Logique propositionnelle classique - MLO - Ensiie

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◮ Si Σ est un ensemble de formules et I une interprétation, on dit que I satisfait Σ (I |= Σ) si I |= F pour toute formule F de Σ Exemple : soit I telle que I (p) = 0, I (q) = 1, on a I |= {p ⇒ q, q} ◮ Un ensemble de formules est contradictoire s’il n’existe aucune interprétation qui le satisfasse. Exemple : {p ∧ q, ¬p} est contradictoire ◮ Une formule F est une conséquence sémantique d’un ensemble de formules Σ : Σ |= F ssi toute interprétation I qui satisfait Σ satisfait aussi F Exemple : {p ⇒ q, p} |= q ◮ Deux formules F et G sont sémantiquement équivalentes (noté F ≡ G) si l’un est conséquence sémantique de l’autre et vice-versa ({F } |= G et {G} |= F ). Autre caractérisation : F et G ont la même table de vérité. Exemple : ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 12 / 60
Un petit problème Un psychiatre pour logiciens écoute un de ses patients énumérer ses sentiments à propos de deux charmantes collègues : ◮ J’aime Marie ou j’aime Jeanne ◮ Si j’aime Marie alors j’aime Jeanne Le psychiatre conclut que le logicien aime Jeanne. Pourquoi ? atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 13 / 60
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Encore un autre exemple : démontro
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Exercices Prouver que: ◮ ⊢ A
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Règles dérivées Quand on doit d
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Exemple : manipuler les hypothèses
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Solution I ¬¬A, ¬A ⊢ ¬¬A ¬
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Solution III (A ⇒ B) ⇒ A, ¬A
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Correction et complétude Lien entr
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• Cas 3 : La démonstration H ⊢
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