ¯
M ) ∩ [−M, M] = D(ϕ¯
M ),
|B M (t M , u 1 ) − B M (t M , u 2 )| = |χ M (u 1M (t))B(t, u 1M (t)) − χ M (u 2M (t))B(t, u 2M (t))|
≤ w M |u 1M (t) − u 2M (t)|
.
En effet, B M est différentiable sur H M compact de R 5 , nulle ailleurs.
Donc d’après Brézis ([14]), ∀M ≥ 1, ∀u 0 ∈ D(ϕ) ¯ ∩ [−M, M] = D(ϕ), ¯ il existe une solution
unique u M solution de l’équation différentielle :
278
∀t ∈ [0, T M ], du M
dt (t) + ∂ϕ M(u M (t)) + B M (t, u M (t)) ∋ 0, u M (0) = u 0 . (1.25)

1.1. Présentation des systèmes étudiés dans le cas non sollicité
1.1.3 Système dynamique avec incertitudes : Avec N éléments de Saint-
Venant
Ici, l’incertitude introduite est plus générale car modélisée par N éléments de Saint-Venant
de raideur k i et de seuil α i (i ∈ {1, . . .,N}).
Equations différentielles du mouvement du sytème
Dans ce cas (Figure 1.3), les équations du mouvement s’écrivent :
c 2
c 1
g
c 5
k 3 α 3
c 4
c 3
k N+2
α N+2
M
m
y
Fig. 1.3 – Système dynamique avec N éléments de Saint Venant : N éléments de Saint-Venant
sont insérés sur la structure linéaire.
x
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Mẍ + a 1 ẋ + k 1 x +
N∑
k i+2 u i + g(x − y) = 0,
i=1
mÿ + a 2 ẏ + k 2 y + cy 3 (
+ g(y −
)
x) = 0,
ki+2 u i
∀i ∈ {1, . . .,N} , ẋ ∈ ˙u i + β .
α i
(1.26)
Nous posons η i = α i
(i ∈ {1, . . .,N}), en les réordonnant : η 1 < η 2 < . . . < η N−1 < η N .
k i+2
[ Comme précédemment, une condition d’existence apparait : ∀t, ∀i ∈ {1, . . .,N},u i (t) ∈
− α 1
, α ]
1
= [−η 1 , η 1 ]. En particulier, il faut u i (0) ∈ [−η 1 , η 1 ].
k 3 k 3
279

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
Nous pouvons donc réécrire cela de la forme suivante :
⎧
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + k 3 u + γ 1 (x − y) = 0,
⎪⎨
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + cy
( 3 +
)
γ 2 (y − x) = 0,
ui
⎪⎩ ∀i ∈ {1, . . .,N},β + u i − ẋ ∋ 0,
η i
⎧
avec les conditions initiales :
⎨
x(0) = x 0 ,
y(0) = y 0 ,
⎩
∀i ∈ {1, . . .,N},u i (0) = u i0 ∈ [−η 1 , η 1 ] .
Ainsi :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẋ 1 = x 2 ,
ẋ 2
= −a 1 x 2 − k 1 x 1 −
N∑
k i+2 x i − γ 1 (x 1 − x 3 ),
ẋ 3 = x 4 ,
ẋ 4 = −a 2 x 4 −
(
k 2 x 3 −
)
cx 3 3 − γ 2(x 3 − x 1 ),
x4+i
∀i ∈ {1, . . .,N} , x 2 ∈ ẋ 4+i + β .
η i
i=1
(1.27)
(1.28)
Nous discrétisons le temps en utilisant des schémas d’Euler explicite pour les quatre premières
équations différentielles et un schéma d’Euler implicite pour les inclusions différentielles :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x 1 (n + 1) = x 1 (n) + ∆t x
[ 2 (n),
]
x 2 (n + 1) = x 2 (n) + ∆t − a 1 x 2 (n) − k 1 x 1 (n) − γ 1 (x 1 (n) − x 3 (n)) ,
x 3 (n + 1) = x 3 (n) + ∆t x
[ 4 (n),
]
x 4 (n + 1) = x 4 (n) + ∆t − a 2 x 4 (n) − k 2 x 3 (n) − cx 3 (n) 3 − γ 2 (x 3 (n) − x 1 (n)) ,
[ ( )] 1 −1 (
)
∀i ∈ {1, . . .,N} , x 4+i (n + 1) = I + ∆tβ . x 4+i (n) + ∆tx 2 (n + 1) .
η i
(1.29)
Existence et unicité de la solution pour ce sytème avec N éléments de Saint-Venant
On prouve l’existence et l’unicité de la solution du système d’équations différentielles (1.27) :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x +
N∑
k 2+i u i + γ 1 (x − y) = 0,
i=1
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + cy
( 3 +
)
γ 2 (y − x) = 0,
ui
∀i ∈ {1, . . .,N} , β + u i − ẋ ∋ 0.
η i
(1.30)
280

1.1. Présentation des systèmes étudiés dans le cas non sollicité
Nous écrivons ce système d’équations différentielles sous celle de la proposition 3.12 (page
106) de la référence [14].
Pour cela, comme dans la partie précédente, nous mettons le système étudié sous la forme
(1.16) et nous montrons que toutes les hypothèses sont vérifiées.
⎡ ⎤
⎡ ⎤
x 1
ẋ 1
x 2
On note : H = R 4+N , u =
⎢ .
, donc du
ẋ 2
⎥ dt (t) = ⎢ .
.
⎥
⎣ x N+3
⎦
⎣ ẋ N+3
⎦
x N+4 ẋ N+4
Dans notre cas, nous posons :
De plus, nous posons :
( ) ( )
x5 x4+N
∂ϕ(u) = 0 × 0 × 0 × 0 × β × . . . × β . (1.31)
η 1 η N
⎡
B (1) (t, u(t)) =
⎢
⎣
−x 2
a 1 x 2 + k 1 x 1 + k 3 x 5 + γ 1 (x 1 − x 3 )
−x 3
a 2 x 4 + k 2 x 3 + c 2 x 3 3 + γ 2(x 3 − x 1 )
−x 2
.
−x 2
⎤
⎡
=
⎥ ⎢
⎦ ⎣
−x 2
G 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) + k 3 x 5
−x 3
G 2 (x 1 , x 3 , x 4 )
−x 2
.
−x 2
⎤
. (1.32)
⎥
⎦
Or cette fonction n’est pas lipschitzienne en son deuxième argument.
Soit M ≥ 1 > 0.
}
Nous restreignons alors notre étude au pavé H M =
{(x 1 , . . .,x 4+N ) ∈ [−M, M] 4+N .
Nous réécrivons alors le système étudié sous la forme :
du M
dt (t) + ∂ϕ(u M(t)) + B M (t, u M (t)) ∋ 0, u M (0) = u 0 ∈ [−η, η] ⊂ [−M, M],
telle que √ t du
dt (t) ∈ L2 ([0, T], H).
avec :
– χ I la fonction indicatrice de l’espace I :
χ I (x) =
{ 0 si x /∈ I,
1 si x ∈ I.
(1.33)
(1.34)
281

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
⎡
– u M =
⎢
⎣
⎤
x 1M
x 2M
.
⎥
x (3+N)M
⎦
x (4+N)M
∈ H M ,
– B M (t, u M (t)) = χ M (u M (t))B(t, u M (t)).
Ainsi avec T M = inf {t/∃i, |x i (t)| ≥ M}, nous résolvons sur [0, T M ] le problème différentiel
suivant :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
du M
dt (t) + ∂ϕ(u M(t)) + B M (t, u M (t)) ∋ 0,
∀i ∈ {1, . . .,4} , x iM (0) = x i0 ∈ [−M, M],
∀i ∈ {5, . . .,4 + N} , x iM (0) = x i0 ∈ [−η 1 , η 1 ] ⊂ [−M, M].
(1.35)
Alors :
– ∂ϕ(u M (t)) est la sous-différentielle de la fonction semi-continue inférieurement propre sur
H M suivante : ϕ M = χ [−1,1] .
– B M est une application de [0, T M ] × ( D(ϕ¯
M ) ∩ [−M, M] ) = [0, T M ] × D(ϕ) ¯ dans H M tel
que :
– ∀u M ∈ D(ϕ)∩[−M, ¯ M] = D(ϕ), ¯ l’application t ↦→ B M (t, u M ) appartient à L 2 ([0, T M ], H M ).
En effet, t ↦→ B M (t, u M ) est continue donc de carré intégrable sur les compacts.
– ∃w M ≥ 0, ∀t ∈ [0, T M ], ∀u 1 , u 2 ∈ D(ϕ¯
M ) ∩ [−M, M] = D(ϕ¯
M ),
|B M (t M , u 1 ) − B M (t M , u 2 )| = |χ M (u 1M (t))B(t, u 1M (t)) − χ M (u 2M (t))B(t, u 2M (t))|
≤
w M |u 1M (t) − u 2M (t)|
.
En effet, B M est différentiable sur H M compact de R 5 , nulle ailleurs.
Donc d’après Brézis ([14]), ∀M ≥ 1, ∀u 0 ∈ D(ϕ) ¯ ∩ [−M, M] = D(ϕ), ¯ il existe une solution
unique u M solution de l’équation différentielle :
∀t ∈ [0, T M ], du M
dt (t) + ∂ϕ M(u M (t)) + B M (t, u M (t)) ∋ 0, u M (0) = u 0 . (1.36)
1.2 Présentation des systèmes étudiés dans le cas sollicité
Nous étudions également les systèmes précédents (figures 1.1, 1.2 et 1.3) dans le cas sollicité.
Nous prendrons la solicitation égale à f cos(wt).
Pour le système dynamique du pompage énergétique (voir figure 1.4), les équations du mouvement
s’écrivent :
{
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + c 2 y 3 (1.1)
+ γ 2 (y − x) = 0
282
Ce système a été étudié par exemple dans les références [36, 108, 41].

1.2. Présentation des systèmes étudiés dans le cas sollicité
c 2
F cos(wt)
c 1
g
c 5
c 4
c 3
M
m
y
Fig. 1.4 – Système dynamique sollicité sans incertitudes : un oscillateur linéaire (masse M,
amortissement c 1 , raideur linéaire c 2 ) soumis à une sollicitation sinusoïdale (amplitude F, fréquence
w) couplé linéairement à un oscillateur cubique (masse m, amortissement c 3 , raideur
linéaire c 4 , raideur cubique c 5 ).
x
Ce système dynamique découle en fait de la réécriture des équations différentielles du mouvement
d’un oscillateur linéaire avec un NES :
{
ÿ1 + ǫλ(ẏ 1 − ẏ 2 ) + y 1 + 8ǫ(y 1 − y 2 ) 3 = ǫAcos(wt),
ǫÿ 2 + ǫλ(ẏ 2 − ẏ 1 ) + 8ǫ(y 2 − y 1 ) 3 (1.2)
= 0.
{ w = y1 + ǫy
En effectuant le changement de variables
2 ,
(translation de l’origine au
w = y 1 − y 2 ,
barycentre des masses), ceci peut s’écrire :
⎧
⎨
avec :
⎩
ẅ +
v
1 + ǫ + ǫw
1 + ǫ
¨v +
= ǫAcos(wt),
v
1 + ǫ + ǫw
1 + ǫ + (1 + ǫ)λẇ + 8(1 + ǫ)w3 = ǫAcos(wt).
Alors en posant χ = ǫ 1/3 , V = χ −1 v, W = w, ce système s’écrit finalement :
{
¨V + V + χ 2 W = χ 2 A cos(wt),
Ẅ + χV + λẆ + 8W 3 = 0.
Finalement :
{
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
{
a1 = 0, k 1 = 1 + χ 2 , γ 1 = −χ 2 , f = Aχ 2 , w = w,
a 2
= λ, k 2 = χ, c = 8.0, γ 2 = −χ.
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
283

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
Dans ce cas, les oscillations sont périodiques, voir figure 1.5 ou référénce [41]. Pour cette
représentation graphique, nous avons utilisé les valeurs numériques suivantes : ǫ = 0.05, λ = 0.2,
A = 0.2, w = 1.01. A l’instant initial, la structure est supposée à l’équilibre total (y 1 = ẏ 1 =
y 2 = ẏ 2 = 0).
1
0.8
y 1
y 2
0.6
0.4
0.2
y 1
,y 2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1
0 50 100 150 200
t
Fig. 1.5 – Positions des oscillateurs linéaires et non-linéaires, pour t variant de 0s à 200s, du
système (1.5), avec les paramètres : ǫ = 0.05, λ = 0.2, A = 0.2, w = 1.01, et des conditions
initiales nulles : y 1 = ẏ 1 = y 2 = ẏ 2 = 0.
De la même manière, nous étudions le système dynamique avec incertitude modélisé par un
seul élément de Saint-Venant soumis à cette même sollicitation sinusoïdale (Figure 1.6).
Ici, le système d’équations du mouvement s’écrit :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + k 3 u + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y +
(
cy 3 +
)
γ 2 (y − x) = 0,
k3
β
α u + u − ẋ ∋ 0,
avec les conditions initiales :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x(0) = x 0 ,
y(0) = y 0 ,
u(0) = u 0 ∈
[− α k 3
, α k 3
]
.
(1.7)
284
L’existence et l’unicité de la solution de ce système dynamique est prouvée comme à la

1.2. Présentation des systèmes étudiés dans le cas sollicité
c 2
F cos(wt)
c 1
k 3 α
g
c 5
c 4
c 3
M
m
y
Fig. 1.6 – Système dynamique sollicité avec un seul élément de Saint Venant.
x
section précédente 1.1.2, page 276 en posant :
⎡
−x 2
⎤
B (1) (t, u(t)) =
a 1 x 2 + k 1 x 1 + k 3 x 5 + γ 1 (x 1 − x 3 ) − f cos(wt)
⎢
−x 3
⎣ a 2 x 4 + k 2 x 3 + cx 3 3 + γ ⎥
2(x 3 − x 1 ) ⎦
−x 2
=
G 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) + k 3 x 5
⎢ −x 3
⎥
⎣ G 2 (x 1 , x 3 , x 4 ) ⎦
⎡
−x 2
(1.8)
⎤
−x 2
Dans ce cas également, cette fonction est localement lipschitzienne, ce qui permet de conclure
en ce ramenant à la proposition 3.12. de la référence [14].
Finalement, nous considérons également le système sollicité avec N éléments de Saint-Venant
(Figure 1.7), dont les équations du mouvement s’écrivent :
⎧
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + k 3 u + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
⎪⎨
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + cy
( 3 +
)
γ 2 (y − x) = 0,
ui
⎪⎩ ∀i ∈ {1, . . .,N} , β + u i − ẋ ∋ 0,
η i
⎧
avec les conditions initiales :
⎨
x(0) = x 0 ,
y(0) = y 0 ,
⎩
∀i ∈ {1, . . .,N} , u i (0) = u i0 ∈ [−η 1 , η 1 ] .
(1.9)
285

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
c 2
F cos(wt)
c 1
g
c 5
k 3 α 3
c 4
c 3
k N+2
α N+2
M
m
y
Fig. 1.7 – Système dynamique sollicité avec N éléments de Saint Venant.
x
1.3 Quelques résultats
Nous intégrons les systèmes dynamiques (1.4), (1.7) et (1.27) en attribuant aux paramètres
des valeurs numériques permettant l’occurence du phénomène du pompage énergétique dans le
cas sans incertitude (voir la référence [42]). Nous cherchons à déterminer si le transfert d’énergie
est modifié, et si oui de quelle manière.
Ainsi dans ce cas non sollicité, nous choississons les valeurs numériques des paramètres du
système dynamique sans incertitudes.
{
a1 = 0.025, k 1 = 1.0, γ 1 = 0.25,
a 2 = 0.075, k 2 = 0, c 2 = 0.15, γ 2 = 0.25.
(1.1)
Ce système dynamique, avec ces paramètres, permet l’occurence du pompage énergétique,
phénomène bien visible sur la figure 1.8.
Ce phénomène de pompage énergétique peut être prouvé de façon plus explicite en représentant
par exemple la position de l’oscillateur linéaire en fonction de celle de l’oscillateur non
linéaire (voir figure 1.9) ou en représentant l’évolution des énergies de ces deux oscillateurs au
cours du temps (voir figure 1.10), énergies dont les expressions sont égales à (voir la référence
[42]). D’après les conditions initiales en espace x(0) et ẋ(0), diverses représentations du mode
non-linéaire peuvent être obtenues (Figure 3.17, page 175).
286

1.3. Quelques résultats
6
4
2
x 1
0
−2
−4
−6
0 50 100 150 200
t
Fig. 1.8 – Oscillations de l’oscillateur linéaire. En rouge : l’oscillateur linéaire seul est soumis à
une impulsion initiale. En bleu : le même oscillateur linéaire est soumis à la même impulsion, mais
il est couplé à un oscillateur non linéaire (système de l’équation (1.3)). Les valeurs numériques
sont celles de l’équation (1.1). L’ajout d’un oscillateur non linéaire, couplé à l’oscillateur linéaire
permet d’obtenir une diminution rapide des oscillations de la structure linéaire par transfert
irréversible d’énergie.
287

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Avec les conditions initiales : x(0) = y(0) = ẏ(0) = 0, ẋ = √ 2h,
Pour l’oscillateur linéaire :
E 1N = 1 {ẋ2
h 2 + k ∫ t
}
1
2 x2 + a 1 ẋ(s) 2 ds ,
0
Pour l’oscillateur non linéaire :
E 2N = m {ẏ2
Mh 2 + k 2
2 y2 + c ∫ t
}
2
4 y4 + a 2 ẏ(s) 2 ds .
0
(1.2)
4
3
2
1
y
0
−1
−2
−3
−4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
x
Fig. 1.9 – Position de l’oscillateur linéaire (x) en fonction de celle de l’oscillateur non linéaire
(y). L’énergie (donc les oscillations), limitée initialement à l’oscillateur linéaire est rapidement
transférée à l’oscillateur non-linéaire où elle est dissipée lentement.
Sur ces figures, nous observons que les oscillations (comme l’énergie) sont initialement limitées
à l’oscillateur linéaire. Quasi-instantanément, une partie de cette énergie est transférée à
l’oscillateur non-linéaire, où elle est dissipée.
Nous étudions le cas sans et avec incertitude, avec 1, 2, 3 et 4 éléments de Saint-Venant.
1.3.1 Sans sollicitation et avec un seul élément de Saint-Venant
Dans cette section, la simulation est réalisée dans le cas non sollicité, avec le pas de temps
∆t = 0.0001, le nombre de pas d’intégration N max = 2000000 et la condition initiale x 1 (0) =
x 2 (0) = ẋ 2 (0) = 0, ẋ 1 (0) = √ 2h, avec h = 14.0.
Pour obtenir la même raideur à vide de l’oscillateur linéaire, nous utilisons les valeurs numé-
288

1.3. Quelques résultats
1
0.9
Lineaire
Non−lineaire
E
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 50 100 150 200
t
Fig. 1.10 – Energie des deux oscillateurs pour le système couplé. L’expression analytique de
ces énergies est donnée par la formule (1.2), issue de la référence [42]. Les valeurs numériques
utilisées pour les paramètres sont celles de l’équation (1.1).
riques suivantes :
⎧
⎨
⎩
a 1 = 0.025, k 1 = 0.6, γ 1 = 0.25,
a 2 = 0.075, k 2 = 0, c 2 = 0.15, γ 2 = 0.25,
k 3 = 0.4, α 1 = 1.0, η 1 = 2.5.
(1.3)
Le comportement du système est modifié radicalement par l’ajout d’un élément de Saint-
Venant (Figures 1.11 et 1.12). Bien que l’énergie est bien transmise de l’oscillateur linéaire à
l’oscillateur non-linéaire, l’amplitude des oscillations de cette première structure reste importante.
De plus, l’oscillateur non-linéaire oscille également avec une amplitude non négligeable.
L’élément de Saint-Venant agit donc pendant un certain temps, environ jusqu’à ce l’amplitude
des oscillations de l’oscillateur linéaire ait diminué en deçà du seuil η 1 (Figure 1.13).
1.3.2 Sans sollicitation et avec plusieurs éléments de Saint-Venant
En introduisant deux éléments de Saint-Venant dans le système, nous utilisons la même
raideur à vide et nous fixons le premier seuil égal à celui du système avec un seul élement
de Saint-Venant (section 1.3.1). Nous choississons les valeurs numériques suivantes pour les
paramètres :
⎧
⎨
⎩
k 1 = 0.6,
k 3 = 0.3, α 1 = 0.75, η 1 = 2.5,
k 4 = 0.1, α 2 = 0.2, η 2 = 2.
(1.4)
289

