PDF - Université de Pau et des Pays de l'Adour
PDF - Université de Pau et des Pays de l'Adour
PDF - Université de Pau et des Pays de l'Adour
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Université</strong> <strong>de</strong> <strong>Pau</strong> <strong>et</strong> <strong>de</strong>s <strong>Pays</strong> <strong>de</strong> l’Adour<br />
Département <strong>de</strong> Mathématiques Année 2006-2007<br />
Introduction aux probabilités<br />
Série n˚3<br />
Exercice 1<br />
Une urne contient neuf boules. Quatre <strong>de</strong> ces boules portent le numéro 0, trois portent le numéro<br />
1 <strong>et</strong> <strong>de</strong>ux le numéro 2. On tire au hasard <strong>de</strong>ux boules simultanément. Tous les tirages sont supposés<br />
équiprobables. Soit X la variable aléatoire égale à la somme <strong>de</strong>s numéros marqués sur ces boules.<br />
Déterminer la loi <strong>de</strong> X <strong>et</strong> représenter sa fonction <strong>de</strong> répartition.<br />
Exercice 2<br />
On lance une fois un dé non pipé.<br />
1) Soit X la variable aléatoire égale au nombre <strong>de</strong> points du dé. Donner la loi <strong>de</strong> X <strong>et</strong> son espérance.<br />
2) On suppose qu’on reçoit 15 euros si on obtient 1, rien si on obtient 2, 3 ou 4, <strong>et</strong> 6 euros si on obtient<br />
5 ou 6. Soit G la variable aléatoire au gain <strong>de</strong> ce jeu. Donner la loi <strong>de</strong> G <strong>et</strong> représenter sa fonction <strong>de</strong><br />
répartition. Que vaut le gain moyen ?<br />
3) On suppose maintenant qu’on reçoit 27 euros pour un 1 <strong>et</strong> rien sinon. Auquel <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux jeux<br />
préférez-vous jouer ? Pourquoi ?<br />
Exercice 3<br />
On j<strong>et</strong>te 2 dés. Soit X la variable aléatoire égale au plus p<strong>et</strong>it <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux nombres obtenus, Y la<br />
variable aléatoire égale au plus grand <strong>de</strong>s 2, <strong>et</strong> Z la différence, en valeur absolue, <strong>de</strong>s points obtenus.<br />
1) Déterminer la loi <strong>de</strong> X. Tracer sa fonction <strong>de</strong> répartition.<br />
2) De même, donner les lois <strong>de</strong> Y <strong>et</strong> <strong>de</strong> Z.<br />
3) Calculer l’espérance <strong>et</strong> la variance <strong>de</strong> X, Y <strong>et</strong> Z.<br />
Exercice 4 (extrait examen septembre 2006)<br />
Un joueur <strong>de</strong> tennis effectue une mise en jeu. Pour cela il a droit à <strong>de</strong>ux tentatives : un premier<br />
service, suivi, s’il n’est pas réussi, d’un <strong>de</strong>uxième service. La probabilité que le premier service réussisse<br />
est 2/3. S’il a échoué, la probabilité que le <strong>de</strong>uxième service réussisse est 4/5. Lorsque les <strong>de</strong>ux services<br />
échouent il y a “double faute”, sinon la mise en jeu est réussie.<br />
1) Déterminer la probabilité que, sur une remise en jeu, ce joueur fasse une double faute. En déduire<br />
la probabilité que la mise en jeu soit réussie.<br />
2) Ce joueur effectue 10 mises en jeu successives (dont les résultats sont indépendants les uns <strong>de</strong>s<br />
autres). Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre <strong>de</strong> mises en jeu réussies.<br />
(a) Quel est la loi <strong>de</strong> X ?<br />
(b) Déterminer la probabilité que ce joueur réussisse au moins 9 mises en jeu. Calculer E(X).<br />
Exercice 5<br />
Soit X une variable aléatoire <strong>de</strong> loi <strong>de</strong> Poisson <strong>de</strong> paramètre λ > 0. Vérifier que<br />
variable aléatoire intégrable. Calculer E[<br />
1<br />
1+X ]. Calculer E[ 1<br />
(1+X)(2+X) ] <strong>et</strong> en déduire E[ 1<br />
1<br />
1 + X<br />
2+X ].<br />
est une<br />
Exercice 6<br />
On suppose que la probabilité <strong>de</strong> trouver une coquille sur une page d’un livre donné est 0, 01.<br />
On suppose qu’une page contient au plus une coquille. Soit X la variable aléatoire correspondant au<br />
nombre <strong>de</strong> coquilles observées dans un livre <strong>de</strong> 100 pages.<br />
1) Reconnaître la loi <strong>de</strong> X <strong>et</strong> calculer la probabilité pour que le livre contienne au plus une coquille.
