Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel ...

N° d’ordre 2001ISAL0062 Année 2001
THÈSE
présentée devant
L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DE LYON
en vue de l'obtention du
GRADE DE DOCTEUR
Formation doctorale : Images et Systèmes
École Doctorale des Sciences de l’Ingénieur de Lyon :
Électronique, Électrotechnique, Automatique
par
Alfred ANWANDER
Ingénieur en Génie Électrique
Université de Karlsruhe, Allemagne
Segmentation d'images couleur par un
opérateur gradient vectoriel multiéchelle
et contour actif :
Application à la quantification des phases
minéralogiques du clinker de ciment
Soutenue le … Décembre 2001 devant la commission d'examen :
Jury : Jack-Gérard POSTAIRE RAPPORTEUR
Pierre BONTON
RAPPORTEUR
Isabelle E. MAGNIN
Patrick LAMBERT
Roland COLL
Atilla BASKURT
Bruno NEYRAN
EXAMINATRICE
EXAMINATEUR
EXAMINATEUR
CO-DIRECTEUR DE THESE
CO-DIRECTEUR DE THESE
Cette thèse a été préparée au laboratoire CREATIS - UMR CNRS 5515 de l’INSA de Lyon

TABLE DES MATIERES.
TABLE DES MATIERES. 2
CHAPITRE 1 INTRODUCTION GENERALE. 6
CHAPITRE 2 INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES
COULEUR. 9
1. Introduction...................................................................................................... 10
2. Les espaces couleur .......................................................................................... 10
2.1 Espaces couleur linéaires...........................................................................................11
2.2 Espaces couleur non linéaires ..................................................................................19
2.3 Décomposition soustractive de la couleur .............................................................24
3. Distance dans l'espace des couleurs ................................................................25
3.1 Distance entre deux couleurs ...................................................................................25
3.2 Pondération du gradient luminance ........................................................................27
3.3 Calcul du véritable gradient vectoriel ......................................................................27
4. Caméras couleur et carte d'acquisition ............................................................27
4.1 Sortie analogique ou numérique...............................................................................28
4.2 Caméra mono-capteur ou trois capteurs ................................................................28
4.3 Sortie composite vidéo ou RVB ..............................................................................29
5. Conclusion ........................................................................................................29
CHAPITRE 3 GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM)
POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE. 31
1. Introduction......................................................................................................33
2. Problématique d'images vidéo couleur............................................................34
2.1 Caractéristiques de l'œil et normes vidéo................................................................34
2.2 Espace des couleurs...................................................................................................36
2.3 Étude de la nature des images vidéo .......................................................................37
2

TABLE DES MATIERES.
3. Gradient couleur ...............................................................................................38
3.1 Approche scalaire.......................................................................................................39
3.2 Approche vectorielle..................................................................................................39
4. Gradient Couleur Multiéchelle (GCM) proposé............................................... 41
4.1 Calcul des dérivées partielles ....................................................................................41
4.2 Pondération des composantes couleur ...................................................................43
4.3 Détermination du module et de la direction du gradient .....................................44
5. Segmentation par approche contour ................................................................45
5.1 Détection des contours .............................................................................................45
5.2 Contours actifs ...........................................................................................................46
6. Applications ......................................................................................................47
6.1 Application industrielle .............................................................................................47
6.2 Application à d’autres images acquises avec une caméra mono-CCD...............51
7. Conclusions.......................................................................................................52
Remerciements .................................................................................................53
CHAPITRE 4 SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS
ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN). 54
1. Introduction......................................................................................................55
2. Formulation stationnaire des contours actifs...................................................56
3. Formulation dynamique des contours actifs....................................................58
4. Discrétisation du modèle..................................................................................59
5. Les énergies du modèle .................................................................................... 61
5.1 Énergies externes .......................................................................................................61
5.2 Énergies internes........................................................................................................64
6. Améliorations du modèle..................................................................................67
6.1 Redistribution des points de discrétisation sur le contour...................................67
6.2 Calcul de la déformation sur un modèle normalisé...............................................69
6.3 Intérêt du nouveau modèle de contours actifs à longueur normalisée...............73
7. Paramètres du modèle et leurs dépendances ...................................................74
7.1 Les coefficients d'élasticité α et de rigidité β .........................................................75
7.2 Étude des forces externes .........................................................................................78
7.3 Le coefficient de vitesse γ .........................................................................................79
7.4 Contour initial.............................................................................................................80
7.5 Convergence du contour...........................................................................................81
8. Inversion de la matrice de rigidité.................................................................... 81
8.1 Inversion littérale........................................................................................................81
3

TABLE DES MATIERES.
8.2 Complexité algorithmique et temps de calcul ........................................................82
9. Segmentation d’image par contours actifs.......................................................84
9.1 Images synthétiques...................................................................................................84
9.2 Segmentation des ventricules de cerveau en IRM.................................................85
9.3 Segmentation de la paroi d'artères en IRM ............................................................87
10. Conclusion ........................................................................................................89
CHAPITRE 5 QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE
PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE. 91
1. Introduction......................................................................................................92
2. Article publié dans "WORLD CEMENT"......................................................94
2.1 Introduction................................................................................................................96
2.2 Clinker preparation ....................................................................................................96
2.3 Imaging system...........................................................................................................97
2.4 Image characteristics..................................................................................................97
2.5 Image analysis.............................................................................................................98
2.6 Experimental results & discussions.......................................................................106
2.7 Conclusions...............................................................................................................107
Acknowledgements..................................................................................................108
3. Améliorations apportées au logiciel "Clinker-Microvision" ......................... 109
3.1 Pré-traitement – normalisation de l'histogramme ...............................................111
3.2 Classification des régions par la couleur...............................................................111
3.3 Segmentation par contours actifs...........................................................................112
3.4 Segmentation par classification de régions...........................................................117
4. Résultats et conclusions ..................................................................................121
CHAPITRE 6 CONCLUSION GENERALE. 123
ANNEXE A SCHEMA DE LA METHODE D’ANALYSE
MICROSCOPIQUE DE CLINKER. 125
ANNEXE B LA FABRICATION DU CIMENT. 126
La naissance et le développement des liants hydrauliques..................................... 126
Les grandes lignes d’une unité de fabrication ........................................................ 127
L’extraction et la préparation des matières premières ...................................................128
Le broyage du cru ...............................................................................................................129
4

TABLE DES MATIERES.
La cuisson et le refroidissement........................................................................................129
Le broyage............................................................................................................................130
ANNEXE C APPLICATIONS DU CALN A L'AIDE AU
DIAGNOSTIQUE DES MALADIES VASCULAIRES.
131
1. Validation du CALN dans le logiciel MARACAS ...........................................131
2. Validation du CALN dans le logiciel ATHER............................................... 133
PUBLICATIONS DE L’AUTEUR 137
1. Publications dans des revues internationales avec comité de lecture ........... 137
2. Communications internationales avec actes .................................................. 137
3. Présentations dans le cadre du CNRS GdR ISIS ........................................... 138
4. Autres communications.................................................................................. 138
BIBLIOGRAPHIE 140
5

Chapitre 1
INTRODUCTION GENERALE.
Durant les dernières années, l’utilisation de caméras couleur et les traitements d’images
adaptés se sont considérablement développés, en particulier en contrôle industriel.
L’association de l’information couleur aux attributs classiques de forme et de texture
permet une analyse plus complète des caractéristiques intrinsèques des produits analysés.
L’efficacité des traitements appliqués sur les images est conditionnée par l’utilisation d’un
système d’acquisition adéquat. En effet, il est souvent préférable d’optimiser les conditions
d’éclairage et d’acquisition et de pouvoir ainsi associer un traitement simple et rapide plutôt que
d’envisager des traitements lourds et complexes qui ne pourront faire ressortir des
caractéristiques dégradées par un système d’acquisition non-adapté. Ceci montre l’intérêt d’une
étude globale intégrant la mise en place d’un système de vision et le développement des méthodes
de traitement d’images couleur.
L’objet de cette étude s’inscrit dans le domaine de la segmentation d’images couleur. Les
méthodes développées portant principalement sur la segmentation par approche frontière. Ce
choix est justifié par cette hypothèse :
L’image couleur à laquelle nous nous intéressons, est issue d’un capteur optique placé
dans un environnement peu hostile. Elle est donc peu bruitée. De plus, les produits analysés sont
soit des produits manufacturés, soit des produits naturels transformés par un procédé industriel.
L’image associée peu bruitée présente alors une information "contour" intéressante pour une
segmentation par approche frontière.
La segmentation est destinée à isoler des régions d’intérêt "couleur" pour une
identification et une quantification. Elle a pour objectif d’assister l’opérateur ou l’expert dans le
travail long, répétitif, et fastidieux de contrôle qualité. Il est en effet souvent irréaliste d’obtenir
une méthode de segmentation entièrement automatique. Cette étude a été orientée, dès le départ,
vers un contrôle semi-automatique intégrant en aval, une interaction avec l’utilisateur qui peut
corriger et valider les résultats de la segmentation.
L’application envisagée est la quantification semi-automatique des phases de Clinker de
ciment. Elle a été menée par le laboratoire CREATIS en collaboration avec le centre technique de
LAFARGE CIMENTS à Viviers, de septembre 1996 à décembre 1999. Elle a fait l’objet d’une
convention CIFRE.
6

INTRODUCTION GENERALE.
Le Clinker est un des produits intermédiaires dans la chaîne de fabrication du ciment. Ses
caractéristiques sont régulièrement contrôlées et analysées par différentes techniques de contrôle
qualité et en particulier par l’analyse des images microscopiques de sections polies des
échantillons de Clinker. Elles renseignent sur l’état de la ligne de fabrication en amont et influent
directement sur la qualité du produit final (le ciment) en aval de la chaîne de fabrication.
L’imagerie microscopique est utilisée pour l’évaluation quantitative de la composition
minérale des échantillons de Clinker. Cette évaluation se fait manuellement par l’expert qui
détermine le pourcentage des différents types de cristaux (alite, bélite, matrice) par un "comptagepoint"
visuel. C’est une procédure longue et fastidieuse puisqu’il faut de l’ordre de 45 minutes à
l’expert pour obtenir un pourcentage validé sur 2 000 cristaux.
Le système de vision développé inclut l’acquisition d’une base d’images microscopiques
couleur par l’opérateur, la segmentation et la quantification automatique des cristaux de Clinker,
l’interaction avec l’opérateur pour d’éventuelles corrections et la validation des résultats et
l’édition des caractéristiques du type de Clinker étudié.
Le chapitre II est consacré à la couleur. Il rappelle les éléments essentiels de la perception
humaine, des systèmes d’acquisition couleur, des différents espaces couleur.
Le chapitre III introduit les spécificités de la segmentation par approche frontière dans le
cadre des images couleur, donc multicomposantes. Il propose une nouvelle méthode de calcul du
gradient d’une image couleur de type vidéo. Ces images multispectrales ont en effet la
particularité, soit pour la transmission soit pour le stockage, de présenter une bande passante
réduite des composantes couleur par rapport à celle de la luminosité. L’utilisation des méthodes
classiques de calcul du gradient multispectral amplifie le bruit présent dans les composantes
couleur. La méthode proposée reprend le gradient vectoriel de Lee et Cok [Lee et al., 1991] en
introduisant le calcul des dérivées partielles à une échelle différente suivant la composante traitée.
Elle montre qu’une pondération est nécessaire entre les dérivées des composantes couleur et celle
de la composante luminosité pour obtenir le gradient couleur multiéchelle (GCM). Le GCM
permet d’augmenter la part de l’information couleur dans le calcul du gradient sans augmenter le
bruit relatif à ces composantes. Sa mise en œuvre dans le cadre d’une application industrielle sur
des images microscopiques de Clinker de ciment, a montré que le gradient ainsi calculé permet de
séparer les cristaux ne présentant que de faibles différences de couleur sans introduction de faux
contours. La mise en œuvre du GCM sur des images microscopiques couleur illustre les
avantages de notre méthode. L’apport du GCM est montré avec des résultats de détection de
contour effectuée sur l’image gradient. Ce chapitre reprend l’article à paraître dans la revue
"Traitement du Signal", vol 18, n°2, 2001.
Dans le chapitre IV, un modèle original de segmentation d’images couleur par un contour
déformable de type "ballon" est proposé. Ce modèle permet d’harmoniser la distribution des
points d’échantillonnage du contour actif et d’équilibrer automatiquement les énergies internes et
externes par une normalisation de la longueur du contour avant chaque déformation. Il autorise
7

INTRODUCTION GENERALE.
des grandes déformations du contour sans requérir le ré-échantillonnage de la courbe, étape
nécessaire dans l’approche classique. Cela rend l’algorithme plus rapide et plus robuste et autorise
un contour initial loin du contour final. L’intérêt de ce modèle est illustré par des résultats
obtenus sur différents types d’images tels que les images de Clinker, les images médicales
d’angiographie IRM.
Le dernier chapitre est consacré à l’application industrielle concernant la segmentation et
quantification semi-automatique des cristaux de Clinker. Après la présentation du système de
vision, le logiciel "Clinker-Microvision 1.0" est détaillé. Une première version de ce logiciel a été
installée sur site industriel début 1998. Elle est basée sur une approche statistique de comptage de
points. Des points sont pris à intervalles réguliers dans l’image. Après une étude locale des
caractéristiques couleur et texture du voisinage, les points sont classés comme appartenant aux
divers types de cristaux. Cet outil simple a été conçu pour minimiser l’intervention humaine. Les
résultats concordent avec ceux obtenus par un expert lors d’un comptage manuel des points.
Cette partie reprend l’article paru dans le journal "World Cement", pp 77-84, avril 1998.
Ce chapitre présente la version finale du logiciel "Clinker-Microvision 2.0". En plus des
fonctionnalités de la version 1.0, ce logiciel intègre la segmentation par approche contour
effectuée à l’aide du GCM (chapitre III) des images microscopiques couleur. Dans une première
phase, après l’utilisation du GCM et d’un outil de fermeture de contour, toutes les régions sont
classées avec des paramètres classiques de couleur et de texture.
Dans une deuxième phase, un contour initial est placé de manière automatique dans
chacune des régions identifiées. Ces contours initiaux sont à la base d’une méthode de
segmentation par contour actif utilisant le GCM des images. L’évolution de ce contour actif
conduit à l’obtention de la forme complète des cristaux. Cette partie reprend l’article à paraître
dans la revue " Traitement du Signal ", vol 18, n°2, 2001, sections 5 et 6.
Une alternative à cette seconde phase de traitement a été proposée à Lafarge Ciments.
Elle consiste au regroupement des régions homogènes de même types de cristal avec une
méthode de bassin versant. Cette version conduit à une segmentation quasi-individuelle des
cristaux de Clinker. Elle est détaillée dans le chapitre V avec la communication dans le congrès
CGIP 2000, pp 311-316, octobre 2000.
8

Chapitre 2
INTRODUCTION AU TRAITEMENT
D'IMAGES COULEUR.
1. Introduction...................................................................................................... 10
2. Les espaces couleur .......................................................................................... 10
2.1 Espaces couleur linéaires...........................................................................................11
2.2 Espaces couleur non linéaires ..................................................................................19
2.3 Décomposition soustractive de la couleur .............................................................24
3. Distance dans l'espace des couleurs ................................................................25
3.1 Distance entre deux couleurs ...................................................................................25
3.2 Pondération du gradient luminance ........................................................................27
3.3 Calcul du véritable gradient vectoriel ......................................................................27
4. Caméras couleur et carte d'acquisition ............................................................27
4.1 Sortie analogique ou numérique...............................................................................28
4.2 Caméra mono-capteur ou trois capteurs ................................................................28
4.3 Sortie composite vidéo ou RVB ..............................................................................29
5. Conclusion ........................................................................................................29
9

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
N
ous présentons dans ce chapitre une étude sur les propriétés des images couleur.
Avant d'effectuer des traitements en vue d'une segmentation de ce type d'image, il est
important de bien connaître les propriétés de la couleur dans les images numériques,
en particulier les différents espaces couleur mais aussi les précautions à prendre pour l'acquisition
de ce type d'image.
1. INTRODUCTION
Isaac Newton a montré en 1666 [MacAdam, 1983 ; Newton, 1671] que la lumière blanche
pouvait être séparée par un prisme en différentes couleurs qui composent le spectre visible. Il
s'étale du rouge, orange, jaune, vert, bleu puis violet. La lumière est une onde électromagnétique
dont la longueur d'onde va pour le visible de 380 à 780 nm. Dans le domaine de la vision
artificielle on peut toutefois travailler dans le domaine de l'invisible, infra-rouge ou ultra-violet. Il
est important de noter que la visibilité de la lumière est variable, ainsi chez les animaux, elle ne
sera pas identique à celle de l'homme.
La perception humaine de la couleur est liée à la physiologie de l'œil. La rétine est
constituée de cellules de deux types différents : les cônes et les bâtonnets. En son centre la vision
est surtout assurée par les cônes, elle est excellente et sa qualité est fonction de l'éclairement. En
périphérie la vision est médiocre sans notion de couleur, elle fonctionne surtout en lumière faible
et elle est principalement assurée par les bâtonnets. La perception visuelle est la combinaison d'un
capteur, l'œil et d'un système d'analyse, le cerveau. La perception des couleurs se définit comme
une sensation, elle est donc associée à la subjectivité humaine.
L'étude de la couleur couvre de nombreuses branches scientifiques comme la
colorimétrie, la photométrie, la radiométrie, la vision couleur. Ces sciences sont toujours
associées avec les aspects physiologiques de la perception couleur. L'œil ne sait pas distinguer la
couleur pure de celle obtenue par mélange, il décompose donc la couleur suivant un nombre
limité (3) de composantes. Nous allons ici présenter les systèmes de base de la colorimétrie avec
les différents espaces couleur [Kunt, 1991]. Nous nous intéresserons ensuite aux particularités de
la segmentation d'image couleur.
2. LES ESPACES COULEUR
De nombreux espaces couleur sont utilisés aujourd'hui et sont normalisés entre autre par
la Commission Internationale de l'Éclairage (CIE) [CIE, 1976 ; CIE, 1986]. On distingue deux
grandes familles :
10

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
• ceux qui vérifient la propriété d'additivité des couleurs. Parmi eux on séparera ceux
dont la composante luminosité tient compte de la sensibilité de l'œil.
• ceux plus descriptifs, qui ne vérifient pas cette propriété, mais cherchent à avoir une
répartition des couleurs proches de celle de l'œil.
2.1 Espaces couleur linéaires
2.1.1 Espace couleur RVB
Une image couleur peut être représentée par addition de 3 composantes indépendantes
Rouge, Vert, Bleu [Grassmann, 1853 ; Helmholtz, 1866]. L'espace RGB est l'un des plus
fréquemment utilisés en traitement d'image [Lozano, 1998 ; Raffy, 1999]. Dans cet espace, la
somme de trois composantes de valeurs identiques ne présente pour l'œil aucune couleur. Il
vérifie la propriété d'additivité qui fait que la couleur résultante de la somme de deux couleurs a
pour composante la somme des composantes de chacune des couleurs. La Figure 1 donne le
spectre de chacune des trois composantes.
Valeurs tristimuli
b(λ)
v(λ)
r(λ)
longueur d'onde en nm
Figure 1. - Spectre des fonctions r-v-b- du standard CIE 1931 d'après [Sangwine et al., 1998].
Les trois composantes CIE RVB d'une lumière de spectre E ( λ ) sont définies par :
∫ E(
λ)
r(
λ)
dλ;
V = ∫ E(
λ)
v(
λ)
dλ;
B = ∫
R =
E(
λ)
b(
λ)
dλ
λ
λ
Cette base sert de référence mais n'est souvent pas la plus appropriée car elle n'est pas la
plus significative de la couleur. Dans cet espace, chaque couleur est décrite par un point. Les
couleurs grises sont sur la diagonale principale (R=V=B) qui part du noir (R=V=B=0) au blanc
(R=V=B=max) [MacAdam, 1983 ; Maxwell, 1857 ; Wyszecki et al., 1982] (Figure 2).
λ
11

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
bleu
255 blue
Triangle de Maxwell
R+V+B=255
jaune
blanc
vert
cyan
255
rouge red
0
black noir
blanc white
vert
green
255
noir
rouge
bleu
magenta
Figure 2. - Représentation de l'espace couleur RVB avec le triangle de Maxwell.
Le principal inconvénient de l'espace RVB dans le cas d'image naturelle est la forte
corrélation entre les différentes composantes. Son autre désavantage est ses relations non
intuitives avec la perception physiologique de la couleur.
Chaque composante RVB dépend de l'intensité lumineuse, pour éliminer cette influence
on utilise les composantes normalisées ou coordonnées chromatiques r, v, b.
R
V
B
r = ; v = ; b = = − r − v
R + V + B R + V + B R + V + B
1
Deux de ces composantes, car seulement deux sont indépendantes, forment avec la
composante luminosité (R+V+B)/3 un espace plus stable pour la segmentation d'image couleur.
La principale application de l'espace RVB est la composition/ décomposition additive des
couleurs soit au niveau de l'acquisition soit au niveau de l'affichage des images.
Il existe d'autre version de l'espace RVB pour la télévision, EBU RVB (European
Broadcasting Union), et FCC RVB (Federal Communication Commission, USA). Elles sont
utilisées pour la visualisation d'image couleur et pour l'acquisition par caméras. Ces espaces
dépendent des terres rares utilisées pour restituer la couleur au niveau de l'écran.
L'espace RVB est le plus fréquent mais d'autres espaces de représentation dérivés des
systèmes de visualisation ou de domaines techniques comme la colorimétrie ou la télévision sont
présentés avec leur intérêt en traitement d'image.
2.1.2 Espace couleur YC 1 C 2
Par une transformation linéaire, l'espace de RVB peut être converti dans l'espace de
couleur YC 1 C 2 [Carron, 1995]. Cet espace cartésien emploie pour la luminance Y le niveau
moyen des trois composantes RVB. Cette luminance ne correspond pas à celle qui est perçue par
l'œil. Par exemple le vert pur (0,1,0) est beaucoup plus lumineux pour l'œil que le bleu pur (0,0,1)
12

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
alors qu'il présente dans cet espace la même valeur de Y. Le plan des couleurs, où sont définis les
axes de chrominance C 1 et C 2 , est normal à la diagonale spatiale de l'espace RVB qui va du noir
au blanc. Le plan C 1 C 2 est parallèle au triangle de maxwell représenté sur la Figure 2.
C
C
Y
1
2
R + V + B
=
1 3
1
= R − V − B
2 2
3
= 0,0 R + V −
2
3
2
B
Pour que les composantes couleur soient plus adaptées à la perception humaine, on se
place en coordonnées polaires dans le plan C 1 C 2 , et on définit la teinte H et la saturation S. La
teinte (Hue) H indique l'angle dans ce plan et la saturation S "l'intensité de couleur" [Kowaliski,
1990 ; Sève, 1996].
H
S
=
−1
C1 C
tan ( C
2
1
/ C2
)
2 2
C
C
1C
=
2 1
+ C2
La Figure 3 représente la teinte et la saturation dans le plan C 1 C 2 .
G
V
C 2
S
Teinte H H
R , C 1
Figure 3. - Plan C 1 C 2 et H C1 S C2 .
B
Cet espace est peu utilisé mais permet de présenter la notion de teinte et saturation.
2.1.3 Espace couleur XYZ
Cet espace, défini par le CIE est utilisé en colorimétrie [Foley et al., 1990]. Une de ces
composantes Y représente au mieux la perception qu'a l'œil de la luminance ( ≈le niveau de gris ).
13

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
La Figure 4 donne le spectre de chacune des trois composantes. Les fonctions ne sont jamais
négatives et de plus cet espace n'exclut pas certaines couleurs visibles.
Valeurs tristimuli
longueur d'onde en nm
Figure 4 - Spectre des fonctions x-y-z- du standard CIE 1931 d'après [Sangwine et al., 1998].
1982] :
Les relations de passage entre l'espace CIE RVB et l'espace XYZ sont [Wyszecki et al.,
X = 0,490 R + 0,310 V + 0,200 B⎫
⎪
Y = 0,177 R + 0,812 V + 0,011B
⎬
Z = 0,000 R + 0,010 V + 0,990 B ⎪
⎭
composante N&B perçue par l'œil.
X, Y, Z forment aussi une base orthogonale. On remarque que les couleurs de base RVB
ont comme composantes XYZ des valeurs positives.
En traitement d'image couleur on utilise les espaces RVB liés au standard des caméras et
télévisions. Les équations de passage sont à partir de EBU RVB (Europe) :
X = 0,430 R + 0,342 V + 0,178 B
Y = 0,222 R + 0,707 V + 0,071B
Z = 0,020 R + 0,130 V + 0,939 B
celles à partir de FCC RVB (USA) sont :
X = 0,607 R + 0,174 V + 0,200 B
Y = 0,299 R + 0,587 V + 0,114 B
Z = 0,000 R + 0,066 V + 1,116 B
14

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
On peut comme en RVB utiliser des composantes normées [Wyszecki et al., 1982] :
X
Y
Z
x = ; y = ; z = = − x − y
X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z
1
Cet espace couleur est souvent un espace intermédiaire car les autres espaces couleur sont
définis dans l'espace XYZ.
La Figure 5 représente la courbe chromatique pour les radiations visibles de 380 à 700 nm
dans l'espace le plan xy.
1998].
Figure 5. - Diagramme chromatique dans le plan xy du standard CIE 1931 d'après [Sangwine et al.,
Les couleurs perceptibles sont comprises à l'intérieur de la courbe monochromatique pure
et de la droite passant par les radiations 380 nm et 700 nm.
Une combinaison des couleurs N et D (par exemple une surface de couleur C éclairée par
une lumière de couleur N) est toujours située sur la droite passant par ND.
Les composantes de cet espace ne sont pas aussi descriptives de la couleur que la teinte
ou la saturation. La composante Y est la meilleure approximation de la luminosité (lightness). Le
CIE recommande pour le point D, le terme de composante dominante de la couleur C éclairée
par une lumière N. Dans le cas de l'éclairage en lumière blanche, il correspond à la teinte (Hue).
Sa pureté définit par le rapport NC sur ND, correspond dans le cas de l'éclairage en lumière
blanche, à la saturation (Saturation).
Dans le plan x,y de la Figure 5 les coordonnées des références RVB et blanche (W) du
CIE sont :
15

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
x
x
x
x
R
V
B
W
= 0,735
= 0,274
= 0,167
= 0,333
y
y
y
y
R
V
B
W
= 0,265
= 0,717
= 0,009
= 0,333
La définition du blanc de référence est un peu différente pour les standards de télévision :
x 0 .313; y = 0.329 pour EBU RVB et x W
0 .310; y = 0. 316 pour FCC RVB
W
=
W
=
W
Dans la Figure 6, si on considère les points RVB correspondant au trois couleurs
primaires soit de l'acquisition par caméra, soit de l'affichage d'image couleur (les coordonnées de
ces points sont liées aux techniques d'acquisition et d'affichage et sont un peu différentes des
coordonnées des références RVB du CIE), seules les couleurs comprises à l'intérieur du triangle
de sommet RVB peuvent être acquises ou affichées.
Diagramme chromatique
CIE 1931
vert
jaune
blanc
rouge
bleu
RVB.
Figure 6. - Diagramme chromatique dans le plan xy du standard CIE avec le triangle des couleurs
On comprend ainsi pourquoi toutes les couleurs ne peuvent pas être représentées dans
l'espace CIE RVB.
D'autres espaces couleur sont utilisés par les standards de télévision, ils sont aussi
déduits de l'espace RVB par transformation linéaire. Ils utilisent, comme la télévision N&B, la
composante de luminance telle qu'elle est perçu par l'œil c'est à dire la composante Y de l'espace
XYZ. Les deux composantes de chrominance sont orthogonales à cet axe de luminance. Ces
composantes sont basées sur la différence de couleur : signal B-Y et signal R-Y. La
composante G étant la plus corrélée avec la luminance, les deux signaux de chrominance portent
sur les deux autres couleurs B et R.
16

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
2.1.4 Espace couleur YUV
C'est le standard européen (PAL et SECAM) utilisé en télévision.
A partir des composantes EBU RVB on a :
Y
U
V
= 0,222 R + 0,707V
= 0,493( B − Y )
= 0,877 ( R − Y )
+ 0,071B
La composante Y est identique à celle de l'espace XYZ. Les deux composantes couleur
UV forment un plan orthogonal à la diagonale R=V=B de l'espace RVB, mais la composante Y
n'est pas orthogonale à ce plan. Dans le plan UV on définit la teinte H et la saturation S :
H
S
UV
UV
⎛ V ⎞
= arctan⎜
⎟
⎝U
⎠
=
U
2
+ V
2
L'espace YUV est utilisé en traitement d'image, segmentation, compression.
2.1.5 Espace couleur YIQ
C'est le standard américain (NTSC) utilisé en télévision
A partir des composantes FCC RVB on a :
Y = 0,299 R + 0,587V
+ 0,114 B
I
= 0,596 R − 0,274V
− 0,322 B = 0,74 ( R − Y ) − 0,27 ( B − Y )
Q = 0,211R
− 0,523V
+ 0,312 B = 0,48( R − Y ) + 0,41( B − Y )
Comme dans l'espace YUV la luminance Y est identique à celle de l'espace XYZ. Dans le
plan IQ on définit la teinte H et la saturation S :
H
S
IQ
IQ
⎛ Q ⎞
= arctan⎜
⎟
⎝ I ⎠
=
I
2
+ Q
2
L'espace YIQ est aussi utilisé en traitement d'image, segmentation, compression.
2.1.6 Espace couleur YC b C r
C'est l'espace couleur [CIE, 1986] utilisé pour la compression d'images (format JPEG). A
partir des composantes EBU RVB on a [Adobe, 1992] :
17

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
Y
C
C
b
r
= 0,222 R + 0,707 V + 0,071B
= −0,119
R − 0,381 V + 0,500 B = 0,538( B − Y )
= 0,500 R − 0,454 V − 0,046 B = 0,643( R − Y )
A partir des composantes FCC RVB on a :
Y
C
C
b
r
=
0,299 R + 0,587V
+ 0,114 B
= −0,169
R − 0,331V
+ 0,500 B = 0,564( B − Y )
=
0,500 R − 0,418V
− 0,081B
= 0,713( R − Y )
Comme dans l'espace YUV la luminance Y est identique à celle de l'espace XYZ. Dans le
plan C b C r on définit la teinte H et la saturation S :
H
S
CbCr
CbCr
⎛ C
= arctan
⎜
⎝ C
=
C
2
b
r
b
+ C
⎞
⎟
⎠
2
r
2.1.7 Les signaux vidéo
Pour la transmission d'une image couleur chacune des trois composantes RVB a une
fréquence maximum de l'ordre de 5,5 Mhz. Afin de réduire la bande passante nécessaire à la
transmission, on code généralement ces trois signaux. Il existe actuellement trois systèmes de
codage des images de Télévision couleur appelés NTSC (en Amérique et au Japon), SECAM
(France, Russie, Afrique francophone) et PAL (Europe et autre pays). Dans les trois cas, les trois
signaux électriques vidéo représentant chacun une des composantes couleur de l'image RVB, sont
transformés en trois autres signaux : le premier correspond à un signal de luminance représentant
l'image en noir et blanc et les deux autres sont des signaux de chrominance correspondant aux
informations de couleur (voir espaces YUV et YIQ). La constitution de l'œil qui présente une
densité de capteurs de luminosité beaucoup plus importante que celle des capteurs de couleur,
fait qu'on peut se contenter d'une bande passante réduite d'environ 2 Mhz pour chacun des deux
signaux de couleur.
Dans le cas de la S-vidéo on dispose de deux signaux séparés : la luminance et un signal
contenant les deux signaux de chrominance. La bande passante de ces signaux n'est pas réduite et
correspond à celle indiquée ci-dessus.
Pour la vidéo classique, il a fallu créer un signal couleur occupant la même bande de
fréquence que le signal N&B précédent. Pour cela on a réduit la bande passante du signal de
luminosité à 3,8 Mhz et on a rajouté par modulation les composantes couleur mais limitées à une
bande passante de 0,6 Mhz. On obtient ainsi un seul signal : le signal vidéo composite. Le type de
modulation diffère suivant la norme de télévision (modulation de fréquence pour le SECAM,
modulation d'amplitude en quadrature pour le PAL qui est le standard le plus performant). Pour
18

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
le NTSC la bande passante de la composante I (proche du rouge) est de 1,5 Mhz, celle de la
composante Q (proche du bleu) de 0,5 Mhz afin de tenir compte des propriétés de l'œil pour ces
couleurs.
2.2 Espaces couleur non linéaires
2.2.1 Espace couleur HSI ou (IHS)
Cet espace est proche de l'espace YC 1 C 2 . On considère ici la luminosité I, la teinte H, et
la saturation S définies par [Sangwine et al., 1998] :
I
=
R + V + B
3
Dans le cas où R,V et B ne sont pas égales on définit la teinte par :
Si min(R,V,B)=B :
Si min(R,V,B)=R :
Si min(R,V,B)=V :
( V − B)
⎡ 3 ⎤
H =
π + arctan ⎢
⎥
3 ⎢⎣
( V − B)
+ ( R − B)
⎥⎦
( B −V
)
⎡ 3 ⎤
H = π + arctan ⎢
⎥
⎢⎣
( B − R)
+ ( G − R)
⎥⎦
( R − B)
5π
⎡ 3 ⎤
H = + arctan ⎢
⎥
3 ⎢⎣
( R −V
) + ( B −V
) ⎥⎦
parfois on donne une définition légèrement différente [Sangwine et al., 1998] :
V − B
Si min(R,V,B)=B : H =
3(
R + V − 2B)
B − R
Si min(R,V,B)=R : H =
+ 1/ 3
3( V + B − 2R)
R −V
Si min(R,V,B)=V : H =
+ 2 / 3
3( R + B − 2V
)
La saturation S a pour expression :
S
min( R + V + B)
min( R,
V , B)
= 1−
3
= 1−
R + V + B
I
La Figure 7 représente le cône des couleurs obtenues avec les composantes IHS.
19