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
20
10
10
5
x 1
x 2
0
0
−10
0 50 100 150 200
t
4
2
−5
0 50 100
1eSV
t
150 200
Usuel
4
2
x 3
0
x 4
0
−2
−2
−4
0 50 100 150 200
t
−4
0 50 100 150 200
t
Fig. 1.11 – Comportement de x 1 , x 2 , x 3 , x 4 au cours du temps pour le système usuel (courbe
rouge) et pour le système avec un élément de Saint-Venant (courbe en bleu).
5
10
20
10
5
10
5
x 1
0
x 2
x 1
x 2
0
0
0
−5
0 50 100 150 200
t
−5
0 50 100 150 200
t
−10
0 50 100 150 200
t
−5
0 50 100 150 200
t
4
4
4
4
2
2
2
2
x 3
0
x 4
0
x 3
0
x 4
0
−2
−2
−2
−2
−4
0 50 100 150 200
t
−4
0 50 100 150 200
t
−4
0 50 100 150 200
t
−4
0 50 100 150 200
t
(a) Système usuel
(b) Un élément de Saint-Venant
Fig. 1.12 – Comportements de x 1 , x 2 , x 3 , x 4 au cours du temps.
290

1.3. Quelques résultats
2.5
2
1.5
1
0.5
x 5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
0 50 100 150 200
t
Fig. 1.13 – Amplitude des oscillations de l’élément de Saint-Venant au cours du temps.
Si nous observons ce même système mais avec trois éléments de Saint-Venant, nous choississons
les paramètres suivants (en répondant toujours aux mêmes exigences qu’auparavant) :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Avec quatre éléments de Saint-Venant :
k 1 = 0.4,
k 3 = 0.3, α 1 = 0.75, η 1 = 2.5,
k 4 = 0.2, α 2 = 0.4, η 2 = 2,
k 5 = 0.1, α 2 = 0.15, η 3 = 1.5.
(1.5)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
k 1 = 0.3,
k 3 = 0.25, α 1 = 0.625, η 1 = 2.5,
k 4 = 0.2, α 2 = 0.4, η 2 = 2,
k 5 = 0.15, α 3 = 0.225, η 3 = 1.5,
k 6 = 0.1, α 4 = 0.1, η 4 = 1.
(1.6)
Ces différentes simulations nous permettent de tirer plusieurs conclusions :
– Les incertitudes, modélisées ici par des éléments de Saint-Venant, peuvent altérer l’efficacité
du pompage énergétique. L’amplitude des oscillations de l’oscillateur linéaire, mais
également celles de l’oscillateur non-linéaire, peuvent être plus importante. En particulier,
pour certaines combinaisons d’éléments de Saint-Venant, on observe un premier pic d’oscillation
de l’oscillateur linéaire plus important que pour le système sans incertitude, mais
une amplitude qui diminue plus rapidement (Figures 1.14, 1.15 et 1.16 pour les oscillations
linéaires et non-linéaires pour les systèmes avec 2,3 ou 4 éléments de Saint-Venant).
291

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
Mais assez rapidement, l’amplitude des oscillations linéaires est inférieure pour une plasticité
plus importante.
– Le patin des éléments de Saint-Venant est en mouvement, il est donc actif (Figure 1.17).
– La fréquence des oscillations est également modifiée en temps court (Figures 1.14 et 1.15).
En temps long, ces systèmes présentent des oscillations de mêms fréquence, mais l’amplitude
moyenne est différente (seule le système usuel, sans incertitude et donc sans élément
de Saint-Venant oscille{
autour de la valeur } nulle).
– Les cycles du graphe x(t), −mẍ(t) permettent de mettre en évidence les différentes
raideurs du système, tel que cela a été expliqué dans [62, 9]. L’aire du cycle effectué
est proportionnelle à l’énergie dissipée, donc en temps court l’efficacité du pompage est
identique pour les cas avec 1 ou 2 éléments de Saint-Venant (Figure 1.18).
5
4
3
Usuel
1eSV
2eSV
4
3
2
Usuel
1eSV
2eSV
2
1
x 1
1
0
x 3
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
0 10 20 30 40 50
t
(a) Linéaire
−4
0 10 20 30 40 50
t
(b) Non-linéaire
Fig. 1.14 – Trajectoires des oscillateurs linéaire et non-linéaire au cours du temps, pour les
systèmes dynamiques libres avec 0, 1 et 2 éléments de Saint-Venant.
292

1.3. Quelques résultats
6
5
4
3
Usuel
1eSV
2eSV
3eSV
4
3
2
Usuel
1eSV
2eSV
3eSV
2
1
x 1
1
x 3
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
0 10 20 30 40 50
t
(a) Linéaire
−4
0 10 20 30 40 50
t
(b) Non-linéaire
Fig. 1.15 – Trajectoires de l’oscillateur linéaire et de l’oscillateur non-linéaire pour les différents
systèmes dynamiques.
6
5
4
3
Usuel
1eSV
2eSV
3eSV
4eSV
2
x 1
1
0
−1
−2
−3
−4
0 10 20 30 40 50
t
Fig. 1.16 – Trajectoire de l’oscillateur linéaire dans les cas du système usuel et des systèmes comportant
des incertitudes modélisées avec 1, 2, 3 ou 4 éléments de Saint-Venant. Ces oscillations
sont donnés en fonction du temps.
293

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
2.5
2.5
2.5
2
2
x 5
x 6
2
x 5
x 6
1.5
1.5
1.5
x 7
1
1
1
0.5
0.5
0.5
x 5
0
0
0
−0.5
−0.5
−0.5
−1
−1
−1
−1.5
−1.5
−1.5
−2
−2
−2
−2.5
0 50 100 150 200
t
−2.5
0 10 20 30 40 50
t
−2.5
0 10 20 30 40 50
t
(a) N = 1
(b) N = 2
(c) N = 3
Fig. 1.17 – Déplacements des éléments de Saint-Venant pour les systèmes dynamiques avec
N = 1, N = 2 ou N = 3 éléments de Saint-Venant.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
x
(a) N = 1, t = 0 → 200s
5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
x
(b) N = 3, t = 0 → 200s
Fig. 1.18 – Cycles de l’oscillateur linéaire, représentant la quantité −Mẍ(t) en fonction du
déplacement x(t) pour ces différents systèmes.
294

1.3. Quelques résultats
1.3.3 Cas sollicité
Pour les systèmes dynamiques sollicités comportant un ou deux éléments de Saint-Venant
(systèmes dynamiques des schémas 1.6 et 1.7), les oscillations sont plus ou moins différentes
(Figure 1.19). Pour ces simulations, nous avons choisi les mêmes valeurs numériques que dans le
cas sans incertitudes où le pompage s’amorce et est efficace (Figure 1.5) en adaptant la valeur
numérique des différents ressorts afin que la raideur totale à vide du système soit toujours la
même. Ainsi les valeurs numériques choisies sont, en utilisant le système écrit sous la forme
(1.5) :
Dans tous les cas :
⎧
⎨
⎩
ǫ = 0.05, χ = ǫ 1/3 ,
a 1 = 0, γ 1 = −χ 2 , f = 0.2χ 2 , w = 1.01,
a 2 = λ, c = 8.0, γ 2 = −χ
et
Pour le système usuel : k 1 = 1 + χ 2 , k 2 = χ,
Avec un élément de Saint-Venant : k 1 = 1, k 2 = χ, k 3 = χ 2 , α 3 = 0.05
Avec deux éléments de Saint-Venant : k 1 = 1 − χ 2 , k 2 = χ, k 3 = χ 2 , k 4 = χ 2 , α 3 = 0.05, α 4 = 0.051.
Nous observons donc qu’avec un élément de Saint-Venant avec η ≈ 0.3687, le phénomène
de pompage énergétique agit encore. En rajoutant un deuxième élément (η 1 ≈ 0.3684 et η 2 ≈
0.3787), l’oscillateur non-linéaire commence lui-aussi à osciller, mais il ne pompe plus suffisamment
d’énergie de la partie linéaire (Figure 1.19). En particulier, l’amplitude des oscillations
linéaires (comme celle des oscillations non-linéaires) est constante. En effet, l’amortissement est
nul dans la partie linéaire. L’oscillateur non-linéaire ne pompe que la quantité d’énergie nécessaire
pour entretenir ses oscillations.
En comparant les oscillations de l’oscillateur linéaire (Figure 1.20) et celles de l’oscillateur
non-linéaire (Figure 1.21) pour les systèmes dynamiques usuel, avec un et deux éléments de
Saint-Venant, nous observons que l’efficacité du pompage énergétique est altérée. En effet, dans le
système dynamique comportant deux éléments de Saint-Venant, bien que l’amplitude maximum
atteinte par les oscillations des deux oscillateurs est plus faible que dans les deux autres cas, on
n’observe plus le phénomène d’onde où les oscillations présentent des noeuds et des ventres.
Pour vérifier cette constatation, nous étudions également les cycles de l’oscillateur linéaire
dans les cas comportant un ou deux éléments de Saint-Venant (Figure 1.22). L’aire des deux
cycles est identique, mais celui du système comportant deux éléments de Saint-Venant est plus
périodique. Initialement, ces deux comportements sont identiques : cela signifie que les éléments
de Saint-Venant réagissent de la même manière, avant que le deuxième élément ne se débloque.
On peut remarquer qu’il existe une valeur limite de η à partir de laquelle le phénomène du
pompage énergétique est complètement altéré. En effet (Figure 1.23), le phénomène du pompage
est de moins en moins efficace, jusqu’à obtenir le phénomène de saturation (Figure 1.19) dans
le système dynamique avec deux éléments de Saint-Venant.
En outre, il existe des valeurs du seuil pour lesquelles le phénomène de pompage énergétique
est presque aussi efficace que dans le cas élastique (Figure 1.24). Le maximum d’amplitude des
295
(1.7)

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
oscillations atteint par l’oscillateur linéaire est supérieur dans le cas plastique, mais le ventre de
l’oscillation est plus faible en amplitude et plus court en temps.
En réalité, un couplage peut se révéler utilise même avec plasticité (élément de Saint-Venant) :
pour cela, il suffit de comparer les oscillations linéaires du cas couplé avec plasticité avec celles
de l’oscillateur linéaire seul (Figure 1.25). Dans tous ces graphes, l’amplitude des oscillations
linéaires du système élastoplastique couplé est inférieure à celle des oscillations linéaires de
l’oscillateur élastoplastique seul.
Les cycles de ces systèmes, avec les différentes valeurs du seuil (Figure 1.26), montrent le
passage d’un pompage énergétique efficace à un transfert simple d’énergie.
Le choix de la non-linéarité cubique est primordial pour l’éfficacité du transfert d’énergie
dans ce cas élastoplastique. Cette non-linéarité, conçue pour le système élastique initial, peut
n’être plus efficace pour le système élastoplastique (Figure 1.27). En particulier, il est possible
de concevoir le système non-linéaire couplé à la structure principale de telle façon que le pompage
énergétique opère pour toute la gamme de seuils de plasticité possibles (Figure 1.28). En
effet, l’efficacité pourra être moins importante dans un cas donné, mais globalement le transfert
d’énergie sera toujours actif.
0.6
y 1
0.5
y 1
0.4
y 2
0.4
0.3
y 2
0.2
0.2
0
0.1
y 1
,y 2
−0.2
y 1
,y 2
0
−0.1
−0.4
−0.2
−0.6
−0.3
−0.4
−0.8
0 50 100 150 200
t
(a) N = 1
−0.5
0 50 100 150 200
t
(b) N = 2
Fig. 1.19 – Oscillations des oscillateurs linéaires et non-linéaires pour les systèmes dynamiques
avec un seul élément de Saint-Venant et deux éléments de Saint-Venant.
296

1.3. Quelques résultats
0.6
0.4
Usuel
1eSV
2eSV
0.6
0.4
Usuel
1eSV
2eSV
0.2
0.2
0
0
x
x
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
0 10 20 30 40 50
t
(a) t = 0 → 50s
−0.8
0 50 100 150 200
t
(b) t = 0 → 200s
Fig. 1.20 – Oscillations de l’oscillateur linéaire dans les systèmes dynamique sans et avec (1 ou
2) éléments de Saint-Venant.
0.6
0.4
0.6
0.4
Usuel
1eSV
2eSV
0.2
0.2
0
0
y
y
−0.2
−0.2
−0.4
−0.6
Usuel
1eSV
2eSV
−0.4
−0.6
−0.8
0 20 40 60 80 100
t
(a) t = 0 → 50s
−0.8
0 50 100 150 200
t
(b) t = 0 → 200s
Fig. 1.21 – Oscillations de l’oscillateur non-linéaire dans les systèmes dynamique sans et avec
(1 ou 2) éléments de Saint-Venant.
297

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
0.6
0.15
0.4
0.1
0.2
0.05
0
0
−0.2
−0.05
−0.4
−0.1
−0.6
−0.15
−0.8
−0.5 0 0.5
x(t)
(a) N = 1, t = 0 → 200s
−0.2
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1
x(t)
(b) N = 1, t = 0 → 5s
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.5 0 0.5
x(t)
(c) N = 2, t = 0 → 200s
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.1 −0.05 0 0.05 0.1
x(t)
(d) N = 2, t = 0 → 5s
Fig. 1.22 – Graphes représentant x(t) en fonction de f(t) − Mẍ(t) pour les systèmes avec un et
deux éléments de Saint-Venant.
298

1.3. Quelques résultats
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
x
0
y
0
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.4
−0.4
−0.5
0 50 100 150 200
t
(a) Linéaire, α = 0.05
−0.5
0 50 100 150 200
t
(b) Non-linéaire, α = 0.05
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.4
0.3
0.2
0.1
x
0
y
0
−0.1
−0.1
−0.2
−0.3
−0.2
−0.4
−0.3
−0.5
0 50 100 150 200
t
(c) Linéaire, α = 0.048
−0.4
0 50 100 150 200
t
(d) Non-linéaire, α = 0.048
x
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
0 50 100 150 200
t
(e) Linéaire, α = 0.046
y
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
0 50 100 150 200
t
(f) Non-linéaire, α = 0.046
Fig. 1.23 – Oscillations des oscillateurs linéaire et non-linéaire, pour différentes valeurs du seuil
α (la raideur de l’élément de Saint-Venant reste constante, égale à χ 2 ). Ainsi à partir d’une valeur
limite du seuil, le pompage énergétique n’est plus efficace : de l’énergie est encore pompée, en
effet l’oscillateur non-linéaire oscille mais il semble saturer et cela ne diminue plus l’amplitude
des oscillations de l’oscillateur linéaire.
299

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
0.5
0.4
0.3
Oscillations lineaires
α=0.05
α=0.0
0.2
0.1
x
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
0 50 100 150 200 250
Temps
Fig. 1.24 – Oscillations de l’oscillateur linéaire, pour α = 0.05 et α = 0.0 (équivalent au cas
élastique).
0.5
0.4
Oscillations lineaires au cours du temps
Sans couplage
Avec couplage
0.5
0.4
Oscillations lineaires au cours du temps
Sans couplage
Avec couplage
0.5
0.4
Oscillations lineaires au cours du temps
Sans couplage
Avec couplage
0.3
0.3
0.3
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0
−0.1
−0.1
−0.1
−0.2
−0.2
−0.2
−0.3
−0.3
−0.3
−0.4
−0.4
−0.4
−0.5
0 50 100 150
Temps
(a) α = 0.05
−0.5
0 50 100 150
Temps
(b) α = 0.048
−0.5
0 50 100 150
Temps
(c) α = 0.046
Fig. 1.25 – Oscillations de l’oscillateur linéaire, avec et sans couplage.
300

1.3. Quelques résultats
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.5 0 0.5
x(t)
(a) α = 0.044
−0.5
−0.5 0 0.5
x(t)
(b) α = 0.048
−0.5
−0.5 0 0.5
x(t)
(c) α = 0.052
Fig. 1.26 – Graphes représentant la quantité f(t) − Mẍ(t) en fontion de x(t), pour le système
avec un seul élément de Saint-Venant, avec différentes valeurs du seuil. Les cycles des deux
premières figures correspondent à des systèmes où le pompage énergétique n’opère plus.
301

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
0.5
c=8.0
0.5
c=8.1
0.5
c=8.2
0
0
0
−0.5
0 100
−0.5
200 0 100
−0.5
200 0 100 200
t
t
t
c=8.3
c=8.4
c=8.5
0.5
0.5
0.5
0
0
0
−0.5
0 100
−0.5
200 0 100
−0.5
200 0 100 200
t
t
t
c=8.6
c=8.7
c=8.8
0.5
0.5
0.5
0
0
0
−0.5
0 100
−0.5
200 0 100
−0.5
200 0 100 200
t
t
t
Fig. 1.27 – Oscillations de l’oscillateur linéaire pour le système dynamique avec un seul élément
de Saint-Venant (figure 1.6, équation (1.7)) avec a 1 = 0, k 1 = 1.0, γ 1 = −χ 2 (χ = ǫ 1/3 , ǫ = 0.05),
f = Aχ 2 (A = 0.2), w = 1.01, a 2 = 0.2, k 2 = χ, γ 2 = −χ, k 3 = χ 2 , α 3 = 0.044. La valeur
numérique de la non-linéarité c varie entre 8.0 et 8.8. Ainsi le pompage est inefficace pour c = 8.0,
et en augmentant progressivement cette non-linéarité, on s’aperçoit que le phénomène fonctionne
à nouveau correctement à partir de c = 8.6.
302

1.3. Quelques résultats
0.5
α=0.044
0.5
α=0.048
0
0
−0.5
0 100
−0.5
200 0 100 200
t
t
α=0.052
α=0.056
0.5
0.5
0
0
−0.5
0 100
−0.5
200 0 100 200
t
t
Fig. 1.28 – Oscillations de l’oscillateur linéaire pour le système dynamique avec un seul élément
de Saint-Venant (figure 1.6, équation (1.7)) avec a 1 = 0, k 1 = 1.0, γ 1 = −χ 2 (χ = ǫ 1/3 , ǫ = 0.05),
f = Aχ 2 (A = 0.2), w = 1.01, a 2 = 0.2, k 2 = χ, c = 8.7, γ 2 = −χ, k 3 = χ 2 . La valeur numérique
du seuil du patin de l’élément de Saint-Venant varie entre 0.044 et 0.056. Pour cette valeur de
la non-linéarité, le pompage est efficace pour toute la gamme de seuils (et donc d’éléments de
SAint-Venant) considérés.
303