2) On choisit d’approcher la loi <strong>de</strong> X par une loi <strong>de</strong> Poisson Y dont on précisera le paramètre. Calculer<br />
P[Y ≤ 1]. Quelle conclusion peut-on en tirer ? Calculer P[Y ≥ 3].<br />
Exercice 7 (extrait examen juin 2006)<br />
Une urne contient 10 boules blanches <strong>et</strong> 5 noires.<br />
On effectue <strong>de</strong>s tirages successifs avec remise. Soit X 1 la variable aléatoire égale au nombre <strong>de</strong> tirages<br />
effectués jusqu’à l’obtention <strong>de</strong> la première boule blanche.<br />
1) Quelle est la loi <strong>de</strong> X 1 ? Donner la valeur <strong>de</strong> E(X 1 ).<br />
2) Soit X 2 la variable aléatoire égale au nombre <strong>de</strong> tirage effectués jusqu’à l’obtention <strong>de</strong> la <strong>de</strong>uxième<br />
boule. Déterminer la loi <strong>de</strong> X 2 ainsi que E(X 2 ).<br />
3) On pose Y = X 2 − X 1 . Déterminer la loi <strong>de</strong> Y .<br />
Exercice 8<br />
Un agriculteur a entreposé dans un local humi<strong>de</strong> 12 doses d’un herbici<strong>de</strong> total <strong>et</strong> 8 doses d’un<br />
fongici<strong>de</strong>. Après plusieurs mois <strong>de</strong> séjour, les étiqu<strong>et</strong>tes sont indifférentiables. Chaque dose a la même<br />
probabilité d’être tirée. En vue d’un traitement, l’agriculteur prend 6 doses au hasard. Soit X la<br />
variable aléatoire égale au nombre <strong>de</strong> doses d’herbici<strong>de</strong> prises parmi 6 doses.<br />
Déterminer la loi <strong>de</strong> X, son espérance <strong>et</strong> sa variance.
<strong>Université</strong> <strong>de</strong> <strong>Pau</strong> <strong>et</strong> <strong>de</strong>s <strong>Pays</strong> <strong>de</strong> l’Adour Année 2006-2007<br />
Département <strong>de</strong> Mathématiques<br />
Introduction aux probabilités - Feuille d’exercices N˚4<br />
Exercice 1. Soit X une variable aléatoire normale N (0, 1) .;<br />
1. Calculer P [X ≤ 2] <strong>et</strong> P [−1 < X < 0, 5] .<br />
2. Calculer a tel que P [|X| < a] = 0, 8 <strong>et</strong> b tel que P [X < b] = 0, 31.<br />
Exercice 2. Un gagnant <strong>de</strong> la loterie nationale se rend à la banque pour placer c<strong>et</strong> argent.<br />
Le banquier lui propose un placement dont le revenu suit une loi normale N (µ, σ) où µ = 10<br />
millions d’euros <strong>et</strong> σ = 4 millions d’euros.<br />
1. Quel est la probabilité d’avoir un revenu <strong>de</strong> plus <strong>de</strong> 17 millions d’euros ?<br />
2. Quel est la probabilité d’avoir un revenu <strong>de</strong> moins <strong>de</strong> 7 millions d’euros ?<br />
3. Quel est la probabilité d’avoir un revenu compris entre 9 <strong>et</strong> 15 millions d’euros ?<br />
Exercice 3. Soit X une variable aléatoire absolument continue dont la <strong>de</strong>nsité f est définie<br />
par :<br />
∀x ∈ [0, 1] , f (x) = Kx (1 − x)<br />
∀x /∈ [0, 1] , f (x) = 0.<br />
1. Déterminer K.<br />
2. Calculer E (X) <strong>et</strong> Var (X) (si ces réels existent).<br />
Comparer avec l’espérance mathématique <strong>et</strong> la variance d’une variable <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité uniforme<br />
sue [0, 1] .<br />
Exercice 4. Soit X une variable aléatoire <strong>de</strong> loi définie par la <strong>de</strong>nsité f suivante :<br />
{ cx<br />
f(x) =<br />
2 exp(−x/λ) si x > 0,<br />
0 si x ≤ 0,<br />
où le paramètre λ > 0 est fixé. Déterminer la valeur <strong>de</strong> c en fonction <strong>de</strong> λ. Calculer l’espérance<br />
mathématique <strong>de</strong> X. Rappeler la définition d’une loi exponentielle <strong>de</strong> paramètre λ > 0, son<br />
espérance mathématique <strong>et</strong> sa variance. En déduire la valeur <strong>de</strong> c.<br />
Exercice 5. Soit X une variable aléatoire <strong>de</strong> loi N (0, 1). On pose Y = exp(X), déterminer<br />
la fonction <strong>de</strong> répartition <strong>et</strong> la <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> Y .<br />
Exercice 6. Soit X une variable aléatoire <strong>de</strong> loi uniforme sur [0, 1]. On note U = min(X, 1 −<br />
X) <strong>et</strong> V = max(X, 1 − X). Déterminer la fonction <strong>de</strong> répartition <strong>et</strong> la <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> Y = V/U.<br />
C<strong>et</strong>te variable adm<strong>et</strong>-elle une espérance mathématique ?<br />
Exercice 7. Soient X une variable aléatoire <strong>de</strong> loi N (0, 1) <strong>et</strong> Y uniformément distribuée sur<br />
{−1, 1}. On note Z = Y X. Montrer que Z adm<strong>et</strong> la loi N (0, 1). Calculer la covariance <strong>de</strong> X<br />
<strong>et</strong> Z. Calculer P(X +Z = 0) <strong>et</strong> en déduire que les variables X <strong>et</strong> Z ne sont pas indépendantes.<br />
Exercice 8. Soient A un intervalle <strong>de</strong> R <strong>et</strong> 1 A la fonction définie sur R par 1 A (x) = 1 si<br />
x ∈ A <strong>et</strong> 1 A (x) = 0 si x /∈ A.