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
Figure 7. - Cône des couleurs en composante HSI
Il existe différentes variantes des composantes HSI. Les espaces HSV et HLS sont du
même type.
Cette transformation n'est pas linéaire. Les coordonnées HIS comme tous les espaces
couleur non linéaires sont utilisées en segmentation lorsqu'on se réfère au comportement de la
vision humaine.
2.2.2 Espace couleur HSV
Dans le cas où R,V et B ne sont pas égales on définit la teinte par :
Si max(R,V,B)=R :
Si max(R,V,B)=V :
Si max(R,V,B)=B :
V=max(R,V,B),
H
=
1
6
V
max( R,
V , B)
−
−
1 ⎛
B
H = ⎜2
+
6 ⎝ max( R,
V , B)
B
min( R,
V , B)
−
−
R ⎞
⎟
min( R,
V , B)
⎠
1 ⎛
R −V
⎞
H = ⎜4
+
⎟
6 ⎝ max( R,
V , B)
− min( R,
V , B)
⎠
S
V − min( r,
v,
b)
= si V≠0, S=0 sinon.
V
20

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
vert
blanc
rouge
bleu
Figure 8. - Couleurs en composante HSV.
noir
2.2.3 Espace couleur HLS
Ce système couleur utilisé par les micro-ordinateurs est très voisin du HSV. Avec
max=max(R,V,B), min=min(R,V,B) et R,V,B compris entre 0 et 1 on a :
max+ min
Luminosité : L = ;
2
Si max=min : S=0
Si L≤0,5 saturation :
max−
min
S =
max+
min
sinon ; S
=
max−
min
2 − max−
min
⎛
⎜ou
S
⎝
=
max−
min ⎞
⎟
2x256
− max−
min ⎠
si on code sur 1 octet
teinte H définie comme pour le HSV
les valeurs H et S qui sont ici comprises entre 0 et 1 peuvent être multipliées par 256 pour
avoir une valeur codée sur un octet.
21

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
blanc
vert
rouge
bleu
Figure 9. - Couleurs en composante HLS.
noir
Cet espace permet de rendre compte du fait que la couleur est moins bien perçue pour les
faibles mais aussi pour les forts niveaux de luminosité. Ce type d'espace, HSV et HLS, est
souvent utilisé pour l'affichage d'images numériques. On passe dans ces espaces par une relation
non linéaire (min, max), ils se prêtent donc mal au traitement numérique.
D'autres espaces qui sont uniformes au niveau de la perception de la couleur sont
définis par le CIE et donnent de bons résultats en segmentation d'image couleur. La sensibilité de
l'œil à la couleur n'est pas uniforme comme l'indique sur la Figure 10 les ellipses de
MacAdam [MacAdam, 1985] qui représentent dans le plan CIExy des courbes correspondant à la
même sensation de variation de couleur. Ces courbes seraient des cercles de diamètres constants
si la perception était uniforme.
22

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
Figure 10. - Ellipses de MacAdam [MacAdam, 1985] d'iso perception dans le plan xy du standard
CIE 1931.
La forme de ces ellipses suggère que l'œil est une capteur de type logarithmique dont la
sensibilité relative est constante.
2.2.4 Espace couleur CIE L * a * b * ou CIELAB
L
a
b
*
*
*
⎛
= 116 f
⎜
⎝
Y
Y
⎡ ⎛
= 500 ⎢ f
⎜
⎣ ⎝
⎡ ⎛
= 200 ⎢ f
⎜
⎣ ⎝
n
⎞
⎟
⎠
X
X
Y
Y
n
n
−16
⎞ ⎛
⎟ − f
⎜
⎠ ⎝
⎞ ⎛
⎟ − f
⎜
⎠ ⎝
Y
Y
Z
Z
n
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
n
où
⎧x
⎪
f ( x)
= ⎨
⎪⎩
1/ 3
; si x > 0,008856
16
7,787x
+
116
et X n , Y n , Z n sont les stimulations d'un référence blanche considérée [Tremeau, 1993].
Pour les composantes couleur, on définit dans le plan a * -b * , la teinte H et la saturation S :
H
S
ab
ab
⎛ b * ⎞
= arctan⎜
⎟
⎝ a * ⎠
=
a *
2
+ b *
2
L'espace CIE L * a * b * est très utilisé en reconnaissance de la couleur.
23

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
2.2.5 Espace couleur CIE L * u * v *
L
u
v
*
*
*
⎛
= 116 f
⎜
⎝
= 13 L
*
= 13 L
*
Y
Y
n
⎞
⎟
⎠
( u'
−un
)
( v'
−v
)
n
−16
avec
4X
u'
=
X + 15Y
+ 3Z
9Y
v'
=
X + 15Y
+ 3Z
où
⎧x
⎪
f ( x)
= ⎨
⎪⎩
1/ 3
; si x > 0,008856
16
7,787x
+
116
et Y n , u n , v n sont les stimulations d'une référence blanche considérée [Nemcsics, 1993].
Pour les composantes couleur, on définit, dans le plan u*,v*, la teinte H et la saturation S :
H
S
uv
uv
v *
= arctan( )
u *
2 2
= u * + v *
Ces espaces ne sont pas transformés de l'espace RVB par une transformation linéaire
mais présentent l'intérêt d'être uniformes au niveau de la perception de la couleur par un
observateur humain [Shafarenko et al., 1998].
2.3 Décomposition soustractive de la couleur
On a parlé jusqu'à présent de la décomposition additive de la lumière en trois
composantes RVB. Ceci est utile quand on veut afficher une image par addition de trois
composantes. Dans le cas de l'impression on éclaire une surface par une lumière blanche
contenant toutes les couleurs. Certaines de ces couleurs ne sont pas réfléchies et la couleur
résultante correspond au blanc moins les couleurs absorbées.
La décomposition soustractive de la couleur se fait sur le jaune, le magenta et le cyan
comme c'est indiqué sur la Figure 11.
24

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
R
J
V
M
R
J
M
C
B
V
B
C
(a)
Figure 11. - Composition additive (a) et soustractive (b) de la couleur.
(b)
3. DISTANCE DANS L'ESPACE DES COULEURS
Pour comparer deux couleurs ou pour calculer un gradient dans une image couleur, une
distance entre deux couleurs doit être définie [MacAdam, 1985].
Il convient de différencier les calculs simples de distance entre deux couleurs et les calculs
plus complexes sur une image couleur comme des calculs de gradient, filtrage, segmentation etc.
Dans le premier cas on peut prendre indifféremment l'espace RVB ou un espace perceptuel
déduit de RVB par une transformation non linéaire, alors que dans le second cas on préfèrera
l'espace RVB, ou un espace transformé de RVB par une application linéaire, afin de conserver la
propriété d'additivité des couleurs.
3.1 Distance entre deux couleurs
La distance de base correspond à la norme euclidienne des écarts suivant les différentes
composantes. Dans chaque espace la formule varie suivant qu'on se place en coordonnées
cartésiennes ou en coordonnées polaires (teinte/saturation) [Anwander et al., 1998c ; Chassery et
al., 1984 ; CIE, 1976 ; Lasserre et al., 1997 ; Schettini, 1993 ; Wyszecki et al., 1982]. Les indices 1
et 2 désignent les deux couleurs.
Espace couleur RVB :
∆
E RGB
=
∆R
2
+ ∆V
2
+ ∆B
2
Espace couleur YC 1 C 2 :
∆
2 2 2
E C 1 C
= ∆Y
+ ∆C
2
1
+ ∆C2
∆ E
C
=
∆Y
2
+ ∆S
+ S
∆H
( 2
C
)
,1 ,2
(
1C2
C1C
2 C1C
2 C1
2
1C2
C
S
)
2
25

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
Espace couleur XYZ :
∆
E XYZ
=
∆X
2
+ ∆Y
2
+ ∆Z
2
Espace couleur YUV [:
∆
E UV
∆ E
UV
=
=
∆Y
∆Y
2
2
+ ∆U
+
2
∆S
+ ∆V
2
+ S
∆H
2
(
UV
)
UV ,1 UV ,2(
UV
S
)
2
Espace couleur YIQ :
∆
E IQ
∆ E
IQ
=
=
∆Y
∆Y
2
2
+ ∆I
+
2
∆S
+ ∆Q
2
+ S
∆H
2
(
IQ
)
IQ,1
IQ,2(
IQ
S
)
2
Espace couleur YC b C r [Anwander et al., 1998c] :
∆ E
C b C r
=
∆Y
2
+ ∆C
2
b
+ ∆C
2
r
∆ E
CbCr
=
∆Y
2
+
∆S
+ S
∆H
( 2
C
)
,1 ,2
(
bCr
CbCr
CbCr
CbC
r
avec S CbCr,1 et S CbCr,2 la saturation de la couleur 1 et 2.
S
)
2
Espace couleur HSI [Chassery et al., 1984] :
∆ E
C
b C r
=
∆Y
2
+
2
2 ⎛ S1
+ S
2 ⎞
( S)
( ∆H
∆
+ ⎜
⎝
2
⎟
⎠
)
2
Espace couleur CIELuv :
∆
E uv
=
2
∆L
+ ∆u
2
+ ∆v
2
2 2
2
∆ Euv
= ∆L
+ ∆Suv
+ ∆H
uv
avec ∆ H
uv
= p 2( Suv, 1
* Suv,2
− u1u2
− v1v2
)
et
p = − siu v u v et 1
1
1 2
>
2 1
ailleurs
Espace couleur CIELab :
∆
E ab
=
2
∆L
+ ∆a
2
+ ∆b
2
26

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
2 2
2
∆ Eab
= ∆L
+ ∆Sab
+ ∆H
ab
avec ∆ H
ab
= p 2( S
ab, 1
* S
ab,2
− a1a2
− b1b2
)
et
p = − si a b a b et 1
1
1 2
>
2 1
ailleurs
Des formules plus complexes peuvent être utilisées.
3.2 Pondération du gradient luminance
Dans les espaces autres que RVB où il existe une composante luminance, une distance
pondérée peut être calculée selon les caractéristiques d'image (grande variance de la luminance et
faible saturation de couleur). Par pondération de la luminance avec un facteur α, l'influence de
niveau de gris sur la norme |∆E| peut être réduite et l'apport de la couleur augmenté. Par
exemple dans l'espace YC b C r [Anwander et al., 1998c].
∆E
= α
C b C r
∆E
= α
CbCr
2 2 2
( ∆Y
) + ∆Cb
+ ∆Cr
( 2
2
∆Y
) + ( ∆SC
)
,1 ,2
(
bC
+ S
r CbC
S
r CbC
∆H
r CbC
r
)
2
3.3 Calcul du véritable gradient vectoriel
Normalement, le gradient est défini sur une grandeur scalaire (par exemple le niveau de
gris pour une image N&B), dans le cas d'une image couleur on doit calculer le gradient d'une
grandeur vectorielle de dimension 3 [Lee et al., 1991], les trois composantes RVB par exemple.
Dans les formules précédentes le gradient couleur correspond à la norme euclidienne des
gradients de chacune des composantes.
4. CAMERAS COULEUR ET CARTE D'ACQUISITION
Pour le choix d'une caméra couleur plusieurs critères entrent en ligne de compte :
• sortie analogique ou numérique
• caméra continue ou mono coup
• caméra mono-capteur ou trois capteurs
• sortie RVB ou vidéo composite
• taille du capteur
• qualité des lentilles
Le choix dépend bien sûr du budget dont on dispose.
27

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
4.1 Sortie analogique ou numérique
Les caméras numériques, où le convertisseur analogique/digital est juste derrière le
capteur CCD, offrent pour un prix plus élevé une résolution plus importante (3000x4000 ou
plus) avec possibilité d'une quantification sur plus de 8 bits (une quantification sur 12 bits
correspond à un rapport signal sur bruit SNR=72dB). Les cartes d'acquisition standard associées
à une caméra analogique fournissent une définition d'environ 750x500 sur 8 bits (elle dispose
généralement d'un SNR de 48 dB)
4.2 Caméra mono-capteur ou trois capteurs
Lorsqu'on s'intéresse à l'acquisition d'images couleur (caméra et carte d'acquisition), deux
approches différentes peuvent être distinguées :
• Soit le traitement numérique d'image couleur est l'objectif premier de l'acquisition.
Dans ce cas, on utilise une caméra avec trois capteurs CCD et une carte d'acquisition
numérisant les signaux distincts RVB (rouge, vert, bleu). Ces trois signaux, ou dans un
espace plus perceptuel la luminosité, la teinte et la saturation, présentent la même
bande passante et les traitements numériques peuvent être appliqués indifféremment
sur chaque composante.
• Soit le système d'acquisition répond seulement à un besoin de visualisation et de
stockage des images couleur. Il se compose alors, pour des raisons bien
compréhensibles de prix, d'une simple caméra couleur mono-CCD associée à une
carte d'acquisition comportant un seul convertisseur pour le signal vidéo couleur. La
résolution d'une caméra matricielle dépend du nombre d'éléments photosensibles de
son capteur CCD. Une caméra couleur trois-CCD est construite autour de trois
capteurs d'une taille identique pour les trois canaux de l'image couleur. Tandis qu'une
caméra couleur mono-CCD utilise un seul capteur CCD couleur. Cette matrice est
dotée de filtres chromatiques différents pour chaque élément dans un ordre vertical
ou mosaïque Figure 12.
V R V
B V B
V R V
V R B
V R B
V R B
Figure 12. - Exemple de filtres chromatiques dans une caméra mono-CCD.
Ce type de système permet aussi d'accéder aux signaux "primaires" RVB mais ils ne sont
alors qu'artificiellement reconstruits par l'électronique de l'acquisition. La résolution de la
luminance correspond à la taille du capteur élémentaire, mais la définition des signaux de couleur
est réduite d'un facteur d'environ 2 à 3. Ce sous-échantillonnage est lié à l'utilisation d'un seul
capteur. La caméra prend ainsi directement en compte, au niveau de l'acquisition, les
caractéristiques de la vision humaine et principalement le fait que la résolution de la luminosité
28

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
soit plus grande que celle associée aux composantes couleur. La transmission des images vidéo
couleur utilise également ces caractéristiques et réserve seulement une petite partie de la bande
passante aux composantes couleur. Ceci n'est pas gênant pour la visualisation mais pour les
traitements éventuels.
Le prix d'une caméra 3 capteurs est, bien sur, plus élevé. Mais pour une reproduction
précise de la couleur avec une résolution spatiale identique pour toutes les composantes il est
indispensable de prendre une caméra à trois capteurs, un par canal RVB.
Dans la littérature sur le traitement numérique d'images couleur, on rencontre
généralement l'hypothèse de l'utilisation d'une caméra trois CCD. En pratique, un algorithme de
traitement qui utilise une chaîne d'acquisition mono-CCD, comme cela est souvent le cas, doit
tenir compte du sous-échantillonnage des signaux de couleur. La numérisation du signal vidéo
introduit une résolution spatiale fictive et identique pour les trois canaux. Le manque
d'information dans les signaux couleur, produit par la bande passante réduite du signal vidéo, ou
par le sous-échantillonnage dans la caméra, se traduit par une définition réduite et un niveau de
bruit augmenté pour ces composantes.
4.3 Sortie composite vidéo ou RVB
Le signal composite, fait pour la visualisation des images, n'offre pas la même bande
passante et donc pas la même résolution spatiale pour la luminosité et pour les signaux de
couleur. Dans le cas d'une caméra à 3 capteurs, il est indispensable d'avoir une liaison RVB entre
la caméra et la carte d'acquisition, carte qui doit numériser séparément les trois canaux RVB.
Dans le cas d'une caméra 1 capteur, le signal vidéo composite offre probablement un meilleur
rapport signal sur bruit qu'une sortie RVB qui n'est alors qu'artificiellement reconstruite.
5. CONCLUSION
D'après l'étude détaillée dans ce chapitre sur la couleur, on peut considérer qu'il n'y a pas
d'espace couleur normalisé idéal pour une application donnée. Cependant quelques espaces sont
à retenir. L'espace XYZ qui est la référence pour la mesure quantitative de la lumière. La
composition additive des couleurs est réalisée dans l'espace RVB. Des espaces spécifiques
existent pour les signaux vidéo. Pour effectuer des calculs complexes sur une image couleur,
l'espace YC b C r est bien adapté car plus proche de la perception humaine tout en conservant les
propriétés d'additivité. Pour caractériser la différence perceptuelle entre les couleurs, l'espace
CIELab est plus proche de la vision humaine.
Rappelons que l’image couleur à laquelle nous nous intéressons est issue d’un capteur
optique placé dans un environnement peu hostile. De plus, les produits analysés sont des
produits naturels transformés par un procédé industriel. L’image associée peu bruitée présente
alors une information "contour couleur" intéressante pour une segmentation par approche
frontière. C'est pourquoi le chapitre 3 présente une étude concernant la détection de contours
29

INTRODUCTION AU TRAITEMENT D'IMAGES COULEUR.
couleur adaptée à ce type d'images dans le cas d'une acquisition par une caméra mono CCD.
L'espace couleur choisi pour cette étude est YC b C r , qui nous permet de séparer les composantes
luminances et chrominance, la composante luminance ayant une résolution supérieure aux
composantes couleur. De plus, l'espace YC b C r est un espace linéaire, donc bien adapté au calcul
du gradient vectoriel pour la recherche des contours.
30

Chapitre 3
GRADIENT COULEUR MULITECHELLE
(GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
Ce chapitre reprend l'article "Gradient couleur multiéchelle pour la segmentation
d'images" à paraître dans le volume 2 de l'année 2001 de la revue "Traitement du Signal". Il
présente l'opérateur "Gradient couleur multiéchelle" (GCM) pour le calcul du gradient adapté aux
images couleur de type vidéo ou acquises par une caméra mono-CCD.
1. Introduction......................................................................................................33
2. Problématique d'images vidéo couleur............................................................34
2.1 Caractéristiques de l'œil et normes vidéo................................................................34
2.2 Espace des couleurs...................................................................................................36
2.3 Étude de la nature des images vidéo .......................................................................37
3. Gradient couleur ...............................................................................................38
3.1 Approche scalaire.......................................................................................................39
3.2 Approche vectorielle..................................................................................................39
4. Gradient Couleur Multiéchelle (GCM) proposé............................................... 41
4.1 Calcul des dérivées partielles ....................................................................................41
4.2 Pondération des composantes couleur ...................................................................43
4.3 Détermination du module et de la direction du gradient .....................................44
5. Segmentation par approche contour ................................................................45
5.1 Détection des contours .............................................................................................45
5.2 Contours actifs ...........................................................................................................46
6. Applications ......................................................................................................47
6.1 Application industrielle .............................................................................................47
6.2 Application à d’autres images acquises avec une caméra mono-CCD...............51
7. Conclusions.......................................................................................................52
Remerciements .................................................................................................53
31

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
Gradient couleur multiéchelle
pour la segmentation d'images 1
Multiscale Color Gradient
for Image Segmentation
par Alfred ANWANDER a, b , Bruno NEYRAN a , Atilla BASKURT c
a CREATIS, Unité de recherche CNRS (UMR 5515), affiliée à l'INSERM
INSA de Lyon, Bat. 502, 69621 Villeurbanne Cedex
b Lafarge Ciments, Centre de Viviers
c LIGIM, EA 1899, Université Claude Bernard Lyon 1
Résumé
Cet article présente une nouvelle méthode de calcul du gradient d'une image couleur de
type vidéo. Ces images multispectrales ont la particularité, soit pour la transmission soit pour le
stockage, de présenter une bande passante réduite des composantes couleur par rapport à celle de
la luminosité. L'utilisation des méthodes classiques de calcul du gradient multispectral amplifie le
bruit présent dans les composantes couleur. Nous reprenons le gradient vectoriel de Lee et
Cok [Lee et al., 1991] en introduisant le calcul des dérivées partielles à une échelle différente
suivant la composante traitée. Nous montrons qu'une pondération est nécessaire entre les
dérivées des composantes couleur et celle de la composante luminosité pour obtenir le gradient
couleur multiéchelle (GCM). La mise en œuvre du GCM sur des images microscopiques couleur
illustre les avantages de notre méthode. L'apport du GCM est montré avec des résultats de
détection de contour effectuée sur l'image gradient. Enfin, une segmentation par contours actifs
des cristaux de clinker de ciment (application industrielle) est également mise en œuvre à partir de
l'image gradient issu du GCM.
1 Cet article est accepté pour publication dans le revue "Traitement du signal".
32

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
Abstract
This paper presents a new gradient model for video colour images. These multispectral
images have the characteristic, either for the transmission or for storage, to present a reduced
bandwidth of colour components compared to that of luminosity. The use of traditional
methods of determination of the multispectral gradient amplifies the noise from the colour
components. We adapt the vector gradient from Lee and Cok [Lee et al., 1991], and introduce
the computation of the partial derivatives at different scales according to the resolution of each
component. We show that a weight is necessary between the derivatives of colour and luminosity
components to obtain the multiscale colour gradient (MCG). The application of the MCG on
microscopic colour images illustrates the advantages of our method. The contribution of the
MCG is shown with results of edge detection from the gradient image. Finally, segmentation by
active contours of crystals in microscopic images of cement clinker (industrial application) is
realised using the MCG image.
1. INTRODUCTION
Durant les dernières années, l'utilisation de caméras couleur et les traitements d'images
couleur se sont considérablement développés. La mise en œuvre de ces traitements se fait en
prenant quelques précautions suivant le mode d'acquisition de ces images.
Lorsqu'on s'intéresse à l'acquisition d'images couleur (caméra et carte d'acquisition), deux
approches différentes peuvent être distinguées :
• Soit le traitement numérique d'image couleur est l'objectif premier de l'acquisition.
Dans ce cas, le système est composé d'une caméra avec trois capteurs CCD et d'une
carte d'acquisition numérisant les signaux distincts RVB (rouge, vert, bleu). Ces trois
signaux, ou dans un espace plus perceptuel la luminosité, la teinte et la saturation,
présentent la même bande passante et les traitements numériques peuvent être
appliqués indifféremment sur chaque composante.
• Soit le système d'acquisition répond seulement à un besoin de visualisation et de
stockage des images couleur. Il se compose alors, pour des raisons bien
compréhensibles de prix, d'une simple caméra couleur mono-CCD associée à une
carte d'acquisition comportant un seul convertisseur pour le signal vidéo couleur. Ce
type de système permet aussi d'accéder aux signaux "primaires" RVB mais ils ne sont
alors qu'artificiellement reconstruits par l'électronique de l'acquisition. La caméra
prend directement en compte, au niveau de l'acquisition, les caractéristiques de la
vision humaine et principalement le fait que la résolution de la luminosité soit plus
grande que celle associée aux composantes couleur. La transmission des images vidéo
couleur utilise également ces caractéristiques et réserve seulement une petite partie de
la bande passante aux composantes couleur.
Dans la littérature sur le traitement numérique d'images couleur, on rencontre
généralement l'hypothèse de l'utilisation d'une caméra trois CCD. En pratique, un algorithme de
traitement qui utilise une chaîne d'acquisition mono-CCD, comme cela est souvent le cas, doit
tenir compte du sous-échantillonnage des signaux de couleur. La numérisation du signal vidéo
33

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
introduit une résolution spatiale fictive et identique pour les trois canaux. Le manque
d'information dans les signaux couleur, produit par la bande passante réduite du signal vidéo, ou
par le sous-échantillonnage dans la caméra, se traduit par une définition réduite et un niveau de
bruit augmenté pour ces composantes. Cette caractéristique est particulièrement gênante, pour
l'application d'un opérateur gradient couleur.
Dans cette étude, nous nous intéressons au calcul du gradient couleur dans le cas
défavorable d'acquisition avec une caméra couleur mono-CCD. Quand on considère le calcul du
gradient d'images multi-composantes ou vectorielles, on rencontre deux approches. La première
consiste à fusionner les résultats du calcul séparé du gradient de chaque composante (approche
gradient scalaire) [Blomgren et al., 1998]. La deuxième prend en compte, dès le départ,
l'information vectorielle dans le calcul du gradient (approche gradient vectoriel) [Blomgren et al.,
1998 ; Lee et al., 1991 ; Sapiro, 1996 ; Sapiro et al., 1996]. Ces calculs sont menés dans l'espace
RVB. Pour tenir compte des caractéristiques spectrales différentes des composantes couleur dans
un espace séparant la luminance et la chrominance, nous présentons un gradient couleur vectoriel
multiéchelle, appelé ici GCM. Les calculs du gradient sont alors menés dans l'espace YC b C r .
Nous présentons dans le paragraphe 2 les caractéristiques de l'œil et ses conséquences sur
la bande passante retenue pour les différentes normes vidéo. Dans le paragraphe 3, nous
présentons les travaux existants sur le calcul du gradient d'image couleur. Le gradient couleur
multiéchelle est développé au paragraphe 4. Dans le paragraphe 5, nous rappelons rapidement
deux utilisations du gradient pour la segmentation. Le paragraphe 6 présente la mise en œuvre du
GCM principalement sur des images microscopiques couleur de clinker. La détection des
contours à partir du GCM est comparée avec les contours obtenus à partir d'un gradient
classique. Une segmentation par contours actifs à partir du GCM illustre l'apport du GCM dans
la segmentation d'images couleur. Il s'agit dans cette phase de généraliser la segmentation par
contour actif aux données vectorielles couleur en tenant compte des caractéristiques spectrales
différentes des composantes. Les conclusions sont présentées au paragraphe 7.
2. PROBLEMATIQUE D'IMAGES VIDEO COULEUR
Même si notre objectif est d'effectuer le traitement d'images vidéo couleur, ce type
d'image est plutôt destiné à être observé par un opérateur humain. Les caractéristiques de ces
images et leur mode d'acquisition sont donc très liés aux propriétés de la vision humaine.
2.1 Caractéristiques de l'œil et normes vidéo
L'œil visualise le monde avec une résolution limitée. La rétine sépare deux points proches
seulement s'ils sont éloignés d'une distance minimale. Cette distance dépend de la coloration des
objets. L'étude de la sensibilité de l'œil aux fréquences spatiales aboutit pour la composante
achromatique à une fréquence de coupure moyenne de 6 cy/d° (cycles par degré) [Mullen, 1985],
alors qu'elle n'est qu'entre 1 à 2 cy/d° pour les signaux chromatiques [Bedat, 1998]. Le système
visuel humain est environ trois fois moins sensible aux détails spatiaux dans la chrominance que
34

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
dans la luminance. La Figure 13 représente la sensibilité humaine au contraste comme fonction
des fréquences spatiales exprimées en cycles par degré de l'angle visuel.
Sensibilité humaine (log)
rouge/vert
luminance
0,1 1 10 100
Fréquence spatiale (cycles par degré)
Figure 13. - Fonction de sensibilité au contraste pour la luminance et les couleurs rouge/vert
d'après [Sangwine et al., 1998].
Pour un signal dont la teinte varie entre les couleurs complémentaires bleue/jaune, le
comportement passe-bas de l'œil est plus important que celui des couleurs rouge/vert et n'est pas
représenté ici.
La résolution d'une caméra matricielle dépend du nombre d'éléments photosensibles de
son capteur CCD. Une caméra couleur trois-CCD est construite autour de trois capteurs d'une
taille identique pour les trois canaux de l'image couleur. Tandis qu'une caméra couleur mono-
CCD utilise un seul capteur CCD couleur. Cette matrice est dotée de filtres chromatiques
différents pour chaque élément dans un ordre vertical ou mosaïque (Figure 14).
V R V
B V B
V R V
V R B
V R B
V R B
Figure 14. - Exemple de filtres chromatiques dans une caméra mono-CCD.
Des techniques de filtrage des signaux des éléments photosensibles, comme dans le cas de
la rétine de l'œil [Beaudot, 1994], permettent de restituer une image couleur dans un espace qui
sépare la luminance et la chrominance [Kimmel, 1999]. La résolution de la luminance correspond
à la taille du capteur élémentaire, mais la définition des signaux de couleur est réduite d'un facteur
d'environ 2 à 3. Ce sous-échantillonnage est lié à l'utilisation d'un seul capteur.
Les normes vidéo PAL et SECAM définissent un espace couleur où les trois composantes
sont moins corrélées que dans l'espace d'acquisition RVB PAL . Cette espace couleur YUV PAL
permet de dissocier la composante luminance Y des composantes couleur UV. Le codage des
composantes du signal vidéo analogique utilise des bandes passantes adaptées à la résolution
spatiale de l'œil. Les bandes passantes du signal S-vidéo sont de 5,5 Mhz pour la luminance Y et
seulement de 2 Mhz pour les signaux de couleur UV. Celles du signal vidéo composite sont
respectivement de 3,8 Mhz et de 0,6 Mhz. En conséquence, dans le cas d'un codage en vidéo
35

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
composite, une image issue d'une caméra couleur mono-CCD subit un sous-échantillonnage des
composantes couleur encore plus important que l'image directement reconstruite par la caméra.
Cette imperfection reste quasi-imperceptible à l'œil en raison des limitations spatiales de la rétine.
2.2 Espace des couleurs
Les coefficients de normalisation des signaux UV de la norme vidéo PAL et SECAM sont
appropriés pour la vidéo analogique afin de réduire la bande passante utilisée. Concernant la
vidéo numérique, la transformation des images RVB dans l'espace couleur YC b C r [Adobe, 1992]
permet de mieux utiliser les 8 bits de dynamique des composantes couleur. La littérature propose
plusieurs définitions de la transformation RVB vers YC b C r . Elles diffèrent essentiellement par la
nature des capteurs et phosphores RVB utilisés. Les couleurs primaires rouge, vert et bleu sont
notamment spécifiées différemment pour les normes de la télévision européenne et américaine.
Pour les définitions européennes, la transformation de l'espace RVB PAL en YC b C r [Adobe, 1992]
est définie par :
Y
C
C
b
r
= LumaRouge × R + LumaVert × V + LumaBleu × B
=
=
( B − Y ) ( 2 − 2 × LumaBleu)
( R − Y )/
( 2 − 2 × LumaRouge)
/ ( 1 )
avec les pondérations ( 2 ) qui indiquent la contribution de chaque couleur primaire à la
luminance Y [Sangwine et al., 1998] :
on obtient :
LumaRouge = 0,222
LumaVert = 0,707
LumaBleu = 0,071
( 2 )
⎛ Y ⎞ ⎛ 0,222
⎜ ⎟ ⎜
⎜Cb
⎟ = ⎜−
0,119
⎜ ⎟ ⎜
⎝Cr
⎠ ⎝ 0,5
0,707
− 0,381
− 0,454
0,071 ⎞ ⎛ R
⎟ ⎜
0,5 ⎟ ⎜V
− 0,046 ⎟ ⎜
⎠ ⎝ B
PAL
PAL
PAL
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
( 3 )
Pour les couleurs primaires de la norme américaine RVB NTSC , on utilise des
pondérations différentes et on obtient une matrice de transformation différente. Les formules
( 1 ) restent valables quel que soit le système utilisé.
36

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
2.3 Étude de la nature des images vidéo
Afin d'illustrer le comportement passe-bas de la chaîne d'acquisition pour la chrominance,
nous avons comparé les longueurs de transition entre deux objets couleur pour les trois
composantes Y, C b , C r , dans une image réelle. La ligne D dans la Figure 15a indique la position
du profil analysé. La Figure 15b représente le niveau des trois composantes.
a
D
valeur
composante
180
160
140
120
100
b
80
60
Y Cb Cr
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
distance en pixel
Figure 15. - a) Transition entre deux cristaux de clinker de ciment (image microscopique) de couleur
différente ; b) Variations des composantes YC b C r suivant la ligne D.
Nous remarquons que la transition est beaucoup plus rapide pour la composante Y
(environ 4 pixels entre deux paliers) que pour la composante rouge-vert C r (environ 12 pixels).
Ce rapport d'environ 1 sur 3 correspond aussi au rapport des bandes passantes d'une image S-
vidéo (2/5,5), ainsi qu'au rapport des fréquences de coupure de la sensibilité de l'œil (Figure 13).
Dans cet exemple, l'influence de la composante C b est faible pour la localisation du contour.
Le comportement passe bas de la chaîne d'acquisition pour les composantes couleur est
également visible dans l'image des différentes composantes dans un espace luminancechrominance.
La Figure 16 représente une section d'une image microscopique couleur et ses
composantes YC b C r après recadrage de l'histogramme de chaque image.
37

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
a, RVB b, Y
c, Cb d, Cr
Figure 16. - a) Zoom sur une image couleur ; b) luminance Y de l'image ; c) chrominance C b ;
d) chrominance C r .
Les images des deux composantes de la chrominance C b et C r (Figure 16c et d) montrent
la nature basse résolution de la chaîne d'acquisition. Les bords des objets sont moins nets que sur
l'image de la luminance Y. La basse résolution des composantes C b et C r n'est pas liée aux images
étudiées mais aux particularités de la chaîne d'acquisition : caméra mono-CCD et transmission
par signal S-vidéo. De plus, les images présentent un effet de lignage dû à la norme vidéo qui
transmet les lignes paires et impaires séparément. Le résultat est un bruit haute fréquence sur les
colonnes de l'image. Ces deux caractéristiques induisent des difficultés dans la segmentation de
l'image couleur. Une première détection de contours peut être faite en utilisant seulement la
luminance Y. La détection des contours couleur, qui ne sont pas ou peu visibles dans l'image de
la luminance (voir les régions indiquées avec un cercle dans la Figure 16), nécessite l'information
chrominance pour être détectés. L'intégration des trois composantes de caractéristiques
différentes (en particulier en résolution et niveau de bruit), exige un opérateur de détection de
contours spécialisé qui est présenté dans les paragraphes suivants.
3. GRADIENT COULEUR
Le calcul du gradient des images multi-composantes ou vectorielles peut se faire suivant
deux approches. La première consiste à traiter chaque composante séparément de manière
identique à une image scalaire puis à fusionner les résultats (approche gradient scalaire). La
deuxième est de prendre en compte, dès le départ, l'information vectorielle dans le calcul du
gradient (approche gradient vectoriel).
38

