cours - Master 2 en Mécanique des fluides et Energétique

Modélisation des écoulements en interaction
NSE02
Pierre Sagaut
Institut Jean Le Rond d’Alembert
Université Pierre et Marie Curie - Paris 6
pierre.sagaut@upmc.fr
2 septembre 2010

Table des matières
1 Introduction 4
1.1 Turbulence : illustration et tentative de définition . . . . . . . . . 4
1.2 Organisation du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Pour aller plus loin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Description statistique des écoulements turbulents 10
2.1 Moyenne d’ensemble et corrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Passage micro-macro en mécanique des fluides : moyenne et grandeurs
macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Variables microscopiques et macroscopiques . . . . . . . . 15
2.2.2 Vitesse d’agitation thermique, flux macroscopiques et phénomènes
de transport locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.3 Obtention des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . 18
2.2.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Décomposition de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Equations du champ moyen : Vitesse et scalaire passif . . 23
2.3.2 Equations des moments d’ordre 2 : tensions de Reynolds,
variance et flux turbulent de scalaire . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Analyse spectrale : énergie cinétique et variance d’un scalaire passif 28
2.5 Symétries, homogénéité et isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Turbulence isotrope 31
3.1 Définition, observations expérimentales et numériques . . . . . . 31
3.1.1 Définition de l’isotropie et simplification des équations de
bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Quelques observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Analyse dimensionnelle, échelles caractéristiques et théorie de
Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Echelles caractéristiques de turbulence . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Théorie de Kolmogorov (1941) . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Analyse de la décroissance par la méthode de Comte-Bellot et
Corrsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Evolution du champ de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Evolution du champ de scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 55
1

3.4 Analyse spectrale et cascade d’énergie cinétique . . . . . . . . . . 57
3.4.1 Equations de Navier-Stokes dans l’espace de Fourier . . . 57
3.4.2 Repères locaux : Craya-Herring, modes hélicoïdaux . . . . 60
3.4.3 Quantités invariantes : conservation globale, conservation
détaillée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.4 Une théorie de la cascade d’énergie : la conjecture de Waleffe 64
3.4.5 Modélisation de la densité spectrale de flux d’énergie T (k) 64
4 Effets linéaires : turbulence homogène cisaillée 69
4.1 Définition et observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 Définition de l’homogénéité au sens de Craya . . . . . . . 69
4.1.2 Notions de terme rapide et terme lent . . . . . . . . . . . 70
4.1.3 Simplification des équations de bilan . . . . . . . . . . . . 71
4.1.4 Observations expérimentales et numériques . . . . . . . . 73
4.2 Analyse des mécanismes physiques rapides . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Introduction à la Théorie de la Distorsion Rapide (TDR) 75
4.2.2 Résultats obtenus par la TDR . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3 Lien avec la dynamique tourbillonnaire . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Diffusion du scalaire passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.1 Equations de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.2 Concept de diffusivité turbulente . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Couche limite turbulente 86
5.1 Effets qualitatifs de la présence d’une paroi rigide et imperméable 87
5.2 La couche limite turbulente : un problème multi-échelles . . . . . 88
5.3 Analyse des lois de bilan statistique (canal plan) . . . . . . . . . 89
5.3.1 Champ moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 Tensions de Reynolds et énergie cinétique fluctuante . . . 90
5.4 Analyse théorique classique du champ moyen turbulent . . . . . 94
5.4.1 Analyse phénoménologique ”à la Von Karman” . . . . . . 94
5.4.2 Analyse par Développements Asymptotiques Raccordés
(DAR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4.3 Récapitulatif : structure de la couche limite turbulente
d’après la théorie classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4.4 La loi logarithmique est-elle observable ? . . . . . . . . . . 102
5.5 Structures cohérentes et production de turbulence . . . . . . . . 106
5.5.1 Modèle classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5.2 Structures de grande et très grande taille . . . . . . . . . 110
5.5.3 Conséquences sur la théorie ”classique” de la couche limite
turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.6 Traînée turbulente : analyse statistique et stratégies de réduction
de traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.6.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.6.2 Formule intégrale de Fukagata-Iwamoto-Kasagi . . . . . . 116
5.6.3 Réduction de trainée par soufflage/aspiration . . . . . . . 120
2

5.6.4 Réduction de trainée par emploi d’un revêtement hydrophobe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.7 Dynamique du scalaire passif et flux de chaleur à la paroi . . . . 124
5.7.1 Analyse du profil moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.7.2 Flux de chaleur moyen à la paroi . . . . . . . . . . . . . . 128
5.7.3 Lien avec les structures cohérentes de l’écoulement . . . . 132
6 Modélisation statistique de la turbulence 135
6.1 Problème de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.1.2 Concepts de viscosité et diffusivité turbulentes . . . . . . 136
6.2 Un exemple : le modèle K − ɛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.1 Fermeture des équations de quantité de mouvement . . . 137
6.2.2 Calcul des coefficients du modèle . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.3 Remarques sur les limitations du modèle . . . . . . . . . . 140
6.3 Fermetures algébriques pour K T et u ′ i T ′ . . . . . . . . . . . . . . 144
3

Chapitre 1
Introduction
1.1 Turbulence : illustration et tentative de définition
L’objet de ce cours est de présenter un panorama des connaissances, des
interrogations et des recherches actuelles concernant les écoulements turbulents.
Un premier point singulier lorsqu’on aborde l’étude de ces écoulements est qu’il
est très difficile de les définir de manière exacte, rigoureuse et consensuelle. Les
écoulements turbulents forment une famille aux contours flous ; ils présentent
un ”air de famille”, qui se traduit par certaines similitudes concernant leurs
mécanismes physiques dominants, mais sont trop divers pour permettre d’en
définir le périmètre exact. On peut ici faire une analogie avec la question de la
définition d’un jeu selon Wittgenstein.
Ceci est illustré par la figure 1.1 qui présente des écoulements a priori très
différents, mais qui partagent la propriété d’être turbulents.
Un conséquence est qu’il est également presque impossible de définir ce que
serait ”la Turbulence” (avec un T majuscule !). Derrière le vocable turbulence,
souvent utilisé en pratique, les chercheurs et les ingénieurs appartenant aux
nombreuses communautés scientifiques qui étudient des écoulements turbulents
regroupent les caractéristiques partagées par ces différents écoulements, et qui
possèdent donc un certain degré d’universalité. Ces caractéristiques, qui tiennent
lieu de critères définitoires pour une définition analytique des écoulements turbulents,
sont les suivantes :
1. L’écoulement est tridimensionnel 1
1. Le concept de turbulence bidimensionnelle existe. Il est né dans le monde de la recherche
océanographique et météorologique, dans lequel on étudie des films fluides (atmosphère, océan)
dont la profondeur est très petite devant les autres dimensions. En première approximation, il
est donc raisonnable de faire l’hypothèse que les très grandes échelles (diamètre caractéristique
de plusieurs centaines ou quelques milliers de kilomètres, à rapporter à l’épaisseur de l’atmosphère
ou la profondeur des océans, de l’ordre de quelques kilomètres) ont une dynamique
bidimensionnelle, mais les plus petites (d’une taille de l’ordre du centimètre ou du mètre) sont
rigoureusement tridimensionnelles. Des études théoriques sur des systèmes unidiensionnels
modélisés par l’équation de Burgers sont également menées par les physiciens.
4

Figure 1.1 – Exemples d’écoulements turbulents (de haut en bas, de gauche
à droite) : écoulement derrière une marche descendante (Noack), couche de
mélange plane (Noack), sillage d’un véhicule simplifié, sillage nuageux à la Guadeloupe
5

2. L’écoulement est instationnaire (ce qui exclut les écoulements permanents,
qui peuvent présenter toutefois des propriétés complexes comme le chaos
lagrangien)
3. Le rotationel du champ de vitesse est non nul (et donc, pour la vorticité,
on a ω ≡ 1 2
|∇ × u| ≠ 0)
4. L’écoulement est fortement diffusif, au sens où les fluctuations du champ
de vitesse assurent un mélange rapide et efficace de tout traceur passif
injecté en son sein
5. L’écoulement présente une grande gamme continue d’échelles dynamiquement
actives. Ceci a pour conséquence que la densité spectrale (en
fréquence ou en nombre d’onde) d’énergie cinétique (appelé ”spectre d’énergie”
par abus de langage) est continue, et est non nulle sur plusieurs décades
6. L’écoulement est chaotique, au sens où une petite perturbation apportée
à un écoulement sera continuement amplifiée dans le temps. Ceci implique
qu’une description strictement déterministe d’un écoulement turbulent
est de peu d’intérêt, les champs instantanés issus à différents instants
d’un même écoulement (ou les champs pris au même instant dans
deux écoulements initialement ”presque identiques”) étant très différents.
Cette propriété implique donc que l’étude des écoulements turbulents
doit être réalisée au moyen d’outils statistiques.
Notons enfin que ce cours ne traitera que du cas le plus ”simple”, à savoir
celui des écoulements de fluides newtoniens monophasiques, monoespèces,
sans effets de couplage thermodynamique complexes (gaz denses, superfluides,
...) et sans couplage avec des champs eux-mêmes modifiés par la dynamique
turbulente (comme les plasmas ou la magnétohydrodynamique). Le modèle
physico-mathématique sur lequel s’appuie ce cours est le système des équations
de Navier-Stokes pour un fluide incompressible [12] :
( )
∂
ρ
∂t u + ∇ · (u ⊗ u) = −∇p + µ∆u + f (1.1)
∇ · u = 0 (1.2)
où u(x, t), p(x, t), ρ(x, t) et ν désignent respectivement la vitesse, la pression
et la masse volumique au point x et à l’instant t, alors que µ est la viscosité
dynamique du fluide. Cette dernière est supposée constante et uniforme. La
force volumique extérieure f est pour le moment supposée quelconque. Sauf
mention explicite contraire, on considèrera par la suite que la masse volumique
est uniforme et constante, on fera apparaître la viscosité cinématique ν = µ/ρ
et la variable p représentera le rapport p/ρ. Ce système est complété dans le
cadre de ce cours par l’équation d’évolution d’un scalaire T (x, t), qui peut être
utilisée pour modéliser la dynamique du champ de température ou celle d’un
traceur injecté dans l’écoulement :
6

( )
∂
ρ
∂t T + ∇ · (uT ) = κ∆T (1.3)
où κ est la diffusivité moléculaire, elle aussi supposée constante et uniforme.
Remarquons que ce système, d’emploi courant pour les recherches fondamentales
comme appliquées, souffre de plusieurs inconsistances physiques. Tout
d’abord, il exclut les ondes acoustiques de la solution, et leur attribue une vitesse
de propagation infinie. Ceci est observable en écrivant l’équation de Poisson
pour la pression obtenue en prenant la divergence des équations de quantité de
mouvement :
−∆p = ∇ · ∇ · (u ⊗ u) − ∇ · f (1.4)
Cette équation est elliptique, et n’admet pas de solution sous la forme d’onde
progressive. Sa solution générique s’écrit formellement comme
∫∫∫
p(x, t) = − [ ∇ · ∇ · (u ⊗ u) + ∇ · f ] (y, t)G(x, y)dy (1.5)
où G(x, y) est la fonction de Green appropriée 2 . La solution 1.5 montre que
la pression en tout point s’ajuste instantanément à une perturbation ponctuelle
du champ de vitesse, où que soit située cette perturbation, ce qui fait de la
pression un champ non-local dans ce modèle physique. Par ailleurs, la solution
1.5 montre également que la pression n’est pas une vraie quantité physique :
elle n’est ici qu’un multiplicateur de Lagrange du champ de vitesse qui assure
l’incompressibilité 1.2. Ces propriétés du champ de pression seront rencontrées
par la suite dans le cadre de ce cours.
Une deuxième inconsistance est thermodynamique. En effet, l’équation de
quantité de mouvement inclut la description des effets visqueux, et l’équation
d’évolution pour l’énergie cinétique qui lui est associée comprend un terme de
dissipation d’énergie par effet Joule (tranformation d’énergie cinétique en chaleur
par le mouvement à l’échelle moléculaire). Mais l’équation 1.3 ne contient
pas le terme source correspondant au terme puit d’énergie cinétique : l’énergie
dissipée est donc ”perdue” dans le cadre de cette modélisation.
1.2 Organisation du cours
Le cours est organisé de manière à donner des éléments sur les bases et
les avancées récentes issues des recherches sur les écoulements turbulents. On
distinguera, autant que faire ce peut, trois types d’informations : les résultats des
observations effectuées sur ces écoulements, les théories bâties pour appréhender
2. En dimension 3, la fonction de Green est
G(x, y) =
1
4π|x − y|
7

ceux-ci dans un cadre conceptuel cohérent à vocation explicative et prédictive,
et enfin les outils théoriques sur lesquels les théories reposent.
Le premier chapitre est consacré à une présentation brève de la description
statistique des écoulements turbulents. Les principaux outils statistiques y sont
rappelés, ainsi que les équations d’évolution associées pour les moments d’ordre
un et deux des champs turbulents.
Le deuxième chapitre traite de la turbulence homogène et isotrope, qui est
l’écoulement turbulent le plus simple que l’on puisse imaginer puisqu’il possède
le plus grand nombre de symétries sur le plan statistique. Outre son intérêt
académique, cet écoulement est celui qui sert de matrice à la plupart des travaux
théoriques portant sur la dynamique de la turbulence. Beaucoup de ses propriétés
sont supposées aujourd’hui être partagées par l’ensemble des écoulements
turbulents, ce qui lui confère une valeur particulière. A l’occasion de l’étude de
cet écoulement, on introduira quelques grandes théories, comme celle de Kolmogorov
ou encore la notion de cascade d’énergie cinétique. On utilisera également
la description locale dans l’espace de Fourier dite de Craya-Herring pour obtenir
une description optimale du problème.
Le troisième chapitre porte sur la dynamique de la turbulence homogène
dans le cas où l’isotropie est brisée par un écoulement imposé et où la turbulence
est entretenue par un transfert d’énergie cinétique depuis cet écoulement
vers le champ turbulent (on parle d’un mécanisme de production). Le cas d’une
turbulence soumise à un effet de cisaillement est retenu pour illustrer cette configuration.
Ce cas est un modèle simplifié de nombreux écoulements turbulents
rencontrés dans les applications : couche limite, jet, sillage, couche de mélange
... Il permet d’isoler les modifications du champ turbulent et de sa dynamique
par un effet de production anisotrope de la turbulence par le champ porteur.
Il permet également d’effectuer la distinction entre la dynamique dite rapide
(basée sur des interactions linéaires entre le champ porteur et les fluctuations
turbulentes) et celle dite lente (qui représente les interactions non-linéaires du
champ turbulent avec lui-même) de la turbulence. Dans ce chapitre, un nouvel
outil, la théorie de la distorsion rapide, sera présenté. Il est basée sur une
linéarisation des équations, et permet d’accéder à une description simplifiée de
la dynamique rapide.
Le quatrième chapitre a pour objet la couche limite turbulente. Cet écoulement
cisaillé est rencontré dans la plupart des applications (aérodynamique, métérologie,
...). Il présente un degré de complexité supplémentaire par rapport aux écoulements
homogènes cisaillés anisotropes car, du fait de la présence d’une paroi solide,
l’homogénéité statistique est rompue dans la direction perpendiculaire à celle-ci.
Outre sont intérêt applicatif évident, la couche limite permet donc d’appréhender
les effets de l’inhomogénéité. Après une présentation des résultats ”classiques”,
on s’intéressera aux résultats les plus récents, qui mettent ces derniers en défaut.
Le lien qui est identifié entre la dynamique des évènements et des structures
cohérentes et des propriétés statistiques sera également abordé. Enfin, une brève
introduction sur les stratégies de contrôle de la couche limite en vue de la
réduction de la traînée (ou de manière équivalente de la perte de charge) sera
présentée.
8

Le dernier chapitre aborde le problème de la modélisation de la turbulence.
Les chapitres précédents portent tous sur l’analyse et la compréhension de
la dynamique des écoulements turbulents. Celui-ci traite d’une question très
différente, qui est celle de l’élaboration de modèles simplifiés permettant la
prévision des propriétés statistiques d’un écoulement turbulent (ou d’un système
incluant un tel écoulement : voilure d’aéronef, coeur de réacteur nucléaire,
couche limite atmosphérique, ....) par la simulation numérique sur ordinateur
avec des coûts de calcul compatibles avec les contraintes applicatives. Il s’agit
moins ici d’accéder à une connaissance fine de la dynamique des écoulements
que de définir un système d’équations aux dérivées partielles ”simples” dont
la solution représentera de manière précise et fiable leurs moments statistiques
d’ordre un, voire deux.
1.3 Pour aller plus loin
Quelques références pour approfondir ce cours (la liste est très loin d’être
exhaustive !) :
– Livres de cours (introduction au sujet) : [3, 5, 24, 20]
– Outils mathématiques : [24, 20, 2, 7]
– Turbulence isotrope : [2, 16, 22]
– Turbulence homogène cisaillée, TDR : [22]
– Couche limite turbulente : [7, 23]
– Modélisation statistique de la turbulence : [19]
9

Chapitre 2
Description statistique des
écoulements turbulents
Comme il a été rappelé précédemment, une description statistique des écoulements
turbulents s’impose lorsqu’on cherche à caractériser leur dynamique, et surtout à
identifier les propriétés ayant un certain degré d’universalité qui sont nécessaires
à l’élaboration de toute théorie physique. Cette section a pour but d’effectuer
un (bref) rappel des principaux outils mathématiques utilisés pour obtenir cette
description. Les bases mathématiques issues de la théorie des probabilités et de
la statistique ne seront pas rappelées, et sont disponibles dans les ouvrages de
référence [2, 20, 24] ou dans des cours de mathématiques. On fera simplement
ici l’hypothèse que les champs physiques associés à un écoulement turbulent
sont suffisamment réguliers et possèdent toutes les propriétés requises pour que
les outils mathématiques soient valides (convergence des statistiques, ...) Mais
il faut néanmoins rappeler qu’une analyse mathématique complète de la solution
des équations de Navier-Stokes tridimensionnelles, instationnaires pour un
fluide incompressible 1.1-1.2 fait toujours défaut.
2.1 Moyenne d’ensemble et corrélations
On considère des variables muettes φ i (x, t), (i = 1, N), qui représentent de
manière générique les variables physiques associées à un écoulement turbulent
(composantes du vecteur vitesse ou de la vorticité, pression ...) On fait l’hypothèse
fondamentale que les fluctuations turbulentes sont telles que les variables
φ i peuvent être assimilées à des variables aléatoires, et qu’en conséquence tous
les outils statistiques usuels sont pertinents.
Afin de caractériser φ i (x, t) on considère tout d’abord sa moyenne, définie
comme une moyenne d’ensemble notée dans ce qui suit ¯φ i :
10

⎛
⎞
1
¯φ i (x, t) ≡ lim ⎝ ∑
φ (k)
p−→+∞
i (x, t) ⎠ (2.1)
p
k=1,p
où φ (k)
i désigne la k-ième réalisation indépendante 1 de φ i .
Pour caractériser les fluctuations de φ i autour de ¯φ i , on utilise fréquemment
la variance :
⎛
φ ′ i φ′ i (x, t) = lim 1
⎝ ∑
p−→+∞ p
k=1,p
(φ (k)
i
(x, t) − ¯φ i (x, t))(φ (k)
i
⎞
(x, t) − ¯φ i (x, t)) ⎠ (2.2)
où l’on a introduit la variable aléatoire centrée (de moyenne nulle) φ ′ i (x, t) ≡
(φ i (x, t) − ¯φ i (x, t)). Notons que par la suite le calcul de la variance et des moments
statistiques d’ordre supérieur sera toujours réalisé en considérant φ ′ i et
non φ i . Par abus usuel de notation, on utilisera de manière équivalente φ ′ i et φ i
dans les formules faisant appel à φ ′ i (en pratique, tous les moments statistiques
d’ordre supérieur à 1).
Une analyse plus fine du champ fluctuant est obtenue en mesurant les corrélations
en deux points (x et y = x + r) et en deux temps (t et t ′ = t + τ) :
φ ′ i φ′ i (x, y, t, t′ ) ≡ φ ′ i (x, t)φ′ i (y, t′ )
= φ ′ i (x, t)φ′ i (x + r, t + τ)
= φ ′ i φ′ i (x, r, t, τ)
⎛
(2.3)
⎞
=
1
lim ⎝ ∑
(φ (k)
p−→+∞
i (x, t) −
p
i (x, t))(φ (k)
i (y, t ′ ) − ¯φ i (y, t ′ )) ⎠
k=1,p
On peut généraliser ce type d’analyse en définissant le moment d’ordre q en
N x points et N t temps de φ ′ i (i fixé) :
avec les contraintes suivantes :
Π(φ ′ i (x n , t j)) p l (2.4)
∑
p l = q , p l > 0 ∀l (2.5)
l
n = 1, N x (2.6)
j = 1, N t (2.7)
(2.8)
1. Sans entrer dans le détail, notons que l’obtention de réalisations réellement
indépendantes du même écoulement est un problème rencontré en pratique, tant dans l’exploitation
des données expérimentales que de celles provenant des simulations numériques.
11

Ceci peut être étendu en considérant les corrélations d’ordre q en N x points
et N t temps de I variables φ ′ i en faisant varier i de 1 à I dans la formule
précédente.
Une quantité très souvent rencontrée est le tenseur des corrélations en
deux points des vitesses :
R ij (x, r, t) ≡ u ′ i (x, t)u′ j (x + r, t) (2.9)
Le pendant pour le scalaire passif est l’autocorrélation spatiale :
R T (x, r, t) ≡ T ′ (x, t)T ′ (x + r, t) (2.10)
L’analyse statistique, via la mesure des différents moments statistiques des
champs fluctuants, ne donne pas directement accès à des informations sur la
dynamique des écoulements turbulents 2 : elle suggère l’existence de couplages
dynamiques entre les différentes variables considérées lorsque les corrélations
sont élevées, et guide l’analyse en vue de l’identification des mécanismes physiques
potentiellement responsables de ces couplages. Mais on rencontre ici le
problème épistémologique bien connu que l’analyse statistique ne permet pas,
de manière rigoureuse, de fournir des explications causales ayant la même force
que celles issues de l’analyse déterministe.
2.2 Passage micro-macro en mécanique des fluides :
moyenne et grandeurs macroscopiques
L’analyse statistique des écoulements turbulents est très souvent réalisée en
considérant les équations d’évolution de grandeurs statistiques, les plus courantes
étant les tensions de Reynolds, l’énergie cinétique ou encore le flux
de scalaire turbulents. Ces équations d’évolutions sont obtenues en appliquant
des processus combinant moyenne statistique et manipulations algébriques aux
équations de Navier-Stokes (ceci fait l’objet de la section 2.3). Ces mêmes
équations sont également la base des méthodes de prédiction par simulation
numérique employées dans les domaines des sciences de l’ingénieur (aérodynamique,
hydrodynamique, aéroacoustique, aérothermique, aéro-optique, aéro-thermo-chimie,
combustion ...) et des sciences de l’univers (océanologie, météorologie ...)
Les grandeurs statistiques sont intéressates car elles sont plus régulières en
espace et en temps que les champs turbulents instantanés (et donc demandent
moins de degrés de liberté pour être simulées sur ordinateur, ce qui rend leur
calcul compatible avec les contraintes économiques dans les bureaux d’études),
et ont parfois un caractère universel, ce qui rend possible le développement de
théories physiques.
L’application d’un processus de moyenne statistique aux équations de Navier-
Stokes fait apparaître de nouveaux termes de flux, qui représentent l’action des
2. Elle est complètement générale, et ne repose en rien sur les équations constitutives de
la mécanique des fluides.
12

Figure 2.1 – Mécanisme élémentaire macroscopique d’advection en mécanique
des fluides
fluctuations turbulentes sur les quantités moyennées. L’apparition de nouveaux
termes de flux, voire de nouvelles grandeurs physiques, n’est pas un phénomène
singulier. ll est couramment rencontré en physique lors du passage d’une échelle
fine de description de l’univers à une échelle plus grossière (ou plus grande) par
application d’une moyenne statistique 3 .
Pour illustrer ceci et mieux comprendre la signification physique des nouveaux
termes qui apparaîtront dans les équations des moments turbulents, la
présente section est destinée à un rappel (facultatif) sur la dérivation des équations
de la mécanique des fluides à l’échelle de la mécanique des milieux continus
(équations de Navier-Stokes) à partir de la description à l’échelle moléculaire de
la matière (équation de Boltzmann). A l’échelle de description de la mécanique
des milieux continus, on rencontre le plus souvent, dans l’équation d’évolution
d’une variable physique scalaire φ (illustrée sur la figure 2.4), les phénomènes
élémentaires suivants :
– Le transport le long des lignes de courant du champ de vitesse, c’est-à-dire
l’advection (illustrée sur la figure 2.1)
– La diffusion locale (illustrée sur la figure 2.2), caractérisée par des paramètres
associés au fluide, comme la viscosité et la conductivité
– Des phénomènes de production ou de destruction (voir figure 2.3).
Un exemple est l’effet Joule dans les fluides visqueux, qui correspond à
la transformation d’énergie cinétique et chaleur, qui représente un terme
de destruction pour l’énergie cinétique et un terme de production pour la
chaleur.
Un point important dans ce type de changement d’échelle est l’existence
d’une séparation d’échelle nette entre les deux niveaux de description considérés.
Le cas de l’air est illustré par la Table 2.1, qui montrent que les processus mi-
3. Cette opération est souvent appelée passage micro-macro.
13

Figure 2.2 – Mécanisme élémentaire macroscopique de diffusion en mécanique
des fluides
Figure 2.3 – Mécanismes élémentaires macroscopiques de production et de
destruction en mécanique des fluides
14