a. Soit X une variable aléatoire réelle, déterminer la loi <strong>de</strong> la variable aléatoire 1 A (X).<br />
b. Considérons les nombres réels ε > 0 <strong>et</strong> µ ∈ R. Déduire <strong>de</strong> la question précé<strong>de</strong>nte que<br />
P(|X − µ| > ε) = E ( 1 ]ε,+∞[ (|X − µ|) ) .<br />
c. Comparer sur R les fonctions x ↦→ 1 ]ε,+∞[ (|x − µ|) <strong>et</strong> x ↦→ ( x−µ<br />
) 2<br />
ε puis en déduire que si<br />
X adm<strong>et</strong> la moyenne µ <strong>et</strong> une variance σ 2 alors<br />
P(|X − µ| > ε) ≤ σ2<br />
ε 2 .<br />
d. Application : soit X normale centrée réduite. Donner <strong>de</strong>s majorations <strong>de</strong> (i) P(|X| > 3),<br />
(ii) P(X > 4), (iii) P(|X − 2| > 5).<br />
Exercice 9. Le temps T (en mois) qui s’écoule entre <strong>de</strong>ux acci<strong>de</strong>nts à une certaine intersection<br />
suit une loi exponentielle d’espérance mathématique 4. Quand un acci<strong>de</strong>nt se produit, le<br />
nombre <strong>de</strong> personnes impliquées dans l’acci<strong>de</strong>nt suit une loi géométrique <strong>de</strong> moyenne 3.<br />
a. Calculer la probabilité qu’un acci<strong>de</strong>nt donné implique au moins 4 personnes étant donné<br />
que 2 sont impliquées.<br />
b. Soit A k l’événement « le temps écoulé entre le (k − 1) e <strong>et</strong> le k e acci<strong>de</strong>nt est supérieur à un<br />
an » pour k ≥ 2. On suppose les événements A k indépendants. Quelle est la probabilité<br />
qu’exactement 2 <strong>de</strong>s événements A 2 , . . . , A 21 se réalisent ?<br />
Exercice 10. Soient X une variable aléatoire <strong>de</strong> Bernoulli <strong>de</strong> paramètre 1/2 <strong>et</strong> Y , indépendante<br />
<strong>de</strong> X, <strong>de</strong> loi uniforme sur [1, 2]. Déterminer <strong>et</strong> tracer les fonctions <strong>de</strong> répartition <strong>de</strong><br />
X + Y <strong>et</strong> Y X . Ces variables aléatoires adm<strong>et</strong>tent-elles <strong>de</strong>s <strong>de</strong>nsités (si oui l’expliciter) ?<br />
Exercice 11. Une usine fabrique <strong>de</strong>s résistances <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux types dont les valeurs en Ohms<br />
suivent respectivement les lois N (100, 3) <strong>et</strong> N (200, 4). Des circuits électriques sont alors fabriqués<br />
où <strong>de</strong>ux résistances <strong>de</strong> chaque type sont montées en série. Un circuit est commercialisé<br />
s’il offre une résistance <strong>de</strong> 300 ± 9, 8 Ohms. Un lot <strong>de</strong> 100 circuits a été fabriqué par l’usine.<br />
Évaluer la probabilité que ce lot contienne au moins 5 circuits non commercialisables.<br />
Exercice 12. Soit Y une variable aléatoire exponentielle <strong>de</strong> paramètre λ > 0 <strong>et</strong> ɛ une variable<br />
aléatoire discrète indépendante <strong>de</strong> Y telle que P(ε = 1) = P(ε = −1) = 1/2. Déterminer la loi<br />
<strong>de</strong> Z = εY , son espérance mathématique <strong>et</strong> sa variance. C<strong>et</strong>te loi est appelée loi exponentielle<br />
symétrique.<br />
Exercice 13. Soient U 1 <strong>et</strong> U 2 <strong>de</strong>ux variables aléatoires indépendantes <strong>de</strong> loi uniforme sur<br />
[0, 1]. Déterminer la loi <strong>de</strong> U = (U 1 + U 2 ) mod 1.<br />
Ai<strong>de</strong> : utiliser le fait que (U 1 , U 2 ) définit les coordonnées d’un point choisi uniformément<br />
dans [0, 1] × [0, 1].<br />
Exercice 14. Soit X 1 , X 2 <strong>de</strong>s v.a. indépendantes <strong>de</strong> loi N (0, 1).<br />