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
1.4 Définition d’un coefficient d’amortissement équivalent
En analysant la perte d’énergie par cycle, un coefficient d’amortissement équivalent peut être
déterminé. Par exemple, pour le système dynamique (1.1) de deux oscillateurs couplés soumis
à une sollicitation sinusoïdale, nous étudions la solution de l’équation différentielle décrivant
l’oscillateur linéaire (de comportement élasto-plastique) :
ẍ + aẋ + k 1 x + γ 1 (x − y) = f cos(wt), (1.1)
qui s’écrit comme somme de la solution de l’équation homogène et d’une solution particulière :
solution générale = solution homogène + solution particulière,
= e − a
2m t (C 1
√
cos(qt) + C 2 sin(qt)) + solution particulière,
(1.2)
avec q = k 1 − a2 1
4 .
Pour déterminer la solution particulière, on pose : x = x 0 cos(wt−ϕ). L’action des différentes
forces peut alors se résumer par le graphe suivant, en faisant l’hypothèse γ 1 (x − y) = ˜γx où ˜γ
est variable au cours du temps :
f
ϕ
w 2 x 0 = (−ẍ)
ax 0 w(= −a 1 ẋ)
x 0
(k 1 + γ 1 )x 0
{ −x0 w 2 + (k 1 + ˜γ)x 0 = f cos(ϕ),
Soit :
tan(ϕ) =
a 1 w
(k 1 + ˜γ) − w 2, x 0 =
a 1 x 0 w = f sin(ϕ).
f
√ (1.3)
(k1 + ˜γ − w 2 ) 2 + a 2 1w2. Pendant un cycle de vibration, wt varie de 0 à 2π. Nous cherchons le travail effectué pendant
un cycle avec la sollicitation f(t) = f cos(wt) et le déplacement x = x 0 cos(wt−ϕ), en supposant
x 0 et ϕ constantes (donc ˜γ constante) :
∫ 2π/w
0
f(t) dx
∫ 2π/w
dt dt = −fx 0w
0
= −fx 0 w cos ϕ
= fx 0 π sinϕ.
cos(wt)sin(wt − ϕ)dt
∫ 2π/w
0
cos(wt)sin(wt)dt + fwx 0 sinϕ
∫ 2π/w
0
cos(wt) 2 dt
(1.4)
304

1.5. Conclusion
Ce travail est également l’aire P des cycles. Donc en remplaçant la valeur de sin ϕ, on trouve :
a =
P
πwx 2 . (1.5)
0
Dans cette dernière formule (1.5), pour tenir compte de la variabilité de ˜γ, nous attribuons
à x 0 la valeur maximale de x atteinte pendant le cycle considéré.
1.5 Conclusion
Dans la littérature, le phénomène de pompage énergétique est considéré en attribuant des lois
de comportement élastiques linéaires pour les deux structures. Pourtant, la structure principale,
dont nous cherchons à limiter les oscillations, subit un certain nombre de cycles de sollicitations,
donc le comportement peut être beaucoup plus complexe, en particulier être élastoplastique, ce
qui a été considéré dans ce chapitre.
Une première section de ce chapitre a été dévouée à l’étude théorique du système élastoplastique
résultant. En tirant partie de la théorie sur les opérateurs maximaux monotones, nous
avons démontré que ce problème différentiel êst bien posé, c’est-à-dire qu’il existe un déplacement
solution et que celui-ci est unique.
Ensuite, nous avons montré que si la structure annexe est conçue pour optimiser le transfert
d’énergie de la structure principale dans le cas d’un comportement élastique linéaire parfait, le
phénomène persiste dans le cas d’une loi de comportement élastoplastique parfait. En particulier,
en considérant une gamme de comportements élastoplastiques possibles (via une gamme de seuils
et de raideurs possibles), il est possible de concevoir la nonlinéarité cubique pour que le transfert
ait lieu dans tous les cas considérés.
Dans le chapitre suivant, nous élargissons cette étude aux lois de comportement élastoplastiques
avec et sans endommagement.
305

Chapitre 1. Incertitudes modélisées par des éléments de Saint Venant
306

Chapitre 2
Etude du pompage énergétique avec
comportement élasto-plastique avec
endommagement
Dans ce chapitre, nous étudions la robustesse du phénomène du pompage énergétique
en supposant une incertitude sur la loi de comportement de la structure
linéaire. Plus précisément, cette dernière pourra être de type élastique parfait,
élastoplastique parfait ou élastoplastique avec endommagement.
Sommaire
2.1 Comportements étudiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
2.1.1 Comportement élastoplastique pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
2.1.2 Comportement élastoplastique avec endommagement . . . . . . . . 312
2.2 Preuves numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
2.2.1 Cas libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
2.2.2 Cas forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Dans ce deuxième chapitre de la partie, nous étudions numériquement l’effet sur le phénomène
de pompage énergétique d’un comportement non élastique : en particulier, nous étudierons
ici le cas du comportement élastoplastique pur et celui du comportement élastoplastique avec
endommagement.
Dans un premier temps, nous présenterons ces deux comportements, ainsi que leur implémentation
numérique. Ensuite, nous nous attacherons à représenter les résultats et les conséquences
les plus significatifs de leur simulation numérique.
Le système que nous étudions est représenté Figure 2.1 : M est la masse de la structure
307

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
principale, c 1 est son amortissement et c 2 sa raideur linéaire. m est la masse de la structure
auxiliaire, c 3 son amortissement, c 4 sa raideur linéaire et c sa raideur non-linéaire (dans notre
cas, cubique). Les deux oscillateurs sont reliés par une raideur linéaire de coefficient g. Nous
étudions deux cas :
– La structure principale n’est soumise à aucune sollicitation, l’énergie initiale étant apportée
par des conditions initiales non nulles,
– ou la structure principale est soumise à une sollicitation de la forme F cos(wt).
c 2
F cos(wt)
c 1
g
c 5
c 4
c 3
M
m
y
Fig. 2.1 – Système étudié : une structure linéaire est couplée linéairement à une structure annexe
à raideur cubique.
x
Nous supposons ici que la structure principale (de masse M, amortissement c 1 et raideur c 2 )
peut suivre plusieurs lois de comportement différentes.
Nous notons x,ẋ (respectivement y, ẏ) le déplacement et la vitesse de M (respectivement
m).
2.1 Comportements étudiés
Un grand nombre d’articles concernant le pompage énergétique existent ([41, 43, 109, 36],...).
Ils discutent de critères théoriques et numériques des conditions d’observation de ce phénomène.
Pourtant ils se limitent au cas d’un comportement élastique de la part des deux structures. Ici,
nous nous intéressons, dans le cadre de cette thèse, au cas où le comportement de la structure
linéaire incertain. En particulier, nous supposons que le comportement peut être élastique, élastoplastique
pur ou élastoplastique avec endommagement. Ces hypothèses sont permises car il est
probable qu’après avoir subi une sollicitation (qui peut être forte), le comportement n’est plus
élastique pur. De même, il est possible que la structure garde un endommagement structurel.
308

2.1. Comportements étudiés
2.1.1 Comportement élastoplastique pur
Nous modélisons le comportement élastoplastique avec deux forces limites plastiques : F +
pour un déplacement positif et F − pour un déplacement négatif, un module de Young K 0 et un
déplacement limite plastique U Y (Figure 2.2). Certaines propriétés de la dynamique de cette loi
de comportement (points fixes, chaos, ...) sont explicitées dans la référence [16].
F
F +
O
K 0
U Y
U
F −
Fig. 2.2 – Comportement élastoplastique pur avec une force limite positive F + , une force limite
négative F − , un module de Young K 0 et un déplacement limite élastique U Y .
Trois comportements sont donc possibles :
– un comportement élastique,
– un comportement plastique avec déplacement positif que nous noterons P + ,
– et un comportement plastique avec déplacement négatif, noté P − .
Pour chacun de ces trois comportements, nous détaillons ci-dessous les équations du mouvements.
Nous notons x p la variable de mémoire.
Le comportement élastique
Le comportement est de cette forme lorsque :
⎧
⎨
⎩
F − < K 0 (x − x p ) < F + ,
K 0 (x − x p ) = F + et ẋ(x − x p ) ≤ 0,
K 0 (x − x p ) = F − et ẋ(x − x p ) ≤ 0.
(2.1)
Dans cette phase du comportement, les équations du mouvement sont :
309

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
⎧
⎨
⎩
Mẍ + c 1 ẋ + ˜k 1 x + K 0 (x − x p ) + g(x − y) = F(t),
ẋ p = 0,
mÿ + c 2 ẏ + ˜k 2 y + cy 2 + g(y − x) = 0,
(2.2)
Nous supposons ici que la sollicitation est de la forme F(t) = F cos(wt), où F peut être nul.
Les équations peuvent donc se réécrire sous la forme :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
avec :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎧
⎨
⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + k 0 (x − x p ) + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + Cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
ẋ p = 0,
a 1 = c 1
M , k 1 = ˜k 1
M , k 0 = K 0
M , γ 1 = g F(t)
, F(t) = F cos(wt), f cos(wt) =
M M ,
(2.3)
a 2 = c 2
m , k 2 = ˜k 2
m , C = c m , γ 2 = g m .
⎛ ⎞ ⎛
x 1
x 2
En notant
⎜ x 3
⎟
⎝ x 4
⎠ = ⎜
⎝
x 5
⎞
x
ẋ
y
⎟
ẏ ⎠ , la discrétisation peut être écrite :
x p
x 1 (n + 1) = x 1 (n) + ∆t x
[ 2 (n),
x 2 (n + 1) = x 2 (n) + ∆t − a 1 x 2 (n) − k 1 x 1 (n) − k 0 (x 1 (n) − x 5 (n)) − γ 1 (x 1 (n) − x 3 (n))
]
+ f cos(wn∆t) ,
(2.4)
x 3 (n + 1) = x 3 (n) + ∆t x
[ 4 (n),
]
x 4 (n + 1) = x 4 (n) + ∆t − a 2 x 4 (n) − k 2 x 3 (n) − Cx 3 3 (n) − γ 2(x 3 (n) − x 1 (n)) ,
x 5 (n + 1) = x 5 (n),
où ∆t est le pas de discrétisation et ∀i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, ∀n ≥ 0, x i (n) est la valeur approchée
de x i (t) au temps t = n∆t.
Le comportement plastique P +
De même, lorsque le comportement plastique P + est atteint, la raideur interne est nulle et
une force constante F + apporte de l’énergie. Les équations du mouvement s’écrivent alors :
310

2.1. Comportements étudiés
⎧
⎨
⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + f + + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + Cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
ẋ p = 0,
avec : f + = F +
M
(2.5)
Le comportement est de cette forme lorsque :
K 0 (x − x p ) = F + . (2.6)
Ainsi, avec les mêmes notations que dans le cas précédent, la discrétisation peut s’expliciter :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x 1 (n + 1) = x 1 (n) + ∆t x
[ 2 (n),
x 2 (n + 1) = x 2 (n) + ∆t − a 1 x 2 (n) − k 1 x 1 (n) − f + − γ 1 (x 1 (n) − x 3 (n))
]
+ f cos(wn∆t) ,
x 3 (n + 1) = x 3 (n) + ∆t x
[ 4 (n),
]
x 4 (n + 1) = x 4 (n) + ∆t − a 2 x 4 (n) − k 2 x 3 (n) − Cx 3 3 (n) − γ 2(x 3 (n) − x 1 (n)) ,
x 5 (n + 1) = x 5 (n),
(2.7)
Le comportement plastique P −
Finalement, le dernier comportement s’écrit :
⎧
⎨
⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + f − + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + Cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
ẋ p = 0,
avec : f − = F −
M
(2.8)
Le comportement est de cette forme lorsque :
K 0 (x − x p ) = F − . (2.9)
311

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Ainsi, avec les mêmes notations que dans le cas précédent, la discrétisation peut s’expliciter :
x 1 (n + 1) = x 1 (n) + ∆t x
[ 2 (n),
x 2 (n + 1) = x 2 (n) + ∆t − a 1 x 2 (n) − k 1 x 1 (n) − f − − γ 1 (x 1 (n) − x 3 (n))
]
+ f cos(wn∆t) ,
x 3 (n + 1) = x 3 (n) + ∆t x
[ 4 (n),
]
x 4 (n + 1) = x 4 (n) + ∆t − a 2 x 4 (n) − k 2 x 3 (n) − Cx 3 3 (n) − γ 2(x 3 (n) − x 1 (n)) ,
x 5 (n + 1) = x 5 (n),
2.1.2 Comportement élastoplastique avec endommagement
(2.10)
Nous modélisons le comportement élastoplastique avec endommagement explicité Figure 2.3,
où F + est la force limite élastique, U Y est le déplacement élastique limite, K 0 est le module de
Young, K T est la raideur d’endommagement, U f est le déplacement limite avant rupture. Ce
comportement est explicité et certains de ses aspects étudiés dans la référence [17].
F
F +
K T
O
K 0
U Y
U f
U
312
Fig. 2.3 – Comportement élastoplastique étudié avec variable d’endommagement.
Ce comportement se décompose en trois phases :

2.1. Comportements étudiés
– une phase élastique avec déplacement croissant, que nous noterons E + ,
– une phase élastique avec déplacement décroissant noté E − ,
– une phase avec endommagement, noté D.
Nous explicitons ci-dessous les équations du mouvement, les conditions d’application et les
discrétisations pour ces trois phases du comportement élastoplastique avec endommagement.
Comportement élastique E +
Si nous notons x le déplacement de la structure principale (linéaire et avec comportement
élastoplastique avec endommagement) et v la variable de mémoire d’endommagement, le comportement
est de cette forme lorsque :
⎧
⎨
⎩
x > 0 ou (x = 0 et ẋ ≥ 0)
et
ẋ ≤ 0 ou (ẋ ≥ 0 et u < v) ou v ≤ u y .
Dans cette phase du comportement, les équations du mouvement sont :
(2.11)
⎧
⎨
⎩
Mẍ + c 1 ẋ + ˜k 1 x + K 0 (1 − D(v))x + g(x − y) = F(t),
Ḋ = 0,
mÿ + c 2 ẏ + ˜k 2 y + cy 2 + g(y − x) = 0,
où D(v) =
〈
1 + K 〈
T
−1 − K 〉〉
0 − K T U Y
,
K 0 K T v
(2.12)
et
{
v = max x(t),
t
〈x〉 = x si x ≥ 0, x = 0 sinon .
Nous supposons ici que la sollicitation est de la forme F(t) = F cos(wt), où F peut être nul.
Les équations peuvent donc se réécrire sous la forme :
avec :
⎧
⎨
⎩
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + k 0 (1 − D(z))x + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + Cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
Ḋ = 0,
a 1 = c 1
M , k 1 = ˜k 1
M , k 0 = K 0
M , γ 1 = g F(t)
, f cos(wt) =
M M ,
a 2 = c 2
m , k 2 = ˜k 2
m , C = c m , γ 2 = g m . (2.13)
313

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
⎛
En notant
⎜
⎝
⎞
x 1
x 2
x 3
x 4
⎟
x 5
⎠
x 6
⎛
=
⎜
⎝
x
ẋ
y
ẏ
v
D
⎞
, la discrétisation peut être écrite :
⎟
⎠
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x 1 (n + 1) = x 1 (n) + ∆t x
[ 2 (n),
x 2 (n + 1) = x 2 (n) + ∆t − a 1 x 2 (n) − k 1 x 1 (n) − k 0 (1 − D(x 5 (n)))x 1 (n) − γ 1 (x 1 (n) − x 3 (n))
]
+ f cos(wn∆t) ,
x 3 (n + 1) = x 3 (n) + ∆t x
[ 4 (n),
]
x 4 (n + 1) = x 4 (n) + ∆t − a 2 x 4 (n) − k 2 x 3 (n) − Cx 3 3 (n) − γ 2(x 3 (n) − x 1 (n)) ,
{
}
x 5 (n + 1) = max x 1 (n + 1), x 5 (n) ,
x 6 (n + 1) = x 6 (n),
(2.14)
où ∆t est le pas de discrétisation et ∀i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ∀n ≥ 0, x i (n) est la valeur approchée
de x i (t) au temps t = n∆t.
Comportement élastique E −
De même, lorsque le comportement élastique E − est atteint, la raideur interne est simplement
égale à K 0 . Les équations du mouvement s’écrivent alors :
⎧
⎨
⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + k 0 x + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + Cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
Ḋ = 0,
(2.15)
avec : k 0 = K 0
M
Le comportement est de cette forme lorsque :
⎧
⎨
⎩
x < 0
ou
x = 0 et ẋ ≤ 0.
(2.16)
314

2.1. Comportements étudiés
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Ainsi, avec les mêmes notations que dans le cas précédent, la discrétisation peut s’expliciter :
x 1 (n + 1) = x 1 (n) + ∆t x
[ 2 (n),
x 2 (n + 1) = x 2 (n) + ∆t − a 1 x 2 (n) − k 1 x 1 (n) − f + − γ 1 (x 1 (n) − x 3 (n))
]
+ f cos(wn∆t) ,
x 3 (n + 1) = x 3 (n) + ∆t x
[ 4 (n),
]
x 4 (n + 1) = x 4 (n) + ∆t − a 2 x 4 (n) − k 2 x 3 (n) − Cx 3 3 (n) − γ 2(x 3 (n) − x 1 (n)) ,
{
}
x 5 (n + 1) = max x 1 (n + 1), x 5 (n) ,
x 6 (n + 1) = x 6 (n).
Comportement d’endommagement D
Finalement, le dernier comportement s’écrit :
(2.17)
⎧
⎨
⎩
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + 〈k T (x − U f )〉 + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + Cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
˙v = ẋ,
(2.18)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
avec : k T = K T
M
Le comportement est de cette forme lorsque :
ẋ > 0 et x = v et v ≥ U y . (2.19)
Ainsi, avec les mêmes notations que dans le cas précédent, la discrétisation peut s’expliciter :
x 1 (n + 1) = x 1 (n) + ∆t x
[ 2 (n),
x 2 (n + 1) = x 2 (n) + ∆t − a 1 x 2 (n) − k 1 x 1 (n) − f − − γ 1 (x 1 (n) − x 3 (n))
]
+ f cos(wn∆t) ,
x 3 (n + 1) = x 3 (n) + ∆t x
[ 4 (n),
]
x 4 (n + 1) = x 4 (n) + ∆t − a 2 x 4 (n) − k 2 x 3 (n) − Cx 3 3 (n) − γ 2(x 3 (n) − x 1 (n)) ,
x 5 (n + 1) = x 5 (n) + ∆t x 2 (n + 1),
x 6 (n + 1) = D(x 5 (n + 1)),
où D est la fonction d’endommagement de l’équation (2.12).
(2.20)
315

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
2.2 Preuves numériques de l’existence du phénomène de transfert
énergétique
2.2.1 Cas libre
Dans cette partie, nous nous intéressons au système suivant :
{ ẍ + a1 ẋ + k 1 x + γ 1 (x − y) = 0,
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + Cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
avec les valeurs numériques suivantes :
{
a1 = 0.025, k 1 = 0.6, γ 1 = 0.25,
a 2 = 0.075, k 2 = 0.0, C = 0.15, γ 2 = 0.25.
(2.1)
(2.2)
{
x1 (0) = x 2 (0) = ẋ 2 (0) = 0,
Les conditions initiales sont prises égales à
ẋ 1 (0) = √ 2h avec h = 14.0 .
Avec ces valeurs numériques de paramètres et ces conditions initiales, le phénomène de
pompage énergétique se produit. En effet, ceci est visible en comparant les mouvements de ce
système (2.2) à ceux du système sans couplage (soit γ 1 = γ 2 = 0, Figure 2.4), ou en observant
les oscillations de la structure non-linéaire en fonction de ceux de la structure linéaire (figure
2.5).
Ici, le comportement est supposé élastique. Nous étudions le même système mais en supposant
un comportement élastoplastique pur (voir section 2.1.1) et un comportement élastoplastique
avec endommagement (section 2.1.2). Les paramètres utilisés sont ceux du tableau 2.1.
Elastique Elastoplastique pur Elastoplastique avec endommagement
a 1 = 0.025, γ 1 = 0.25, a 2 = 0.075, k 2 = 0.0, C = 0.15, γ 2 = 0.25
x 1 (0) = x 2 (0) = ẋ 2 = 0, ẋ 1 (0) = √ 2h avec h = 14.0
k 1 = 0.6 k 1 = 0.5, k 0 = 0.1 k 1 = 0.5, k 0 = 0.1
F + = 0.04, F − = −0.04 F + = 0.04, F − = −0.04
u y = 0.4, u f
= 3.0, k T = k 0 u y
u y u y − u f
x p = 0.0 v = 1.0,D = 0
Tab. 2.1 – Valeurs numériques des paramètres utilisées pour les simulations.
Dans ce cas, nous pouvons vérifier qu’un transfert d’énergie d’énergie a lieu de la structure
linéaire vers la structure non-linéaire (Figures 2.6 et 2.7). En particulier, pour des temps très
316