Figure 2.4 – Couplage des mécanismes élémentaires macroscopiques en
mécanique des fluides
croscopiques se produisent à des échelles de temps et d’espace beaucoup plus
petites que celles de la mécanique des milieux continus, dans des conditions
”normales” de température et de pression.
Table 2.1 – Données physiques microscopiques pour l’air. τ el : temps libre
moyen (entre deux collisions de molécules) ; τ cl : durée d’une collision entre
deux molécules ; L el : libre parcours moyen (entre deux collisions de molécules) ;
n : nombre de molécules par cm 3
Conditions τ el (s) τ cl (s) L el (m) n(/cm 3 )
10 5 P a, 300K 10 −9 10 −13 10 −7 10 19
10 7 P a, 300K 10 −11 10 −13 10 −9 10 21
100 km altitude 10 −5 10 −13 10 −3 10 13
2.2.1 Variables microscopiques et macroscopiques
On s’intéresse ici au cas d’un gaz constitué de plusieurs espèces (de nature
possiblement différentes : atomes, molécules, ions ...) s de vitesse v et d’énergie
interne ɛ. La vitesse est considérée comme étant une variable continue, alors
que l’énergie interne est distribuée entre des niveaux discrets d’énergie rotationnelle
i r et d’énergie de vibration i v (on pose i = (i r , i v )). Ce gaz est décrit en
suivant le formalisme de la mécanique statistique en introduisant la fonction
de distribution f is = f is (x, v s , t), qui est définie comme étant la densité de
probabilité pour une particule de l’espèce s et au niveau énergétique i de se
trouver à la position x à l’instant t avec la vitesse v s .
Le nombre probable de particules dans le volume généralisé dv s dxdt est
f is dv s dxdt. La moyenne d’ensemble, dans ce qui suit, est associée à la sommation
sur l’ensemble des vitesses possibles des particules, pour chaque espèce et chaque
15

niveau énergétique, affectées de la densité de probabilité associe.
Muni de cela, la densité de particules de l’espèce s est donnée par
n s = ∑ n is = ∑ ∫
f is dv s (2.11)
i
i v s
et n = ∑ s n s. A la quantité microscopique φ is (associée aux particules
d’espèce s et de niveau énergétique i), on associe la quantité macroscopique Φ,
définie comme
Φ(x, t) ≡ ∑ ∑
∫
f is φ is dv s (2.12)
s v s
De cette manière, la masse volumique du gaz est définie comme
ρ ≡ ∑ s
∑
∫
i
i
v s
f is m s dv s = ∑ s
ρ s (2.13)
où m s est la masse d’une particule de l’espèce s, et ρ s la masse volumique
partielle associée à cette espèce.
La vitesse macroscopique du gaz V est définie comme
ρV ≡ ∑ s
∑
∫
i
v s
f is m s v s dv s = ∑ s
ρ s V s (2.14)
où V s est la vitesse moyenne macroscopique de l’espèce s. On associe
également à chaque particule une vitesse d’agitation thermique : u s ≡ v s −v,
qui représente les fluctuations aléatoires de vitesse autour de la vitesse du gaz
(qui est une grandeur moyenne). Ces fluctuations sont, par exemple, responsable
du mouvement Brownien. Pour l’espèce s, on définit la vitesse de diffusion
macroscopique : U s ≡ V s − v.
Par construction, on a ∑ s ρ sU s = 0.
L’ énergie moyenne des particules est définie comme
nE ≡ ∑ s
∑
i
∫v s
f is
( 1
2 m su 2 s + ɛ is
)
dv s (2.15)
On identifie une composante E T associée à l’énergie cinétique de la vitesse de
diffusion (énergie de translation, indépendante de la vitesse macroscopique
du gaz), et une autre associée à l’énergie interne. Cette dernière regroupe une
composante due aux modes de vibrations, E V , et une autre associée aux modes
de rotation des particules, E R .
On a
nE T ≡ ∑ s
∑
∫
i
v s
f is
1
2 m su 2 sdv s (2.16)
16

et, pour chaque espèce, les composantes de l’énergie interne s’écrivent
n s E Rs ≡ ∑ i r
∫v s
f is ɛ irsdv s = ∑ i r
n irsɛ irs (2.17)
n s E V s ≡ ∑ i v
∫v s
f is ɛ ivsdv s = ∑ i r
n ivsɛ ivs (2.18)
La température (de translation), qui correspond à la température macroscopique
du gaz dans les conditions usuelles, T , est définie par la relation
E T = 3 kT (2.19)
2
où k = 1, 38 · 10 −23 J.K −1 est la constante de Boltzmann.
2.2.2 Vitesse d’agitation thermique, flux macroscopiques
et phénomènes de transport locaux
Les quantités macroscopiques définies plus haut définissent l’état macroscopique
du gaz en un point x à l’instant t. L’existence des champs de vitesse
aléatoires u s induit des phénomènes de transport locaux, indépendamment du
transport par le gaz à la vitesse V . Ce dernier processus est à l’origine du
phénomène d’advection/convection.
Commençons par le flux de masse pour l’espèce s, noté j s
. On a
j s
≡ ρ s U s = ∑ i
∫
v s
f is m s u s dv s (2.20)
La conservation de la masse s’exprime par la relation ∑ s j s = 0.
Le flux de quantité de mouvement prend la forme d’un tenseur symétrique
du second ordre Π :
Π ≡ ∑ s
∑
∫
i
v s
f is m s u s ⊗ u s dv s (2.21)
Le flux d’énergie (ou de chaleur) q est donné par la relation
q ≡ ∑ s
∑
i
∫v s
f is
( 1
2 m su 2 s + ɛ is
)
u s dv s (2.22)
Ce flux peut être divisé en la somme d’un flux d’énergie de translation q T
,
d’un flux d’énergie de rotation q R
et d’un flux d’énergie de vibration q V
:
q T
≡ ∑ ∑
∫
1
f is
s v s
2 m su 2 su s dv s (2.23)
i
17

q R
≡ ∑ s
q V
≡ ∑ s
∑
∫
f is ɛ irsu s dv s (2.24)
i v r s
∑
∫
f is ɛ ivsu s dv s (2.25)
v s
i v
2.2.3 Obtention des équations de Navier-Stokes
L’évolution de l’état d’un gaz est décrit par la variation de f is le long d’une
ligne de courant associée au champ de vitesse microscopique v s . En formulation
eulérienne, l’équation obtenue, appelée équation de Boltzmann, s’écrit
d
dt f is ≡ ∂ ∂t f is + v s · ∇f is = J (2.26)
où J représente l’effets des collisions entre les particules. Ce terme doit être
explicité pour obtenir une équation solvable. L’explicitation de J correspond à
une étape de modélisation physico-mathématique des collisions entre particules.
De nombreux modèles ont été proposés. Nous nous limiterons ici à l’un des plus
simple.
En considérant que le système est isolé, on peut lui appliquer les principes
de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie, ce qui
induit les relations suivantes pour J :
∑ ∑
∫
Jm s dv s = 0 (2.27)
v s
s
i
∑ ∑
∫
s
∑ ∑
∫
s
i
i
v s
J
Jm s v s dv s = 0
v s
(2.28)
( )
1
2 m su 2 s + ɛ is dv s = 0 (2.29)
Les équations macroscopiques de conservation de la masse, de la quantité de
mouvement et d’énergie sont obtenues multipliant l’équation de Boltzmann 2.26
respectivement par m s , m s v s et 1 2 m su 2 s + ɛ is , puis en sommant sur l’ensemble
des vitesses possible. On obtient :
∂ρ
+ ∇ · (ρV ) = 0
∂t
(2.30)
ρ dV ( )
∂
dt = ρ ∂t + V · ∇ V = −∇ · Π (2.31)
ρ de
dt = ρ ( ∂
∂t + V · ∇ )
e = −∇ · q − Π : (∇ V ) (2.32)
18

et l’on reconnait une forme générale des équations constitutives de la mécanique
des fluides. Les termes Π et q doivent encore être explicités, ce qui nécessite de
modéliser J. On utilise dans ce qui suit l’hypothèse que les chocs sont élastiques,
ce qui revient à modéliser les particules comme des sphères rigides indéformables.
Les collisions sont donc décrites de manière élémentaires au moyen des lois de
Newton, en appliquant pour chaque paire de particules les principes de conservation
de la masse, de la quantité de mouvement et d’énergie. Pour les gaz nonréactifs
dans des conditions usuelles de température et de pression, la conservation
de l’énergie est simplifiée en ne conservant que l’énergie cinétique, menant
à un modèle purement mécanique assez simple.
Pour tenir compte de l’existence de mécanismes des temps caractéristiques
très différents (typiquement les flux locaux induits par la vitesse d’agitation
thermique et l’interaction avec le milieu ambiant), on développe la fonction f is
en fonction d’un petit paramètre e ≪ 1 :
f is = f 0 is + ef 1 is + e 2 f 2 is + ... (2.33)
La troncature à l’ordre 0 conduit aux équations d’Euler pour un fluide parfait.
Les équations de Navier-Stokes pour un fluide visqueux sont retrouvées à
l’ordre suivant. En posant fis 0 + ef is 1 = f is 0 (1 + φ), les calculs conduisent à
Π = ∑ s
∑
∫
i
v s
f 0 is(1 + φ)m s (u s ⊗ u s )dv s (2.34)
Ce tenseur est ensuite décomposé en une partie sphérique (qui permet de
définir la pression), qui conduit à un terme d’effort isotrope en espace, et un
déviateur à trace nulle, qui permet de définir la viscosité du fluide :
Π = p1 + ∑ ∑
∫
fisφm 0 s (u s ⊗ u s )dv s
s i v s
= p1 + Π ′ (2.35)
On reconnait ici la loi de comportement des fluides newtoniens. p est la pression
du gaz, et Π ′ représente les contraintes visqueuses. En ne considérant
que des collisions élastiques et un gaz monoatomique, c’est-à-dire en choisissant
un modèle physique pour les collisions (modèle de Maxwell), la solution est
( m
f 0 = n
2πkT
) 3/2
exp
(− mu2
2kT
)
(2.36)
d’où l’on déduit une expression pour φ (non discutée ici). Après calcul, on
peut déduire des expressions des flux macroscopiques :
Π ′ = − 5 kT
∇ V = −2µ∇ V (2.37)
4 C
19

où C est un terme qui prend en compte les caractéristiques géométriques des
chocs entre particules. On reconnait lici a loi de comportement linéaire associée
aux fluides newtoniens. On identifie la définition suivante de la viscosité du
fluide :
µ = 5 kT
8 C
Le flux de chaleur, quant à lui, s’exprime comme
q = ∑ ∑
∫
fisφm 0 s u 2 su s dv s
s i v s
= − 75 k kT
32 C m ∇T
= −λ∇T (2.39)
(2.38)
On retrouve ici la loi de Fourier, avec la définition ci-dessous pour la
conductivité thermique du gaz
λ = 75 k kT
(2.40)
32 C m
On obtient également les expressions macroscopiques suivantes pour la pression
et l’énergie :
p = nkT, e = 3 kT
2 m
(2.41)
Le modèle de sphère rigide pour les particules conduit à une expression
explicite simple du paramètre C :
√
kT
C =
πm 2πd2 (2.42)
où la longueur caractéristique d est de l’ordre de 10 −10 m. D’où
µ = 5
16d 2 √
mkT
π , λ = 75k
64d 2 √
kT
mπ
(2.43)
Le temps libre moyen τ el entre deux collisions est, dans le cadre des
hypothèses retenues, donné par la relation
τ el = 1
√
mkT
4nd 2 (2.44)
π
ce qui permet de relier la viscosité et la conductivité à la pression du gaz
par les relations suivantes :
µ = 5 4 τ elp, λ = 75k
16m τ elp (2.45)
20

Table 2.2 – Analogies entre la théorie cinétique des gaz et la description statistique
des écoulements turbulents
Quantité Définition microscopique Modèle macroscopique
(Maxwell)
Viscosité µ = 5 8
Conductivité λ = 75
32
kT
Pression p1 = P s,i
Flux quantité mouvement Π = P s,i
Flux chaleur q = P s,i
Définition
flux turbulent
Modèle statistique
q
µ = 5 mkT
C 16d 2 modèle empirique
π
k
C
q
v is ms(u s ⊗ u s )dv s p ∗ = 2 K 3
kT
λ = 75k m 64d 2 R
f 0
p = nkT kT
mπ
modèle empirique
modèle empirique
R
R s v fisms(u
s
s ⊗ u s )dv s Π = −p1 + 2µ∇ V u ′ ⊗ u ′ −p ∗ 1 + 2µt∇ V
` ɛis´
v
fis s 1
2 msu2 s + us dv s q = −λ∇T u ′ T ′ −2κt∇ T
21

2.2.4 Remarques
Les développements qui viennent d’être donnés montrent que le passage à un
nouveau niveau de description par emploi d’une moyenne statistique conduit à
la définition de nouvelles grandeurs, appelées grandeurs macroscopiques (pression,
température, vitesse du gaz, viscosité, conductivité ...) et de nouveaux
flux, associés à l’existence de fluctuations microscopiques autour de la valeur
moyenne. Cette agitation à petite échelle conduit aux phénomènes de diffusion
observés à l’échelle macroscopique.
Un autre point important est qu’une étape de modélisation est nécessaire
pour fermer l’équation de Boltzmann. Cette étape consiste à exprimer le flux
J comme une fonction des variables connues, et par là à le rendre explicitement
calculable, ce qui permet de résoudre l’équation de Boltzmann. Ce modèle
est constitué d’hypothèses physiques sur les propriétés des particules qui composent
le fluide et sur leurs interactions. Il n’est pas unique, et comprend une
partie empirique. Nous avons décrit ici le modèle de Maxwell, qui est un modèle
mécanique simple de collisions élastiques entre sphères dures.
Ceci est résumé dans le tableau 2.2.
2.3 Décomposition de Reynolds
Dans son article fondateur de 1884, Osborne Reynolds propose de décomposer
chaque variable associée à un champ turbulent comme la somme de sa moyenne
et de sa fluctuation :
φ(x, t) = ¯φ(x, t) + φ ′ (x, t) (2.46)
où l’opérateur de moyenne (toujours noté par une barre ici) est un opérateur
générique qui doit vérifier les propriétés suivantes (parfois appelées axiomes de
Reynolds) :
1. Conservation des constantes :
¯1 = 1 (2.47)
2. Linéarité :
φ 1 + φ 2 = ¯φ 1 + ¯φ 2 (2.48)
3. Commutativité avec la différentiation en espace et en temps :
4. Structure de projecteur :
∂φ
= ∂ ¯φ (k = 1, 3),
∂x k ∂x k
∂φ
∂t = ∂ ¯φ
∂t
(2.49)
φ ′ = 0 ⇐⇒ φ = φ (2.50)
22

Ces propriétés sont trivialement vérifiées par la moyenne d’ensemble introduite
plus haut. Mais celle-ci n’étant pas utilisable dans tous les cas, faute de
la disponibilité de réalisations indépendantes en nombre suffisant pour assurer
une bonne convergence statistique des moments calculés, elle est en pratique
très souvent remplacée par d’autres opérateurs (moyenne temporelle, moyenne
spatiale, moyenne conditionnelle, ...) dont on peut prouver qu’ils convergent,
sous certaines conditions portant sur le champ turbulent, vers la moyenne d’ensemble.
Par exemple, dans son article, Reynolds utilise une moyenne spatiale.
L’introduction de la théorie moderne des statistiques et des probabilités dans le
cadre de l’étude de la turbulence sera principalement réalisée durant la première
moitié du 20e siècle, notamment sous l’impulsion de l’école soviétique, incarnée
par A.N. Kolmogorov. Trouver des opérateurs qui vérifient les quatre propriétés
énoncées par Reynolds dans certains cas pratiques est un problème qui demeure
ouvert.
2.3.1 Equations du champ moyen : Vitesse et scalaire passif
Le premier niveau de description, qui est celui le plus utilisé pour les applications
relevant de l’ingénierie, consiste à décrire l’évolution du champ moyen
de la solution turbulente. Les équations d’évolution sont obtenues en appliquant
l’opérateur de moyenne aux équations 1.1 - 1.3. En utilisant les propriétés 2.47 -
2.50, on obtient (on utilise la convention d’Einstein de sommation sur les indices
répétés) :
∂ū i
∂t + ∂u iu j
∂x j
∂ū i
∂x i
= 0 (2.51)
= − ∂ ¯p + ν
∂2 ū i
+
∂x i ∂x k ∂x ¯f i (i = 1, 3) (2.52)
k
∂ ¯T
∂t + ∂T u j
∂x j
= κ ∂2 ¯T
∂x k ∂x k
(2.53)
On remarque que les termes convectifs dans les équations de quantité de mouvement
et de transport de scalaire font apparaître des produits moyennés, qui ne
sont pas directement exprimés comme des fonctions des champs moyens et fluctuants.
Pour obtenir de telles expressions et arriver à ce qui est communément
appelée la décomposition de Reynolds, on remplace chaque terme par sa
décomposition en champ moyen + champ fluctuant. Il vient
u i u j (x, t) = ū i ū j (x, t) + ū i u ′ j (x, t) + u ′ iūj(x, t) + u ′ i
} {{ } } {{ }
u′ j (x, t)
} {{ }
=0
=0 R ij(x,t)
= ū i ū j (x, t) + R ij (x, t) (2.54)
23

où R ij , (i, j = 1, 3) est le tenseur de Reynolds, qui est le moment d’ordre
2 défini comme le tenseur des corrélations croisées en 1 point et en 1 temps des
composantes de u ′ . On remarque que, en tenant compte de la définition 2.9, on
a
De manière semblable, on obtient
R ij (x, t) = R ij (x, r = 0, t) (2.55)
T u j (x, t) = ¯T ū j (x, t) + T ′ u ′ j (x, t) = ¯T ū j (x, t) + T ′ u ′ j (x, t) (2.56)
où T ′ u ′ j , (j = 1, 3) est la j-ième composante du flux de scalaire turbulent.
En insérant ces décompositions dans les équations, il vient :
∂
+
∂ (ū i ū j ) = − ∂ ¯p + ν
∂tūi ∂x j ∂x i
∂
∂t ¯T +
∂2 ū i
∂x k ∂x k
+ ¯f i −
∂ (
∂x ¯T ū j ) = κ
∂2 ¯T
−
j ∂x k ∂x k
∂
∂x j
R ij (i = 1, 3) (2.57)
∂
∂x j
T ′ u ′ j (2.58)
Les équations pour le champ moyen 2.51, 2.57 et 2.58 ressemblent aux
équations constitutives d’origine, écrites pour le champ moyen au lieu du champ
complet (u, T ). La différence notable est que des termes de flux supplémentaires,
qui ne font apparaître que les champs fluctuants u ′ et T ′ , sont présents. Ces
termes sont interprétés comme des flux turbulents, qui modifient les équations
bilan du champ moyen. Ces termes sont les seuls termes de d’action du champ
fluctuant sur le champ moyen. Lorsqu’ils sont identiquement nuls, le champ
moyen n’est pas modifié par les fluctuations, et est identique à la solution laminaire.
L’advection est effectuée par le champ de vitesse moyen ū. On introduit
la notation suivante pour la dérivée particulaire d’une quantité muette
φ(x, t) relative à ū :
¯D
¯Dt φ ≡ ∂ ∂t φ + ∂ (φū j ) (2.59)
∂x j
A partir de 2.57 , il est possible de démontrer l’équation de bilan de l’énergie
cinétique du champ moyen. En posant K = 1 2ūiū i , et en opérant ū i × Eq.2.57,
on obtient :
∂
∂t K + ∂ (Kū j )
∂x j
} {{ }
I
= − ∂ (¯pū i )
∂x
} i
{{ }
II
∂
− (ū i R ij )
∂x j
} {{ }
V I
+ ν ∂2 K
∂x k ∂x k
} {{ }
III
+ R ij
∂ū i
∂x j
} {{ }
V II
− ν ∂ū i ∂ū i
∂x k ∂x
} {{ k
}
IV
+ ū i ¯fi
}{{}
V
(i = 1, 3) (2.60)
24

L’interprétation physique des termes de l’équation 2.60 est la suivante :
– I : Advection de K le long des lignes de courant du champ de vitesse
¯D
moyen (dérivée particulaire associée au champ de vitesse moyen, ¯Dt K)
– II : diffusion spatiale par le champ de pression
– III : diffusion spatiale de K dûe aux effets visqueux
– IV : dissipation de l’énergie cinétique du champ moyen par effet Joule dûe
aux effets visqueux (transformation de K en chaleur)
– V : puissance des forces extérieures
– VI : flux spatial turbulent de K (effet moyen du transport de K par le
champ u ′ )
– VII : terme de transfert d’énergie cinétique entre le champ moyen ū et le
champ fluctuant u ′
2.3.2 Equations des moments d’ordre 2 : tensions de Reynolds,
variance et flux turbulent de scalaire
Il a été vu au paragraphe précédent que les moments statistiques d’ordre 2
en 1 point et en 1 temps jouent un rôle très important, puisque c’est à travers
eux que s’effectue le couplage entre champ moyen et champ fluctuant dans les
équations de bilan du champ moyen. La dynamique de ces quantités doit donc
être analysée, afin de mieux comprendre l’origine du couplage.
Tout d’abord, il est nécessaire de trouver les équations qui décrivent les
champs fluctuants u ′ et T ′ . Du fait de la linéarité de l’opérateur ∂/∂t, ces
équations sont obtenues simplement en retranchant les équations du champ
moyen de celles de départ 1.1 - 1.3. On obtient ainsi :
∂u ′ i
∂x i
= 0 (2.61)
∂u ′ i
∂t + ∂ (u ′
∂x
iū j +ū i u ′ j +u ′ iu ′ j −R ij ) = − ∂p′ +ν
∂2 u ′ i
+f i ′ (i = 1, 3) (2.62)
j ∂x i ∂x k ∂x k
∂T ′
∂t + ∂ (T ′ ū j +
∂x ¯T u ′ j + T ′ u ′ j − T ′ u ′ j ) = κ ∂2 T ′
(2.63)
j ∂x k ∂x k
Commençons par les tensions de Reynolds R ij . Les équations d’évolution associées
sont obtenues en opérant (u ′ j × Eq.(2.62) + u′ i × Eq.(2.62)(i ↔ j)). Après
recombinaison des différents termes, il vient :
25

∂
∂t R ij +
∂ (ū k R ij )
∂x
} {{ k
}
I
(
)
∂ū i ∂ū j
= − R jk + R ik
∂x k ∂x k
} {{ }
II
∂ )
p
∂x ′ u ′ i j
} {{ }
( ∂
− p
∂x ′ u ′ j +
i
IV
−
∂ u ′ i
∂x u′ j u′ k
} k
{{ }
III
+ 2p ′ S ′ ij
} {{ }
V
(
)
+ f i ′ u′ j + f j ′ u′ i + 2ν u ′ ∂
j S
ik ′ } {{ } ∂x + ∂
u′ i S
jk
′ k ∂x k
} {{ }
V I
V II
(2.64)
(
où S ij ′ = 1 ∂u
′
i
2 ∂x j
+ ∂u′ j
∂x i
). Les termes sont interprétés comme suit :
– I : Advection de R ij le long des lignes de courant du champ de vitesse
moyen (dérivée particulaire associée au champ de vitesse moyen,
¯D
¯Dt R ij)
– II : terme de production/destruction par transfert entre u ′ et ū
– III : diffusion turbulente (transport par u ′ )
– IV : diffusion spatiale par les fluctuations de pression
– V : production/destruction par p ′
– VI : puissance des fluctuations de la force extérieure
– VII : diffusion et dissipation par les effets visqueux
L’équation pour l’énergie cinétique du champ fluctuant, K = 1 2 u′ i u′ i , est
déduite de 2.64 en remarquant que celle-ci est égale à la demi-trace du tenseur
de Reynolds, i.e. K = 1 2 R ii. Après calcul, on obtient :
∂
∂t K + ∂ (ū l K)
∂x
} {{ l
}
I
∂ū i
= −R il
∂x
} {{ } l
II
− ∂
− 1 ∂
u ′ i
2 ∂x u′ i u′ l
−
} l
{{ }
III
∂ 2
p
∂x ′ u ′ l
+ ν K
} {{ l ∂x
} l ∂x
} {{ l
}
V I
V II
}{{}
ε
IV
+ f ′ i u′ i
}{{}
V
(2.65)
– I : Advection de K le long des lignes de courant du champ de vitesse moyen
¯D
(dérivée particulaire associée au champ de vitesse moyen, ¯Dt K)
– II : production par interaction avec le champ moyen
– III : diffusion turbulente
– IV : ε ≡ ν ∂u′ i ∂u ′ i
∂x l ∂x l
est le taux de dissipation d’énergie cinétique fluctuante
sous forme de chaleur par effet Joule. On remarque que, par construction,
ε ≥ 0, ce qui implique que ce terme agit toujours comme un terme puit
dans le bilan de K.
– V : puissance des fluctuations de la force extérieure
– VI : diffusion par p ′
– VII : diffusion visqueuse
26

Passons maintenant à l’équation du scalaire passif. Pour le flux de chaleur
turbulent, en calculant (u ′ i × Eq.(2.63) + T ′ × Eq.(2.62)) et en réarrangeant les
termes, on obtient :
∂
∂t u′ i T ′ +
∂ (ū k u ′ i
∂x T ′ )
} {{ k
}
I
=
(
u ′ k T ′ ∂ū i ∂
+ R ¯T )
ik −
∂x k ∂x k
} {{ }
II
− ∂ p
∂x ′ T ′ + p ′ ∂T ′
+ f i ′ i ∂x
} {{ i }{{}
T ′
}
V
IV
∂ 2
∂
∂x k
u ′ i u′ k T ′
} {{ }
III
+ (ν + κ) u ′ i
∂x k ∂x T ′ − (ν + κ) ∂T ′ ∂u ′ i
} {{ k ∂x
}
k ∂x
} {{ k
}
V I
V II
− κ ∂ T
∂x ′ ∂u′ i
− ν ∂ u ′ ∂T ′
i
k ∂x k ∂x k ∂x
} {{ k
}
V III
(2.66)
Ce résultat permet les observations suivantes :
– I : Advection de u ′ i T ′ le long des lignes de courant du champ de vitesse
¯D
moyen (dérivée particulaire associée au champ de vitesse moyen, ¯Dt u′ i T ′
)
– II : production par interaction champ moyen/champ fluctuant. On observe
que le flux de chaleur turbulent n’est produit que si le champ de vitesse
moyen ū ou le champ de température moyen ¯T n’est pas uniforme.
– III : diffusion turbulente
– IV : diffusion et production par p ′
– V : production/destruction par f ′
– VI : diffusion moléculaire
– VII : dissipation moléculaire
– VIII : flux spatiaux induits par les effets diffusifs
Enfin, l’analyse de la dynamique du champ de scalaire passif fluctuant est
complétée en écrivant l’équation bilan pour sa variance K T ≡ 1 2 T ′ T ′ , qui mesure
l’intensité du champ fluctuant T ′ . En suivant une démarche similaire aux
précédentes, on obtient :
∂
∂t K T +
∂ (ū k K T )
∂x
} {{ k
}
I
= − 2u ′ k T ′ ∂ ¯T
∂x
} {{ k
}
II
∂ 2
−
∂ u ′ k
∂x T ′ T ′
} k
{{ }
III
+ κ K T − ε
∂x k ∂x
} {{ k }{{} T
} V
IV
(2.67)
27

On identifie les contributions suivantes :
– I : Advection de K T le long des lignes de courant du champ de vitesse
¯D
moyen (dérivée particulaire associée au champ de vitesse moyen, ¯Dt K T )
– II : production par interaction avec le champ moyen
– III : diffusion turbulente
– IV : diffusion moléculaire
– V : ε T = 2κ ∂T ′ ∂T ′
∂x k ∂x k
est la destruction de variance par les effets de diffusion
moléculaire. Ce terme est toujours positif, ce qui implique que ce
mécanisme tend toujours à réduire la variance du scalaire passif, et donc à
homogénéiser le mélange (on tend vers une répartition uniforme du scalaire
dans l’écoulement, qui est la solution à variance nulle).
2.4 Analyse spectrale : énergie cinétique et variance
d’un scalaire passif
L’analyse des moments statistiques permet d’appréhender de nombreux mécanismes
physiques, mais ne donne pas d’information sur le rôle des différentes échelles
au sein de l’écoulement turbulent. Il faut ici rappeler qu’une des caractéristiques
majeures des écoulements turbulents est qu’ils contiennent une grande gamme
d’échelles dynamiquement actives.
Pour accéder à une information relative aux échelles, il est nécessaire de
réaliser une étude spectrale des champs turbulents. Cette étude est classiquement
réalisée au moyen de la transformée de Fourier (en espace et/ou en temps).
Rappelons que pour une variable réelle f(x), on a (avec ı 2 = −1)
f(x) = 1 2
ˆf(k) = 1 π
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
ˆf(k)e ıxk dk (2.68)
f(x)e −ıxk dx (2.69)
où k est le nombre d’onde.
Une quantité d’un intérêt particulier pour l’étude de la turbulence en régime
incompressible est le tenseur des corrélations en deux points de la vitesse 2.9.
Pour obtenir une information sur la contribution de chaque vecteur d’onde à
ces corrélations, on définit le tenseur spectral des corrélations de vitesse
Φ ij (x, k, t) :
R ij (x, r, t) =
Φ ij (x, k, t) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞ ∫ +∞
dk 1 dk 2 dk 3 Φ ij (x, k, t)e ık·r (2.70)
−∞
−∞
∫
1 +∞ ∫ +∞ ∫ +∞
(2π) 3 dr 1 dr 2 dr 3 R ij (x, r, t)e −ık·r (2.71)
−∞
Le tenseur de Reynolds 2.55 correspond au cas particulier pour lequel r = 0.
Dans ce cas, on obtient :
−∞
−∞
28

R ij (x, t) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞ ∫ +∞
dk 1 dk 2 dk 3 Φ ij (x, k, t) (2.72)
−∞
ce qui montre que la donnée de Φ ij (x, k, t) permet d’identifier la contribution
de chaque échelle/vecteur d’onde aux tensions de Reynolds, et donc au
couplage entre champ moyen et champ fluctuant. Une autre quantité très utile
est la densité spectrale d’énergie cinétique fluctuante (appelée très souvent
par abus de langage spectre d’énergie), qui est définie par intégration sur
des sphères de rayon |k| = cste de la demi-trace de Φ ij (x, k, t). Cette intégration
permet de condenser l’information en mettant l’accent sur le module du vecteur
d’onde (directement proportionnel à l’inverse d’une longueur, ce qui est facilement
interprétable en terme d’échelle physique) et en faisant disparaître celle
liée à sa direction. L’expression correspondante est (on omet la dépendance selon
x pour alléger les notations)
E(k, t) ≡
∫ +∞
−∞
∫ +∞ ∫ +∞
dk 1 dk 2
−∞
−∞
−∞
dk 3
1
2 Φ ij(k, t)δ(|k| − k) (2.73)
où δ est le symbole de Kronecker. L’énergie cinétique fluctuante est retrouvée
en sommant E(k, t) sur tous les nombres d’onde :
K(t) ≡ 1 2 u′ i u′ i (t) = 1 2 R ii(t) =
∫ +∞
0
E(k, t)dk (2.74)
L’analyse de E(k, t) permet de connaître la répartition de l’énergie cinétique
fluctuante entre les différentes échelles dynamiquent actives, donc de savoir
quelles sont celles pour lesquelles le mouvement turbulent est le plus intense.
On procède de manière analogue pour la cas du scalaire passif, en partant
de l’autocorrélation 2.10. Il vient :
R T (x, r, t) =
Φ T (x, k, t) =
∫ +∞
−∞
∫ +∞ ∫ +∞
dk 1 dk 2 dk 3 Φ T (x, k, t)e ık·r (2.75)
−∞
−∞
∫
1 +∞ ∫ +∞ ∫ +∞
(2π) 3 dr 1 dr 2 dr 3 R T (x, r, t)e −ık·r (2.76)
−∞
−∞
−∞
Le spectre de variance de scalaire est défini comme
E T (k, t) ≡
∫ +∞
−∞
et on a la relation
∫ +∞ ∫ +∞
dk 1 dk 2
−∞
−∞
K T (t) = 1 2 T ′ T ′ (t) =
dk 3
1
2 Φ T (k, t)δ(|k| − k) (2.77)
∫ +∞
0
E T (k, t)dk (2.78)
29

