Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel ...

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
d'amortissement γ(s,t). L’équation de Lagrange de déformation du modèle avec une énergie
interne donnée par ( 25 ) et une énergie externe donnée par ( 26 ) est :
2
∂ v
2
∂t
∂v
∂t
∂
∂s
∂
∂s
µ + γ − ( α () s v ) + ( β () s v ) = −w(
s)
∇P( v) ( 30 )
s
Les deux premiers termes de gauche de l'équation aux dérivées partielles représentent les
forces d’inertie et d’amortissement. Les termes suivants représentent les forces internes
d’étirement et de fléchissement. A droite sont les forces externes. La condition d’équilibre ( 28 )
est atteinte quand les forces externes et internes s’équilibrent et le contour s'arrête
2 2
( ∂v
/ ∂t
= ∂ v / ∂t
= 0 ).
2
2
ss
4. DISCRETISATION DU MODELE
Pour calculer numériquement la solution d’énergie minimale, il est nécessaire de
discrétiser l’équation ( 24 ). Kass et al. [Kass et al., 1988] utilisent les différences finies pour
discrétiser l'équation ( 30 ) et la mettre sous forme linéaire. Le contour continu v(s) décrit par la
longueur d'arc s est discrétisé par N points équidistants, avec h la distance entre ces points. Le
contour est alors représenté sous une forme discrète par une matrice u à deux colonnes (2 * N)
correspondant aux deux composantes du plan (x et y) de chaque point discret. La forme discrète
de l’énergie du modèle s’écrit comme [McInerney et al., 1996] :
T
( u) u K u ( u)
1
E = + E 2
ext
( 31 )
E ext (u) est la version discrète du potentiel d’énergie externe et K est une matrice carrée de
dimension N * N qui traduit la rigidité du modèle. Elle correspond, sous forme discrète, aux
dérivées partielles du terme d'énergie interne E int ( 25 ).
La solution du minimum d’énergie est donnée par la mise à 0 du gradient de l’équation
précédente ( 31 ). Ceci est équivalent à résoudre le système d’équations algébriques :
A u −∇E
= w F
= ( 32 )
ext
ext
La matrice F à deux colonnes (2 * N) contient les composantes x et y des forces externes
pour les positions du contour. Le système d'équations ( 32 ) permet ainsi d'accéder aux forces
appliquées à la courbe. La matrice A, appelée aussi matrice de rigidité du système, contient les
opérateurs de dérivation partielle le long de la courbe ( 28 ). Les valeurs des dérivées partielles
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