2.2. Preuves numériques
6
4
Sans couplage
Avec couplage
2
0
−2
−4
−6
0 50 100 150 200 250 300
Temps
Fig. 2.4 – Oscillations de la structure linéaire pour le système avec couplage de l’équation (2.2)
et ceux de la structure linéaire seule.
5
4
3
Oscillations non−lineaires
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Oscillations lineaires
Fig. 2.5 – Oscillations de la structure non-linéaire en fonction de ceux de la structure linéaire
pour le système de l’équation (2.2).
317

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
faibles, le comportement est le même pour ces trois comportements : les oscillations de la structure
non-linéaire commencent immédiatement et atteignent la même amplitude. Ensuite, pour
des temps plus longs, la décroissance plus rapide des oscillations dans les cas élastoplastiques
est la preuve d’une dissipation plus grande.
De plus, la figure 2.7 montre que le comportement élastique et le comportement élastoplastique
pur induisent la même sorte de transfert d’énergie, cela n’est plus le cas dans le comportement
élastoplastique avec endommagement. En effet, la phase de comportement appelé
”endommagement“ (section 2.1.2) montre un mode de vibration tourné de π par rapport au
2
mode usuel.
5
4
3
2
1
0
−1
−2
Elastique
−3 Elastoplastique
Endommagement
−4
0 50 100 150 200 250 300
Temps
Fig. 2.6 – Oscillations de la structure linéaire du système (2.2) avec les valeurs numériques du
tableau 2.1 pour les cas des comportements élastique, élastoplastique pur et élastoplastique avec
endommagement.
De même, pour prouver quantitativement l’occurence d’un pompage énergétique, il est possible
de comparer les oscillations de la structure linéaire dans le système couplé avec celles de
cette structure seule (c’est-à-dire non couplée). Alors nous observons que les oscillations du système
couplé avec comportements élastoplastique pur ou élastoplastique avec endommagement
décroissent plus rapidement que celles des mêmes systèmes sans couplage (Figure 2.8).
318

2.2. Preuves numériques
5
Elastique
5
Elastoplastique
Non−lineaire
0
−5
−4 −2 0 2 4
Lineaire
Endommagement
5
Non−lineaire
0
−5
−4 −2 0 2 4
Lineaire
Non−lineaire
0
−5
−4 −2 0 2 4
Lineaire
Fig. 2.7 – Oscillations de la structure non-linéaire du système (2.2) en fonction de celles de
la structure linéaire, avec les valeurs numériques du tableau 2.1 pour les cas de comportement
élastique, élastoplastique pur et élastoplastique avec endommagement.
319

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
6
Couplage
Sans couplage
6
5
Couplage
Sans couplage
4
4
2
3
2
x
0
x
1
0
−2
−1
−4
−2
−3
−6
0 50 100 150 200 250
Temps
(a) Elastique
−4
0 50 100 150 200 250
Temps
(b) Elastoplastique parfait
8
6
Couplage
Sans couplage
4
2
x
0
−2
−4
−6
0 50 100 150 200 250
Temps
(c) Elastoplastique avec endommagement
Fig. 2.8 – Oscillations en fonction du temps de la structure linéaire couplée du système (2.2)
et celles de ce même oscillateur seul, avec les valeurs numériques du tableau 2.1 pour les cas de
comportement élastique, élastoplastique pur et élastoplastique avec endommagement.
320

2.2. Preuves numériques
2.2.2 Cas forcé
Comme dans le chapitre précédent, nous étudions le système forcé suivant (tiré des références
[36, 108, 41]) : il s’agit d’une réécriture barycentrique d’un système de deux oscillateurs liés par
une raideur linéaire en vitesse et une raideur cubique en position (pour plus d’explications, voir
section 1.2).
avec :
⎧
⎨
⎩
{
ẍ + a 1 ẋ + k 1 x + γ 1 (x − y) = f cos(wt),
ÿ + a 2 ẏ + k 2 y + Cy 3 + γ 2 (y − x) = 0,
ǫ = 0.05, χ = ǫ 1/3 , A = 0.2,
a 1 = 0, k 1 = 1 + χ 2 , γ 1 = −χ 2 , f = Aχ 2 , w = 1.01,
a 2 = λ, k 2 = χ, c = 8.0, γ 2 = −χ.
(2.3)
(2.4)
Les conditions initiales sont prises nulles : x 1 (0) = ẋ 1 (0) = x 2 (0) = ẋ 2 (0) = 0.
Avec ces valeurs numériques de paramètres et ces conditions initiales, le phénomène de
pompage énergétique se produit. En effet, ceci est visible en comparant les mouvements de ce
système (2.2) à ceux du système sans couplage (soit γ 1 = γ 2 = 0) comme sur la figure 2.9, ou en
observant les oscillations de la structure non-linéaire en fonction de ceux de la structure linéaire
(figure 2.10).
Ici, le comportement est supposé élastique. Nous étudions le même système mais en supposant
un comportement élastoplastique pur (explicité Section 2.1.1, page 309) et un comportement
élastoplastique avec endommagement (section 2.1.2, page 312). Les paramètres utilisés sont
ceux du tableau 2.2.
Avec ces valeurs numériques pour les paramètres, nous représentons les oscillations de la
structure linéaire en fonction du temps (Figure 2.11). Dans ce cas avec sollicitation, l’oscillateur
non linéaire réagit immédiatement à la sollicitation appliquée à l’oscillateur linéaire. Mais l’amplitude
des oscillations linéaires sont beaucoup plus faibles dans les cas élastoplastiques (fait lié
à la dissipation plus importante de la phase plastique). De plus, l’oscillateur non linéaire réagit
différemment que dans le cas élastique : cet oscillateur réagit dans sa phase plastique, puis il
plastifie assez rapidement et oscille légèrement autour d’une position non nulle.
Si nous représentons les oscillations de la structure non-linéaire en fonction de celles de la
structure linéaire (Figure 2.12), nous observons le mode de vibration pour le comportement
élastique. Pour les comportements élastoplastiques, nous observons les cycles du mouvement.
Pour le comportement élastoplastique pur, la raideur peut être évaluée en utilisant la pente des
courbes du cycle. Ceci est beaucoup plus compliqué dans le cas du comportement élastoplastique
avec endommagement.
En outre, les oscillations du système couplé avec lois de comportement élastique, élastoplastique
parfait et élastoplastique avec endommagement voient leurs amplitudes diminuer plus
rapidement que celles des mêmes systèmes non couplés (Figure 2.13).
321

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
0.5
0.4
Sans couplage
Avec couplage
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
0 50 100 150 200 250 300
Temps
Fig. 2.9 – Oscillations de la structure linéaire pour le système avec couplage de l’équation (2.3)
et ceux de la structure linéaire seule.
0.2
0.15
Oscillations non−lineaires
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
−0.2
−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Oscillations lineaires
Fig. 2.10 – Oscillations de la structure non-linéaire en fonction de ceux de la structure linéaire
pour le système de l’équation (2.3).
322

2.2. Preuves numériques
Elastique Elastoplastique pur Elastoplastique avec endommagement
ǫ = 0.05, χ = ǫ 1/3 , A = 0.2, λ = 0.2
a 1 = 0.0, γ 1 = −χ 2 , a 2 = λ, k 2 = χ, C = 8.0, γ 2 = −χ
x 1 (0) = ẋ 1 (0) = x 2 (0) = ẋ 2 = 0
k 1 = +χ 2 k 1 = 1 + χ 2 , k 0 = 1 + χ 2 k 1 = 1 + χ 2 , k 0 = 1 + χ 2
F + = Aχ2
0.5 , F − = −F + F + = Aχ2
0.5 , F − = −F +
Aχ 2
u y =
0.5(1 + χ 2 ) , u f
= 3.0, k T = k 0 u y
u y u y − u f
x p = 0.0 v = 0.0,D = 0
Tab. 2.2 – Valeurs numériques des paramètres utilisées pour les simulations.
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
−0.15
Elastique
Elastoplastique
Endommagement
−0.2
0 50 100 150 200 250 300
Temps
Fig. 2.11 – Oscillations de la structure linéaire du système (2.3) avec les valeurs numériques du
tableau 2.2 pour les cas de comportement élastique, élastoplastique pur et élastoplastique avec
endommagement.
323

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
0.2
Elastique
0.01
Elastoplastique
0.1
0.005
Non−lineaire
0
−0.1
−0.2
−1 0 1
Lineaire
Endommagement
0.02
Non−lineaire
0
−0.005
−0.01
−0.15 −0.1 −0.05 0
Lineaire
0.01
Non−lineaire
0
−0.01
−0.02
−0.2 0 0.2
Lineaire
Fig. 2.12 – Oscillations de la structure non-linéaire du système (2.3) en fonction de celles de
la structure linéaire, avec les valeurs numériques du tableau 2.2 pour les cas de comportement
élastique, élastoplastique pur et élastoplastique avec endommagement.
324

2.2. Preuves numériques
0.6
0.4
0.2
0
x
−0.2
−0.4
−0.6
Couplage
Sans couplage
−0.8
0 50 100 150 200 250
Temps
0.015
0.01
Couplage
Sans couplage
0.005
0
x
−0.005
−0.01
−0.015
−0.02
−0.025
0 50 100 150 200 250
Temps
0.05
0.04
Couplage
Sans couplage
0.03
0.02
0.01
x
0
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
0 50 100 150
Temps
Fig. 2.13 – Oscillations en fonction du temps de la structure linéaire du système couplé (2.3) et
celles de la structure linéaire simple, avec les valeurs numériques du tableau 2.2 pour les cas de
comportement élastique, élastoplastique pur et élastoplastique avec endommagement.
325

Chapitre 2. Comportement élasto-plastique avec endommagement
2.3 Conclusion
Ce chapitre a pour fonction de généraliser les résultats du chapitre précédent. Nous considérons
une loi de comportement élastoplastique avec écrouissage. De plus, les résultats sont plus
mitigés : supposons qu’une structure annexe est conçue pour pomper l’énergie d’une structure
principale supposée de comportement élastique. Si cette supposition est fausse, donc si la loi
de comportement réelle de la structure n’est pas élastique, deux cas existent : soit le pompage
reste efficace et les oscillations de la structure principale diminuent rapidement; soit le transfert
est détruit et l’amplitude des oscillations, tout en étant inférieure à celle de la structure linéaire
élastique sans couplage, est supérieure à celle des oscillations de cette même structure ayant un
comportement élastoplastique.
326

Conclusion
Dans cette partie, nous avons étudié (de façon surtout numérique), le comportement de deux
oscillateurs couplés calculés initialement pour permettre le transfert d’énergie de la structure
principale à la structure annexe dans l’hypothèse où l’oscillateur linéaire (principal) suit une loi
de comportement élastique pur. La non-linéarité de l’oscillateur annexe est alors calculée pour
optimiser ce phénomène de pompage énergétique.
Nous nous sommes intéressés au cas où le comportement de la structure principale est incertain.
En particulier, les cas où le comportement est élastique, élastoplastique parfait ou élastoplastique
avec endommagement ont été étudiés.
Dans le premier chapitre, la modélisation du comportement élastoplastique pur à l’aide d’éléments
de Saint-Venant nous a permis de montrer que ce problème est bien posé, donc qu’une
solution au problème différentiel obtenu existe et qu’elle est unique.
Ensuite, plusieurs conclusions ont pu être tirées des simulations numériques réalisées : tout
d’abord, si le comportement de l’oscillateur principal est faiblement élastoplastique au lieu d’être
élastique, le transfert d’énergie a toujours lieu, de plus il est efficace.
Pourtant, si l’incertitude est grande, une étude spécifique doit être réalisée. En particulier,
nous avons montré que si une gamme de comportements élastoplastiques est supposée probable,
il est possible de concevoir la non-linéarité cubique de l’oscillateur annexe pour que le transfert
d’énergie ait lieu pour tous ces comportements.
Ici, nous avons étudié deux formes de sollicitation : un cas libre avec impulsion initiale et
un cas forcé avec sollicitation sinusoïdale. Une étude intéressante pourrait être de considérer le
cas d’une bouffée de sollicitation (séisme) et de voir quelle est la réaction du système, si elle
ressemble plus aux cas libre ou forcé étudiés ici.
327

Conclusion
328

Conclusion générale
329

Conclusion générale
Ce doctorat a été l’occasion d’étudier les incertitudes des réponses de certains systèmes
dynamiques en fonction des incertitudes en entrée : paramètres, conditions initiales, sollicitations,
modélisations. Pour cela, différentes approches ont été privilégiées :
Dans une première partie, nous donnons l’expression d’une application linéaire tangente
pour les mouvements non réguliers. Comme la jacobienne pour les mouvements réguliers, elle
permet de donner une approximation au premier ordre de la variation de la sortie du système
en fonction de la variation en conditions initiales et en paramètres. Ainsi, cette fonction permet
de déterminer l’incertitude sur les entrées admissibles pour que l’indétermination sur la sortie
soit inférieure à une certaine valeur limite. En particulier, cela permettrait donc de déterminer
la taille optimale des mailles du grillage lors de calculs de mouvements non réguliers. En outre,
pour certains systèmes dynamiques pouvant subir une bifurcation par effleurement, l’incertitude
sur la sortie ne peut être évaluée.
Ensuite, l’équation de Fokker-Planck a été écrite et résolue numériquement pour certains
systèmes dynamiques sélectionnés. Cette équation aux dérivées partielles du deuxième ordre,
de type elliptique a pour inconnue la densité de probabilité des états du système si celui-ci est
soumis à un bruit blanc ou coloré. La solution obtenue, dans notre cas à l’aide des méthodes
des différences finies et de la différentiation des directions, est une fonction des positions et
des vitesses du système et du temps dont l’intégrale sur le domaine d’étude est égale à 1.
Appliquée à des systèmes dynamiques ayant un seul degré de liberté, la densité de probabilité
calculée est correcte et elle reproduit certains phénomènes déterministes tels les points fixes, les
attracteurs ou encore le plan de phase. L’implémentation numérique est plus hardue dans le cas
des systèmes à deux degrés de liberté suite à la lourdeur des calculs et des données à stocker.
Pourtant, certaines données qualitatives ont pu être obtenues, tels la forme du mode non-linéaire
ou une évaluation de la robustesse du pompage énergétique.
Dans une troisième partie, les exposants de Lyapunov ont été étudiés en temps fini alors
qu’ils le sont généralement qu’en temps infini (ou du moins en temps supposé comme tel). En
effet, en temps fini ces exposants dépendent du point dans l’espace considéré, du temps, du point
initial, de la divergence initiale... Ainsi, ils varient beaucoup en fonction de ces entrées, et leur
valeur n’est alors pas reliée à celle obtenue en temps infini. En particulier, nous montrons que
les maximums atteints, que nous avons appelés pseudo-exposants de Lyapunov en temps fini, ne
peuvent pas être déterminés a priori.
Ensuite, ces exposants de Lyapunov sont calculés à l’aide de la matrice d’évolution, ce qui
permet d’obtenir directement la variation de ces exposants avec les paramètres. Pourtant, nous
montrons que la formule ainsi développée est difficile à implémenter numériquement suite à la
raideur des calculs.
Dans une quatrième et dernière partie, l’incertitude sur la loi de comportement des structures
est étudiée pour le système de deux oscillateurs couplés permettant le phénomène du pompage
énergétique. Nous supposons que la structure annexe, de raideur cubique calculée pour optimiser
le transfert d’énergie de la structure principale pour une loi de comportement élastique et que
cette dernière peut être différente (élastoplastique parfait ou avec endommagement).
330

Tout d’abord, la modélisation du comportement élastoplastique parfait a été réalisée à l’aide
d’éléments de Saint-Venant. Une étude analytique a alors permis de prouver l’existence et l’unicité
de la solution de ce problème. Ceci nous autorise à réaliser une étude numérique, ce qui a été
fait dans un deuxième temps. Deux principales conclusions en ont été tirées : si l’incertitude est
faible, c’est-à-dire que si au lieu d’être élastique la structure linéaire est légèrement élastoplastique,
le transfert d’énergie a lieu et il reste efficace. De plus, si une gamme de comportements
probables a été déterminée, il est possible de concevoir la non-linéarité pour que le transfert se
réalise pour tous ces comportements.
Bien sûr, les perspectives sont nombreuses, ce travail n’étant qu’une amélioration de certains
travaux existants. Elles concernent aussi bien l’avancement de ces travaux de recherche, mais
également la mise en application des résultats trouvés.
Ainsi, l’application linéaire tangente pourrait être implémentée dans les codes existants de
calculs de mouvements non réguliers (logiciels de chute de blocs) afin de déterminer ”pas à pas“
si la finesse du maillage de calcul est suffisante pour obtenir une précision déterminée.
Ici, une autre perspective de ce travail est la mise en place de méthodes par intervalles pour
les systèmes non réguliers utilisant ce développement, puisque la divergence peut être évaluée
au premier ordre.
Le calcul numérique qui a été fait de la densité de probabilité de Fokker-Planck pour les
systèmes dynamiques à deux degrés de liberté gagnerait a être réalisé sur une machine de calcul
plus performante, avec plus de moyens de stockage. Une autre perspective, plus avisée, pourrait
être la programmation de la parallélisation des calculs afin de travailler avec des maillages plus
précis, mais le travail réalisé montre qu’on se heurte rapidement à la taille des calculs.
La formule de calcul des exposants de Lyapunov et leur variabilité en fonction des paramètres
utilisant la matrice d’évolution est très prometteuse car moins gourmande en temps et moyens de
calcul. Pourtant elle ne peut être programmée dans l’état. Nous supputons qu’il serait nécessaire,
comme pour l’algorithme de Wolf, de procéder à une orthonormalisation de la divergence à
chaque pas de temps. Donc une étude mathématique utilisant les propriétés de continuité et de
dérivabilité des exposants de Lyapunov devrait être réalisée pour déterminer comment raffiner
et stabiliser les calculs.
De plus, au niveau applicatif, les exposants de Lyapunov ne peuvent être utilisés pour estimer
une divergence en temps fini, tel que cela est réalisé actuellement.
La dernière partie a pour but de montrer que pour concevoir la structure annexe permettant le
transfert énergétique, il est important de prendre en compte le comportement réel de la structure,
en particulier si la structure à protéger est âgée, et donc peut présenter un endommagement
résiduel. Bien sûr, l’analyse mathématique, ou du moins une approximation analytique, est
manquante ici. Une perspective serait la mise en place de celle-ci, peut-être à l’aide de nouveaux
concepts. Nous pensons en particulier que le concept de modes non-linéaires pourrait être étendu
à ces équations linéaires par morceaux, et même aux mouvements non réguliers, peut-être en
utilisant la notion de matrice de saut telle qu’elle a été explicitée dans la première partie de
cette thèse?
331

Conclusion générale
Finalement, ces méthodes qui peuvent être appliquées à des domaines d’études très différents,
trouvent des applications très diverses : la finance avec les probabilités bayésiennes, le perfectionnement
des études de sensibilité, de stabilité avec les exposants de Lyapunov (météorologie,
...), le cours des monnaies avec l’équation de Fokker-Planck...
332