2.5 Symétries, homogénéité et isotropie
Certains écoulements turbulents présentent des symétries statistiques, i.e.
leur moments statistiques possèdent des symétries particulières. Dans de tels
cas, l’analyse est souvent grandement simplifiée, un grand nombre de termes
des équations de bilan étant identiquement nuls.
Classiquement, on distingue :
– Les écoulements statistiquement stationnaires, qui sont ceux tels que
tous les moments statistiques de toutes les variables sont invariantes en
temps. Dans ce cas là, on a
∂
(.) ≡ 0 (2.79)
∂t
– Les écoulements statistiquement homogènes (au sens de Craya), qui
sont ceux tels que tous les moments d’ordre 2 ou plus sont invariants par
translation en espace. Dans ce cas, les équations de bilan présentées plus
haut deviennent beaucoup plus simples, puisque tous les termes de flux
spatiaux turbulents s’annulent (puisqu’ils apparaissent tous sous la forme
de la divergence d’un moment statistique d’ordre 2 ou plus). Un grand
intérêt des écoulements homogènes est qu’il suffit de réaliser l’analyse en
un seul point de l’espace pour les décrire complètement.
– Les écoulements statistiquement isotropes, qui sont les écoulements
statistiquement homogènes tels que tous les moments statistiques sont
invariants par rotation du repère et par les symétries miroir sur les axes
du repère. De tels écoulements ne présentent aucune direction privilégiée.
30

Chapitre 3
Turbulence isotrope
3.1 Définition, observations expérimentales et numériques
3.1.1 Définition de l’isotropie et simplification des équations
de bilan
Comme il a déjà été dit au chapitre 2.5, un écoulement turbulent est dit
statistiquement isotrope si ses moments statistiques d’ordre 2 ou plus possèdent
les propriétés suivantes : invariance par translation spatiale (= homogénéité),
invariance par rotation du repère, invariance par symétrie miroir appliquée aux
axes du repère.
Dans ce cas, pour des raisons de symétrie, on montre (démonstration non
donnée ici, voir [2, 20]) que le tenseur des corrélations de vitesse en 2 points
prend nécessairement la forme suivante (celle d’un tenseur d’ordre 2 isotrope)
R ij (x, r, t) = 2 (
3 K(t) g(r, t)δ ij + [f(r, t) − g(r, t)] r )
ir j
r 2 (3.1)
où f(r, t) et g(r, t) sont deux fonctions scalaires sans dimension, et K l’énergie
cinétique fluctuante. Ces deux fonctions sont inconnues, et leur détermination
reste un problème de recherche ouvert. La contrainte d’incompressibilité implique
la relation supplémentaire :
∂
R ij (x, r, t) = 0 =⇒ g(r, t) = f(r, t) + r ∂
f(r, t) (3.2)
∂r j 2 ∂r
Il est à noter que cette expression ne dépend pas de la position spatiale x,
du fait de l’isotropie statistique (les moments statistiques sont invariants par
translation, rotation et symétrie miroir). L’expression du tenseur de Reynolds
est obtenue en prenant r = 0 (on ne note plus la position spatiale x, du fait de
l’isotropie) :
31

⎛
R ij = ⎝
u ′ 1 u′ 1 0 0
0 u ′ 2 u′ 2 0
0 0 u ′ 3 u′ 3
⎞
⎠ = 2 3 K ⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ (3.3)
où l’on a utilisé la propriété (vraie dans le cas isotrope, mais pas dans le
cas général) u ′ 1 u′ 1 = u′ 2 u′ 2 = u′ 3 u′ 3 . On voit que le tenseur de Reynolds est
entièrement décrit au moyen d’un unique scalaire, l’énergie cinétique fluctuante
K.
Les équations d’évolution des moments statistiques subissent des simplifications
très importantes, tous les termes définis comme la divergence d’un moment
statistique étant identiquement nuls. Ceci correspond bien à la notion intuitive
d’isotropie : les quantités étant uniformes en espace du fait de l’homogénéité,
les flux spatiaux sont identiquement nuls. Une condition nécessaire pour obtenir
un écoulement isotrope est que le champ moyen soit uniforme, ce qui annule
tous les termes de production. Une autre condition nécessaire est que la force de
volume f, si elle est non nulle, doit également statistiquement isotrope. Ainsi,
l’équation d’évolution de l’énergie cinétique fluctuante 2.65 devient (on utilise
la notation abrégée 2.59 pour la dérivée matérielle) :
Pour la variance du scalaire passif, on a :
¯D
¯Dt K = −ε + f ′ i u′ i (3.4)
¯D
¯Dt K T = −ε T (3.5)
On peut distinguer deux cas, qui correspondent à des moyens différents pour
réaliser cet écoulement :
– Le champ moyen est identiquement nul, ū = 0. Ce cas est celui réalisé dans
les simulations numériques sur ordinateur, dans lesquelles on considère un
domaine cubique muni de conditions aux limites périodiques sur chaque
¯D
¯Dt
= ∂ ∂t
face. On a alors , et on parle de turbulence en développement
temporel.
L’écoulement est de plus stationnaire si les moments statistiques sont
constants en temps. On voit que, pour K, ceci implique ε = f i ′ u′ i , c’està-dire
l’équilibre entre la production d’énergie cinétique fluctuante par la
force extérieure et la dissipation. On parle alors de turbulence entretenue,
puisqu’on utilise f pour assurer la stationnarité de K. Cette situation
d’équilibre est souvent notée de manière simplifiée comme ”production
= dissipation”. La relation 3.5 montre qu’en l’absence d’une source de
scalaire passif, il est impossible d’obtenir une variance indépendante du
temps : celle-ci décroît irrémédiablement, du fait de l’uniformisation continue
du mélange par les fluctuations turbulentes. En conséquence, en l’absence
de source de scalaire, la stationnarité ne s’applique qu’aux moments
construits à partir des champs de pression et de vitesse. Si f = 0, alors
32

l’énergie cinétique fluctuante observe, tout comme la variance du scalaire,
une décroissance monotone, et on parle de turbulence en décroissance libre.
– Le champ moyen est non nul et uniforme, ū = U 0 . Posons U 0 = (U 0 , 0, 0) =
U 0 e x , sans restriction de généralité. Ce cas est typiquement celui des
expériences de laboratoire, dans lesquelles un écoulement turbulent isotrope
est obtenu en soufflant à travers une grille de manière continue.
En aval de la grille, les sillages des barreaux de la grille interagissent et,
après avoir parcouru une certaine distance depuis la grille, les fluctuations
turbulentes deviennent isotropes. Dans ce cas, il n’y a pas de force de
volume, f = 0. Le champ moyen est uniforme en espace, alors que les
moments d’ordre 2 ou plus du champ fluctuant évoluent en espace suivant
la direction e x . La dérivée particulaire devient alors
¯D¯Dt
∂
= U 0 · ∇ = U 0 ∂x .
Le soufflage étant continu, l’écoulement est statistiquement stationnaire,
aussi bien pour le champ de vitesse que pour le champ de scalaire passif.
Ceci est explicable par le fait que l’écoulement en amont de la grille joue le
rôle de la condition initiale dans le cas précédent, et que l’injection continue
de scalaire en amont de la grille est équivalente à l’emploi d’un terme
source de scalaire dans la configuration de développement temporel.
Les résultats issus des deux approches peuvent être comparés au moyen de
l’hypothèse de turbulence gelée de Taylor (1935), qui permet l’identification
:
t ←→ x U 0
,
∂
∂t ←→ U ∂
0
∂x
(3.6)
Cette approximation n’est valide que si le temps caractéristique d’advection
par le champ moyen U est petit devant celui des autres mécanismes qui agissent
et modifient le champ fluctuant. En considérant que u ′ ≡ √ K est l’échelle de
vitesse caractéristique pertinente pour décrire les autres mécanismes physiques
(ils sont strictement non-linéaires et représentent des interactions du champ
fluctuant avec lui-même dans le cas présent), la condition de validité de 3.6
s’exprime dans le cas isotrope comme u ′ ≪ U 0 . Il faut noter que l’on fait ici
implicitement l’hypothèse que toutes les structures turbulentes se déplacent à
la même vitesse 1 .
3.1.2 Quelques observations
Les résultats accumulés depuis les années 1920-1930, tout d’abord par les
mesures en laboratoire ou dans la couche limite atmosphérique, et par les simulations
numériques de puis les années 1970-1980, montrent que :
1. Ceci est faux dans le cas des écoulements compressibles, car la vitesse des fluctuations
acoustiques n’est pas égale à celle des autres fluctuations. C’est également faux pour
les écoulements incompressibles cisaillés, pour lesquelles la vitesse d’advection dépend de la
longueur d’onde des fluctuations. Mais l’hypothèse de Taylor reste un outil très utile dans
beaucoup de cas.
33

– Dans le cas dit en décroissance libre, l’énergie cinétique et la variance
de scalaire décroissent de manière monotone en temps suivant des lois
puissance :
K(t) ∝ t −n , K T (t) ∝ t −n T
(3.7)
dont les exposants n et n T n’ont pas de valeurs universelles. On distingue
de plus plusieurs régimes : un régime de décroissance à grand nombre de
Reynolds (Re λ = (2/3)λ f
√
K/ν > 100, où l’échelle de longueur de Taylor
λ f est définie par la relation 3.17), pour lequel n ∼ 1, et un régime à bas
nombre de Reynolds (Re λ < 100), pour lequel n ∼ 2 (voir figure 3.1).
On observe que ce comportement est fortement dépendant de la forme du
spectre d’énergie aux très grandes échelles.
– A grand nombre de Reynolds, le spectre d’énergie exhibe une forme autosimilaire
qui fait apparaître à petite échelle une zone pour laquelle
E(k) ∝ k −5/3 (voir figure 3.2). Le spectre de variance a une forme plus
compliquée, suivant la valeur du nombre de Prandtl P r = ν/κ.
– Le spectre d’énergie, à très grande échelle (i.e. à petit nombre d’onde),
exhibe des formes stables en temps du type E(k) ∝ k m , avec 1 ≤ m ≤ 4
(voir figure 3.2).
– Lorsque les fluctuations turbulentes sont créées à une échelle donnée (ou
une gamme d’échelles restreinte), on observe que l’énergie cinétique est
progressivement transférée vers des échelles plus petites (on nomme ce
phénomène la cascade directe d’énergie cinétique) et vers des échelles plus
grandes (on parle ici de cascade inverse d’énergie cinétique) (voir figure
3.3). Ce transfert de nature strictement non-linéaire est dû aux effets
couplés des termes de convection et de pression des équations de quantité
de mouvement.
3.2 Analyse dimensionnelle, échelles caractéristiques
et théorie de Kolmogorov
3.2.1 Echelles caractéristiques de turbulence
Une première façon de caractériser la dynamique turbulente consiste à identifier
des échelles caractéristiques associées à des mécanismes physiques ou des
quantités particulières. Cette tâche est plus aisée dans le cas isotrope, car les
trois composantes de vitesse ont la même dynamique et il n’existe pas de direction
privilégiée, ce qui permet d’arriver à une définition unique pour chaque
échelle caractéristique 2 .
2. Dans le cas général, on peut définir beaucoup plus d’échelles en combinant les différentes
composantes de vitesse et les 3 directions d’espace.
34

Figure 3.1 – Evolution temporelle de l’exposant de décroissance de K(t). Attention,
ici n désigne la pente du spectre à petit nombre d’onde : E(k) ∝ k n , k ≪ 1.
Le premier plateau (10 ≤ t/τ ≤ 10 4 − 10 5 ) correspond au régime à grand Reynolds,
le second (t/τ ≥ 10 13 ) à celui à petit Reynolds. Tiré de [6]
Echelles intégrales
Une première échelle est l’échelle intégrale, calculée à partir de la fonction
d’auto-corrélation. On utilise classiquement la fonction d’auto-corrélation des
composantes de vitesse, mais toute variable fluctuante peut être employée (mais
on obtiendra des valeurs numériques et une interprétation physique différentes !).
Soit une variable φ(x, t). La fonction d’auto-corrélation spatiale R φ est :
φ(x, t)φ(x + r, t)
R φ (x, r, t) ≡
φ(x, t)φ(x, t)
(3.8)
A partir de cette définition, il est possible de construire une échelle pour
chaque direction d’espace portée par r. Dans la suite, on prendra r = re x , sans
restriction quant à la généralité des propos. On fait ensuite l’hypothèse, réaliste
pour une variable physique comme une composante de u ′ , qu’il existe une valeur
unique r m pour laquelle R φ admet un maximum global. L’échelle intégrale de
φ dans la direction e x est définie comme
L φ,ex (x, t) =
∫ ∞
r m
R φ (x, r, t)dr (3.9)
Physiquement, L φ,ex est une mesure de la distance dans la direction e x sur
laquelle les fluctuations du champ φ sont significativement corrélées. On note
classiquement dans le cas général anisotrope L ij,k l’échelle intégrale construite
en intégrant la corrélation croisée
35

Figure 3.2 – Evolution temporelle de E(k, t) pour différentes forme du spectre
initial à très grande échelle. Haut : E(k) ∝ k 1 , Milieu : E(k) ∝ k 2 , Bas :
E(k) ∝ k 4 . Tiré de [6]
36

Figure 3.3 – Evolution temporelle de E(k, t) pour un spectre initial de forme
gaussienne. On note la relaxation vers une forme contenant une zone telle que
E(k) ∝ k −5/3 à petite échelle et E(k) ∝ k 4 à grande échelle, et donc une double
cascade d’énergie pour assurer ce remplissage du spectre. Tiré de [6]
R ij (x, r, t) ≡
u ′ i (x, t)u′ j (x + r, t)
(i, j = 1, 3) (3.10)
√u ′ i (x, t)u′ i
√u (x, t) ′ j (x + r, t)u′ j (x + r, t)
dans la direction e k , (k = 1, 3), ce qui permet de définir ... 27 échelles
intégrales à partir du seul champ de vitesse ! Et qui prennent des valeurs différentes
en chaque point d’espace dans le cas inhomogène.
Dans le cas isotrope, on a, par construction :
L ij,k = 0 si i ≠ j (3.11)
L 11,1 = L 22,2 = L 33,3 (3.12)
L 11,i = L 22,j = L 33,k i ≠ 1, j ≠ 2, k ≠ 3 (3.13)
ce qui réduit la description à 2 valeurs (au lieu de 27). L 11,1 et L 11,2 sont
respectivement appelées échelle intégrale longitudinale et transversale.
Dans le cas isotrope, on identifie l’échelle intégrale de vitesse à la taille
caractéristique des grandes échelles turbulentes qui portent la plus
grande partie de l’énergie cinétique fluctuante. Elle est utilisée en pratique
comme une mesure de la taille des structures cohérentes énergétiques du
champ de vitesse fluctuant. On identifie donc ici une corrélation significative
sur une distance de l’ordre de L 11,1 autour du point x avec le brassage du
fluide dans cette région par un mouvement d’ensemble imprimé par une structure
cohérente du champ de vitesse. Cette échelle est également celle à laquelle
37

l’énergie cinétique est créée, soit par le terme de production lié au couplage avec
le gradient du champ de vitesse moyen, soit par la force extérieure f.
On peut faire le lien avec les fonctions f(r, t) et g(r, t) introduite dans la
relation 3.1 grâce aux relations
L 11,1 (t) =
∫ +∞
f(r, t)dr, L 11,2 (t) =
0
0
∫ +∞
g(r, t)dr = 1 2 L 11,1(t) (3.14)
Pour le champ de scalaire passif, le coefficient d’auto-corrélation s’écrit
f T (r, t) ≡ T ′ (x, t)T ′ (x + r, t)
T ′ (x, t)T ′ (x, t)
L’échelle intégrale pour le scalaire passif est définie comme
(3.15)
L T (t) =
∫ +∞
0
f T (r, t)dr (3.16)
Cette échelle représente la distance caractéristique sur laquelle les fluctuations
du champ de scalaire sont corrélées de manière significative, et donc la
taille des structures cohérentes du champ T ′ . C’est l’échelle qui porte la plus
grande partie de la variance du scalaire, et donc de l’inhomogénéité de T ′ .
Micro-échelle de Taylor
On montre que f(r, t) est une fonction paire qui prend son maximum en
r = 0 avec f(0) = 1. En conséquence, on a f ′ (0) = 0 et f ′′ (0) ≤ 0 (en pratique,
on observe f ′′ (0) < 0 pour un champ de vitesse turbulent).
On définit l’échelle de Taylor longitudinale, λ f , comme
1
λ f ≡ √
− 1 2 f ′′ (0)
(3.17)
De la même manière, échelle de Taylor transverse est donnée par
λ g ≡
1
√ = √ 1 λ f (3.18)
− 1 2 g′′ (0) 2
Géométriquement, λ f correspond au lieu où la parabole osculatrice à f(r)
en (r = 0), p(r) = 1 + 1 2 f ′′ (0)r 2 , s’annule. On montre que cette échelle est reliée
au gradient de vitesse, et donc à la dissipation d’énergie cinétique fluctuante ε :
38

− 2 3 Kf ′′ (0, t) = − 2 3 K lim
r→0
ce qui conduit à la relation
∂ 2
f(r, t)
∂r2 ∂ 2
= − lim
r→0 ∂r 2 u 1(x + re x , t)u 1 (x, t)
)
( (∂2 )
u 1
= − lim
r→0 ∂x 2
((
∂2 u 1
= −
=
( ) 2 ∂u1
∂x
∂x 2 )
u 1
)
( ) 2 ∂u1
= 4 K
∂x 3
λ 2 f
x+re x
u 1 (x, t)
(3.19)
Par ailleurs, dans le cas isotrope, des manipulations algébriques montrent
que l’on a
ε = 15ν
( ) 2 ∂u1
(3.20)
∂x
ce qui, en tenant compte des relations 3.18 et 3.19 conduit à
ε = 10ν K λ 2 g
= 20ν K λ 2 f
(3.21)
Les échelles de Taylor caractérisent donc le mécanisme de dissipation
de l’énergie cinétique fluctuante par effet Joule, qui intervient
principalement pour des structures dont la taille est de l’ordre de λ f .
En notant que, dans le cas isotrope, on a
ε ≡ ν ∂u′ i
∂x l
∂u ′ i
∂x l
= 2νS ′ ij S′ ij = νω′ i ω′ i (3.22)
où S ′ ij est le tenseur introduit dans la relation 2.64 et ω′ = ∇ × u ′ est la
vorticité fluctuante, on voit que la dissipation ε est proportionnelle à l’enstrophie
moyenne du champ fluctuant, et donc que les échelles de Taylor caractérisent
les échelles turbulentes qui portent la plus grande partie
de l’enstrophie du champ fluctuant.
De manière similaire, on définit l’échelle de Taylor pour le scalaire
passif comme :
39

1
λ T ≡ √
(3.23)
− 1 2 f T ′′(0)
Cette échelle est liée au gradient de T ′ et donc à la destruction de variance
ε T . Après calcul, on obtient, dans le cas isotrope :
et
d’où
( ) ∂T
′ 2
= 2 K T
∂x
λ 2 T
κ ∂T ′
∂x i
∂T ′
∂x i
= 6κ K T
λ 2 T
(3.24)
(3.25)
ε T = 12κ K T
λ 2 T
(3.26)
Echelles de Kolmogorov et de Batchelor
Une dernière échelle, dite échelle de Kolmogorov, peut être construite par
analyse dimensionnelle. En utilisant ν = [L 2 ][T −1 ], qui caractérise le fluide par
sa viscosité et ε = [L 2 ][T −3 ], qui caractérise un flux d’énergie cinétique entre
échelles 3 et donc la dynamique non-linéaire propre à la turbulence, on peut
définir une échelle de longueur η, une échelle de vitesse u η et une échelle de
temps τ η :
( ) ν
3 1/4 ( ν
) 1/2
η = , τ η = , uη = (νε) 1/4 (3.27)
ε
ε
La dynamique de l’écoulement à l’échelle de Kolmogorov peut être comprise
en composant le nombre de Reynolds local associé à celle-ci :
Re η = ηu η
ν = 1 (3.28)
On observe donc que cette échelle est celle telle que le nombre de Reynolds
local est de l’ordre de l’unité, ce qui indique que les effets inertiels (non-linéaires)
ont la même influence que les effets visqueux (linéaires). La très faible valeur de
Re η indique que la dynamique de cette échelle sera principalement pilotée par
des mécanismes linéaires dissipatifs.
Trouver une échelle similaire, notée η T et appelée échelle de Batchelor,
pour le scalaire passif est plus compliqué. En effet, ce champ est agité par le
3. au moins dans le cas ”production = dissipation”, où le taux auquel l’énergie cinétique
est dissipé est égal au taux auquel elle est transférée entre les échelles par les mécanismes
non-linéaires qui produisent la cascade d’énergie cinétique turbulente
40

champ de vitesse u ′ , mais est amorti par des effets visqueux associés à κ. Les
mécanismes dissipatifs du champ de vitesse étant pilotés par ν, il est intuitif
de comprendre que le nombre de Prandtl, défini comme P r = ν/κ, permet de
distinguer plusieurs régimes physiques :
– Cas P r < 1 (i.e. κ > ν). Ce cas est représentatif des métaux liquides,
comme le mercure, pour lequel P r = 0, 028. Les effets diffusifs sur T ′
sont plus intenses que les effets dissipatifs sur u ′ . En conséquence, on aura
η T > η. Dans le cas où P r ≪ 1, toutes les échelles actives de T ′ sont
beaucoup plus grandes que η, ce qui implique que seul κ doit intervenir
dans la définition de η T . Par analyse dimensionelle, on trouve alors
( ) κ
3 1/4
η T =
=⇒ η T
ε
η = P r−3/4 (3.29)
– Cas P r > 1 (i.e. κ < ν). Les effets diffusifs produits par κ interviennent
à des échelles plus petites que η. En conséquence, il existe des fluctuations
de température peu affectées par la diffusion moléculaire mais brassées par
des échelles de vitesse qui sont, elles, plus petites que η et donc pilotées
par les effets linéaires visqueux. En écrivant l’équation d’évolution pour
ε T (non donnée ici), et en considérant une situation d’équilibre de type
”production=dissipation”, on obtient l’égalité
− ∂T ′ ∂T ′
S ij
′ ∂x i ∂x
} {{ i
}
}{{}
s
0
T ′ 2 ε
∝
∝@ A ν
η T
1
où T ′ ∼ √ K T , et donc finalement
= κ ∂2 T ′ ∂ 2 T ′
∂x i ∂x i ∂x i ∂x
} {{ i
}
0
T ′ 12
∝@ ηT
2 A
(3.30)
η T
η ∝ P r−1/2 (3.31)
Par exemple, pour l’eau, on a P r ≃ 7, et les fluctuations de scalaire sont
présentes à des échelles environ 3 fois plus petites que la plus petite échelle
active du champ de vitesse, η.
Ces différents cas sont associés à des topologies différentes du champ scalaire
à petite échelle, comme illustré schématiquement sur la figure 3.4. Dans le cas
où η T ≪ η, les gradients imposés par les structures de taille η organisent le
champ de scalaire en feuillets de taille caractéristique η T .
Relations entre échelles caractéristiques
Les différentes échelles qui viennent d’être introduites peuvent être comparées
au moyen du nombre de Reynolds turbulent,
41

t =0
η T ∼ η
η T ≪ η
Figure 3.4 – Evolution schématique d’un champ de scalaire initialement réparti
en feuillets par le mélange turbulent, dans le cas (gauche) où l’échelle de Batchelor
η T est de l’ordre de l’échelle de Kolmogov, et (droite) dans le cas où η T ≪ η.
Les effets diffusifs sont négligés ici.
Re L ≡ K2
εν = L √
u K
ν
(3.32)
où L u ≡ K 3/2 /ε est l’échelle intégrale (obtenue par analyse dimensionnelle),
qui est proportionnelle à l’échelle intégrale longitudinale L 11,1 . On a
L u =
Des calculs simples montrent que
3π
lim
Re L →+∞ 4 L 11,1 (3.33)
λ g
L u
= √ 10Re −1/2
L
,
η
L u
= (Re L ) 3/4 , λ g = √ 10η 2/3 L 1/3
u (3.34)
Ceci illustre le fait que, lorsque le nombre de Reynolds est augmenté, le
nombre d’échelles dynamiquement actives augmente également. Si le mécanisme
de production continue à opérer à la même échelle (i.e. si L u reste inchangée) lors
de l’augmentation de Re L , on voit que les échelles de Taylor et de Kolmogorov
diminuent.
Il est également possible d’introduire le nombre de Reynolds basé sur
l’échelle de Taylor :
Re λ ≡ λ g(2/3) √ K
ν
=
√
20
3 Re L (3.35)
42

On note que τ η , l’échelle de temps caractéristique des plus petites échelles,
est retrouvé par la relation
τ η = √ 1 λ g
15 (2/3) √ K
(3.36)
Table 3.1 – Récapitulatif des définitions des échelles spatiales (i.e. longueurs caractéristiques)
et temporelles (i.e. temps caractéristiques) turbulentes du champ
de vitesse.
Echelle intégrale Echelle Taylor Echelle Kolmogorov
√ ( )
Espace L u = K3/2
10Kν
ν
3 1/4
λ g =
η =
ε
ε
ε
Temps
τ u = K √ √ 15ν
ν
τ λ =
τ η =
ε
√ ε
ε
Nombre Reynolds Re L = K2
20 K
Re λ = √ Re η = 1
νε
3 νε
Table 3.2 – Synthèse des relations entre échelles spatiales caractéristiques turbulentes
du champ de vitesse.
L u λ g η
L u 1 Re 1/2
L /√ 10 Re 3/4
√
L
−1/2
√
1/2
λ g 10Re
L
1 10Re
L
η Re −3/4
L
Re −3/4
L
/ √ 10 1
3.2.2 Théorie de Kolmogorov (1941)
Hypothèses de Kolmogorov
La théorie formulée par Kolmogorov en 1941 reste une des pierres angulaires
de l’analyse de la turbulence pleinement développée, c’est-à-dire de la turbulence
à très grand nombre de Reynolds. La notion de ”grand” nombre de Reynolds
n’est pas précisée, aussi cette théorie peut être interprétée comme une théorie
asymptotique pour Re L → +∞. Elle est basée sur l’analyse dimensionnelle, et il
est remarquable que dans ses deux (très courts) articles fondateurs, Kolmogorov
n’écrit ni ne cite les équations de Navier-Stokes.
On distingue classiquement 2 hypothèses :
43

Table 3.3 – Synthèse des relations entre temps caractéristiques turbulents du
champ de vitesse.
τ u τ λ τ η
τ u 1 Re 1/2
L /√ 15 Re 1/2
√
L
−1/2
√
τ λ 15Re
L
1 15
τ η Re −1/2
L
1/ √ 15 1
– Hypothèse 1 : Aux petites échelles l ≪ L 11,1 , les moments statistiques
en deux points séparés par une distance r et en deux temps séparés par
un délai τ peuvent être exprimés au moyen des seules quantités ε, ν, r, τ.
– Hypothèse 2 : Aux petites échelles η ≪ l ≪ L 11,1 , les moments statistiques
en deux points séparés par une distance r et en deux temps séparés
par un délai τ peuvent être exprimés au moyen des seules quantités ε, r, τ.
La disparition de ν indique que ces échelles ne sont que très peu directement
affectées par la dissipation par effet Joule, et ne sont soumises qu’aux
effets non-linéaires représentés par ε.
On rappelle les dimensions
ν = [L 2 ][T −1 ], ε = [L 2 ][T −3 ] (3.37)
Ces hypothèses sont complétées par la célèbre hypothèse d’isotropie locale,
qui stipule que dans tout écoulement turbulent, si le nombre de Reynolds
est suffisamment grand, les plus petites échelles sont isotropes. Notons
que l’énoncé donné par Kolmogorov n’est pas constructif, au sens où il n’indique
pas de manière précise et quantitative le nombre de Reynolds à partir
duquel son hypothèse est valable ni quelle est la taille critique en dessous de
laquelle les échelles sont isotropes.
Forme du spectre d’énergie E(k)
La forme du spectre d’énergie cinétique fluctuante E(k) peut être déterminée
grâce aux hypothèses de Kolmogorov, par analyse dimensionnelle. On s’intéresse
ici aux formes autosimilaires du spectre, qui sont par définition les
formes telles qu’une unique échelle de longueur et une unique échelle
de vitesse suffisent pour définir E(k) à tous les nombres d’onde, et
cela pour tout temps.
Rappelons que
K(t) =
∫ +∞
La dimension du spectre est
0
E(k, t)dk,
ε(t) = 2ν
∫ +∞
0
k 2 E(k)dk (3.38)
E(k) = [L 3 ][T −2 ] (3.39)
44

d’où
E(k) =
{
K0 ε 2/3 k −5/3 f η (kη) k ≫ k L = π/L u
K 0 ε 2/3 k −5/3 k η = π/η ≫ k ≫ k L
(3.40)
où f η (ξ) est une fonction sans dimension de la variable sans dimension
ξ = kη, dont l’expression n’est pas donnée par la théorie de Kolmogorov 4 . Sa
détermination est aujourd’hui un problème de recherche ouvert. K 0 = 1, 5 ± 0, 1
est la constante de Kolmogorov. La zone décrite par cette fonction est celle des
échelles très fortement affectées par la dissipation, et est en conséquence appelée
zone dissipative du spectre. La région dans laquelle E(k) = ε 2/3 k −5/3 est appelée
zone inertielle. On rappelle que L u = K 3/2 /ε est une échelle intégrale
qui caractérise les échelles les plus énergétiques de l’écoulement et donc le maximum
de E(k) et que Re L ≡ √ KL u /ν. Notons que d’autres expressions sont
possibles, telles que
E(k) = ε 2/3 k −5/3 f η (kη) = (εν 5 ) 1/4 F (kη) = u 2 ηηF (kη) (3.41)
où F (kη) est une fonction sans dimension.
La théorie de Kolmogorov est une théorie asymptotique valide pour k ≫ 1,
qui ne dit rien sur la forme du spectre à très grande échelle, i.e. pour k −→ 0.
Aux très grandes échelles, des arguments théoriques (beaucoup plus complexes
que l’analyse dimensionnelle, et non discutés ici) et les observations indiquent
que
E(k) ∝ k s , k ≪ 1, s ∈ [1, 4] (3.42)
La détermination d’une forme complète du spectre reste un domaine de
recherche ouvert. De nombreux modèles ont été proposés depuis les années 1940
(voir les exemples donnés dans le tableau 3.4), qui peuvent tous être récrits sous
la forme générique :
E(k) = K 0 ε 2/3 k −5/3 f L (kL u )f η (kη) (3.43)
Les fonctions f L (kL u ) et f η (kη) pilotent respectivement la forme du spectre
aux très grandes et aux très petites échelles. Ces fonctions sont obtenues de
deux manières très différentes. La première consiste à interpoler des données
expérimentales. La seconde consiste à trouver des solutions analytiques de l’équation
d’évolution pour E(k) obtenue à partir de l’équation de Navier-Stokes (équation
de Lin (3.91)), dans laquelle le terme non-linéaire est remplacé par un modèle
plus simple qui permet une intégration analytique (ces modèles sont introduits
dans la section 3.4.5).
4. Il est à noter que la solution E(k) ∝ ε 2/3 k −5/3 découle de la théorie de Kolmogorov, mais
qu’elle n’a pas été formulée par Kolmogorov lui-même, mais par un de ses élèves, Obhoukov.
Cette solution a également été découverte deux autres fois de manières indépendantes par
Onsager (1945) et Von Weizsäcker (1948).
45

