Logique propositionnelle classique - MLO - Ensiie
Logique propositionnelle classique - MLO - Ensiie
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Théorème<br />
Soit I une interprétation. Soit I 0 l’interprétation définie par I 0 (p) = I (G)<br />
et I 0 (q) = I (q) pour tout q ≠ p. Alors I (F [p := G]) = I 0 (F ) (prop. 9)<br />
Proof.<br />
Par induction sur F (on applique le principe d’induction structurelle)<br />
1. I (⊥[p := G]) = I (⊥) = 0 = I 0 (⊥)<br />
2. soit q une variable <strong>propositionnelle</strong>.<br />
si p = q, I (q[p := G] = I (G) = I 0 (G) par construction de I 0<br />
si p ≠ q, I (q[p := G] = I (q) = I 0 (q) par construction de I 0<br />
3. hyps d’induction : I (F 1 [p := G]) = I 0 (F 1 ) et I (F 2 [p := G]) = I 0 (F 2 ).<br />
I ((F 1 ∧ F 2 )[p := G]) = I (F 1 [p := G] ∧ F 2 [p := G])<br />
= I (F 2 [p := G]) si I (F 1 [p := G]) = 1, 0 sinon.<br />
= I 0 (F 1 ∧ F 2 )<br />
4. de même pour F de la forme F 1 ∨ F 2<br />
5. de même pour F de la forme F 1 ⇒ F 2<br />
6. de même pour F de la forme ¬F 1 (1 seule hypothèse d’induction)<br />
Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () <strong>Logique</strong> <strong>propositionnelle</strong> <strong>classique</strong> 18 / 60