Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel ...

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SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN). Cette force dirige le contour vers le minimum de l'énergie potentielle. Le minimum de l’énergie totale peut être déterminé par un résultat classique du calcul variationel [Courant et al., 1953]. L'équation d'Euler-Lagrange donne la formulation stationnaire autour du minimum : − ∂ ∂s ∂ ∂s 2 α s 2 ss = ( () s v ) + ( β () s v ) w( s) f ( v( s ) ) ( 28 ) 2 v ( ) v ( ) v () () ∂v ∂ v avec vs = , vss = et les conditions aux limites 0 , ∂s 2 s 0 , l et v s l connues. ∂s Cette équation aux dérivées partielles exprime l’équilibre entre les forces externes et internes quand le contour est à l’équilibre. Les deux premiers termes représentent les forces internes d’étirement et de fléchissement, et le troisième terme représente les forces externes qui couplent le modèle aux données image. L’approche classique de résolution de ( 28 ) passe par la discrétisation du modèle continu et l’application des algorithmes numériques. 3. FORMULATION DYNAMIQUE DES CONTOURS ACTIFS Même s'il est naturel de considérer la minimisation d’énergie comme un problème statique, une autre approche de détermination du minimum de la fonctionnelle ( 24 ) est de construire un système dynamique. Guidé par la fonctionnelle, le système évolue ainsi vers l’équilibre. Les principes de la mécanique de Lagrange peuvent être appliqués. L’équation gouvernant le mouvement d’un corps élastique dans un milieu visqueux est : 2 ∂ v ∂t µ 2 ∂v + γ ∂t + ∂U ∂v () v = w f ( v() t ) ( 29 ) avec () • v t la position au cours du temps t du contour élastique • µ la densité de masse du contour • γ la densité d'amortissement ou viscosité du milieu où se déplace le contour • w la pondération de la force externe () ∂U v • les forces internes dues à la déformation du contour ∂v • f ( v, t) les forces extérieures appliquées au contour Le contour actif dynamique est représenté par un contour temporellement variable v ( s, t) = ( x( s, t), y( s, t)) T avec une densité de masse µ(s,t), évoluant dans un milieu de densité 58
SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN). d'amortissement γ(s,t). L’équation de Lagrange de déformation du modèle avec une énergie interne donnée par ( 25 ) et une énergie externe donnée par ( 26 ) est : 2 ∂ v 2 ∂t ∂v ∂t ∂ ∂s ∂ ∂s µ + γ − ( α () s v ) + ( β () s v ) = −w( s) ∇P( v) ( 30 ) s Les deux premiers termes de gauche de l'équation aux dérivées partielles représentent les forces d’inertie et d’amortissement. Les termes suivants représentent les forces internes d’étirement et de fléchissement. A droite sont les forces externes. La condition d’équilibre ( 28 ) est atteinte quand les forces externes et internes s’équilibrent et le contour s'arrête 2 2 ( ∂v / ∂t = ∂ v / ∂t = 0 ). 2 2 ss 4. DISCRETISATION DU MODELE Pour calculer numériquement la solution d’énergie minimale, il est nécessaire de discrétiser l’équation ( 24 ). Kass et al. [Kass et al., 1988] utilisent les différences finies pour discrétiser l'équation ( 30 ) et la mettre sous forme linéaire. Le contour continu v(s) décrit par la longueur d'arc s est discrétisé par N points équidistants, avec h la distance entre ces points. Le contour est alors représenté sous une forme discrète par une matrice u à deux colonnes (2 * N) correspondant aux deux composantes du plan (x et y) de chaque point discret. La forme discrète de l’énergie du modèle s’écrit comme [McInerney et al., 1996] : T ( u) u K u ( u) 1 E = + E 2 ext ( 31 ) E ext (u) est la version discrète du potentiel d’énergie externe et K est une matrice carrée de dimension N * N qui traduit la rigidité du modèle. Elle correspond, sous forme discrète, aux dérivées partielles du terme d'énergie interne E int ( 25 ). La solution du minimum d’énergie est donnée par la mise à 0 du gradient de l’équation précédente ( 31 ). Ceci est équivalent à résoudre le système d’équations algébriques : A u −∇E = w F = ( 32 ) ext ext La matrice F à deux colonnes (2 * N) contient les composantes x et y des forces externes pour les positions du contour. Le système d'équations ( 32 ) permet ainsi d'accéder aux forces appliquées à la courbe. La matrice A, appelée aussi matrice de rigidité du système, contient les opérateurs de dérivation partielle le long de la courbe ( 28 ). Les valeurs des dérivées partielles 59
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N° d’ordre 2001ISAL0062 Année 2
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TABLE DES MATIERES. 3. Gradient cou
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ANNEXE C APPLICATIONS DU CALN A L'A
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BIBLIOGRAPHIE [Beaudot, 1994] W. H.
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BIBLIOGRAPHIE [Hofmänner, 1975] F.
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BIBLIOGRAPHIE [Sapiro et al., 1996]
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