Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel ...
Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel ...
Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).<br />
2 2<br />
∂ v / ∂s<br />
et ∂ v / ∂s<br />
,... du terme d’énergie interne ( 26 ) sont approchées <strong>par</strong> les différences<br />
finies<br />
( k − ) − u( k)<br />
∂ v u<br />
=<br />
1<br />
∂s<br />
h<br />
et<br />
( k −1) − 2 u( k) + u( k 1)<br />
2<br />
∂ v u<br />
+<br />
=<br />
2<br />
2<br />
∂s<br />
h<br />
La matrice de rigidité A, est pentadiagonale (symétrique si la courbe est fermée). Cette<br />
discrétisation des dérivées <strong>par</strong>tielles implique que les nœuds de la courbe restent à distance<br />
constante h les <strong>un</strong>s des autres.<br />
La version discrète de l’équation d'Euler-Lagrange dynamique ( 30 ) peut être écrite<br />
comme <strong>un</strong> système d’équations différentielles <strong>par</strong> rapport à u(t) :<br />
.<br />
M u&<br />
+ Gu&<br />
+ Au =<br />
& ( 33 )<br />
wF ext<br />
avec M la matrice de masse et G la matrice d’amortissement. u& et u& & représentent la<br />
vitesse et l’accélération des points du modèle.<br />
Pour <strong>un</strong> modèle avec <strong>un</strong>e masse nulle et évoluant dans <strong>un</strong> milieu de viscosité γ constant<br />
pour toutes les positions et tous les instants t, l'équation ( 33 ) se réduit à :<br />
I u&<br />
+ A u =<br />
γ ( 34 )<br />
wF ext<br />
avec I la matrice diagonale <strong>un</strong>itaire.<br />
Les valeurs des dérivés temporelles sont approchées <strong>par</strong> des différences finies et <strong>un</strong>e<br />
méthode d’intégration temporelle explicite. L'expression discrète dans le temps de ( 34 ) pour <strong>un</strong><br />
pas de discrétisation temporelle ∆t = 1 s'écrit :<br />
ou :<br />
[ u( t −1)<br />
− u(<br />
t)<br />
] + Au(<br />
t)<br />
= w Fext ( u(<br />
t −1)<br />
)<br />
γ ( 35 )<br />
[ I + A] u( t)<br />
= wFext ( u(<br />
t −1)<br />
) + γ u(<br />
t −1)<br />
γ ( 36 )<br />
Ce qui conduit à <strong>un</strong>e solution pour u de la forme :<br />
−1<br />
[ I + A] [ wF<br />
( u(<br />
t −1)<br />
) + γ ( t −1)<br />
]<br />
u(<br />
t)<br />
=<br />
ext<br />
u<br />
γ ( 37 )<br />
Cette discrétisation implicite de l’équation d’Euler-Lagrange implique que les nœuds de la<br />
courbe restent à distance constante les <strong>un</strong>s des autres, ce qui, dans le cas général, est loin d'être<br />
respecté : les nœuds ont en effet tendance à s'accumuler dans les zones de fort<br />
<strong>gradient</strong> [Maurincomme, 1994].<br />
60