Logique propositionnelle classique - MLO - Ensiie

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Théorème Σ |= F ssi Σ, ¬F est un ensemble contradictoire (prop 8.2) Proof. - Hypothèse Σ |= F - Montrons Σ, ¬F est un ensemble contradictoire Supposons que Σ, ¬F n’est pas contradictoire. Donc il existe une interprétation I qui satisfait Σ et ¬F . On a I (¬F ) = 1 donc I (F ) = 0. Or d’après l’hypothèse puisque I satisfait Σ alors I satisfait F , soit I (F ) = 1. - Hypothèse : Σ, ¬F contradictoire - Montrons Σ |= F Soit I interprétation telle que I |= Σ. Montrons que I (F ) = 1. Si I (F ) = 0 alors I (¬F ) = 1. Alors I satistait Σ et ¬F . Ce qui est impossible de par l’hypothèse. Donc I (F ) = 1. cqfd Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 16 / 60
Equivalences et tautologies par substitutions Substitution Si F et G sont des formules et p une variable propositionnelle, on définit par induction la formule F [p := G] obtenue à partir de F en substituant G à p dans F . ◮ ⊥[p := G] = ⊥ ◮ q[p := G] = G si q = p, q sinon ◮ (¬F 1 )[p := G] = ¬(F 1 [p := G]) ◮ (F 1 ∧ F 2 )[p := G] = (F 1 [p := G]) ∧ (F 2 [p := G]) ◮ (F 1 ∨ F 2 )[p := G] = (F 1 [p := G]) ∨ (F 2 [p := G]) ◮ (F 1 ⇒ F 2 )[p := G] = (F 1 [p := G]) ⇒ (F 2 [p := G]) Exemple : Soit G la formule p ∨ ¬q. (r ∧ ¬r ∧ q)[r := G] = (p ∨ ¬q) ∧ ¬(p ∨ ¬q) ∧ q Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 17 / 60
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Règles dérivées Quand on doit d
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Exemple : manipuler les hypothèses
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Solution I ¬¬A, ¬A ⊢ ¬¬A ¬
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Solution III (A ⇒ B) ⇒ A, ¬A
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Correction et complétude Lien entr
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• Cas 3 : La démonstration H ⊢
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