1. Donner la <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> probabilité <strong>de</strong> X 2 1 .<br />
2. Donner la <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> probabilité <strong>de</strong> X 2 1 + X2 2 .
<strong>Université</strong> <strong>de</strong> <strong>Pau</strong> <strong>et</strong> <strong>de</strong>s <strong>Pays</strong> <strong>de</strong> l’Adour Année 2006-2007<br />
Département <strong>de</strong> Mathématiques<br />
Introduction aux probabilités - Feuille d’exercices N˚5<br />
Exercice 1. Soient X <strong>et</strong> Y <strong>de</strong>ux variables aléatoires indépendantes suivant toutes les <strong>de</strong>ux la<br />
loi <strong>de</strong> Bernoulli <strong>de</strong> paramètre p ∈]0, 1[. Soient U = X − Y <strong>et</strong> V = X + Y . Calculer Cov (U, V ).<br />
Les variables aléatoires U <strong>et</strong> V sont-elles indépendantes ? Conclusion ?<br />
Exercice 2. On considère une pièce telle que la probabilité d’obtenir pile vaut p ∈]0, 1[. Un<br />
individu joue avec c<strong>et</strong>te pièce <strong>de</strong> la façon suivante : il lance tout d’abord la pièce jusqu’à ce qu’il<br />
obtienne un premier pile. Si ce premier pile a été obtenu au lancer numéro n, il lance ensuite sa<br />
pièce n fois. On note N le nombre <strong>de</strong> lancers nécéssaires à l’obtention du premier pile <strong>et</strong> X le<br />
nombre <strong>de</strong> piles obtenus lors <strong>de</strong> la <strong>de</strong>uxième série <strong>de</strong> lancers.<br />
1. Déterminer la loi du couple (N, X).<br />
2. Déterminer la loi <strong>de</strong> X.<br />
3. Montrer que X a même loi qu’un produit <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux variables aléatoires indépendantes, l’une<br />
suivant une loi <strong>de</strong> Bernoulli, l’autre suvant une loi géométrique.<br />
4. Calculer l’espérance <strong>et</strong> la variance <strong>de</strong> X.<br />
Exercice 3. Soit (X, Y ) un couple <strong>de</strong> variables aléatoires <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsité<br />
f (X,Y ) (x, y) = 1<br />
π √ 3 e− 2 3 (x2 −xy+y 2 )<br />
sur R 2 . Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ), la covariance <strong>de</strong> X <strong>et</strong> Y , ainsi que la<br />
loi <strong>de</strong> X + Y .<br />
Exercice 4.<br />
1. Soient X <strong>et</strong> Y <strong>de</strong>ux variables aléatoires indépendantes suivant la loi exponentielle <strong>de</strong><br />
paramètre λ. Déterminer la loi <strong>de</strong> X + Y l’ai<strong>de</strong> d’un produit <strong>de</strong> convolution.<br />
Plus généralement, déterminer la loi <strong>de</strong> la somme <strong>de</strong> n variables aléatoires indépendantes<br />
suivant la loi exponentielle <strong>de</strong> paramètre λ.<br />
2. Soit donc (X i ) i≥1 une suite <strong>de</strong> variables aléatoires indépendantes <strong>de</strong> même loi exponentielle<br />
<strong>de</strong> paramètre λ. On définit la variable aléatoire entière N par :<br />
– si X 1 > 1 alors N = 0,<br />
– si ∑ i<br />
k=1 X k ≤ 1 < ∑ i+1<br />
k=1 X k alors N = i.<br />
Montrer que N suit la loi <strong>de</strong> Poisson <strong>de</strong> paramètre λ.<br />
Exercice 5. Une montre subit <strong>de</strong>s écarts quotidiens (positifs ou négatifs) que l’on suppose<br />
indépendants d’un jour à l’autre <strong>et</strong> qui suivent tous la même loi <strong>de</strong> moyenne nulle <strong>et</strong> <strong>de</strong> variance<br />
16 secon<strong>de</strong>s. En supposant la montre bien réglée au départ, déterminer la probabilité que l’écart<br />
sur une année (365 jours) soit inférieure à <strong>de</strong>ux minutes. Déterminer un minorant <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te<br />
probabilité à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> l’inégalité <strong>de</strong> Bienaymé-Tchebychev. Conclusion ?
Exercice 6. Soit (X n ) n∈N ∗ une suite <strong>de</strong> variables aléatoires telles que Im(X n ) = {− 1 n , 1 n } <strong>et</strong><br />
P(X n = − 1 n ) = P(X n = 1 n ) = 1 2 .<br />
1. Montrer que X n converge en loi vers 0.<br />
2. Montrer que X n converge en probabilité vers 0.<br />
Exercice 7. Soit (X n ) n∈N ∗ une suite <strong>de</strong> variables aléatoires indépendantes <strong>et</strong> i<strong>de</strong>ntiquement<br />
distribuées telles que E(X 1 ) <strong>et</strong> Var(X 1 ) existent. Pour tout n ≥ 2, on définit<br />
Y n = 1 n<br />
n∑<br />
k=1<br />
X k <strong>et</strong> Z n = 1<br />
n − 1<br />
Montrer que Z n converge en probabilité vers Var(X 1 ).<br />
n∑<br />
(X k − Y n ) 2 .<br />
k=1
<strong>Université</strong> <strong>de</strong> <strong>Pau</strong> <strong>et</strong> <strong>de</strong>s <strong>Pays</strong> <strong>de</strong> <strong>l'Adour</strong><br />
Faculté <strong>de</strong>s Sciences <strong>et</strong> Techniques<br />
Département <strong>de</strong> Mathématiques<br />