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
3.1 Approche scalaire
i = 1, 2,...,
m
Soit une image multi-composante I(
x,
y)
: R 2 → R avec les composantes (x, y) : R 2 → R ,
m
. La définition du gradient porte sur un champ scalaire. Si on effectue la somme
algébrique du gradient calculé sur chacune des composantes, les signes opposés des différentes
composantes peuvent aboutir à une compensation du gradient d'une composante par une autre.
La norme L2 peut alors être utilisée pour calculer le gradient scalaire défini par la racine carrée de
la somme du carré du gradient calculé indépendamment sur chaque composante :
I i
∇
sca
m
∑
i=
1
m
2
(( I ) ) + ( I )
∑ (
i
)
y
I =
( 4 )
i
x
i=
1
2
Cette méthode permet de ne calculer que la norme du gradient, et non pas sa direction de
part l'absence d'information sur le signe des composantes x et y . Comme les algorithmes de
détection des contours utilisent la direction du gradient pour la recherche des maxima locaux,
nous avons choisi la direction du gradient de la composante luminance comme approximation.
3.2 Approche vectorielle
Di Zenzo [Di Zenzo, 1986] a introduit une définition du gradient d'une image multicomposante
dans l'espace couleur RVB. Il propose une extension du gradient scalaire en utilisant
des notations de tenseur. Lee et Cok [Lee et al., 1991] utilise la généralisation mathématique du
gradient d'un champ scalaire à un champ vectoriel. Cette approche a été étendue par
Sapiro [Sapiro, 1996 ; Sapiro et al., 1996] et Blomgren et Shan [Blomgren et al., 1998]. Le gradient
vectoriel est défini comme les variations locales de l'image vectorielle. La différence entre les
valeurs de I aux points P et Q est donnée par : ∆I
= I( P)
− I(
Q)
(c'est la longueur d'arc dans l'espace
). Si la distance dans l'image d( P,
Q entre P et Q tend vers zéro, la différence vectorielle
m
R )
devient l'élément d'arc :
∂I
∂I
d I = dx + dy
( 5 )
∂x
∂y
Pour trouver la direction des variations locales maximales et sa valeur associée, nous
prenons la norme au carré de la variation vectorielle de I :
2
2 ⎛ ∂I
⎞ ⎛ ∂I
⎞ ⎛ ∂I
⎞ ⎛ ∂I
⎞
x ⎜ y ⎟ x ⎜ y ⎟
( 6 )
⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠
( d I) = ⎜ dx⎟
+ ⎜ dy⎟
+ 2⎜
⎟ ⎜ ⎟ dxdy
2
T
39

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
La forme quadratique ( 6 ) est appelée première forme fondamentale [Bronshtein et al., 1985]
m
d'une surface dans l'espace paramétrée par ( x,
y . Elle peut être écrite sous la forme
matricielle :
R )
I 2 E F dx
⎜ ⎟ ⎜
⎝ F G⎠
⎝dy
123
( 7 )
M
( d ) = ( dx dy) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎠
avec
⎧
2 2 2
⎪ ⎛ ∂R
⎞ ⎛ ∂V
⎞ ⎛ ∂B
⎞
E = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎪ ⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂x
⎠
⎪
∂R
∂R
∂V
∂V
∂B
∂B
⎨F
= + +
⎪ ∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
⎪
2 2 2
⎪ ⎛ ∂R
⎞ ⎛ ∂V
⎞ ⎛ ∂B
⎞
G = + +
⎪
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎩ ⎝ ∂y
⎠ ⎝ ∂y
⎠ ⎝ ∂y
⎠
( 8 )
Les variations de I sont extrémales dans les directions des vecteurs propres
cosθ 1,2
, sinθ1,2
) de la matrice M . La direction des vecteurs propres et leur valeur propre
(
T
associée sont données respectivement par ( 9 ) et ( 10 ).
1 2F
θ1
= arctan
2 E − G
θ = θ + π / 2
2
1
( 9 )
1 ⎛
2 2
λ ( )
⎞
1,2
= ⎜ E + G ± E − G + 4F
⎟ ( 10 )
2 ⎝
⎠
La plus grande valeur propre λ 1 de la matrice M est égale à la valeur maximale de la
forme quadratique ( 6 ). La direction θ 1 du vecteur propre associé correspond à la direction
(modulo π) du gradient vectoriel. Le signe du gradient reste indéfini. Pour une image scalaire, la
matrice M a seulement une valeur propre λ 1 différente de zéro. Elle est égale au module carré du
gradient. Dans ce cas, le module du gradient est donc défini comme la racine carrée de λ 1 :
∇I =
( 11 )
λ 1
Pour un pixel d'une image I vectorielle, la deuxième valeur propre λ 2 peut être nonnulle.
La variation minimale de I associée à ce point est alors non-nulle. Dans ce cas, les
contours ne sont pas seulement caractérisés par λ mais par la prédominance de cette valeur par
1
40

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
rapport au λ 2 . Sapiro [Sapiro, 1996 ; Sapiro, 1997 ; Sapiro et al., 1996] propose de calculer le
gradient vectoriel à travers une fonction de λ 1 et λ 2 . Il donne un choix cohérent par la norme :
∇
I
=
λ −
vec 1
λ 2
( 12 )
Prendre la différence des valeurs propres à la place de la plus grande valeur permet de
réduire le bruit dans l'image de gradient. Blomgren et Chan [Blomgren et al., 1998] proposent de
tenir compte des deux valeurs propres en considérant leur somme.
∇
I
=
λ +
vec 1
λ 2
( 13 )
4. GRADIENT COULEUR MULTIECHELLE (GCM) PROPOSE
Le Gradient Couleur Multiéchelle (GCM) que nous proposons dans cette étude, est une
extension du gradient vectoriel aux images vidéo couleur. De part l'origine (caméra mono-CCD
et signal S-vidéo), les composantes YC b C r sont de nature (luminance et chrominance) et de bande
passante différentes. Cette particularité n'est aucunement prise en compte si le calcul du gradient
vectoriel est effectué sur les composantes RVB. En effet, cet espace ne permet pas de distinguer
la nature différente des composantes luminance et chrominance. Nous proposons de calculer le
gradient vectoriel dans l'espace YC b C r en adaptant ce calcul à la nature et à la bande passante de
ces composantes. Afin de tenir compte des différentes bandes passantes, le calcul du gradient se
fait par un traitement à une échelle différente sur la luminosité et sur la couleur. Le facteur
d'échelle est intégré dans le calcul numérique des dérivées partielles. Pour tenir compte de la
nature des composantes, elles sont ensuite pondérées en fonction de leur contenu
informationnel.
4.1 Calcul des dérivées partielles
L'image couleur
I( x,
y)
: R → R
2
3
est une fonction vectorielle de dimension 3 (YCbC r ) du
plan image ( x , y)
. La matrice D des dérivées spatiales partielles de l'image I = ( , I I ) T est
définie par :
I1 2 , 3
⎛ ∂I
⎜
D ( x,
y)
= ⎜∂I
⎜
⎝∂I
1
2
3
/ ∂x
/ ∂x
/ ∂x
∂I
∂I
∂I
1
2
3
/ ∂y
⎞
⎟
/ ∂y⎟
/ ∂y
⎟
⎠
( 14 )
41

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
Les filtrages numériques correspondants aux éléments de la matrice D (dérivation
précédée d'un lissage) doivent être adaptés aux caractéristiques fréquentielles de chacune des
composantes. Ce traitement peut être fait par l'approximation discrète des dérivées partielles
∂ I i / ∂x et ∂ / ∂y
par l'opérateur de Canny-Deriche [Deriche, 1990] qui est optimal au sens de la
I i
détection et de la localisation des contours. Cet opérateur intègre les étapes de dérivation et de
lissage et permet un réglage de l'échelle spatiale avec un paramètre de filtrage α . La réponse
impulsionnelle ( x,
y)
du filtre séparable de lissage de Deriche est définie par :
f α
f x,
y)
k( α x + 1)
α
−α
x
−α
y
( e ) ( k( α y + ) e )
( = 1
( 15 )
avec un coefficient de normalisation k = α / 4
. Une valeur faible du paramètre de filtrage
α donne une réponse impulsionnelle assez étendue, tandis qu'une valeur élevée rend la réponse
impulsionnelle étroite.
Le calcul du gradient se fait à partir des dérivées selon x et y du produit de convolution
d'une composante de l'image couleur I i avec le filtre de lissage f : ( x,
y)
* f ( x,
y)
. Avec la
dérivation de l'opérateur séparable, on obtient les filtres de dérivation suivant x et y :
α
I i
α
∂f
∂f
α
α
( x,
y)
∂x
( x,
y)
∂y
= η x e
= η y e
−α
x
−α
y
( α y + 1)
e
−α
y
−α
x
( α x + 1) e
( 16 )
avec une constante de normalisation
3
η = −α /4
[Cocquerez et al., 1995]. La dérivée
directionnelle selon x est le résultat d'un lissage suivant la direction y et d'une dérivation suivant la
direction x. On désignera par la suite par
∂ I
i
∂fα
( x,
y)
= I
i
( x,
y)
*
∂x
∂x
α
( 17 )
l'opérateur de dérivation selon x de la composante
un paramètreα .
I i
en utilisant le filtre de Deriche avec
Dans les conditions d'acquisition décrites dans la section 2, les composantes couleur C b C r
dans l'espace YC b C r (3) ont une résolution spatiale inférieure à celle de la luminance Y (Figure
15b). Le facteur d'échelle α de l'opérateur de Deriche permet d'adapter le calcul des dérivées
partielles (14) aux caractéristiques des composantes couleur. Il existe un rapport de 2,75 imposé
par la norme du signal S-vidéo entre la bande passante de la luminance et celle de la chrominance.
Ce rapport a été expérimentalement observé sur nos images dans la section 2.3 (Figure 15 et
Figure 16). Nous utilisons ce rapport pour déterminer le rapport entre les bandes passantes des
42

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
filtres de Deriche. La fréquences de coupure du filtre de lissage de la luminance et celle du filtre
des composantes couleur sont prises dans ce rapport de 2,75. Nous utilisons deux paramètres de
filtrage α
2
et α
1
= 2,
75α
2
. Le lissage plus important de la chrominance permet de réduire le
bruit de l'image sans perte d'information dans ses composantes basses résolutions.
4.2 Pondération des composantes couleur
Nous équilibrons l'influence relative de la couleur et de la luminosité avec un paramètre
multiplicatif c des composantes couleur. Dans l'espace YC b C r , les trois composantes sont de
natures différentes. Deux de ces composantes C b C r concernent la couleur alors que la
composante Y correspond à la luminance. Afin de calculer un gradient vectoriel avec ces
composantes de natures différentes, on effectue une normalisation. Soit σ Y et σ C respectivement
les écarts types du module du gradient de la composante luminance et du module du gradient
vectoriel des composantes couleur C b et C r . Pour le calcul du GCM, les composantes couleur
sont normalisées en prenant pour le facteur c le rapport σ Y /σ C . Les valeurs de σ Y et σ C ont été
estimées sur la base d'image du clinker (50 images) conduisant à un rapport σ Y /σ C égale à
3,1±0,3. Dans la pratique, nous utilisons c=3. Par ailleurs, la mise en œuvre du GMC sur des
images couleur issues d'un signal S-vidéo mais provenant d'autres applications (Figure 21) a
conduit à un rapport σ Y /σ C peu différent de 3 (2,8 ± 0,2) ce qui nous amène à prendre
également c=3. La valeur de ce coefficient n'est, a priori, pas reliée au rapport des fréquences de
coupure entre la composante luminance et les composantes couleur. Les calculs des dérivées se
font ici à la même échelle (même taille des images) mais avec une information fréquentielle
différente. Cela n'est pas le cas du calcul des dérivées à différentes échelles où une pondération
liée au rapport des échelles est nécessaire [Lindeberg et al., 1991].
Nous équilibrons l'influence relative de la couleur et de la luminosité avec un paramètre
multiplicatif c des composantes couleur. Pour une image dans l'espace YCbC r , la matrice D des
dérivées partielles ( 14 ) avec l'opérateur de Deriche, peut être écrite comme :
⎛
⎜ ∂Y
⎜ ∂x
⎜
⎜ ∂Cb
= c
⎜ ∂x
⎜
⎜ ∂Cr
⎜
c
⎝
∂x
α
α
1
2
2
∂Y
∂y
∂C
c
∂y
∂Cr
c
∂y
α
α
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
b
D
α
( , )
1 , α2
, c
x y
( 18 )
α
α
1
2
2
avec α 1 et α 2 paramètres du filtre dérivateur de Deriche et
pondération de la chrominance.
c
le coefficient de
43

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
Notons que cette pondération globale des composantes chrominance C b et C r n'influe
pas la teinte T arctan C / C des objets qui reste caractéristique pour la détection des
CbCr
contours. La pondération des composantes couleur proposée dans cette étude est différente de
l'approche de Carron [Carron, 1995] qui pondère la couleur de chaque pixel en fonction de la
saturation (ou chroma) locale
( r b
= )
S
CbCr
2
b
2
r
= C + C . Seuls les points avec une saturation supérieure à
un seuil sont utilisés pour le gradient couleur. Pour ces pixels, l'influence de la luminance est
fortement réduite afin de limiter l'influence des ombres dans les images. Les images
microscopiques de notre application ne contiennent pas d'ombre. Elles sont acquises dans un
environnement de laboratoire très contrôlé (éclairage, composition des images et coloration des
objets). La luminance ainsi que la chrominance doivent être prises en compte de la même façon
dans toute l'image.
4.3 Détermination du module et de la direction du gradient
La matrice M de la forme quadratique ( 7 ) est égale au produit matriciel D T D des
dérivées partielles :
avec
⎛ E
= D T D = ⎜
⎝ F
F ⎞
⎟
G⎠
M ( 19 )
=
⎛
⎜
⎝
∂Y
∂x
2
⎛ ∂Y
⎞
E = ⎜c
⎟
⎝ ∂x
⎠
F
∂Y
∂y
2
⎛ ∂Y
⎞
G = ⎜c
⎟
⎝ ∂y
⎠
α
⎞
⎟
⎠
α
1
1
⎛ ∂C
+ ⎜c
⎝ ∂x
α
1
+ c
2
b
⎛
⎜
⎝
⎛ ∂C
+ ⎜c
⎝ ∂y
2
⎞
⎟
⎠
∂C
b
∂x
2
⎞
⎟
⎠
b
α
α
2
∂C
∂y
2
⎛ ∂C
+ ⎜c
⎝ ∂x
b
⎞
⎟
⎠
α
2
r
⎛ ∂C
+ ⎜c
⎝ ∂y
2
⎞
⎟
⎠
+ c
r
2
⎞
⎟
⎠
2
α
α
2
⎛
⎜
⎝
∂C
2
r
∂x
∂C
r
∂y
⎞
⎟
⎠
α
2
( 20 )
Comme dans le cas de l'approche vectorielle, la matrice M ( 7 ) de la forme quadratique
des variations vectorielles permet de calculer la direction θ 1 ( 9 ) du GCM comme celle du
vecteur propre associé à la plus grande valeur propre λ 1 ( 10 ) de M . Le module carré du GCM
est une fonction des valeurs propres λ 1,λ 2 ( 12 ). La Figure 17 résume notre approche depuis
l'acquisition jusqu'au calcul du GCM sous forme d'un schéma bloc.
44

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
Objets
Caméra couleur S-vidéo Numérisation Codage couleur
RGB PAL
YC b C r
Y
UV
Filtre
passe bas
Acquisition
de l'image
RGB
Transformation
couleur
Gradient
Combinaison vectorielle
Pondération
Dérivée numérique
Module
Direction
Calcul du gradient
couleur multiéchelle
(GCM)
* 1
* c
* c
Deriche α 1
Deriche α 2
Deriche α 2
Dérivées pondérées
Dérivées partielles
Figure 17. - Schéma complet de l'acquisition jusqu'à la détermination des caractéristiques du GCM.
L'opérateur GCM proposé a pour caractéristiques principales :
• La prise en compte d'une bande passante réduite pour les composantes couleur dans l'image
vidéo produite par une caméra couleur mono-CCD et/ou transmis comme signal vidéo (PAL,
SECAM, NTSC).
• L'utilisation du filtre dérivateur de Deriche séparément sur les composantes luminance et
couleur en adaptant la fréquence de coupure à la bande passante de chacune des composantes.
• La pondération plus importante des composantes couleur pour privilégier l'effet de la couleur
par rapport au contraste en luminance.
• Le calcul du GCM conduit également à la détermination de la direction du gradient multicomposantes.
5. SEGMENTATION PAR APPROCHE CONTOUR
La segmentation par approche contour peut être faite à partir de l'image de gradient par
détection des contours ou par application d'un contour déformable initialisé automatiquement ou
manuellement. Ces approches sont ici mises en œuvre sur les images vectorielles en utilisant
l'opérateur GCM.
5.1 Détection des contours
Pour la détection et la localisation des contours dans une image de gradient vectoriel,
deux approches existent. Cumani [Cumani, 1991] recherche les zéros de la dérivée du gradient
couleur suivant la direction du gradient, appelée dérivée seconde directionnelle. Une autre mise
en œuvre de cette méthode est réalisée par Alshatti [Alshatti et al., 1993]. Dans notre cas, nous
cherchons, comme dans une image monochrome, les maxima locaux du GCM dans la direction
calculée par notre opérateur. Le suivi des contours est ensuite réalisé dans la direction
orthogonale au GCM avec seuillage par hystérésis [Canny, 1986]. Les opérateurs classiques de la
45

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
morphologie mathématique permettent de réduire les discontinuités des contours pour améliorer
les résultats de la segmentation [Anwander et al., 1998c].
5.2 Contours actifs
Soit C τ : 0,1 → R une courbe paramétrée et I( x,
y)
une image à analyser. L'approche
classique des contours actifs [Kass et al., 1988] associe à la courbe C une énergie E( C)
donnée
par :
( ) [ ]
2
E
1
1
1
( C) = α C′
( τ ) dτ
+ β C′′
( τ ) dτ
− λ ∇I( C( τ )) dτ
∫
0
2
∫
0
2
∫
0
( 21 )
avec les constantes réelles et positives
α, β et λ . Les deux premiers termes (énergie
interne) règlent essentiellement la régularité (élasticité et rigidité) du contour à détecter. Le
troisième terme (énergie externe) attire les contours actifs vers les maxima de gradient de l'image
et donc vers les contours. On résout le problème de détection de contours en cherchant la
courbe C qui minimise E( C)
par différentes méthodes (éléments ou différences finies [Cohen et
al., 1993] ou programmation dynamique [Amini et al., 1990]) pour des constantes
α, β et λ
fixes. Cette solution est trouvée en déformant itérativement une courbe initiale proche de la
solution recherchée.
Plusieurs auteurs ont apporté des améliorations à ce modèle notamment en introduisant
un deuxième terme à l'énergie externe :
avec
E ext
1
1
( C( τ )) dτ
κ P( C( τ )) dτ
= −λ∫ ∇I
+
0
( C( τ )) = F ( C(
τ ))
∫
0
( 22 )
− ∇P
( 23 )
press
et un coefficient réel κ .
Le second terme de ( 22 ) est l'intégrale d'une fonction de potentiel le long de la courbe.
Le potentiel de pression à l'intérieur du contour a été introduit par Cohen [Cohen, 1991]. Il peut
être exprimé comme une force ballon ( 23 ), qui empêche le contour de rétrécir lorsque la courbe
initiale est à l'intérieur et loin du contour recherché. Elle est orientée vers l’extérieur de la courbe
assimilant l'intérieur de la courbe à un ballon gonflable.
La force d'attraction dans l'énergie externe ( 22 ) est déduite du gradient de l'image. Pour
l'image couleur vidéo, nous proposons d'utiliser le GCM comme fonction d'attache aux données
de la courbe C . On remplace le terme ∇ I( C( τ ))
dans ( 22 ) par ∇vec I = λ1 − λ2
( 12 ) avec les
valeurs propres λ 1 et λ 2 de la matrice M ( 19 ).
46

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
6. APPLICATIONS
Notre problématique principale concerne le contrôle qualité des clinkers de ciments par
microscopie optique. Après avoir présenté les résultats obtenus avec le GCM sur ce type d’image,
nous avons voulu illustrer la méthode sur d’autres images également acquises par une caméra
mono-CCD.
6.1 Application industrielle
6.1.1 Problématique de la quantification des images microscopiques
de clinker
La problématique étudiée est la quantification automatique des phases de Clinker de
ciment. Le Clinker est un produit intermédiaire dans la chaîne de fabrication du ciment. Ses
caractéristiques sont régulièrement contrôlées et analysées par différentes techniques de contrôle
qualité et en particulier par l’analyse microscopique de sections polies des échantillons de Clinker
(Figure 18). Elles renseignent sur l’état de la ligne de fabrication en amont et influent directement
sur la qualité du produit final (le ciment) en aval de la chaîne de fabrication.
L’analyse microscopique est utilisée pour l’évaluation quantitative de la composition
minérale des échantillons de Clinker. Cette évaluation se fait manuellement par l’expert qui
détermine le pourcentage des différents types de cristaux (alite, bélite, matrice) par un comptage
visuel. C’est une procédure longue et fastidieuse puisqu’il faut de l’ordre de 90 minutes à l’expert
pour obtenir un pourcentage validé sur 2 000 cristaux. Le contrôle qualité par vision peut
automatiser et alléger cette procédure [Anwander et al., 1998b].
Figure 18. - Image d'une section polie de clinker sous microscope optique.
La méthode détaillée dans ce papier apporte une solution fiable à cette problématique.
Une première phase a pour objectif d’identifier les zones homogènes correspondantes à un même
cristal. Elle est réalisée en trois étapes :
47

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
• segmentation par approche contour effectuée à l'aide du GCM des images
microscopiques couleur ;
• fermeture des contours par un opérateur classique de la morphologie
mathématique [Anwander et al., 1998c] ;
• identification de chacune des régions en utilisant des paramètres caractéristiques de
couleur et de texture. Ce point est détaille dans les références [Anwander et al., 1997]
et [Anwander et al., 1998c].
Cette phase de présélection ne permet pas d'effectuer une étude quantitative sur les
formes des cristaux. Dans une deuxième phase, nous plaçons de manière automatique un contour
initial dans chacune des régions identifiées. Ces contours initiaux sont à la base d’une méthode de
segmentation par contour actif utilisant le GCM des images. L'évolution de ce contour actif
conduit à l'obtention de la forme complète des cristaux.
6.1.2 Comparaison des images gradient RVB et GCM
Dans cette partie, une comparaison visuelle est effectuée entre les différentes images
gradient obtenues à partir des images microscopiques couleur de clinker. Les gradients utilisés
sont le gradient en niveau de gris [Deriche, 1990], le gradient scalaire dans l'espace RVB ( 4 ), le
gradient vectoriel (GV) ( 12 ) et le GCM ( 18 ). Sur les trois premiers, aucune différence sensible
n'a été constatée dans les résultats de détection de contours. Cette observation est due à la faible
saturation de l’image couleur, donc à la faible influence des couleurs. Dans la suite, seules les
approches GCM et le gradient vectoriel RVB sont comparées.
Concernant les images gradient (Figure 19a et c) de l’image représentée dans la Figure
16a, on remarque clairement que le contenu informationnel de l'image GCM (Figure 19c) est plus
important que celui de l'image GV (Figure 19), en particulier dans les zones indiquées par les
cercles. En effet, l'influence des composantes couleur est mise en évidence de manière à combler
l'absence de contours nets dans la composante luminance.
48

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
a, GV b
c, GCM d
Figure 19. - Détection des contours à l'aide du gradient vectoriel (GV) dans l'espace RVB (a,b) et à
l'aide du GCM (c,d).
Afin de mettre en évidence l'apport de GCM, une méthode classique de détection de
contours à partir des images gradient a été mise en place. L'apport du GCM est directement
traduit par les contours continus sur l'image contour (Figure 19d). Dans ces mêmes zones,
l'image contour issue du GV (Figure 19b) présente des contours discontinus, voire inexistants.
On constate, aussi bien sur les images gradient que les images contour, que l'opérateur GCM a
rajouté des informations sur le gradient couleur sans introduire de bruit dans l'image. Grâce au
filtrage multiéchelle des différentes composantes, la pondération avec un facteur 3 (section 4.2.)
de la chrominance pourtant très bruitée (Figure 16c et d) n'a pas augmenté le nombre de faux
contours. Notons également que les contours détectés uniquement grâce aux composantes
couleur ne sont pas dédoublés contrairement à ceux issus de la luminance. Ceci est dû à la faible
résolution de la chrominance qui résulte en un profil large et continu dans l'image gradient se
traduisant par la détection d'un seul pic local lorsqu'on recherche le maximum de gradient.
La détection de contours ne représente que la première phase d’identification de zones
homogènes appartenant à un même cristal. Dans un deuxième temps, une segmentation par
contour actif localise de manière précise les bords des cristaux.
6.1.3 Discussion sur les images segmentées par les contours actifs
Une méthode de segmentation par contours actifs est mise en œuvre à partir des images
gradient comparées dans la section précédente. La Figure 20 montre un exemple de résultats de
segmentation où seuls les cristaux de bélite de formes rondes ont été traités. Rappelons que la
nature des cristaux a été déterminée auparavant par une phase de pré-segmentation (section
6.1.1.). Étant donné un cristal de bélite, un contour initial circulaire est choisi à l'intérieur de la
zone qui a permis de déterminer la nature du cristal avec des paramètres caractéristiques de
49

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
couleur et de texture. Le choix de la taille et de la position de contour initial se fait donc de
manière automatique, étant donné la connaissance a priori de la zone caractéristique de chacune
des bélites. La forme circulaire du contour est un choix arbitraire. La nature de cette forme n'a
aucune influence sur la forme finale.
a,
contours
initiaux
alite
bélite
b, GV
contours
finaux
c, GCM
contours
finaux
Figure 20. - Segmentation des cristaux de type "bélite" par contours actifs à l'aide du GV (b) et à l'aide
du GCM (c) en utilisant les contours initiaux (a).
La Figure 20a présente quatre contours initiaux automatiquement placés dans quatre
bélites de formes et de tailles variées. Les Figure 20b et c correspondent aux contours obtenus
après l'application de la méthode de contours actifs (section 5.2.), respectivement sur l'image
gradient vectoriel RVB (GV) et sur l'image gradient couleur multiéchelle (GCM). Dans les deux
cas, les paramètres α et β de régularité du contour actif et les paramètres λ et κ d'énergie
externe ont été choisis de manière optimale. En particulier, la force du ballon a été choisie faible
pour privilégier une avancée lente et ainsi tenir compte des gradients faibles.
En utilisant le GV, les contours actifs débordent des cristaux de bélite pour s'introduire
dans les cristaux d'alites voisins, comme cela est indiqué par les flèches dans la Figure 20b. Les
contours ne convergent pas et leur évolution a été arrêtée par l'opérateur dans cet exemple.
L'utilisation du GCM permet de prendre en compte le gradient lié à la chrominance et
ainsi de détecter les frontières alite/bélite qui présentent un faible contraste en luminance.
L'évolution des contours actifs a convergé vers le minimum d'énergie qui correspond aux bords
des cristaux. Les quatre cristaux de bélite sont parfaitement reconstitués par notre approche.
50

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
6.2 Application à d’autres images acquises avec une caméra
mono-CCD
Nous avons voulu illustrer la méthode sur d’autres images, moins spécifiques, également
acquises par une caméra mono-CCD. Ces images sont issues de la base d'images du laboratoire
"Signal Analysis and Machine Perception Laboratory, The Ohio State University 2 ". La Figure 21
donne l’image couleur et ses différentes composantes YC b C r .
a, RVB b, Y
c, Cb d, Cr
Figure 21. - a) Image couleur "mom.031" de la base du laboratoire "Signal Analysis and Machine
Perception Laboratory, The Ohio State University 2 "; b) luminance Y de l'image ; c) chrominance C b ;
d) chrominance C r .
Comme dans les images de clinker, le comportement passe bas de la chaîne d'acquisition
pour les composantes couleur est également visible. Les Figure 22a et c présentent l’image du
module du gradient calculé avec respectivement le gradient vectoriel (GV) et avec le GCM. Le
contenu informationnel de l'image GCM (Figure 10c) est plus important dans les zones où seule
l’information des composantes couleur est présente (zones indiquées par les cercles). Dans la
zone 1 du bord du fauteuil, il existe une variation de luminosité Y et une variation de couleur,
cette variation est mieux prise en compte par le GCM que par le GV. Dans la zone 2 du cadre du
tableau, il n'existe que très peu de variation de luminosité et le gradient GV extrait seulement
l'information présente dans les composantes couleur, ces informations sont nettement amplifiées
par le GCM. Dans la zone 3 du cou du personnage, seule une très faible variation de couleur
différencie le fauteuil du cou; là où le GV ne trouve quasiment pas de gradient, le GCM arrive à
2 Accessible à l'adresse "http://sampl.eng.ohio-state.edu/~sampl/data/motion"
51

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
faire ressortir une valeur de gradient supérieure au bruit de fond de l'image gradient. Ces
informations supplémentaires sur la variation des composantes couleur ont été obtenues sans
augmentation visible du bruit dans l'image gradient.
a, GV
2
b
2
3
3
1
1
c, GCM
2
d
2
3
3
1
1
Figure 22. – Module du gradient dans l'espace RVB (a,c) et résultats de la détection des contours (b,d)
en utilisant respectivement le gradient vectoriel (GV) et avec le GCM.
Les Figure 22b et d présentent le résultat de la détection des contours calculée à partir de
chacune des images gradient, gradient vectoriel (GV) et GCM. Avec le GCM, des contours
apparaissent dans les zones indiquées par les cercles où le GCM a fait ressortir une information
sur les variations de couleur qui est absente par le calcul du GV. Dans la zone 1 du bord du
fauteuil, la valeur du gradient de l'image GCM est maintenant suffisante pour restituer
parfaitement le contour du fauteuil. Dans la zone 2 du cadre du tableau, le contour trouvé à partir
du GCM est plus continu et moins bruité que celui trouvé à partir du gradient GV. Dans la zone
3 du cou du personnage, les valeurs de gradient issues du GCM permettent de séparer le cou et le
fauteuil. Comme on peut le voir sur l'ensemble de l'image, cette information supplémentaire
obtenue par le GCM est pertinente puisqu'elle n'a pas introduit de faux contours. Dans le cas des
images couleur acquises avec une caméra mono-CCD, le GCM permet donc d'envisager une
segmentation plus robuste basée sur une approche contour.
7. CONCLUSIONS
Nous avons introduit un nouveau gradient couleur multiéchelle (GCM) adapté aux images
couleur de type vidéo. Il prend en compte les particularités de ce type d'images qui ont une bande
passante réduite pour les composantes couleur par rapport à celle de la luminosité. Par un
traitement multiéchelle et une pondération des différentes composantes, le GCM permet
52

GRADIENT COULEUR MULITECHELLE (GCM) POUR LA SEGMENTATION D’IMAGE.
d'augmenter la part de l'information couleur dans le calcul du gradient sans augmenter le bruit
relatif à ces composantes. Sa mise en œuvre dans le cadre d'une application industrielle sur des
images microscopiques de clinker de ciment, a montré que le gradient ainsi calculé permet de
séparer les cristaux ne présentant que de faibles différences de couleur sans introduction de faux
contours. Une méthode de contours actifs utilisant une énergie externe déduite du gradient GCM
converge sur des contours situés sur les bords de cristaux même pour des cristaux collés de
luminosité similaire. Cette nouvelle méthode autorise un calcul plus juste du gradient d'une image
couleur, en particulier dans le cas où on ne dispose que d'une caméra mono-CCD ou d'un signal
vidéo.
REMERCIEMENTS
Notre travail s'inscrit dans la thématique du GT3 et GT4 du CNRS GDR-PRC ISIS.
Cette étude a reçu le soutien de la société LAFARGE CIMENTS (Centre de Viviers, France). Nous
tenons à remercier J.Y. Clément, R. Coll et J. Gaillard (LAFARGE CIMENTS) pour leur évaluation
experte et leurs précieuses suggestions.
53

Chapitre 4
SEGMENTATION D’IMAGES PAR
CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE
(CALN).
1. Introduction......................................................................................................55
2. Formulation stationnaire des contours actifs...................................................56
3. Formulation dynamique des contours actifs....................................................58
4. Discrétisation du modèle..................................................................................59
5. Les énergies du modèle .................................................................................... 61
5.1 Énergies externes .......................................................................................................61
5.2 Énergies internes........................................................................................................64
6. Améliorations du modèle..................................................................................67
6.1 Redistribution des points de discrétisation sur le contour...................................67
6.2 Calcul de la déformation sur un modèle normalisé...............................................69
6.3 Intérêt du nouveau modèle de contours actifs à longueur normalisée...............73
7. Paramètres du modèle et leurs dépendances ...................................................74
7.1 Les coefficients d'élasticité α et de rigidité β .........................................................75
7.2 Étude des forces externes .........................................................................................78
7.3 Le coefficient de vitesse γ .........................................................................................79
7.4 Contour initial.............................................................................................................80
7.5 Convergence du contour...........................................................................................81
8. Inversion de la matrice de rigidité.................................................................... 81
8.1 Inversion littérale........................................................................................................81
8.2 Complexité algorithmique et temps de calcul ........................................................82
9. Segmentation d’image par contours actifs.......................................................84
9.1 Images synthétiques...................................................................................................84
9.2 Segmentation des ventricules de cerveau en IRM.................................................85
9.3 Segmentation de la paroi d'artères en IRM ............................................................87
10. Conclusion ........................................................................................................89
54

