c02_1b

Banque PT 2002 – Epreuve IB
Banque PT – 2002 – Epreuve IB
1 – Propagation d’une onde électromagnétique dans le plasma ionosphérique
1.1. ω = k.c.
1.3.
y
x
1.2. B = ∧ E
k
E
c
1.4. f e = q. E
1.5. f m = q.v ∧ B
1.6.
f
f
e
v
B
m
≈ or, d’après 1.2., on a
E
B
E
1
c
= d’où
1.7. Comme v ω p . Donc les ondes pouvant se
propager dans le plasma doivent avoir une fréquence f supérieure à f p = ω p / 2.π.
1.18. f p = 634,8 kHz.
1.19. Dans ce cas, k é est un réel négatif donc k est imaginaire pur k = j.α avec
2 2
ωp
− ω
α =
soit
c
2. π
α =
c
2
f p − f
2
1.20. Dans le cas où il y a propagation de l’onde électromagnétique dans le plasma, le champ
électrique est donné par l’expression donnée en préambule de l’énoncé :
j( ωt−kx)
E = E 0.
e .
Pour 2 points d’abscisses x et x+∆x en phase atteints respectivement en t+∆t, on a
j( ωt−kx)
j( ω(t+∆t)
−k(x+∆x))
E(x, t) = E 0.e
= E(x + ∆x,
t + ∆t)
= E 0.
e
d’où ω.∆t – k.∆x = 0. La vitesse de propagation de la phase entre ces deux points est donc
donnée par
v
ϕ
1.21. Pour f > f p ,
∆x
ω
= =
∆t
k
k
2 2
ω − ω
2
p
= soit
2
c
k
2
ω ⎛ f p ⎞
= 1−
⎜ ⎟ d’où
c
⎜ f ⎟
⎝ ⎠
n =
⎛ f
1−
⎜
⎝
1.22. * Les rayons incident, réfléchi et réfracté sont dans un même plan, le plan d’incidence.
* Le rayon réfléchi fait avec la normale au dioptre au point d’incidence, le même angle que
le rayon incident.
* Le rayon réfracté, lui fait un angle r tel que, si i est l’angle d’incidence : sin(i) = n.sin(r)
l’indice de réfraction de l’air étant pris ici égal à 1.
Pour f = 1 MHz , n = 0,773.
p
f
⎞
⎟
⎠
2
2
0
1

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1.23. Il y a réflexion totale limite pour r = 90°,
d’où sin(i lim ) = n soit i lim = 50,6°.
Pour i = 30°, on trouve r = 40,3°.
ionosphère
air
30°
40,3°
30°
indice 0,773
indice 1
interface
où N = N m pour h = h(N m ) = 190 km
1.30. L’onde est transmise en incidence
normale si sa fréquence est supérieure à f p (N)
(cf. 1.28). f p est une fonction croissante de N.
Si l’onde a une fréquence supérieure à f p (N m ) =
f c , alors elle traverse la totalité de la couche
ionosphérique.
f c = 6,35 MHz.
f c est la fréquence plasma f p maximale.
N/N m
1.24. La condition de non-réflexion totale s’écrit sin(i) < sin(i lim ) soit sin(i) <
qui aboutit à l’inégalité
f p
f > ≥ f
cos.i
p
n =
⎛ f
1−
⎜
⎝
1.25. On considère maintenant le cas de la réflexion totale donc sin(i) ≥ sin(i lim ) qui aboutit à
l’inégalité
f p
≥ f ≥ f
cos.i
p
pas de propagation réflexion totale réfraction
f p f 0 =
Autrement dit, il y a réflexion pour f < f 0 .
1.26. Pour i = 30° f 0 =
f p
= 2 f p = 733,0 kHz.
cos.i
f
p
1−
sin
1.27. Pour une incidence normale, on a f 0 = f p .
1.28. Une méthode de détermination de la densité électronique N du plasma pourrait être de
« tirer » une onde électromagnétique au zénith (i = 0) et de balayer en fréquence. L’intensité
du signal réfléchi par l’ionosphère chute lorsque f dépasse f p . f p dépendant de N (cf. 1.16) on
peut ainsi accéder à sa mesure.
1.29. N(h) est donnée par un polynôme d’ordre 2 en h. On se propose de mettre l’expression
sous la forme N(h)-a = [(h-h 0 ) –b]² , forme directement représentable.