Avenue <strong>de</strong> l'<strong>Université</strong> 64000 <strong>Pau</strong><br />
Tél : 05 59 40 75 75<br />
Partiel 16 Novembre 2006<br />
Diplôme : Licence 2ème année<br />
U.E : Introduction aux Probabilités<br />
Durée : 1 heure 30 minutes<br />
Documents non autorisés<br />
Calculatrice UPPA autorisée<br />
Exercice 1<br />
Dans la production d'une pièce mécanique, il peut apparaître un défaut. Le processus <strong>de</strong> production<br />
est trop complexe pour prévoir l'apparition <strong>de</strong> ce défaut. Il faut donc faire un contrôle <strong>de</strong> production<br />
pour estimer le nombre <strong>de</strong> pièces défectueuses <strong>et</strong> être sûr <strong>de</strong> remplir les engagements pris vis à vis<br />
<strong>de</strong> la clientèle.<br />
Supposons que l'on a produit N pièces dont m (m ≤ N) sont défectueuses. On tire au sort n<br />
(n ≤ N) pièces dans c<strong>et</strong>te production.<br />
1. Dans c<strong>et</strong>te question, on modélise l'expérience en ne tenant pas compte <strong>de</strong> l'ordre.<br />
a. Dénir l'univers correspondant.<br />
b. Soit A k l'évènement {le nombre <strong>de</strong> pièces tirées défectueuses est égal à k} (où 0 ≤ k ≤ m).<br />
Calculer P(A k ).<br />
2. Dans c<strong>et</strong>te question, on modélise l'expérience en tenant compte <strong>de</strong> l'ordre.<br />
a. Dénir l'univers correspondant.<br />
b. Soit B k l'évènement {le nombre <strong>de</strong> pièces tirées défectueuses est égal à k} (où 0 ≤ k ≤ m).<br />
Calculer P(B k ).<br />
3. Comparer P(A k ) <strong>et</strong> P(B k ). Conclure.<br />
Exercice 2<br />
Un étudiant se rend tous les jours (enn presque) à l'<strong>Université</strong>, distante <strong>de</strong> 5 km <strong>de</strong> son domicile.<br />
Il fait le traj<strong>et</strong> à vélo à une vitesse moyenne <strong>de</strong> 30 km/h. Mais sur son parcours il rencontre 4 feux<br />
<strong>de</strong> signalisation, non synchronisés. Pour chaque feu, la probabilité qu'il soit vert est égale à 2 3<br />
, <strong>et</strong> la<br />
probabilité qu'il soit orange ou rouge est égale à 1 3<br />
. A toutes ns utiles, on rappelle que tout véhicule<br />
doit s'arrêter lorsqu'un feu est orange... Bien entendu, un feu vert ne ralentit pas l'étudiant alors<br />
qu'on estime qu'un feu orange ou rouge lui fait perdre une minute.<br />
On note X le temps (exprimé en minutes) mis par l'étudiant pour se rendre à l'<strong>Université</strong> <strong>et</strong> Y le<br />
temps perdu par l'étudiant à cause <strong>de</strong>s feux <strong>de</strong> signalisation.<br />
1. a. Quelle est la loi <strong>de</strong> la variable aléatoire Y ?<br />
b. Donner les valeurs <strong>de</strong> E(Y ) <strong>et</strong> Var(Y ).<br />
2. a. Déterminer la fonction <strong>de</strong> répartition <strong>de</strong> la variable aléatoire X. Tracer la courbe représentative<br />
<strong>de</strong> c<strong>et</strong>te fonction.<br />
b. On suppose que l'étudiant part <strong>de</strong> chez lui 12 mn avant le début <strong>de</strong>s cours. Calculer la probabilité<br />
pour qu'il arrive en r<strong>et</strong>ard.<br />
1
Exercice 3<br />
Une urne contient a boules rouges <strong>et</strong> b boules blanches (a ≥ 1 <strong>et</strong> b ≥ 1). À chaque tirage on choisit<br />
une boule au hasard dans l'urne. La boule est ensuite remise dans l'urne <strong>et</strong> on ajoute 1 boule <strong>de</strong><br />
la même couleur. On note R n l'évènement {tirer une boule rouge au n e tirage} <strong>et</strong> B n l'évènement<br />
{tirer une boule blanche au n e tirage} (n ≥ 1). On considère les variables aléatoires X n dénies par<br />
X n = 1 si R n est réalisé <strong>et</strong> X n = 0 si B n est réalisé.<br />
1. Quelle est la loi <strong>de</strong> X 1 ? Calculer son espérance mathématique.<br />
2. Calculer P(R 2 |R 1 ) <strong>et</strong> P(R 2 |B 1 ) <strong>et</strong> en déduire la loi <strong>de</strong> X 2 .<br />
3. On pose S n = X 1 + · · · + X n pour n ≥ 1.<br />
a. Dénir l'ensemble S n <strong>de</strong>s valeurs que peut prendre S n . Si S n = k, quel est le contenu <strong>de</strong> l'urne<br />
juste après le n e tirage ? En déduire P(R n+1 |A k ) où A k est l'évènement [S n = k].<br />
b. Montrer que<br />
P(R n+1 ) =<br />
n∑<br />
k=0<br />
a + k<br />
a + b + n P(A k).<br />
c. Remarquant que P(R n+1 ) = P(X n+1 = 1) <strong>et</strong> P(A k ) = P(S n = k), en déduire que<br />
4. On considère l'hypothèse <strong>de</strong> récurrence suivante.<br />
P (X n+1 = 1) = a + E(S n)<br />
a + b + n .<br />
P n : les variables aléatoires X 1 , . . . , X n ont la même loi que X 1 .<br />
a. Si P n est vraie calculer E(S n ).<br />
b. Montrer que P n est vraie pour tout n ≥ 1.<br />
2
Corrigé succinct du Contrôle continu du 16/11/2006<br />
Diplôme : Licence 2ème année<br />
U.E : Introduction aux Probabilités<br />
Exercice 1<br />
1. Dans c<strong>et</strong>te question, on modélise l'expérience en ne tenant pas compte <strong>de</strong> l'ordre.<br />