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Les contours actifs constituent un outil général très utilisé pour la segmentation d'image.
Dans ce chapitre, les détails des algorithmes de contours actifs proposés dans la
littérature sont étudiés. Nous nous intéressons particulièrement aux aspects numériques
de la discrétisation du modèle des contours actifs. Une méthode originale de déformation
dynamique est proposée. Cette méthode permet de rendre le modèle indépendant de la taille du
contour et de réduire considérablement le temps de calcul pour la déformation. L'originalité de
l'implémentation réside dans un processus de mise à l'échelle dynamique qui permet une
initialisation éloignée du contour recherché. La déformation du modèle est indépendante de la
discrétisation de la courbe et les paramètres du modèle sont indépendants de sa taille.
1. INTRODUCTION
L'utilisation des contours actifs pour la segmentation d’image a été introduite par Kass et
al. [Kass et al., 1988], puis reprise par de nombreux auteurs dont [Berger, 1991 ; Clarysse et al.,
1997 ; Cohen, 1991 ; Cootes et al., 1995 ; Lötjönen et al., 1999 ; Maurincomme et al., 1993 ;
Reissman et al., 1997 ; Vandenbroucke et al., 1997 ; Vincent et al., 2000]. Cette méthode
rencontre beaucoup de succès grâce à sa capacité à intégrer les deux étapes classiques de la
détection de contours en une seule (extraction et chaînage). Les approches classiques combinent
une détection globale des points de contour et un processus de chaînage (souvent basé sur des
informations locales de l'image). La méthode des contours actifs recherche des contours chaînés
évoluant sous l'effet d'une méthode d'optimisation à partir d'une forme initiale pré-définie. Ils
utilisent un modèle géométrique régulier du contour et les données images aux emplacements du
contour. Le modèle déformable évolue depuis une solution initiale grossière, pour délimiter avec
précision et de manière automatique la frontière de la région recherchée. L'intérêt du modèle de
contours actifs dans la famille des modèles déformables, est de transformer un processus
complexe de minimisation de fonctionnelle d'énergie en l'inversion d'un système matriciel
linéaire. Un état de l'art, sur l'utilisation des modèles déformables en analyse d'images médicales a
été proposé par McInerney et Terzopoulos [McInerney et al., 1996].
Dans ce chapitre nous étudions les contours actifs comme outil de segmentation. Nous
nous intéressons plus particulièrement aux aspects numériques de l'implémentation des modèles
variationels en définissant un nouveau modèle dynamique de contours actifs avec un modèle de
taille normalisée. Ce modèle est particulièrement efficace en terme de temps de calcul et possède
une paramétrisation robuste. Les paramètres du modèle ne dépendent plus de la longueur du
contour et la déformation du modèle est indépendante de la discrétisation de la courbe. Ceci
facilite l'utilisation des contours actifs et rend l'algorithme plus robuste avec un paramétrage de
l'algorithme partiellement automatique. Le modèle prend en compte les changements d'échelle du
55

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
contour déformable et n'a plus besoin d'être réinitialisé après chaque déformation. Il est ainsi plus
stable, plus rapide que le contour actif classique et indépendant de l’initialisation. La validation de
ce modèle original a été présentée dans plusieurs communications internationales [Desbleds-
Mansard et al., 2001a ; Desbleds-Mansard et al., 2001b ; Hernandez-Hoyos et al., 2000].
Ce chapitre rappelle, dans un premier temps, les concepts mathématiques propres aux
contours actifs, introduits dans la littérature. Nous détaillons ensuite l'implantation numérique du
modèle normalisé, permettant de passer du problème continu au système discret matriciel final.
Sa paramétrisation globale permet notamment de faire une étude approfondie sur les paramètres
du modèle pour aboutir à un réglage partiellement automatique de leur valeur. Nous rappelons
ensuite le calcul littéral de l'inverse de la matrice de rigidité du modèle, introduit récemment par
Delmas [Delmas, 2000 #101]. Une comparaison des temps de calcul illustre le gain de temps
important de notre approche. Ce chapitre se termine par des exemples de validation de
l'algorithme de contours actifs à longueur normalisée.
2. FORMULATION STATIONNAIRE DES CONTOURS ACTIFS
Dans leur article originel, Kass et al. [Kass et al., 1988] ont posé le problème de la
détection des bords d'un objet (ou toute autre caractéristique de l'image) en tant que minimisation
d'une énergie. Leur modèle, connu sous le nom de "snake" ou serpent, représente un cas
particulier de la théorie des modèles déformables multidimensionnels introduite par
Terzopoulos [Terzopoulos et al., 1988]. Cette théorie couvre les techniques de mise en
correspondance d’un modèle déformable avec une image par moyen de minimisation d’énergie.
Les contours actifs sont des courbes déformables évoluant au grès de la minimisation de la
fonctionnelle d'énergie qui leur est associée. Ils se déplacent au sein de l'image, à partir d'une
position initiale, vers une configuration finale qui dépendra de l'influence respective des divers
termes d'énergie en présence. L'énergie totale du modèle comprend un terme d'énergie interne de
régularisation ou de lissage du contour et un terme d'énergie externe ou d'adéquation aux
données. Les contours actifs s'appuient sur des contraintes de forme pour guider la recherche des
objets souhaités.
2
Le contour actif est une courbe paramétrique dans le plan image ( x,
y)
∈ R . Il est
T
représenté par l'équation paramétrique v ( s)
= ( x(
s),
y(
s))
avec x et y les coordonnés, s ∈[ 0,l]
l'abscisse curviligne et l la longueur de la courbe. La courbe
C = v(s)
ouverte ou fermée, est
dotée de propriétés élastiques et peut se déplacer et se déformer dans l’image selon un critère de
minimisation d'énergie. L’énergie du contour dépend de sa forme et de sa position dans l’image.
Elle est composée d’un terme d’énergie interne et d'un terme d’énergie externe :
E
() v E () v + E () v
= int
( 24 )
ext
56

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
La position finale du contour, ainsi que sa forme finale sont atteintes au minimum de
cette énergie totale.
Le premier terme E int de ( 24 ) représente l'énergie interne du modèle qui dépend de la
forme du contour. Ce terme assure la continuité du contour, il est un terme régularisant. Kass et
al. [Kass et al., 1988] utilisent un opérateur régularisant de type Tikhonov [Tikhonov et al., 1976]
en ne conservant que les termes de premier et de deuxième ordre :
E
int
1
2
() v = () s
l
∫
0
2
l
2
2
∂v()
s 1 ∂ v
()
() s
α ds + s ds
∂s
∫ β
( 25 )
2
2 ∂s
0
L’énergie interne caractérise la déformation d’un contour élastique et flexible. Les deux
paramètres α et β peuvent être décrits avec des termes de la physique [Elomary, 1994 ; Kass et
al., 1988] : α(s) détermine "l’élasticité" et β(s) la "rigidité" de la courbe. Le terme de premier ordre
de la fonctionnelle agit sur la longueur de la courbe et le paramètre α influence sa tension tandis
que le terme de deuxième ordre agit sur la courbure de la courbe et le paramètre β influence sa
rigidité. Le comportement du contour actif dépend des valeurs de ces deux paramètres. Si le
paramètre β(s) est mis à zéro pour un point s du contour, le modèle peut développer un angle
pointu à ce point.
Le critère d'interaction entre le modèle et l'image, représenté par le second terme E ext de
( 24 ), dépend du type de primitives que l'on cherche à extraire de l'image. Il représente l'énergie
due aux forces externes appliquées au modèle. L'énergie externe correspond à l'intégrale d'une
énergie potentielle P(x,y), définie en tout point de l'image et qui dépend des données image sur
lesquelles le modèle est posé.
E
ext
l
() v w() s P( v()
s ) ds
∫
=
0
( 26 )
Le terme w(s) pondère la fonction potentielle pour faciliter le réglage du terme énergie
externe. Le modèle cherche à minimiser l'intégrale de cette énergie potentielle pour tous les
points du contour. Suivant la forme choisie pour P, les minima correspondent aux valeurs
remarquables de l’image, aux contours des objets, ou à un iso niveau de gris dans l’image, sur
lesquels on cherche à arrêter le modèle déformable.
L'énergie potentielle E ext est dérivée de l'image ; on ne peut donc en obtenir une
expression analytique. Le gradient de l’énergie potentielle externe peut être relié à une force
externe appliquée au modèle par la relation :
f
( v()
s ) −∇P( v(
s )
= ) ( 27 )
57

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Cette force dirige le contour vers le minimum de l'énergie potentielle.
Le minimum de l’énergie totale peut être déterminé par un résultat classique du calcul
variationel [Courant et al., 1953]. L'équation d'Euler-Lagrange donne la formulation stationnaire
autour du minimum :
−
∂
∂s
∂
∂s
2
α
s 2
ss
=
( () s v ) + ( β () s v ) w( s) f ( v(
s )
) ( 28 )
2
v ( ) v ( ) v () ()
∂v
∂ v
avec vs
= , vss
= et les conditions aux limites 0 ,
∂s
2
s
0 , l et v s
l connues.
∂s
Cette équation aux dérivées partielles exprime l’équilibre entre les forces externes et
internes quand le contour est à l’équilibre. Les deux premiers termes représentent les forces
internes d’étirement et de fléchissement, et le troisième terme représente les forces externes qui
couplent le modèle aux données image. L’approche classique de résolution de ( 28 ) passe par la
discrétisation du modèle continu et l’application des algorithmes numériques.
3. FORMULATION DYNAMIQUE DES CONTOURS ACTIFS
Même s'il est naturel de considérer la minimisation d’énergie comme un problème
statique, une autre approche de détermination du minimum de la fonctionnelle ( 24 ) est de
construire un système dynamique. Guidé par la fonctionnelle, le système évolue ainsi vers
l’équilibre. Les principes de la mécanique de Lagrange peuvent être appliqués. L’équation
gouvernant le mouvement d’un corps élastique dans un milieu visqueux est :
2
∂ v
∂t
µ
2
∂v
+ γ
∂t
+
∂U
∂v
() v
=
w
f
( v()
t )
( 29 )
avec
()
• v t la position au cours du temps t du contour élastique
• µ la densité de masse du contour
• γ la densité d'amortissement ou viscosité du milieu où se déplace le contour
• w la pondération de la force externe
()
∂U
v
• les forces internes dues à la déformation du contour
∂v
• f ( v, t)
les forces extérieures appliquées au contour
Le contour actif dynamique est représenté par un contour temporellement variable
v ( s,
t)
= ( x(
s,
t),
y(
s,
t))
T
avec une densité de masse µ(s,t), évoluant dans un milieu de densité
58

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
d'amortissement γ(s,t). L’équation de Lagrange de déformation du modèle avec une énergie
interne donnée par ( 25 ) et une énergie externe donnée par ( 26 ) est :
2
∂ v
2
∂t
∂v
∂t
∂
∂s
∂
∂s
µ + γ − ( α () s v ) + ( β () s v ) = −w(
s)
∇P( v) ( 30 )
s
Les deux premiers termes de gauche de l'équation aux dérivées partielles représentent les
forces d’inertie et d’amortissement. Les termes suivants représentent les forces internes
d’étirement et de fléchissement. A droite sont les forces externes. La condition d’équilibre ( 28 )
est atteinte quand les forces externes et internes s’équilibrent et le contour s'arrête
2 2
( ∂v
/ ∂t
= ∂ v / ∂t
= 0 ).
2
2
ss
4. DISCRETISATION DU MODELE
Pour calculer numériquement la solution d’énergie minimale, il est nécessaire de
discrétiser l’équation ( 24 ). Kass et al. [Kass et al., 1988] utilisent les différences finies pour
discrétiser l'équation ( 30 ) et la mettre sous forme linéaire. Le contour continu v(s) décrit par la
longueur d'arc s est discrétisé par N points équidistants, avec h la distance entre ces points. Le
contour est alors représenté sous une forme discrète par une matrice u à deux colonnes (2 * N)
correspondant aux deux composantes du plan (x et y) de chaque point discret. La forme discrète
de l’énergie du modèle s’écrit comme [McInerney et al., 1996] :
T
( u) u K u ( u)
1
E = + E 2
ext
( 31 )
E ext (u) est la version discrète du potentiel d’énergie externe et K est une matrice carrée de
dimension N * N qui traduit la rigidité du modèle. Elle correspond, sous forme discrète, aux
dérivées partielles du terme d'énergie interne E int ( 25 ).
La solution du minimum d’énergie est donnée par la mise à 0 du gradient de l’équation
précédente ( 31 ). Ceci est équivalent à résoudre le système d’équations algébriques :
A u −∇E
= w F
= ( 32 )
ext
ext
La matrice F à deux colonnes (2 * N) contient les composantes x et y des forces externes
pour les positions du contour. Le système d'équations ( 32 ) permet ainsi d'accéder aux forces
appliquées à la courbe. La matrice A, appelée aussi matrice de rigidité du système, contient les
opérateurs de dérivation partielle le long de la courbe ( 28 ). Les valeurs des dérivées partielles
59

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
2 2
∂ v / ∂s
et ∂ v / ∂s
,... du terme d’énergie interne ( 26 ) sont approchées par les différences
finies
( k − ) − u( k)
∂ v u
=
1
∂s
h
et
( k −1) − 2 u( k) + u( k 1)
2
∂ v u
+
=
2
2
∂s
h
La matrice de rigidité A, est pentadiagonale (symétrique si la courbe est fermée). Cette
discrétisation des dérivées partielles implique que les nœuds de la courbe restent à distance
constante h les uns des autres.
La version discrète de l’équation d'Euler-Lagrange dynamique ( 30 ) peut être écrite
comme un système d’équations différentielles par rapport à u(t) :
.
M u&
+ Gu&
+ Au =
& ( 33 )
wF ext
avec M la matrice de masse et G la matrice d’amortissement. u& et u& & représentent la
vitesse et l’accélération des points du modèle.
Pour un modèle avec une masse nulle et évoluant dans un milieu de viscosité γ constant
pour toutes les positions et tous les instants t, l'équation ( 33 ) se réduit à :
I u&
+ A u =
γ ( 34 )
wF ext
avec I la matrice diagonale unitaire.
Les valeurs des dérivés temporelles sont approchées par des différences finies et une
méthode d’intégration temporelle explicite. L'expression discrète dans le temps de ( 34 ) pour un
pas de discrétisation temporelle ∆t = 1 s'écrit :
ou :
[ u( t −1)
− u(
t)
] + Au(
t)
= w Fext ( u(
t −1)
)
γ ( 35 )
[ I + A] u( t)
= wFext ( u(
t −1)
) + γ u(
t −1)
γ ( 36 )
Ce qui conduit à une solution pour u de la forme :
−1
[ I + A] [ wF
( u(
t −1)
) + γ ( t −1)
]
u(
t)
=
ext
u
γ ( 37 )
Cette discrétisation implicite de l’équation d’Euler-Lagrange implique que les nœuds de la
courbe restent à distance constante les uns des autres, ce qui, dans le cas général, est loin d'être
respecté : les nœuds ont en effet tendance à s'accumuler dans les zones de fort
gradient [Maurincomme, 1994].
60

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Berger [Berger, 1991] a montré que la matrice A est toujours singulière pour les contours
fermés et souvent singulière dans les autres cas. Par contre, la matrice [
γ I + A]
du modèle
dynamique est inversible par une décomposition LU de la matrice [Press et al., 1992].
Cohen [Cohen, 1991] a noté que le conditionnement de ce système est très dépendant du
paramètre γ et qu'il est souvent indispensable de choisir un γ assez grand pour améliorer la
résolution numérique. Le paramètre γ se traduit sous forme d'un pas de temps pour l'évolution
du modèle. Une grande valeur de viscosité, et donc du paramètre γ, entraîne une évolution lente
du contour, ce qui correspond à un petit pas de temps. Dans un milieu à faible viscosité, les
déformations s'effectuent plus rapidement. Le nombre d'itérations est ainsi moins élevé.
Le modèle se déforme ainsi dans l’image selon une série de minimisations d'énergie.
L’énergie totale est une fonction non convexe et fournit donc pour le contour plusieurs solutions
locales différentes. L'introduction de termes d'énergie supplémentaires permet de guider
l'évolution du contour et choisir ainsi une solution viable parmi les minima possibles pour la
fonctionnelle d’énergie.
5. LES ENERGIES DU MODELE
5.1 Énergies externes
L'image elle-même est la source d'une énergie, qualifiée d'énergie externe et notée E ext . Cette
énergie correspond à la somme pondéré des potentiels aux points discrètes du contour :
P(u)
E
ext
N
( ) w( k) P ( u( k)
)
u = ∑ =
. ( 38 )
1
k
Les valeurs du vecteur de potentiel P( u ( k )) sont les potentiels associés au points u( k)
de
la courbe discrète. Ce potentiel en chaque point
u( k)
est calculé à partir de l'intégrale du
potentiel P sur le petit segment de la courbe qui lui est associé. Si ce segment est suffisamment
petit, le calcul de l'intégrale peut être remplacé par la valeur du potentiel en ce point. De plus, le
potentiel est défini en chaque point de l'image et la valeur de l'énergie externe Eext dépend de la
position du contour actif dans l'image. Les valeurs de l'énergie externe aux positions du contour
sont calculées par interpolation bi-linéaire des valeurs sur la grille discrète de l'image [Cohen,
1991]. L'énergie externe totale est souvent la somme pondéré de plusieurs termes de potentiel
P i
(u) .
E
( ) w ( k) P ( u( k)
)
ext
u
i i . ( 39 )
i k
= ∑∑
61

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
L'énergie E ext peut être également perçue comme la contribution de forces extérieures
F i
(u) , reliées chacune à un potentiel (u)
par l'équation :
P i
F
i
( u) −∇P
( u)
= . ( 40 )
i
La force totale correspond à la somme des forces F i pondérées par le terme w i .
Ces potentiels, ou de manière équivalente ces forces, peuvent être définis de multiples
façons. Le contour actif peut être, simplement, attiré par les lignes claires ou sombres de l'image,
en fixant un potentiel :
où
I( u)
( u) I( u)
P ligne
= ± , ( 41 )
représente l'intensité de l'image à la position du contour. Si le signe est positif, le
contour actif est attiré par les régions sombres; si le signe est négatif, les puits de potentiel
correspondent aux régions claires.
Avec une force très proche, le potentiel peut attirer le modèle vers un contour d'une isovaleur
I lim dans l'image [Kruggel et al., 2000] :
( u) = [ c( I( u)
− )]
F ( 42 )
tanh I lim
le paramètre c règle la largeur du minimum du potentiel. Cette force déplace le contour
jusqu'à une certaine position pour laquelle l'intensité I lim est atteinte.
Le but étant d'attirer le contour actif vers les bords des objets de l'image, définis par
exemple selon Canny [Canny, 1986], il semble naturel de fixer le potentiel en fonction du
gradient. Le modèle va donc être attiré par des contours d’intensité dans l’image I(u) grâce au
choix d’un potentiel :
P grad
( ) 2
( u)
− ∇G
* I u
= ( 43 )
σ
où ∇G σ
est la dérivée d'un filtre Gaussien de largeur caractéristique σ . Le contour
correspond à une zone de fort gradient, et le modèle cherche à minimiser l’intégrale négative de la
norme du gradient le long de la courbe. Le modèle est donc attiré par les lignes de fort gradient
de l’image. La largeur caractéristique du filtre de lissage détermine la largeur du minimum local du
potentiel P grad . Le potentiel P grad est ainsi nul dans les régions de l'image à intensités constantes,
et très négatif le long des lignes de gradient (puits de potentiel).
Un autre potentiel fréquemment utilisé est obtenu à partir d'une étape de pré-traitement
qui consiste à détecter les contours préliminaires des objets. Un champs d'attraction pour le
modèle déformable est ensuite calculé par convolution de l'image de contours avec un filtre
Gaussien. Des améliorations a cette approche ont été apportées par une méthode appelé "flux du
62

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
gradient vectoriel" [Xu et al., 1998]. Le champs d'attraction peut également être calculé à partir
d'une transformée des distances [Borgefors, 1986], qui définit la distance la plus courte de chaque
pixel vers le point du contour binaire le plus proche dans l'image. Lötjönen [Lötjönen et al., 1999]
propose d'utiliser cette transformée des distances en construisant des cartes de distances
orientées, où le modèle est attiré par les contours binaires qui sont localement parallèles ou
antiparallèles au modèle suivant le signe du gradient.
Dans certains cas, comme dans le cas de l'attraction vers les iso-valeurs de l'image ( 42 ), il
n'est pas possible de définir un potentiel, et le concept de force extérieure est alors directement
employé ( 40 ). Cohen [Cohen, 1991] a proposé d'utilisé un potentiel normalisé afin de limiter
l'influence de la "pente" de l'énergie potentielle extérieure au modèle. On ne peut plus dés lors
parler de potentiel, ni de minimisation d'énergie, mais de forces normées définies comme :
F
∇P
−
P
( u)
( u)
= ( 44 )
Ce processus de normalisation a le désavantage de rendre les faibles pentes dans le
potentiel (bruit) équivalent aux fortes pentes correspondant aux minima du potentiel.
De plus, Cohen [Cohen, 1991] a souligné l'influence de l'initialisation du modèle. Si le
contour initial est trop éloigné du contour recherché, et s'il se situe à l'intérieur du périmètre à
segmenter, la minimisation d'énergie totale diminue de manière itérative la surface englobée par le
contour actif jusqu'à un point. Il est ainsi nécessaire d'introduire une pression intérieure, qui
gonfle le contour comme un ballon. Cette pression intérieure F ballon est normée et s'exerce selon
le vecteur normal au contour déformable :
n(u)
F ( u)
= n
( u)
ballon
( 45 )
Cette force de pression donne la possibilité de balayer une grande zone de l'image à la
recherche de contours significatifs. Le modèle part respectivement, à l'intérieur ou à l'extérieur de
l'objet dont on cherche les contours, selon qu'on utilise une force ballon ou non. Sous l'action de
la force interne de tension ou de la force ballon, le modèle traverse l'image jusqu'à trouver le
contour optimal.
Rougon [Rougon, 1993] exprime cette force de pression sous forme d'énergie E ballon , et la
considère comme un terme supplémentaire dans les énergies externes.
Dans l'esprit de diriger le mouvement du contour par des forces externes, Kass et
al. [Kass et al., 1988] ont proposé d'introduire des forces de répulsion de type volcan et des forces
d'attractions de type ressort. La force ressort attirer le contour vers un point d'ancrage ou
l'empêche de s'en éloigner. Contrairement à cela, le potentiel d'énergie de type volcan permet de
créer une force de répulsion autour d'un point afin d'éviter certaines zones de l'image.
La minimisation de l'énergie totale entraîne le contour actif dans les puits de potentiel tout
en décidant d'un contour aux endroits où l'information est manquante, en fonction de la tension
et de la rigidité imposées au modèle déformable. Dans nos applications, une combinaison linéaire
63

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
des deux potentiels basés sur le gradient P grad ( 43 ) et sur l'intensité P ligne ( 41 ) est utilisée. Les
facteurs de pondération sont w grad et w ligne . Au gradient de ces potentiels externes ( 40 ) est
ajoutée la force ballon ( 45 ) avec un facteur de pondération w ballon . L'ensemble constitue les
forces externes pondérées w F ext du contour.
( u) −w
∇P
( u) − w ∇P
( u) w F ( u)
w F = +
. ( 46 )
ext
grad
grad
ligne
ligne
ballon
ballon
5.2 Énergies internes
Les énergies internes du modèle discret sont calculées par différences finies avec un pas
d'échantillonnage régulier h = l / N , avec l la longueur du contour et N le nombre de points. La
matrice A du système est initialement établie à partir du contour de départ qui possède un certain
nombre de points initiaux. Sous l'action des forces extérieures, en particulier la force de pression,
la longueur du contour varie. De plus, les valeurs de ces forces extérieures dépendent de la
position et font évoluer chaque point de manière différente (amplitude et direction du
déplacement). Le pas d'échantillonnage h résultant n'est donc plus constant. Une seule itération
suffit à déséquilibrer l'uniformité de la discrétisation du contour et la matrice A ne représente
donc plus le modèle.
Ainsi, si la matrice du système n'est pas remise à jour suite aux variations du pas de
discrétisation, le modèle ne représente plus les propriétés élastiques du contour, et l'évolution de
sa forme n'est plus correctement contrôlée par les paramètres α et β. Nous avons illustré ce
phénomène en étudiant l'évolution d'un contour représenté par un modèle "statique", c'est à dire
pour lequel la matrice A n'est pas remise à jour au cours des itérations. Nous constatons que la
distance entre les points d'échantillonnage augmente ce qui provoque une augmentation de la
valeur de l'énergie interne. Le contour ne peut plus évoluer librement, il perd de sa souplesse et
s'arrête avant d'atteindre les bords de l'objet. Ainsi, l'énergie interne agit sur la régularité du
contour, tout en pouvant bloquer son évolution. La Figure 23a montre la déformation d'un cercle
sous l'action d'une force de pression et d'un potentiel de gradient calculé avec le
GCM [Anwander et al., 2001] introduit dans le chapitre 3. Le contour final est loin des bords de
l'objet, sa forme a peu évolué et le minimum de l'énergie potentielle n'est pas atteint.
Nous avons ensuite augmenté la force ballon afin de contraindre le contour à évoluer
davantage. Les bords de l'objet sont atteints mais l'augmentation de la force ballon rend le
modèle instable et difficile à utiliser. La Figure 23b montre les contours initiaux et finaux dans ce
cas-ci.
64

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
contour final
contour final
contour initial
contour initial
(a)
(b)
Figure 23. - Différentes évolutions du contour actif dans le cas où le modèle n'est pas remis à jour au
cours des itérations, avec une valeur faible (a) et forte (b) de la force pression.
La Figure 24 illustre l'évolution de l'énergie interne de tension du contour au cours des
itérations (pour le contour actif de la Figure 23b). L’énergie initiale dans cet exemple a une valeur
de 40. Ceci correspond à la discrétisation du contour en 40 points, tous espacés d'un pas
constant. Au cours des itérations, la distance entre les points augmente, et par conséquent
l’énergie interne de tension augmente également. La longueur finale obtenue est de trois fois la
longueur initiale, et l’énergie interne de tension a également triplé. La convergence du modèle
vers le minimum d'énergie totale n'est donc possible, que si la force ballon est très importante et
compense ainsi la force d'énergie interne (la composante normale de cette force). L'évolution du
contour est alors essentiellement dirigée par les forces ballon et internes. La force externe du
potentiel a donc beaucoup moins d'influence.
Energie interne-tension
140
120
100
80
60
40
20
0
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
Figure 24. - Évolution de l'énergie interne-tension du contour actif en fonction des itérations.
Par ailleurs, nous avons étudié plus précisément l'évolution de l'énergie interne de tension
en fonction de la position des points sur le contour. La Figure 25a montre les trajectoires des
points de discrétisation du modèle au cours de l'évolution. Le contour est paramétré dans le sens
des aiguilles d'une montre en partant du point contour le plus haut dans l'image. Entre deux
points voisins nous avons calculé l'énergie interne de tension au cours des itérations (Figure 25b).
Ainsi le point à gauche d'une ligne de la Figure 25b représente l'énergie de tension entre le
premier point du contour et son voisin, alors que le point de droite représente l'énergie entre
l'avant dernier et le dernier point. Les calculs sont effectués pour chaque itération, en partant du
contour initial jusqu'au contour final. La valeur de l'énergie tension interne est représentée par des
65

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
couleurs foncées pour des faibles valeurs de la tension, et par des couleurs claires pour des fortes
valeurs de la tension. Une haute tension signifie une grande distance entre les points.
D'après l'évolution de l'énergie interne de tension, nous constatons qu'un grand nombre
de points du modèle atteignent rapidement le contour de l'objet, et restent quasiment
immobilisés : leur tension reste basse. D'autre part, les points présents notamment sur les bords
gauche et supérieur de l'objet évoluent malgré une grande tension. De plus, les variations de
tension le long d'une ligne tendent à diminuer quand on s'approche de la convergence du modèle.
Les points de basse tension ont tendance à s'écarter les uns des autres et leur tension augmente.
Cette répartition naturelle des points le long du contour ne se fait que très lentement, et la
convergence du modèle est par conséquent ralentie.
a
contour final
contour initial
évolution des
points
projection de la
force interne
tension
b
basse
tension
haute
tension
Itérations
Paramètre curviligne
contour.
Figure 25. - Évolution de l'énergie interne tension au cours des itérations en fonction de la position sur le
Un autre comportement intéressant des contours actifs classiques est les variations haute
tension/ basse tension visible d’une itération à l’autre dans la représentation de l'énergie interne
tension (Figure 25b). Cela signifie que des points du contour se déplacent avec un effet
d’étirement et de relâchement comme une chaîne de ressorts. Ces oscillations ralentissent
également la convergence de l'algorithme par une redondance numérique des mouvements
d'aller-retour entre itérations successives.
Nous pouvons tirer plusieurs conclusions de cette étude de l’énergie interne :
• L'énergie interne n’est pas invariante avec la taille de l’objet.
66

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
• L’augmentation de l’énergie interne a un effet négatif sur la convergence de
l’algorithme. Par conséquent, le contour n'atteint pas le minimum de l'énergie
potentielle, si le modèle initial est trop éloigné des contours cherchés.
• La force interne de tension ne suffit pas pour conserver une distance constante entre
les points de discrétisation au cours des itérations.
• Les distances de discrétisation variables entre les points le long du contour
ralentissent la convergence de l’algorithme.
La littérature ne présente pas de solution suffisante pour résoudre ces problèmes.
Leymarie et Levine [Leymarie et al., 1993] proposent soit d'adapter le paramètre de tension α en
fonction de la distance actuelle entre les points, mais ceci provoque des oscillations du contour,
soit d'interpoler les nouvelles positions des points du modèle et de ré-échantillonner le contour.
La modification des valeurs des paramètres α ou N nécessite cependant la mise à jour de la
matrice A. Or l'inversion de la matrice [ γ I + A]
est une opération coûteuse en temps. Une
solution présentée par la même équipe est de ne mettre à jour le système qu'occasionnellement
(par exemple toutes les m itérations). Maurincomme [Maurincomme, 1994] propose de rééchantillonner
le contour toutes les itérations. La méthode de ré-échantillonnage engendre
cependant quelques problèmes théoriques et pratiques.
1. Le ré-échantillonnage n'entre pas dans le modèle mathématique de la minimisation de
l'énergie.
2. La discrétisation du contour sur la grille de l'image dans l'étape de ré-échantillonnage
influence le comportement dynamique du modèle, notamment lorsque les
déplacements entre itérations successives sont inférieurs à un pixel [Maurincomme,
1994].
3. Le pas d'échantillonnage h et le nombre de points N ont une influence sur la rigidité
du modèle. Maurincomme [Maurincomme, 1994] montre que l'influence de la tension
est inversement proportionnelle au nombre de points. Le ré-échantillonnage change
les propriétés élastiques du modèle, et la convergence est difficilement contrôlable.
Cela rend le paramétrage très difficile.
4. Avec le ré-échantillonnage du modèle, la matrice A représentant le système discret
doit être modifiée. L'inversion [ γ I + A]
est lourde en temps de calcul. A la fin de ce
chapitre nous comparons les temps de calcul nécessaire à son inversion au temps mis
pour effectuer une déformation.
6. AMELIORATIONS DU MODELE
6.1 Redistribution des points de discrétisation sur le contour
Nous avons vu dans les paragraphes précédents qu'à la suite d'une itération de
l'algorithme, les points discrétisés du contour ne sont plus équidistants, car soumis à des forces
67

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
extérieures dont les valeurs varient avec la position de ces points. La conséquence est le
ralentissement de la convergence du modèle vers un état d'énergie minimum. Une solution
coûteuse en temps de calcul est de ré-échantillonner le contour ce qui peut entraîner la
modification du nombre N de points de discrétisation. Nous proposons ici une autre solution
plus rapide, qui consiste à redistribuer les points du modèle le long de la ligne de connexion
obtenue par interpolation linéaire des positions discrètes du modèle. Ainsi, dans notre algorithme
le nombre de points N est invariant, tout en assurant la distribution régulière des points de
discrétisation sur la courbe. Cela est d'ailleurs une condition essentielle pour le calcul numérique,
par différences finies, de la dérivée première et seconde de la courbe.
L'interpolation du contour peut être réalisée par des lignes droites sans perte de précision
pour la nouvelle position des points dans le cas d'une distance d'échantillonnage h inférieure à 2
pixels. Le contour est ainsi un polygone fermé ayant pour sommets les points discrétisés. La
longueur l exacte du polygone est alors calculée avec la relation suivante :
l
N 1
= ∑ −
k=
1
u
( k) − u( k + 1) + u( N ) − u( 1)
( 47 )
Le rapport de la longueur l du contour par le nombre de points donne le nouveau pas de
discrétisation h du modèle h = l / N . Les points de discrétisation sont alors répartis le long du
polygone à égale distance h les uns des autres. Cette distance entre les points n'est d'ailleurs pas la
distance Euclidienne, mais la longueur mesurée sur le polygone. Cette méthode permet de
distribuer le nombre N (N constant) de points le plus régulièrement possible. La déformation du
modèle par cette redistribution est minimale et n'introduit pas d'artefact. Elle permet de
conserver un pas d'échantillonnage quasi constant le long du contour. La Figure 26 montre un
exemple de redistribution.
68