Les expressions de l’énergie cinétique turbulente K, de la dissipation ε et de
la palinstrophie P = 1 2 |∇ × (∇ × u′ )| 2 = ∫ +∞
k 4 E(k)dk en fonction de E(k)
0
permettent d’écrire les égalités ci-dessous 5 :
∫ +∞
0
∫ +∞
0
∫ +∞
0
x −5/3−β X (xRe −3/4
L
)dx = 1 (3.44)
x 1/3−β Re −3β/4
L
X (x)dx = 1 2
x 7/3−β Re −3β/4
L
X (x)dx = − 7S 3
12 √ 15
où le spectre compensé est défini comme
(3.45)
(3.46)
X (kη) ≡ E(k)k 5/3 ε −2/3 (kL u ) −β = K 0 f L (kηRe 3/4
L )f η(kη) (3.47)
et où S 3 est le coefficient d’asymétrie des gradients de vitesse :
S 3 ≡ − ((∂u/∂x) (∂u/∂x)3
) 3/2
(3.48)
2
qui est supposé suivre un comportement asymptotique universel pour les
écoulements turbulents isotropes à grand nombre de Reynolds de la forme S 3 =
−0, 25Re −9/64
λ
.
Des contraintes asymptotiques 6 de raccordement entre les différentes zones
du spectre d’énergie peuvent être imposées :
lim f L(kL u ) = 0,
k→0
lim f L(kL u ) = 1 (3.49)
k→+∞
lim f η(kη) = 1,
k→0
lim f η(kη) = 0 (3.50)
k→+∞
On peut ensuite considérer que le champ de vitesse est régulier, au sens où
ses dérivées en espace d’ordre quelconque restent finies, ce qui implique
et donc notamment
∫ +∞
0
∫ +∞
0
k p E(k)dk < +∞ ∀p ≥ 0 (3.51)
x p f η (x)dx < +∞ ∀p ≥ 0 (3.52)
5. Il faut prendre β = 0 pour les modèles présentés dans le tableau 3.4 autres que le modèle
Meyers-Meneveau.
6. Ces contraintes sont pertinentes lorsque qu’on peut identifier les 3 parties du spectre -
zones à très grande échelle, zone inertielle et zone dissipative - de manière claire, donc à très
grand nombre de Reynolds.
46

Figure 3.5 – Formes de E(k) obtenues dans différentes campagnes de mesure,
dans des écoulements très divers (couche limite, turbulence de grille, canaux,
...). On observe l’existence de la zone inertielle E(k) ∝ k −5/3 lorsque Re est
suffisamment grand, et que l’étendue de la zone inertielle dépend de Re. Tiré
de [20]
On en déduit donc que f η (x) est une fonction à décroissance rapide.
La forme du spectre prévue par l’analyse de Kolmogorov est observée dans
de très nombreux écoulements, si le nombre de Reynolds est suffisamment grand
(voir figure 3.5), ce qui indique que l’hypothèse d’isotropie locale est (au moins
partiellement) valide.
Forme du spectre de variance E T (k)
Tout comme le calcul des échelles caractéristiques du champ de scalaire passif,
celui des formes possibles du spectre de variance requiert de considérer plusieurs
cas suivant la valeur du nombre de Prandtl P r. Dans tout ce qui suit, on
fait l’hypothèse que le nombre de Reynolds est suffisamment grand pour que la
turbulence soit développée, que les hypothèses de Kolmogorov soient valides et
que E(k) présente une zone inertielle significative. Les résultats obtenus dans
47

Table 3.4 – Fonctions de forme du spectre d’énergie cinétique à grande (f L ) et
petite échelle (f η ). On désigne par s la pente du spectre à très grande échelle :
E(k) ∝ k s , (kL) ≪ 1. Les modèles obtenus par intégration analytique d’une
équation d’évolution pour E(k) sont repérés par une astérisque.
Nom f L (x), x = kL u f η (x), x = kη
( ) 5/3+s
x
Pope (2000)
√ exp ( −β([x 4 + c 4 η] 1/4 − c η ) )
x2 + c L
Meyers &
c L ∼ 6, 78 c η ∼ 0, 4 β ∼ 5, 2
(
) 5/3+β+s (
x
x −β 1 + α )
2(x/α 4 ) α3
exp(−α
(x p + α 5 ) 1/p 1 x)
1 + α 2 (x/α 4 ) α3
Meneveau (2007) β = µ/9, µ = 0.25, p = 1, 5
Pao (1965) ∗ (
1 + 3K 0
ˆl2/3 =
2 (kˆl) −2/3 ) −(3s+5)/2
exp
ˆl
2/3
0 +
Kovasznay (1948) ∗ -
Heisenberg (1948) ∗ -
Bass (1949) ∗
Chandrasekhar (1949) ∗
Goldstein (1951) ∗
∫ t
0
ε(t ′ )dt ′
(
− 3K 0
2 x4/3 )
{ ( ) 1 − αx
4/3 2
x < 1, α = (2K 0 ) −1/3
0 sinon
⎧ ( (
⎨ 8
1 +
⎩
3αH
2 − 1 ) ) −4/3
m 4 αx 4 x < m
0 sinon
1 + x 2/3) exp
(−5, 4x 4/3)
1, 19
(
Qian (1984) -
K 0
Saffman (1963) - exp ( −2x 2)
Manley (1992) - exp (−a m x m ) , a m =
( 2
m K 0Γ(4/3m)
Kraichnan (1959) - Ax γ exp (−βx)
A = 6, 3 ± 2 ou 8, 4 ± 0, 6
γ = −1, 6 ± 0, 2, β = 4, 9 ± 0, 4
Kaneda (2005) - Ax γ exp (−βx)
A = 0, 038 + 23, 5Re −0,42
λ
γ = −2, 9 + 7, 2Re −0,47
λ
β = 0, 62 + 9, 3Re −0,19
λ
) 3m/4
48

ce qui suit sont illustrés sur la figure 3.6.
On rappelle les relations générales
K T (t) =
∫ +∞
0
E T (ξ, t)dξ,
ε T (t) = 2κ
∫ +∞
0
k 2 E T (ξ)dξ (3.53)
Tout d’abord, aux très grandes échelles (k ≪ 1), le champ de scalaire passif
étant par définition entièrement piloté par le champ de vitesse, E T (k) admet le
même comportement asymptotique que E(k), et l’on a
E T (k) ∝ k α , k ≪ 1, α ∈ [1, 4] (3.54)
Ensuite, on considère les échelles qui correspondent à la zone inertielle de
E(k). Dans cette région, l’analyse dimensionnelle montre que E T = E T (k, ε, ν, κ, ε T ).
La forme classiquement retenue est
E T (k) = c β ε T ε −1/3 k −5/3 f κ (kη, P r) (3.55)
où la fonction de forme sans dimension f κ (kη, P r) décrit la zone dissipative
du spectre de scalaire. La constante de Corrsin-Oboukhov est évaluée comme
c β ∈ [1/2, 2/3]
Analysons maintenant les différentes formes possibles. Nous allons voir que
plusieurs solutions sont déduites, suivant la valeur de P r.
– Zone inertio-convective. Si κ est suffisamment petit, il existe des échelles
contenues dans la zone inertielle de E(k) pour lesquelles les fluctuations
scalaires sont peu sensibles aux effets diffusifs, et sont principalement pilotées
par l’advection. Dans cette portion du spectre, il est légitime d’écrire
E T = E T (k, ε, ε T ) en utilisant la deuxième hypothèse de Kolmogorov, et
on obtient :
E T (k) = c β ε T ε −1/3 k −5/3 (3.56)
Cette solution a été proposée indépendamment par Corrsin en 1951 et
Oboukhov en 1949.
– Zone inertio-diffusive (P r ≪ 1). Dans ce cas, il existe des modes k
tels que kη T ≥ 1 et kη ≪ 1. Pour ces échelles, les fluctuations de vitesse
appartiennent à la zone inertielle de E(k) et sont peu affectées par les effets
visqueux, alors que les fluctuations de scalaire sont soumises à des effets
diffusifs très intenses. Pour déterminer la forme adéquate de f κ (kη, P r),
faisons l’hypothèse que nous sommes dans une situation d’équilibre de
type ”production = dissipation”, et considérons la densité spectrale de
flux de variance de scalaire au nombre d’onde k, T T (k). Cette quantité
est telle que, en l’absence de source extérieure de scalaire, l’évolution de
E T (k) est régie par
( ∂
∂t + 2κk2 )
E T (k) = T T (k) (3.57)
49

Ce terme représente donc les mécanismes physiques à l’origine de l’existence
d’une cascade de variance de scalaire, similaire à celle déjà évoquée
concernant l’énergie cinétique fluctuante.
Dans une situation d’équilibre, le flux de variance, qui peut être estimé
comme étant égal à kT T (k), est constant à travers les échelles, ce qui
permet d’égaliser ce flux avec le taux de production de variance matérialisé
par le terme II de l’équation 2.67. L’analyse dimensionnelle conduit à
¯T ≃ √ k 1 E T (k 1 ) −→ ∂ ¯T √ √
≃ k 1 k1 E T (k 1 ) = k1 3 ∂x E T (k 1 ) (3.58)
j
où k 1 est le nombre d’onde associé aux variations spatiales de ¯T . Pour
le terme u ′ i T ′ , un analyse dimensionnelle similaire est employée, et l’on
obtient
u ′ i ≃ √ k 2 E(k 2 ), T ′ ≃ √ k 2 E T (k 2 ) −→ −u ′ i T ′ ≃ √ k 2 E(k 2 ) √ k 2 E T (k 2 )
(3.59)
où k 2 est le nombre d’onde représentatif des fluctuations, ce qui conduit à
√
kT T (k) ≃ k1 3E T (k 1 ) √ k 2 E(k 2 ) √ k 2 E T (k 2 ) ≈ Ck 2 E T (k) √ kE(k)
(3.60)
où C est une constante, et où on a simplifié l’analyse en posant k 1 = k 2 =
k. Dans la zone inertio-conductive, le flux kT T (k) est progressivement
amorti par les effets diffusifs, ce qui s’exprime comme
d
dk (kT T (k)) = −2κk 2 E T (k) (3.61)
En tenant compte que, dans la zone inertielle, E(k) = K 0 ε 2/3 k −5/3 et
donc que T T (k) = C √ K 0 ε 1/3 k 2/3 E T (k), l’équation 3.61 peut être intégrée
analytiquement. La solution est de la forme :
E T (k) = c β ε T ε −1/3 k −5/3 e − 3 2 (kη T ) 4/3 , c β = (C √ K 0 ) −1 (3.62)
– Zone visco-convective (P r ≫ 1). Cette zone est celle des échelles pour
lesquelles kη ≥ 1 et kη T ≪ 1. Les fluctuations de vitesse sont très fortement
amorties par les effets visqueux, alors que la diffusion n’affecte pas les
fluctuations de scalaire. L’agitation du champ scalaire est donc régie par
des cisaillements de vitesse de l’ordre de √ ε/ν. L’analyse dimensionnelle
dit alors que E T = E T (k, ε T , √ ε/ν), et donc
E T (k) = c β ε T
√
ν/εk
−1
(3.63)
Cette solution a été proposée pour la première fois par Batchelor en 1959,
et a été confirmée expérimentalement en 1963.
50

Figure 3.6 – Formes de E T (k) pour les différents régimes pilotés par le nombre
de Prandtl (Attention : ici σ désigne le nombre de Prandtl, et E T (k) est noté
E θ (k)). Tiré de [24]
– Zone visco-diffusive (P r ≫ 1). Pour les grands nombres d’onde, il
existe une région dans laquelle les effets dissipatifs sont importants sur
le champ de vitesse en même temps que les fluctuations de scalaire sont
amorties par les effets diffusifs. La forme du spectre est trouvée en faisant
l’hypothèse que le flux de variance est équilibré par la dissipation, soit
(kT T (k)) = ε T . On peut alors généraliser la solution 3.63 en écrivant
E T (k) = c β (kT T (k)) √ ν/εk −1 (3.64)
En substituant cette expression de E T (k) au second membre de 3.61, on
obtient la solution
E T (k) = c β ε T
√
ν/εk −1 e −c β(kη T ) 2 (3.65)
Comme pour le spectre d’énergie cinétique, des modèles complets pour le
spectre de variance. Ils sont de la forme
avec
E T (k) = c β ε T ε −3/4 ν 5/4 (kη) −β(kη) f L (kL u )f B (kη) (3.66)
51

β(x) = 1 + 2 3 (7 − 6f D(x)) f η (x) (3.67)
où les fonctions d’amortissement f L (kL u ) et f η (kη) de E(k) sont à choisir
dans le tableau 3.4, et
f D (x) =
(
) (
)
1 + c D P r −d(x)/2 x exp −c D P r −d(x)/2 x , d(x) = 1 2 + 1 4 f η(x)
(3.68)
Cette définition assure que l’exposant β vaut 5/3 dans la zone inertioconvective,
1 dans la zone visco-convective. Entre les deux, la vakeur de β dépend
de P r, et prend la valeur 17/3 lorsque P r ≪ 1. La fonction d(x) est choisie de
manière à reproduire la bosse observée en fin de zone inertio-convective pour
0, 1 ≤ P r ≤ 1. Plusieurs solutions ont été proposées pour la fonction d’amortissement
diffusif associée à l’échelle de Batchelor η T :
f B (x) =
{ exp(−cD P r −2d(x) x 2 ) (Batchelor)
(1 + c D P r −d(x) x) exp(−c D P r −d(x) x) (Kraichnan)
(3.69)
La valeur du paramètre c D peut être fixée de manière à vérifier la relation
intégrale
∫ +∞
0
(kη) 2−β(kη) f L (kL u )f B (kη)d(kη) = P r
2c β
(3.70)
Cette relation montre que c D varie en fonction du nombre de Reynolds et
du nombre de Prandtl.
Cette expression montre également que, même pour P r = 1, E T (k) et E(k)
ne se supperposent pas aux petites échelles.
3.3 Analyse de la décroissance par la méthode
de Comte-Bellot et Corrsin
Quels sont les paramètres qui régissent la décroissance de l’énergie cinétique
et de la variance de scalaire ? Ou, plus précisément, quelles sont les échelles ou
les paramètres des spectres E(k) et E T (k) qui déterminent les exposants de
décroissance dans les lois expérimentales K(t) ∝ t −n et K T (t) ∝ t −n T
?
Pour répondre à cette question, nous allons utiliser l’approche développée
par G. Comte-Bellot et S. Corrsin en 1966, et reprise par Saffman en 1967.
La méthode consiste à se munir d’une forme analytique (simplifiée !) de chaque
spectre puis, par analyse dimensionnelle, de déduire les exposants de décroissance.
Cette méthode ne repose donc pas sur la résolution des équations constitutives
de la mécanique des fluides. Le lien avec celles-ci réside dans le choix des formes
des spectres, qui sont supposés être des modèles représentatifs de ceux des vraies
solutions des équations de Navier-Stokes.
52

3.3.1 Evolution du champ de vitesse
Analyse à grand nombre de Reynolds
Commençons par l’étude de l’énergie cinétique fluctuante.
La forme du spectre retenue est :
{ Ak
s
kL(t) ≤ 1, 1 ≤ s ≤ 4
E(k, t) =
K 0 ε 2/3 k −5/3 kL(t) ≥ 1
(3.71)
où A = [L] s+3 [T ] −2 est un paramètre supposé constant. L’échelle L(t) est
associée à l’échelle intégrale (par exemple, on peut prendre L(t) = L u (t) ∝
L 11,1 (t)), et caractérise le pic du spectre d’énergie cinétique. L’analyse dimensionnelle
montre que
dL
dt ∝ A1/2 L −(s+1)/2 =⇒ L(t) ∝ (t − t 0 ) 2/(3+s) (3.72)
Toujours par analyse dimensionnelle, on trouve
ε = [A] 3/2 [L] −3(s+5/3)/2 =⇒ ε(t) ∝ (t − t 0 ) −3(s+5/3)/(3+s) (3.73)
L’énergie cinétique K(t) peut ensuite être obtenue par intégration analytique
du spectre. Une méthode moins fastidieuse consiste à approcher K(t) au moyen
de l’énergie contenue dans le pic du spectre 7 :
K(t) ∼ 1
L(t) E(1/L(t)) = 1 ( ) −5/3 1
L(t) ε2/3 (t)
∝ (t − t 0 ) −2(s+1)/(3+s)
L(t)
(3.74)
Les résultats ainsi obtenus sont regroupés dans le tableau 3.5.
Table 3.5 – Exposants des lois d’évolution obtenus par analyse dimensionnelle,
suivant la méthode de Comte-Bellot et Corrsin.K : énergie cinétique turbulente ;
ε : taux de dissipation ; L : échelle intégrale ; Re L = √ 2K/3L/ν = K 2 /εν ; λ :
Taylor microscale ; Re λ = √ 2K/3λ/ν = √ 20/3 √ Re L
Cas K ε L Re L λ Re λ
grand Reynolds −2 s + 1 −3 s + 5/3 2 1 − s 1 1 − s
s + 3 s + 3 s + 3 σ + 3 2 2(s + 3)
petit Reynolds − s + 1 − s + 3 3 − s 1 − s 1 1 − s
2 2 2 2 2 4
Plusieurs commentaires peuvent être faits au vu de ces solutions :
7. Une autre solution consiste à utiliser la relation
ε(t) = − dK(t) =⇒ K(t) ∝ tε(t)
dt
53

– L’énergie cinétique et la dissipation décroissent de manière monotone.
– L’échelle intégrale croit au cours du temps, ce qui implique que le pic du
spectre se déplace vers les petits nombres d’onde. Ceci n’indique pas que
des échelles plus grandes deviennent plus énergétiques, mais seulement que
les petites, du fait de la dissipation, ont de moins en moins de poids dans
le calcul de L(t).
– La dynamique de la solution est paramétrée par s, ce qui indique que
ce sont les très grandes échelles qui pilotent la décroissance, ce qui peut
paraître paradoxal, la dissipation étant localisée aux grands nombres d’onde.
Pour comprendre cela, il faut garder en mémoire que l’énergie cinétique
est contenue dans les grandes échelles, qui alimentent les petites qui sont
sujettes à la dissipation par le mécanisme de cascade d’énergie. Le pilotage
de la dissipation vient donc de celui du taux auquel l’énergie est transférée
aux échelles dissipatives.
Tous ces comportements sont en accord avec les résultats présentés précédemment.
La décroissance la plus rapide est enregistrée pour s = 4. Le nombre de Reynolds
turbulent évolue comme :
Re L = L(t)√ 2/3 K(t)
∝ (t − t 0 ) (1−s)/(3+s) (3.75)
ν
Il décroit dans tous les cas sauf s = 1, pour lequel il est constant, la
décroissance de K(t) étant compensée par la croissance de L(t).
Cette analyse simplifiée permet également de prévoir l’effet de saturation,
qui apparait lorsque L(t) atteint la taille du domaine de calcul ou le diamètre
de la soufflerie. Sa croissance est alors bloquée et L(t) devient indépendante
du temps. Ce cas de figure, rencontré assez souvent en pratique, correspond à
s = +∞ dans notre modèle. On a alors
L(t) = Cste, K(t) ∝ (t − t 0 ) −2 , Re L ∝ (t − t 0 ) −1 (3.76)
On peut donc assister, au cours d’un expérience, à une bifurcation de la dynamique
de la solution depuis la dynamique libre vers la dynamique saturée, ce
qui peut induire des conclusions erronnées. Les comportements prévus par l’analyse
de Comte-Bellot et Corrsin pour différentes valeurs de s sont récapitulées
dans le tableau 3.6. On observe une très bonne cohérence avec les résultats de la
figure 3.1 (pour la partie de l’évolution obtenue à grand nombre de Reynolds).
Analyse à petit nombre de Reynolds
L’analyse ci-dessus portait sur le comportement à grand nombre de Reynolds,
A très petit nombre de Reynolds, l’analyse est beaucoup plus simple,
puisque l’évolution est pilotée par des effets linéaires. En négligeant complètement
les effets inertiels, on peut écrire de manière exacte :
E(k, t) = E(k, 0)e −2νk2 t
(3.77)
54

Table 3.6 – Comportements prévus par l’analyse dimensionnelle à grand
nombre de Reynolds
s = 1 s = 2 s = 3 s = 4 s = +∞
K(t) ∝ t −1 ∝ t −6/5 ∝ t −4/3 ∝ t −10/7 ∝ t −2
ε(t) ∝ t −2 ∝ t −11/5 ∝ t −7/3 ∝ t −17/7 ∝ t −3
L(t) ∝ t 1/2 ∝ t 2/5 ∝ t 1/3 ∝ t 2/7 Cste
Re L (t) Cste ∝ t −1/5 ∝ t −1/3 ∝ t −3/7 ∝ t −1
Du fait du très fort amortissement des petites échelles dans ce régime (on
n’observe pas de zone inertielle, mais uniquement une zone dissipative avec un
spectre exponentiellement décroissant en nombre d’onde), l’énergie cinétique
peut être estimée à partir de la contribution des seules grandes échelles :
K(t) ∼
∫ 1/L(t)
0
Ak s dk (3.78)
L’échelle L(t) varie en temps sous l’effet de l’amortissement visqueux. Une
analyse dimensionnelle simple permet d’écrire L(t) = γ √ νt, où γ est un paramètre
sans dimension 8 , ce qui conduit à
K(t) ∼
∫ 1/(γ
√
νt)
0
Ak s dk =
Au final, on obtient les lois d’évolution ci-dessous
A ( ) (s+1)/2 1
s + 1 γ √ t −(s+1)/2 (3.79)
ν
K(t) ∝ t −(s+1)/2 , ε(t) ∝ t −(s+3)/2 , L(t) ∝ t (3−s)/4 , Re L (t) ∝ t (1−s)/2
(3.80)
Une synthèse est présentée dans le tableau 3.5.
Les valeurs associées pour quelques valeurs de s sont données dans le tableau
3.7. Les prévisions sont encore une fois très cohérentes avec les observations faites
sur la figure 3.1, notamment pour les deux comportements extrêmes associés à
s = 1 et s = 4. On remarque que les valeurs de l’exposant pour K à bas Reynolds
sont proches de celles à grand Reynolds dans le cas saturé, ce qui indique que
beaucoup de précautions doivent être prises pour observer expérimentalement
le régime bas Reynolds.
3.3.2 Evolution du champ de scalaire
On répète l’analyse pour étudier l’évolution de K T . Le spectre simplifié ne
tient compte que de la zone inertio-convective :
8. On reconnaît ici en √ νt la variable de similitude qui apparaît classiquement lors de
l’analyse dimensionnelle des problèmes diffusifs.
55

Table 3.7 – Comportements prévus par l’analyse dimensionnelle à très petit
nombre de Reynolds
s = 1 s = 2 s = 3 s = 4
K(t) ∝ t −1 ∝ t −3/2 ∝ t −2 ∝ t −5/2
ε(t) ∝ t −2 ∝ t −5/2 ∝ t −3 ∝ t −7/2
L(t) ∝ t 1/2 ∝ t 1/4 Cste ∝ t −1/4
Re L (t) Cste ∝ t −1/2 ∝ t −1 ∝ t −3/2
{
AT k
E T (k, t) =
p kL(t) ≤ 1, 1 ≤ s ≤ 4
c β ε −1/3 εk −5/3 kL(t) ≥ 1
(3.81)
où c β est la constante de Corrsin-Oboukhov et A T = [θ] 2 [L] 1+p est supposé
constant. L’échelle intégrale L(t) est celle discutée précédemment pour le champ
de vitesse, et elle évolue selon 3.72. La continuité du spectre en kL(t) = 1
implique
A T = ε 1/3 ε T (1/L(t)) −(3p+5)/3 (3.82)
En tenant compte de la relation 3.73, la seule solution pour assurer que A T
ne dépende pas du temps est que
ε T ∝ (t − t 0 ) −(s+2p+5)/(3+s) (3.83)
En utilisant la relation 3.5, on trouve immédiatement
K T ∝ (t − t 0 ) −2(p+1)/(3+s) (3.84)
On observe que la dynamique du scalaire est pilotée par les pentes aux
grandes échelles de E(k) et de E T (k). Le fait que les relations 3.83 et 3.84
impliquent à la fois p et s montre qu’un grand nombre de situations différentes
peuvent être envisagées pour cet écoulement ”simple”, et soulève la question de
la bonne connaissance et du contrôle de ces paramètres lors des expériences en
laboratoire et des simulations numériques.
On peut, grâce aux résultats précédents, comparer la dynamique de la variance
du scalaire et celle de l’énergie cinétique. En évaluant les temps caractéristiques
des cascades d’énergie et de variance de scalaire respectivement
comme K/ε et K T /ε T , on obtient, pour le rapport de ces deux temps caractéristiques
:
R c = K ε
ε T
= s + 1
K T p + 1
(3.85)
On peut donc accélérer ou retarder la dynamique de k T par rapport à celle
de k en jouant sur p. On retrouve le résultat intuitif qui est que, pour p = s,
56

la dynamique du scalaire passif a le même temps caractéristique que l’énergie
cinétique.
3.4 Analyse spectrale et cascade d’énergie cinétique
On a vu précédemment que la dynamique des écoulements turbulents est
caractérisée par l’existence de cascades d’énergie cinétique fluctuante et de variance
du scalaire passif. Nous nous restreindrons dans ce qui suit par souci de
brièveté à l’étude de la cascade d’énergie, puisqu’elle est le phénomène moteur
qui engendre la cascade de variance de scalaire.
3.4.1 Equations de Navier-Stokes dans l’espace de Fourier
Equations et projection
Les résultats présentés plus haut portent sur les cascades d’énergie cinétique
et de variance. Elles les décrivent et les analysent, mais ne les expliquent pas,
au sens où elles n’indiquent pas pourquoi elles existent. Une analyse qui aurait
la valeur épistémologique d’une explication causale doit donc, partant des
équations de Navier-Stokes, prévoir l’existence de ces mécanismes.
Peu de théories possèdent une telle valeur explicative. L’une des plus abouties
est celle proposée par Waleffe en 1992, qui sera abordée à la fin de ce chapitre.
Les mécanismes de cascade sont des mécanismes de transfert entre échelles
par effets non-visqueux. Aussi est-il préférable, pour les étudier, de récrire les
équations de Navier-Stokes dans l’espace de Fourier, et d’obtenir ainsi une description
qui donne directement des informations sur la dynamique à chaque
échelle.
En appliquant la transformée de Fourier en espace aux équations 1.1 et 1.2,
il vient pour le mode û(k, t) :
∂
+ ık l û j (p, t)û l (q, t)dp = −ık j ˆp − νk
∫p+q=k
2 û j (3.86)
∂tûj
û j k j = 0 = k · û(k, t) (3.87)
où ı 2 = −1. L’équation de conservation de la masse 3.87 montre que la
contrainte d’incompressibilité se résume, dans l’espace spectral, à la contrainte
géométrique û(k, t) ⊥ k. Le champ de vitesse û(k, t) est donc restreint au plan
orthogonal au vecteur d’onde k, ce qui a plusieurs conséquences :
– La pression n’est pas une vraie variable physique indépendante. Son seul
rôle, qui consiste à maintenir l’incompressibilité, est de projeter le vecteur
vitesse sur le plan perpendiculaire à k. En conséquence, il est possible de
récrire les équations de quantité de mouvement en supprimant la pression
si on les projette sur le plan perpendiculaire à k. L’examen de 3.86 montre
que seul le terme convectif peut rompre l’incompressibilité en créant une
composante de û(k, t) qui soit parallèle à k. Il suffira donc en pratique de
57

projeter ce seul terme pour obtenir des équations de quantité de mouvement
restreintes au plan perpendiculaire à k.
– Dans le plan perpendiculaire à k, il suffit de 2 composantes dans un repère
local adéquat pour décrire le champ de vitesse turbulent. On voit ici qu’il
est possible, en récrivant les équations du mouvement dans un tel repère,
d’obtenir une réduction drastique de la complexité du problème : on passe
de 4 scalaires pour (u, p) à 2 scalaires.
L’examen du terme non-linéaire issu du terme de convection 3.86 montre
que les équations de Navier-Stokes engendrent des interactions triadiques :
une triade de modes de Fourier (û(k, t), û(p, t), û(q, t)) est mise en jeu. On voit
également que seules les triades telles que p + q = k contribuent à la dynamique
de û(k, t).
L’équation projetée dans le plan ⊥ k obtenue après calcul est
avec
∫
∂
+ νk 2 û j = −ıP jlm (k) û l (p, t)û m (q, t)dp
∂tûj p+q=k
} {{ }
s j(k,t)
(3.88)
P ijl (k) = 1 2 (P ij(k)k l + P il (k)k j ) , P ij (k) =
(
δ ij − k )
ik j
k 2
(3.89)
où l’on reconnaît en P ij (k) l’opérateur de projection sur le plan perpendiculaire
à k : P (k)v ⊥ k, ∀v.
Equation de Lin pour E(k)
La dynamique du spectre d’énergie E(k) peut être étudiée en composant
l’équation d’évolution associée à partir de 3.88. Cette équation, démontrée par
Lin et publiée par Lin et von Karman en 1949, est obtenue en rappelant que
le tenseur spectral défini par 2.71 peut également être calculé au moyen de la
relation :
Φ ij (k, t)δ(k − p) = û ∗ i (p, t)û j(k, t) (3.90)
où φ ∗ est le complexe conjugué de φ. En combinant cette relation et 3.86, il
vient
∂
∂t E(k, t) + 2νk2 E(k, t) = T (k, t) (3.91)
où les effets non-linéaires convectifs et de pression sont représentés par la
densité spectrale de flux d’énergie cinétique fluctuante T (k, t), qui est
le bilan net des transferts d’énergie cinétique entre le mode k et tous les autres
modes via les interactions triadiques. On note que T (k, t) = [L] 3 [T ] −3 .Après
calcul, on trouve
58