Bibliographie
[1] G. Alefeld and G. Mayer. Interval analysis : theory and applications. Journal of Computational
and Applied Mathematics, 121(1-2) :421–464, 2000.
[2] E. Aurell, G. Boffetta, A. Crisanti, G. Paladin, and A. Vulpiani. Growth of noninfinitesimal
perturbations in turbulence. Physical Review Letters, 77(7) :1262–1265, 1996.
[3] E. Aurell, G. Boffetta, A. Crisanti, G. Paladin, and A. Vulpiani. Predictability in systems
with many characteristic times : The case of turbulence. Physical Review E - Statistical
Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics, 53(3) :2337–2349, 1996.
[4] E. Aurell, G. Boffetta, A. Crisanti, G. Paladin, and A. Vulpiani. Predictability in the large :
An extension of the concept of Lyapunov exponent. Journal of Physics A : Mathematical
and General, 30(1) :1–26, 1997.
[5] A. Azzoni, G. La Barbera, and A. Zaninetti. Analysis and prediction of rockfalls using
a mathematical model. International Journal of Rock Mechanics and Mining Science &
Geomechanics Abstracts, 33(4) :178, 1996.
[6] A. Baratta and O. Corbi. Stochastic dynamics of smooth non-linear systems by the Fokker-
Planck-Kolmogorov equation. In ASCE, editor, th ASCE Specialty Conference on Probabilistic
Mechanics and Structural Reliability, 2000.
[7] Luis Barreira and Claudia Valls. Stability theory and Lyapunov regularity. Journal of
Differential Equations, 232(2) :675–701, 2007.
[8] J. Bastien, M. Schatzman, and C.-H. Lamarque. Study of an elastoplastic model with an
infinite number of internal degrees of freedom. European Journal of Mechanics, A/Solids,
21(2) :199–222, 2002.
[9] F. Bernardin, C.-H. Lamarque, and M. Schatzman. A stochastic differential equation from
friction mechanics [une équation différentielle stochastique en mécanique du frottement].
Comptes Rendus Mathematiques, 338(11) :837–842, 2004.
[10] F. Bernardin, C.H. Lamarque, and M. Schatzman. Multivalued stochastic differential equations
and its applications in dynamics. In Proceedings of the ASME Design Engineering
Technical Conference, volume 5 B, pages 1473–1477, 2003.
[11] R. Bouc. Power spectral density of response for a strongly non-linear random oscillator.
Journal of Sound and Vibration, 175(3) :317–331, 1994.
333

Bibliographie
[12] R. M. Brach. Rigid body collisions. Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME,
56(1) :133–138, 1989.
[13] R.M. Brach. Friction, restitution, and energy loss in planar collisions. Journal of Applied
Mechanics, Transactions ASME, 51(1) :164–170, 1984.
[14] H. Brézis. Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les
espaces de Hilbert, volume North-Holland mathematics studies. American Elsevier Publishing
Co., Inc. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, London, N.Y., 1973.
[15] T.K. Caughey. Derivation and application of the Fokker-Planck equation to discrete nonlinear
dynamic systems subjected to white random excitation. The Journal of the Acoustical
Society of America, 1963.
[16] Noël Challamel and Gwénaël Gilles. Stability and dynamics of a harmonically excited
elastic-perfectly plastic oscillator. Journal of Sound and Vibration, 301(3-5) :608–634,
2007.
[17] Noël Challamel and Gilles Pijaudier-Cabot. Stability and dynamics of a plastic softening
oscillator. International Journal of Solids and Structures, 43(18-19) :5867–5885, 2006.
[18] J.E. Crempien-Laborie. Response of a single degree of freedom elastic perfectly plastic
system under non-stationary gaussian seismic excitation. In Structures Solids and
Coupled Problems in Engineering, editors, 3rd European Conference on Computational
Mechanics, Lisbon, Portugal, 2006. C.A. Mota Soares et al.
[19] Silvio L. T. de Souza and Ibere L. Caldas. Calculation of Lyapunov exponents in systems
with impacts. Chaos, Solitons & Fractals, 19(3) :569–579, 2004.
[20] M. Dehghan. Finite difference procedures for solving a problem arising in modeling
and design of certain optoelectronic devices. Mathematics and Computers in Simulation,
71(1) :16–30, 2006.
[21] J.-F. Delmas and B. Jourdain. Modèles aléatoires. Applications aux sciences de l’ingénieur
et du vivant, volume Mathématiques & Applications. Springer, Paris, 2006.
[22] O. Dessombz. Analyse dynamique de structures comportant des parametres incertains.
Thèse, Ecole Centrale de Lyon, 2000.
[23] O. Dessombz, F. Thouverez, J.-P. Laîne, and L. Jézéquel. Analysis of mechanical systems
using interval computations applied to finite element methods. Journal of Sound and
Vibration, 239(5) :949–968, 2001.
[24] Luca Dieci and Erik S. Van Vleck. Computation of a few Lyapunov exponents for continuous
and discrete dynamical systems. Applied Numerical Mathematics Special Issue on
Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, 17(3) :275–291, 1995.
[25] R. Ding and J. Li. Nonlinear finite-time Lyapunov exponent and predictability. Physics
Letters A, 364(5) :396–400, 2007.
[26] R. Doerner, B. Hubinger, W. Martienssen, S. Grossmann, and S. Thomae. Stable manifolds
and predictability of dynamical systems. Chaos, Solitons, & Fractals, 10(11) :1759–1782,
1999.
334

[27] C. Doléans-Dade. Existence and unicity of solutions of stochastic differential equations.
Z. für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 36(2) :93–102, 1976.
[28] C. Doléans-Dade and P.-A. Meyer. Equations différentielles stochastiques. In Irma, editor,
Séminaire de probabilités, volume 11, pages 376–382, Strasbourg, 1977. Springer-Verlag.
[29] H. Doss and E. Lenglart. Sur l’existence, l’unicité et le comportement asymptotique des solutions
d’équations différentielles stochastiques. Annales de l’I.H.P., section B, 14(2) :189–
214, 1978.
[30] J. Dreger, B. Hamprecht, and A. Pelster. Variational perturbation theory for Fokker-
Planck equation with nonlinear drift. European Physical Journal B, 45(3) :355–368, 2005.
[31] U. Dressler and J. D. Farmer. Generalized Lyapunov exponents corresponding to higher
derivatives. Physica D : Nonlinear Phenomena, 59(4) :365–377, 1992.
[32] J.-L. Falcetta. Etude cinématique et dynamique de chutes de blocs rocheux. PhD thesis,
INSA, 1985.
[33] R. Friedrich, S. Siegert, J. Peinke, St. Luck, M. Siefert, M. Lindemann, J. Raethjen, G. Deuschl,
and G. Pfister. Extracting model equations from experimental data. Physics Letters
A, 271(3) :217–222, 2000.
[34] Ramazan Gençay. A statistical framework for testing chaotic dynamics via Lyapunov
exponents. Physica D : Nonlinear Phenomena, 89(3-4) :261–266, 1996.
[35] O. Gendelman, L.I. Manevitch, A.F. Vakakis, and R. M’Closkey. Energy pumping in
nonlinear mechanical oscillators : Part 1 - dynamics of the underlying Hamiltonian systems.
Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME, 68(1) :34–41, 2001.
[36] O.V. Gendelman, E. Gourdon, and C.H. Lamarque. Quasiperiodic energy pumping in
coupled oscillators under periodic forcing. Journal of Sound and Vibration, 294(4-5) :651–
662, 2006.
[37] O.V. Gendelman and C.H. Lamarque. Dynamics of linear oscillator coupled to strongly
nonlinear attachment with multiple states of equilibrium. Chaos, Solitons and Fractals,
24(2) :501–509, 2005.
[38] J. Geweke. Monte carlo simulation and numerical integration. Technical report, Research
Department Staff Report 192, 1995.
[39] R.G. Ghanem and P.D. Spanos. Stochastic finite elements : A Spectral Approach. Springer-
Verlag, New York, 1991.
[40] E. Gourdon. Contrôle passif de vibrations par pompage énergétique. Thèse, Ecole Centrale
de Lyon, 2006.
[41] E. Gourdon, N.A. Alexander, C.A. Taylor, C.H. Lamarque, and S. Pernot. Nonlinear
energy pumping under transient forcing with strongly nonlinear coupling : Theoretical
and experimental results. Journal of Sound and Vibration, 300(3-5) :522–551, 2007.
[42] E. Gourdon and C.H. Lamarque. Energy pumping for a larger span of energy. Journal of
Sound and Vibration, 285(3) :711–720, 2005.
335

Bibliographie
[43] E. Gourdon and C.H. Lamarque. Energy pumping with various nonlinear structures :
Numerical evidences. Nonlinear Dynamics, 40(3) :281–307, 2005.
[44] C. Grebogi, J.A. Yorke, S.M. Hammel, and T. Sauer. Shadowing of physical trajectories
in chaotic dynamics : Containment and refinement. Physical Review Letters, 65(13) :1527–
1530, 1990.
[45] G. Haller. Distinguished material surfaces and coherent structures in three-dimensional
fluid flows. Physica D : Nonlinear Phenomena, 149(4) :248–277, 2001.
[46] B. Hamprecht and H. Kleinert. Tunnelling amplitudes from perturbation expansions.
Physics Letters B, 564(1-2) :111–114, 2003.
[47] M. Hanss. The fundamentals of fuzzy arithmetic in the framework of uncertainty management.
In Marie Curie Actions, editor, SICON TC3, Rome, 2008.
[48] H. Hayakawa. Langevin equation with Coulomb friction. Physica D : Nonlinear Phenomena
Synchronization and Pattern Formation in Nonlinear Systems : New Developments
and Future Perspectives, 205(1-4) :48–56, 2005.
[49] C. Heinkélé. Vibro-acoustique des systèmes à paramètres incertains : applications aux
milieux poro-élastiques. PhD thesis, Ecole Normale Supérieure, 2008.
[50] S.J. Hogan. On the dynamics of rigid-block motion under harmonic forcing. Proc. R. Soc.
London, A(425) :441–475, 1989.
[51] R.A. Ibrahim and H. Heo. Stochastic response of nonlinear structures with parameter
random fluctuations. AIAA Journal, 25(2) :331–338, 1987.
[52] B. Jacob. Fiabilité probabiliste des structures et des systèmes, 1995.
[53] O. Janin. Contribution à l’identification, la modélisation et l’analyse de systèmes dynamiques
à non-linéarités irrégulières. Thèse, Université Lyon I, 2001.
[54] O. Janin and C.H. Lamarque. Stability of singular periodic motions in a vibro-impact
oscillator. Nonlinear Dynamics, 28(3-4) :231–241, 2002.
[55] G. Karch and W. Wedig. Determination of Lyapunov exponents by weak solutions of
Fokker-Planck equations. Probabilistic Engineering Mechanics Special issue stochastic
structural dynamic, 10(3) :135–141, 1995.
[56] A. Kaufmann. Introduction à la théorie des sous-ensembles flous . 1. Eléments théoriques
de base (Fuzzy sets theory). Masson, Paris, 2 edition, 1977.
[57] E. Kazantsev. Local Lyapunov exponents of the quasi-geostrophic ocean dynamics. Applied
Mathematics and Computation, 104(2-3) :217–257, 1999.
[58] P.E. Kloeden and E Platen. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer
Verlag, New York, 3rd edition, 1992.
[59] C.Y. Koo and J.C. Chern. Modification of the dda method for rigid block problems.
International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 35(6) :683–693, 1998.
[60] A Kunert and F. Pfeiffer. Description of chaotic motion by an invariant probability.
Nonlinear Dynamics, 2(4) :291–304, 1991.
336

[61] C.-H. Lamarque and J. Bastien. Numerical study of a forced pendulum with friction.
Nonlinear Dynamics, 23(4) :335–352, 2000.
[62] C.-H. Lamarque, F. Bernardin, and J. Bastien. Study of a rheological model with a
friction term and a cubic term : Deterministic and stochastic cases. European Journal of
Mechanics, A/Solids, 24(4) :572–592, 2005.
[63] C.-H. Lamarque, M. Holland, and J. Bastien. Study of a maximal monotone model with
a delay term. SIAM Journal on Numerical Analysis, 41(4) :1286–1300, 2003.
[64] C.-H. Lamarque, S. Pernot, E. Gourdon, S. Coutel, and F. Schmidt. Energy pumping : design,
experiment, efficiency. In 2nd International Conference on Nonlinear Normal Modes
and Localization in Vibrating Systems, Samos, 2006.
[65] C.-H. Lamarque and F. Schmidt. Etude de systèmes incertains avec l’équation de Fokker-
Planck. In 18 e Congrès Français de Mécanique, Grenoble, France, 2007.
[66] C.-H. Lamarque and F. Schmidt. A probabilistic approach to uncertain dynamical systems.
In ECCOMAS conference on Computationnal Methods, Rethymno, Crète, Grèce, 2007.
[67] H. P. Langtangen. A general numerical solution method for Fokker-Planck equations with
applications to structural reliability. Probabilistic engineering mechanics, 6(1) :33–48, 1991.
[68] G. Lapeyre. Characterization of finite-time Lyapunov exponents and vectors in twodimensional
turbulence. Chaos, 12(3) :688–698, 2002. .
[69] M. Leutbecher and T.N. Palmer. Ensemble forecasting. Journal of Computational Physics,
In Press, Corrected Proof, 2007.
[70] A. M. Lyapunov. The general problem of the stability of motion. International Journal
of Control, 55(3) :531–773, 1992.
[71] J.-M. Malasoma. Dynamique complexe d’un système à attracteurs multiples. Thèse de
doctorat, Ecole Centrale de Lyon, 1994.
[72] A. Mauger. Anomalous motion generated by the Coulomb friction in the Langevin equation.
Physica A : Statistical Mechanics and its Applications, 367 :129–135, 2006.
[73] P. V. Mcdonough, J. P. Noonan, and G. R. Hall. A new chaos detector. Computers &
Electrical Engineering, 21(6) :417–431, 1995.
[74] E. Moulay and W. Perruquetti. Finite time stability and stabilization of a class of continuous
systems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 323(2) :1430–1443,
2006.
[75] M. Mu, W.S. Duan, and B. Wang. Conditional nonlinear optimal perturbation and its
applications. Nonlinear Processes in Geophysics, 10(6) :493–501, 2003.
[76] P. C. Müller. Calculation of Lyapunov exponents for dynamic systems with discontinuities.
Chaos, Solitons & Fractals Some Nonlinear Oscillations Problems in Engineering Sciences,
5(9) :1671–1681, 1995.
[77] P. S. Neelakanta, S. T. Abusalah, D. F. De Groff, and J. C. Park. Fuzzy nonlinear activity
and dynamics of fuzzy uncertainty in the neural complex. Neurocomputing, 20(1-3) :123–
153, 1998.
337

Bibliographie
[78] V.I. Oseledec. A multiplicative ergodic theorem : Lyapunov characteristic numbers for
dynamical systems. Trans. Moscow Math. Society, 19 :197–231, 1968.
[79] W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in
C : the Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
[80] Ph. E. Protter. On the existence, uniqueness, convergence and explosions of solutions of
systems of stochastic integral equations. Annals of Probability, 5(2) :243–261, 1977.
[81] V. Raizer. Theory of reliability in structural design. Applied Mechanics Reviews, 57(1-
6) :1–21, 2004.
[82] K. Ramasubramanian and M.S. Sriram. A comparative study of computation of Lyapunov
spectra with different algorithms. Physica D : Nonlinear Phenomena, 139(1-2) :72–86,
2000. .
[83] H. Risken. The Fokker-Planck equation. Methods of solution and applications, volume
Springer Series in Synergetics. Springer-Verlag, Berlin, second edition edition, 1989.
[84] A.M. Ritchie. Evaluation of rockfall and its control. Highway Research Record, 17 :13–28,
1963.
[85] C.P. Robert. Le choix Bayésien. Principe et pratique, volume Statistique et probabilités
appliquées. Springer, Paris, 2 edition, 2006.
[86] R.V. Roy. Noise perturbations of a non-linear system with multiple steady states. International
Journal of Non-Linear Mechanics, 29(5) :755–773, 1994.
[87] R.V. Roy. Noise-induced transitions in weakly nonlinear oscillators near resonance. Journal
of Applied Mechanics, Transactions ASME, 62(2) :496–504, 1995.
[88] M. Schatzman, C.-H. Lamarque, and J. Bastien. Ill-posed mechanical problem with friction.
European Journal of Mechanics, A/Solids, 18(3) :415–420, 1999.
[89] K.R. Schenk-Hoppé. Stochastic Hopf bifurcation : An example. International Journal of
Non-Linear Mechanics, 31(5 SPEC. ISS.) :685–692, 1996.
[90] F. Schmidt. Introduction à l’étude des systèmes dynamiques à paramètres incertains. Mastère
recherche, Ecole Nationale des Travaux Publics de l’Etat, 2005.
[91] F. Schmidt and C.-H. Lamarque. On the numerical value of finite-time pseudo-Lyapunov
exponents. In 9th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications, ̷Lódz,
Poland, 2007.
[92] F. Schmidt and C.-H. Lamarque. Un indicateur pour optimiser les calculs trajectographiques.
Bulletin de Liaison des Ponts et Chaussées, (4513), 2007.
[93] F. Schmidt and C.-H. Lamarque. Energy pumping for mechanical systems with non-smooth
terms of Saint Venant type. In Euromech 498 Colloqium, Kazimierz Dolny, Poland, 2008.
[94] F. Schmidt and C.-H. Lamarque. Energy pumping with plastic structures : numerical
evidences. In International Conference on Nonlinear Phenomenain Polymer Solids and
Low-dimensional Systems, Saint-Pétersbourg, Russie, 2008.
338

[95] F. Schmidt and C.-H. Lamarque. How to improve confidence in calculations for non-smooth
dynamical systems. Journal of Vibration and Control, 14(1/2) :231–253, 2008.
[96] F. Schmidt and C.-H. Lamarque. Computation of the solutions of the Fokker-Planck equation
for one and two dof systems. Communications in Nonlinear Science and Numerical
Simulation, 14(2) :529–542, 2009. TY - JOUR.
[97] S. C. Shadden, F. Lekien, and J. E. Marsden. Definition and properties of Lagrangian
coherent structures from finite-time Lyapunov exponents in two-dimensional aperiodic
flows. Physica D : Nonlinear Phenomena, 212(3-4) :271–304, 2005.
[98] J. J. E. Slotine and L. Weiping. Chap.3 : Fundamentals of Lyapunov theory. In J. J. E. Slotine,
editor, Applied Nonlinear Control, volume Engineering/Science/Mathematics, page
352. Prentice-Hall, United States Edition, 1990.
[99] T. K. Soboleva and A. B. Pleasants. Population growth as a nonlinear stochastic process.
Mathematical and Computer Modelling Stochastic models in engineering, technology, and
management, 38(11-13) :1437–1442, 2003.
[100] C. Soize. Steady-state solution of Fokker-Planck equation in higher dimension. Probabilistic
Engineering Mechanics, 3(4) :196–206, 1988.
[101] A. Spivak and Z. Schuss. Analytical and numerical study of Kramer’s exit problem ii.
Applied Mathematics E-Notes, 3 :147–155, 2002.
[102] G. Tancredi, A. Sànchez, and F. Roig. A comparison between methods to compute Lyapunov
exponents. Astronomical Journal, 121(2) :1171–1179, 2001.
[103] X. Z. Tang and A. H. Boozer. Finite time Lyapunov exponent and advection-diffusion
equation. Physica D : Nonlinear Phenomena, 95(3-4) :283–305, 1996.
[104] J. Taylor. Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques, volume Masson
Sciences. Dunod, Paris, 2000.
[105] M. Toriel. Etude de modèles trajectographiques de chutes de pierres. Diplôme d’Etudes
Approfondies, Ecole doctorale Mécanique Electronique Génie civil Acoustique, 2000.
[106] Y.-K. Tung and B.-C. Yen. Hydrosystems engineering uncertainty analysis, volume
McGraw-Hill Civil Engineering. Lavoisier, 2005.
[107] F. E. Udwadia and H. F. von Bremen. An efficient and stable approach for computation of
Lyapunov characteristic exponents of continuous dynamical systems. Applied Mathematics
and Computation, 121(2-3) :219–259, 2001.
[108] A. F. Vakakis. Non-linear normal modes (nnms) and their applications in vibration theory :
an overview. Mechanical Systems and Signal Processing, 11(1) :3–22, 1997.
[109] A. F. Vakakis, L. I. Manevitch, O. Gendelman, and L. Bergman. Dynamics of linear
discrete systems connected to local, essentially non-linear attachments. Journal of Sound
and Vibration, 264(3) :559–577, 2003.
[110] N.G. Van Kampen. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. North-Holland, 1992.
339