a. Ω 1 = {combinaisons <strong>de</strong> n éléments parmi N}<br />
b. Equiprobabilité sur Ω 1 .<br />
P(A k ) = Ck mC n−k<br />
N−m<br />
CN<br />
n , si k ≤ n<br />
P(A k ) = 0, si k > n.<br />
2. Dans c<strong>et</strong>te question, on modélise l'expérience en tenant compte <strong>de</strong> l'ordre.<br />
a. Ω 2 = {arrangements <strong>de</strong> n éléments parmi N}<br />
b. Equiprobabilité sur Ω 2 .<br />
P(B k ) = Ck nA k mA n−k<br />
N−m<br />
A n , si k ≤ n (où Cn k compte les possibilités d'emplacement pour les pièces<br />
N<br />
défectueuses dans le n-upl<strong>et</strong>).<br />
P(B k ) = 0, si k > n.<br />
3. P(A k ) = P(B k ).<br />
Exercice 2<br />
1. a. Y ∼ B(4; 1/3).<br />
b. E(Y ) = 4/3 <strong>et</strong> Var(Y ) = 8/9.<br />
2. a. X = 10 + Y . Donc F X (x) = F Y (x − 10), i.e.<br />
x < 10 F X (x) = 0<br />
10 ≤ x < 11 F X (x) = 16/81 ≃ 0.1975<br />
11 ≤ x < 12 F X (x) = 48/81 ≃ 0.5926<br />
12 ≤ x < 13 F X (x) = 72/81 ≃ 0.8889<br />
13 ≤ x < 14 F X (x) = 80/81 ≃ 0.9877<br />
x ≥ 14 F X (x) = 1.<br />
b. P(X > 12) = 1 − F X (12) = 1/9 ≃ 0.1111.<br />
Exercice 3<br />
1. X 1 suit la loi <strong>de</strong> Bernoulli <strong>de</strong> paramètre ( a<br />
a+b ).<br />
E(X 1 ) =<br />
a<br />
a+b .<br />
a<br />
a+b+1 .<br />
2. P(R 2 |R 1 ) = a+1<br />
a+b+1 <strong>et</strong> P(R 2|B 1 ) =<br />
X 2 suit la loi <strong>de</strong> Bernoulli <strong>de</strong> paramètre ( a<br />
E(X 2 ) =<br />
a<br />
a+b ).<br />
a+b . 1
3. a. S n = {0, . . . , n}.<br />
Si S n = k, l'urne contient (a + b + n) boules dont (a + k) rouges <strong>et</strong> (b + n − k) blanches. Donc<br />
P(R n+1 |A k ) =<br />
b.<br />
c.<br />
a+k<br />
a+b+n .<br />
P(R n+1 ) =<br />
n∑<br />
P(R n+1 |A k )P(A k ) =<br />
k=0<br />
P (X n+1 = 1) = P(R n+1 ) =<br />
n∑<br />
k=0<br />
n∑<br />
k=0<br />
a + k<br />
a + b + n P(A k)<br />
a + k<br />
a + b + n P(A k).<br />
= a + ∑ n<br />
k=0 kP(A k)<br />
= a + E(S n)<br />
a + b + n a + b + n .<br />
4. a. Si P n est vraie,<br />
E(S n ) = E(X 1 + · · · + X n ) = nE(X 1 ) = n a<br />
a+b .<br />
b. Par récurrence. On sait que P 1 est vraie. Montrons que P n ⇒ P n+1 :<br />
On montre aussi que P(X n+1 = 0) =<br />
paramètre ( a<br />
P(X n+1 = 1) = a + E(S n)<br />
a + b + n = a + n a<br />
a+b<br />
a + b + n<br />
a(a + b + n)<br />
=<br />
(a + b)(a + b + n) = a<br />
a + b<br />
b<br />
a+b . Ainsi X n+1 a même loi que X 1 (la loi <strong>de</strong> Bernoulli <strong>de</strong><br />
a+b )). 2
<strong>Université</strong> <strong>de</strong> <strong>Pau</strong> <strong>et</strong> <strong>de</strong>s <strong>Pays</strong> <strong>de</strong> <strong>l'Adour</strong><br />
Faculté <strong>de</strong>s Sciences <strong>et</strong> Techniques<br />
Département <strong>de</strong> Mathématiques<br />
Avenue <strong>de</strong> l'<strong>Université</strong> 64000 <strong>Pau</strong><br />
Tél : 05 59 40 75 75<br />
Examen Janvier 2007<br />
Diplôme : Licence 2ème année<br />
U.E : Introduction aux Probabilités<br />
Durée : 2 heures<br />
Documents non autorisés<br />
Calculatrice UPPA autorisée<br />
Exercice 1<br />
Soit (X, Y ) un couple <strong>de</strong> variables aléatoires discrètes dont la distribution <strong>de</strong> probabilité conjointe<br />
est donnée par le tableau suivant :<br />
Y \X -1 0 1<br />
0 a 2a a<br />
1 3a/2 3a b<br />
a. A quelles conditions sur a <strong>et</strong> b ce tableau dénit-il bien une distribution <strong>de</strong> probabilité conjointe pour<br />
(X, Y ) ? (Dans la suite, on supposera c<strong>et</strong>te condition satisfaite).<br />
b. On pose : Z = X + 2Y <strong>et</strong> T = max(X, Y ). Déterminer, en fonction <strong>de</strong> a seulement, les lois <strong>de</strong> X, Z <strong>et</strong><br />
T .<br />
c. Calculer les espérances <strong>de</strong>s X, Y <strong>et</strong> Z.<br />
d. Calculer E(X 2 ) <strong>et</strong> Var(X).<br />
e. Calculer Cov (X, Y ).<br />
f. Les variables aléatoires X <strong>et</strong> Y sont-elles indépendantes ?<br />
Exercice 2<br />
Soit f la fonction dénie sur R par<br />
f(x) = (x + 1)1 [−1,0] (x) + (1 − x)1 ]0,1] (x).<br />
1. Montrer que f est une <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> probabilité.<br />
2. Soit X une variable aléatoire réelle adm<strong>et</strong>tant f pour <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> probabilité. Déterminer la fonction<br />
<strong>de</strong> répartition F <strong>de</strong> X. Tracer sur un même graphe f <strong>et</strong> F .<br />
3. Calculer E(X) <strong>et</strong> Var(X). Pouvait-on prévoir sans calcul la valeur <strong>de</strong> E(X) ?<br />
4. A quelle(s) condition(s) sur a a-t-on<br />
5. Déterminer P(|X| ≥ a) pour tout a ∈ R.<br />
P(|X| ≥ a) ≤ 1<br />
6a 2 ?<br />
6. Soit Y variable aléatoire uniforme sur [−1, 1] indépendante <strong>de</strong> X. Calculer<br />
7. Soit Z = min(X, Y ). Quelle est la loi <strong>de</strong> Z ?<br />
P((X, Y ) ∈ [− 1 2 , 1 2 ] × [− 1 2 , 1 2 ]).