1.5
K T NL (K)
1.5
K T NL (K)
1
2!K 3 E(K)
1
2!K 3 E(K)
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
K
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7
K
Figure 3.7 – Profils des termes de transfert spectral kT (k, t) et de dissipation
2νk 3 E(k) à Re = 30 (gauche) et Re = 10 5 (droite). On observe qu’une région
où T (k, t) = 0 est tout juste discernable dans le cas à grand Reynolds. On a
également superposé le spectre de dissipation. Les quantités sont prémultipliées
par k pour avoir directement accès à la contribution à l’intégrale de chaque
nombre d’onde. Tiré de [22]
T (k, t) = πk 2 (û ∗ i (k, t)s i(k, t) + û i (k, t)s ∗ i (k, t)) (3.92)
Le profil de T (k, t) à grand et petit nombre de Reynolds est montré sur la
figure 3.7. Si T (k, t) = 0, le mode k distribue autant d’énergie qu’il en reçoit.
Si T (k, t) < 0, le mode k perd plus d’énergie qu’il n’en reçoit, et une solution
d’équilibre stationnaire à cette échelle n’est possible que si ce deficit est contrebalancé
par un terme de production d’énergie cinétique. C’est intuitivement ce
que l’on attend pour les grandes échelles situées dans la zone de production du
spectre. Enfin, si T (k, t) > 0, le mode k gagne plus d’énergie qu’il n’en perd,
et une solution d’équilibre stationnaire à cette échelle n’est possible que si ce
surplus est contrebalancé par la dissipation 2νk 2 E(k, t). C’est typiquement la
situation des petites échelles situées au-delà de la zone inertielle du spectre.
Conservation globale de l’énergie cinétique
En intégrant 3.91, il vient
∂
∂t
∫ +∞
0
∫ +∞
E(k, t)dk + 2ν k 2 E(k, t)dk =
}
0
{{ }
ε
Par identification avec la relation 3.4, on voit que
∫ +∞
0
∫ +∞
0
T (k, t)dk (3.93)
T (k, t)dk = 0 (3.94)
59

Physiquement, cette relation indique que les interactions triadiques ne font que
répartir l’énergie cinétique fluctuante entre les différents modes, sans en créer ou
en détruire. Elle traduit la propriété connue de conservation d’énergie cinétique
pour les écoulements de fluide parfait. Elle est connue sous le nom de propriété
de conservation globale de l’énergie cinétique.
Analyse dimensionnelle et estimation de la cascade d’énergie
Le mécanisme de cascade d’énergie cinétique, qui est dû au terme de transfert
T (k, t), peut être estimé au moyen de l’analyse dimensionnelle.
Considérons le nombre d’onde k. La longueur caractéristique déduite est
l k = 1/k. L’énergie cinétique associée est u 2 k
= kE(k), et donc la vitesse caractéristique
correspondante est u k = √ kE(k). Le temps caractéristique de
cette échelle est t k = l k /u k = 1/ √ k 3 E(k), qui est également une évaluation du
gradient de vitesse ou de la vorticité à cette échelle. Le nombre de Reynolds
local est donné par Re k = l k u k /ν = t k /k 2 ν = √ k −1 E(k)/ν.
Le mode k reçoit donc son énergie u 2 k
en un temps t k. Le flux spectral
d’énergie peut donc être estimé comme
(kT (k, t)) ≈ u 2 k/t k = k 5/2 E 3/2 (k, t) (3.95)
Dans la zone inertielle du spectre où E(k) ∝ ε 2/3 k −5/3 , on retrouve la relation
attendue (kT (k, t)) = ε = cste. Le temps caractéristique t k devient alors :
( ) 2π
t k = (εk 2 ) −1/3 ∝ τ u (3.96)
kL u
où L u et τ u sont les échelles intégrales d’espace et de temps associées au
grandes échelles énergétiques (voir Tableau 3.1). Cette dernière relation montre
que le temps caractéristique de cascade, également interprété comme la durée de
vie des structures à l’échelle considérée, est une fonction décroissante du nombre
d’onde. A grand nombre de Reynolds, les très petites structures évoluent donc
beaucoup plus vite que les très grandes et peuvent être considérées comme
relaxant instantanément vers des états d’équilibre (par rapport aux grandes
structures). De ce fait, on utilise souvent l’hypothèse que le temps de relaxation
d’une écoulement turbulent est celui des grandes structures, τ u , puisque les
grandes échelles ont la dynamique la plus lente.
Notons qu’une autre estimation du temps caractéristique t k est possible, en
utilisant E(k, t) et T (k, t) :
t k =
E(k, t)
T (k, t)
(3.97)
3.4.2 Repères locaux : Craya-Herring, modes hélicoïdaux
Nous allons maintenant exprimer les équations de quantité de mouvement
dans un repère local associé au plan perpendiculaire à k, de manière à tirer
partie de la réduction de la dimension du problème évoquée précédemment.
60

Figure 3.8 – Vecteurs de la base de Craya dans l’espace spectral. Ici, on a pris
n = e z .
Une base ”naturelle” est celle proposée par Craya (1958) et Herring. Les
vecteurs de la base de Craya-Herring sont (voire figure 3.8)
e (1) = k × n
|k × n| , e(2) = e (3) × e (1) , e (3) = k
|k|
(3.98)
où n est un vecteur arbitrairement choisi. Le plan ⊥ k est engendré par
(e (1) , e (2) ). Il est toutefois possible de trouver des vecteurs de base plus judicieux,
comme ceux de la base hélicoïdale, utilisée par Cambon en 1982 et
par de nombreux chercheurs par la suite. Elle est construite à partir du vecteur
complexe N(k) :
N(k) = e (2) (k) − ıe (1) (k) (3.99)
La décomposition hélicoïdale du champ de vitesse s’écrit :
û(k, t) = ξ + (k, t)N(k) + ξ − (k, t)N(−k) (3.100)
où ξ s , s = ± sont les coefficients de la décomposition dans cette base.
L’énergie cinétique e(k) portée par le vecteur d’onde k s’écrit :
e(k) ≡ 1 2û(k) · û∗ (k) = 1 2 ξ s(k, t)ξ ∗ s (k, t), s = ± (3.101)
Le vecteur N(k) est tel que N(−k) = N ∗ (k), et on a de plus la propriété :
ık × N = kN(k) (3.102)
61

ce qui montre que N(k)e ık·x et son conjugué sont les modes propres de
de l’opérateur rotationnel. Ceci permet d’obtenir une expression simple de la
vorticité sur cette même base :
ˆω(k, t) = k (ξ + (k, t)N(k) − ξ − (k, t)N(−k)) (3.103)
1
En introduisant ξ s (k, t) = 2û(k, t) · N(−sk), où s = ±, et en insérant la
décomposition hélicoïdale dans la relation 3.88, on obtient (après quelques calculs
!) l’expression de l’équation de quantité de mouvement dans cette base (on
omet par souci de simplicité les termes visqueux linéaires, qui ne jouent pas de
rôle dans la cascade turbulente) :
∂
∂t ξ s(k, t) =
avec
∑
s ′ ,s ′′ =±
∫
p+q+k=0
(s ′ p − s ′′ q)K(sk, s ′ p, s ′′ q)
} {{ }
ξs ∗ ′(p, t)ξ∗ s ′′(q, t)
} {{ }
dp
= M ss′ s ′′(k, p) facteur d’amplitude
facteur géométrique
(3.104)
K(sk, s ′ p, s ′′ q) = 3 2 N(−sk) · [N(−s′ p) × N(−s ′′ q)] (3.105)
Cette équation fait bien apparaître les interactions triadiques, comme la
formulation originale. Mais la structure du terme non-linéaire est ici très riche en
enseignements, puisqu’il apparaît comme le produit d’un terme géométrique et
d’un terme d’amplitude. Le terme géométrique ne fait intervenir que N(k), k, p, q
et reflète la structure des équations de Navier-Stokes, et est indépendant d’une
réalisation particulière de l’écoulement. Le terme d’amplitude reflète l’amplitude
des modes hélicoïdaux mis en jeu dans l’interaction triadique, et caractérise donc
chaque écoulement.
3.4.3 Quantités invariantes : conservation globale, conservation
détaillée
La relation 3.104 permet d’identifier les quantités conservées par les interactions
triadiques, c’est-à-dire les quantités invariantes par la cascade d’énergie.
Pour cela, écrivons l’équation de conservation de quantité de mouvement pour
une triade (k, p, q) isolée :
∂
∂t ξ s(k, t) = (s ′ p − s ′′ q)K(sk, s ′ p, s ′′ q)ξs ∗ ′(p, t)ξ∗ s ′′(q, t) (3.106)
∂
∂t ξ s ′(p, t) = (s′′ q − sk)K(sk, s ′ p, s ′′ q)ξs ∗ (k, t)ξs ∗ ′′(q, t) (3.107)
∂
∂t ξ s ′′(q, t) = (sk − s′ p)K(sk, s ′ p, s ′′ q)ξs ∗ (k, t)ξs ∗ ′(p, t) (3.108)
62

On déduit immédiatement que
∂ξ s (k, t)
∂t
ξs ∗ (k, t) + ∂ξ s ′(p, t)
ξs ∗ ∂t
′(p, t) + ∂ξ s ′′(q, t)
∂t
soit, en utilisant 3.101 :
ξs ∗ ′′(q, t) = 0 (3.109)
∂
(e(k) + e(p) + e(q)) = 0 (3.110)
∂t
ce qui indique que l’énergie cinétique contenue dans une triade reste inchangée
par les effets non-linéaires, qui ne font que redistribuer l’énergie entre
les trois modes qui forment la triade. Cette propriété, découverte par Kraichnan
en 1967, est appelée propriété de conservation détaillée de l’énergie
cinétique. En sommant sur toutes les triades, on retrouve bien la propriété de
conservation globale de l’énergie cinétique 3.94, qui apparaît donc comme une
conséquence de 3.110.
L’analyse du système 3.106 -3.108 révèle qu’une autre relation de conservation
détaillée existe :
sk ∂ξ s(k, t)
∂t
qui correspond à
ξs ∗ (k, t) + s ′ p ∂ξ s ′(p, t)
ξs ∗ ∂t
′(p, t) + s′′ q ∂ξ s ′′(q, t)
∂t
ξs ∗ ′′(q, t) = 0 (3.111)
∂
(h(k) + h(p) + h(q)) = 0 (3.112)
∂t
où h(k) = ∑ s=± ıskξ s(k, t)ξ ∗ s (k, t) = 1 2û∗ (k) · ˆω ∗ (k) est l’hélicité du mode
k. Tout comme l’énergie cinétique, l’hélicité est conservée au sein d’une triade
et n’est que redistribuée au sein de celle-ci par les effets non-linéaires. Il existe
donc une propriété de conservation détaillée de l’hélicité, qui engendre
une propriété globale de conservation de l’hélicité. Dans l’espace physique
(pour un fluide parfait), on a donc :
∫∫∫
d
dt
u(x, t) · ω(x, t)dx = 0 (3.113)
On peut noter que 3.109 est équivalente à la propriété suivante sur les facteurs
géométriques (ce qui est plus pertinent, puisque la propriété est vraie pour
tous les écoulements et découle directement de la structure des équations)
M ss ′ s ′′(k, p) + M s ′ s ′′ s(p, q) + M s ′′ ss ′(q, k) = 0 (3.114)
La relation 3.111, quant à elle, peut être récrite comme
skM ss ′ s ′′(k, p) + s′ pM s ′ s ′′ s(p, q) + s ′′ qM s ′′ ss ′(q, k) = 0 (3.115)
63

3.4.4 Une théorie de la cascade d’énergie : la conjecture
de Waleffe
La décomposition hélicoïdale, nous l’avons vu, est un outil très puissant pour
investiguer les propriétés des équations de Navier-Stokes. Elle permet également
de formuler la conjecture de Waleffe (1992), qui est une explication de
l’existence de la cascade d’énergie cinétique.
La conjecture de Waleffe repose sur l’analyse de la stabilité du système 3.106
-3.108 autour d’un point fixe de la forme :
Il vient :
∂ξ s (k, t)
∂t
= A,
∂ξ s ′(p, t)
∂t
= ∂ξ s ′′(q, t)
= 0 (3.116)
∂t
∂ 2 ξ s ′(p, t)
∂t 2 = (s ′′ q − sk)(sk − s ′ p)|K(sk, s ′ p, s ′′ q)| 2 |A| 2 ξs ∗ ′(p, t) (3.117)
et on voit que la pertubation selon ξ s ′(p, t) grandira exponentiellement si
(s ′′ q − sk)(sk − s ′ p) > 0, c’est-à-dire si sk est compris entre s ′ p et s ′′ q. Ce
résulat, combiné avec la relation 3.114, indique que c’est le mode associé au
facteur géométrique M ss′ s ′′(k, p) qui est de signe opposé aux deux autres qui
est instable. La conjecture de Waleffe stipule que c’est ce mode qui cède de
l’énergie cinétique et de l’hélicité au profit des deux autres au sein de la triade.
On peut montrer que le mode le plus grand au sein de la triade n’est jamais
instable, ce qui ne laisse que deux configurations (voir figure 3.9) :
– le plus petit mode est instable, et donc la plus grande échelle cède de
l’énergie aux deux autres. Ceci induit une cascade directe d’énergie cinétique.
Il s’agit d’une triade de type F dans la classification de Waleffe.
– le mode intermédiaire est instable. Ceci induit une cascade directe par
transfert vers la plus petite échelle, et une cascade inverse par transfert
vers la plus grande. Il s’agit d’une triade de type R.
Cette hypothèse mène à une prévision juste de l’existence des cascades directe
et inverse dans le cas isotrope et dans des cas anisotropes complexes
(écoulements en rotation, écoulements avec stratification stable, ...). Elle n’a jusqu’à
ce jour été mise en défaut par aucune analyse menée à partir des résultats
des simulations numériques.
3.4.5 Modélisation de la densité spectrale de flux d’énergie
T (k)
Cette dernière section traite de la modélisation de la densité spectrale de
flux T (k) qui apparaît dans l’équation de Lin pour l’évolution de E(k). Sous sa
forme exacte, ce terme de densité de flux correspond à un produit de convolution
tridimensionnel dans l’espace de Fourier. En conséquence, il est très coûteux à
évaluer et son analyse physique est trop complexe pour apporter des renseignements
sur la physique de l’écoulement. Enfin, il ne permet pas une intégration
64

Figure 3.9 – Triades instables selon la classification de Waleffe. Les flêches
indiquent les sens des transferts d’énergie. Tiré de [22]
analytique exacte de l’équation de Lin et donc ne permet pas de déterminer
E(k).
Pour toutes ces raisons, de nombreux modèles ont été proposés pour T (k).
Ces modèles visent tous à une simplification de l’évaluation de la densité spectrale
d’énergie cinétique. Comme pour tous les modèles physiques, leur construction
nécessite l’emploi d’hypothèses, et ont peut demander que les modèles
préservent certaines propriétés du terme exact qu’ils remplacent. Dans le cas
présent, une contrainte importante est la préservation de l’énergie cinétique globale,
qui se traduit par :
∫ +∞
0
T (k)dk = 0 =⇒
∫ k
0
T (k ′ )dk ′ = −
∫ +∞
k
T (k ′ )dk ′ = 0 (3.118)
Cette égalité intégrale a conduit la quasi-totalité des chercheurs à poser
T (k) = − ∂ F (k) (3.119)
∂k
avec F (k) = [L] 2 [T ] −3
La conservation de l’énergie cinétique induit F (0) = lim k→+∞ F (k), et
la nullité de E(k) pour k = 0 conduit à poser F (0) = 0. Le problème de
modélisation consiste donc maintenant à déterminer F (k). Les principaux modèles
sont présentés dans le tableau 3.8.
Une autre contrainte très souvent prise en considération est que, dans le cas
d’une turbulence isotrope statistiquement à très grand nombre de Reynolds,
dans la zone inertielle de Kolmogorov où E(k) = K 0 ε 2/3 k −5/3 , on obtienne
F (k) = ε et donc T (k) = 0.
On peut distinguer plusieurs grandes familles de modèles :
65

– Le modèle d’Oboukhov (1941) et sa variante proposée par Ellison (1961).
En partant d’une hypothèse d’équilibre spectral, on considère que la
production d’énergie cinétique grande échelle, la dissipation aux petites
échelles et le transfert de l’énergie entre grandes et petites échelles se font
au même taux. On peut donc écrire (on se place dans la zone inertielle du
spectre)
Par analyse dimensionnelle, on peut écrire
R ij =
∫ +∞
k
E(p)dp,
R ij
∂ū i
∂x j
= −ε = F (k) (3.120)
∂ū i
∂x j
=
( ∫ 1/2 k
p E(p)dp) 2 (3.121)
conduisant au modèle original d’Oboukhov.
– Les modèles de viscosité turbulente spectrale. Cette approche, initialement
suggérée par Von Weizsäcker en 1948, fut concrétisée par Heisenberg
la même année 9 sous la forme d’un modèle de viscosité spectrale. Le
paradigme physique sous-jacent est que le transfert d’énergie des grandes
échelles vers les petites (la cascade d’énergie), peut être représentée comme
un drainage énergétique des grandes échelles, assimilable à un effets dissipatif.
On peut voir ici une analogie avec la théorie cinétique des gaz, où le
mouvement à l’échelle moléculaire donne naissance à la viscosité à l’échelle
macroscopique. Si l’hypothèse de viscosité turbulente peut sembler pertinente
pour représenter les interactions entre échelles très différentes, à
l’instar du mouvement moléculaire et du mouvement hydrodynamique, elle
est en revanche constestable pour prendre en compte les interactions entre
échelles de tailles semblables. On trouve ici le problème qu’un écoulement
turbulent présente une continuité d’échelles dynamiquement actives, et
que l’hypothèse de l’existence d’une séparation d’échelles nette n’est pas
valide.
De nombreuses variantes et généralisations ont été proposées. La forme
originale de ces modèles est
F (k) = 2ν t (k)
∫ k
0
0
p 2 E(p)dp (3.122)
où ν t (k) est la viscosité turbulente spectrale. La proposition originale de
Heisenberg est
ν t (k) = 8 9 K−3/2 0
∫ +∞
k
√
p
−3
E(p)dp (3.123)
Cette proposition a été géneralisée en 1951 par Stewart et Townsend sous
la forme
9. Weizsäcker et Heisenberg ignoraient à l’époque les travaux d’Oboukhov.
66

(∫ +∞
c
ν t (k) = p −(1+1/2c) E (p)dp) 1/2c (3.124)
k
où c > 0 est arbitraire. c = 1/2 conduit à une expression simple, utilisée
entre autres par Howells en 1960 et Monin en 1962. Cette forme est ellemême
généralisable comme suit
ν t (k) = ∑ i
(∫ +∞
ci
a i p −(1+1/2ci) E (p)dp) 1/2ci (3.125)
k
avec a i > 0 et c i > 0, ∀i.
– Les modèles de diffusion spectrale, suivant l’approche initiée par
Leith en 1961. Ici, le transfert est représenté par un terme diffusif en
nombre d’onde. Un intérêt de ce modèle, par rapport à ceux évoqués
précédemment, est son caractère local dans l’espace de Fourier, ce qui
simplifie grandement son utilisation. La forme générique d’un modèle de
diffusion est
F (k) = −D ∂Q
(3.126)
∂k
où D est un coefficient de diffusion et Q un potentiel. L’analyse dimensionnelle
indique que DQ = [L][T ] −3 .
– Les modèles locaux basés sur l’analyse dimensionnelle (Kovasznay,
Pao) qui, outre leur localité en nombre d’onde, permettent la résolution
exacte de l’équation pour E(k) et la détermination d’une forme analytique
pour la densité spectrale d’énergie.
– Les modèles non-locaux basés sur l’hypothèse de Von Karman,
qui considère la forme générique
F (k) =
∫ +∞ ∫ k
k
0
P (k ′ , k ′′ )dk ′ dk ′′ (3.127)
où P (k ′ , k ′′ )dk ′ dk ′′ est la quantité d’énergie cinétique par les modes [k ′ , k ′ +
dk ′ ] vers les modes [k ′′ , k ′′ + dk ′′ ] par unité de temps. La propriété de
conservation détaillée de l’énergie implique P (k ′ , k ′′ ) = −P (k ′′ , k ′ ), ce qui
est une contrainte que doivent vérifier les modèles de flux spectraux. La
forme proposée en 1948 par Von Karman est (pour k ′ > k ′′ )
P (k ′ , k ′′ ) = α V K (k ′ ) m (k ′′ ) 1/2−m (E(k ′ )) n (E(k ′′ )) 3/2−n (3.128)
La formule de viscosité spectrale de Heisenberg est retrouvée en posant
m = −3/2 et n = 1/2. D’autres valeurs utilisées dans la littérature sont
(m = 0, n = 1) (proche de la formule d’Oboukhov) et (m = 0, n = 3/2)
(proche de la formule de Kovasznay). Cette formule est généralisée par celle
de Goldstein (1951), donnée dans le tableau 3.8, qui admet les modèles de
Von Karman, d’Oboukhov, de Heisenberg et de Stewart-Townsend comme
cas particuliers.
67

∂F (k)
Table 3.8 – Modèles de la densité spectrale de flux d’énergie T (k) = −
∂k .
Les modèles repérés par une astérisque conduisent à une forme analytique de la
densité spectrale d’énergie cinétique E(k) par intégration de l’équation de Lin
fermée.
Nom
F (k)
(∫ +∞
) ( ∫ k
Oboukhov (1941) ∗ α O E(p)dp p 2 E(p)dp
( ∫ ) 1/2
k
Ellison (1961) ∗
α E kE(k) p 2 E(p)dp
0
(∫ +∞ √
Heisenberg (1948) ∗ α H p
−3
E(p)dp) ( ∫ )
k
p 2 E(p)dp , α H = 16
k
0
9 K−3/2 0
(∫ +∞
) c
( ∫ )
k
Stewart-Towensend (1951) α ST p −(1+1/2c) E 1/2c (p)dp p 2 E(p)dp
k
0
(∫
1 +∞
) 1/2
( ∫ )
k
Ogura-Miyakoda (1953) α OM E(p)dp p 2 E(p)dp
k k
0
(∫ +∞
) ( ∫ )
k
von Karman (1948) α V K p m E n (p)dp p 1/2−m E 3/2−n (p)dp
k
k
0
0
) 1/2
(∫ +∞
) λ
( ∫ k
Goldstein (1951) α G p m E n (p)dp p m′ E n′ (p)dp
k
0
(m + 1)λ + (m ′ + 1)λ ′ = 5/2, nλ + n ′ λ ′ = 3/2
(∫ +∞
)
√
(∫ +∞
)
Malfliet (1974) α M pE(p)dp E(p)dp , α M = 4 9 K−3/2 0
k
Kovasznay (1948) ∗ α K k 5/2 E 3/2 (k), α K = K −3/2
0
Pao (1965) ∗
α P ε 1/2 k 5/3 E(k)
Leith (1967)
−α L k 13/2 ∂
∂k
k
(
k −3 E 3/2 (k)
)
) λ
′
, α L = 2
11 K−3/2 0
68

Chapitre 4
Effets linéaires : turbulence
homogène cisaillée
4.1 Définition et observations
4.1.1 Définition de l’homogénéité au sens de Craya
Ce chapitre est consacré à l’analyse de la turbulence homogène anisotrope.
Ici, l’isotropie est brisée par l’existence d’un champ de vitesse moyen ū nonuniforme.
L’homogénéité est conservée en se plaçant dans le cadre théorique
défini par Craya (1958) : la matrice A des gradients de vitesse moyenne
A(t) ≡ ∇ ū(t) (4.1)
est uniforme en espace, mais peut éventuellement varier en temps. La contrainte
d’incompressibilité de ū implique A ii = 0. Le champ de vitesse moyen est donc
donné par
ū(x, t) = A(t)x + u(0, t) (4.2)
On voit que ce champ de vitesse n’est pas physique, au sens où il diverge
lorsque |x| −→ +∞. Ceci est associé au fait qu’il n’existe pas d’échelle de
longueur caractéristique pour ū dans un tel problème, mais seulement une échelle
de temps usuellement estimée comme 1/‖A‖.
La contrainte d’homogénéité implique la nullité de tous les termes de bilan
qui apparaissent comme des flux spatiaux turbulents. La différence majeure
avec le cas isotrope est que les termes de production (de tensions de Reynolds,
d’énergie cinétique, de flux turbulent de scalaire, de variance de scalaire, ...)
sont maintenant non nuls. Le champ ū étant anisotrope, la production de turbulence
le sera également (à toutes les échelles affectées par le phénomène de
production), et cette anisotropie sera propagée par les interactions non-linéaires
69

(cascades turbulentes). Une question centrale de ce chapitre sera donc d’identifier
les effets directement pilotés par la production et ceux pilotées par les
mécanismes non linéaires de cascade.
Toutes les matrices ne sont pas admissibles pour définir un gradient de vitesse
moyenne. En insérant 4.2 dans 2.52, on obtient la condition de compatibilité
suivante pour A :
( d
dt A + A2 )
est symétrique (4.3)
Dans ce qui suit, nous étudierons le cas du cisaillement pur constant, donné
par
⎛
A = ⎝
0 S 0
0 0 0
0 0 0
où S = dū 1 /dx 2 est le taux de cisaillement.
4.1.2 Notions de terme rapide et terme lent
⎞
⎠ (4.4)
La prise en compte d’un champ moyen non uniforme permet d’identifier
deux sortes de termes dans les équations : les termes dits rapides, qui incluent
explicitement ū, et les termes lents, qui ne font apparaître que le champ fluctuant
u ′ . Cette nomenclature reflète le fait que les termes rapides sont modifiés
instantanément si ū (donc ici A) est perturbé, alors que les termes lents ne le
seront qu’avec un certain ”retard”, lié au temps caractéristique des mécanismes
non-linéaires qui vont propager cette perturbation.
L’équation de quantité de mouvement 2.62 devient (en l’absence de force
extérieure)
∂u ′ i
∂t + A ∂u ′ i
jkx k +A ij u ′ j + ∂ (u ′
∂x j ∂x
iu ′ j) = − ∂p′ + ν
∂2 u ′ i
j ∂x i ∂x k ∂x k
} {{ }
(i = 1, 3) (4.5)
¯D
¯Dt u′ i
∂
Le seul terme lent basé sur la vitesse est le terme non-linéaire
∂x j
(u ′ i u′ j ).
Tous les termes rapides sont linéaires suivant u ′ . Le cas de la pression fluctuante
est plus délicat. Elle est donnée par l’équation de Poisson 1.4, qui, dans le cas
présent, devient
−∆p ′ = 2A lm
∂u ′ m
∂x l
+ ∂u′ m
∂x l
∂u ′ l
∂x m
(4.6)
Par linéarité, on voit que la pression p ′ est composée de 2 champs superposés :
un champ rapide p ′ r et un champ lent, p ′ l
, solutions de
70

