Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel ...
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SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).<br />
Berger [Berger, 1991] a montré que la matrice A est toujours singulière pour les contours<br />
fermés et souvent singulière dans les autres cas. Par contre, la matrice [<br />
γ I + A]<br />
du modèle<br />
dynamique est inversible <strong>par</strong> <strong>un</strong>e décomposition LU de la matrice [Press et al., 1992].<br />
Cohen [Cohen, 1991] a noté que le conditionnement de ce système est très dépendant du<br />
<strong>par</strong>amètre γ et qu'il est souvent indispensable de choisir <strong>un</strong> γ assez grand pour améliorer la<br />
résolution numérique. Le <strong>par</strong>amètre γ se traduit sous forme d'<strong>un</strong> pas de temps pour l'évolution<br />
du modèle. Une grande valeur de viscosité, et donc du <strong>par</strong>amètre γ, entraîne <strong>un</strong>e évolution lente<br />
du contour, ce qui correspond à <strong>un</strong> petit pas de temps. Dans <strong>un</strong> milieu à faible viscosité, les<br />
déformations s'effectuent plus rapidement. Le nombre d'itérations est ainsi moins élevé.<br />
Le modèle se déforme ainsi dans l’image selon <strong>un</strong>e série de minimisations d'énergie.<br />
L’énergie totale est <strong>un</strong>e fonction non convexe et fournit donc pour le contour plusieurs solutions<br />
locales différentes. L'introduction de termes d'énergie supplémentaires permet de guider<br />
l'évolution du contour et choisir ainsi <strong>un</strong>e solution viable <strong>par</strong>mi les minima possibles pour la<br />
fonctionnelle d’énergie.<br />
5. LES ENERGIES DU MODELE<br />
5.1 Énergies externes<br />
L'image elle-même est la source d'<strong>un</strong>e énergie, qualifiée d'énergie externe et notée E ext . Cette<br />
énergie correspond à la somme pondéré des potentiels aux points discrètes du contour :<br />
P(u)<br />
E<br />
ext<br />
N<br />
( ) w( k) P ( u( k)<br />
)<br />
u = ∑ =<br />
. ( 38 )<br />
1<br />
k<br />
Les valeurs du vecteur de potentiel P( u ( k )) sont les potentiels associés au points u( k)<br />
de<br />
la courbe discrète. Ce potentiel en chaque point<br />
u( k)<br />
est calculé à <strong>par</strong>tir de l'intégrale du<br />
potentiel P sur le petit segment de la courbe qui lui est associé. Si ce segment est suffisamment<br />
petit, le calcul de l'intégrale peut être remplacé <strong>par</strong> la valeur du potentiel en ce point. De plus, le<br />
potentiel est défini en chaque point de l'image et la valeur de l'énergie externe Eext dépend de la<br />
position du contour actif dans l'image. Les valeurs de l'énergie externe aux positions du contour<br />
sont calculées <strong>par</strong> interpolation bi-linéaire des valeurs sur la grille discrète de l'image [Cohen,<br />
1991]. L'énergie externe totale est souvent la somme pondéré de plusieurs termes de potentiel<br />
P i<br />
(u) .<br />
E<br />
( ) w ( k) P ( u( k)<br />
)<br />
ext<br />
u<br />
i i . ( 39 )<br />
i k<br />
= ∑∑<br />
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