Bibliographie
[111] U. Von Wagner. On non-linear stochastic dynamics of quarter car models. International
Journal of Non-Linear Mechanics, 39(5) :753–765, 2004.
[112] K.-G. Wang and J. Masoliver. Linear oscillators driven by Gaussian colored noise : crossovers
and probability distributions. Physica A : Statistical and Theoretical Physics,
231(4) :615–630, 1996.
[113] J. G. Wei and G. Leng. Lyapunov exponent and chaos of Duffing’s equation perturbed by
white noise. Applied Mathematics and Computation, 88(1) :77–93, 1997.
[114] E. M. Weinstein and H. Benaroya. The Van Kampen expansion for linked Duffing-linear
oscillators excited by colored noise. Journal of Sound and Vibration, 191(3) :397–414,
1996.
[115] A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, and J. A. Vastano. Determining Lyapunov exponents
from a time series. Physica D : Nonlinear Phenomena, 16(3) :285–317, 1985.
[116] W.X. Xie, W. Xu, and L. Cai. Study of the Duffing-Rayleigh oscillator subject to harmonic
and stochastic excitations by path integration. Applied Mathematics and Computation
Special issue for The Beijing-HK Scientific Computing Meetings, 172(2) :1212–1224, 2006.
[117] M. Yang, T. Fukawa, Y. Ohnishi, S. Nishiyama, S. Miki, Y. Hirakawa, and S. Mori. The
application of 3-dimensional dda with a spherical rigid block for rockfall simulation. International
Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 41(SUPPL. 1), 2004.
[118] H. C. Yee. Explicit and implicit multidimensional compact high-resolution shock-capturing
methods :formulation,. Journal of Computational Physics, 131(1) :216–232, 1997.
[119] Lai-Sang Young. Entropy, Lyapunov exponents, and Hausdorff dimension in differentiable
dynamical systems. IEEE transactions on circuits and systems, CAS-30(8) :599–607, 1983.
[120] J.S. Yu and Y.K. Lin. Numerical path integration of a non-homogeneous Markov process.
International Journal of Non-Linear Mechanics, 39(9) :1493–1500, 2004.
[121] L.A. Zadeh. Toward a generalized theory of uncertainty (gtu)- an outline. Information
Sciences, 172(1-2) :1–40, 2005.
[122] C. Ziehmann, L. A. Smith, and J. Kurths. The bootstrap and Lyapunov exponents in
deterministic chaos. Physica D : Nonlinear Phenomena, 126(1-2) :49–59, 1999.
[123] M. P. Zorzano, H. Mais, and L. Vazquez. Numerical solution for Fokker-Planck equations
in accelerators. Physica D : Nonlinear Phenomena Proceedings of the Conference
on Fluctuations, Nonlinearity and Disorder in Condensed Matter and Biological Physics,
113(2-4) :379–381, 1998.
[124] M.P. Zorzano, H. Mais, and L. Vazquez. Numerical solution of two dimensional Fokker-
Planck equations. Applied Mathematics and Computation, 98(2-3) :109–117, 1999.
340

Annexe A
Calcul des matrices de passage et de
saut pour deux cas particuliers
Dans cette annexe, nous utilison les résultats de la section 1.2, afin de retrouver les formules
de la référence [76].
Soit un problème ne possédant pas de paramètres aléatoires et où le temps n’intervient pas :
(t 0 ≤)t < t 1 : Ẋ = f 1 (X) , X (t 0 ) = X 0 , f 1 ∈ C 1 ,
t = t 1 : 0 = h(X) , h ∈ C 1 ,
X ( t + ) ( ( ))
1 = g X t
−
1 , g ∈ C 1 ,
(A.1)
t > t 1 : Ẋ = f 2 (X) , X (t 1 ) = X ( t + )
1 , f2 ∈ C 1 .
Alors on trouve directement, en adaptant les formules générales au fait qu’il n’y ait pas d’incertitude
sur les paramètres et le temps,(les notations sont évidentes) :
(t 0 ≤)t < t 1 : δẊ = F 1X (X) .δX, δX (t 0 ) = δX 0 ,
t = t 1 : δt = − [ H X
(
X
−
1
)
.f1
(
X
−
1
)] −1 .
[
HX
(
X
−
1
)]
.δX − ,
δX + ( )
= G X X
−
1 .δX − + [ ( ) ( ) ( )]
G X X
−
1 .f1 X
−
1 − f2 X
+ (A.2)
1 ,
t > t 1 : δẊ = F 2X (X) , δX (t 1 ) = δX ( t + )
1 .
De même, pour un problème dépendant du temps mais dont la valeur numérique des para-
341

Annexe A. Calcul des matrices de passage et de saut pour deux cas particuliers
mètres est supposée connue exactement :
(t 0 ≤)t < t 1 : Ẋ = f 1 (X, t), X (t 0 ) = X 0 , f 1 ∈ C 1 ,
t = t 1 : 0 = h(X (t 1 ) , t 1 ), h ∈ C 1 ,
X ( t + ) ( ( ) )
1 = g X t
−
1 , t1 , g ∈ C 1 ,
(A.3)
t > t 1 : Ẋ = f 2 (X, t), X (t 1 ) = X ( t + )
1 , f2 ∈ C 1 .
Alors :
(t 0 ≤)t < t 1 : δẊ = F 1X (X, t).δX + F 1T (X, t)δt 0 , δX (t 0 ) = δX 0 ,
t = t 1
: δt = − [ H X
(
X
−
1 , t 1
)
.f1
(
X
−
1 , t 1
)
+ HT
(
X
−
1 , t 1
)] −1
× [ ( ) ( ) ]
H X X
−
1 , t 1 .δX
−
1 + H T X
−
i
, t 1 δt0 ,
δX + ( )
= G X X
−
1 , t i .δX
−
(A.4)
+ [ ( ) ( ) ( ) ( )]
G X X
−
1 , t 1 .f1 X
−
1 , t 1 + GT X
−
1 , t 1 − f2 X
+
1 , t 1 δt
( )
+G T X
−
1 , t 1 δt0 ,
t > t 1 : δẊ = F 2X (X, t).δX + F 2T (X, t)δt 0 , δX (t 1 ) = δX ( t + )
1 .
Ces formules sont exactement celles que l’on peut lire dans la référence [76].
342

Annexe B
Comparaison des divergences exactes
et approchées pour le problème du
billard
B.1 Calcul de la divergence exacte
B.1.1 La position et la vitesse initiales sont positives :
Ainsi les deux rayons impactent sur la partie parfaitement verticale. Alors :
∀t > 0, δX 1 = δX 2 .
(B.1)
B.1.2 Si y 01 ≥ 0 et y 02 ≥ 0 :
Les équations du mouvement avant impact sont :
{ {
x1 = ẋ 01 t + x 01 , x2 = ẋ
et
02 t + x 02 ,
y 1 = y 01 ,
y 2 = y 02 .
Pour ces deux trajectoires, il y a impact lorsque :
x 1 − y 1 tan (θ) = 0 ,
∣ soit : t 1 = y x 2 − y 2 tan (θ) = 0 ,
01 tan (θ) − x 01 et
,
ẋ
∣ soit : t 2 = y 02 tan (θ) − x 02
.
01 ẋ 02
(B.2)
(B.3)
Les deux vitesses d’impact sont respectivement ẋ 01 et ẋ 02 .
Ainsi les deux trajectoires après impact seront (nous notons e < 0, le coefficient de restitution
en vitesse) :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(
x 1 = eẋ 01 cos (2θ)
y 1 = eẋ 01 sin(2θ)
t − y )
01 tan (θ) − x 01
+ y 01 tan (θ) ,
ẋ 01
(
t − y )
01 tan (θ) − x 01
+ y 01 ,
ẋ 01
343
(B.4)

Annexe B. Comparaison des divergences exactes et approchées pour le problème du billard
et :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(
x 2 = eẋ 02 cos (2θ)
y 2 = eẋ 02 sin(2θ)
t − y )
02 tan (θ) − x 02
+ y 02 tan (θ) ,
ẋ 02
(
t − y )
02 tan (θ) − x 02
+ y 02 .
ẋ 02
Nous supposons maintenant que y 02 > y 01 (nous notons y 02 = y 01 + δy 0 ), donc : t 2 > t 1 .
Nous pouvons alors calculer exactement la divergence de trajectoire en fonction du temps :
Pour t < t 1 :
(B.5)
Pour t 1 < t < t 2 :
||δX|| 2 =
||δX|| = √ δx 2 + δy 2 = |δy| = δy 0 .
(
ẋ 0 t + x 0 − eẋ 0 cos (2θ)
(
+ y 02 − eẋ 0 sin(2θ)
(
t − y ) )
01 tan (θ) − x 2
0
− y 01 tan(θ)
ẋ 0
(
t − y ) )
01 tan (θ) − x 2
0
− y 01 .
ẋ 0
(B.6)
(B.7)
Pour t 2 < t :
||δX|| 2 = δy 2 0
[
{ } ] 2
{tan (θ)(ecos (2θ) − 1)} 2 + 2esin (θ) 2 − 1
. (B.8)
B.1.3 La position est négative, la vitesse est positive :
Ceci signifie que la première trajectoire impacte sur la partie de la paroi parfaitement verticale,
alors que le deuxième rayon tombe sur la partie de la paroi qui est légèrement inclinée.
Nous faisons les mêmes hypothèses que dans la section précédente.
Les équations du mouvement avant impact sont :
{ {
x1 = ẋ 01 t + x 01 , x2 = ẋ
et
02 t + x 02 ,
(B.9)
y 1 = y 01 ,
y 2 = y 02 .
Pour ces deux trajectoires, il y a impact lorsque :
x 1 − y 1 tan (θ) = 0 ,
∣ soit : t 1 = y x 2 − y 2 tan (θ) = 0 ,
01 tan (θ) − x 01 et
,
ẋ
∣ soit : t 2 = y 02 tan (θ) − x 02
.
01 ẋ 02
(B.10)
Les deux vitesses d’impact sont respectivement ẋ 01 et ẋ 02 .
Ainsi les deux trajectoires après impact seront (nous notons e < 0, le coefficient de restitution
en vitesse) :
⎧ (
⎨
x 1 = eẋ 01 t − y )
01 tan (θ) − x 01
,
ẋ
⎩
01 (B.11)
y 1 = y 01 ,
344

B.2. Calcul de la divergence avec les matrices de saut et de passage
et :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(
x 2 = eẋ 02 cos (2θ)
y 2 = eẋ 02 sin(2θ)
t − y )
02 tan (θ) − x 02
+ y 02 tan (θ) ,
ẋ 02
(
t − y )
02 tan (θ) − x 02
+ y 02 .
ẋ 02
(B.12)
Nous supposons maintenant que y 02 > y 01 (nous notons y 02 = y 01 + δy 0 ), donc : t 2 > t 1 .
Nous pouuvons alors calculer exactement la divergence de trajectoire en fonction du temps :
Pour t < t 1 :
||δX|| = √ δx 2 + δy 2 = |δy| = δy 0 .
(B.13)
Pour t 1 < t < t 2 :
||δX|| 2 = δy 2 0 + {ẋ 0t (e − 1) − x 0 − e(y 01 tan (θ) − x 0 )} 2 . (B.14)
Pour t 2 < t :
||δX|| 2 =
( (
{eẋ 0 cos (2θ) t − y ) (
02 tan (θ) − x 0
− t − y ))
01 tan (θ) − x 0
ẋ 0 ẋ 0
{
(
+ y 02 tan (θ)} 2 + δy 0 + eẋ 0 sin (2θ) t − y )}
02 tan (θ) − x 2
0
.
ẋ 0
(B.15)
B.2 Calcul de la divergence avec les matrices de saut et de passage
B.2.1 Les paramètres n’interviennent pas
Nous nous plaçons dans le cas du paragraphe B.1.2, où les deux rayons impactent sur la partie
inclinée de la paroi. Ainsi, seules les conditions initiales (y 0 en fait) sont supposées incertaines.
Les paramètres sont supposés connus et fixés.
Alors :
J =
S =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1 t 1 − t 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 t 1 − t 0
0 0 0 1
⎤
⎥
⎦ ,
2 − ecos (2θ) 0 − tan(θ)(1 − ecos (2θ)) 0
0 ecos (2θ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 esin(2θ)
⎤
⎥
⎦ .
(B.1)
345

Annexe B. Comparaison des divergences exactes et approchées pour le problème du billard
Nous utilisons la norme suivante :
|||M||| = sup
i
∑
|m ij |.
j
Soit t un instant après l’impact contre la paroi (supposé avant toute autre discontinuité). Alors :
{
}
||δX t || ≤ (1 + t 1 ) (1 + t − t 1 ) max 2 − ecos (2θ) + tan (θ)(1 − ecos (2θ)),1 ||δX 0 ||, (B.2)
où ||δX 0 || =
∣∣
0
0
δy 0
0
= ||δy 0 ||.
∣∣
En ce qui concerne le calcul exact, nous utilisons la formule (B.8) :
||δX|| 2 = δy 2 0
[
{ } ] 2
{tan (θ)(ecos (2θ) − 1)} 2 + 2esin (θ) 2 − 1
. (B.3)
B.2.2 Les paramètres interviennent
Dans ce cas-là, la matrice de passage reste identique mais la matrice de transition change. Il
nous faut alors écrire :
⎡
⎤
−ecos (2θ) 0 tan (θ)(1 − ecos (2θ)) 0
δX 1 + = ⎢ 0 ecos (2θ) 0 0
⎥
⎣ 0 0 1 0 ⎦ δX− 1
0 0 0 esin(2θ)
⎡
0 − (1 − ecos (2θ))x − 3
(1 + tan(θ) 2) ⎤
(B.4)
+ ⎢ x − 2 cos (2θ)
−2ex− 2 sin(2θ)
⎥
⎣ 0 0
⎦ δµ 0 .
−x − 2 sin (2θ) 2ex− 2 cos (2θ)
[ ] [ ]
δe0 0
Ici, bien sûr, δµ 0 = = .
δθ 0 δθ 0
De même qu’auparavant, ceci nous donne une majoration de la divergence de trajectoire, pour
un instant t > t 2 :
[ { −ecos (2θ) + tan (θ)(1 − ecos (2θ))
||δX t || ≤ (1 + t − t 1 ) × max
1
{ cos (2θ) + 2esin(2θ)
+ẋ 0 θ max
2ecos (2θ) + sin(2θ)
}]
.
}
|δy 0 | (1 + t 1 )
(B.5)
346

B.2. Calcul de la divergence avec les matrices de saut et de passage
En ce qui concerne la divergence exacte, nous utilisons la formule (B.15) :
||δX|| 2 =
( (
{eẋ 0 cos (2θ) t − y ) (
02 tan (θ) − x 0
− t − y ))
01 tan (θ) − x 0
ẋ 0 ẋ 0
{
(
+y 02 tan(θ)} 2 + δy 0 + eẋ 0 sin (2θ) t − y )}
02 tan (θ) − x 2
0
.
ẋ 0
(B.6)
347

Annexe B. Comparaison des divergences exactes et approchées pour le problème du billard
348

Annexe C
Calcul des distances entre deux
impacts
Pour calculer le nombre d’impacts, il nous faut déterminer N qui est le premier entier tel
que :
N∑
(x i − x i−1 ) ≥ L . (C.1)
i=1
Pour cela, il nous faut déterminer les valeurs de x i , ẋ i , y i et ẏ i , et cela pour tout i ∈ {1, . . .,N}.
Avec la modélisation choisie, les équations du mouvement sont :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x =
y =
g sin(θ) (t − t 0 ) 2 + ẋ 0 (t − t 0 ) + x 0 ,
2
g cos (θ)
(t − t 0 ) 2 + ẏ 0 (t − t 0 ) + y 0 ,
2
où x 0 et y 0 sont les conditions initiales.
(C.2)
Donc entre deux impacts, par exemple entre l’impact i−1 et l’impact i, ces équations s’écrivent :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x =
y =
g sin(θ) (t − t i−1 ) 2 + ẋ + i−1
2
(t − t i−1) + x + i−1 ,
g cos (θ)
(C.3)
(t − t i−1 ) 2 + ẏ
i−1 + 2
(t − t i−1) + y
i−1 + .
Il y a impact lorsque y = 0, ainsi l’intervalle de temps entre deux impacts est égal à :
t i − t i−1 = −ẏ+ i−1 + √ (ẏ+
i−1
) 2 − 2gy
+
i−1
cos (θ)
g cos (θ)
(C.4)
349

Annexe C. Calcul des distances entre deux impacts
Les vitesses lors des impacts sont donc :
⎧
ẋ
⎪⎨
− 1 = tan (θ)
⎪⎩
[
−ẏ 0 + √ ]
ẏ0 2 − 2gy 0 cos (θ) + ẋ 0 ,
ẏ − 1 = √ y 2 0 − 2gy 0 cos (θ) ,
∀i ≥ 2 , ẏ − i
= −ẏ + i−1 ,
∀i ≥ 2 , ẋ − i
= −2 tan (θ)ẏ + i−1 + ẋ+ i−1 . (C.5)
Par récurrence on obtient :
⎧
∀n ≥ 1, ẏn − = (−β) n−1 √ ẏ0 2 − 2gy 0 cos (θ) ,
[
∀n ≥ 2, ẋ − n = α
(tan n−1 (θ) −ẏ 0 + √ ] )
ẏ0 2 − 2gy 0 cos (θ) + ẋ 0
⎪⎨
∀n ≥ 2,
ẋ − n
ẏn
−
=
− (−β) n−1 2 tan (θ) √ ẏ 2 0 − 2gy 0 cos (θ) 1 − (−α/β)n−1
1 + α/β
(
(
− α ) n−1 tan (θ) −ẏ 0 + √ )
ẏ0 2 − 2gy 0 cos (θ)
√ẏ2
β
0 − 2gy 0 cos (θ)
−2 tan (θ) 1 − (−α/β)n−1
1 + α/β
,
+ ẋ 0
,
(C.6)
⎪⎩
∀i ≥ 1, t i − t i−1 =
√
2
g cos (θ) (−β)i−1 ẏ0 2 − 2gy 0 cos (θ) .
On note :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(
X = tan (θ) −ẏ 0 + √ )
ẏ0 2 − 2gy 0 cos (θ) + ẋ 0 ,
Y = −ẏ 0 + √ ẏ 2 0 − 2gy 0 cos (θ) ,
Z = √ ẏ 2 0 − 2gy 0 cos (θ) .
(C.7)
On calcule ainsi la distance entre deux impacts :
⎧
sin(θ)
x 1 − x 0 =
2g cos (θ) 2Y 2 +
⎪⎨ ∀i ≥ 2 , x i − x i−1 =
⎪⎩
ẋ 0
g cos (θ) Y ,
2 sin (θ)
g cos (θ) 2 (−β)2i−2 Z 2 +
×
[
2
g cos (θ) α (−β)i−1 Z
α i−2 X − (−β) i−2 2 tan (θ)Z 1 − (−α/β)i−2
1 + α/β
]
.
(C.8)
350

Annexe D
Calcul du minimum de la vitesse
d’impact de l’oscillateur linéaire
La solution de l’équation différentielle ẍ + aẋ + w1 2 x = f cos (wt) régissant le comportement
de l’oscillateur s’écrit comme la somme de la solution de l’équation homogène et d’une solution
particulière :
x(t) = Ae −ǫw 1t cos ( ˜w 1 t) + Be −ǫw 1t sin( ˜w 1 t) +
Avec :
A = x 0 −
f
w 2 1 − w2 ,
B = ẋ0
˜w 1
+ ηx 0 −
ηf (
w1 2 − η = ǫw 1
=
w2 ˜w 1
w 2 1
f
cos (wt)
− w2
)
ǫ
√
1 − ǫ 2
.
(D.1)
On cherche min {ẋ(t i )} 2 , le minimum de la vitesse pouvant être atteint lors d’un impact.
x(t i )=x max
Pour cela, nous utilisons l’égalité x(t i ) = x max pour exprimer ẋ 0 en fonction de x 0 . En remplaçant
cette expression de ẋ 0 dans l’équation de x(t) (D.1), nous obtenons une expression littérale
de x(t), fonction de la seule condition initiale x 0 . Nous cherchons alors le minimum de cette
expression en fonction de x 0 .
Or :
x(t i ) = x max
[
− x 0 e −ǫw 1t i
(cos ( ˜w 1 t i ) + η sin( ˜w 1 t i ))
⇔ ẋ 0 = ˜w 1e ǫw 1t i
sin( ˜w 1 t i )
f
+
1t 1
w1 2 − cos ( ˜w 1 t i ) +
w2e−ǫw
ηf
w 2 1 − w2e−ǫw 1t i
sin ( ˜w 1 t i ) −
]
f
w1 2 − cos (wt i) + x max w2
On en déduit l’expression de la vitesse d’impact en fonction de la seule condition initiale x 0 . On
trouve :
351
.
(D.2)

