Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel ...

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
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∂ v / ∂s
et ∂ v / ∂s
,... du terme d’énergie interne ( 26 ) sont approchées par les différences
finies
( k − ) − u( k)
∂ v u
=
1
∂s
h
et
( k −1) − 2 u( k) + u( k 1)
2
∂ v u
+
=
2
2
∂s
h
La matrice de rigidité A, est pentadiagonale (symétrique si la courbe est fermée). Cette
discrétisation des dérivées partielles implique que les nœuds de la courbe restent à distance
constante h les uns des autres.
La version discrète de l’équation d'Euler-Lagrange dynamique ( 30 ) peut être écrite
comme un système d’équations différentielles par rapport à u(t) :
.
M u&
+ Gu&
+ Au =
& ( 33 )
wF ext
avec M la matrice de masse et G la matrice d’amortissement. u& et u& & représentent la
vitesse et l’accélération des points du modèle.
Pour un modèle avec une masse nulle et évoluant dans un milieu de viscosité γ constant
pour toutes les positions et tous les instants t, l'équation ( 33 ) se réduit à :
I u&
+ A u =
γ ( 34 )
wF ext
avec I la matrice diagonale unitaire.
Les valeurs des dérivés temporelles sont approchées par des différences finies et une
méthode d’intégration temporelle explicite. L'expression discrète dans le temps de ( 34 ) pour un
pas de discrétisation temporelle ∆t = 1 s'écrit :
ou :
[ u( t −1)
− u(
t)
] + Au(
t)
= w Fext ( u(
t −1)
)
γ ( 35 )
[ I + A] u( t)
= wFext ( u(
t −1)
) + γ u(
t −1)
γ ( 36 )
Ce qui conduit à une solution pour u de la forme :
−1
[ I + A] [ wF
( u(
t −1)
) + γ ( t −1)
]
u(
t)
=
ext
u
γ ( 37 )
Cette discrétisation implicite de l’équation d’Euler-Lagrange implique que les nœuds de la
courbe restent à distance constante les uns des autres, ce qui, dans le cas général, est loin d'être
respecté : les nœuds ont en effet tendance à s'accumuler dans les zones de fort
gradient [Maurincomme, 1994].
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