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Polygone initial
Polygone regulier
6,4
1
4,6
5
5
2
2
3,8
8,2
4
3
4,0
3
Longueur du polygone initial : 27,1
Distance d'échantillonnage : 5,4
4
Figure 26. - Redistribution des points discrétisés sur le contour.
Le polygone initial rouge, comprend 5 sommets numérotés de 1 à 5. Après déformation,
les arrêtes n'ont pas les mêmes longueurs (les différentes valeurs sont indiquées). La longueur
totale du contour est de 27,1. Il en résulte un pas de discrétisation h régulier de 5,4. Les points de
discrétisation sont ensuite redistribués le long du polygone rouge à une distance constante h les
uns des autres. Le nouveau polygone bleu joignant les nouvelles positions est suffisamment
régulier pour notre application.
6.2 Calcul de la déformation sur un modèle normalisé
Après la déformation du contour et la redistribution des points, la valeur du pas
d'échantillonnage h du modèle a changé par rapport à l'itération précédente. Ce pas dépend du
nombre de points N et de la longueur l du modèle discret. Il correspond initialement à la distance
entre les points de discrétisation. Il est utilisé dans l'équation discrète de la déformation ( 37 ).
Cette équation n'est valable que si les points de discrétisation sont placés de manière équidistante
le long du contour (ce qui est réalisée dans notre cas après l'étape de redistribution des points) et
que le pas d'échantillonnage h est invariant au cours de l'évolution du modèle. Or, après chaque
itération, la longueur du contour augmente en réaction aux forces externes et le nouveau pas h ne
correspond plus à la distance initiale entre les points. Nous avons déjà expliqué qu'ainsi l'énergie
interne, en particulier le terme de l'énergie d'élasticité
E elast
( u)
associée à la tension du contour
augmente et tend à arrêter le contour loin des bords de l'objet. Ceci est particulièrement gênant si
le contour initial est positionné loin de la position finale attendue. Une solution consiste à rééchantillonner
le contour avec un nombre N plus élevé de points pour conserver la même valeur
du pas de discrétisation au cours des itérations. La matrice [ γ I + A]
de dimension N * N, ainsi
69

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
que son inverse doivent être ré-calculées. Ceci est une tâche coûteuse en temps de calcul, et limite
les applications du modèle classique des contours actifs.
Notre recherche s'est donc dirigée vers un nouveau modèle de contours actifs de
longueur invariante dans le but d'autoriser une initialisation du modèle loin du contour final ou
même un contour initial composé d'un seul pixel. Nous proposons donc un nouveau modèle
numérique normalisé construit pour préserver la validité de l'équation ( 37 ) malgré l'évolution de
sa taille. Le nombre de points du contour est fixe au cours de son évolution et sa longueur,
normalisée, ne nécessitant ainsi de calculer les matrices [ I + A]
]
−1
γ et [ γ I + A qu'une seule fois.
A chaque itération, le modèle est normalisé en posant la valeur du pas de discrétisation
normalisé constant et égale à h normalisé = 1. Cela entraîne la normalisation de l'énergie interne. La
matrice du système et son inverse sont donc calculées une fois pour toutes. Pour pouvoir
appliquer cette matrice normalisée sur des contours de taille variable, il est nécessaire de
redimensionner à chaque itération le contour concret u( t −1)
, discrétisé avec un pas moyen h t− 1,
pour obtenir un contour normalisé u' ( t −1)
, discrétisé avec un pas de discrétisation normalisé
égal à hnormalisé = 1. Ainsi, le modèle normalisé u' possède, en permanence, une longueur l égale
au nombre de points d'échantillonnage l = N. La position u'
( k,
( t −1)
) du k
ème point du contour
normalisé à l'itération ( t −1)
est obtenue à partir de la position du k
ème point u k, t −1 du
contour actuel à la même itération échantillonné avec un pas de discrétisation
homothétie :
( k,
( t −1)
) = u( k,
( t −1)
)/
ht
1
−1
[ I + A] ⋅[ wF
( u( t −1)
) + γ ⋅ '(
t −1)
]
( ( ))
h t−1
par une
u '
( 48 )
Le pas de discrétisation du modèle redimensionné u'
( k,
( t −1)
) est donc hnormalisé = 1 et
correspond au modèle constant. Il est alors déformé conformément à l'équation d'évolution
( )
( 37 ). Les forces externes F ext
u sont calculées pour chaque point, à la position du contour avec
sa taille originale, avant la mise à l'échelle. Il n'est pas nécessaire de les normaliser car elles ne
dépendent pas de la discrétisation de la courbe. Ces forces externes forment le champ de forces
extérieures. Par conséquent, les nouvelles positions u'
( k,
t)
des points du contour normalisé
après déformation se calculent d'après l'équation suivante valable tout au long de l'évolution :
u'(
t)
=
ext
u
γ ( 49 )
La déformation du modèle peut être représentée par un vecteur de déplacement pour
chaque point du modèle. La matrice de déformation notée ∆u' ( k, t)
de dimension 2 * N pour les
N points du modèle est :
( k,
t) = u'
k( i,
t) − u'
( k,
( t −1)
)
∆u '
( 50 )
−
70

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Les vecteurs de déformation sont calculés à partir des valeurs de l'énergie interne
normalisée (matrice A constante au cours des itérations) et des forces externes. Ils ne dépendent
pas de l'échelle de représentation du contour. Ces déformations sont applicables aussi bien au
modèle normalisé qu'au modèle initial puisque leurs formes sont identiques. Elles sont
directement appliquées au modèle initial avant normalisation :
( k , t) = ∆u'
( k,
t)
∆ u
( 51 )
Il est à remarquer que le contour final ainsi obtenu ne correspond pas au contour
normalisé qui serait globalement remis à l'échelle. La déformation, et donc l'évolution du contour,
est calculée sur le contour normalisé puis appliquée directement, sans mise à l'échelle, sur le
contour initial. La nouvelle position du modèle après déformation est alors :
u
( k , t) u( k,
( t −1)
) + ∆u( k,
t)
= ( 52 )
Les points de discrétisation sont ensuite redistribués sur le polygone du contour afin
d'assurer une équidistance h t des points pour la prochaine itération.
La rapidité de l'algorithme de déformation normalisée est bien supérieure à celles de
l’algorithme de déformation classique puisque les calculs de la matrice [ γ I + A]
et de son inverse
sont réalisés une fois pour toutes les itérations. Chaque étape ne nécessite qu'une mise à l'échelle
( 48 ), une multiplication des coordonnées du modèle par la matrice [ γ I + A
− ( 49 ), suivie d'une
addition du vecteur de déformation aux coordonnées des points de discrétisation ( 52 ).
La Figure 27 illustre les étapes de l'algorithme de déformation lors d'une itération. Le
contour initial ( A ) est régulièrement discrétisé (Figure 26). Il contient N=5 points et le pas
d'échantillonnage a une valeur de h t-1 = 5,4. La première étape consiste à normaliser la longueur
du contour en divisant simplement les coordonnées x et y du contour initial par le pas de
discrétisation initial (h t-1 = 5,4) comme indiqué à l'équation ( 48 ). Le pas de discrétisation du
contour à longueur normalisée vaut h normalisé = 1. Sa longueur totale est par conséquente égale à 5.
La deuxième étape consiste à déformer le contour actif normalisé à l'aide de l'équation
( 49 ) et des forces externes calculées pour chaque point du contour initial. Nous obtenons le
contour normalisé déformé ( C ). Le champ de vecteur de déformation permettant de passer des
points du contour ( B ) aux points du contour ( C ) est ensuite calculé. Nous rappelons que ce
champ de vecteur comprend les déformations produites par les forces externes au modèle et par
les forces de régularisation introduites par le modèle. Il correspond aux déformations réelles du
contour et il n'est pas nécessaire de les remettre à l'échelle.
Dans une troisième étape le champ de vecteurs est directement appliqué aux points du
contour initial ( A ) pour obtenir le contour final ( D ) (Figure 28).
] 1
71

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
30
A : contour initial
III. Addition de
la déformation
20
D : contour final
I. Normalisation
10
0
II. Déformation
C
B : contour initial avec
longueur normalisée
A) Polygone régulier avec une
longueur des cotés de 5,4
B) Polygone régulier avec des
cotés de longueur 1
C) Polygone déformé par l'algorithme
des contours actifs
D) Addition du vecteur de
déformation au polygone initial
0 10 20 30
Figure 27. - Schéma du fonctionnement de l'algorithme de déformation normalisée d'un contour lors d'une
itération.
5
1
2
A : contour initial
vecteur de
déformation
4
3
D : contour final
Figure 28. - Application des vecteurs de déformation au contour initial.
Nous résumons notre approche de l'algorithme de contour actif à longueur normalisée
(CALN) sous forme d'un schéma bloc (Figure 29).
72

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Paramètres
du modèle
Discrétisation du
modèle
Boucle jusqu'au
minimum
d'énergie
Calcul des forces
externes
Redistribution des
points sur le contour
Normalisation de la
longueur du contour
Application de la
déformation au
contour initial
Déformation par
minimisation
d'énergie
Calcul des vecteurs
de déformation
Figure 29. - Schéma complet de notre approche de contour actif à longueur normalisée (CALN).
6.3 Intérêt du nouveau modèle de contours actifs à longueur
normalisée (CALN)
Les avantages de notre algorithme de contours actifs à longueur normalisée sont
multiples.
L'évolution du contour étant calculée sur un modèle normalisé, la régularisation de la
déformation par des forces internes reste stable au cours des itérations. En d'autres termes, la
matrice A du système n'est calculée qu'une seule fois. Ceci est possible parce que, ni le nombre N
de points, ni le pas de discrétisation h normalisé du modèle, ne changent au cours des itérations. De
larges évolutions sont donc autorisées sans ré-échantillonnage et nouvelle initialisation du
modèle. En effet, la réinitialisation est un problème majeur dans les modèles de contours actifs
classiques. Elle introduit un temps de calcul important, et modifie les propriétés élastiques du
modèle au cours des itérations. Notre modèle permet un gain de temps de calcul important tout
en garantissant une meilleure précision. Cette nouvelle approche n'adapte pas le modèle au
contour avec un paramétrage nouveau pour chaque itération, mais elle adapte la taille du contour
au modèle.
Ainsi, les contours actifs peuvent être utilisés dans un but de segmentation non supervisée
d'objets d'une image. La stabilité de l'algorithme pour de grandes déformations permet un
démarrage automatique du contour qui peut être initialement réduit à la taille d'un seul pixel. Ceci
est une caractéristique intéressante pour les nombreuses applications qui nécessitent une
segmentation, et donc une initialisation, automatique.
Le paramétrage du modèle ne dépend pas de la taille réelle du contour (N et h constants),
et les paramètres de l'énergie interne peuvent donc être choisis indépendants de la discrétisation
actuelle de la courbe. Des objets de tailles différentes peuvent être détectés à partir d'un seul
modèle avec un nombre de points fixe.
En contrepartie, l’invariabilité des paramètres de rigidité et de la viscosité du contour actif
au cours des itérations est inhérente au modèle. La variation de ces paramètres au cours de
l'évolution pourrait être parfois souhaitée pour adapter le modèle aux caractéristiques
particulières d'un objet ou d'une image, comme la présence d'un angle pointu. Ces adaptations
73

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
peuvent cependant difficilement être intégrées dans une segmentation non supervisée et limitent
donc peu l'application du modèle proposé. Si l'utilisateur souhaite ajouter de telles
caractéristiques, elles peuvent être facilement intégrés dans ce modèle, comme dans le modèle
classique, mais en perdant la rapidité de notre approche, puisque il faut alors remettre à jour la
−1
matrice [ γ I + A] .
7. PARAMETRES DU MODELE ET LEURS DEPENDANCES
Après avoir décrit le modèle de contours actifs à longueur normalisée, il est utile
d'étudier les différents paramètres qui règlent l'évolution du modèle, dans l'optique d'aboutir à
une technique partiellement automatique de réglage des paramètres. En particulier, l'étude des
paramètres de l'énergie interne calculée à partir du modèle normalisé est facilitée puisque celle-ci
est indépendante de la longueur du contour. L'objectif est alors d'obtenir un paramétrage du
modèle indépendant du nombre de points d'échantillonnage. Ceci est nécessaire pour initialiser le
contour automatiquement avec un contour initial de forme et de taille différente. Un autre
objectif de cette étude est de contrôler le déplacement introduit par les forces externes et internes
pour chaque itération. Nous cherchons à déterminer la valeur de la force ballon nécessaire pour
déplacer le contour d'environ un pixel par itération. Cette vitesse correspond à la résolution du
potentiel d'énergie externe liée à l'image. Un contour se déplaçant à une vitesse supérieure à un
pixel par itération pourrait ne pas balayer toutes les positions de l'image et risque, ainsi, de
manquer certains minima de l'énergie potentielle. Au contraire, une vitesse inférieure introduit
une redondance du calcul et ralentit la convergence de l'algorithme.
Pour étudier les différents paramètres, reportons-nous à l'équation d'évolution du modèle
discret :
−1
[ I + A] [ wF
( u(
t −1)
) + γ ( t −1)
]
γ ( 53 )
u(
t)
=
ext
u
Le premier terme, à droite de l'équation, contient la matrice A de rigidité du modèle qui
résulte de la discrétisation d'un calcul différentiel le long du contour. Appliqué dans le cas de
contours actifs fermés, le schéma de discrétisation boucle sur lui-même. La matrice A, dite de
Toeplitz, est alors circulante et symétrique avec une bande de 5 valeurs différentes de zéro (quasipentadiagonale).
74

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
⎛ 2α
6β
⎜ +
2 4
⎜ h h
⎜ α β
− − 4
⎜ 2 4
h h
⎜ β
⎜
4
⎜ h
=
⎜ 0
⎜ M
⎜
⎜ 0
⎜
⎜ β
⎜ 4
⎜
h
⎜
α β
− − 4
2 4
⎝ h h
α β
− − 4
2 4
h h
2α
6β
+
2 4
h h
α β
− − 4
2 4
h h
O
O
L
h
0
β
4
β
4
h
α β
− − 4
2 4
h h
2α
6β
+
2 4
h h
O
O
0
L
0
0
β
4
h
α β
− − 4
2 4
h h
O
O
β
h
4
0
L
0
β
4
h
O
O
α β
− − 4
2 4
h h
β
h
4
0
0
0
O
O
2α
6β
+
2 4
h h
α β
− − 4
2 4
h h
β
h
4
β
h
4
0
O
O
α β
− − 4
2 4
h h
2α
6β
+
2 4
h h
α β
− − 4
2 4
h h
α β ⎞
− − 4 ⎟
2 4
h h ⎟
β ⎟
4
h ⎟
⎟
0 ⎟
⎟
M ⎟
0 ⎟
β ⎟
⎟
4
h ⎟
α β ⎟
− − 4
2 4
h h
⎟
2α
6β
⎟
+ ⎟
2 4
h h ⎠
A ( 54 )
L
L
L
La matrice ( 54 ) contient trois paramètres du modèle :
• le paramètre α de pondération de l'énergie interne de tension ;
• le paramètre β de pondération de l'énergie interne de flexion ;
• le pas d'échantillonnage h du modèle. Pour notre modèle normalisé, ce pas est
constant, h=1.
L'équation ( 53 ) contient également le paramètre de viscosité γ. Ce paramètre régit la
vitesse d'évolution, c'est à dire le déplacement des points du contour entre deux itérations. Afin
de limiter la vitesse des points du modèle à 1 pixel par itération, il est important de régler le
paramètre de viscosité en fonction des autres paramètres du modèle. Ce paramètre γ dépend des
paramètres α et β, mais également de la force externe F, le dernier paramètre de l'équation
d'évolution. La force externe est elle-même la somme de plusieurs forces externes dont la force
gradient ( 40 ) et la force de ballon ( 45 ). Nous étudions dans la suite de ce paragraphe les
réglages relatifs à l'ensemble de ces paramètres.
7.1 Les coefficients d'élasticité α et de rigidité β
Nous avons choisi des coefficients de tension α (élasticité) et de flexion β (rigidité)
indépendants de l'abscisse curviligne dans le but d'une segmentation automatique sans
interaction. Ces paramètres ne règlent pas seulement la régularité du contour, mais ils ont
également une influence sur son évolution dynamique. La force de tension d'un contour fermé
tend à rétrécir celui-ci jusqu'à ne devenir qu'un point dans l'image. La composante tangentielle
des ces forces de tension et de flexion joue sur la répartition des points sur le contour. Cela a peu
d'importance dans notre cas car nous effectuons une redistribution de ces points. Nous nous
limitons donc à l'étude de la composante normale de ces forces. Pour cela, nous avons regardé
l'évolution d'un contour actif en l'absence de forces externes liées à l'image. Nous avons utilisé un
contour déformable circulaire, donc avec une courbure constante le long du contour. Le contour
initial circulaire évolue sous l'influence d'une force extérieure de ballon uniquement. Ce modèle
permet de calculer les forces internes sans influence de la forme du contour.
75

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Dans un premier temps, nous avons étudié séparément les variations des composantes
F α ,normale
F β , normale
normales des forces de tension, et de flexion, , en fonction des paramètres α
et β ( Figure 30 et Figure 31 ). Pratiquement, pour une valeur du couple (α, β) nous avons réglé
la force ballon pour ne pas avoir d'évolution du contour actif. En un point du contour, la force
ballon obtenue est alors égale à la composante normale de la force interne. Nous rappelons que
F α ,normale
F β , normale
les forces internes et sont indépendantes de la taille réelle du ballon dans notre
modèle à longueur normalisée. Cela a été fait pour sept valeurs de α (avec β=0) et pour deux
valeurs du nombre N de points de discrétisation du contour (Figure 30). Nous avons procédé de
même en faisant varier β (avec α=0) (Figure 31). Sur ces deux courbes, la composante normale
des forces internes varie linéairement en fonction des coefficients α et β.
Le nombre N de points de discrétisation modifie la valeur des composantes normales des
forces internes. Pour bien comprendre cette influence, nous rappelons que le modèle normalisé
est discrétisé avec un pas de h=1. Sa taille ne dépend donc que du nombre de points. Ainsi, le
contour normalisé qui est ici un cercle a son diamètre qui augmente avec le nombre de points.
F α ,normale
F β , normale
Les composantes normales des forces de tension et de flexion et diminuent
avec l'augmentation de N (Figure 30 et Figure 31).
Plus particulièrement, l'évolution de la composante normale de la force de tension
F α ,normale
est reliée au coefficient α ( Figure 30 ), par la relation suivante :
2π
Fα
normale
α
N
,
= ( 55 )
F α ,normale
est inversement proportionnelle au nombre N de points, et directement
proportionnelle au coefficient α. Cette relation permet d'adapter la valeur de la force ballon en
fonction du nombre de points N du modèle afin de conserver une vitesse d'évolution du contour
de 1 pixel par itération. La Figure 30 donne les points de mesure de la composante normale de la
force de tension
F α , normal
obtenus pour différentes valeurs du coefficient de tension α ainsi que la
droite correspondant à la relation ( 55 ), ceci pour deux discrétisations différentes du contour
initial avec N valant 40 et 100 points.
76

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
F α ,normale
0.09
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
N = 40 :
F
α , n
=
2π
α
40
N = 100 :
α , n
=
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Figure 30 - Composante normale de la force de tension
F
coefficient de tension α
F α ,normale
2π
α
100
en fonction du coefficient de tension α
pour deux contours initiaux de tailles différentes : 40 points et 100 point (points de mesure et droite correspondant
à la relation ( 55 )).
La composante normale de la force de flexion
F β ,normale
a une amplitude beaucoup moins
importante que celle de la force de tension. Sous l'action de la seule force interne de flexion, le
contour rétrécit beaucoup moins rapidement que s'il est soumis à la force de tension. Nous
obtenons la relation suivante :
F normale
=
( 5π
)
β ,
3
N
2
β
( 56 )
La force est inversement proportionnelle au nombre N 3 . Le facteur (5π) 2 est obtenu à
partir des simulations numériques. Cette relation permet d'adapter la force ballon en fonction du
nombre de points. Le graphique de la Figure 31 illustre la relation entre
F β ,normale
de flexion β pour deux discrétisations différentes du contour initial avec 40 et 100 points.
et le coefficient
77

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
F , normale
0.004
β
N = 40 :
0.003
( 5π
)
0.0035
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
F
=
β , n 3
40
2
β
N = 100 :
( 5π
)
=
100
β , n 3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
coefficient de flexion β
Figure 31 - Composante normale de la force de flexion
F β ,normale
F
2
β
en fonction du coefficient de flexion β
pour deux contours de tailles différentes : 40 points et 100 points (points de mesure et droite correspondant à la
relation ( 56 )).
Il faut ensuite déterminer la valeur totale de la force ballon qui est nécessaire afin que le
contour évolue à une vitesse fixe de 1 pixel par itération quelle que soit la valeur de N.
F α ,normale
F β , normale
L'amplitude de la force ballon devra être supérieure à la somme de et . Quelle
que soit la taille N du contour, la partie de la force ballon qui fait avancer le contour doit rester
F α ,normale
F β , normale
fixe, seule la partie qui compense la somme de et est adaptée en fonction de
N.
Il est également important de noter que l'adaptation de la vitesse d'évolution du contour
actif en fonction du nombre de points N, ne doit pas être faite en changeant les valeurs des
coefficients de tension α et de flexion β, mais en adaptant la force ballon. Un changement des
coefficients α et β ne modifie pas seulement la composante normale de la force d'énergie interne,
mais également sa composante tangentielle. Ces dernières sont importantes pour la régularisation
du contour actif dans le cas où on n'effectue pas de redistribution des points sur le contour.
Pour un contour de forme non circulaire, les forces normales ont des valeurs différentes
pour chaque point du modèle. Dans ce cas, les différentes forces normales ne doivent pas être
compensées pour chaque point. C'est la "composante globale" de cette force qui doit être
compensée par la force ballon calculée à l'aide des équations précédentes.
7.2 Étude des forces externes
L'énergie externe peut prendre différentes formes comme cela a été vu au paragraphe 5.1
selon ce qui est cherché dans l'image. Elle s'exprime souvent à partir du gradient d'un potentiel
( 40 ) qui est lui-même relié au gradient de l'intensité de l'image ( 43 ). Ainsi, une image très nette
a des gradients de potentiel plus importants qu'une image floue. La force externe agit directement
sur l'évolution du contour actif. Dans le cas d'une série d'images traitée automatiquement, on
peut obtenir de fausses déformations si les valeurs de cette force externe ne sont pas
uniformisées sur l'ensemble des images. Une solution déjà évoquée précédemment, et proposée
78

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
par Cohen [Cohen, 1991] consiste à normaliser la force externe en chaque point de l'image ( 45 ).
Seule la direction de la force externe est utilisée mais l'évolution du contour peut être alors
perturbée par de petites forces créées par du bruit dans l'image.
Afin de contourner ces problèmes, nous proposons simplement de normaliser les
composantes du gradient de l'énergie potentielle (les forces externes) dans chaque image. Ceci est
effectué par la recherche du maximum du module de la force externe, donc du module du
gradient du potentiel. Le module de la force externe est normalisé entre 0 et 1 sur l'ensemble de
l'image. Le sens et la direction sont inchangés. Il est important de manier une force normalisée
afin de contrôler la vitesse de déformation. L'optimisation de la vitesse du contour est détaillée
dans le paragraphe suivant.
La deuxième force externe, la force ballon est, elle aussi, une force normalisée ( 45 ), de
module unité [Cohen, 1991]. Elle doit compenser les forces internes, mais également faire évoluer
le contour vers l'extérieur. Cette force a comme troisième fonction d'éviter que le contour ne
s'arrête sur de faux minima locaux dans l'image de gradient. On pondère son module par le terme
w ballon , de façon qu'elle corresponde à la somme des forces compensatrices ( 55 ) et ( 56 ) de
l'énergie interne, et à la force de gonflement elle-même. Ce terme de la force ballon doit toujours
être inférieur au coefficient de la force gradient afin d'arrêter le contour sur des zones de fort
gradient.
w F
+
ballon
ballon
= Fα , normale
+ Fβ
, normale
Favancement
( 57 )
F α ,normale
L'ordre de grandeur des valeurs obtenues en pratique est pour les forces internes
et
F β , normale
de 0,001. Le maximum des forces externes est de 1 en module sur toute
l'image, mais les valeurs courantes ou moyennes sont plus faibles, ce qui conduit a prendre
également une valeur de l'ordre de 0,1 pour
Favancement
le paramètre de viscosité γ qui régit la vitesse du contour.
. Son réglage s'effectue en même temps que
7.3 Le coefficient de vitesse γ
Ce dernier paramètre de l'équation d'évolution ( 53 ) agit directement sur la vitesse du
contour. Nous fixons la vitesse maximale du contour à un pixel par itération. Celle-ci est
directement limitée par le paramètre de viscosité γ. D'une grande valeur de γ résulte une petite
vitesse. Le déplacement du contour en l'absence de forces internes est d'après ( 53 ) :
1
∆u( t)
= F −
γ
( u(
t 1) )
. ( 58 )
Cette équation permet de déterminer le γ optimal pour des champs de forces externes
normalisées, et un pas de déplacement maximal de un pixel par itération. Mais, il est préférable de
parler de déplacement moyen plutôt que de déplacement maximal. Ainsi pour avoir un
79

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
déplacement moyen de un pixel par itération, nous prenons en compte non pas la valeur
maximale de la force mais sa valeur moyenne. Cela conduit à prendre pour γ une valeur de l'ordre
de 0,1. Le cas, exceptionnel dans nos images, correspondant au déplacement maximal sera limité
par la structure, tension et rigidité, du contour.
7.4 Contour initial
Dans le cas des modèles classiques de contours actifs, le positionnement du contour
initial dans l'image est crucial pour assurer une bonne convergence [Cohen, 1991]. Notre
approche avec longueur normalisée utilise un contour initial qui peut être loin du contour final.
Le modèle balaye l'image jusqu'à rencontrer les bords de l'objet. Ce balayage peut se faire de
l'extérieur de l'image vers l'intérieur avec un contour initial sur les bords de l'image ou de
l'intérieur d'un objet vers l'extérieur, suivant le choix de la force ballon. La dernière approche est
très utilisée pour rechercher les bords d'objets homogènes, notamment s'il y a plusieurs objets
dans l'image. Nous avons ciblé nos recherches sur ce cas. Pour automatiser le choix du contour
initial nous réduisons sa taille à un pixel de l'image. Cela convient au cas de la recherche de
contours avec initialisation automatique ou avec une intervention réduite de l'utilisateur qui
indique alors un seul point dans l'image.
Dans les applications de segmentation citées dans ce chapitre, un contour initial circulaire
est posé à l'intérieur du pixel initial dans l'objet à segmenter. Le nombre de points est fixe (par
exemple N = 100 points). Le pas de discrétisation initial h = 2π / N est très petit, mais notre
modèle normalisé permet une croissance rapide et stable de ce modèle initial. La déformation
normalisée garantie une croissance régulière de ce contour initial jusqu’à la taille finale qui peut
être de la dimension de la taille de l’image. Afin que l'évolution du contour suive les données de
l’image, la distance entre les points de discrétisation doit être limitée. Si celle-ci est inférieure à
deux pixels, l'intégrale de l'énergie externe ( 26 ) sur le contour peut être transformée en la
somme des forces sur les points de discrétisation. Dans ce cas, les forces externes sont
suffisamment représentées par leurs valeurs en ces points discrets. Nous proposons donc de
limiter la distance de discrétisation h à deux pixels. Si la taille du contour actif dépasse cette limite,
le modèle doit être établi avec un nombre plus élevé de points. Nous proposons de doubler
simplement le nombre de points. Des points de discrétisation sont alors ajoutés au milieu de
chaque arrête du polygone. Avec ce nouveau modèle, il est nécessaire de recalculer la matrice de
rigidité [ γ I + A]
et la matrice inverse [ γ I + A] −1
car la matrice de rigidité dépend des paramètres
interne du modèle α et β, du nombre N de points, et de la viscosité γ du milieu. Afin d'éviter ces
calculs supplémentaires, il convient de démarrer l'algorithme avec un contour actif dont le
nombre N de points dépend de la longueur finale maximale attendue.
Pour stabiliser le démarrage du contour initial, nous proposons de placer une force de
répulsion [Kass et al., 1988] à l'intérieur du contour. Cette force exerce sur le modèle une force
radiale à la source de répulsion, dirigée vers l'extérieur. Cette force remplace la force ballon au
cours des 10 premières itérations. Pour notre modèle avec initialisation en un seul pixel, la force
radiale placée au centre du pixel initial est nécessaire dans les cas où le point initial est situé dans
une région à fort potentiel d'énergie externe. Dans ces zones, la force ballon ne peut pas toujours
80

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
assurer un démarrage radial, car elle agit dans la direction normale au contour. Vu la taille réduite
du contour au démarrage, les variations du potentiel extérieur concernent un grande partie du
contour et ainsi la direction normale au contour peut différer de la direction radiale. La force
radiale est plus stable et elle évite le chevauchement des points de discrétisation.
7.5 Convergence du contour
Le modèle proposé calcule a chaque itération le champ de déplacement des points du
contour ( 50 ). Ce champ de déplacement est évalué pour déterminer la convergence du modèle.
La convergence est atteinte, si la somme des vecteurs de déplacement est négligeable. Notre
modèle n'étant pas soumis a des oscillations, ce critère de convergence est fiable.
Grâce à la vitesse contrôlée du modèle, une simple limite du nombre d'itérations de
l'algorithme peut également être utilisée pour assurer la convergence. Si la position finale est
atteinte avant le nombre maximal d'itérations le contour n'évolue plus et reste sur sa position
stable.
8. INVERSION DE LA MATRICE DE RIGIDITE
Généralement, l'inversion de la matrice du contour actif se fait par une technique de type
décomposition par LU [Press et al., 1992] particulièrement appropriée pour une matrice
pentadiagonale ou quasi-pentadiagonale, symétrique à bande étroite. Ces méthodes étant très
lentes, nous proposons de calculer l'inverse de la matrice de façon littérale et d'estimer le gain de
temps de calcul occasionné. Ce calcul a été introduit par Delmas [Delmas, 2000] et s'appuie sur le
calcul des valeurs propres de la matrice introduit par Berger [Berger, 1991].
8.1 Inversion littérale
propres ( A)
Dans le cas ou les coefficients α et β sont constants le long du contour, les N valeurs
λ de A pour un contour fermé sont [Berger, 1991] :
p
( p −1) π ( p −1)
⎛ α β 2 ⎞ 2 π
λ ( A ) = 4 4 sin sin , p = 1,... N
p ⎜ +
h h N
N
,
2 4
⎟
( 59 )
⎝
⎠
Pour la matrice [ γ I + A]
avec un paramètre γ également constant, nous obtenons les
valeurs propres λ p
( γ I + A)
suivantes [Bronshtein et al., 1985] :
λ
p
( γ + A)
⎛ α β
= γ + 4 ⎜ + 4 sin
2 4
⎝ h h
( p −1) π ( p −1)
N
⎞
⎟sin
⎠
2
2
I ( 60 )
N
π
81

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
−1
Delmas [Delmas, 2000] a montré que la matrice inverse [ γ I + A d'une matrice de
Toeplitz [ γ I + A]
circulante de largeur 5, est une matrice de Toeplitz circulante symétrique
possédant selon la parité de sa dimension N (égale au nombre de points), (N+1)/2 (cas impair)
ou N/2 +1 (cas pair) valeurs distinctes. Tous les éléments d'une même diagonale sont égaux
entre eux. Les éléments ( d q ) de la diagonale q sont calculés par [Delmas, 2000] :
]
( q −1)( p −1)
N
1 1 ⎛ 2π
⎞
dq = ∑ cos⎜
⎟,
q = 1,... , N
N p=
1 λ ⎝ N ⎠
p
( 61 )
avec les valeurs propres λ p
( γ I + A)
( 60 ). Les valeurs de la diagonale d q et d N+2-q sont
identiques.
γ I + A
Avec les éléments d q , nous composons la matrice [ ] :
−1
⎛ d1
d
2
L d
N −1
d
N ⎞
⎜
⎟
⎜ d
2
d1
L d
N −2
d
N −1
⎟
−1
γ = ⎜ M M O M M ⎟
( 62 )
⎜
⎟
⎜d
N −1
d
N −2
L d1
d
2 ⎟
⎜
⎟
⎝ d
N
d
N −1
L d
2
d1
⎠
[ I + A]
8.2 Complexité algorithmique et temps de calcul
Nous avons comparé le temps de calcul nécessaire pour inverser la matrice [ γ I + A]
par
décomposition LU [Press et al., 1992] et celui en utilisant la formule littérale pour différentes
tailles de la matrice. De plus, nous avons évalué le gain de temps apporté par notre algorithme de
contour actifs à longueur normalisé par rapport à un algorithme classique qui nécessite d'inverser
la matrice à chaque itération [Maurincomme, 1994]. Les algorithmes ont été optimisés dans les
deux cas, et les calculs ont été effectués sur un ordinateur de type "PC Pentium III", 600 Mhz
avec 192 Mo de mémoire vive et le système d'exploitation "Windows NT4".
Dans un premier temps, le temps de calcul nécessaire à l’inversion de la matrice [ γ I + A]
en utilisant la méthode numérique et la formule littérale (Figure 32) est comparé.
82