Annexe D. Calcul du minimum de la vitesse d’impact de l’oscillateur linéaire
ẋ(t) = − ˜w 1e −ǫw 1t i
sin( ˜w 1 t i ) x cos( ˜w 1 t i )
0 + ǫw 1 x max + ˜w 1 x max
sin( ˜w 1 t i )
1
+
w1 2 − [ǫw 1f cos (wt i ) − fw sin(wt i )]
w2 [
]
1
+ (
w
2
1 − w 2) f ˜w 1 e −ǫw 1t i
− ˜w 1 f cos (wt i )cos ( ˜w 1 t i )
sin ( ˜w 1 t i )
.
(D.3)
Le minimum de cette fonction est atteint pour une condition initiale égale à x 0i :
x 0i = eǫw 1t i
[
]
f
sin( ˜w 1 t i ) ǫw 1 x max +
˜w 1 w1 2 − (ǫw w2 1 cos (wt i ) − w sin(wt i ))
+ eǫw 1t i
[
˜w 1 x max cos ( ˜w 1 t i ) + f ˜w 1 (
e
−ǫw 1 t i
˜w 1 w1 2 − − cos (wt i ) cos ( ˜w 1 t i ) ) ] .
w2
(D.4)
On trouve alors :
min {ẋ(t i )} = 0 .
x(t i )=x max
(D.5)
Ceci signifie que quelques que soient les conditions initiales prises, et quelques que soient les
valeurs des paramètres, la vitesse d’impact pourra s’annuler pour un certain instant d’impact t i .
352

Annexe E
Discrétisation de l’équation de
Fokker-Planck correspondant à un
oscillateur à un degré de liberté
soumis à de la friction
En discrétisant le problème correspondant et en utilisant le graphe de la fonction signe
régularisée, nous obtenons les matrices suivantes :
L 1 = −y 2
∂
∂y 1
, avec A a = ∆t
2∆y 1
∆y 2 :
⎡
Bi a =
⎢
⎣
1 iA a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
−iA a 1 iA a 0 . . . . . . . . . . . . 0
0
. .. . .. . .. 0 . . . . . 0
0 . . . −iA a 1 iA a . . . . . 0
0 . . . . . . . . . . .
. .. . .. . .. . . .
0 . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1 iA a
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1
⎤
⎥
⎦
. (E.1)
353

Annexe E. Discrétation pour un oscillateur à un degré de liberté
L 3 = W 0
2
∂ 2
∂y 2 2
, avec A c = − W 0 ∆t
4 (∆y 2 ) 2 :
⎡
1 − 2A c A c ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
A c 1 − 2A c A c 0 . . . . . . . . . . . . 0
.
B c 0 .. . .. . .. 0 . . . 0
=
0 . . . A c 1 − 2A c A c . . . 0
.
⎢ 0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
⎣ 0 . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c A c ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c
. (E.2)
L 2 = ∂ {F (y 1 , y 2 , t)}, avec A b = ∆t :
∂y 2 2∆y 2
⎡
⎤
a b b b 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
. .. . .. . .. 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Bi b 0 . . . 0 c b d b e b 0 . . . 0
=
. 0 . . . . . . . 0 .. . .. . .. . . . 0
⎢
⎣
.
0 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .. . .. . ..
⎥
⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 f b g b
avec :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a b = 1 ,
b b = −A b F ( y 1i , y 2(N−1)
)
,
c b = A b F ( y 1i , y 2(−j+N+2)
)
,
d b = 1 ,
e b = −A b F ( y 1i , y 2(−j+N)
)
,
f b = A b F ( y 1i , y 2 −(N−1)
)
,
g b = 1 .
, (E.3)
(E.4)
Nous pouvons alors donner l’expression des termes sous-diagonaux et sur-diagonaux :
∀j ∈ {1, ..,2N + 1} :
B b i,j(j, j) = 1 .
(E.5)
j < N + 1 :
B b i,j (j, j − 1) = Ab F ( y 1i , y 2(−j+N+2)
)
,
= A b [ a
m (−j + N + 2)∆y 2 + k m i∆y 1 − α m − f m sin(wt) ]
B b i,j (j, j + 1) = −Ab F ( y 1i , y 2(−j+N)
)
,
= −A b [ a
m (−j + N)∆y 2 + k m i∆y 1 − α m − f m sin(wt) ]
.
.
(E.6)
354

j = N + 1 :
B b i,j (j, j − 1) = Ab F ( y 1i , y 2(1)
)
,
= A b [ a
m ∆y 2 + k m i∆y 1 − α m − f m sin(wt) ]
B b i,j (j, j − 1) = −Ab F ( y 1i , y 2(−1)
)
,
= −A b [
− a m ∆y 2 + k m i∆y 1 − α m − f m sin(wt) ]
.
.
(E.7)
j > N + 1 :
B b i,j (j, j − 1) = Ab F ( y 1i , y 2(−j+N+2)
)
,
= A b [ a
m (−j + N + 2)∆y 2 + k m i∆y 1 − α m − f m sin(wt) ]
B b i,j (j, j − 1) = −Ab F ( y 1i , y 2(−j+N)
)
,
= −A b [ a
m (−j + N)∆y 2 + k m i∆y 1 − α m − f m sin(wt) ]
.
.
(E.8)
355

Annexe E. Discrétation pour un oscillateur à un degré de liberté
356

Annexe F
Discrétisation et matrices
correspondantes pour l’étude de
l’oscillateur avec loi de
comportement avec écrouissage total
Dans notre discrétisation, F(x) sera modélisée de la manière suivante : Avec x i = − L 2 +
i∆x, i ∈ {1, ..,2N + 1} :
⎧
0 si i < L/2 − δ
∆x
,
k 2 (i∆x + δ)
si
L/2 − δ
∆x
< i < L/2 − γ
∆x
,
⎪⎨
F(x i ) =
−α
k 1 i∆x
si
si
L/2 − γ
∆x
L/2 − β
∆x
< i < L/2 − β
∆x
< i < L/2 + β
∆x
,
,
(F.1)
α
si
L/2 + β
∆x
< i < L/2 + γ
∆x
,
k 2 x
si
L/2 + γ
∆x
< i < L/2 + δ
∆x
,
⎪⎩
0 si i > L/2 + δ
∆x
357
.

Annexe F. Discrétisation de la loi de comportement
Posons :
⎧
i −δ = L/2 − δ
∆x
,
i −γ = L/2 − γ
∆x
,
⎪⎨
i −β = L/2 − β
∆x
i β = L/2 + β
∆x
,
,
(F.2)
i γ = L/2 + γ
∆x
,
⎪⎩
i δ = L/2 + δ
∆x
Les matrices qui interviennent dans la discrétisation s’écrivent alors pour les différents opérateurs
de dérivation :
∂
L 1 = −y 2 , avec A a = ∆t ∆y 2 :
∂y 1 2∆y 1
⎡
1 iA a ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
−iA a 1 iA a 0 . . . . . . . . . . . . 0
.
Bi a 0 .. . .. . .. 0 . . . . . 0
=
0 . . . −iA a 1 iA a . . . . . 0
.
⎢ 0 . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . .
⎥
⎣ 0 . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1 iA a ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 −iA a 1
.
. (F.3)
L 3 = W 0
2
∂ 2
∂y 2 2
, avec A c = − W 0
4
∆t
(∆y 2 ) 2 :
⎡
1 − 2A c A c ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
A c 1 − 2A c A c 0 . . . . . . . . . . . . 0
.
B c 0 .. . .. . .. 0 . . . 0
=
0 . . . A c 1 − 2A c A c . . . 0
.
⎢ 0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
⎣ 0 . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c A c ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c
. (F.4)
358

L 2 = ∂ {
}
G (y 1 , y 2 , t) + g(t) , avec A b = ∆t :
∂y 2 2∆y 2
⎡
⎤
a b b b 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
. .. . .. . .. 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Bi b 0 . . . 0 c b d b e b 0 . . . 0
=
. 0 . . . . . . . 0 .. . .. . .. . . . 0
⎢
⎣
.
0 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 .. . .. . ..
⎥
⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 f b g b
avec :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a b = 1 ,
b b = −A b F ( y 1i , y 2(N−1) , t ) ,
c b = A b F ( y 1i , y 2(−j+N+2) , t ) ,
d b = 1 ,
e b = −A b F ( y 1i , y 2(−j+N) , t ) ,
f b = A b F ( y 1i , y 2 −(N−1) , t ) ,
g b = 1 .
, (F.5)
(F.6)
Nous pouvons alors donner l’expression des termes sous-diagonaux et sur-diagonaux :
∀j ∈ {1, ..,2N + 1}, ∀i ∈ {1, ..,2N + 1} :
B b i,j(j, j) = 1 .
(F.7)
i < i −δ :
B b i,j (j, j − 1) = Ab G ( y 1i , y 2(−j+N+2) , t ) ,
= A b [ a
m (−j + N + 2)∆y 2 − g m sin(wt) ]
B b i,j (j, j + 1) = −Ab G ( y 1i , y 2(−j+N) , t ) ,
= −A b [ a
m (−j + N)∆y 2 − g m sin(wt) ]
.
.
(F.8)
i −δ

Annexe F. Discrétisation de la loi de comportement
i −β

Annexe G
Développement de Van Kampen
appliqué au système dynamique du
pompage énergétique
G.1 Etude des moyennes par rapport au temps des positions et
des vitesses
Nous réécrivons le système dynamique du pompage en remplaçant le vecteur
vecteur
⎛
⎜
⎝
⎞
x 1
x 2
x 3
x 4
⎟
⎠ où : x 1 = x, x 2 = ẋ, x 3 = y, x 4 = ẏ.
⎛
⎜
⎝
x
ẋ
y
ẏ
⎞
⎟
⎠ par le
Alors les équations du mouvement s’écrivent :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
ẋ 1 = x 2 ,
ẋ 2 = −a 1 x 2 − c 1 x 3 1 − d 1(x 1 − x 3 ) + f 1 (t) ,
ẋ 3 = x 4 ,
ẋ 4 = −a 2 x 4 − k 2 x 3 − d 2 (x 3 − x 1 ) + f 2 (t) .
(G.1)
La méthode de Van Kampen consiste à utiliser l’équation de Fokker-Planck, sans la résoudre,
pour obtenir des informations sur la réponse du système. Pour cela, les équations différentielles
stochastiques sont d’abord multipliées par une variable ad hoc, puis moyennées par rapport au
temps.
Ainsi, en moyennant ces différentes équations et en négligeant les termes d’ordre supérieur à 1,
361

Annexe G. Théorie de Van Kampen
nous obtenons :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Alors en notant X =
< ẋ 1 > = < x 2 > ,
< ẋ 2 > = −a 1 < x 2 > −d 1 < x 1 > +d 1 < x 3 > ,
< ẋ 3 > = < x 4 > ,
< ẋ 4 > = −a 2 < x 4 > −(k 2 + d 2 ) < x 3 > +d 2 < x 1 > .
⎛
⎜
⎝
⎞
x 1
x 2
⎟
x 3
⎠
x 4
A =
, ce système peut s’écrire sous la forme condensée :
⎡
⎢
⎣
Ẋ = A.X , où :
⎤
0 1 0 0
−d 1 −a 1 d 1 0
0 0 1 0
d 2 0 −(k 2 + d 2 ) −a 2
⎥
⎦ .
(G.2)
(G.3)
En intégrant
⎛
ce système
⎞
à partir de conditions initiales fixées, nous obtenons la moyenne
< x 1 > (t)
< X(t) >= ⎜ < x 2 > (t)
⎟
⎝ < x 3 > (t) ⎠ .
< x 4 > (t)
Nous réalisons des simulations d’un système de pompage énergétique, en comparant les
moyennes données par l’analyse de Van Kampen avec celles calculées avec Monte Carlo. Le
nombre de simulations de Monte Carlo a dû être choisi très élevé, à cause de problèmes de
convergence (nous sommes en présence d’un système à deux degrés de liberté, comportant deux
bruits blancs, donc la simulation converge lentement, voir [58]).
Les paramètres du système couplé étudié ont été fixés conformément à [43] : a 1 = 0.2, d 1 = 0.8,
a 2 = 0.01, k 2 = 1.0 et d 2 = 0.04. De même, la condition initiale est x 1 (0) = x 2 (0) = x 3 (0) = 0
et x 4 (0) = 0.1.
Nous comparons tout d’abord les moyennes des positions obtenues avec Van Kampen avec
celles calculées par Monte Carlo avec deux bruits blancs nuls (W 01 = W 02 = 0) (Figure G.1).
Nous observons donc qu’en temps court, la phase de la moyenne de la position du deuxième
oscillateur donnée par Van Kampen est correcte, mais l’amplitude est trop faible. En ce qui
concerne la moyenne de la position du premier oscillateur, son amplitude est plus correcte, tout
en étant encore inférieure à celle donnée par Monte Carlo. Par contre, cette moyenne calculée
avec Van Kampen est également déphasée par rapport à la moyenne réelle, d’environ un quart
de période.
Pour des temps longs, nous observons que l’amplitude des oscillations calculée avec l’analyse de
Van Kampen diminue trop vite. En effet, avec cette analyse, le pompage énergétique est très
(trop?) efficace.
Nous examinons également l’effet de différentes valeurs de bruit sur le système (Figure G.2).
362

G.1. Etude des moyennes par rapport au temps des positions et des vitesses
0.6
Moyenne des déplacements avec l’analyse de Van Kampen
0.1
0.4
Moyenne des déplacements des deux oscillateurs
par l’analyse de Van Kampen et par Monte Carlo
0.4
0.05
0.2
0.2
0
0
0
−0.05
−0.2
−0.2
0 5 10
t
0.4
0.2
−0.1
0 5 10
t
Moyenne des déplacements avec Monte Carlo (bruits nuls)
0.5
−0.4
0 2 4 6 8 10
t
Van Kampen
Monte Carlo (W 01
=0,W 02
=0)
0.5
0
0
0
−0.2
−0.4
0 1000 2000
t ( × 0.02 π )
−0.5
0 1000 2000
t ( × 0.02 π )
−0.5
0 2 4 6 8 10
t
0.4
Moyenne des déplacemnts des deux oscillateurs
par Van Kampen et par Monte Carlo
0.2
0
−0.2
−0.4
0 10 20 30 40 50 60 70
t
Van Kampen
Monte Carlo (W
0.5
01
=0,W 02
=0)
0
−0.5
0 10 20 30 40 50 60 70
t
Fig. G.1 – Comparaison des moyennes des positions des deux oscillateurs calculées par Van
Kampen et par Monte Carlo pour deux bruits blancs nuls. Ici, a 1 = 0, d 1 = 0.8, a 2 = 0.01,
k 2 = 1, d 2 = 0.04, x 0 = ẋ 0 = y 0 = 0 et ẏ 0 = 0.1.
363

Annexe G. Théorie de Van Kampen
Moyenne des déplacements des deux oscillateurs
par Van Kampen et par Monte Carlo pour différents bruits
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
0 2 4 6 8 10
t
0.5
Van Kampen
Monte Carlo (W 01
=0,W 02
=0)
Monte Carlo (W 01
=0.01,W 02
=0.0001)
Monte Carlo (W 01
=0.01,W 02
=1)
Monte Carlo (W 01
=10,W 02
=0.0001)
Monte Carlo (W 01
=10,W 02
=1)
0
−0.5
0 2 4 6 8 10
t
Fig. G.2 – Moyennes des positions des deux oscillateurs, calculées avec l’analyse de Van Kampen
et par Monte Carlo pour différentes valeurs des coefficients de diffusion W 01 et W 02 .
364

G.1. Etude des moyennes par rapport au temps des positions et des vitesses
Nous observons comme auparavant que la moyenne < x 1 > calculée avec Van Kampen n’est
pasoptimale. < x 3 > calculée avec cette même méthode possède une phase correcte, mais son
amplitude est trop faible. De plus, < x 3 > calculée avec Monte Carlo est pratiquement identique
pour tous les bruits. Ceci signifie donc que l’oscillateur linéaire est robuste au bruit. Enfin, la
moyenne calculée avec Van Kampen et celle calculée avec Monte Carlo pour (W 01 , W 02 ) = (0, 0)
ne sont pas identiques. En effet, le résultat donné par Van Kampen ressemble le plus à celui
donné par Monte Carlo pour (W 01 , W 02 ) = (0.01, 0.0001).
Nous observons que l’analyse de Van Kampen a tout de même un avantage. Elle ne présente
pas de problème de convergence (voir figure G.3) contrairement à Monte Carlo par exemple qui
nécessite un grand nombre de tirages :
0.6
Moyenne des déplacements par l’analyse de Van Kampen
0.1
0.6
Moyenne des déplacements par l’analyse de Van Kampen
0.1
0.4
0.05
0.4
0.05
0.2
0
0.2
0
0
−0.05
0
−0.05
−0.2
0 5 10
t
0.01
−0.1
0 5 10
t
Moyenne des déplacements avec Monte Carlo (W =10,W =0.0001)
01 02
0.02
0.5
−0.2
0 5 10
t
0.02
0.01
−0.1
0 5 10
t
Moyenne des déplacements par Monte Carlo (W =10, W =1)
01 02
0.5
0
0
0
0
−0.01
−0.01
−0.02
0 1000 2000
t (× 0.02 π)
−0.5
0 1000 2000
t (× 0.02 π)
−0.02
0 1000 2000
t (× 0.02 π)
−0.5
0 1000 2000
t (× 0.02 π)
(a) (W 01, W 02) = (10, 0.0001)
(b) (W 01, W 02) = (10, 1)
Fig. G.3 – Moyennes < x 1 > et < x 3 > calculée avec l’analyse de Van Kampen et par Monte
Carlo. Pour des bruits importants, Monte Carlo nécessite beaucoup de tirages avant de converger.
Ceci peut être observé ici avec la moyenne des déplacements < x 1 > calculée avec Monte Carlo,
pour W 01 = 10.0.
Ce problème de convergence de Monte Carlo pour < x 1 > est lié à l’intensité du bruit, donc
ici la valeur des coefficients de diffusion (surtout W 01 en réalité, Figure G.4 ).
Sur ces graphes, nous voyons que l’oscillateur non linéaire, plus sensible au bruit, ne présente
plus de problème de convergence avec Monte Carlo lorsqu’il est soumis à un bruit plus faible.
Mais il est à noter que le nombre de tirages pour Monte Carlo est élevé (1 000 000).
En outre, nous observons que le premier pic d’oscillation est sous-estimé par l’analyse de Van
Kampen.
365

Annexe G. Théorie de Van Kampen
0.6
Moyenne des déplacements par l’analyse de Van Kampen
0.1
0.6
Moyenne des déplacements par l’analyse de Van Kampen
0.1
0.4
0.05
0.4
0.05
0.2
0
0.2
0
0
−0.05
0
−0.05
−0.2
0 5 10
t
0.2
0.1
−0.1
0 5 10
t
Moyenne des déplacements par Monte Carlo (W =0.01,W =0.0001)
01 02
0.5
−0.2
0 5 10
t
0.3
0.2
−0.1
0 5 10
t
Moyenne des déplacements avec Monte Carlo (W =0.01,W =1)
01 02
0.5
0
0
0.1
0
−0.1
0
−0.2
0 1000 2000
t (× 0.02 π)
−0.5
0 1000 2000
t (× 0.02 π)
−0.1
0 1000 2000
t (× 0.02 π)
−0.5
0 1000 2000
t (× 0.02 π)
(a) (W 01, W 02) = (0.01, 0.0001)
(b) (W 01, W 02) = (0.01, 1)
Fig. G.4 – Moyennes < x 1 > et < x 3 > calculées avec l’analyse de Van Kampen et par Monte
Carlo. Ici, le bruit f 1 (t) appliqué à l’oscillateur 1 est faible, les problèmes de convergence de
Monte Carlo sont peu visibles.
G.2 Etude des moments d’ordre deux des positions et des vitesses
Ici, de même qu’auparavant, nous moyennons les taux de variation des moments d’ordre
deux. Par exemple :
d
dt < x2 1 > = 2 d dt < x 1 >< x 1 > ,
= 2 < x 1 x 2 > .
d
dt < x 1x 2 > = < x 1 > d dt < x 2 > + < x 2 > d dt < x 1 > ,
= < x 2 2 > −a 1 < x 1 x 2 > −d 1 < x 2 1 > −d 1 < x 1 x 3 > .
(G.1)
366