−∆p ′ r = 2A lm
∂u ′ m
∂x l
,
On peut donc récrire 4.5 comme
−∆p ′ l = ∂u′ m
∂x l
∂u ′ l
∂x m
(4.7)
∂u ′ i
∂t + A ∂u ′ i
jkx k + A ij u ′ j +
∂ (u ′
∂x j ∂x
iu ′ j) = − ∂p′ r
− ∂p′ l
+ ν
∂2 u ′ i
(4.8)
j ∂x i ∂x i ∂x k ∂x k
L’analyse dimensionnelle permet d’obtenir une estimation des temps caractéristiques
des termes lents et rapides. Pour les termes rapides, on utilise
l’échelle de temps obtenue à partir du champ ū, à savoir S −1 . Pour les termes
lents, on construit le temps caractéristique à partir de deux quantités qui sont
intrinsèquement liées au champ fluctuant et son comportement non-linéaire :
l’énergie cinétique K et la dissipation ε, interprétée ici comme une mesure du
flux d’énergie par effet de cascade non-linéaire (grâce à une hypothèse d’équilibre
de type ”production=dissipation”, voir la section 3.4.1). Le temps ainsi construit
est K/ε.
Le rapport des temps caractéristiques, appelé rapidité de cisaillement,
est
SK
ε
Dans le cas du cisaillement pur défini par 4.4, il vient :
(4.9)
∂u ′ i
∂t + Sx ∂u ′ i
2 + Su ′
∂x
2δ i1 +
∂ (u ′
1 ∂x
iu ′ j) = − ∂p′ r
− ∂p′ l
+ ν
∂2 u ′ i
(4.10)
j ∂x i ∂x i ∂x k ∂x k
et
−∆p ′ r = 2S ∂u′ 2
∂x 1
(4.11)
4.1.3 Simplification des équations de bilan
Ce cadre particulier permet une simplification drastique des équations de
bilan.
Pour les tensions de Reynolds R ij , il vient
avec
⎛
d
dt R ij = −S ⎝
2R 12 R 22 R 23
R 22 0 0
R 23 0 0
⎞
⎠ + Π ij − ε ij (4.12)
Π ij = p ′ S ′ ij ,
ε ij = 2ν ∂u′ i
∂x k
∂u ′ j
∂x k
(4.13)
71

Figure 4.1 – Diagramme schématique des couplages énergétiques dans le cas
homogène cisaillé. Tiré de [22]
Pour une condition initialement isotrope, on a
⎧
d
dt R 11 = −2SR 12 +Π 11 −ε 11
d
⎪⎨ dt R 22 = Π 22 −ε 22
d
dt R 33 = Π 33 −ε 33
(4.14)
d
dt R 12 = −SR 22 +Π 12 −ε 12
⎪⎩
d
dt K = −SR 12 −ε
où l’équation sur K est obtenue par sommation de celles sur les trois composantes
diagonales de R ij . Ce système permet plusieurs observations (voir illustration
sur la figure 4.1) :
– La production d’énergie cinétique fluctuante se fait par couplage entre le
champ moyen et la tension croisée R 12 . La production est anisotrope, car
elle est pilotée par R 12 qui est identiquement nul dans le cas isotrope, et
elle n’apparaît que dans le bilan R 11 .
– Il n’y a pas de contribution de la pression (via Π ij ) dans le bilan de K(t).
En effet, Π ii est identiquement nul du fait de la contrainte d’incompressibilité
qui porte sur u ′ . Ceci indique que le rôle de la pression n’est ici
que de redistribuer l’énergie cinétique entre les différentes composantes du
tenseur de Reynolds, sans perte ni création.
Pour caractériser les écoulements anisotropes, il est nécessaire de se munir
72

d’indicateurs qui mesurent l’écart au cas isotrope. Un outil très répandu pour
cela est le tenseur d’anisotropie b, qui est le tenseur sans dimension défini
comme
b ij = R ij
2K − δ ij
3
(4.15)
Ce tenseur est identiquement nul dans le cas isotrope (et le cas isotrope
uniquement !), et, par construction, sa trace est nulle : b ii = 0.
4.1.4 Observations expérimentales et numériques
Les résultats obtenus à partir des expériences en soufflerie (voir figure 4.2) et
des simulations numériques pour le cas d’une turbulence initialement isotrope
soumise au cisaillement S convergent vers les conclusions suivantes :
– Dans la première phase de développement, la turbulence reste presque isotrope.
R 12 , initialement nul, est encore petit, ainsi que le terme de production
d’énergie cinétique fluctuante qu’il pilote. On observe une décroissance
de K durant cette période.
– Il vient ensuite une seconde phase, durant laquelle l’anisotropie et la production
d’énergie cinétique croissent fortement. On observe un début de
croissance de K
– Lorsque les conditions expérimentales ou numériques le permettent, on
observe enfin une phase finale caractérisée par un régime asymptotique
universel de croissance exponentielle de l’énergie cinétique fluctuante.
Dans ce régime, les nombres sans dimension suivants deviennent
indépendants du temps (mais leurs valeurs numériques peuvent varier
d’une expérience à l’autre) :
SK
ε , SR 12 SK
= 2b 12 (4.16)
ε ε
d’où l’on déduit que b 12 devient également indépendant du temps. En
tenant compte de ces facteurs invariants, l’équation 4.14 indique 1 que la
croissance exponentielle de K est donnée par
(
)
K(t) = K(0)e σSt SK
, σ = −2b 12 1 − 2b 12 = cste (4.17)
ε
– Le caractère anisotrope de la production d’énergie cinétique fluctuante est
visible sur les tensions de Reynolds diagonales, qui prennent des valeurs
différentes au fur et à mesure que les effets du cisaillement s’accumulent
– L’anisotropie est également visible sur les échelles caractéristiques de la
turbulence. Ainsi, on observe une forte croissance de L 11,1 , ce qui indique
une organisation de l’écoulement sous la forme de structures cohérentes
longitudinales.
1. il suffit de diviser chaque membre de l’équation par SK
73

Figure 4.2 – Résultats expérimentaux sur la turbulence homogène cisaillée.
Haut : évolution de K (gauche) et √ R 11 (droite) ; Bas : évolution des échelles
spatiales (L k : échelle de Kolmogorov, λ : échelle de Taylor, l : échelle intégrale),
les lignes continues représentent les évolutions dans le cas isotrope. Tiré de [21]
74

4.2 Analyse des mécanismes physiques rapides
4.2.1 Introduction à la Théorie de la Distorsion Rapide
(TDR)
Comme il a déjà été indiqué plus haut, une question importante dans le cas
où le champ moyen ū est tel que A est non nulle est de savoir si les propriétés
observées lors des expériences sont dues à des effets rapides (donc linéaires en
u ′ ) ou lents (non-linéaires). La réponse apportée a des conséquences très fortes
lorsqu’on vise à construire de nouveaux modèles de turbulence (voir chapitre 6
).
Pour répondre à cette question, une stratégie consiste à étudier les propriétés
de la solution des équations du mouvement réduites aux seuls termes rapides,
et de les comparer à ceux observés initialement. La réduction du problème
aux termes rapides constitue la base de la théorie de la distorsion rapide.
Physiquement, elle est interprétée comme l’analyse sur un temps ”court” de la
réponse d’un écoulement turbulent à une variation instantanée de A. On peut
a priori considérer que cette approche est pertinente si le paramètre de rapidité
de cisaillement SK/ε est grand 2 (donc si les termes rapides ont un temps caractéristique
plus petit que celui des termes lents) et si le temps adimensionné
St, qui est une mesure du cisaillement cumulé, reste ”petit” (en un sens à définir
au cas par cas).
Les équations de la TDR, après élimination des termes lents dans 4.8
∂u ′ i
∂t + A ∂u ′ i
jkx k + A ij u ′ j = − ∂p′ r
+ ν
∂2 u ′ i
(4.18)
∂x j ∂x i ∂x k ∂x k
−∆p ′ r = 2A lm
∂u ′ m
∂x l
(4.19)
On négligera le terme visqueux dans l’équation de quantité de mouvement
par la suite pour alléger les calculs. Une justification pour cela est que les
mécanismes moteurs de l’écoulement ne sont pas d’origine visqueuse, et donc
qu’une telle simplification ne gênera en rien l’interprétation des résultats.
Il est important de noter qu’éliminer les termes lents revient à linéariser
l’équation 4.8 selon u ′ . Pour effectuer directement une telle linéarisation, il est
nécessaire d’introduire un petit paramètre. Celui indiqué par la TDR est le
rapport des temps caractéristiques des termes lents et des termes rapides (on
doit avoir SK/ε ≪ 1), plutôt qu’un critère ”classique” de la forme |u ′ |/|ū| ≪ 1.
Résoudre le système 4.18 - 4.19 dans l’espace physique est une tâche difficile,
du fait du caractère non-local de la pression (ce qui est reflété par le caractère
elliptique de l’équation de Poisson 4.19). Pour résoudre astucieusement
ce problème, il est nécessaire de passer dans l’espace de Fourier et d’éliminer
la pression en projetant les équations dans le plan perpendiculaire au vecteur
d’onde k.
2. En pratique, on mesure des valeurs de l’ordre de 3 à 7 dans des écoulements réalistes :
jets, sillages, ...
75

Commençons par l’étape de projection. En posant
u ′ i(x, t) = a i (t)e ık(t)·x , p ′ (x, t) = b(t)e ık(t)·x (4.20)
en en insérant dans 4.18 et 4.19, il vient
( )
d
d
dt a i + ıa i x j
dt k j + A nj k n + A ij a j + ık i b = 0 (4.21)
La contrainte d’incompressibilité devient
a i k i = 0 (4.22)
Pour simplifier la résolution du problème, on va chercher une solution lagrangienne
dans l’espace de Fourier. Ici, on considère la solution le long de
”trajectoires spectrales” d’équation
d
dt k j + A nj k n = 0 (4.23)
ce qui permet d’annuler le terme correspondant dans 4.21. Ensuite, pour
éliminer le terme de pression, on applique P ij , l’opérateur de projection dans le
plan perpendiculaire à k (voir section 3.4.1 ), et on trouve
où l’on a utilisé
d
dt a i − k i
k 2 k d
n
dt a i + P in A nj a j = 0 (4.24)
d
dt (k d
ia i ) = 0 =⇒ k i
dt a d
i = −a i
dt k i = A ni k n a i
Au final, on obtient l’équation d’évolution de l’amplitude du mode de Fourier
de la vitesse le long d’une trajectoire spectrale, appelée équation de Townsend
ou de Kelvin-Townsend :
(
d
dt a i = − δ in − 2 k )
ik n
k 2 A nj a j (4.25)
} {{ }
M ij(t)
Il est important de remarquer que la matrice M ij dépend du temps même
lorsque A est constante, car le vecteur d’onde k est solution de 4.23. La solution
lagrangienne de ce problème s’écrit formellement :
û i (k(t), t) = G ij (k, t, t 0 )û j (k(t 0 ), t 0 ) (4.26)
où la fonction de Green G ij est solution du problème auxiliaire suivant
d
dt G ij = −M in G nj , G ij (k, t 0 , t 0 ) = δ ij − k i(t 0 )k j (t 0 )
k 2 (t 0 )
(4.27)
76

Cette solution est déterministe, et donne accès au champ de vitesse à tout
temps et pour tous les nombres d’onde, et donc en tout point de l’espace (après
application d’une transformée de Fourier inverse). On peut ensuite, selon les besoins,
recomposer toutes les quantités annexes déterministes (vorticité, pression
...) et statistiques (moments du champ de vitesse, de pression, ...) Le formalisme
précédent peut également être utilisé pour prévoir directement l’évolution des
moments statistiques. Par exemple, le tenseur spectral Φ ij (k, t) est donné par :
Φ ij (k(t), t) = G in (k, t, t 0 )G jm (k, t, t 0 )Φ ij (k(t 0 ), t 0 ) (4.28)
4.2.2 Résultats obtenus par la TDR
Pour l’écoulement défini par 4.4, l’équation de Kelvin-Townsend devient
(
d
+ S δ i1 − 2 k )
1k i
dtûi k 2 û 2 = 0 (4.29)
avec
d
dt k i + Sk 1 δ i2 = 0 =⇒ k(t) = (k 1 (t 0 ), k 2 (t 0 ) − Stk 1 (t 0 ), k 3 (t 0 )) (4.30)
On remarque que la seconde composante évolue de manière complètement
découplée des deux autres, suivant la relation
d
− 2S k 1k 2
dtû2 k 2 û2 = 0 (4.31)
soit, en tenant compte du fait que k i
d
dt k i = k d dt k = −2Sk 1k 2 le long d’une
trajectoire spectrale :
d
dt (k2 û 2 ) = 0 =⇒ û 2 (k(t), t) = k2 (t 0 )
k 2 (t) û2(k(t 0 ), t 0 ) (4.32)
La solution générale du problème de cisaillement pur est donc
⎛
⎝ û1(k(t), ⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
t) 1 G 12 0 û 1 (k(t 0 ), t 0 )
û 2 (k(t), t) ⎠ ⎜ k
= ⎝ 0
2 (t 0) ⎟
k 2 (t)
0 ⎠ ⎝ û 2 (k(t 0 ), t 0 ) ⎠ (4.33)
û 3 (k(t), t) 0 G 32 1 û 3 (k(t 0 ), t 0 )
} {{ }
G(k,t,t 0)
où
∫ t
(
)
G 12 (t) = −S 1 − 2 k2 1(t 0 ) k 2 (t 0 )
t 0
k 2 (t ′ ) k 2 (t ′ ) dt′ (4.34)
G 32 (t) = 2S k 1(t 0 )k 3 (t 0 )
k 2 (t 0 )
∫ t
k 4 (t 0 )
t 0
k 4 (t ′ ) dt′ (4.35)
77

L’intégration analytique de ces deux dernières relations est possible, mais
donne des formules très lourdes (de l’ordre d’une page chacune, voir [19] !) qui
ne sont pas reproduites ici. Mais il est important de noter qu’une résolution
analytique complète du problème est possible.
Analysons maintenant les propriétés de la solution ainsi calculée, lorsqu’on
considère une solution initialement isotrope.
Tout d’abord, l’intégration analytique permet d’obtenir les comportements
asymptotiques ci-dessous pour les temps longs :
lim 12(t)
St→+∞
= −2K(0) log 2 (4.36)
lim 11(t)
St→+∞
= St2K(0) log 2 (4.37)
lim R 22(t) = 8K(0) log(4St)
St→+∞ St
( )
π
2
lim R 33(t) = 2K(0)
St→+∞ 8 log(St) − 1, 419
(4.38)
(4.39)
Les comportements associés pour l’énergie cinétique et le tenseur d’anisotropie
sont comparés à ceux déduits des données expérimentales dans le tableau
4.1, où l’on a ajouté les résultats obtenus par la TDR ”sans pression” (c’està-dire
en supprimant purement et simplement le terme de gradient de pression
dans l’équation de quantité de mouvement sans effectuer de projection dans le
plan perpendiculaire à k, donc en sacrifiant la contrainte d’incompressibilité).
Table 4.1 – Comportements asymptotiques pour le cas d’un écoulement homogène
cisaillé
mesures exp. TDR TDR sans pression
K(St ≫ 1) ∝ e σSt ∝ St ∝ (St) 2
b 11 (St ≫ 1) 0, 203 2/3 2/3
b 22 (St ≫ 1) -0,143 -1/3 -1/3
b 33 (St ≫ 1) -0,06 -1/3 -1/3
b 12 (St ≫ 1) -0,15 0 0
A partir de ce tableau, on constate :
– La TDR ne prévoit qu’une croissance algébrique (linéaire ou quadratique)
de l’énergie cinétique, et non la croissance exponentielle attendue. Ceci
montre que la croissance exponentielle est le fruit de mécanismes nonlinéaires,
dont l’étude est encore du domaine de la recherche. On constate
également que la pression a un rôle stabilisant, puisqu’elle fait passer d’une
croissance quadratique à une croissance linéaire.
– La prévision obtenue par la TDR de l’anisotropie sur des temps longs est
peu fiable, et ne donne au mieux que des tendances. L’anisotropie est donc
78

Figure 4.3 – Evolution des composantes du tenseur d’anisotropie b ij . Symboles :
distorsion rapide ; Lignes : résolution directe des équations de Navier-Stokes. Ici,
β = St. Tiré de [15]
fortement pilotée ici par les mécanismes non linéaires associés aux termes
lents. On remarque que la pression n’influe pas sur la valeur limite de b ij
Les remarques précédentes portent sur le comportement à temps long. Le
manque de précision de la TDR peut être compris en se rappelant que la TDR,
par définition, est un outil pour analyser la réponse de la turbulence sur des
temps ”courts”. Ceci est fait sur la figure 4.3, où l’on voit que la TDR donne
des résultats très fiables.
Une autre question est de savoir si la structuration du champ turbulent
sous forme de structures cohérentes longitudinales alignées dans le sens de
l’écoulement est d’origine linéaire (termes rapides) ou non-linéaire (termes lents).
Pour y répondre, on utilise la TDR pour prévoir le comportement des échelles
intégrales de vitesse. On trouve
R 11 (t)L 11,1 (t) = 2 3 K(0)L 11,1(0)
(1 + 1 3 (St)2 )
(4.40)
R 11 (t)L 11,3 (t) = 2 3 K(0)L 11,1(0) = Cste (4.41)
soit
(
L 11,1 (t)
L 11,3 (t) = 1 + 1 )
3 (St)2
(4.42)
79

Figure 4.4 – Evolution de l’échelle intégrale longitudinale. Symboles : distorsion
rapide ; Lignes : résolution directe des équations de Navier-Stokes. Ici, β = St.
Tiré de [15]
ce qui correspond bien à la croissance de structures cohérentes longitudinales.
Celles-ci sont donc d’origine linéaire. La grande fiabilité de la TDR sur des temps
courts est confirmée par la figure 4.4.
4.3 Lien avec la dynamique tourbillonnaire
Nous n’avons jusqu’ici analysé l’écoulement qu’au travers de moments statistiques.
Se pose alors évidemment la question du lien qu’il existe entre les
phénomènes observés (croissance de l’énergie cinétique et de l’anisotropie, ...)
est la dynamique déterministe des objets cohérents définis à partir du champ
de vorticité (tourbillons, nappes de vorticité, ...) observables dans l’écoulement.
Cette analyse a notamment été menée à bien par Kida et Tanaka en 1994 grâce à
des simulations numériques, qui proposent un scenario en 7 étapes pour décrire
l’évolution d’un champ turbulent initialement isotrope :
1. Le champ de vorticité, initialement isotrope, est progressivement organisé
sous forme de structures longitudinales, principalement sous l’effet des
termes linéaires/rapides, conformément aux prévisions de la TDR. Ces
structures sont alignées avec la direction d’étirement maximum associée
à A, i.e. forment un angle de 45 o avec l’horizontale dans le plan (e x , e y ).
Elles donnent naissance à des tourbillons longitudinaux (voir figure
4.5).
80

2. Ces tourbillons longitudinaux sont ensuite eux-même soumis aux effets
du cisaillement moyen, qui tendent à réduire l’angle formé avec e x . Ce
phénomène peut être compris en modélisant ces tourbillons comme des
filaments tourbillonnaires rectilignes rigides de vorticité Ω. En négligeant
les effets visqueux, et en notant α l’angle fait avec e x , on obtient le système
différentiel suivant proposé par Brasseur et Wang en 1992 :
d
dt Ω = 1 d
SΩ sin(2α),
2
qui reproduit bien les comportements observés.
dt α = −S sin2 (α) (4.43)
3. Les tourbillons longitudinaux, par effet d’entrainement du fluide ambiant,
induisent la naissance de nappes de vorticité, dont la vorticité est principalement
orientée selon l’envergure (direction e z ).
4. Ces nappes de vorticité sont soumises à l’instabilité de Kelvin-Helmholtz,
qui conduit à la naissance de tourbillons secondaires allongés d’axe
e z par l’enroulement des nappes.
5. Ces tourbillons secondaires sont courbés sous l’effet du champ de cisaillement
moyen A et donnent naissance à des tourbillons ayant une forme
de fer à cheval (on utilise aussi l’analogie de l’épingle à cheveux), dont
les jambes correspondent à des tourbillons longitudinaux similaires à ceux
engendrés initialement par les termes rapides.
6. Tous les tourbillons, maintenant en grand nombre, interagissent, donnant
naissance à des phénomènes non-linéaires très intenses, incluant une intensification
de la cascade d’énergie cinétique turbulente.
7. Enfin, l’action continue de A induit l’apparition d’une structure oblique
de très grande taille (typiquement celle du domaine de la simulation
numérique), qui induit un amortissement de la composante de vitesse verticale
et des fluctuations de vorticité.
4.4 Diffusion du scalaire passif
4.4.1 Equations de bilan
La diffusion du scalaire passif dans le cas cisaillé homogène donne naissance
à un très grand nombre de cas possibles. En effet, il est également possible
de définir un gradient moyen de scalaire non nul, et toutes les combinaisons
possibles de A et Λ = ∇ ¯T sont envisageables.
L’équation d’évolution 2.63 pour le champ fluctuant T ′ devient, pour le cas
d’un cisaillement homogène :
∂T ′
∂t + A ∂
jkx k T ′ + Λ j u ′ j +
∂ (T ′ u ′
∂x j ∂x
j) = κ ∂2 T ′
(4.44)
j ∂x k ∂x k
Les bilans de flux de scalaire turbulent et de variance prennent les formes
réduites suivantes :
81

Figure 4.5 – Structure tourbillonnaire du champ instantané à deux instants de
la simulation numérique. Tiré de [10]
82

d
)
dt u′ i T ′ =
(A ik u ′ k T ′ + Λ k R ik + p ′ ∂T ′
(4.45)
∂x i
d
dt K T = −2u ′ k T ′ Λ k − ε T (4.46)
On voit sur 4.45 que le flux de scalaire est créé de manière anisotrope grâce
à l’existence d’un gradient de vitesse moyenne ou du champ scalaire moyen, et
qu’un phénomène de redistribution par les fluctuations de pression existe. On
note que le terme de production Λ k R ik est indépendant du champ de scalaire
fluctuant. Il est donc possible, en choisissant A et Λ de manière adéquate, de
sélectionner un effet d’amortissement ou d’accroissement du flux de scalaire turbulent
(et donc de la variance de scalaire en manipulant le terme de production
de celle-ci). L’équation de K T indique que la création de variance ne dépend que
de l’existence d’un gradient de scalaire moyen. On voit donc que l’ajout d’un
scalaire passif permet de multiples combinaisons, dont la description exhaustive
dépasse le cadre de ce cours.
Pour le cas de cisaillement considéré dans ce chapitre (on garde un gradient
de température quelconque) :
∂T ′
∂t + Sx ∂
2 T ′ + Λ j u ′ j +
∂ (T ′ u ′
∂x 1 ∂x
j) = κ ∂2 T ′
(4.47)
j ∂x k ∂x k
d
)
dt u′ i T ′ =
(δ i1 Su ′ 2 T ′ + Λ k R ik + p ′ ∂T ′
(4.48)
∂x i
d
dt K T = −2u ′ k T ′ Λ k − ε T (4.49)
Une équation de type distorsion rapide peut être obtenue, avec plusieurs
niveaux d’approximation possibles (comme pour la vitesse, on néglige les effets
visqueux). Tout d’abord, on peut ne garder que les termes ”rapides” au sens où
ils font intervenir soit A soit Λ. Dans ce cas, 4.47 devient :
∂T ′
∂t + Sx ∂
2 T ′ = −Λ j u ′ j (4.50)
∂x 1
On reconnait une équation d’advection avec un terme source Λ j u ′ j , où le
champ u ′ est le champ solution du problème de distorsion rapide discuté au
chapitre 4.2.2. Cette équation est intégrable dans l’espace physique de manière
assez simple en cherchant une solution lagrangienne (définie le long des lignes de
courant de ū). L’intégration analytique complète est difficile, dans la mesure où
le champ de vitesse est calculé dans l’espace de Fourier, et qu’une transformée
de Fourier inverse (donc un opérateur non local en nombre d’onde !) doit être
appliquée pour connaître u ′ (x, t).
Ce modèle peut être raffiné en conservant le terme d’advection de T ′ par
u ′ , puisque u ′ est connu et peut être considéré comme un champ à dynamique
rapide. On obtient alors :
83

∂T ′
∂t + Sx ∂
2 T ′ = −Λ j u ′ j − u ′ ∂
j T ′ (4.51)
∂x 1 ∂x j
L’intégration analytique ne présente alors plus d’intérêt concret, au vu de la
complexité des solutions formelles.
4.4.2 Concept de diffusivité turbulente
Par souci de brièveté, cette partie est restreinte au cas où le gradient du
champ scalaire moyen et de température sont alignés, i.e. Λ = (0, Λ, 0). Les
équations 4.48 et 4.49 conduisent à
⎧
⎪⎨
⎪⎩
d
dt u′ 1 T ′ = Su ′ 2 T ′ + ΛR 12 +p ′ ∂T ′
∂x 1
d
dt u′ 2 T ′ = ΛR 22 p ′ ∂T ′
∂x 2
d
dt u′ 3 T (4.52)
′ = p ′ ∂T ′
∂x 3
d
dt K T = −2Λu ′ 2 T ′ −ε T
On voit que le flux turbulent vertical de scalaire joue un rôle particulier,
puisque c’est lui qui assure la production de K T via le couplage entre le gradient
de ¯T et le champ fluctuant. Il joue en cela un rôle analogue à R 12 = u ′ 1 u′ 2 pour
le champ u ′ et la production d’énergie cinétique fluctuante K.
Aussi l’évaluation de u ′ 2 T ′ revêt une importance particulière. Une manière
de réaliser cette tâche est de raisonner par analogie avec la théorie cinétique
des gaz (voir section 2.2), dans laquelle le mouvement à l’échelle moléclaire
(petite échelle) produit à l’échelle macroscopique (celle de la mécanique des
milieux continus) le phénomène de diffusion, dont l’intensité est paramétrée par
une quantité scalaire : la diffusivité moléculaire. En faisant l’analogie entre le
mouvement à l’échelle moléculaire et les champs fluctuants u ′ et T ′ d’une part,
et le mouvement à l’échelle macroscopique ū et ¯T de l’autre, on peut construire
une estimation du flux vertical de scalaire qui sera formellement similaire à la
loi de Fourier pour le flux de chaleur q. Rappelons que cette loi s’écrit
q = −κ∇T, κ ∝ aξ (4.53)
où a et ξ désignent respectivement la vitesse du son dans le fluide et le libre
parcours moyen des molécules. On obtient donc une loi de la forme :
u ′ 2 T ′ = −κ t Λ = −κ t
d ¯T
dy
(4.54)
où κ t = [L 2 ][T −1 ] est un coefficient appelé diffusivité turbulente. Il est
classiquement évalué comme κ t = u ′ 2L, où u ′ 2 et L sont respectivement une
estimation de la vitesse verticale fluctuante caractéristique et une estimation de
la longueur de mélange, comprise comme la distance sur laquelle le champ
T ′ est brassé dans la direction e y par le mouvement turbulent. Des estimations
classiques sont u ′ 2 ∼ √ R 22 et L ∼ L 22,2 . Plusieurs commentaires sont nécessaires
ici :
84

– Cette analogie est utile, mais doit être interprétée avec précaution. En
effet, au moins pour les écoulements incompressibles, la diffusivité est une
propriété du fluide, indépendante de l’écoulement, alors que par construction,
la diffusivité turbulente est fonction de l’écoulement.
– La diffusivité turbulente dépend a priori de l’espace et du temps, si R 22
et L 22,2 sont eux-même variables. Elle dépend donc a fortiori de chaque
écoulement.
– Ce modèle phénoménologique n’est pas exploitable pour les applications
en sciences de l’ingénieur, car les quantités R 22 et L 22,2 sont difficiles à
évaluer en pratique dans beaucoup de cas. Il faut donc ensuite construire
des modèles qui soient exploitables. Cela sera fait au chapitre 6.
85