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
temps T
100000
en ms
10000
1000
100
10
1
10
2
T ∝ N
3
T ∝ N
100 1000 10000
taille N de la matrice
inversion
numérique
inversion
littérale
Figure 32. - Temps de calcul sur PC Pentium III 600 (Windows NT) des algorithmes d'inversion d'une
matrice pentadiagonale.
Le temps de calcul de l'algorithme d'inversion littérale de la matrice pentadiagonale de la
formule ( 61 ) croît de manière quadratique avec la taille N de la matrice. Le temps de calcul de
l'algorithme d'inversion numérique est proportionnel à N 3 . Pour une matrice de taille moyenne de
100 points, le temps pour l'inversion littérale est de 2,5 ms et celle pour l'inversion numérique est
de 6 ms. Pour des matrices de grande taille, la différence s'accroît et devient très importante.
Dans un deuxième temps, nous avons comparé le temps de calcul d'une itération de
l'algorithme de contour actif classique avec celui nécessaire dans l'approche proposée. La
γ I + A , suivie de la
méthode classique requiert à chaque itération l'inversion de la matrice [ ]
déformation du contour (Figure 33).
temps en ms
1000
100
10
inversion littérale
et déformation
déformation par
CALN
1
40 100 1000 nombre N de points
Figure 33. - Temps de calcul pour une itération des algorithmes de déformation du contour actif.
La Figure 33 montre que le temps de calcul pour une déformation est beaucoup moins
important que celui pour une inversion de la matrice. Le modèle des contours actifs à longueur
normalisée (CALN) est environ cinq fois plus rapide qu'un modèle de contour actif classique
nécessitant l'inversion de la matrice [ I + A]
γ avec la formule littérale. Dans les cas de l'étude,
83

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
l'algorithme de redistribution des points (Figure 26) est utilisé. Il modifie à chaque itération le pas
de discrétisation h et non pas le nombre N de points du modèle.
Avec la méthode CALN, le calcul de l'inverse de la matrice [ γ I + A]
n'est réalisé qu'une
seul fois (au début), et le temps de calcul correspondant est négligeable pour un nombre
d'itération de l'ordre de 100. Pour un gain de temps supplémentaire, et dans le cas d'un
paramétrage fixé à l'avance, les N/2 valeurs différentes de [ γ I + A
− peuvent être calculées
préalablement, et stockées dans un fichier. Une analyse détaillée du temps de calcul d'une
itération de notre algorithme montre d'ailleurs que le temps de redistribution des points par notre
algorithme est négligeable (

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
présente un extrait de la séquence de déformation du contour actif jusqu'à convergence du
modèle. Le contour actif en évolution est superposé à l’image d’entrée (première image en haut à
gauche). Le résultat final correct de la segmentation est illustré sur la dernière image en bas à
droite. Iles est tout à fait correct.
Figure 34. - Évolution du contour actif à longueur normalisée superposé à une image synthétique.
9.2 Segmentation des ventricules de cerveau en IRM
Après illustration sur une image synthétique, les résultats sur des images réelles sont
présentés. Les premières images testées sont des images acquises en Imagerie par Résonance
Magnétique (IRM) cérébrale (Figure 35). Nous présentons, comme exemple, la segmentation des
ventricules latéraux d'une coupe axiale de l'image en pondération T1 d'un sujet normal. Le
contour actif en évolution est superposé à l’image d’entrée (première ligne). Le contour initial (de
diamètre un pixel) est placé manuellement dans l'un des deux ventricules du cerveau. Sur la
seconde ligne de la Figure 35 sont présentés les résultats de la segmentation obtenus à partir de
différents contours initiaux. Les contours initiaux et finaux sont alors superposés à l’image. Les
résultats de la segmentation sont identiques. La convergence de l'algorithme est donc
indépendante du contour initial dans ce cas-ci. Comme nous pouvons le voir, les segmentations
sont correctement effectuées.
85

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Figure 35. - Évolution du CALN sur une image d’une coupe axiale en IRM cérébrale. Les contours
actifs en évolution ainsi que les contours initiaux sont superposés à l’image d’entrée (première ligne). La seconde
ligne présente les résultats de la segmentation obtenus pour différents contours initiaux.
La Figure 36 présente une coupe sagittale du cerveau de la Figure 35 avec la segmentation
d'un ventricule de forme allongée. Cet exemple démontre les propriétés élastiques du modèle qui
lui permettent d'évoluer à travers des régions très fines sans endommager la régularité du résultat
final. Sur la première ligne de la Figure 36, le contour initial et le contour actif en évolution sur
l’image d’entrée sont superposés. La seconde ligne montre les résultats de la segmentation
obtenus pour différents contours initiaux, placés manuellement dans le ventricule latéral du
cerveau. Les résultats sont indépendants du contour initial comme dans l'exemple précédent et le
ventricule est correctement segmenté.
86

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Figure 36. - Évolution du CALN superposée à une image d’une coupe sagittal en IRM cérébrale. La
seconde ligne montre les résultats de la segmentation pour différents contours initiaux.
9.3 Segmentation de la paroi d'artères en IRM
Le deuxième type d'images médicales testées sont des images de microscopie par
Résonance Magnétique (RM). Nous avons segmenté ces images haute résolution de vaisseaux
sanguins de lapins WHHL ("Watanabe Heritable Hyperlipidaemic") acquises in vivo et in vitro 3 .
La taille du pixel est entre 58 et 78 µm avec une épaisseur de coupe de 0,8 à 1 mm. La Figure 37
montre une série continue d’images d'une portion de l'aorte in vitro d'un lapin. La lumière de
l'artère (zone où passe le sang) est segmentée avec l'algorithme CALN (première ligne de la
Figure 37). La seconde ligne montre les mêmes images en mode vidéo inverse pour mieux
visualiser les détails des résultats.
3 Nous remercions Mme Linda Chaabane du Laboratoire Résonances Magnétiques et Caractérisation
Tissulaire (RMN), UMR CNRS 5012, Lyon, dirigé par professeur A. Briguet pour nous avoir fourni ces images.
87

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Figure 37. - Segmentation par CALN de la lumière de vaisseaux. La série d'images, représentant les
coupes d'un tronçon d'artère, est acquise in vitro en RM haute résolution. Les points initiaux et les contours
finaux sont superposés aux images de la première ligne. La deuxième ligne montre les mêmes images en vidéo
inverse pour mieux visualiser les détails du résultat.
La Figure 38 montre les résultats de la segmentation de la lumière d'artère obtenus sur des
images MR haute résolution acquises in vivo sur un lapin WHHL. Elles ont pour but de visualiser
la paroi du vaisseau, niveau de gris plus clair, autour de la lumière du vaisseau qui est elle
beaucoup plus sombre. Sur la première image de gauche est indiquée la zone d'intérêt
sélectionnée. Dans un premier temps, l’extraction automatique de la lumière avec notre modèle
de contours actifs à longueur normalisée (CALN) correspond bien aux contours intérieurs réels
des vaisseaux (première ligne de la Figure 38).
La seconde ligne de la Figure 38 présente les contours du bord extérieur des vaissaux. Le
contour initial aurait pu être le contour de la lumière trouvé précédemment mais, pour montrer la
robustesse de notre modèle, a été choisi en un pixel à l'intérieur du vaisseau. L'algorithme
converge sur le bord recherché qui est caractérisé par un passage d'une couleur claire à une
couleur foncée.
Figure 38. - Segmentation par CALN d'une série d'images acquise in vivo. La zone d'intérêt
sélectionnée est indiquée dans la première image à gauche de la première ligne. La première ligne montre la série
d'images auxquelles sont superposés les contours de la lumière du vaisseau et les points initiaux. La deuxième ligne
montre les résultats de la segmentation des contours extérieurs de la paroi du vaisseau.
88

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
Le modèle de contours actifs à longueur normalisée (CALN) a été intégré dans deux
logiciels d’imagerie médicale développés au laboratoire Creatis. Ces logiciels ont permis de valider
quantitativement sur un grand nombre d'images la robustesse des résultats de la segmentation par
CALN dans le contexte médical. Les résultats obtenus sur ces deux applications sont donné en
annexe C.
10. CONCLUSION
Dans ce chapitre nous avons rappelé la théorie des contours actifs. A partir du modèle
classique, nous nous sommes intéressés plus particulièrement à la mise en œuvre numérique de
l'équation d'évolution du contour. Nous avons ainsi étudié et pallié les problèmes qui se posent
lors de cette mise en œuvre :
• Le modèle numérique doit être recalculé à chaque itération de l'algorithme (ou
presque).
• Le réglage des paramètres, tension, flexion, viscosité, force externe et force ballon est
délicat. Il doit être ajusté lors de grand déplacement ou changement du nombre de
points du contour.
Une discussion à propos de la discrétisation du modèle de contour actif ainsi qu'une étude
de l'influence relative des forces externes et internes a motivé la définition d'un nouveau modèle
de contours actifs à longueur normalisée (CALN), plus stable et largement plus rapide. Ce
modèle présente une structure invariante tout au long de l'évolution du contour. A chaque
itération, les points discrets du contour sont redistribués uniformément et la longueur du contour
est normalisée afin de préserver la validité de la matrice A de rigidité interne du modèle.
L'évolution des points est calculée sur le modèle normalisée de longueur invariante, puis reportée
sur le contour réel. Ceci permet de conserver la validité des réglages des paramètres de tension,
flexion et force ballon, au cours de très grandes variations de la longueur du contour réel (cas de
l'initialisation par un point). Une étude complète de la composante normale des forces internes,
tension et flexion, et externes, ballon et image, a permis de maîtriser la composante d'avancement
du contour. Ainsi le modèle CALN possède une vitesse d'évolution constante, indépendante du
réglage des coefficients α, β et du nombre de points N du contour. Une vitesse d'évolution
constante est primordiale pour la stabilité de l'algorithme et la convergence rapide. Cette
implantation numérique conduit également à une réduction par un facteur important (supérieur à
cinq) du temps de calcul qui a été comparé à celui apporté par l'inversion littérale de la matrice de
rigidité [Delmas, 2000].
Les avantages de notre modèle de CALN pour l'extraction de contours sont :
• Le réglage des coefficients α, β ainsi que l'évolution du contour est indépendante de
sa taille.
89

SEGMENTATION D’IMAGES PAR CONTOURS ACTIFS A LONGUEUR NORMALISEE (CALN).
• La vitesse d'évolution du contour contrôlé à 1 pixel par itération évite de manquer des
minima de l'énergie externe.
• Le contour final est indépendant de l'initialisation. Ceci permet une initialisation avec
un seul pixel et la croissance dans tous les directions tout en garantissant un contour
final lisse.
La présentation du modèle CALN nous paraît une avancée significative en terme de
convivialité d'utilisation des contours actifs. Les CALN permettent le calcul partiellement
automatique des paramètres du modèle, et rendent sa convergence indépendante du contour
initial et de la discrétisation du contour. La validité de la segmentation par CALN a été illustrée
sur des exemples d'images synthétiques, et autres applications diverses issues de l'imagerie
médicale. Les CALN constituent un outil de segmentation fiable avec une grande capacité
d'adaptation et la possibilité d'utilisation en segmentation automatique non supervisée.
90

Chapitre 5
QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE
PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
1. Introduction......................................................................................................92
2. Article publié dans "WORLD CEMENT"......................................................94
2.1 Introduction................................................................................................................96
2.2 Clinker preparation ....................................................................................................96
2.3 Imaging system...........................................................................................................97
2.4 Image characteristics..................................................................................................97
2.5 Image analysis.............................................................................................................98
Principe ..........................................................................................................98
Matrix segmentation.....................................................................................98
Segmentation of the pores.........................................................................100
Differentiation of alite and belite .............................................................101
User interface ..............................................................................................104
2.6 Experimental results & discussions.......................................................................106
2.7 Conclusions...............................................................................................................107
Acknowledgements..................................................................................................108
3. Améliorations apportées au logiciel "Clinker-Microvision" ......................... 109
3.1 Pré-traitement – normalisation de l'histogramme ...............................................111
3.2 Classification des régions par la couleur...............................................................111
3.3 Segmentation par contours actifs...........................................................................112
3.4 Segmentation par classification de régions...........................................................117
4. Résultats et conclusions ..................................................................................121
91

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
1. INTRODUCTION
Au début de ce chapitre consacré à l'application industrielle des méthodes décrites
précédemment sur le traitement numérique des images couleur, il convient de rappeler que
l'ensemble de ce travail de thèse a fait l'objet d'une convention CIFRE entre le laboratoire
CREATIS et le Centre de Technique de Lafarge Ciments de Viviers. On se reportera à l'annexe B
pour plus de détails sur la fabrication du ciment. Rappelons seulement que le clinker est un
produit intermédiaire formé de grain de roche, en sortie du four à ciment. Son broyage donne
ensuite le ciment qui est le composant essentiel des ouvrages en béton. Il est indispensable de
contrôler le clinker afin d'assurer une qualité régulière en sortie du four. Jusqu'à présent, cet
examen est, entre autre, réalisé par l'expert microscopiste lors d'une observation au microscope
optique de section polie de clinker. Il effectue une analyse de la nature du cristal sur une grille
régulière de 2000 points et détermine de manière statistique le pourcentage de chacune des
phases du clinker. Une étude statistique sur la taille et la forme des cristaux est également
effectuée. Les trois principales phases recherchées sont :
• L'alite, notée C 3 S dans la nomenclature cimentière, qui est caractérisée par un faciès
polygonal. Après attaque chimique, ses contours sont généralement bien marqués et la
surface lisse. Dans notre cas, d'une attaque avec une combinaison de HNO 3 et de
NH 4 Cl, elles présente une teinte plutôt bleue mais pouvant tirer vers le marron. La
présence de cristaux d'alite en contact les uns des autres ou collés rend difficile une
séparation individuelle de chaque cristal afin d'en mesurer les dimensions.
• La bélite, notée C 2 S dans la nomenclature cimentière. La surface des cristaux
comporte généralement des stries suivant une ou deux directions. La forme arrondie
de la bélite n'est pas toujours conservée car les bords peuvent devenir irréguliers pour
donner une forme en "doigts de gants". La bélite est rencontrée soit sous forme de
grains isolés soit sous forme d'amas. Dans le cas de notre attaque chimique, ils
présentent une teinte généralement marron.
• La phase interstitielle ou matrice. Elle comprend du C 3 A et du C 4 AF, composants qui
ne sont différenciés qu'à fort grossissement. Elle est de teinte gris claire. Pour notre
étude nous y incluons d'autres composants secondaires comme la chaux libre, la
magnésie et les sulfates.
Signalons aussi la présence de pores qui se présentent sous deux formes différentes
suivant leur remplissage par la résine utilisée pour l'imprégnation de l'échantillon avant son
92

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
polissage. Les pores totalement remplis ont une teinte grise, uniforme. Les pores non remplis de
résine réfléchissent la lumière incidente et apparaissent comme des "halos" intenses saturant la
caméra d'acquisition [Roux, 1993]. La Figure 39 illustre sur un exemple les différents composants
d'une image de microscopie de clinker. On y retrouve les pores remplis ou non de résine, les
cristaux d'alite, ceux de bélite et l'espace interstitielle ou matrice.
Pore
non
saturé
Bélite
Pore
rempli
de résine
Alite
Figure 39. – Exemple illustrant les différents composants d'une image de microscopie de clinker.
L'automatisation de ce contrôle passe, entre autre, par l'analyse quasi automatique et
rapide des images optiques de la section de clinker polie obtenues par l'expert microscopiste. Ce
travail a pour but, dans un premier temps la quantification automatique des différentes phases du
clinker sur un ensemble d'images sélectionnées par l'expert sur cette section, puis dans un second
temps l'analyse des formes des différents cristaux.
En ce qui concerne la segmentation des clinkers de ciment, la couleur est une
caractéristique du cristal mais cette couleur n'est pas constante d'une image à l'autre. Elle dépend
de l'orientation du cristal dans l'espace et surtout de l'attaque chimique qui a été utilisée pour polir
la section. La variabilité de cette couleur rend une segmentation au niveau du pixel impossible.
En considérant une région plus large inclue dans un cristal, une couleur moyenne peut être
trouvée et utilisée pour une classification de type région. C'est ce qui a été fait dans la première
version du logiciel "Clinker-Microvision" et qui est présentée dans l'article publié dans la revue
"World Cement" [Anwander et al., 1998b]. Cet article constitue la première partie du chapitre. Il y
est également introduit le système d'acquisition des images ainsi que les pré-traitements
nécessaires avant la classification des cristaux d'alite et de bélite. Cette version fournit une
quantification des trois phases principales du clinker et a été validée sur trois types de clinker en
comparant les résultats avec l'analyse statistique manuelle classique réalisée par un expert. Des
résultats préliminaires de cette validation ont été également présentés dans [Anwander et al.,
1998a].
La seconde partie du chapitre décrit les améliorations apportées lors du développement
de la version 2 du logiciel en s'intéressant d'abord au pré-traitement puis à la segmentation
individuelle des cristaux dans l'image. Cette segmentation s'avère indispensable d'une part pour
93

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
améliorer la classification en travaillant sur les paramètres couleur non pas seulement d'une partie
du cristal mais de tout le cristal et d'autre part pour calculer des paramètres de forme des cristaux
nécessaires à l'évaluation de la qualité du clinker. Cette segmentation a été abordée dans un
premier temps par une approche contours actifs appliquant sur les images de clinker de ciment la
méthode décrite au chapitre 3. Cette approche s'est avérée adaptée à la segmentation des cristaux
de bélite mais n'a pas donné de résultats satisfaisants dans le cas des cristaux de bélite. Dans un
deuxième temps, une approche de recherche de contours fermés par une méthode de bassin
versant puis classification a été mise en œuvre. Le chapitre se termine par une conclusion sur les
résultats obtenus.
2. ARTICLE PUBLIE DANS "WORLD CEMENT"
L'article suivant a été publié dans le numéro d'avril du journal international World
Cement "New methods for clinker phase recognition using automatic image analysis".(World
Cement, Vol. 29, N° 4, pp. 77-84, 1998) [Anwander et al., 1998b].
94

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
New methods for clinker phase recognition
using automatic image analysis 4
a, b
a a a
A. ANWANDER , B. NEYRAN , J. HAASE and A. BASKURT
a CREATIS, CNRS Research Unit (UMR 5515), affiliated to INSERM, Lyon, France.
b LAFARGE CIMENTS, Research Center Viviers, France.
Abstract
Microscopic analysis provides information about the dimensions and the crystallographic
composition of polished sections of Portland cement clinker. To reduce the amount of expert
time needed to acquire reliable data and to make the work easier, the use of modern tools offered
by computer image analysis is proposed. The objective of this study is to develop a new
automatic image analysis procedure for performing phase distribution analysis. New algorithms in
digital image analysis of clinker are proposed and their advantages over the previous studies are
shown. To complete the analysis by crystal measurement, a fast interactive method is developed
The proposed automatic image analysing system uses colour images acquired from the
optical microscope by a video-camera and a PC. The image analysis procedure is based on the
model of the well-known point counting process. Image points are taken in regular distances and
they are assigned to the different crystal classes. A point is classified by the texture and colour
characteristics of its neighbourhood, which allows the identification the crystals in clinkers of
different origins, with variations on the chemical etching.
The tool for crystal analysis was designed to minimise human intervention and the burden
of manual operations. The practical use shows the ease of use and the economy of this tool. The
results agree to a great extent with those obtained by an expert via point counting. The tool will
be extended to work out morphological and structural parameters automatically.
4 Cet article a été publié dans le numéro d'avril 1998 du journal international "WORLD CEMENT" (World
Cement, Vol. 29, N° 4, pp. 77-84, 1998) [Anwander et al., 1998].
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 95

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
2.1 INTRODUCTION
The optical microscopy is a fast and economic tool for the observation and the study of
the mineral phases of the clinker. The crystal size, morphology, distribution and other structural
characteristics may be used to control the clinker and may explain quality fluctuations in the
cement. A central point thereby is the quantitative assessment of the mineral composition. This
problem is usually addressed by manual operation of a conventional point counter, but due to the
great amount of time needed, such measures are rarely made.
Automatic image analysis may reduce the required time and improve the working
environment for the expert. The first experiments to set up an electronic system with the
knowledge of an expert were made by Hofmänner in 1975 [Hofmänner, 1975]. These
investigations failed due to a lack of contrast between the clinker phases. Better results were
obtained in studies that used a scanning electron microscope [Stutzman, 1991]. This technology
has proved to be expensive, difficult to handle and so, not usable for routine quality control in
the cement plant.
The progress in video technology and modern image processing gives new possibilities to
the optical microscope. Current high-resolution video cameras, faster computers and efficient
data processing make automatic crystal segmentation possible. Roux [Roux et al., 1992] used
different thresholding techniques on grey level images. Colour images were first used by
Märten [Märten et al., 1994] whose study extended the thresholding method in the colour space.
Theisen [Theisen, 1997] optimised this method and tested it on reference clinkers. In all these
studies, a manual adjustment of thresholds or other settings is necessary due to different
characteristics of clinkers from different origins and to a lack of homogeneity in the chemical
etching of the crystals.
In this paper a new image processing method is proposed that allow a reliable and
automatic crystal identification. It is based on the classification of local colour and texture
characteristics. The principal object is to work out the proportion of the major phases of the
clinker (alite, belite, matrix). The proposed integrated system allows automatic phase distribution
analysis and also interactive crystal measurement. First results of the utilisation of this system are
presented. A graphical interface is provided for suitable interactions.
2.2 CLINKER PREPARATION
The complex composition of the clinker (alite, belite, aluminate, ferrite, free lime,
periclase, alkali sulfate and pores) makes image analysis a non-trivial task. The slight reflexivity of
the clinker phases (with exemption of the ferrite) and the tiny differences between them increase
the complexity of segmentation. Since the colour (reflectivity) between the phases is not very
different, it is necessary to expand their contrast by outer influence. Therefore the clinker can be
etched, coloured or coated so that specific colours are produced, in which the hue is a function
of the chemical composition and crystal-optic properties of the concerning phase, the layer
thickness and the reaction time of the product. Before using automatic image analysis for clinker
examination, the problem of giving a significant contrast to different phases must be addressed.
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 96

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
The contrast of the phases depends on the preparation of the sample. To saturate the
pores of the clinker, it has to be embedded with epoxy resin in a vacuum, and after hardening,
the preparation is polished. To make the following etching as regular as possible, the surface
should be scratch-free and without any relief. Different etching methods can be used for the
visual microscopic examination. For the human visual system, coloration is only one of many
parameters in the crystal identification, but for image processing, a regular coloration is
presupposed. Therefore, etching should fulfil the following requirements:
• The coloration of the different phases must be as homogeneous as possible. The
crystals of the same phase should be coloured equally. The colour should be
homogeneous within a crystal.
• The etching must be repeatable.
• The etching should make the inner structure of the crystals visible (texture in the
belite).
The upper requirements are fulfilled with a combination of HNO3 and NH4Cl. This
method is preferred to the etching via HF vapour, which is used in other studies [Märten et al.,
1994 ; Theisen, 1997]. The first ones are easier to use and less dangerous. They colour alite blue,
belite brown and emphases the laminar structure of the belite. Little variations in the hue of
certain crystal and in the internal coloration of the crystal can be accepted. Image processing can
be adapted to these tolerances. The proposed system is optimised to a clinker, which is prepared
as described.
2.3 IMAGING SYSTEM
Automatic image processing is based on digital images. The transition from the
microscope to the computer is made in two steps. Firstly, the microscopic image is changed in an
electric signal by a video camera. Current CCD colour cameras (SONY DXC-C1MDP) produce
images with high resolution. The video signal can be visualised with a TV-screen or it can be
digitised by a PC-digitiser-board (MATROX Meteor frame grabber) which forms a digital image
from the input signal. The colour information in the video signal is divided in the three
components: red, green and blue (RGB). Each component is separately digitised, allowing the
representation of the true colours of the clinker on the PC-screen.
The well-focused image can be saved and the system is ready for the next image. The
operator can store a great number of images for the same clinker sample in a very short time.
These images are then processed on a standard PC that easily provides the possibility to store the
colour images and print them out.
2.4 IMAGE CHARACTERISTICS
The digitiser divides the image in 768*576 picture elements (PAL-format). By using a
magnification factor of the microscope as the point counting uses it, a resolution of
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 97

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
150nm/picture element (pixel) is obtained and the digitising system can represent a high quality
image.
2.5 IMAGE ANALYSIS
Principe
The object of this study was first of all to develop an image analysis programme to
recognise the clinker phases. The algorithm was written in C-programming language, which
supports graphical user interface tool kits and the digitiser board. It is most adapted to the digital
image processing by its speed and compatibility with many tools developed in image processing.
The applied algorithm works in two steps. It consists of a pre-segmentation of the matrix
and the pores. From this segmentation, a mask is created for the alite and belite crystals to be
classified in a second step. The result is the statistical composition of the clinker computed with
all the acquired images (Figure 40).
Figure 40. - Image analysis algorithm
Matrix segmentation
The chosen etching method colours alite and belite crystals and leaves the matrix clear,
enabling the segmentation of this phase by a thresholding method. The histogram of a sample
image shows two well-contrasted classes (Figure 41).
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 98

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
Figure 41. - Histogram of the grey levels of a sample image
The presence of dark crystals (alite, belite) and the bright matrix can explain the bimodality.
The optimal threshold to distinguish the regions is in the valley of the histogram. It is
situated in the upper part of the grey-scale, but depends on the image lightning and cannot be
determined a priori. The threshold value can be determined automatically with the method of
Otsu [Otsu, 1979]. This algorithm maximises the inter-class-variance in the histogram to find out
the optimal detection limit, as seen in Figure 41.
The thresholding creates a binary image (Figure 42b). The bright matrix is white and the
dark crystals are black. Actually, some clear picture elements in the alite may be wrongly counted
as part of the matrix and some dark parts of the matrix are not detected. Thanks to the small size
of such irregularities, it is possible to compensate them by region homogenisation. The applied
filter is based on the mathematical morphology. This filter eliminates the extremely small objects
and fills in some small holes in order to complete the segmentation of the matrix. A median filter
and morphological dilatation and erosion are most adapted to this role. Figure 42 shows a sample
image (a), the binary image after the thresholding (b) and the final segmentation of the matrix (c).
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 99

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
(a)
(b)
(c)
Figure 42. - Segmentation of the matrix: (a) sample image, (b) binary image, (c) matrix segmentation
Segmentation of the pores
The polished clinker shows two types of pores:
• Pores that are completely filled with the epoxy resin during the clinker preparation.
• Pores that are filled with the polishing product that reflect the light very much.
Two segmentation algorithms for these two types of pores were developed.
• Pores filled with the epoxy resin: the filled pores present a homogeneous and
unstructured surface because the resin is not crystalline. It is uncoloured and forms a
grey area with a middle brightness. The homogeneity can be described by using the
gradient of the image. A homogeneous image has a constant gradient of zero. By
extracting the homogeneous regions in the image which have a minimum size and
which are uncoloured, the epoxy resin can be separated from the crystals.
• Not saturated pores: the agent used to polish the sample fills up the not saturated
pores. This causes a very bright area, which is getting continuously darker to the
borders of the pore. The algorithm takes advantage of these properties and looks for
the central zone, which is bright and homogeneous. Once detected, the area is
expanded by adding the border-points until the relatively dark limits of the crystals are
reached.
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 100

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
Figure 43 shows an example of a pore filled with the epoxy resin and also a not saturated
pore. The detection limits are drawn with a black colour.
Figure 43. - Segmentation of the pores within detected limits.
Differentiation of alite and belite
As explained in the introduction, colour and texture must be included as parameters of
state for the segmentation of alite and belite. An exact description of the surface is thus required
to enable an accurate distinction between the two crystals. Two methods were examined for these
investigations:
• Local statistic texture analysis and classification.
• Local colour analysis and non-linear classification.
In the end, the fusion of the two classifications gives the final decision.
Local analysis
A grid of about 400 regularly spaced points is superposed on the image in order to
simulate the model of the classic point counting. The points belonging to regions already
classified are separated. For the others in alite and belite, the algorithm chooses a neighbourhood
for the local characterisation. A local window is searched that is completely included in a crystal.
The window size is limited to 32*32 pixels (~5*5µm).
Texture analysis [Anwander et al., 1997]
The belite differs from the alite by its very textured surface. Texture describes some local
order repeated over a region or the analysing window. Based on the idea of statistic texture
analysis of Haralick [Haralick, 1979], our method extracts features to characterise the local
texture. These features hold the most important information about the texture and are used for
the classification. The local characterisation of the texture gives measurements about the
irregularity, coarseness (related to the spatial repetition period of the local structure: when this
period increases, the texture varies from fine to coarse) or 'busyness' (great variability of grey
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 101

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
level in the local structure). The following different feature families for the classification of alite
and belite crystals are considered:
• Histogram features which describe the grey-level distribution in the analysing
window.
• Features calculated on the neighbourhood matrix [Haralick et al., 1973] which
measure in a limited neighbourhood the coarseness or busyness of a micro-texture.
• Features calculated on the run lengths matrix [Galloway, 1975] which measure the
length, the number and the distribution of the grey-level runs in the analysing window
and allow detection of the degree of homogeneity or heterogeneity.
• Cooccurrence features [Haralick et al., 1973], which describe the repetition of greylevel
changes, measured for pairs of points in a typical distance and direction. Microtextures
and the Macro-textures can be detected preserving the directionality of each
texture.
• Frequency features (repetition rate of a micro-texture) can be calculated by a
frequency transformation (Fourier- or Cosine-transform [Liu et al., 1990]) of the
image window. These features evaluate the distribution of the frequencies and the
directionality of the texture.
The six families group a huge number of characteristic features or parameters. Some of
the parameters are correlated, others are redundant in the different groups and may be excluded.
The parameter signature obtained in this way will be used for the classification of each window.
Discriminating analysis [Rao, 1952]
A combination of the features can be found by the Multivariable Discriminating Factorial
Analysis (MDFA). It creates a synthetic index, which allows the best separation of the two
textures (alite and belite). This index is a linear combination of the texture features and takes into
account the whole information. The best results are obtained for a combination of six features. A
larger number does not increase the classification result but only introduces noise to the analysis.
The feature selection depends on the size of the window. The most discriminate feature is the
entropy of the test-window.
The MDFA is a statistical analysis and needs a huge learning database. As database, 30
images with about 3000 test-windows for the two kinds of crystals were chosen. Figure 44 shows
the histogram of the synthetic texture index computed by the MDFA on the learning base. The
distribution shows that the texture index is sufficiently different for the two textures alite and
belite, enabling the classification of the majority of the observation-windows. Note that there is
an uncertain zone in which the decision is not possible. This zone represents less than 30% of
the total population.
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 102

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
Colour analysis
Apart from the texture, the discrimination between alite and belite can be made by colour
analysis. The belite colour is brown and the alite colour varies from dark blue to bright green.
The coloration depends on the etching and the characteristics of the clinker. In a digital system,
each colour is represented by three components like red, green and blue (RGB) or hue, saturation
and intensity (HSI). The hue and the saturation represent in polar coordinate the chromatic plane
of the colour space. The chromatic plane can also be divided in the two orthogonal coordinates
C 1 , C 2 which allow the separation of alite and belite crystals (Figure 45). This colour plane
includes only the coloration and not the intensity. In the RGB colour space, a separation is not
possible due to the tiny difference between the colours. This is mainly due to the poor saturation
of the clinker colours. Figure 45 shows the distribution of alite and belite points in the C 1 C 2
colour plane. Two distinguished zones clearly appear for the two crystal types.
Figure 44. - Histogram of the texture index.
Figure 45.- 2D-Histogram in the chromatic plane.
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 103

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
The colour of the crystals can be separated with the presented separation line (Figure 45).
The colour of alite and belite cannot be distinguished with fixed detection limits on the hue and
the saturation because of the high variance in the colour. They can not be separated automatically
with the MDFA classifier presently used because the two colour classes are not sufficiently
distant and do not verify the statistical properties needed for the MDFA. For these reasons, a
classification based on a neural network was selected. For the learning phase of the neural
network, the same database was employed as used for the texture classification. For each testwindow,
a representative colour was determined and used by the classifier. After the learning
phase, the neural network is used to class the crystal colour in the classes alite and belite.
Fusion of the classifiers
The classification of the colour and texture characteristics was made separately. The
fusion of the two complementary classifications was made by comparing of the results. If the two
classifications give the same result for a sample, the decision is accepted as final result. In the case
of a difference, using the neighbourhood grid-points makes the final decision. If a point has most
of its neighbours in a certain class, it is grouped in the same way. The neighbourhood is used in
the same way if one classifier gives no result (e.g. non-characteristic texture). The use of
associated grid points is based on the fact that each crystal includes several sample points (Figure
46). For a single point in the grid, a decision may not be possible, but it can be made including a
bigger zone. This method makes it possible to detect the major clinker phases even if there are
big variances in the colour. The compete computation time for each image is about one minute.
This is not critical because the system analyses all the images of the clinker without any operator
interaction.
User interface
The clinker analysing software includes a user interface (Figure 46) which is developed for
the Windows NT (Microsoft) environment. This interface makes it possible to easily call the
different functions such as image acquisition, crystal measurement and phase distribution
analysis. The sample image in Figure 46 is superposed with a grid of points, which were classified
in different crystal groups. The software is designed in an open way and an interactive correction
of wrong classed points is possible. It gives the free choice to the operator to accept the
classification or to modify some points.
This interface can also be used for the measurement of the crystal sizes (Figure 47). A
large number of alite and belite crystals can be measured in the different images by a simple
mouse click on the screen. For the alite crystals, it is possible to measure the length and the width
to get information about size and form of the crystals. The statistic analysis of the dimensions is
made by software and automatically printed in a standardised graphical form, which helps to
reduce the time needed for routine documentation of the results.
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 104