2 2
2
N(h) H H ⎡ H ⎤
On trouve − = − ( h h 0 )
N m 4 4
⎢ − −
2
⎥
⎣
⎦
2
i
f
p
f
⎞
⎟
⎠
2
1.31. L’onde peut alors subir une réflexion totale à une altitude h < h(N m ) = 190 km si f p (N(h))
devient inférieure à la fréquence f de l’onde. A l’altitude de réflexion, on a
e.c
2. π
µ
.N
0 m
f = f p (N(h))= ( h − h )[ H − ( h − h )]
soit
1.32.
f (h ) = f
r
c
4.
m.H
2
.4
r
( h − h )[ H − ( h − h )]
r
0
H
2
0
r
0
r
h r (km) h 0 + H/8 = 115 h 0 +H/4 = 140 h 0 + 3H/8 = 165
f/f c
7 /4 3 /2 15 /16
f(h r ) (MHz) 4,20 5,50 1,54
1.33.
h 90 190 290
N/N m 1
f p (N)
comme
n =
f 0 =
N
⎛ f
1−
⎜
⎝
i
f p
cos.i
varie
p
f
⎞
⎟
⎠
2
0
0 0
i 0
1 er cas : l’onde n’atteint pas h(N m ) = h m .
L’onde pénètre dans l’ionosphère et voit avec l’altitude augmenter la densité électronique
augmenter également. La fréquence plasma augmente. L’indice diminue donc l’angle d’incidence
augmente. La fréquence f 0 limitant le domaine de fréquences de réflexion totale augmente et
vient « rattraper » la fréquence du signal. Il se réfléchit.
f c
n min
2

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2 ème cas : l’onde atteint h m .
La première phase se décrit comme précédemment. A l’altitude h m , toutes les grandeurs
changent de sens de variation. Le rayon passe par un point d’inflexion. L’angle d’incidence se
remet à diminuer alors que l’altitude augmente.
1 er cas
2 ème cas
h
h
Dans les deux cas, on retrouve une résultat d’optique géométrique dans les milieux non
homogènes : « le rayon se dirige vers les milieux de plus fort indice ».
2 – Réception d’une onde électromagnétique
2.1. On décompose le flux
magnétique au sein de la bobine en 2
contributions : celle due au courant
qui parcourt la bobine et celle du
champ extérieur capté. Le premier
génère le terme d’auto-induction, et
le second le terme de « mutuelle »
induction avec l’émetteur de l’onde
électromagnétisme. C’est ce terme
qui est générateur de courant dans
le circuit.
On adopte donc la convention
générateur pour le dipôle qui
modélise l’action du champ extérieur,
et la convention récepteur pour les
autres dipôles.
dΦ
h m
self-induction L
induction par Bext
dB
dt
t) + ω
u L
e(t)
bobine
d
0
dt
.cos( Ωt).sin(
Bext
2.2. Loi de Faraday : (t) = − = −N.S.
= −N.S.B
. ( cos( Ωt.cos(
ω t) )
dt
. Ω.sin(
Ωt).cos(
ω
i(t)
e 0
soit (t) = N.S.B ( t) )
e 0 0 0
ω0
2.3. Dans l’approximation proposée, le premier terme est négligeable. e(t) prend la forme
proposée pourvu que l’on pose E 0 = N.S.B 0 .ω 0 .
C
R
u C
u R
E
0
2.4. (t) = [ sin(( ω + Ω)t)
+ sin(( ω − Ω)t)
]
e 0
0
2
2.5. Pour chaque pulsation Ω de la modulation comprise entre Ω 1 = 2.π.f 1 et Ω 2 = 2.π.f 2 on peut
écrire cette linéarisation. Le spectre de pulsation reçues par le circuit est donc
[ω 0 - Ω 2 , ω 0 - Ω 1 ] U [ω 0 + Ω 1 , ω 0 - Ω 2 ].
NB : ω 0 - Ω 1 ≈ ω 0 + Ω 1 ≈ ω 0 .
1
jC ⎟ ⎞
ω ⎠
0
2.6. En notation complexe, on a la loi des mailles : E 0 ' = = ⎜R
+ jLω + . I0
d’où
en module
I
0
=
R
2
E
0
⎛
+ ⎜Lω −
⎝
'
1
Cω
2.7. Sa valeur maximale est I 0M = E 0 ’ / R à la résonance , pour ω = ω 0 =
2.8.
2.10.
I
I
0
0M
d’où
I
I
1
⎞
⎟
⎠
0
= 2.9.
0M
2
=
I
I
⎛ Lω
1 ⎞
1+
⎜ − ⎟
⎝ R RCω
⎠
1
2 ⎛ 1 ⎞
1+
Q0.
⎜1+ ε − ⎟
⎝ 1+ ε ⎠
0
0M
2
0
≈ 1−
2.Q ε
2
2
≈
2
I
I
1+
Q
0
0M
2
0
=
1
E
2
2⎛
1+
Q0
⎜
⎝
1
⎛
⎜
⎝
ω
ω
0
ω0
⎞
− ⎟
ω
⎠
2
1
LC
2
2 2
.( 1+ ε −1+ ε) 1+
4.Q . ε
2.11. Les pulsations correspondant aux valeurs de ε sont dans la bande passante à –3 dB si
I
I
0
0M
1
2
≥ d’où
1
1 ε
2
2 2
− ≥ 2.Q 0 . Ceci traduit que l’acuité de la résonance ne doit pas
être trop élevée pour « laisser passer » la bande de pulsations du 2.5..