Chapitre 5
Couche limite turbulente
Nous allons maintenant étudier la dynamique de la couche limite turbulente
en présence d’une paroi immobile, infiniment rigide et imperméable.
Plusieurs configurations d’écoulement turbulent pariétal seront considérées, en
fonction des résultats théoriques et des données disponibles : couche limite
se développant spatialement le long d’une plaque plane en l’absence de gradient
de pression, écoulement dans un canal plan infiniment long ou dans une
conduite rectiligne infinie de section circulaire. Ces trois écoulements sont a
priori différents, mais leurs dynamiques sont très ressemblantes dans la région
située très près de la paroi. En conséquence, la phénoménologie et les mécanismes
discutés dans ce chapitre ont un caractère universel (au moins qualitativement).
Notons toutefois une différence entre les deux écoulements internes (canal,
conduite) et l’écoulement externe (couche limite de plaque plane) : les premiers
sont entretenus par l’existence d’un gradient de pression moteur dans la
direction principale de l’écoulement, alors que le dernier n’est pas entretenu par
un gradient de pression, mais par l’imposition d’un écoulement au-dessus de
la paroi. Ce terme de gradient de pression moteur sera donc toujours présent
dans les deux premier cas, et ne figure pas dans les équations de couche limite
’canoniques’.
Notons toutefois que cette dynamique pariétale peut être fortement modifiée
si la paroi possède des propriétés ”exotiques” : forte perméabilité, grande
déformabilité, ... Ces cas ne seront pas abordés ici.
Sauf mention contraire, on considère que l’écoulement moyen se fait selon la
direction e x , et que la direction normale à la paroi est e y . Pour le canal plan
et la couche limite de plaque plane, on suppose que la direction transverse e z
est homogène et que l’écoulement moyen ū est de composante nulle dans cette
direction. Dans le cas du canal plan et de la conduite l’écoulement moyen est
unidirectionnel, i.e. ū = (ū(y), 0, 0), alors que dans le cas de la couche limite il
est quasi-parallèle : ū = (ū(x, y), ¯v(x, y), 0) avec ¯v ≪ ū.
86

5.1 Effets qualitatifs de la présence d’une paroi
rigide et imperméable
Avant de discuter en détail la dynamique de la couche limite turbulente, on
peut, à la lecture des chapitres précédents, anticiper des effets qualitatifs significatifs
induits par la présence d’une paroi solide sur un écoulement turbulent :
1. Des effets de cisaillement. La condition d’adhérence pour un fluide
visqueux impose u = 0 à la paroi, alors que le fluide possède la vitesse
ū ∞ loin de la paroi à l’extérieur de la couche limite dans le cas de la
plaque plane 1 . La couche limite est donc une zone de raccord, dans la
quelle la vitesse passe continûment de 0 à ū ∞ , ce qui induit l’existence
d’un cisaillement qui peut être grossièrement évalué comme S = ū ∞ /δ,
où δ est l’épaisseur de la couche limite 2 . Comme il a été vu au chapitre 4,
l’existence d’un cisaillement moyen induit la production d’énergie cinétique
et l’anisotropie de l’écoulement.
2. Des effets de viscosité. Le nombre de Reynolds local de l’écoulement,
calculé à partir de ū(y) varie continument de 0 à ū ∞ δ/ν ≫ 1. Cette
forte variation indique que les poids respectifs des effets visqueux et des
effets inertiels non-linéaires sur les fluctuations turbulentes vont fortement
différer suivant la distance à la paroi à laquelle on effectue l’analyse. Deux
effets vont donc apparaître : un effet dissipatif, qui sera dominant très près
de la paroi, et un effet diffusif dû à l’inhomogénéité de l’écoulement dans
la direction normale à la paroi. Ce dernier effet, qui était absent dans le cas
du cisaillement homogène, induit une redistribution spatiale de l’énergie.
Dans le cas de la couche limite, on aura donc à considérer des mécanismes
de redistribution entre échelles différentes, mais aussi entre régions dans
l’espace.
3. Des effets de pression. On identifie classiquement deux effets différents
de la pression dont le rôle est, rappelons-le, d’assurer la contrainte d’incompressibilité
de la vitesse. Le premier effet est un effet cinématique 3 ,
associé à la condition d’imperméabilité de la paroi 4 . Celle-ci impose que
la composante de vitesse normale soit nulle à la paroi. Si on considère une
structure turbulente venant impacter la paroi, on voit que sa quantité de
mouvement verticale va être redistribuée par les effets de pression selon
les deux autres composantes dans les directions parallèles à la paroi. Cet
effet va donc créer de l’anisotropie près de la paroi. Le second effet est un
effet dynamique, également connu sous le nom d’effet d’echo de paroi, qui
1. Cette vitesse est la vitesse au centre, u c, pour le canal plan et la conduite.
2. Cette longueur est remplacée par le rayon hydraulique dans le canal plan et la conduite.
3. nommé splash effect en anglais, ce qui est parfois traduit en français sous le nom d’effet
floc.
4. Notons ici que l’imperméabilité est moins contraignante que l’adhérence à la paroi,
puisqu’elle n’implique que la nullité de la composante verticale de vitesse, et non pas de
toutes les composantes. Expérimentalement il est possible d’isoler l’effet d’imperméabilité en
considérant la couche limite qui se développe au-dessus d’un tapis roulant se déplaçant à la
vitesse ū ∞.
87

est dû au caractère non-local de la pression (voir la discussion au chapitre
1.1). La présence de la paroi solide modifie en tout point de l’espace la
solution de l’équation de Poisson 1.5, ce qui implique que la présence de
la paroi modifie le terme ∇p dans les équations de Navier-Stokes, et cela
théoriquement dans tout l’espace occupé par le fluide.
5.2 La couche limite turbulente : un problème
multi-échelles
Tous les écoulements turbulents sont, par définition, des problèmes multiéchelles
puisqu’ils contiennent une large gamme de modes dynamiquement actifs. Même
dans le cas le plus simple, celui de la turbulence isotrope, plusieurs échelles
caractéristiques peuvent être déterminées (voir chapitre 3.2.1). Mais, dans les
écoulements homogènes vus précédemment, ces échelles étaient les mêmes dans
tout le domaine occupé par l’écoulement.
Le cas de la couche limite est différent, en ce sens que la variation spatiale du
nombre de Reynolds local engendre l’existence de régions de l’espace dans lesquelles
la dynamique de l’écoulement va très significativement différer. Ainsi, on
peut a priori anticiper l’existence d’au moins deux régions, chacune caractérisée
par une dynamique et des échelles caractéristiques propres. Ces deux régions
sont
– La région externe, située ”loin de la paroi”, dans laquelle le nombre
de Reynolds local de l’écoulement est grand. La vitesse caractéristique
pour les fluctuations turbulentes énergétiques est typiquement celle
qui décrit l’écoulement moyen : vitesse extérieure ū ∞ pour une couche
limite, vitesse débitante ū b ou vitesse moyenne maximum u c (vitesse au
centre) pour un canal plan ou une conduite. La taille caractéristique des
grandes structures est également déduite directement de la géométrie du
problème, à savoir la hauteur δ de couche limite ou le rayon hydraulique
h pour les canaux et les conduites.
– La région interne, qui est une couche en pratique très mince située juste
au-dessus de la paroi. Dans cette couche, les effets visqueux ainsi que ceux
engendrés par le cisaillement sont très forts. Une mesure de l’intensité de
ces phénomènes est le frottement pariétal τ ∗
τ ∗ ≡ µ dū
dy ∣ (5.1)
paroi
dont on peut déduire une vitesse caractéristique, la vitesse de frottement
u ∗ :
√ √
τ∗
u ∗ ≡
ρ = ν dū
dy ∣ (5.2)
paroi
88

La région interne étant le lieu de phénomènes à nombre de Reynolds local
modéré, il est judicieux de définir l’échelle de longueur caractéristique,
appelée échelle de longueur visqueuse l ∗ , comme suit :
l ∗ ≡ ν =
u √ ∗
dū
dy
ν
(5.3)
∣
paroi
Rappelons que des échelles caractéristiques sont réellement adaptées,
et donc pertinentes, si elles permettent l’obtention de lois ou de
corrélations possédant un degré significatif d’universalité. L’existence
de telles échelles pour la couche limite turbulente est un sujet de recherche qui
a retrouvé une vitalité très grande depuis le début des années 2000, les résultats
récents issus de simulations numériques et d’expériences remettant en cause des
pans importants de la théorie ”classique” de la couche limite turbulente. Ces
résultats seront évoqués dans ce qui suit, mais la partie centrale du chapitre
sera basée sur la théorie ”classique” qui, bien qu’imparfaite, est très utile dans
les applications relevant des sciences de l’ingénieur et des sciences de l’univers.
5.3 Analyse des lois de bilan statistique (canal
plan)
Un premier niveau d’analyse consiste à examiner les équations de bilan du
champ moyen et des moments d’ordre 2. On considère ici un écoulement de
canal plan statistiquement stationnaire. Le canal est de hauteur 2h.
5.3.1 Champ moyen
La géométrie et la contrainte d’incompressibilité imposent que le champ
moyen est ū(x) = ū(y)e x . Les équations de quantité de mouvement moyenne
2.57 et d’énergie cinétique moyenne 2.60 s’expriment alors (en l’absence de force
extérieure) :
et
0 = − ∂ ¯p
∂x + ν d2 ū
dy 2 − dR 12
dy
= − ∂ ¯p
∂x + d [
ν dū ]
dy dy − R 12
(5.4)
0 = − ∂ ¯p
∂y − dR 22
dy = − ∂ ∂y [¯p + R 22] (5.5)
0 = − dR 32
dy
(5.6)
89

0 = − ∂
∂x (¯pū) + ν d2 K
dy 2
= −ū ∂ ¯p
∂x + d
dy
( ) 2 dū
− ν − d
dy dy (ūR dū
12) + R 12
dy
]
− dū [
ν dū ]
dy dy − R 12
[
ν dK
dy − ūR 12
(5.7)
En intégrant une fois l’équation 5.5 selon y, on trouve ¯p(x, y)+R 22 (y) = cste.
En se plaçant à la paroi (y = 0) et en tenant compte de la contrainte d’adhérence
qui induit R 22 (0) = 0, il vient
¯p(x, y) + R 22 (y) = ¯p(x, 0) = ¯p 0 (x) =⇒ ∂
d ¯p(x, y) =
∂x dx ¯p 0(x) (5.8)
L’équation de quantité de mouvement longitudinale 5.4 peut donc être récrite
sous la forme suivante :
0 = − d
dx ¯p 0(x) + d [
ν dū ]
dy dy − R 12
(5.9)
Un travail similaire mené à partir de 5.6 montre que R 23 (y) = 0 dans tout
le canal.
5.3.2 Tensions de Reynolds et énergie cinétique fluctuante
Dans le cas du canal plan, les équations de bilan des tensions de Reynolds
et d’énergie cinétique fluctuante se simplifient comme suit
⎧
¯D
Production Diffusion verticale Pression Dissipation
¯Dt
dū
0 = −2R 12 + d (
−u
dy
dy
′ u ′ v ′ + ν d )
dy R 11
+Π 11 −ε 11
(
d
0 =
−v ⎪⎨
dy
′ (v ′ v ′ + 2p ′ ) + ν d )
dy R 22
+Π 22 −ε 22
(
d
0 =
−v
dy
′ w ′ w ′ + ν d )
dy R 33
+Π 33 −ε 33
dū
0 = −R 22 + d (
−u
dy
dy
′ (v ′ v ′ + p ′ ) + ν d )
dy R 12
+Π 12 −ε 12
dū
⎪⎩ 0 = −R 12 + d (
− 1 dy dy 2 v′ (u ′ u ′ + v ′ v ′ + w ′ w ′ ) − p ′ v ′ + ν d )
dy K −ε
(5.10)
Les résultats obtenus par simulation numérique sont illustrés sur les figures
5.2 - 5.6, qui montrent les profils de chaque terme des équations de bilan. On
observe que l’intensité de chaque mécanisme varie avec la distance à la paroi,
et que plusieurs régions, chacune associée à un équilibre différent, peuvent être
identifiées.
90

Figure 5.1 – Profils des tensions de Reynolds et de K dans la région interne.
Tiré de [23]
Figure 5.2 – Profils des termes de bilan de l’équation de R 11 . Gauche : région
interne ; Droite : région externe. Tiré de [5]
91

Figure 5.3 – Profils des termes de bilan de l’équation de R 22 . Gauche : région
interne ; Droite : région externe. Tiré de [5]
Figure 5.4 – Profils des termes de bilan de l’équation de R 33 . Gauche : région
interne ; Droite : région externe. Tiré de [5]
92

Figure 5.5 – Profils des termes de bilan de l’équation de R 12 . Gauche : région
interne ; Droite : région externe. Tiré de [5]
Figure 5.6 – Bilan simplifié de K. Tiré de [23]
93

5.4 Analyse théorique classique du champ moyen
turbulent
La détermination de formes analytiques pour ū(y) à partir de la relation
5.9 est un problème important, tant sur le plan applicatif que théorique. Une
question importante est de savoir si il existe des solutions ”universelles”, et si
oui de qualifier les conditions dans lesquelles elles peuvent être observées. De
nombreux travaux, basés sur des approches parfois très différentes, ont été menés
depuis près de 80 ans. La difficulté de ce problème provient de l’occurence dans
5.9 du terme R 12 , qui est un terme turbulent inconnu.
Les premiers résultats sont dûs à Von Karman (1930) et Prandtl (1932), qui,
en utilisant une approche phénoménologique et un modèle simple de longueur
de mélange pour exprimer R 12 ont déduit l’existence d’une zone dans laquelle la
vitesse aurait une forme logarithmique. Ces résultats ont ensuite été complétés
par Isakson (1937), Millikan (1938), Clauser (1954) et Coles (1956). Un apport
important de Millikan est d’avoir reformulé le problème de manière plus
rigoureuse en employant la technique des développements asymptotiques
raccordés (DAR). Mais il faut noter qu’une théorie complète des perturbations
singulières et des problèmes multi-échelles n’a été développée que durant
les années 1950-1960, entre autres par Kaplun, Lagerstrom et Cole, conduisant
à l’emploi des développements composites. La règle de raccord la plus souvent
utilisée pour construire les développements composites est celle dûe à Van Dyke
(1975).
5.4.1 Analyse phénoménologique ”à la Von Karman”
L’analyse originale de Von Karman porte sur le cas de la couche limite se
développant au dessus d’une plaque plane, en l’absence de gradient de pression.
Cet écoulement est bidimensionnel ū(x) = (ū(x, y), ¯v(x, y), 0) mais quasiment
parallèle : ¯v ≪ ū, ce qui entraîne, du fait de l’incompressibilité : ∂ū/∂x =
−∂¯v/∂y ≪ 1. En négligeant les corrections dûes au non-parallélisme de ū, et en
se plaçant dans le cas d’un gradient de pression nul, 5.9 devient
0 = d
dy
[
ν dū
dy − R 12
soit, en intégrant selon y une fois depuis la paroi (y = 0) :
]
(5.11)
ν d
dy ū(y) − R 12(y) = ν d
dy ū(0) ≡ τ ∗
ρ ≡ u2 ∗ (5.12)
où τ ∗ et u ∗ sont respectivement le frottement et la vitesse de frottement.
Von Karman et Prandtl font ensuite l’hypothèse qu’il existe une région dans
laquelle
1. R 12 est constant, et de signe négatif
2. la vitesse de frottement est la vitesse caractéristique pour décrire les fluctuations
turbulentes, et donc a fortiori R 12
94

3. on peut définir une viscosité turbulente ν t (voir le chapitre 6 pour plus de
détails) telle que
d
−R 12 = ν t ū(y) (5.13)
dy
Cette viscosité turbulente est déterminée par analyse dimensionnelle :
ν t = [L 2 ][T −1 ] −→ ν t (y) = κ VK u ∗ y (5.14)
où κ VK est la constante de Von Karman. Cette constante de proportionnalité
est empirique. La valeur usuellement retenue (mais remise en
question par les recherches récentes ! voir 5.4.4) est κ VK = 0, 41.
4. la viscosité moléculaire est négligeable devant la viscosité turbulente 5 ,
ν ≪ ν t , et donc
−R 12 = u 2 d
∗ = ν t ū(y) (5.15)
dy
En insérant la définition de ν t dans cette dernière relation, on trouve
d’où
u 2 ∗ = κ VK u ∗ y d ū(y) (5.16)
dy
ū
u ∗
= 1
κ VK
ln (yu ∗ /ν) + B (5.17)
où la constante d’intégration B est fixée usuellement comme B ≃ 5, 1 au
moyen des données expérimentales. Cette solution est appelée loi logarithmique,
et la région dans laquelle elle est valide la zone logarithmique. Elles
seront discutées avec plus de précision au chapitre 5.4.4. La relation 5.12 fait que
la zone logarithmique est parfois appelée zone de cisaillement total constant.
5.4.2 Analyse par Développements Asymptotiques Raccordés
(DAR)
Mise en équations du problème
Venons-en maintenant à la seconde méthode, plus formelle, basée sur la
méthode des DAR, qui sera employée ici pour déterminer ū(y) dans la limite
des très grands nombres de Reynolds, i.e. pour Re −→ +∞. On
reprend ici la présentation donnée par Panton [18]. En considérant l’équation
5.9, l’analyse dimensionnelle indique a priori l’existence de relations de la forme :
5. ce qui est équivalent à dire que le flux turbulent est très supérieur au flux diffusif, donc
que le nombre de Reynolds local de l’écoulement est très grand.
95

(
ū = ū y, ν, d¯p )
(
0
dx , h , R 12 = R 12 y, ν, d¯p )
0
dx , h
(5.18)
D’autre part, les conditions aux limites sur les parois (y = 0 et y = 2h) et
la condition de symétrie sur la ligne centrale du canal (y = h) impliquent :
dū
dy (y = h) = R 12(y = h) = 0, ū(y = h) = u c (5.19)
ū(y = 0) = ū(y = 2h) = 0, R 12 (y = 0) = R 12 (y = 2h) = 0 (5.20)
En intégrant une fois 5.9 selon y depuis la paroi (y = 0), on obtient
0 = −y d
dx ¯p 0(x) + ν dū
dy (y) − R 12(y) − u 2 ∗ (5.21)
En se plaçant sur la paroi supérieure (y = 2h), 5.21 conduit à la relation
suivante entre le frottement et le gradient de pression moteur :
−h d
dx ¯p 0 = u 2 ∗ (5.22)
En substituant la vitesse de frottement au gradient de pression moteur dans
5.21, on obtient la relation fondamentale pour l’analyse par la technique des
DAR :
−R 12 (y) + ν dū (
dy (y) = u2 ∗ 1 − y )
h
(5.23)
Pour procéder à l’analyse par développements asymptotiques, il est nécessaire
d’adimensionner cette relation. Nous avons vu apparaître deux échelles de vitesse
dans nos développements : la vitesse de frottement u ∗ , qui est a priori
associée à la région interne, et la vitesse au centre du canal u c , a priori pertinente
pour décrire la zone externe. On peut donc construire deux nombres de
Reynolds :
Re = u ch
ν , Re ∗ = u ∗h
(5.24)
ν
où Re ∗ est appelé nombre de Reynolds de frottement.
Il est important de noter que ces deux échelles de vitesse ne sont pas équivalentes
lorsque Re −→ +∞ puisque u c /u ∗ −→ +∞ lorsque Re ∗ −→ +∞. Ceci est
vérifié par les mesures en laboratoire, et l’analyse théorique conduit à la relation
:
u c
= 1 ln Re ∗ + C (5.25)
u ∗ κ VK
Le choix d’une vitesse caractéristique est donc un élément non trivial de
l’application de la méthode DAR au cas de la couche limite turbulente. On note
que l’on a
96

et donc
Re = u [ ]
c u ∗ h 1
u ∗ ν
= Re ∗ ln Re ∗ + C
κ VK
(5.26)
Analyse de la zone extérieure
Re ∼ Re ∗ ln Re ∗ Re ∗ −→ +∞ (5.27)
Pour analyser la zone extérieure on utilise les échelles caractéristiques h et
u c . Les variables d’ordre un sans dimension ainsi obtenues sont
F ≡ ū
u c
,
Y ≡ y h
(5.28)
Il reste à adimensionner la contrainte de Reynolds R 12 , qui apparait dans
l’équation 5.23. Comme les fluctuations turbulentes sont d’intensité faible devant
la vitesse débitante, il est choisi d’utiliser u ∗ pour les caractériser :
G ≡ − R 12
u 2 ∗
(5.29)
L’analyse dimensionnelle indique qu’il faut rechercher des relations de la
forme :
F = F (Y, Re ∗ ) , G = G (Y, Re ∗ ) (5.30)
La relation 5.23 devient, sous forme adimensionnelle :
0 = (Y − 1) + G + ln Re ∗ + C
Re ∗
dF
dY
(5.31)
On observe que G = O(1) puisque ln Re ∗ /Re ∗ −→ 0 lorsque Re ∗ −→ +∞.
De manière classique, on introduit les développements asymptotiques de
Poincaré pour les variables sans dimension lorsque Re ∗ −→ +∞ :
ū(y)
u c
= F (Y, Re ∗ ) ∼ F 0 (Y ) + ∆ 1 (Re ∗ )F 1 (Y ) + .... (5.32)
− R 12(y)
u 2 ∗
= G(Y, Re ∗ ) ∼ G 0 (Y ) + δ 1 (Re ∗ )G 1 (Y ) + .... (5.33)
où les fonctions de jauge ∆ i (Re ∗ ) et δ i (Re ∗ ) restent à déterminer. Notons
que les fonctions F i et G i sont toutes O(1) si les fonctions de jauge sont bien
choisies. En insérant les développements dans 5.31, il vient, à l’ordre 0 :
G 0 = 1 − Y (5.34)
La solution à l’ordre dominant porte donc sur la contrainte de Reynolds,
dont elle donne le profil. Cette solution linéaire est en accord avec la condition
97

de symétrie au centre du canal R 12 (y = h) = 0, mais ne vérifie pas la condition
d’adhérence R 12 (y = 0) = R 12 (y = 2h) = 0, ce qui indique que nous sommes en
présence d’un problème singulier. Cette singularité indique l’existence d’une
région avec une physique différente près des parois solides.
Pour obtenir une forme du profil de vitesse à l’ordre dominant, on considère
l’équation d’évolution de l’énergie cinétique fluctuante 5.10. Une fois adimensionnée,
elle s’écrit
0 = −G dF
dY −u ∗ d
u c dY
[
1
2
v ′ (u ′ u ′ + v ′ v ′ + w ′ w ′ )
u 3 ∗
A l’ordre 0, il vient, lorsque Re ∗ −→ +∞
]
+ p′ v ′
u 3 + 1 u ∗ d 2 ( ) K
∗ Re ∗ u c dY 2 u 2 − u ∗
ε ∗
∗ u c
(5.35)
G 0
dF 0
dY = 0 (5.36)
soit F 0 = Cste = 1, ou encore ū(Y ) = u c , ce qui correspond à un écoulement
uniforme compatible avec la donnée du problème au centre du canal, mais incompatible
avec la condition d’adhérence sur les parois solides. Il est possible
d’affiner la solution en vitesse au centre du canal en considérant le terme d’ordre
1. Il faut pour cela déterminer la fonction de jauge ∆ 1 (Re ∗ ). Ceci est fait en
appliquant le principe de moindre dégénérescence, qui stipule que la fonction
de jauge doit être choisie de manière à conserver le maximum de mécanismes
physiques dans les équations. Ceci est réalisé en prenant
∆ 1 (Re ∗ ) = u [ ] −1
∗ 1
= ln Re ∗ + C
(5.37)
u c κ VK
qui permet de conserver les effets de diffusion et de dissipation :
dF 1
0 = −G 0
dY − d
dY
[
1
2
v ′ (u ′ u ′ + v ′ v ′ + w ′ w ′ )
u 3 ∗
La solution extérieure pour le champ de vitesse s’écrit donc
]
+ p′ v ′
u 3 − ε ∗ (5.38)
∗
ū
u c
(Y, Re ∗ ) ∼ 1 + u ∗
u c
(Re ∗ )F 1 (Y ) (5.39)
ce qui est équivalent à la loi de sillage, encore appelée loi déficitaire (car
exprimée comme un écart à u c )
La fonction F 1 (Y ) est pour le moment inconnue.
F 1 (Y ) = ū(y) − u c
u ∗
(5.40)
98

Analyse de la région intérieure
On commence par déterminer les échelles caractéristiques qui serviront à
adimensionner y, R 12 et ū. Soient u s et d une échelle de vitesse et une échelle
de longueur. On note dans ce qui suit par un exposant ’+’ les quantités sans
dimension construites à partir de u s et d :
y + ≡ y d
(5.41)
On introduit les développements suivants, valables pour Re ∗ −→ +∞ :
− R 12
u 2 ∗
= g(y + , Re ∗ ) ∼ g 0 (y + ) + ... (5.42)
ū
u s
= f(y + , Re ∗ ) ∼ f 0 (y + ) + ... (5.43)
(5.44)
En choisissant u s = u ∗ et d = l ∗ = ν/u ∗ , on conserve des effets physiques
différents de ceux retenus dans la région extérieure, ce qui est pertinent. On a
donc :
y + ≡ y l ∗
= yu ∗
ν = Y Re ∗, f 0 (y + ) = ū
u ∗
, g 0 (y + ) = − R 12
u 2 ∗
(5.45)
En insérant ces développements dans les équations de quantité de mouvement
5.23 et d’énergie cinétique fluctuante 5.10, on obtient, à l’ordre 0 :
0 = −g 0
dg 0
dy + −
[
d 1
dy + 2
g 0 + df 0
dy + = 1 (5.46)
v ′ (u ′ u ′ + v ′ v ′ + w ′ w ′ )
u 3 ∗
] ( )
+ p′ v ′
u 3 + d2 K0
∗ dy +2 u 2 − ε + 0
∗
(5.47)
Raccordement et solution composite pour R 12
Maintenant que les développements ont été écrits dans les deux régions
du problème, se pose la question du raccordement des solutions et de la
construction d’une solution composite. La notion de solution composite a été
introduite par Latta en 1951. Une solution composite est obtenue en combinant
(ici en additionnant) les solutions trouvées dans les régions intérieure et
extérieure, conduisant à une solution valable sur l’ensemble du domaine. Notons
que c’est l’étape de raccordement qui parfois permet de trouver les expressions
des fonctions restées inconnues dans les développements asymptotiques de Poincaré.
99

La règle de raccord consiste à assurer que la limite de la solution
extérieure lorsque Y −→ 0 est égale à la limite de la solution intérieure
lorsque y + −→ +∞.
On a trivialement en considérant 5.34
En posant
lim G 0(Y ) = 1 = G cp (5.48)
Y −→0
lim g 0 (y + ) = g cp (5.49)
y + −→+∞
La règle de raccord implique donc que g cp = G cp = 1.
La solution composite est obtenue en additionnant la solution
intérieure à la solution extérieure, et en retranchant la valeur commune
prise lors du raccord (sans quoi cette valeur serait prise en compte
deux fois). On obtient donc
− R 12
u 2 ∗
∼ g 0 (y + ) + G 0 (Y ) − G cp (5.50)
= g 0 (y + ) + (1 − Y ) − 1 (5.51)
= g 0 (y + ) − y+
Re ∗
(5.52)
La fonction g 0 (y + ) reste indéterminée. Elle est obtenue empiriquement au
moyen de mesures en laboratoire ou de simulations numériques. Un exemple est
la solution proposée par Panton en 1997 :
g 0 (y + ) = 2 ( 2κ
π arctan VK y + ) [
)] 2
1 − exp
(− y+
π
C + , κ VK = 0, 37 C + = 6, 78
(5.53)
Cette fonction permet de trouver la position et la valeur du maximum de
R 12 lorsque Re ∗ −→ +∞ :
y + max ∼
√
Re∗
κ VK
,
−
(
R12
u 2 ∗
)
max
∼ 1 −
Raccordement et solution composite pour ū
2
√ κ VK Re ∗
(5.54)
Le raccord sur le champ de vitesse est techniquement plus difficile à opérer
que dans le cas précédent, car la fonction de jauge ∆ 1 (Re ∗ ) est une fonction
logarithmique (d’après 5.25). Pour de telles fonctions, il faut introduire une
variable intermédiaire indépendante Z, définie comme
Z ≡ Y Re α ∗ = y + Re α−1
∗ , 0 < α < 1 (5.55)
et écrire le raccord de la manière suivante :
100

soit
lim F (Y =⇒ ZRe−α ∗ ) = lim
Re ∗−→+∞ Re f(y+ =⇒ ZRe −α+1
∗ ) (5.56)
∗−→+∞
1 + u ∗
(Re ∗ )F 1 (Y =⇒ ZRe −α
∗ ) = u ∗
(Re ∗ )f 0 (y + =⇒ ZRe −α+1
∗ ) (5.57)
u c u c
Le cas de la couche limite turbulente pose des problèmes particuliers, que
l’on résout en dérivant cette dernière relation. Cette technique, proposée par
Millikan et Isakson dans les années 1930, conduit à
Y dF 1
dY = y+ df 0
dy + = Cste = 1
κ VK
(5.58)
Les deux expressions sont égales à une constante car y + et Y sont des variables
indépendantes. En intégrant une fois, on trouve
f 0 (y + ) = ū(y)
u ∗
= 1
κ VK
ln y + + C 1 (5.59)
F 1 (Y ) = ū(y) − u c
u ∗
= 1
κ VK
ln Y + C 2 (5.60)
Par soustraction, on retrouve bien 5.25 :
u c
= 1 ln Re ∗ + C 1 − C 2 (5.61)
u ∗ κ VK
La solution composite pour le champ de vitesse est donc :
ū(y)
u ∗
= f 0 (y + ) + F 1 (Y ) − F 1 (Y )| cp
= f 0 (y + ) + W (Y ) (5.62)
où F 1 (Y )| cp
est la valeur limite de F 1 (Y ) dans la zone de raccord. La fonction
W est déterminée de manière empirique. Un exemple est la solution proposée
par Lewkowicz en 1982, qui améliore la solution originale de Coles :
W (Y, Π) =
Π 2Y 2 (3 − 2Y ) − 1 Y 2 (1 − 3Y + 2Y 2 ) (5.63)
κ VK κ VK
où le paramètre Π permet de prendre en compte un éventuel gradient de
pression.
L’analyse asymptotique par la méthode DAR donne un éclairage nouveau sur
la zone logarithmique de la couche limite, par rapport à l’analyse phénoménologique.
En effet, elle permet de voir que cette zone est une zone de recouvrement, dans
laquelle les solutions intérieure et extérieure sont toutes les deux valables.
101