Exercice 3<br />
On s'intéresse dans c<strong>et</strong> exercice à une mine dont la production mensuelle est toujours comprise<br />
entre 0 <strong>et</strong> 30 tonnes. C<strong>et</strong>te production est en fait modélisée par une variable aléatoire Y dont la loi<br />
adm<strong>et</strong> la <strong>de</strong>nsité f Y (x) = α(−x 2 + 30x)1 [0,30] (x).<br />
1. a. Déterminer α pour que f Y ait les propriétés d'une <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> probabilité.<br />
b. Déterminer la fonction <strong>de</strong> répartition <strong>de</strong> Y .<br />
c. Calculer, si ces réels existent, E(Y ) <strong>et</strong> Var(Y ).<br />
2. On note X n la production du n-ième mois. On suppose <strong>de</strong> plus que les (X n ) n∈N ∗ sont i.i.d <strong>de</strong> même<br />
loi que la variable aléatoire Y .<br />
On s'intéresse dans c<strong>et</strong>te question à la variable aléatoire X n = 1 n<br />
∑ n<br />
i=1 X i qui représente la moyenne<br />
empirique sur n mois.<br />
a. Etudier la convergence en probabilité <strong>de</strong> la moyenne empirique X n .<br />
b. Etudier la convergence en loi <strong>de</strong><br />
√ n<br />
(<br />
Xn − 15<br />
3 √ 5<br />
En déduire une valeur approchée <strong>de</strong> la probabilité que la moyenne empirique sur 3 ans soit comprise<br />
entre 12 <strong>et</strong> 18 tonnes.<br />
)<br />
.
Annexe<br />
Loi normale : fonction <strong>de</strong> répartition<br />
Pour une valeur u 0, la table ci-<strong>de</strong>ssous renvoie la valeur F (u) <strong>de</strong> la fonction <strong>de</strong> répartition F <strong>de</strong><br />
la loi normale centrée réduite au point u.<br />
u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09<br />
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359<br />
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753<br />
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141<br />
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517<br />
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879<br />
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224<br />
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549<br />
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852<br />
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133<br />
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389<br />
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621<br />
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830<br />
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015<br />
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177<br />
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319<br />
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441<br />
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545<br />
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633<br />
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706<br />
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767<br />
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817<br />
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857<br />
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890<br />
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916<br />
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936<br />
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952<br />
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964<br />
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974<br />
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981<br />
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986<br />
Table pour les gran<strong>de</strong>s valeurs <strong>de</strong> u :<br />
u 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4<br />
F (u) 0.99865 0.999032 0.999313 0.999517 0.999663<br />
u 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9<br />
F (u) 0.999767 0.999841 0.999892 0.999928 0.999952<br />
u 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4<br />
F (u) 0.999968 0.999979 0.999987 0.999991 0.999995<br />
u 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9<br />
F (u) 0.999997 0.999998 0.999999 0.999999 1
<strong>Université</strong> <strong>de</strong> <strong>Pau</strong> <strong>et</strong> <strong>de</strong>s <strong>Pays</strong> <strong>de</strong> <strong>l'Adour</strong><br />
Faculté <strong>de</strong>s Sciences <strong>et</strong> Techniques<br />
Département <strong>de</strong> Mathématiques<br />
Avenue <strong>de</strong> l'<strong>Université</strong> 64000 <strong>Pau</strong><br />
Tél : 05 59 40 75 75<br />
Examen -2ème session- Juin 2007<br />
Diplôme : Licence 2ème année<br />
U.E : Introduction aux Probabilités<br />
Durée : 2 heures<br />
Documents non autorisés<br />
Calculatrice UPPA autorisée<br />
Exercice 1<br />
Dans une usine on produit <strong>de</strong>s résistances dont la valeur en Ohms suit une loi normale <strong>de</strong> moyenne<br />
100 <strong>et</strong> <strong>de</strong> variance 0,26. On considère qu'une résistance est commercialisable si sa valeur est <strong>de</strong> 100<br />
Ohms à 1% près.<br />
1. Quelle est la probabilité p qu'une résistance soit commercialisable ?<br />
2. Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 si la résistance est commercialisable <strong>et</strong> 0 sinon. Quelle est la<br />
loi <strong>de</strong> X ? sa moyenne ? sa variance ?<br />
3. Les résistances sont fabriquées indépendamment les unes <strong>de</strong>s autres par lots <strong>de</strong> taille n. Soit S n le<br />
nombre <strong>de</strong> résistances commercialisables dans un lot <strong>de</strong> taille n. Quelle est la loi <strong>de</strong> S n ? sa moyenne ?<br />
sa variance ?<br />
4. (Question <strong>de</strong> cours) Soit Y une variable aléatoire <strong>de</strong> loi binomiale <strong>de</strong> paramètres n <strong>et</strong> p. Donner,<br />
pour n grand, une approximation <strong>de</strong> P(Y ≤ x) en fonction <strong>de</strong> n, p <strong>et</strong> F la fonction <strong>de</strong> répartition <strong>de</strong><br />
la loi normale centrée réduite.<br />