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
Figure 46. - User interface with detected clinker phases.
Figure 47. - Measurement of the alite crystals.
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 105

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
2.6 EXPERIMENTAL RESULTS & DISCUSSIONS
The validation of the system is made in two steps: firstly, the validation of the automatic
crystal classification in the image, and secondly, the comparison of the clinker composition
determined by automatic analysis with the classical point counting method. Three representative
clinkers from the Lafarge laboratory with different origins and characteristics were analysed. For
the image analyser, 50 images in the clinker were selected randomly. This involved the
classification of about 18 000 test-points in each clinker. Table 1 shows the results obtained by
automatic classification. The second column (b) of each clinker gives a reference value. It
presents the statistic composition computed with the same images, when an expert manually
corrected the classification errors of the automatic method. The difference between column a)
and b) measures the efficiency of the automatic image analysis and segmentation. The small
difference between the values ensures that it is possible to recognise the crystal phases in the
clinker with a good precision.
Table 2 compares the composition obtained by automatic analysis of 50 images (a) and by
classical counting of 2000 points by an expert in the Lafarge laboratory (b). In the manual
technique, two points are placed in a distance of 100µm, and they are never located in the same
crystal. Our counting approach differs by a smaller distance (5µm) between the points. Several
points are taken in the same crystal.
Table 1. Classification results of the algorithm for three test clinkers (mass percentage) a) automatic
classification, b) automatic classification & expert correction.
Clinker 1 Clinker 2 Clinker3
Crystals: a) b) a) b) a) b)
Alite 54.3 % 52.8 % 57.9 % 59.5 % 53.8 % 57.7 %
Belite 21.1 % 24.5 % 20.3 % 21.9 % 29.0 % 24.1 %
Matrix 24.6 % 22.7 % 21.8 % 18.6 % 17.2 % 18.2 %
Table 2. Comparison of the point counting and the automatic classification (mass percentage) a)
automatic classification, b) point counting.
Clinker 1 Clinker 2 Clinker3
Crystals: a) b) a) b) a) b)
Alite 54.3 % 57.3 % 57.9 % 68.3 % 53.8 % 58.8 %
Belite 21.1 % 24.0 % 20.3 % 17.3 % 29.0 % 24.0 %
Matrix 24.6 % 18.7 % 21.8 % 14.4 % 17.2 % 17.2 %
The results on clinker 1 were comparable. For the second one, a significant difference in
the contents of alite is not caused by the failure of the image classification (results in Table 1 are
nearly the same for automatic and corrected classification), but it is caused by the choice the 50
images of the clinker. The number of 50 images or the choice of these images was not as
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 106

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
representative for the clinker as the 2000 points manually counted by the expert, which cover a
larger analysis domain.
For the analysis, two different magnifications were tested. The analysis of clinker 1 and 2
used an examination field of 95µm*125µm for each image. The 50 fields of clinker 3 were taken
with a less important magnification. Each image represents a field of 240µm*315µm. This
corresponds to at least 40 crystals. The examination field is about six times bigger than in the case
of clinker 1 and 2. The bigger field represents the clinker more correctly and the examination
points are placed in a higher distance of 13µm.
In the case of the reduced magnification, the dimensions (measured in picture elements)
of each crystal in the image are less important. Thus, automatic colour and texture classification
works with a local window of a smaller size. This decreases the performance of the automatic
classification observed in Table 1. The difference between column a) and b) is more important
for clinker 3 than for clinker 1 and 2.
For the future, the solution will be either to increase the number of images with the
bigger magnification to obtain a statistically significant sample or to increase the performance of
the classification method to obtain good results with a less important magnification.
2.7 CONCLUSIONS
The object of this paper was the automatic quantitative determination of the phases of
Portland cement clinker using a computer imaging system. The applied methods are based on
advanced texture and colour analysis. The automatic segmentation of the phases takes advantage
on the characteristics of local windows. The decision is made using data fusion from separated
colour and texture classifications. The presented software determines the percentage of the main
clinker phases.
The proposed method gives access to the results manually obtained by the expert on
different clinker types. The automatic phase segmentation between alite and belite gives good
results. The system is integrated in a user interface, which makes the clinker analysis easy to be
used even by a less experienced operator. The complete system can use the acquired images
twice. Besides the use for the phase distribution analysis, the images can be used for the crystal
size measurement.
The automatic system is installed in the Lafarge laboratory in Viviers (France) and is used
as a routine tool for the microscopic analysis. It permits to considerably reduce the time needed
for the analysis of the different clinker samples. The system can replace the classical hard and
tiring work and gives new possibilities to the clinker microscopy.
The manual modification of wrong classed points is possible by the open and interactive
software design by a simple mouse click. The corrections can be used to optimise the classifier.
This can be made by adaptation of the parameters used for the texture analysis or by amelioration
of the learning database.
In an additional developing state of the system, the automatic crystal measurement and
form determination will be integrated. This could bring new information about the clinker and
increase the performance of the quality control. Also, the determination of the minor phase
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 107

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
distribution could be envisaged in future developments. The presented image analyser constitutes
the first step to a complete expert system needed for the clinker analysis on a day to day basis.
ACKNOWLEDGEMENTS
This study is supported by the Lafarge Ciments Company (France). The authors thank to
J. Gaillard of the Lafarge Research Center in Viviers (France) for his expert evaluation and also
J.Y. Clément and R. Coll of the Lafarge Ciments Company for their helpful suggestions.
WORLD CEMENT RESEARCH AND DEVELOPMENT 1998 108

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
3. AMELIORATIONS APPORTEES AU LOGICIEL "CLINKER-
MICROVISION"
La démarche que nous avons suivie au cours de notre travail a été guidée par l'application
à la segmentation des images de clinker de ciment dans le cadre de la collaboration avec le Centre
Technique de Lafarge Ciment à Viviers. Le but est d'obtenir une quantification des phases et une
analyse des dimensions de cristaux d'alite et de bélite ainsi que leur forme. Les différentes étapes
et traitements nécessaires sont donnés dans le schéma de la Figure 48.
Notre travail se décompose en une étape de pré-traitements qui délimitent les zones
correspondant à la matrice et aux pores remplis ou non. La séparation des cristaux d'alite et de
bélite est réalisée par une recherche de zones homogènes au niveau de la couleur. Pour cela on
effectue une recherche des contours en utilisant le gradient couleur multiéchelle puis une
fermeture des contours. Cette fermeture est réalisée par une première approche, morphologique,
qui fournit des régions homogènes ne correspondant que grossièrement à la forme initiale des
cristaux. Afin d'affiner le résultat, ces zones homogènes grossières servent à initialiser un contour
actif qui après évolution segmentent individuellement les cristaux de bélite. Cette méthode reste
cependant peu adaptée pour la segmentation des cristaux d'alite.
La fermeture des contours est alors réalisée par une seconde approche, basée sur une
méthode de bassin versant. Elle permet d'obtenir des régions homogènes dont les bords sont
proches de ceux des cristaux initiaux. Un simple regroupement de régions suivi par une
séparation des cristaux collés aboutit à une segmentation individuelle des cristaux d'alite et de
bélite.
Nous présentons dans ce paragraphe les améliorations apportées au logiciel "Clinker-
Microvision" version 1 qui est décrit dans l'article publié dans "Word Cement" [Anwander et al.,
1998b] et présenté au paragraphe 2. Cela comprend les pré-traitements, l'explication détaillée de
la méthode de classification utilisée pour identifier les cristaux, la segmentation des cristaux d'alite
par contours actifs et la version finale du logiciel qui opère par classification de régions.
109

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
Image choisie par l'expert
Pré-traitement
zone interstitielle
(matrice)
pores remplis ou non
Recherche de zones homogènes
Segmentation approche contour (utilisation du
GCM car acquisition par caméra mono-CCD)
Fermeture des contours
Morphologie mathématique
zones
approximatives
Bassins versants
zones proches des
cristaux
Identification des zones homogènes par
information de couleur
Segmentation individuelle des cristaux
Contours actifs à longueur
normalisée
Regroupement régions
Séparation des cristaux collés
Bélite
Alite
échec
Bassins versants
Alite
Bélite
Légende:
Nom étape
Méthode utilisée
Résultats
Figure 48. – Schéma de la démarche suivie pour la réalisation de la segmentation des images de clinker
110

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
3.1 Pré-traitement – normalisation de l'histogramme
La luminance Y d'une image dépend de l'éclairement du microscope et de la réflectivité de
la section polie examinée. Une normalisation de l'histogramme utilisant seulement la valeur
moyenne ou maximum de l'histogramme n'est pas possible. La valeur moyenne dépend de la
quantité de fond ou matrice présente dans l'image et la présence de points saturés (trous) entraîne
très souvent une valeur maximale de 255. Nous proposons une normalisation utilisant une valeur
de référence calculée à partir de l'histogramme de luminance. Il présente toujours un caractère bimodal
de part la présence de cristaux sombres (alite et bélite) et d'un fond clair (matrice et pores).
Une référence valable est située dans la vallée séparant les deux modes. Elle permet de séparer les
cristaux à classifier du fond de l'image. Elle peut être déterminée automatiquement [Otsu, 1979]
(Figure 49). La normalisation proposée produit des images plus homogènes avant la segmentation
et la classification des cristaux d'alite et de bélite.
réference référence
réference
référence
Figure 49. - Histogrammes de luminance présentant différentes valeurs de référence avant normalisation.
3.2 Classification des régions par la couleur
La classification de régions homogènes de l'image est un problème rencontré aussi bien
lors de la quantification des cristaux sur une grille régulière comme cela est réalisé dans la
première version du logiciel et décrit dans le paragraphe 2, que lors du regroupement de régions
nécessaire pour la segmentation individuelle des cristaux qui est implanté dans la seconde version.
Avant de regrouper les régions, il est nécessaire de les classifier [Vandenbroucke, 2000]. Nous
détaillons ici la méthode de classification par réseau de neurones que nous avons utilisée.
Les zones appartenant à la matrice sont assez faciles à identifier grâce à leur luminance
plus élevée. Cela a été obtenu au cours des pré-traitements qui avaient délimité les zones ne
correspondant pas aux cristaux d'alite et de bélite (zone interstitielle, pores).
Les régions restantes sont séparées entre alite et bélite en utilisant les caractéristiques de
couleur et de texture. Un histogramme des couleurs des deux types de cristaux est tracé dans les
plans couleur C 1 C 2 et HS (Figure 50). On utilise pour la classification un réseau de neurones 5
(classification non linéaire) à trois couches à retro propagation de gradient [Haase, 1997 ;
5 Stuttgart Neural Network Simulator : http://www-ra.informatik.uni-tuebingen.de/SNNS/
111

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
Lezoray, 2000]. Les entrées sont les caractéristiques des régions et les sorties la classification
finale entre alite et bélite. Les meilleurs résultats ont été obtenus avec une couche intermédiaire à
trois unités.
Le choix des paramètres d’entrée s’est effectué en comparant les résultats de classification
en utilisant différentes associations de paramètres. La couleur moyenne de la région s’est avérée
significative si elle est calculée dans le plan HS. En effet, la couleur moyenne calculée dans le plan
C 1 C 2 (ou ce qui est pire dans l’espace RVB) est généralement peu saturée et donc proche du gris.
Cela s’explique en remarquant la dispersion de la couleur des cristaux sur la Figure 50a : les
centres de gravité des deux histogrammes sont tous les deux assez proches de l’origine. Les
centres de gravité sont davantage séparés dans le plan HS où le calcul de la couleur moyenne est
effectué. Nous utilisons, en plus, l’écart type de la luminosité et de la couleur qui décrivent de
manière simple la texture. Les deux écarts type sont utilisés car leur corrélation a été trouvée assez
faible (

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
3.3.1 Choix des contours initiaux
Pour obtenir de manière automatique un contour initial, on découpe l'image en régions
élémentaires homogènes. Cette étape opère à partir du gradient couleur GCM en recherchant des
contours fermés. Cela s'effectue en deux temps.
• un suivi de contours [Deriche, 1990] recherche le maximum local du module du
gradient | MCG | dans la direction orthogonale au gradient. Un seuillage avec
hystérésis de ces maxima locaux donne les bords des cristaux. Les contours obtenus à
partir de l'image d'origine de la figure Figure 51a sont tracés sur la Figure 51b.
• une façon de fermer les contours consiste à faire une série de dilatations de l’image
binaire des contours jusqu'à ce qu’ils se rejoignent en formant des régions fermées où
la couleur est homogène. Cela est illustré sur la Figure 51 où est représentée l'image
originale (a), l’image des contours (b) et les régions homogènes obtenues après
dilatation de ces contours (c). Une dilatation morphologique des régions homogènes
permet de leur redonner une dimension proche de la taille initiale du cristal (d). La
position des bords des zones homogènes ainsi obtenus est malheureusement assez
imprécise.
a
b
c
d
Figure 51. - Image d'origine (a) ; contours extraits par le suivi de contours (b) ; régions obtenues après
dilatation des contours(c) ; régions finales après dilatation des régions obtenues en c (d) ; les régions sont étiquetées
par des couleurs différentes pour une meilleure visualisation.
On verra au cours du paragraphe 3.4. une manière plus précise d'obtenir des contours
fermés.
113

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
On observe sur la Figure 51 une sur-segmentation des cristaux, ce qui empêche l'analyse
de leur forme. Le regroupement des régions obtenues est une tâche difficile car certaines
inclusions et fausses classifications des régions inclues dans une autre ne permettent pas de
regrouper les régions voisines dans l'image. Cette étape demande une interaction avec l’utilisateur
qui vérifie la bonne classification des régions. Nous proposons de réaliser ce regroupement par
contours actifs afin de vérifier l'identification du cristal au fur et à mesure de l'évolution du
contour. Le nombre de pixels ainsi pris en compte augmente et permet de valider la classification.
De part les contraintes de forme introduites lors de l'évolution du contour, on aboutit à une
segmentation individuelle des cristaux permettant de déterminer leurs dimensions.
Les contours initiaux sont choisis comme les contours des plus grandes régions
résultantes de la recherche de zones homogènes. L’initialisation des contours se fait d’une
manière automatique. Le choix des plus grandes zones homogènes comme contour de départ
autorise une classification initiale plus sûre du cristal.
3.3.2 Évolution du contour
Le contour est modélisé par une courbe caractérisée par des coefficients mécaniques
d’élasticité (tension) et de rigidité (courbure). Une force ballon assure sa croissance. Son
évolution est menée par un algorithme de minimisation d'énergie, décrit dans le chapitre 4, qui
attire les contours vers les bords des cristaux grâce à un terme d'attache aux données et qui
possède une valeur minimum quand la valeur du gradient couleur est maximum sur l'ensemble du
contour. Le contour final correspond à un état stable et aboutit à une segmentation individuelle
des cristaux, ce qui autorise l'extraction des paramètres morphologiques et la mesure automatique
des dimensions. L'application de cette méthode à un cristal de bélite et les itérations de
l'algorithme sont illustrées par la Figure 52 et Figure 53.
contour final
contour initial
évolution des points
Figure 52. - Évolution des points du contour.
114

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
30 itérations 60 itérations 90 itérations
120 itérations 150 itérations
contour final
contour initial
Figure 53. - Évolution du contour au cours des itérations de l'algorithme.
3.3.3 Fusion des zones initiales
La segmentation en régions homogènes sépare un cristal texturé en plusieurs régions. La
fusion des régions est prise en compte par l'algorithme. Le contour actif est initialisé avec la plus
grande région. Si au cours de son évolution, le contour rencontre une région de même type ou
non classifiée (dont la taille ou les paramètres de couleur et de texture n'ont pas conduit à une
classification), il l'inclut. L'évolution s'arrête quand le contour rencontre une zone correspondant
à un autre type de cristal. Cet algorithme aboutit à une région complète qui correspond à la
totalité du cristal. La Figure 54 illustre cet algorithme et la convergence vers les contours du
cristal.
Figure 54. - Inclusion de régions.
115

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
3.3.4 Résultat final et analyse de la forme des cristaux
L'algorithme des "contours actifs" donne de manière automatique les contours des
cristaux de bélite d'une image. La Figure 55 montre les cristaux de bélite détectés sur un exemple,
leur contour et leur dimension sont déterminés automatiquement.
L'algorithme sépare et identifie les cristaux collés. La segmentation individuelle permet de
calculer le pourcentage de la composition minéralogique de l'image en cristaux de bélite ainsi que
la taille des bélites. L'analyse est automatique sur une série d'images et détermine des valeurs
statistiques sur un clinker.
Figure 55. - Cristaux de bélite identifiés et mesurés.
3.3.5 Avantages, limitations et conclusion
Les résultats d'une première segmentation de type contour basée sur le gradient couleur
multiéchelle n'a pas permis de trouver un contour fermé de chaque cristal d'alite et de bélite.
L'utilisation d'un algorithme de contours actifs à partir de cette première segmentation a réussi à
effectuer une segmentation individuelle des cristaux. L'évolution du contour à une longueur
normalisée suivant la méthode introduite au chapitre 4, autorise une initialisation même très
éloignée du contour final sans avoir à effectuer de re-échantillonnage du contour et donc sans
changer le nombre de points. La structure du contour restant invariante, il n'y a pas besoin de
calculer l'inverse de la matrice A ni d'adapter la force ballon en fonction de la longueur du
contour. Ainsi, un gain du facteur 10 est réalisé sur le temps de calcul par rapport à l'évolution
réalisée avec un re-échantillonnage tous les 10 pas d'avancement. De plus la force ballon est
invariante au cours du déplacement du contour. Son réglage peut être effectué de manière plus
robuste pour un type d'image donné (ici l'information fournie par le gradient couleur
116

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
multiéchelle, GCM) sans l'intervention interactive d'un opérateur pendant une grande évolution
du contour.
La position finale calculée en utilisant l'information issue du gradient couleur multiéchelle
donne une segmentation plus précise quasi indépendante du contour initial. De plus,
l’indépendance de l’initialisation est augmentée par l'amélioration apportée aux contours actifs
(Chapitre 4).
Le traitement d'une image prend environ une minute (avec un ordinateur "PC Pentium"
166 Mhz, 96 Mo de mémoire). Il est compatible avec le traitement complet de la base d'images
(50) en moins d'une heure. L'évolution de l'informatique devant faire rapidement baisser ce temps
à moins de 10 minutes.
Cependant, la partie algorithmique du système n'est pas complète car seuls les cristaux de
bélite sont individuellement segmentés. Le modèle des contours actifs doit être adapté à la forme
polygonale de l'alite. De plus, le modèle du contour actif ne prend pas en compte les cristaux
agglomérés ou collés comme les alites. Il ne peut effectuer une segmentation individuelle de ces
cristaux. Seule une information de forme permet de séparer ces cristaux comme cela est décrit
dans le paragraphe 3.4.2.
3.4 Segmentation par classification de régions
Comme dans le cas de la segmentation par contour actif, nous nous proposons de
segmenter l'image en régions élémentaires à partir du gradient couleur GCM mais en utilisant des
opérateurs plus classiques de segmentation. Plusieurs étapes sont nécessaires, une première de
découpage de l'image en régions homogènes au niveau de la couleur, une seconde étape de
classification de ces régions suivant le type de cristaux auquel elles correspondent, une troisième
étape de regroupement des régions correspondant au même type de cristal et enfin une
séparation des cristaux collés en cristaux élémentaires [Anwander et al., 2000b].
3.4.1 Découpage de l'image en régions élémentaires homogènes
Cette étape opère à partir du gradient couleur GCM en recherchant des contours fermés.
Cela s'effectue en deux temps :
• comme dans le paragraphe sur les contours actifs, un suivi de contours [Deriche,
1990] recherche le maximum local du module du gradient | MCG | dans la direction
orthogonale au gradient. Un seuillage avec hystérésis de ces maxima locaux donne les
bords des cristaux. Les contours obtenus à partir de l'image d'origine de la Figure 56a
sont tracés sur la Figure 56b.
• une technique plus précise de fermeture des contours que celle présentée dans le
paragraphe 3.2 est utilisée. Elle met en œuvre une méthode de bassin versant [Vincent
et al., 1991]. Une image de distance est calculée à partir des contours précédents
(Figure 56c). Elle est considérée comme une surface topologique et l'algorithme
simule le remplissage de cette surface à partir des points les plus bas (points noirs de
la Figure 56c). La ligne de crête où se rejoignent les eaux provenant de bassins
117

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
différents correspond à la ligne de partage des eaux. Elle sépare les deux bassins et
prolonge par un contour fermé les contours initiaux.
Les contours fermés résultants (Figure 56d) correspondent, au moins en partie, aux
maxima locaux du gradient couleur. L'image initiale est donc segmentée en régions homogènes au
niveau de la couleur. Sur la Figure 56e, chaque région est colorée différemment pour une
meilleure visualisation.
a
b
c
Minima locaux
de la "surface"
d
ligne de partage
des eaux
e
Figure 56. - a) image d'origine ; b) contours couleur calculés avec le GCM ; b) contours avec la carte de
distance correspondante en niveau de gris ; c) lignes de partage des eaux superposées à l'image de carte de distance ;
118

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
d) ligne de partage des eaux et les bassins versants séparés par ces lignes ; e) les mêmes régions homogènes
représentées en fausses couleurs et superposées à l'image originale.
On constate sur la Figure 56d une sur-segmentation. Un cristal est généralement composé
de plusieurs régions et de nombreuses régions de taille réduite ont été créées au niveau des zones
frontières entre les cristaux d'alite et de bélite. Il est donc indispensable de regrouper les régions
correspondant au même type de cristal.
La classification des régions homogènes permet d'obtenir l'image segmentée de la Figure
57a où apparaît de couleur différente chacun des types de région : en jaune la zone de matrice, en
bleu les cristaux classés comme alite, en rouge ceux de bélite. Dans un premier temps, les cristaux
voisins de même type sont regroupés comme le montre la Figure 57b.
a
bélite
b
alite
matrice
c
d
largeur
longueur
Figure 57. - a) Classification des régions ; b) regroupement des régions ; c) séparation des cristaux ;
d) mesure de la dimension des cristaux.
3.4.2 Séparation des cristaux collés
Il faut ensuite séparer individuellement chacun des cristaux afin d'en mesurer la taille.
Pour cela nous coupons chaque ensemble connexe d'un même type de cristal au niveau des
points du contour présentant une concavité. Les cristaux d'alite et de bélite sont par nature de
119

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
forme convexe. Les éventuels points concaves sont, par conséquent, dus à la juxtaposition de
deux cristaux différents. Ceci est obtenu par un algorithme de bassin versant avec marquage
appliqué sur l'image de distance aux contours. Les points situés à un maximum local de distance
servent à étiqueter les différents bassins. S'il y a plusieurs maxima locaux sur un même cristal, la
fusion des marqueurs a lieu sous condition, afin d'éviter de couper des régions présentant une
légère concavité. Le test s'effectue en considérant la distance aux contours le long du segment de
droite qui relie les deux maxima des bassins à fusionner. Si le minimum le long de ce segment est
significativement plus faible que les valeurs aux extrémités, alors la fusion est refusée et la ligne de
partage des eaux sépare le cristal en deux cristaux juxtaposés de même type (Figure 58a). Si le
minimum le long de ce segment n'est pas significativement plus faible que les valeurs aux
extrémités, la fusion est acceptée car cela correspond à un seul cristal présentant une faible
concavité (Figure 58b). La fusion continue à partir du résultat de la fusion précédente.
maxima locaux de distance aux contours
profil de la distance aux contours
le long du segment AB
A
B
contour
A
B
(a) Variation de distance importante : Séparation du cristal en deux.
maxima locaux de distance aux contours
profil de la distance aux contours
le long du segment AB
A
B
contour
A
B
(b) Variation de distance faible : Fusion des bassins.
Figure 58. - Séparation des cristaux collés par un algorithme de bassin versant ; a) cas de séparation
acceptée ; b) cas de séparation refusée.
Le résultat final est montré sur la Figure 57d. Chaque cristal est individuellement
segmenté et sa forme peut être analysée. La longueur des cristaux d'alite et la taille des cristaux de
bélite sont mesurées automatiquement. Sur cette image, la couleur donne le résultat final de la
classification. Les lignes blanches indiquent la longueur maximum des cristaux d'alite, et les
cercles donnent le diamètre (largeur) des cristaux de bélite. La longueur correspond à la
dimension suivant l'axe principal d'inertie. Les cercles correspondent au plus grand cercle inscrit à
l'intérieur du cristal. Le centre de ce cercle est donné par le maximum de la distance aux bords
calculée précédemment.
120

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
4. RESULTATS ET CONCLUSIONS
Le problème posé par l'application est d'obtenir une quantification des phases mais aussi
une segmentation individuelle des cristaux pour en analyser la forme. Notre travail s'est effectué
en plusieurs étapes et différentes voies ont été explorées. Une première version du logiciel
"Clinker-Microvision" a été développée et implantée sur site en 1998. Ce logiciel simule la
démarche point par point de l'expert et donne la quantification statistique des phases sans
détecter la forme des cristaux.
La version actuelle du logiciel inclut l'identification individuelle des cristaux et donc la
détection de leur forme. Deux approches ont été développées et mises en œuvre. La première
basée sur le modèle de contour actif proposé dans le chapitre 4, a conduit à la segmentation des
cristaux de forme ronde de type bélite, mais s'est révélée peu adaptée pour détecter les formes
polygonales des cristaux de type alite. Une seconde approche basée sur une méthode de bassin
versant a conduit à un découpage de l'image en zones homogènes plus précises collant davantage
à la forme initiale des cristaux. Le regroupement des régions de même type puis la séparation des
cristaux collés a aboutit à une segmentation individuelle aussi bien des cristaux d'alite que de
bélite.
La Figure 59 présente une image complète (a) et les résultats de sa segmentation ainsi que
la mesure de la dimension de chacun des cristaux (b). Finalement, l'expert dispose de la longueur,
du rapport de forme longueur/largeur des cristaux d'alite, du diamètre des cristaux de bélite ainsi
que du pourcentage de chacun des composants. Il peut ainsi évaluer la qualité du clinker. Cet
algorithme a montré sa robustesse sur une base d'images issue d'un clinker. Elle n'a pu être
validée sur un nombre plus grand de clinker. Son éventuelle adaptation passe par une mise à jour
de la partie classification des régions homogènes par réseau de neurones. Les caractéristiques de
couleur des cristaux varient et dépendent de l'attaque chimique choisie par l'expert.
Une interface utilisateur rend le maniement du logiciel le plus simple possible. Le système
développé en partenariat avec la société Lafarge Ciments est utilisé en routine pour le suivie de la
production de ciment, et remplace une mesure manuelle longue et fastidieuse. Le système
automatique permet d’augmenter la qualité de la fabrication par des mesures plus fréquentes en
sortie du four à ciment.
121

QUANTIFICATION ET MORPHOLOGIE DE PHASES DE CLINKER PAR ANALYSE D'IMAGE.
(a)
Figure 59. - Exemple d'image (a) et résultat de segmentation avec mesures des cristaux (b).
(b)
122

Chapitre 6
CONCLUSION GENERALE.
C
ette étude a été réalisée dans le cadre d'une convention CIFRE entre le Centre
Technique de Lafarge Ciments à Viviers et le laboratoire Creatis. Elle avait pour
objectif de développer un système d'imagerie couleur semi-automatique permettant à
un expert de contrôler la qualité des échantillons de clinker de ciment issus de différents sites
industriels de Lafarge. Ce système facilite la tâche quotidienne de l'expert microscopiste en
remplaçant l'analyse visuelle statistique, longue et fastidieuse, par la segmentation automatique
des images qu'il a choisies. Ce système d'imagerie, développé et installé sur site industriel,
comporte une partie acquisition (microscope et caméra couleur mono-CCD) et une partie logiciel
qui regroupe sous une interface conviviale, l'ensemble des traitements.
Les images de section de clinker, polie et préparée par l'expert avec une attaque chimique
puis acquise par la caméra, présentent des couleurs peu contrastées qui ne permettent pas leur
séparation par des méthodes classiques de segmentation par approche région. Après une étape de
pré-traitement qui sépare la zone interstitielle ou matrice, nous avons proposé un nouvel outil
(gradient couleur multiéchelle GCM) adapté aux images couleur issues de ce type de capteur. Il
prend en compte les particularités de ces images qui ont une bande passante réduite pour les
composantes couleur par rapport à celle de la luminosité. Par un traitement multiéchelle et une
pondération des différentes composantes, le GCM augmente la part de l'information couleur
dans le calcul du gradient sans augmenter le bruit relatif à ses composantes. Sa mise en œuvre sur
les images de clinker, a montré que le gradient ainsi calculé permet de trouver le contour séparant
les cristaux ne présentant que de faibles différences de couleur sans introduction de faux
contours. Ainsi des régions homogènes en couleur ont pu être délimitées et classifiées.
Afin d'obtenir les contours précis de chacun des cristaux, nous nous sommes dirigés, dans
un premier temps, vers une méthode de contours actifs. En utilisant le modèle classique, une
nouvelle formulation discrète de l'évolution du contour actif a été proposée. Cette formulation,
appelée "contour actif à longueur normalisée" (CALN), présente une structure invariante tout au
long de l'évolution du contour. A chaque itération, les points discrets du contour sont
redistribués uniformément afin de préserver la validité de la matrice A de rigidité interne du
modèle. L'évolution des points est calculée sur un contour normalisé de longueur invariante, puis
reportée sur le contour réel. Ceci permet de conserver la validité des réglages des paramètres de
viscosité, tension, flexion et force ballon, au cours de très grandes variations de la longueur du
contour réel (cas de l'initialisation à un pixel). Cette implantation numérique conduit également à
une réduction par un facteur 10 du temps de calcul. Malheureusement, seuls les cristaux de bélite
sont ainsi individuellement segmentés. Le modèle des contours actifs doit être adapté à la forme
123

CONCLUSION GENERALE.
polygonale de l'alite. De plus, il ne peut effectuer une segmentation individuelle des cristaux
agglomérés ou collés comme les alites.
La version actuelle du logiciel "Clinker-Microvision" comporte cette seconde approche
qui isole individuellement tous les cristaux d'alite et de bélite. Elle fournit une quantification des
trois principaux types de cristaux et également une étude statistique des formes des cristaux d'alite
et bélite. Le système complet est installé sur le site du Centre Technique de Lafarge à Viviers. Il
peut être installé dans les cimenteries pour une analyse immédiate des échantillons de clinker de
manière à réagir sur le processus de fabrication et ainsi améliorer la qualité du produit final. Ceci
permettra aussi d'avoir un retour sur les paramètres des divers traitements mis en œuvre dans le
logiciel et sa validation à une plus grande échelle que celle effectuée pour l'instant.
124

ANNEXE A
SCHEMA DE LA METHODE D’ANALYSE
MICROSCOPIQUE DE CLINKER.
contrôle
de qualité
analyse
microscopique
Chaîne de production du ciment
Système d’imagerie microscopique
Image du clinker en microscopie optique
• quantification des phases principales
• analyse des dimensions des cristaux
• utilisation des techniques modernes
de traitement d’images pour
automatiser le processus
Exemple de résultats statistiques
Représentation numérique de l’image couleur :
Interprétation
Image coul eur
espace RVB espace TLS
rouge
vert
bleu
Statistique des dimensions
Composition minéralogique
Image RVB
Contours actifs : regroupement des
régions en cristaux
Segmentation individuelle des cristaux
et mesure automatique des dimensions
contours
initiaux
contour
final
diamètre
Mesure et quantification
des cristaux
Classification par analyse de
texture
bélite
alite
Identification
des cristaux
Caractérisation des régions :
deux méthodes de Classification
Séparation
des cristaux
Classification couleur
Caractérisation des régions par calcul
des paramètres couleur : teinte,
saturation, intensité, ...
=> classification par réseaux de
neurones
Recherche des variations couleurs
frontière s des c ristaux :
Image initiale
alite bélite célite
Profil de l’image
recherche des contours par
calcul de la derivée numerique
Évolution du contour actif
Textures typiques des cristaux
Fenêtre
d’analyse locale
Caractérisation de la texture par
calcul des paramètres statistiques
=> distinction des deux types de
cristaux par analyse discriminante
alite -- bélite
teinte
alite
bélite
ligne de
séparation
Séparation des cristaux dans l’espace couleur
Image des contours
séparation des
régions homogènes
Image de gradient
recherche des
maxima locaux
Régions séparées
Figure 60 - Schéma de la méthode d’analyse microscopique de clinker présentée dans cette thèse.
125