2.12. Il n’y a pas de valeur minimale de Q 0 . Il y a une valeur maximale pour la pulsation la plus
haute qui est la plus éloignée de la résonance : Ω 2 . ε (Ω 2 ) = Ω 2 /ω 0 = 0,02 d’où
Q 0max = 19,1.
2.13. L’intensité I 0 ’ du signal non désiré sera d’autant plus faible que la résonance en ω 0 sera
aiguë, ce qui correspond à une valeur maximale de Q 0 .
2.14. Ce critère est compatible avec le précédent pourvu que l’on choisisse la valeur maximale
calculée précédemment.
2.15. On choisira donc Q 0 =19,1.
≈
1
0
3

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2.16.
I0
'
=
I
0
1
2⎛
1 ⎞
1+
Q0
⎜ x − ⎟
⎝ x ⎠
2
<
1
10
→1+
Q
2
0
(x -
1
)
x
2
⎛ 1 ⎞
> 100 → ⎜ x - ⎟
⎝ x ⎠
2
> 0,27
dont la résolution nécessite celle des 2 inéquations suivantes en posant a = (0.27) 1/2 =0,52
1
2
1
2
2.17. x − > a → x − a.x −1
> 0 x − > a → x + a.x −1
< 0
x
dont les solutions sont en dehors de
l’intervalle des racines.
x
±
a ±
=
a
2
2 +
4
Soit en ne gardant que les racines positives :
x
x
dont les solutions sont dans l’intervalle des
racines.
x
±
− a ±
=
a
2
a
2
2 +
a +
2 + 4
> et
4
− a +
x <
soit x ∈ [0 ; 0,773] U [1,293 ; +∞[
2.18. Les écarts minima f 0 ’ – f 0 en fréquence entre les deux porteuses sont
–227 kHz et +293 kHz.
3 – Démodulation du signal réceptionné.
3.1. u(t) = H.E 0 .E 1 .cos(Ωt).sin(ω 0 t).sin(ω 0 t) = H.E 0 E 1 .[sin((ω 0 -Ω)t) + sin((ω 0 +Ω)t)].sin(ω 0 t)/2
u(t) = H.E 0 .E 1 .[2.cos(Ωt)+cos((2.ω 0 -Ω)t)-cos((2.ω 0 +Ω)t)]/4
3.2. On ne garde que le terme basse
fréquence (modulation acoustique)
R
en interposant un filtre passe bas de
pulsation de coupure de l’ordre de
Ω max = Ω 2 . Ce filtre peut se
C
contenter d’être du premier ordre
u'(t)
puisque les autres fréquences de u(t)
u(t) sont très supérieures à Ω 2 . Un
circuit RC peut suffire.
Choisissons comme fréquence de coupure 100 kHz, donc RC = 2,5.10 -7 s.
On peut choisir pour R = 1 kΩ , C = 0,25 nF.
3.3. e 2 (t) = 0
e 2 (t) = 1
R
R
a
2
2 +
4
u / R + e1 / R u + e
=
=
1/ R + 1/ R 2
u / R
e / R
1
+ 1 + 1
V−
V−
=
=
1/ R + 1/ R 2
A.O. en régime linéaire : V + = V 1 d’où u = e 1 A.O. en régime linéaire : V + = V - d’où u = -e 1
G
1
-1
T 0 /2 T 0
3.4. Le gain est un créneau symétrique impair. Les seuls termes de sont développement en série
de Fourier non nuls sont les coefficients b n (ou certains d’entre eux !).
b
b
b
n
n
n
2
T0
2 ⎡ T0/
2
2
T0
⎤
= G(t).sin(n. ω = ⎢−
ω + ω
∫
0.t).dt
sin(n.
∫
0.t).dt
sin(n.
∫
0.t).dt⎥
T0
0
T0
⎣ 0
T0
T0
/ 2 ⎦
1
= [ cos(n. π)
−1−
cos(2.n. π)
+ cos(n. π)
]
n. π
= 0
si
n pair
4⎡
d'où G(t) = - ⎢sin(
ω
π⎣
4
et bn
= − si n impair
n. π
1 1
⎤
t) + sin( 3. ω0t)
+ sin( 5. ω0t)
+ ...
3 5
⎥
⎦
0
u(t) est donc bien le produit e 1 (t).e 0 (t) pourvu que l’on filtre les ordres supérieurs à 1 en
ajoutant à la sortie de l’amplificateur opérationnel un filtre passe basse de pulsation de
coupure de l’ordre de ω 0 . On préférera ici un filtre du deuxième ordre pour atténuer
efficacement l’ordre 3, et les suivants.
u
t
e
R
R
e1(t)
R
e2(t)
u(t)
e1(t)
R
e2(t)
u(t)
V + = e 1 (t)
V + = 0
4