Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel ...

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
La forme quadratique ( 6 ) est appelée première forme fondamentale [Bronshtein et al., 1985]
m
d'une surface dans l'espace paramétrée par ( x,
y . Elle peut être écrite sous la forme
matricielle :
R )
I 2 E F dx
⎜ ⎟ ⎜
⎝ F G⎠
⎝dy
123
( 7 )
M
( d ) = ( dx dy) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎠
avec
⎧
2 2 2
⎪ ⎛ ∂R
⎞ ⎛ ∂V
⎞ ⎛ ∂B
⎞
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎪ ⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂x
⎠
⎪
∂R
∂R
∂V
∂V
∂B
∂B
⎨F
= + +
⎪ ∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
⎪
2 2 2
⎪ ⎛ ∂R
⎞ ⎛ ∂V
⎞ ⎛ ∂B
⎞
G = + +
⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎩ ⎝ ∂y
⎠ ⎝ ∂y
⎠ ⎝ ∂y
⎠
( 8 )
Les variations de I sont extrémales dans les directions des vecteurs propres
cosθ 1,2
, sinθ1,2
) de la matrice M . La direction des vecteurs propres et leur valeur propre
(
T
associée sont données respectivement par ( 9 ) et ( 10 ).
1 2F
θ1
= arctan
2 E − G
θ = θ + π / 2
2
1
( 9 )
1 ⎛
2 2
λ ( )
⎞
1,2
= ⎜ E + G ± E − G + 4F
⎟ ( 10 )
2 ⎝
⎠
La plus grande valeur propre λ 1 de la matrice M est égale à la valeur maximale de la
forme quadratique ( 6 ). La direction θ 1 du vecteur propre associé correspond à la direction
(modulo π) du gradient vectoriel. Le signe du gradient reste indéfini. Pour une image scalaire, la
matrice M a seulement une valeur propre λ 1 différente de zéro. Elle est égale au module carré du
gradient. Dans ce cas, le module du gradient est donc défini comme la racine carrée de λ 1 :
∇I =
( 11 )
λ 1
Pour un pixel d'une image I vectorielle, la deuxième valeur propre λ 2 peut être nonnulle.
La variation minimale de I associée à ce point est alors non-nulle. Dans ce cas, les
contours ne sont pas seulement caractérisés par λ mais par la prédominance de cette valeur par
1
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