ANNEXE B LA FABRICATION DU CIMENT 6 .
LA NAISSANCE ET LE DEVELOPPEMENT DES LIANTS
HYDRAULIQUES
Les liants hydrauliques sont des poudres fines obtenues généralement par broyage d’une
roche artificielle dite clinker qui mélangées avec de l’eau en pâte plus ou moins épaisse ont la
propriété de durcir dans l’air et sous l’eau et celle d’agglomérer de fortes proportions de matières
inertes :
• sables pour donner des mortiers.
• sables, graviers, cailloux pour donner des bétons.
L’histoire des liants est ancienne. Les maçonneries étaient, à l’origine, consolidées avec de
l’argile puis avec de la chaux grasse (et parfois, dans certains pays, avec du plâtre). Les mortiers de
chaux grasse furent couramment utilisés par les Étrusques, les Phéniciens, les Chinois, les Grecs,
les Romains. La chaux durcissait à l’air par carbonatation mais ne pouvait pas prendre et
développer des résistances mécaniques sous l’eau. C’était un handicap sérieux pour certaines
utilisations.
Les Romains furent, sans doute, les premiers à fabriquer des liants hydrauliques (capables
de durcir sous l’eau). Pour cela, ils mélangeaient de la chaux grasse à des cendres volcaniques
prises au pied du Vésuve à Pouzzoles. C’est de là qu’est venu le terme de « pouzzolanique » qui se
dit d’un matériau qui, broyé finement, est capable, en présence d’eau, de fixer la chaux.
L’architecte romain Vitruve (auteur de l’ouvrage « De Architectura », 30--25 ans avant J.-
C.), donnait les recettes permettant la confection de ces liants. Il conseillait par exemple de
mélanger deux parts de pouzzolane avec une part de chaux. Des principaux ouvrages qui nous
restent de cette époque, nous pouvons citer le Colysée et le Panthéon de Rome, le Pont du Gard,
etc.
De la période romaine à la moitié du XVIII ème siècle, peu de progrès ont été faits et les
liants hydrauliques fabriqués sont même de qualité de plus en plus mauvaise. Ce n’est qu’à partir
du milieu du XVIII ème siècle et au début du XIX ème que l’on cherche à expliquer les raisons pour
lesquelles certaines chaux impures durcissent mieux sous l’eau que d’autres. C’est Louis Vicat
(1786--1861) qui mit fin à certains empirismes et qui donna, pour la première fois en 1817 des
6 Certains passages de cette annexe sont extraits du « Ciments et bétons actuels », brochure du Centre
d’Information de l’Industrie Cimetière, et de « Cours de Matériaux : la fabrication du ciment », Alain Bideaux, École
Nationale des Travaux Publics de l’État.
126

ANNEXE B
LA FABRICATION DU CIMENT.
indications précises sur les proportions de calcaire et d’argile à prendre pour fabriquer de la chaux
« éminemment hydraulique », « artificielle », qualifiée de « ciment hydraulique ». En 1824, J.
Apsdin dépose un brevet pour un liant qu’il appelle « Ciment Portland » en raison de l’aspect du
liant durci qui rappelle celui de la pierre de l’île de Portland.
Dès lors, le processus est connu, de même que l’influence de la température. Il ne reste
plus qu’à fixer plus finement les critères chimiques et les conditions de cuisson. L’évolution du
processus industriel est essentiellement liée à l’évolution technologique des matériels et des
procédés. Ces séries de perfectionnements conduisent progressivement au produit élaboré que
nous connaissons aujourd’hui et défini par la norme NF P 15-301 de décembre 1978 de la
manière suivante : "Un liant hydraulique est une poudre minérale qui forme avec l’eau une pâte
faisant prise et durcissant progressivement, même à l’abri de l’air notamment sous l’eau. Les
ciments sont des liants hydrauliques, formés de constituants anhydres, cristallisés ou vitreux,
renfermant essentiellement de la silice, de l’alumine et de la chaux, et dont le durcissement est
principalement dû à la formation par combinaison de ces constituants anhydres avec l’eau, de
silicates et d’aluminates de calcium hydratés très peu solubles dans l’eau."
Le développement des usines s’est alors intensifié tout au long des XIX ème et XX ème
siècles. En France, la première usine importante de chaux hydraulique artificielle fut construite
par Pavin de Lafarge en 1830 au Teil, dans l’Ardèche. La première usine de ciment a été créée par
Dupont et Demarle en 1846 à Boulogne-sur-Mer.
Les procédés de fabrication ne cessent de se perfectionner. Pour produire une tonne de
clinker, il fallait, en 1870, 40 heures ; il faut actuellement environ 20 minutes. L’évolution des
capacités des fours rotatifs est tout aussi importante ; on est passé de 50 tonnes / jour en 1900 à
5000 tonnes / jour en 1985. Ainsi, le ciment n’a guère plus d’une centaine d’années ; comme on
l’a souvent écrit, « c’est le matériau du XX ème siècle ».
LES GRANDES LIGNES D’UNE UNITE DE FABRICATION
L’enchaînement logique des opérations de fabrication du ciment est le suivant :
• préparation des matières premières,
• préparation du mélange cru,
• cuisson,
• broyage,
• stockage,
• expédition,
• contrôles.
Le schéma de fabrication du ciment de la figure ci-dessous reprend en partie ces
opérations depuis l’étape d’extraction de la matière en carrière jusqu’à l’étape finale de
l’expédition.
127

ANNEXE B
LA FABRICATION DU CIMENT.
Figure 61 - Schéma de la chaîne de fabrication du ciment.
L’extraction et la préparation des matières premières
Les deux composants indispensables à la fabrication du ciment sont :
• le calcaire CaCO 3 pour l’apport de la chaux,
• l’argile (ou les matériaux agilo-marneux) pour l’apport :
1. de la silice principalement,
2. de l’alumine et de l’oxyde de fer indispensables pour la cuisson.
Les proportions du mélange sont de 80% de calcaire et 20% d’argile.
128

ANNEXE B
LA FABRICATION DU CIMENT.
Une cimenterie est donc généralement alimentée par deux carrières, une de calcaire et une
d’argile. Les méthodes d’exploitation (scalpage, rippage, minage, etc.) de ces carrières dépendent
de la nature des roches et de leur dureté.
Les dimensions de blocs en provenance des fronts de taille pouvant atteindre 1m 3 , ils
doivent être réduits à une granulométrie inférieure à 60mm par concassage. L’étape suivante de
pré-homogénéisation équivaut à la reconstruction de la carrière idéale grâce au mélange le plus
intime possible des matériaux naturels extraits.
Le broyage du cru
Le broyage a pour but de réduire la matière première de la pré-homogénéisation -
additionnée des compléments indispensables à son bon équilibre chimique - en poudre très fine
pour assurer, au cours du processus de cuisson, un contact moléculaire maximum des particules
des différents éléments chimiques constitutifs. La poudre obtenue, appelée « cru » ou « farine »
est homogénéisée, corrigée, si nécessaire et stockée en silo avant son introduction dans le four.
La cuisson et le refroidissement
Le processus de formation des minéraux du clinker consiste principalement en un
chauffage, une cuisson et un refroidissement. Il résulte, sauf pour l’alite, de réactions entre
solides.
La cuisson du cru est réalisée dans un four rotatif, grand cylindre légèrement incliné, dont
la vitesse de rotation est d’environ 1 tour / minute. La source de chaleur est apportée par une
tuyère pouvant brûler différents combustibles : gaz, fuel, charbon, coke de pétrole.
Le cru, avant de pénétrer dans le four, traverse un pré-calcinateur où les gaz du four,
ascendants, cèdent de la chaleur au cru, descendant. Le cru est ainsi porté de 60°C à 800°C,
température de décarbonatation, en un temps très court.
En partie décarbonaté, il pénètre dans le four lui-même où la cuisson se poursuit jusqu’à
la température de clinkérisation de 1450°C.
Les différents processus de transformation en cours de cuisson sont détaillés dans de
nombreux ouvrages généraux sur la fabrication du ciment. On distingue 5 grandes étapes dans le
déroulement de la cuisson :
• la dessiccation des minéraux argileux, de 100°C à 1000°C,
• la décomposition des carbonates, qui débute à 650°C et n’est vraiment totale qu’audelà
de 1000°C,
• les réactions entre solides,
• les réactions en présence de la phase liquide, phase qui apparaît au delà de 1250°C à
1280°C. Entre 1250°C et 1450°C, il se produit essentiellement une seule réaction, la
formulation du C 3 S à partir de la chaux CaO et du C 2 S.
• le refroidissement, jusqu’à 70°C environ, qui joue un rôle fondamental sur la
formation des minéraux du clinker mais aussi sur les résistances et les propriétés des
ciments.
129

ANNEXE B
LA FABRICATION DU CIMENT.
Le broyage
Le clinker ainsi obtenu, véritable matière première du ciment, se présente sous la forme
de billes sphériques dont la granulométrie s’étale de 5 à 40 mm.
Afin de faciliter les réactions chimiques entre l’eau, les silicates et les aluminates du
clinker, il est nécessaire de broyer ce produit et de lui adjoindre du gypse et des ajouts.
Ce broyage est capital pour deux raisons essentielles :
• le clinker brut n’a pratiquement aucun pouvoir hydraulique,
• broyé sans ajout de gypse, l’hydratation est généralement brutale et les performances
médiocres.
En fin de chaîne, le ciment est stocké dans des silos avant son expédition, soit en vrac,
soit après ensachage.
De nombreux contrôles sont effectués à tous les stades de la fabrication de manière à
veiller à la qualité des produits. La composition du cru avant et après homogénéisation, la
composition du clinker à la sortie du four sont contrôlées par les laboratoires des cimenteries.
Des prélèvements effectués à la sortie des broyeurs permettent de vérifier la finesse et la teneur
des différents constituants. A ces vérifications quotidiennes, s’ajoutent tous les essais de
conformité aux normes définies par les pouvoirs publics.
130

ANNEXE C
APPLICATIONS DU CALN A L'AIDE
AU DIAGNOSTIQUE DES MALADIES VASCULAIRES.
Notre modèle de contours actifs à longueur normalisée (CALN) est intégré dans deux
logiciels d’imagerie médicale développés au laboratoire Creatis. Ces logiciels ont permis de valider
quantitativement sur un grand nombre d'images la robustesse des résultats de la segmentation par
CALN dans le contexte médical. Les deux applications présentées ici ont pour but d’étudier
l'artériosclérose, maladie de la paroi des artères, qui représente la cause la plus fréquente de
l’infarctus du myocarde et des accidents cérébraux.
1. VALIDATION DU CALN DANS LE LOGICIEL MARACAS
Le premier logiciel, appelé MARACAS ("Magnetic Resonance Angiography Computer
Assisted Analysis"), est dédie à l’étude des images d'angiographie par Résonance Magnétique
(ARM) [Hernandez-Hoyos et al., 2000]. Ces images de vaisseaux des membres inférieurs sont
obtenues après injection d’un produit de contraste.
L'analyse 3D de la morphologie vasculaire des images angiographiques RM nécessite dans
une première étape d'extraire l'axe central du vaisseau. Dans le logiciel MARACAS, il est calculé
par d'une méthode de squelette extensible [Hernandez-Hoyos et al., 2000]. Les contours des
vaisseaux sont ensuite recherchés dans des plans localement orthogonaux à l'axe central du
vaisseau. A partir de cette pile de contours 2D le long du vaisseau, il est possible de réaliser des
mesures quantitatives et de développer des outils de visualisation.
Pour évaluer la précision de la segmentation par le CALN, nous avons testé l'algorithme
sur des images de fantôme 3D représentant des artères avec sténoses (rétrécissement de la
lumière artérielle). Une mesure classique de la sévérité d'une sténose est le rapport entre la surface
de la lumière minimale du vaisseau et la surface de sa surface moyenne. Les mesures de surface
obtenues à partir de la segmentation automatique sont comparées à celles connues des fantômes.
La quantification de la lumière du vaisseau sur les coupes de la partie non sténosée est correcte.
L'écart type relatif est inférieur à 2% et l'erreur maximale relative est inférieure à 5%. Cela montre
la stabilité de l'extraction des contours (Figure 62). La résolution des images est de 0,78 x 0,78 x
0,76 mm. Le diamètre de la partie saine du vaisseau est de 6 mm avec une surface de 28,3 mm 2 .
Ainsi, un seul pixel mal segmenté représente une erreur de 2,15%. Nos résultats contiennent
donc moins d'un ou deux pixels mal classés. Ce résultat est correct, si on considère de plus l'effet
de volume partiel. Les erreurs sont légèrement plus grandes pour le fantôme (b) (Figure 62) mais
ceci est dû à un effet plus important de volume partiel, du fait de la moins bonne résolution
d'acquisition de l'image.
131

ANNEXE C
APPLICATIONS DU CALN A L'AIDE AU DIAGNOSTIQUE DES MALADIES
VASCULAIRES.
(a)
(b)
Images CAD du fantôme
Projection du maximum
de l'intensité (MIP)
600
500
400
300
200
100
0
1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 111 122 133 144 155 166
500
400
300
200
100
0
1 5 9 13172125293337414549535761656973778185
Sténose Estimation Sténose Estimation
50% 48.33% 75% concentrique 70.53%
95% 94.33% 75% excentrique 73.80%
Écart type relatif = 1,92%
Erreur max. relative = 4,91%
Rendu de surface de
l'image RM segmentée
avec la ligne centrale de
l'artère
Mesure de la surface des
coupes.
La surface moyenne non
sténosée est représentée
par la ligne rouge
Erreurs dans la surface
non sténosée :
Écart type relatif = 1,98%
Erreur max. relative = 4,29%
Figure 62. - Résultats sur les donnés fantôme : Colonne (a) : Fantôme avec des sténoses de 50% et 95%,
elliptique et excentrique. Colonne (b) : Fantôme avec des sténoses de 75% semi-lunaire excentrique et semi-lunaire
concentrique.
La Figure 63 montre les coupes orthogonales à l’axe central extrait du fantôme au niveau
de la sténose de 95%. Les contours de la lumière trouvés par l'algorithme sont superposés à
l’image.
132

ANNEXE C
APPLICATIONS DU CALN A L'AIDE AU DIAGNOSTIQUE DES MALADIES
VASCULAIRES.
Figure 63. - Coupes orthogonales à l’axe central extrait du fantôme au niveau de la sténose de 95%. Les
contours trouvés sont superposés à l’image.
Les modèles déformables utilisés classiquement nécessitent une initialisation du contour
proche de la solution finale. L'initialisation avec un seul point du contour, permet au CALN de
surmonter les limitations du modèle déformable traditionnel. Le contour est initialisé
automatiquement au point d'intersection entre l'axe du vaisseau et le plan image orthogonal. La
mesure de la surface à l'intérieur des contours résultants donne des paramètres de la sténose.
L'algorithme est robuste, même pour des sténoses importantes.
La méthode a été évaluée qualitativement et quantitativement. La validation visuelle des
résultats montre l'estimation précise du positionnement du contour. Des résultats quantitatifs
montre que la sévérité de la sténose a été estimée avec une bonne précision même pour des
sténoses sévères.
2. VALIDATION DU CALN DANS LE LOGICIEL ATHER
En parallèle le modèle des CALN a été intégré dans un deuxième logiciel appelé ATHER
("Atherosclerosis MR image visualisation and quantification software"), dédié à l'étude de la
plaque d'athérome dans des images par Résonance Magnétique (RM) haute résolution. L'étude
des effets de différents traitements sur la progression de la lésion présente un vif intérêt mais
nécessite un grand nombre de sujets. L'identification, l'évolution et la caractérisation de la plaque,
réalisées en général en IRM et en histo-pathologie, consistent à mesurer simplement la surface de
la paroi du vaisseau.
Le logiciel propose donc de segmenter puis de quantifier de manière automatique la
lumière vasculaire ainsi que la plaque d'athérome d'une série d'images représentant les coupes
d'un tronçon d'artère. Notre modèle CALN y est intégré dans un but de segmentation
automatique.
133

ANNEXE C
APPLICATIONS DU CALN A L'AIDE AU DIAGNOSTIQUE DES MALADIES
VASCULAIRES.
Le contour est initialisé avec un seul pixel à l'intérieur de la lumière du vaisseau, et
l'algorithme converge rapidement. Les contours extraits automatiquement correspondent aux
parois intérieurs des vaisseaux, même en présence de plaques d'athérome qui introduisent de
grandes variations dans les formes des parois (Figure 64). Pour la validation des résultats,
plusieurs experts ont manuellement tracé sur les images les bords de ces mêmes parois. Les
surfaces à l'intérieur des contours obtenus de manière automatique et manuelle sont calculées par
le logiciel et comparées. La différence absolue est de 4% pour l'ensemble des données. Ce taux
d'erreur est du même ordre que la variabilité inter-observateurs. La variabilité des mesures
obtenues avec CALN est quant à elle inférieur à 1,2% [Desbleds-Mansard et al., 2001b]. Notre
modèle est donc très bien adapté à la détection des parois de vaisseaux.
Figure 64. - Exemple de résultats obtenus avec l’algorithme CALN pour la segmentation de la lumière
de vaisseaux. Nous remarquons la qualité variable (rapport signal sur bruit) des images, ainsi que les différentes
formes de la paroi intérieure des artères. Ces images ont été créées avec le logiciel ATHER.
Une seconde étude, consiste à comparer non plus des mesures de surface, mais les
contours eux-mêmes obtenus par segmentation manuelle par un expert et par segmentation
automatique avec le modèle CALN. Sur un sous-ensemble de 45 images, la distance maximale
entre les deux contours est inférieure à 2 pixels (Figure 65) et la distance moyenne varie de 1/3 à
1/2 pixel en fonction de la résolution spatiale des images.
134

ANNEXE C
APPLICATIONS DU CALN A L'AIDE AU DIAGNOSTIQUE DES MALADIES
VASCULAIRES.
Figure 65. - La distance maximale entre les contours établis par les CALN et par l’expert est inférieure
à 2 pixels. L’épaisseur du contour dans ces images est de 1/3 de la taille d’un pixel. Ces images ont été créées avec
le logiciel ATHER.
L'extraction automatique des contours ne nécessite pas de réglage de paramètres car le
modèle a été optimisé pour l'application. La seule interaction est l'initialisation d'un contour (un
pixel) réalisée par un double click dans la lumière du vaisseau sur une des coupes uniquement.
Les contours dans les autres coupes de la série sont initialisés automatiquement à partir du centre
de gravité du contour précédent. Si les images sont de bonne qualité, la détection automatique
des contours donne des très bons résultats et elle est insensible à la position du point initial. Dans
des images de mauvaise qualité, la position du point de départ peut avoir une plus grande
importance.
Classiquement, le contour final obtenu dans une coupe sert de contour initial dans la
coupe suivante. Or, si les distances entre les différentes coupes sont importantes ou si la forme
d’un contour à l’autre varie considérablement entre deux coupes voisines, des problèmes peuvent
survenir. Ainsi, l'initialisation automatique avec un seul point s'avère très utile.
Les principaux avantages de l'utilisation du modèle CALN à la segmentation de parois
d'artères sont la rapidité d'exécution et la stabilité des résultats obtenus pour différents points de
départ à l’intérieur du vaisseau. Nous pouvons également souligner l'économie de temps obtenu
avec l’algorithme automatique. L’expert met environ 2 heures pour effectuer les mesures sur 45
images, l’algorithme des CALN prend seulement 30 secondes pour la segmentation de la série
d’images.
Enfin, les contours planaires ne sont pas seulement utilisés pour la quantification, mais
également pour la visualisation en trois dimensions. Le logiciel ATHER génère une visualisation
3D par rendu de surface (Figure 66). Ceci est d’un grand intérêt pour l’évaluation visuelle de la
morphologie intra-lumière d’une plaque. Pour plus de détails sur le protocole de validation, on
peut se reporter aux références [Desbleds-Mansard et al., 2001a] et [Desbleds-Mansard et al.,
2001b].
135

ANNEXE C
APPLICATIONS DU CALN A L'AIDE AU DIAGNOSTIQUE DES MALADIES
VASCULAIRES.
a) b) c) d)
Figure 66. - Rendu 3D de la surface intérieure du bord du vaisseau (a,c), généré a partir des points de
contours calculé. Sections longitudinales (b) et les images 2D (d) correspondantes. Ces images ont été créées avec le
logiciel ATHER.
La validation du logiciel ATHER pour la recherche des contours extérieurs des vaisseaux
sur des images in vivo des lapins va être effectuée.
136

PUBLICATIONS DE L’AUTEUR
1. PUBLICATIONS DANS DES REVUES INTERNATIONALES AVEC
COMITE DE LECTURE
[1] A. Anwander, B. Neyran, A. Baskurt. "Gradient Couleur Multiéchelle pour la
segmentation d’image". Traitement de Signal. Vol. 18, N°2, pp. ??-??. 2001.
[2] A. Anwander, M. Kuhn, S. Reitzinger, C. Wolters. "A parallel algebraic multigrid
solver for finite element method based source localisation in the human brain". submitted to
"Computing and Visualization in Science". Springer, Berlin. 2001.
[3] A. Anwander, B. Neyran, J. Haase, A. Baskurt. "New methods for clinker phase
recognition using automatic image analysis". World Cement. Vol. 29, N°4, pp. 77-84. 1998.
2. COMMUNICATIONS INTERNATIONALES AVEC ACTES
[4] C. Desbleds-Mansard, A. Anwander, L. Chaabane, M. Orkisz, B. Neyran, P. C.
Douek, I. E. Magnin. "Size independent active contour model for blood vessel lumen
quantification in high-resolution magnetic resonance images". Proceedings of the Forth
International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention -
MICCAI 2001. (Lecture Notes in Computer Science Vol. 2208). Springer, Berlin. p. 854-561,
Utrecht, octobre 2001.
[5] C. Desbleds-Mansard, A. Anwander, L. Chaabane, M. Orkisz, B. Neyran, P. C.
Douek, I. E. Magnin. "Dynamic active contour model for size independent blood vessel lumen
segmentation and quantification in high-resolution magnetic resonance images", Proceedings of
the 9th International Conference on Computer Analysis of Images and Patterns - CAIP'2001.
(Lecture Notes in Computer Science Vol. 2124). Springer, Berlin, pp. 264-273, Warsaw, Poland,
5-7 september, 2001.
[6] A. Anwander, B. Neyran, A. Baskurt. "Segmentation of crystals in microscopic
images using multiscale color gradient", International Conference on Color in Graphics and
Image Processing - CGIP’2000, Saint-Étienne, France, pp. 311-316, octobre 2000.
[7] M. Hernández-Hoyos, A. Anwander, M. Orkisz, J.-P. Roux, P. C. Douek, I. E.
Magnin. "A deformable vessel model with single point initialization for segmentation,
quantification and visualization of blood vessels in 3D MRA ". Proceedings of the Third
International Conference on Medical Image Computing and Computer-Assisted Intervention -
MICCAI 2000. (Lecture Notes in Computer Science Vol.1935). Springer-Berlin. 2000, p.735-745.
137

PUBLICATIONS DE L’AUTEUR
[8] A. Anwander, B. Neyran, A. Baskurt. "Multiscale colour gradient for image
segmentation", Proceedings of the Fourth International Conference on Knowledge-Based
Intelligent Engineering Systems and Allied Technologies - KES'2000, University of Brighton,
Sussex, U.K., pp. 369-372 vol.1, 30 août - 1 septembre 2000.
[9] C. H. Wolters, S. Reitzinger, A. Basermann, S. Burkhardt, U. Hartmann, F.
Kruggel, A. Anwander. "Improved tissue modelling and fast solver methods for high résolution
FE-modelling in EEG/MEG-source localisation". Proceedings of the 12th International
Conference of Biomagnetism. Helsinki University of Technology - BIOMAG 2000, Espoo. 13-
17 août 2000, p 655-659.
[10] A. Anwander, J. Haase, B. Neyran, A. Baskurt. "Automatic color image
segmentation for microscopic images of cement clinker". International Conference on Quality
Control by Artificial Vision - QCAV'98. Takamatsu, Kagawa, Japan. pp. 22-27. 10-12 novembre
1998.
[11] A. Anwander, B. Neyran, J. Haase, A. Baskurt, "New methods for clinker phase
recognition using automatic image analysis". 20th International Conference on Cement
Microscopy - ICMA'98. Guadalajara, Mexico. pp. 259-269. 19-23 avril 1998.
[12] A. Anwander, B. Neyran, A. Baskurt. "Automatic microscopic examination of
cement clinker by image segmentation and quantification". International Conference on Quality
Control by Artificial Vision - QCAV'97. Le Creusot, France. pp. 269-274. 28-30 mai 1997.
3. PRESENTATIONS DANS LE CADRE DU CNRS GDR ISIS
[13] A. Anwander, B. Neyran, A. Baskurt. "Segmentation d'image couleur par un
opérateur gradient vectoriel multiéchelle : Application à la quantification des phases
minéralogiques du clinker de ciment". Réunion du CNRS GdR-PRC ISIS, Journée GT 3. ENST
Paris. 9 mars 2000.
[14] A. Anwander. "CLINKER-MICROVISION : Application des modèles déformables à
la segmentation des images microscopiques couleur de clinker de ciment". Réunion du CNRS
GdR-PRC ISIS, Journée GT 4, ENST Paris. 29 octobre 1999.
4. AUTRES COMMUNICATIONS
[15] A. Anwander, B. Neyran, A. Baskurt. "Segmentation d'image couleur par un
opérateur gradient vectoriel multiéchelle : Application à la quantification des phases
minéralogiques du clinker de ciment". Séminaire "Signal et image pour le contrôle dans
l'industrie". IUT, Le Creusot. 25 mai 2000.
[16] A. Anwander. "Quantification et morphologie des phases minéralogiques du
clinker de ciment Portland par analyse d'images de microscopie optique". Journées microscopie,
Lafarge Ciments, l'Isle d'Abeau. 23-24 novembre 1999.
[17] A. Anwander. "Quantification et morphologie des phases minéralogiques du
clinker de ciment Portland par analyse d'images de microscopie optique". Salon TEC'99,
Gernoble. 12-14 octobre 1999.
138

PUBLICATIONS DE L’AUTEUR
[18] A. Anwander. "Quantification et morphologie des phases minéralogiques du
clinker de ciment Portland par analyse d'images de microscopie optique". Colloque ARATEM'99,
Annecy. 24 septembre 1999.
[19] A. Anwander. "Segmentation of colour images with active contour models:
Application on microscopic images of cement clinker". Ph.D Summer School/Workshop'98 in
Shape Variation. Université de Copenhague, Danemark. 24-28 août 1999.
[20] A. Anwander. "Reconnaissance automatique des phases de clinker par analyse
d'images microscopiques : Analyse automatique des dimensions des cristaux". Rapport
intermédiaire (2ans), Convention CIFRE n° 567/96. Lafarge Ciments, Centre de Viviers. janvier
1999. 31p.
[21] A. Anwander. "CLINKER-MICROVISION : Contrôle microscopique du clinker de
ciment par analyse d’image". 9 èmes Rencontres Régionales de la Recherche, Région Rhône-Alpes,
Lyon. 3 novembre 1998.
[22] A. Anwander. "Electronic sample analysis using PC based image processing in
clinker microscopy". 20th International Conference on Cement Microscopy ICMA'98.
Guadalajara, Mexico. Panel session on Electronic Means of Sample Analysis and Recording. 19-
23 avril 1998. communication invitée.
[23] A. Anwander. "Segmentation des cristaux de ciment par contour actif". 3ème
Colloque des Doctorants, INSA de Lyon. Résumés des posters. p.140. 5 mai 1998.
[24] A. Anwander. "Reconnaissance automatique des phases de clinker par analyse
d'images microscopiques". Rapport intermédiaire (1an), Convention CIFRE n° 567/96. Lafarge
Ciments, Centre de Viviers. décembre 1997. 31p.
[25] A. Anwander. "Reconnaissance automatique des phases de clinker par analyse
d'images de microscopie". Club des utilisateurs, Lafarge Ciments, Saint-Cloud. 14 mai 1997.
[26] A. Anwander. "Segmentation d'images microscopiques du clinker de ciment pour
la quantification des phases". Mémoire de DEA. INSA de Lyon. septembre 1996. 73p.
[27] A. Anwander. "Segmentierung mikroskopischer Schnitte von Zementklinker zur
Quantifizierung de kristallinen Phasen". Mémoire de "Diplomarbeit". Université de Karlsruhe,
Allemagne. septembre 1996. 73p.
139

BIBLIOGRAPHIE
[Adobe, 1992] Adobe. “TIFF Revision 6.0”. [en ligne] Mountain View, États-Unis : Adobe
Systems Inc., 1992, 120 p. disponible sur : http://partners.adobe.com/asn/developer/
pdfs/tn/TIFF6.pdf consulté le 22-10-1999.
[Alshatti et al., 1993] W. Alshatti et P. Lambert. “Un opérateur optimal pour la détection de
contours dans des images couleur”. 14ème Colloque GRETSI. Juan-les-Pins, 1993, pp. 679-
682.
[Amini et al., 1990] A. Amini, T. Weymouth, et R. Jain. “Using dynamic programming for
solving variational problems in vision”. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine
Intelligence, 1990, Vol 12, N° 9, pp. 855-867.
[Anwander et al., 1997] A. Anwander, B. Neyran, et A. Baskurt. “Automatic microscopic
examination of cement clinker by image segmentation and quantification”. International
Conference on Quality Control by Artificial Vision, QCAV '97. Le Creusot, France, 1997, pp.
269-274.
[Anwander et al., 1998a] A. Anwander, B. Neyran, J. Haase, et A. Baskurt. “New methods
for clinker phase recognition using automatic image analysis”. 20th International Conference
on Cement Microscopy, ICMA'98. Guadalajara, Mexico, 1998, pp. 259-269.
[Anwander et al., 1998b] A. Anwander, B. Neyran, J. Haase, et A. Baskurt. “New methods
for clinker phase recognition using automatic image analysis”. World Cement, 1998, Vol 29,
N° 4, pp. 77-84.
[Anwander et al., 1998c] A. Anwander, J. Haase, B. Neyran, et A. Baskurt. “Automatic
color image segmentation for microscopic images of cement clinker”. International
Conference on Quality Control by Artificial Vision, QCAV '98. Takamatsu, Kagawa, Japan,
1998, pp. 22-27.
[Anwander et al., 2000a] A. Anwander, B. Neyran, et A. Baskurt. “Multiscale colour
gradient for image segmentation”. Fourth International Conference on Knowledge-Based Intelligent
Engineering Systems and Allied Technologies - KES'2000. University of Brighton, Sussex,
Royaume-Unis, 2000, pp. 369-372.
[Anwander et al., 2000b] A. Anwander, B. Neyran, et A. Baskurt. “Segmentation of crystals
in microscopic images using multiscale color gradient”. First International Conference on Color
in Graphics and Image Processing - CGIP'2000. Saint-Étienne, 2000, pp. 311-316.
[Anwander et al., 2001] A. Anwander, B. Neyran, et A. Baskurt. “Gradient Couleur
Multiéchelle pour la segmentation d'image”. Traitement de Signal, 2001, Vol 18, N° 2, à
l'impression.
140

BIBLIOGRAPHIE
[Beaudot, 1994] W. H. A. Beaudot. "Le traitement neuronal de l'information dans la rétine des
vertébrés : Un creuset d'idées pour la vision artificielle". Thèse de doctorat : Institut
National Polytechnique de Grenoble, 1994. 249 p.
[Bedat, 1998] L. Bedat. "Aspects psychovisuels de la perception des couleurs : Application au
codage d’images couleur fixes avec compression de l’information". Thèse de doctorat :
Université de Nantes, 1998. 247 p.
[Berger, 1991] M.-O. Berger. "Les contours actifs : modélisation, comportement et convergence".
Thèse de doctorat : Institut National Polytechnique de Lorraine, 1991, 135 p.
[Blomgren et al., 1998] P. Blomgren et T. F. Chan. “Color TV: Total variation methods for
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145

FOLIO ADMINISTRATIF
THESE SOUTENUE DEVANT L’INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
NOM : ANWANDER Date de soutenance : 11 décembre 2001
Prénom : Alfred
TITRE :
Segmentation d'images couleur par un opérateur gradient vectoriel multiéchelle et contour actif :
Application à la quantification des phases minéralogiques du clinker de ciment.
Nature : Doctorat
Numéro d’ordre : 2001ISAL
Formation doctorale : Images et Systèmes
Code B.I.U._Lyon : T 50/210/19 / et bis Classe :
Résumé :
L'objectif de cette thèse est la quantification des phases de clinker de ciment par analyse d'images couleur issues
d'un microscope optique. La segmentation des cristaux a été abordée par une double démarche adaptée aux
contraintes industrielles : La première porte sur une méthode originale de calcul du gradient couleur dans le cas des
images acquises avec une camera couleur standard mono-CCD. Ces images multi-spectrales ont la particularité de
présenter une résolution réduite des composantes couleur par rapport à celle de la luminosité. L'adaptation d'une
approche multi-échelle et une pondération des composantes sont intégrée dans un nouvel opérateur de gradient
couleur multi-échelle (GCM). Les études comparatives avec des techniques classiques, effectuées dans le cadre de la
détection des contours, montrent la contribution du GCM. Le deuxième modèle original concerne la segmentation
d'images par un contour déformable de type "ballon". Notre modèle stabilise la déformation par normalisation de la
longueur du contour actif avant chaque itération. Ceci permet des grandes déformations du contour sans requérir le
ré-échantillonnage de la courbe, étape nécessaire dans l’approche classique. L’algorithme est plus rapide et plus
robuste et autorise un contour initial loin du contour final.
Le logiciel développé en partenariat avec la société Lafarge Ciments intègre ces différentes techniques de traitement
d'image couleur : Pré-traitement des images, segmentation par approche contour effectuée à l'aide du GCM des
images microscopiques couleur, une fermeture des contours. Les régions homogènes ainsi segmentées, sont ensuite
classifiées grâce à des paramètres de texture et de couleur. Le système fourni une quantification des trois phases
principales du clinker et une analyse statistique des dimensions des cristaux. Il remplace une mesure manuelle
longue et fastidieuse et permet d’augmenter la qualité de la fabrication par des mesures plus fréquentes en sortie du
four à ciment.
Mots-Clés :
Traitement image, Segmentation image, Clinker, Microscopie optique, Contrôle qualité, Caméra vidéo, Image
couleur, Gradient, Contour actif, Classification
Laboratoire de recherche :
Centre de Recherche Et d’Applications en Traitement des Images et du Signal (CREATIS-UMR CNRS 5515)
Co-directeurs de thèse :
Bruno NEYRAN et Atilla BASKURT
Président de jury :
Composition du jury : Atilla BASKURT, Pierre BONTON (rapporteur), Roland COLL, Patrick LAMBERT,
Isabelle E. MAGNIN, Bruno NEYRAN, Jack-Gérard POSTAIRE (rapporteur).