5. En utilisant l'approximation évoquée dans la question précé<strong>de</strong>nte (on supposera que n est susament<br />
grand), quelle est la taille minimale <strong>de</strong>s lots qui assure qu'au moins 99% <strong>de</strong>s lots contiennent plus <strong>de</strong><br />
90% <strong>de</strong> résistances commercialisables ?<br />
Exercice 2<br />
Soient b, r ∈ N ∗ <strong>et</strong> c ∈ N. Une urne contient b boules blanches <strong>et</strong> r boules rouges. On eectue <strong>de</strong>s<br />
tirages successifs <strong>de</strong> la manière suivante : une boule étant tirée, on la rem<strong>et</strong> dans l'urne avec en<br />
plus c boules <strong>de</strong> la même couleur. On note X n la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule<br />
obtenue au nième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera<br />
p =<br />
r<br />
b + r , q = b<br />
b + r .<br />
1. Déterminer la loi du couple (X 1 , X 2 ). En déduire la loi <strong>de</strong> X 2 <strong>et</strong> la comparer à la loi <strong>de</strong> X 1 .<br />
2. Déterminer la loi <strong>de</strong> la variable aléatoire S 2 = X 1 + X 2 .<br />
3. Déterminer la loi <strong>de</strong> X 3 sachant S 2 = k pour k ∈ {0, 1, 2}.
4. Montrer, à l'ai<strong>de</strong> du résultat <strong>de</strong> la question précé<strong>de</strong>nte, que la loi <strong>de</strong> X 3 est la même que celle <strong>de</strong> X 1 .<br />
5. Soit la variable aléatoire S n = X 1 + · · · + X n .<br />
Exprimer la loi <strong>de</strong> X n+1 en fonction <strong>de</strong> E(S n ). (On pourra calculer P(X n+1 = 1) à l'ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> la formule<br />
<strong>de</strong>s probabilités totales.)<br />
6. On considère l'hypothèse <strong>de</strong> récurrence suivante.<br />
a. Si P n est vraie calculer E(S n ).<br />
P n : les variables aléatoires X 1 , . . . , X n ont la même loi que X 1 .<br />
b. Montrer que P n est vraie pour tout n ≥ 1, c'est à dire que toutes les variables X n ont même loi<br />
que X 1 .<br />
Exercice 3<br />
Soient X <strong>et</strong> Y <strong>de</strong>ux variables aléatoires indépendantes <strong>de</strong> même loi exponentielle <strong>de</strong> paramètre 1.<br />
1. Calculer la fonction <strong>de</strong> répartition <strong>de</strong> −X.<br />
2. En déduire la <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> probabilité <strong>de</strong> la variable aléatoire −X.<br />
3. On rappelle que si <strong>de</strong>ux variables aléatoires indépendantes X 1 <strong>et</strong> X 2 adm<strong>et</strong>tent respectivement les<br />
<strong>de</strong>nsités <strong>de</strong> probabilité f X1 <strong>et</strong> f X2 (par rapport à la mesure <strong>de</strong> Lebesgue) alors la variable aléatoire<br />
X 1 + X 2 adm<strong>et</strong> la <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> probabilité dénie par f X1 +X 2<br />
(x) = ∫ +∞<br />
−∞ f X 1<br />
(x − y)f X2 (y)dy.<br />
En utilisant ce résultat, montrer que la variable aléatoire Z = Y − X adm<strong>et</strong> la <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> probabilité<br />
f Z (x) = 1 2 e− |x| , x ∈ R.<br />
(on pourra distinguer les cas x > 0 <strong>et</strong> x ≤ 0)<br />
4. Déterminer (si possible quasiment sans calcul) E(Z) <strong>et</strong> Var(Z).
Annexe<br />
Loi normale : fonction <strong>de</strong> répartition<br />
Pour une valeur u 0, la table ci-<strong>de</strong>ssous renvoie la valeur F (u) <strong>de</strong> la fonction <strong>de</strong> répartition F <strong>de</strong><br />
la loi normale centrée réduite au point u.<br />
u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09<br />
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359<br />
0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753<br />
0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141<br />
0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517<br />
0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879<br />
0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224<br />
0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549<br />
0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852<br />
0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133<br />
0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389<br />
1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621<br />
1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830<br />
1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015<br />
1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177<br />
1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319<br />
1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441<br />
1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545<br />
1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633<br />
1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706<br />
1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767<br />
2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817<br />
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857<br />
2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890<br />
2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916<br />
2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936<br />
2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952<br />
2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964<br />
2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974<br />
2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981<br />
2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986<br />
Table pour les gran<strong>de</strong>s valeurs <strong>de</strong> u :<br />
u 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4<br />
F (u) 0.99865 0.999032 0.999313 0.999517 0.999663<br />
u 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9<br />
F (u) 0.999767 0.999841 0.999892 0.999928 0.999952<br />
u 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4<br />
F (u) 0.999968 0.999979 0.999987 0.999991 0.999995<br />
u 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9<br />
F (u) 0.999997 0.999998 0.999999 0.999999 1