⎡
Ainsi en posant : X =
⎢
⎣
G.2. Etude des moments d’ordre deux des positions et des vitesses
< x 2 1 > ⎤
< x 1 x 2 >
< x 1 x 3 >
< x 1 x 4 >
< x 2 2 >
< x 2 x 3 >
< x 2 x 4 >
< x 2 3 >
⎥
< x 3 x 4 > ⎦
< x 2 4 >
, nous pouvons écrire :
Ẋ = A.X , où A s’écrit :
⎡
⎢
⎣
⎤
0 2 0 0 0 0 0 0 0 0
−d 1 −a 2 d 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
d 2 0 −(k 2 + d 2 ) −a 2 0 0 1 0 0 0
0 −2d 1 0 0 −2a 1 2d 1 0 0 0 0
0 0 −d 1 0 0 −a 1 1 d 1 0 0
0 d 2 0 −d 1 0 −(k 2 + d 2 ) −(a 1 + a 2 ) 0 d 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 2 0
⎥
0 0 d 2 0 0 0 0 −(k 2 + d 2 ) −a 2 1 ⎦
0 0 0 2d 2 0 0 0 0 −2(k 2 + d 2 ) −2a 2
(G
.
Nous simulons le même système qu’auparavant pour les moyennes et nous comparons les
moments d’ordre deux ainsi obtenus avec ceux calculés par Monte Carlo.
Tout d’abord, en observant seulement les moments d’ordre deux obtenus par Van Kampen,
nous voyons que l’amplitude des oscillations diminue très rapidement (Figure G.5). De plus,
cette diminution n’est pas linéaire, l’amortissement n’est donc pas le seul phénomène en jeu. Le
pompage énergétique s’amorce.
Les mêmes inconvénients que pour les moyennes sont visibles ici pour l’analyse de Van
Kampen. Nous observons (Figure G.6) que pour un bruit quelconque, les moments d’ordre deux
< x 2 1 > et < x2 3 > sont trop faibles (facteur de 10 pour < x2 1 > et l’amplitude calculée par Van
Kampen de < x 2 3 > est tellement faible qu’on n’observe plus les oscillations).
De plus, un déphasage est observé pour < x 2 1 > (en général, pour tous les moments faisant
intervenir la position ou la vitesse de l’oscillateur 1).
En observant l’effet de bruits d’intensités différentes sur l’analyse Monte Carlo, nous voyons
que l’étude de Van Kampen sous-estime en général l’amplitude des oscillations (Figure G.7).
De plus, W 01 a le plus d’influence sur < x 2 1 >. En effet, W 02 ne joue pratiquement pas.
Par exemple, les moments < x 2 1 > pour (W 01, W 02 ) = (10, 0.0001) et (W 01 , W 02 ) = (10, 1) sont
quasiment identiques.
De même, W 02 est le bruit qui a le plus d’influence sur < x 2 3
>. En effet, les résultats pour
367

Annexe G. Théorie de Van Kampen
0.06
Moment d’ordre 2 du déplacement des oscillateurs 1 et 2
par la méthode de Van Kampen
0.15
Moment d’ordre 2 du déplacement des 2 oscillateurs
par la méthode de Van Kampen
0.04
0.02
0
0 2 4 6 8 10
t
0.1
0.05
0
−0.05
0 10 20 30 40 50 60 70
t
10
5
5
0
0
15 x 10−3 t
10
−5
0 2 4 6 8 10
15 x 10−3 t
−5
0 10 20 30 40 50 60 70
(a) t variant de 0 à 10s
(b) t variant de 0 à 70s
Fig. G.5 – Moments d’ordre deux < x 2 1 > et < x2 3 > obtenus avec l’analyse de Van Kampen.
Ici, comme auparavant, a 1 = 0.2, d 1 = 0.8, a 2 = 0.01, k 2 = 1, d 2 = 0.04, x 0 = ẋ 0 = y 0 = 0 et
ẏ 0 = 0.1.
0.2
Moment d’ordre 2 du déplacement des 2 oscillateurs
par la méthode de Van Kampen
0.15
0.1
0.05
0
0 2 4 6 8 10
t
0.2
0.1
0
−0.1
0 2 4 6 8 10
t
Fig. G.6 – Moments d’ordre deux < x 2 1 > et < x2 3 > calculés par l’analyse de Van Kampen et
par Monte Carlo pour des bruits blancs de coefficients de diffusion W 01 = 0 et W 02 = 0. Ainsi,
l’amplitude des moments calculée par Van Kampen est faible par rapport à celle calculée avec
Monte Carlo. De plus, un déphasage apparait entre ces deux résultats.
368

G.2. Etude des moments d’ordre deux des positions et des vitesses
3
Moment d’ordre 2 du déplacement des 2 oscillateurs
par Van Kampen et Monte Carlo
2
1
0
0 2 4 6 8 10
t
3
2
Van Kampen
MC (W 01
=0,W 02
=0)
MC (W 01
=0.01,W 02
=0.0001)
MC (W 01
=0.01,W 02
=1)
MC (W 01
=10,W 02
=0.0001)
MC (W 01
=10,W 02
=1)
1
0
−1
0 2 4 6 8 10
t
Fig. G.7 – Moments d’ordre deux < x 2 1 > et < x2 3 > calculés par l’analyse de Van Kampen et
par Monte Carlo pour des bruits blancs de coefficients de diffusion divers.
(W 01 , W 02 ) = (0.01, 1) et (W 01 , W 02 ) = (10, 1) (ou (W 01 , W 02 ) = (0.01, 0.0001) et (W 01 , W 02 ) =
(10, 0.0001)) sont similaires.
Enfin, nous remarquons (Figure G.8) que les amplitudes de < x 2 1 > et < x2 3 > calculés avec
Van Kampen sont trop faibles et qu’elles diminuent trop rapidement. Le pompage énergétique
s’amorce plus lentement que sur les réponses calculées avec Monte Carlo. Mais contrairement
aux résultats obtenus avec Monte Carlo où pour des temps longs seul l’amortissement apparait,
nous observons ici de façon plus flagrante le pompage énergétique.
369

Annexe G. Théorie de Van Kampen
0.15
Moment d’ordre 2 des déplacements des 2 oscillateurs
par Van Kampen et Monte Carlo
0.1
0.05
0
−0.05
0 10 20 30 40 50 60 70
t
Van Kampen
MC (W
0.3
01
=0,W 02
=0)
0.2
0.1
0
−0.1
0 10 20 30 40 50 60 70
t
Fig. G.8 – Moments d’ordre deux < x 2 1 > et < x2 3 > calculés par l’analyse de Van Kampen
et par Monte Carlo pour (W 01 , W 02 ) = (0, 0) pour des instants compris entre 0 et 70s. Avec
l’analyse de Van Kampen, le pompage énergétique s’amorce plus lentement et il est plus efficace.
Les deux oscillateurs sont rapidement à l’équilibre.
370

Annexe H
Schémas de discrétisation pour
l’équation de Fokker-Planck du
système du pompage énergétique
Nous traitons les pas de discrétisations 1, 2 et 3 d’un côté et 4, 5 et 6 de l’autre séparément.
(y 1 , y 2 ) représente le plan de phase de l’oscillateur de type Duffing et (y 3 , y 4 ) celui de l’oscillateur
linéaire. Nous discrétisons alors comme auparavant l’espace en utilisant des pas en espace
constants égaux à ∆y 1 = L 1
2N , ∆y 2 = L 2
2N , ∆y 3 = L 3
2N et ∆y 4 = L 4
. L’orientation dans l’
2N
”espace“ est donné sur le schéma H.1.
Les résultats sont stockés dans des tableaux de R 4 de la forme :
C(i, j, k, l),
où i, j, k et l sont liés respectivement à y 1 , y 2 , y 3 et y 4 selon les relations suivantes :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∀i ∈ {1, ...,2N + 1} , y 1i = (i − (N + 1))∆y 1 ,
∀j ∈ {1, ...,2N + 1} , y 2j = (−j + (N + 1))∆y 2 ,
∀k ∈ {1, ...,2N + 1} , y 3k = (k − (N + 1))∆y 3 ,
∀l ∈ {1, ...,2N + 1} , y 4l = (−l + (N + 1)) ∆y 4 .
(H.1)
Tous les schémas de discrétisation utilisés ici sont des schémas implicites simples.
H.1 Pour le premier pas de temps
Pour le premier schéma, le schéma de discrétisation et les matrices associées s’écrivent :
p n+1/6
i,j,k,l
= p n i,j,k,l + y (
)
2j∆t
p n+1/6
2∆y
i−1,j,k,l − pn+1/6 i+1,j,k,l
1
371
. (H.1)

Annexe H. Discrétisation pour systèmes à deux degrés de liberté
y 2 (j)
1 2N + 1
y 2 = L 2
y 4 (l)
1 2N + 1
y 4 = L 4
y 3 (k) y 1 (i)
y 1
y 3 (k)
y 1 = −L 1 y 1 = L 1 y 3 = −L 3 y 3 = L 3
y 2 =-L 2
y 4 = −L 4
(a) Oscillateur de type Duffing : (y 1, y 2)
(b) Oscillateur linéaire : (y 3, y 4)
Fig. H.1 – Discrétisation des plans de phase et numérotation des points de maillage.
372

H.2. Pour le deuxième pas de temps
En décomposant le problème linéaire ainsi obtenu en (2N + 1) systèmes de (2N + 1) équations
à (2N + 1) inconnues, nous pouvons écrire :
∀(j, k, l) ∈ [−N, N] 3 , B a j,k,l P n+1/6
j,k,l
= P n j,k,l
,
⎡
Bj,k,l a = ⎢
⎣
⎡
Pj,k,l m = ⎢
⎣
où, avec A a = ∆t
2∆y 1
∆y 2 :
p m 1,−j+(N+1),k−(N+1),−l+(N+1)
p m 2,−j+(N+1),k−(N+1),−l+(N+1)
.
p m 2N+1,−j+(N+1),k−(N+1),−l+(N+1)
⎤
⎥
⎦ ,
1 jA a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
−jA a 1 jA a 0 . . . . . . . . . . . . . 0
0
. .. . .. . .. 0 . . . . . 0
0 . . . −jA a 1 jA a . . . . . 0
0 . . . . . . . . . . .
. .. . .. . .. . . .
0 . . . . . . . . . . . 0 −jA a 1 jA a
0 . . . . . . . . . . . . . . . . 0 −jA a 1
⎤
.
⎥
⎦
(H.2)
H.2 Pour le deuxième pas de temps
Pour L 2 = ∂
∂y 2
[F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t)] (où F 1 (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 , t) = a 1 y 2 + k 1 y 1 + c 1 y 3 1 + γ(y 1 − y 3 )
dans notre cas particulier), la discrétisation est plus complexe :
p n+1/3
i,j,k,l
= p n+1/6
i,j,k,l
+ ∆t [ ( ) n+1/3
F 1 y1i , y
2∆y 2(j+1) , y 3k , y 4l p
i,j+1,k,l − F ( ) ]
n+1/3
1 y1i , y 2(j−1) , y 3k , y 4l p
i,j−1,k,l
2
(H.1) .
373

Annexe H. Discrétisation pour systèmes à deux degrés de liberté
De même ici, le problème à résoudre peut s’écrire sous la forme d’un système d’équations matricielles
:
∀(i, k, l) ∈ [−N, N] 3 , B b i,k,l P n+1/3
i,k,l
= P n+1/6
i,k,l
,
⎡
Bi,k,l b = ⎢
⎣
⎡
i,k,l = ⎢
⎣
P m
où, avec A b = ∆t
2∆y 2
:
p m i−(N+1),1,k−(N+1),−l+(N+1)
p m i−(N+1),2,k−(N+1),−l+(N+1)
.
p m i−(N+1),2N+1,k−(N+1),−l+(N+1)
1 a b ⎤ ⎧
0 . . . . . . . . . . . . 0
b b 1 c b 0 . . . . . . . 0
.
0 .. . .. . .. 0 . . . 0
⎪⎨
0 . . . d b 1 e b . . .
, où :
.
0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
0 . . . . . . . 0 f b 1 g b ⎦
⎪⎩
0 . . . . . . . . . . . . 0 h b 1
⎤
⎥
⎦ ,
a b = −F 1 (y 1i , N∆y 2 , y 3k , y 4l ) ,
b b = F 1 (y 1i , (N − 1)∆y 2 , y 3k , y 4l ) ,
c b = −F 1 (y 1i , (N − 1)∆y 2 , y 3k , y 4l ) ,
d b ( )
= F 1 y1i , y 2(j+1) , y 3k , y 4l ,
e b ( )
= −F 1 y1i , y 2(j−1) , y 3k , y 4l ,
f b = F 1 (y 1i , 2∆y 2 , y 3k , y 4l ) ,
g b = −F 1 (y 1i , ∆y 2 , y 3k , y 4l ) ,
h b = F 1 (y 1i , ∆y 2 , y 3k , y 4l ) .
(H.2)
H.3 Pour le troisième pas de temps
Le troisième schéma se discrétise de la manière suivante :
p n+1/2
i,j,k,l
= p n+1/3
i,j,k,l
+ W [
]
01∆t
2(∆y 2 ) 2 p n+1/2
i,j+1,k,l − 2pn+1/2 i,j,k,l
+ p n+1/2
i,j−1,k,l
. (H.1)
374

H.4. Pour le quatrième pas de temps
Alors :
⎡
Bi,k,l c = ⎢
⎣
∀(i, k, l) ∈ [−N, N] 3 , B c i,k,l P n+1/2
i,k,l
⎡
i,k,l = ⎢
⎣
P m
où, avec A c = − W 01∆t
4(∆y 2 ) 2 :
p m i−(N+1),1,k−(N+1),−l+(N+1)
p m i−(N+1),2,k−(N+1),−l+(N+1)
.
= P n+1/3
i,k,l
,
p m i−(N+1),2N+1,k−(N+1),−l+(N+1)
⎤
⎥
⎦ ,
1 − 2A c A c ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
A c 1 − 2A c A c 0 . . . . . . . . . . . . 0
.
0 .. . .. . .. 0 . . . . . . . 0
0 . . . A c 1 − 2A c A c . . . . . . . 0
.
.
0 . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . .
⎥
0 . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c A c ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 A c 1 − 2A c
(H.2)
De même, les discrétisations des trois opérateurs L 4 , L 5 et L 6 s’écrivent :
H.4 Pour le quatrième pas de temps
p n+2/3
i,j,k,l
= p n+1/2
i,j,k,l
+ y (
)
4l∆t
p n+2/3
2∆y
i,j,k−1,l − pn+2/3 i,j,k+1,l
3
. (H.1)
375

Annexe H. Discrétisation pour systèmes à deux degrés de liberté
En décomposant le problème linéaire ainsi obtenu en (2N + 1) systèmes de (2N + 1) équations
à (2N + 1) inconnues, nous pouvons écrire :
∀(i, j, l) ∈ [−N, N] 3 , B d i,j,l P n+2/3
i,j,l
= P n+1/2
i,j,l
,
⎡
i,j,l = ⎢
⎣
P m
⎡
Bi,j,l a = ⎢
⎣
où, avec A d = ∆t
2∆y 3
∆y 4 :
p m i−(N+1),−j+(N+1),1,−l+(N+1)
p m i−(N+1),−j+(N+1),2,−l+(N+1)
.
p m i−(N+1),−j+(N+1),2N+1,−l+(N+1)
⎤
⎥
⎦ ,
1 lA d 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
−lA d 1 lA d 0 . . . . . . . . . . . . 0
0
. .. . .. . .. 0 . . . . . 0
0 . . . −lA d 1 lA d . . . . . 0
0 . . . . . . . . . .
. .. . .. . .. . . .
0 . . . . . . . . . . 0 −lA d 1 lA d
0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 −lA d 1
⎤
.
⎥
⎦
(H.2)
H.5 Pour le cinquième pas de temps
p n+5/6
i,j,k,l
= p n+2/3
i,j,k,l
+ ∆t [ ( ) n+5/6
F 2 y1i , y 2j , y 3k , y
2∆y 4(l+1) p
i,j,k,l+1 − F ( ) ]
n+5/6
2 y1i , y 2j , y 3k , y 4(l−1) p
i,j,k,l−1
(H.1) .
4
376

H.6. Pour le sixième pas de temps
De même ici, le problème à résoudre peut s’écrire sous la forme d’un système d’équations matricielles
:
∀(i, j, k) ∈ [−N, N] 3 , B e i,j,k P n+5/6
i,j,k
= P n+2/3
i,j,k
,
⎡
Bi,j,k e = ⎢
⎣
⎡
i,j,k = ⎢
⎣
P m
où, avec A e = ∆t
2∆y 4
:
p m i−(N+1),−j+(N+1),k−(N+1),1
p m i−(N+1),−j+(N+1),k−(N+1),2
.
p m i−(N+1),−j+(N+1),k−(N+1),−2N+1
1 a e ⎤ ⎧
0 . . . . . . . . . . . . 0
b e 1 c e 0 . . . . . . . 0
.
0 .. . .. . .. 0 . . . 0
⎪⎨
0 . . . d e 1 e e . . .
, où :
.
0 . . . 0 .. . .. . .. 0
⎥
0 . . . . . . . 0 f e 1 g e ⎦
⎪⎩
0 . . . . . . . . . . . . 0 h e 1
⎤
⎥
⎦ ,
a b = −F 2 (y 1i , y 2j , y 3k , N∆y 4 ) ,
b b = F 2 (y 1i , y 2j , y 3k , (N − 1)∆y 4 ) ,
c b = −F 2 (y 1i , y 2j , y 3k , (N − 1)∆y 4 ) ,
d b ( )
= F 2 y1i , y 2j , y 3k , y 4(l+1) ,
e b ( )
= −F 2 y1i , y 2j , y 3k , y 4(l−1) ,
f b = F 2 (y 1i , y 2j , y 3k , 2∆y 4 ) ,
g b = −F 2 (y 1i , y 2j , y 3k , ∆y 4 ) ,
h b = F 2 (y 1i , y 2j , y 3k , ∆y 4 ) .
(H.2)
H.6 Pour le sixième pas de temps
p n+1
i,j,k,l = pn+5/6 i,j,k,l
+ W [
]
02∆t
2(∆y 4 ) 2 p n+1
i,j,k,l+1 − 2pn+1 i,j,k,l + pn+1 i,j,k,l−1
. (H.1)
377

Annexe H. Discrétisation pour systèmes à deux degrés de liberté
Alors :
∀(i, j, k) ∈ [−N, N] 3 , B f i,j,k P n+1
i,j,k = P n+5/6
i,j,k
,
⎡
B f i,j,k = ⎢
⎣
⎡
i,j,k = ⎢
⎣
P m
où, avec A f = − W 02∆t
4(∆y 4 ) 2 :
p m i−(N+1),−j+(N+1),k−(N+1),1
p m i−(N+1),−j+(N+1),k−(N+1),2
.
p m i−(N+1),−j+(N+1),k−(N+1),2N+1
⎤
⎥
⎦ ,
1 − 2A f A f ⎤
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
A f 1 − 2A f A f 0 . . . . . . . . . . . . . 0
.
0 .. . .. . .. 0 . . . . . . . . 0
0 . . . A f 1 − 2A f A f . . . . . . . . 0
.
.
0 . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . . .
⎥
0 . . . . . . . . . . . . . 0 A f 1 − 2A f A f ⎦
0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 A f 1 − 2A f
(H.2)
378