POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS par Jacky Cresson

More documents

Recommendations

Info

2 JACKY CRESSON (1) (ii) La dimension de l’espace vectoriel engendré sur Q par 1, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(A) (avec A impair) croît au moins comme log(A) ([3, 14]) ; (iii) Au moins un des quatre nombres ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) est irrationnel (Zudilin [19]). Ces résultats peuvent être obtenus par l’étude de certaines séries de la forme ∞∑ k=1 P (k) k A (k + 1) A · · · (k + n) A z−k avec P (X) ∈ Q[X], n ≥ 0, A ≥ 1 et |z| ≥ 1. Les divers choix de P conduisent à des séries hypergéométriques généralisées (voir [2, 15]). Dans ([7, 8]) nous proposons une généralisation de cette méthode hypergéométrique en profondeur quelconque en considérant a priori des séries multiples de la forme ∑ P (k 1 , . . . , k p ) (2) (k 1 ) A1 n · · · (k z −k1 1+1 p) Ap 1 · · · zp −kp , n p+1 k 1≥···≥k p≥1 avec P (X 1 , . . . , X p ) ∈ Q[X 1 , . . . , X p ], des entiers A j ≥ 2 et n j ≥ 0 et |z 1 | ≥ 1, . . . , |z p | ≥ 1, et où (α) m = α(α + 1) · · · (α + m − 1) désigne le symbole de Pochhammer. Lorsque z 1 = · · · = z p = 1 ces séries sont des combinaisons linéaires à coefficients dans Q de polyzêtas larges définis par ∑ 1 (3) ζ(s 1 , s 2 , . . . , s p ) = k s1 1 ks2 2 · · · . ksp p On renvoie à [7] pour plus de détails. k 1≥k 2≥···≥k p≥1 Via des calculs élémentaires on peut décomposer tout polyzêtas larges ζ suivant les polyzêtas stricts ζ (voir par exemple [16]). La formule de décomposition est par ailleurs explicite (voir le §.2). Les polyzêtas stricts possèdent de nombreuses propriétés algébriques (voir [17]). On peut se demander comment ces propriétés sont transformées par passage aux polyzêtas larges. Pour aborder cette question, nous explicitons la formule de passage entre les polyzetas stricts et larges via les séries génératrices associées. Le cadre de travail est celui des séries formelles noncommutatives. On introduit à cette occasion l’opération de substitution de deux séries formelles non-commutatives. Ce formalisme nous permet de mieux mettre en évidence la manière dont les symétries satisfaites par les polyzetas stricts sont modifiées. L’étude de ces symétries nous conduit à introduire une modification naturelle des polyzetas stricts, les polyzêtas pondérés, dont les symétries sont d’une complexité minimale. 1. Séries formelles non-commutatives Soit Y = {y i } i∈N un alphabet. On note Y ∗ l’ensemble des mots construis sur Y , comprenant le mot vide noté ∅. Un élément de Y ∗ est noté y s = y s1 . . . y sp , p ≥ 1, s i ∈ N ∗ . L’entier p est la longueur de y s , notée aussi l(s). La concaténation de deux mots y s et y u de Y ∗ avec s = (s 1 , . . . , s p ), u = (u 1 , . . . , u q ), est le mot noté y s y u défini par y su où su = (s 1 , . . . , s p , u 1 , . . . , u q ). Soit K un anneau, on note K〈Y 〉 l’ensemble des séries formelles non-commutatives à coefficients dans K construites sur Y . Étant donnée une application L : Y ∗ → K, on note L s l’évaluation de L sur le mot y s ∈ Y ∗ . Ce type d’applications est un exemple de moule dans la terminologie de Jean Ecalle [6].
POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS 3 À toute application L : Y ∗ → K, on associe l’élément de K〈Y 〉, noté Φ L et défini par Φ L = ∑ y s∈Y ∗ L s y s , appelé série génératrice de L. On associe à toute lettre y s ∈ Y un poids, noté | y s | et défini par | y s |= s. Le poids d’un mot y s ∈ Y ∗ est défini par | y s |= s 1 + · · · + s p . L’ensemble K〈Y 〉 est gradué par le poids. Cette graduation respecte l’opération de concaténation des mots. Une composante homogène de degré r ∈ N ∗ d’une série non-commutative Φ = ∑ y s∈Y ∗ M s y s , M s ∈ K notée Φ r est donnée par Φ r = ∑ y s∈Y ∗ , |y s|=r M s y s . L’ensemble K〈Y 〉 possède une structure d’algèbre, analogue non-commutatif de la structure d’algèbre sur les séries formelles commutatives. La graduation permet de définir un analogue non-commutatif de la substitution des séries formelles de la manière suivante : Définition 1. — Soient Φ M et Φ N deux séries de K〈Y 〉. On note Φ M ◦ Φ N la série génératrice définie par (4) Φ M ◦ Φ N = ∑ ∑ M s (Φ N ) s1 . . . (Φ N ) sp , r≥0 s=(s 1,...,s r), s i∈N ∗ dans K〈Y 〉, où (Φ N ) s , s ∈ N est la composante homogène de poids s de Φ N . Il est possible de calculer explicitement les coefficients de la série Φ M ◦ Φ N notés (M ◦ N) s . Lemme 1. — Pour tout s = (s 1 , . . . , s r ), s i ∈ N ∗ on a (5) (M ◦ N) s = ∑ M (|s 1 |,...,|s |)N k s 1 . . . N s k, s 1 ...s k =s où k ≥ 1 et s i ≠ ∅ et | s |= s 1 + · · · + s p pour tout s = s 1 . . . s p . Démonstration. — L’équation (4) est équivalente à ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (6) Φ M ◦ Φ N = ∑ ∑ ∑ ∑ M u ⎝ N s y s ⎠ . . . ⎝ N s y s ⎠ . r≥0 u=(u 1,...,u r), u i∈N ∗ y s∈Y ∗ , |y s|=u 1 y s∈Y ∗ , |y s|=u r Un mot y s étant fixé, toute partition de y s de la forme y s = y s 1 . . . y s k, k = 1, . . . , l(s), intervient dans la somme (6) avec un coefficient de la forme (7) M (u1,...,u k )N s 1 . . . N s k, où u i =| s i |. En regroupant ces termes, on obtient la formule (5) pour le coefficients de Φ M ◦ Φ N en y s . Remarque 1. — L’opération ◦ n’est pas usuelle dans l’étude combinatoire des séries formelles non-commutatives (voir [13] pour une présentation des techniques habituelles). La formule (5) intervient dans le formalisme des moules développé par Jean Écalle comme loi de composition sur les moules (voir [6]). Lemme 2. — L’élément neutre pour la loi ◦ est la série I = ∑ s∈N y s .
Page 1: POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET POND
Page 5 and 6: POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET POND
Page 7 and 8: POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET POND
Page 9: POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET POND

POLYZÊTAS STRICTS, LARGES ET PONDÉRÉS par Jacky Cresson

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?