Prise en compte de la condition d’adhérence en y = 0
La solution composite du champ de vitesse souffre encore d’un défaut : même
si la solution intérieure prend en compte une physique différente de celle de la
région extérieure, elle ne vérifie pas la condition d’adhérence en y + = 0. Ceci est
compréhensible en constatant que dans l’équation de quantité de mouvement à
l’ordre 0 dans la zone intérieure 5.46 la physique est décrite comme l’équilibre
entre le flux turbulent et les effets visqueux. Or, très près de la paroi, la condition
d’adhérence implique que R 12 est très fortement amorti, ce qui le rend
négligeable devant les effets visqueux. En tenant compte de cette remarque, il
vient, pour y + −→ 0 :
d
dy + f(y+ ) = 1 =⇒ f(y + ) = y + (5.64)
On voit que, juste au dessus de la paroi, ū croît linéairement en fonction de
la distance à la paroi, et ce quelque soit le nombre de Reynolds. Le raccord avec
la solution logarithmique est réalisé avec une fonction empirique ad hoc, dans
une région nommée zone tampon.
5.4.3 Récapitulatif : structure de la couche limite turbulente
d’après la théorie classique
La théorie ”classique” de la couche limite turbulente, basée sur l’analyse
présentée plus haut et les données expérimentales et numériques, est récapitulée
dans les tableaux 5.1 et 5.2. Le profil de ū ainsi calculé dans la région interne
est illustré sur la figure 5.7. Les échanges entre les différentes régions identifiées
au sein du canal turbulent sont schématisés sur la figure 5.8.
Table 5.1 – Structure de la couche limite turbulente d’après la théorie classique
Zone étendue ū(y)
sous-couche visqueuse 0 ≤ y + ≤ 3 − 5 ū + = y +
zone tampon 3 − 5 ≤ y + ≤ 30 − 50 loi empirique
zone logarithmique 30 − 50 ≤ y + ≤ 0, 1δ + ū + = 1
κ VK
ln y + + C 1
zone logarithmique 30 − 50ν/u ∗ ≤ y ≤ 0, 1δ ū = 1
κ VK
ln(y/h) + C 2
sillage y ≥ 0, 1δ loi empirique
5.4.4 La loi logarithmique est-elle observable ?
Les solutions obtenues par la méthode des DAR sont des solutions asymptotiques,
valables lorsque Re ∗ −→ +∞. La question se pose donc de leur pertinence
pour décrire des écoulements à nombre de Reynolds fini. La validation de ces
lois reste un sujet de recherche ouvert, ayant un grand intérêt pour les applications
pratiques. Par exemple, le coefficient de frottement (voir le chapitre 5.6
102

Figure 5.7 – Profil de ū(y) dans la région interne calculé par DAR. Le profil
dans la zone tampon (buffer layer) est un raccordement empirique entre la loi
linéaire et la loi logarithmique. Tiré de [24]
Table 5.2 – Bilan énergétique simplifié dans un canal plan
Zone
sous-couche visqueuse
zone tampon
zone logarithmique
zone logarithmique
sillage
bilan énergétique simplifié
dissipation = diffusion visqueuse
production = diffusion turbulente + dissipation
production = dissipation
production = dissipation
diffusion turbulente = dissipation
103

Figure 5.8 – Bilan schématique des transferts entre les différentes régions du
canal plan.
104

pour plus de détails) pour une couche limite turbulente est souvent estimé par
la formule de Coles-Fernholz
[ ] −2 1
2κ 2 VK
C f = 2 ln Re θ + C =
κ VK [ln Re θ + C] 2 ,
Re θ = θū ∞
ν
(5.65)
où θ est l’épaisseur de déplacement de moment :
∫ +∞
[
ū(y)
θ ≡
1 − ū(y) ]
dy (5.66)
0 ū ∞ ū ∞
On voit que la valeur de κ VK est cruciale pour les applications aéronautiques,
pour lesquelles la réduction de la traînée aérodynamique est un enjeu commercial
capital. Philippe Spalart (Boeing) estime ainsi qu’une sous-évaluation de 2% de
κ VK induit une sous-estimation de 1 % de la trainée totale d’un avion de ligne
comme un Boeing 787 ou un Airbus A350.
La validation par les comparaisons avec les données de références reste
problématique. Alors que pour les applications aéronautiques ou en ingénierie
navale on a Re θ ∼ 10 5 , les simulations numériques directes sont aujourd’hui
limitées à Re θ ∼ 10 3 par la puissance des supercalculateurs disponibles, et les
souffleries les plus performantes de la planète (souffleries de Lille en France et
de l’Université de Melbourne) parviennent à Re θ ∼ 10 4 . Il existe aujourd’hui un
doute réel sur le fait que le régime Re ∗ ≫ 1 décrit par les DAR ait été atteint. Ce
doute est légitimé par le raisonnement suivant. La zone logarithmique s’étend
de y + ≃ 30 jusqu’à y/δ ≃ 0, 1, distance à la paroi à laquelle ū(y) vaut 99%
de ū ∞ . La zone logarithmique, si elle existe, est donc confinée dans la région
30 ≤ y + ≤ 0, 1δ + . Donc, il faut avoir δ + > 300 (donc Re θ > 1000) pour avoir un
début de profil logarithmique. Pour avoir une décade de région logarithmique,
il faut δ + > 3000 (donc Re θ > 10000).
On observe dans la littérature que la valeur de κ VK donnée par les auteurs,
après ajustement sur leurs données, varie de 0,38 à 0,43. La valeur de 0,41
n’est donc pas universelle, et la variation au cas par cas reflète le fait que l’on
cherche à plaquer une loi sur des données de manière (au moins partiellement)
inadéquate. On pense aujourd’hui que la valeur pertinente dans le cas Re ∗ ≫ 1
est 0,38. La valeur de la constante additive varie de 5 à 10 selon les auteurs.
Ceci est illustré sur la figure 5.9.
Une autre question, plus fondamentale, est de savoir si une loi logarithmique
peut vraiment exister. Un argument contre son existence, développé par exemple
par George [9], est que lors de l’analyse asymptotique on supprime des termes
lorsque qu’on effectue le passage à la limite, alors que ces termes ne sont jamais
nuls, et parfois importants dans les écoulements réels, qui sont tous à nombre
de Reynolds fini. C’est notamment le cas du terme de gradient de pression dans
les écoulements internes (canaux, conduites).
Toutefois, on observe que, moyennant un ajustement ad hoc de
κ VK et de la constante additive C, il est possible dans la plupart
des cas d’obtenir une bonne approximation des données issues de
simulations et des mesures.
105

Figure 5.9 – Illustration de l’absence d’une zone logarithmique à différents
nombre de Reynolds. Si le profil était logarithmique, alors on aurait
y + du + /dy + =Cste, ce qui n’est pas observé. Tiré de [9]
5.5 Structures cohérentes et production de turbulence
Les sections précédentes ont présenté une analyse statistique de la turbulence
pariétale. Nous allons maintenant passer en revue les connaissances actuelles
concernant la dynamique de l’écoulement, vue sous l’angle des structures
cohérentes et du lien qui existe entre elles et les mécanismes statistiques
(surtout les tensions de Reynolds et la production d’énergie cinétique turbulente).
La connaissance de ces structures s’est développée principalement grâce
aux simulations numériques depuis les années 1980. Mais il est à noter que les
premières simulations d’écoulements turbulent pariétaux avec des nombres de
Reynolds Re ∗ = O(10 3 ) dates du début des années 2000. La plupart des données
disponibles portent donc sur les structures et la dynamique dans la sous-couche
visqueuse et la zone tampon, qui sont présentes y compris dans les écoulements
à faible nombre de Reynolds. Les données sur la zone logarithmique, du fait
de la contrainte en nombre de Reynolds et donc du coût des simulations, sont
encore rares, et devraient faire l’objet des recherches de la prochaine décennie.
5.5.1 Modèle classique
Nous avons vu que la zone tampon est caractérisée par un pic de production
d’énergie cinétique fluctuante. De plus, l’analyse des bilans montre que cette
région est la seule à ne pas être déficitaire sur le plan énergétique, au sens où
la production y est supérieure à la dissipation. Cette caractéristique très particulière
a suscité de nombreuses recherches pour identifier le ”moteur” de la
turbulence pariétale, qui ont abouti à un certain nombre de conclusions aujour-
106

d’hui communément admises concernant la structuration de la région y + ≤ 100
(sous-couche visqueuse + zone tampon). Un point important est que cette structuration
semble universelle, et que les unités de parois l ∗ et u ∗ sont pertinentes
pour la décrire.
Il est aujourd’hui acquis que cette zone est dominée par l’existence de streaks
et de tourbillons longitudinaux (voir figure 5.10). Les streaks sont des jets
longitunaux pariétaux très allongés (longueur l x + ∼ 10 3 − 10 4 ) et sinueux, dans
lesquels la vitesse longitudinale instantanée est plus rapide (streak rapide) ou
plus lente (streak lent) que la vitesse moyenne ū(y) au même endroit. La largeur
typique d’un streak est l z
+ ∼ 100 (voir figure 5.11). Les streaks rapides, en augmentant
le frottement local instantané jusqu‘à hauteur de 300% du frottement
moyen, sont responsables de l’augmentation du frottement dans le cas turbulent
par rapport au cas laminaire. Les streaks sont bordés par des tourbillons longitudinaux
légèrement inclinés vers l’extérieur de la couche limite. Ces tourbillons
restent près de la paroi sur une distance de l’ordre de 200 l ∗ , et leur espacement
longitudinal moyen est d’environ 400l ∗ . Ils sont advectés par l’écoulement à une
vitesse proche de 10u ∗ . Ces tourbillons sont également animés d’un mouvement
ascendant. Une fois qu’ils ont quitté la région de proche paroi, ils disparaissent
sous forme de vorticité désorganisée.
Il a été envisagé depuis les années 1980 que les streaks et les tourbillons
longitudinaux sont impliqués dans un cycle de régénération mutuelle. Cette hypothèse
a été confirmée grâce aux simulations numériques durant les quinze
dernières années, bien que ce cycle ne soit pas encore complètement connu et
que plusieurs modèles théoriques soient encore en compétition pour l’expliquer.
Une certitude est que les streaks sont créés par les tourbillons longitudinaux par
un phénomène d’entrainement. Lorsque les tourbillons drainent vers la paroi du
fluide provenant d’une région supérieure de la couche limite, celui-ci possède
une quantité de mouvement longitudinale supérieure à celle du fluide ambient,
donnant naissance à un streak rapide. Inversement, l’éjection de fluide à très
faible quantité de mouvement depuis la paroi vers la partie supérieure de la
couche limite donne naissance à un streak lent. La partie encore obscure du
cycle est celle qui concerne la régénération des tourbillons par les streaks. Une
hypothèse dominante aujourd’hui est que les streaks sont sujets à des instabilités
hydrodynamiques qui, une fois entrées en phase de croissance non-linéaire,
engendreraient les tourbillons longitudinaux.
Une découverte importante est que ce cycle d’auto-régénération de la
turbulence, qui est situé approximativement dans la région 10 ≤ y + ≤ 60 est
un cycle autonome, en ce sens qu’il perdure en l’absence d’échange d’énergie
avec les autres régions de la couche limite. Ceci a été prouvé, notamment par
Jimenez et ses collègues, en réalisant des simulations numériques dans lesquelles
toutes les fluctuations turbulentes étaient annulée en dehors de cette zone. De
même, on a identifié que le motif élémentaire de ce mécanisme auto-entretenu
est composé d’un streak lent bordé de deux tourbillons longitudinaux. C’est la
configuration minimale pour que les fluctuations s’auto-entretiennent.
107

Figure 5.10 – Vues instantanées du champ de vitesse dans la région interne.
On observe la présence des tourbillons longitudinaux en bordure des streaks.
(Garnier et Pamiès, ONERA)
108

Figure 5.11 – Coupe transverse illustrant la création des streaks lents et rapides
par les tourbillons longitudinaux ainsi que la variation locale induite du profil
de vitesse longitudinale. On observe que les streaks rapides induisent une très
forte augmentation du frottement local (Garnier et Pamiès, ONERA)
109

Figure 5.12 – Variations des valeurs maximum (symboles blancs) et sur la ligne
centrale du canal plan (symboles noirs) de u ′+ = √ R 11 /u ∗ en fonction de Re ∗ .
Si u ∗ était le seule échelle caractéristique, ces deux valeurs seraient constantes.
Tiré de [11]
5.5.2 Structures de grande et très grande taille
Les phénomènes qui viennent d’être discutés dans le cadre du modèle classique
sont tous décrits de manière pertinente et universelle en utilisant les unités
de paroi. Il est donc logique d’attendre que les tensions de Reynolds, qui caractérisent
les fluctuations engendrées par ces phénomènes, puissent être décrites
de manière universelle à l’aide des mêmes échelles u ∗ et l ∗ . Or les données
expérimentales montrent clairement que l’utilisation de u ∗ pour adimensionner
les tensions de Reynolds ne permet pas d’obtenir un comportement universel.
Par exemple, la valeur et la position du maximum de R 11 /u 2 ∗ ou de K/u 2 ∗ varient
en fonction du nombre de Reynolds (voir figure 5.12).
Cette absence d’universalité est le signe que d’autres structures sont présentes,
dont les échelles caractéristiques ne sont pas u ∗ et l ∗ et dont la physique est a
priori différente de celle du modèle classique. La réponse est donnée par l’analyse
des spectres de la fluctuation de vitesse longitudinale (voir figures 5.13 et
5.14). Ces figures nous apprennent qu’il existe plusieurs pics pour ces spectres :
– Le premier correspond à des phénomènes dont la longueur d’onde est de
l’ordre de l x + = 0(10 3 ) pour tous les nombres de Reynolds, et domine dans
la zone interne. Il correspond aux streaks, et donc au modèle classique.
– Le deuxième pic correspond à des structures dont la longueur d’onde est
de l’ordre de l’épaisseur de la couche limite, du diamètre de la conduite ou
de la hauteur du canal. Ces structures, appelées structures de grande
taille ont donc une échelle caractéristique qui ne dépend pas de l’échelle
intérieure l ∗ , mais de l’échelle extérieure (δ ou h). Elles sont dominantes
dans la zone logarithmique et au-dessus de celle-ci (voir figure 5.15)
– Le troisième et dernier pic correspond aux structures de très grande
110

taille, dont la longueur d’onde longitudinale est plusieurs dizaines de fois
celle des structures de grande taille. Comme celles-ci, leur loi d’échelle
dépend des variables extérieures (voir figure 5.16)
L’existence de structures de grande et très grande taille a été anticipée au
début des années 1970 par Townsend, qui a développé la théorie des modes
inactifs. Selon cette théorie, ces structures contiennent de l’énergie cinétique,
mais ne contribuent pas à R 12 , et donc ne participent pas aux mécanismes de
production de turbulence représentés par R 12 dū/dy. La possibilité de l’existence
de telles structures est expliquée par Townsend en remarquant que la contrainte
d’imperméabilité sur la paroi solide ne limite le mouvement que dans la direction
verticale, et pas dans les directions longitudinales et transverses. La théorie de
Townsend, après avoir reçu un accueil très favorable durant les 20 dernières
années, est aujourd’hui remise en cause puisque les données accumulées depuis
les années 2000 montrent que les structures de grande et très grande taille
contiennent 40-65 % de l’énergie cinétique fluctuante et engendrent
30-50 % de R 12 (voir figure 5.17). Leur importance croît avec le nombre de
Reynolds. Ces structures ne sont donc pas inactives, et jouent un rôle important
dans la dynamique globale. La dynamique et la génération de ces structures sont
encore très mal connues, le problème étant qu’il faut atteindre des nombres de
Reynolds très grands pour séparer nettement la dynamique du modèle classique
de celle de ces structures.
Sur les profils de R 11 (y), le pic associé aux structures du modèle classique est
situé en y + ≃ 10, alors que celui dû aux autres structures est au milieu de la zone
logarithmique en y = 0, 06δ. Il faut que ces deux pics soient nettement séparés
pour distinguer les deux dynamiques et donc que le nombre de Reynolds soit
suffisamment grand pour que la zone logarithmique existe et que son étendue soit
d’au moins une décade. En reprenant les estimations données au chapitre 5.4.4,
on voit qu’il faut au minimum Re ∗ ∼ 2000 pour cela, ce qui est le maximum
atteint de nos jours par la simulation numérique.
Une autre question est celle de l’interaction entre la dynamique décrite
par le modèle classique et les structures de grande et très grande
taille. On observe que les structures de grande et très grande taille pénètrent
très profondément au sein de la couche limite et sont ressenties dans la zone
y + < 100. Elles correspondent au modèle conceptuel de structure attachée
développé par Perry dans les années 1980, qui considère des grandes structures
agissant jusqu’à la paroi solide (d’où l’adjectif attachée). Il est observé
aujourd’hui (mais pas expliqué !) que l’effet des grandes et très grandes
structures est de moduler, mais aussi de modifier les mécanismes du
modèle classique.
5.5.3 Conséquences sur la théorie ”classique” de la couche
limite turbulente
L’existence des structures de grande et très grande taille et leur influence
sur les tensions de Reynolds font que ces dernières ne peuvent pas être décrites
à partir d’une unique échelle de longueur et de vitesse. Il faut avoir recours
111

Figure 5.13 – Analyse du spectre pré-multiplié de la fluctuation de vitesse
longitudinale u ′ dans une couche limite pour Re ∗ = 7300. a) dans la région
tampon et b) dans la zone logarithmique et c) vue en élévation du spectre sur
l’ensemble du profil ; d) : profil de R 11 /u 2 ∗ et de ū. Tiré de [13]
112

Figure 5.14 – Analyse du spectre pré-multiplié de la fluctuation de vitesse
longitudinale u ′ dans une couche limite pour Re ∗ = 1060. a) dans la région
tampon et b) dans la zone logarithmique et c) vue en élévation du spectre sur
l’ensemble du profil ; d) : profil de R 11 /u 2 ∗ et de ū. Tiré de [13]
113

Figure 5.15 – Haut : Iso-contours du spectre pré-multiplié de la fluctuation
de vitesse longitudinale u ′ dans une couche limite pour Re ∗ = 1060 (lignes
et couleurs) et pour Re ∗ = 7300 (symboles). Les gros symboles représent les
maxima. Bas : profil correspondant de R 11 /u 2 ∗ ; ligne pleine : tension totale ; ligne
pointillée : contribution des échelles de longueur d’onde inférieure à l’épaisseur
de couche limite ; tirets : contribution des modes de longueur d’onde supérieure
à l’épaisseur de couche limite. Tiré de [13]
114

Figure 5.16 – Evolution des longueurs d’onde des modes à grande et très grande
échelle en fonction de la distance à la paroi, rapportées à l’épaisseur de la couche
limite. Tiré de [4]
Figure 5.17 – Contribution des structures de grande et très grande taille à K
(gauche) et R 12 (droite) en fonction de Re ∗ . Tiré de [4]
115

à une description hybride, qui tiennent compte à la fois de u ∗ et de l’échelle
de vitesse extérieure, u c ou ū ∞ . Ceci est parfois interprété comme la nécessité
d’une correction logarithmique aux lois d’échelles du modèle classique en tenant
compte de la relation 5.25.
Cette correction, y compris sur R 12 , pose la question de la validité des
développements théoriques présentés au chapitre 5.4, puisque ceux-ci sont basés
sur l’hypothèse que u ∗ est l’unique échelle nécessaire.
5.6 Traînée turbulente : analyse statistique et
stratégies de réduction de traînée
5.6.1 Position du problème
Il est connu depuis longtemps que l’apparition de la turbulence augmente de
manière très importante le frottement pariétal (voir figure 5.18). La prévision de
la traînée turbulente (ou de manière équivalente de la perte de charge en hydraulique)
est un problème crucial dans de nombreuses applications. Par exemple, un
gain de 1% de traînée pour avion de ligne sur un vol transatlantique représente
la possibilité d’embarquer une dizaine de passagers supplémentaires, ce qui a
évidemment une impact économique notable. Rappelons qu’environ 50 % de
la trainée totale d’un avion de ligne est engendré par la couche limite turbulente
sur le fuselage et la voilure. En conséquence, comprendre quels sont les
mécanismes qui sont à l’origine de l’accroissement de trainée par rapport aux
écoulements laminaires, prévoir la trainée lors des phases amont de conception
des engins et enfin être à même de réduire cette trainée par des dispositifs de
contrôle sont des objectifs de recherche et développement majeurs.
Nous allons nous interesser à la prévision et la réduction du coefficient de
frottement C f :
C f = u 2 ∗/ 1 2ū2 b (5.67)
De nombreuses formules semi-empiriques ont été proposées depuis près d’un
siècle pour prévoir la valeur de ce coefficient à partir de quantités globales,
comme illustré par le tableau 5.3. Ces relations peuvent être calibrées (elles
contiennent des paramères arbitraires ajustables) au moyen de données expérimentales,
et peuvent donc être assez précises (voir figure 5.19). Toutefois, elles n’offrent
pas d’éclairage sur la génération de la trainée turbulente, et rien ne garantit leur
universalité.
5.6.2 Formule intégrale de Fukagata-Iwamoto-Kasagi
Une formule exacte pour expliquer la génération de la trainée turbulente via
l’analyse des moments statistiques du champ turbulent a été proposée en 2002
par Fukagata et ses collaborateurs [8]. Nous allons examiner cette formule dans
le cas de l’écoulement d’un canal plan turbulent de hauteur 2h. L’écoulement
116

Figure 5.18 – Evolution du frottement en fonction du nombre de Reynolds
pour une couche limite turbulente. La branche 1 correspond au cas laminaire,
la branche 2 au cas turbulent. Tiré de [23]
Table 5.3 – Exemples de lois semi-empiriques donnant la valeur du coefficient
de frottement moyen C f . La colonne ”modifications” présente les corrections
proposées en 2007 par Nagib et Monkewitz [17] des coefficients qui apparaissent
en gras dans les formules originales pour améliorer la comparaison avec des
données à grand nombre de Reynolds (Re θ = 10 4 − 8 · 10 4 ).
Relation Forme originale Modifications
Coles-Fernholz 1 C f = 2[1/κ VK ln(Re δ ∗) + C ∗ ] −2 κ VK = 0, 384, C ∗ = 3, 354
Coles-Fernholz 2 C f = 2[1/κ VK ln(Re θ ) + C] −2 κ VK = 0, 384, C = 4, 127
Karman-Schoenherr C f = 0, 558C
f ′ /[0, 558 + 2(C′ f )−1/2 ]
C
f ′ = [log(2Re θ)/0, 242] −2 0,2385
Prandtl-Schlichting C f = 0, 455(log Re x ) −2,58 − A/Re x 0,3596
Prandtl-Karman C −1/2
√
f
= 4 log(Re x Cf ) − 0, 4 2,12
Schultz-Grunow C f = 0, 427(log Re x − 0, 407) −2,64 0,3475
Nikuradse C f = 0, 02666Re −0,139
x -0,1502
Schlichting C f = (2 log Re x − 0, 65) −2,3 -2,3333
White C f = 0, 455[ln(0, 06Re x )] −2 0,4177
Loi 1/7 C f = 0, 027Rex −1/7
0,02358
Loi 1/5 C f = 0, 058Rex −1/5 − A/Re x 0,0655
George-Castillo C 1/2
f
= 2(55/C i∞ [δ + ] −γ∞ exp[A/(ln δ + ) α ) 56,7
117

Figure 5.19 – Exemple d’ajustement de lois semi-empiriques pour la prévision
du frottement turbulent. Haut : lois ”classiques” ; Bas : lois ”ajustées” comme
indiqué dans le tableau 5.3. Tiré de [17]
moyen est ū(y)e x . L’équation de quantité de mouvement pour la composante
non nulle du champ de vitesse moyen s’écrit :
− ∂
∂x ¯p = ∂ [
R 12 − 1 ]
∂
∂y Re b ∂y ū + ∂ ∂tū + ∂
∂x uu + ∂ ∂y (ū¯v) − 1 ∂ 2
Re b ∂y 2 ū (5.68)
} {{ }
I x
où Re b = 2u b h/ν est le nombre de Reynolds débitant basé sur la vitesse
débitante u b . Le terme I x regroupe tous les termes qui sont identiquement nuls
lorsque l’écoulement est homogène dans la direction e x . Dans ce qui suit, on fait
les trois hypothèses suivantes :
1. Le débit est constant
2. L’écoulement est homogène dans la direction transverse e z
3. Les moments statistiques sont symétriques par rapport à la ligne centrale
du canal (y = h)
On introduit la variation locale du champ moyen (pour une quantité arbitraire
φ(x, y, z, t)) :
φ ′′ (x, y, t) ≡ ¯φ(x, y, t) − ˜φ(x, t),
∫ 1
φ(x,
˜
t) ≡ ¯φ(x, y, t)dy (5.69)
0
118

En intégrant 5.68 selon y, on trouve
∂p
˜
−
∂x = 1 8 C f (x, t) + Ĩx, C f = 8 d ū(0) (5.70)
Re b dy
En substituant cette relation dans 5.68, il vient
1
8 C f = d (
R 12 (y) − 1 )
d
dy
Re b dy ū(y) + I x ′′ + ∂p′′
∂x + ∂ ∂tū (5.71)
Cette relation est exacte et locale, puisqu’elle relie C f à des valeurs ponctuelles.
Son caractère local rend peu aisée la compréhension du rôle des différents
phénomènes qui prennent place au sein du canal dans la génération de la traînée
turbulente.
∫
Pour obtenir une relation non-locale, Fukagata applique l’opérateur
1
0 dy ∫ y
0 dy ∫ y
dy à 5.71. La première intégration donne l’équilibre des forces, la
0
deuxième conduit au profil de vitesse moyen et la troisième au débit. On obtient,
après calcul
[ 1
C f = 12 −
Re b
∫ 1
0
2(1 − y)R 12 (y)dy + 1 2
∫ 1
0
(1 − y 2 )
soit, pour un canal plan homogène selon e x et stationnaire :
[ 1
C f = 12 −
Re b
∫ 1
0
]
2(1 − y)R 12 (y)dy
(
I x ′′ + ∂p′′
∂x + ∂ ) ]
dy
∂tū
(5.72)
(5.73)
La relation 5.72 permet de voir quels sont les mécanismes à l’origine du
frottement dans un écoulement de canal turbulent. La première contribution,
12/Re b , est parfois appelée composante laminaire, car elle existe également
dans le cas laminaire. La seconde composante, qui est basée sur R 12 , est d’origine
turbulente. On voit que la trainée turbulente est engendrée dès que R 12 < 0,
ce qui correspond principalement aux mécanismes déjà cités d’éjection et de
balayage. On voit aussi que la contribution de R 12 est pondérée par le facteur
(1 − y) qui affaiblit le poids des évènements situés loin des parois solides. Enfin,
les composantes instationnaires et inhomogènes sont pondérées par (1 − y 2 ), ce
qui laisse supposer que leur contribution sera faible, hormis à proximité de la
paroi.
Cette décomposition permet d’identifier les différentes voies possibles pour
réduire la trainée turbulente. Tout d’abord, on constate qu’il existe un composante
irréductible, à savoir la composante laminaire. Pour réduire la composante
turbulente, il faut réduire la valeur de l’intégrale de (1 − y)R 12 , ce qui peut se
faire soit en diminuant la tension de Reynolds, soit en éloignant son pic de la paroi.
Cette dernière solution consiste physiquement à agir sur l’écoulement pour
déplacer vers le centre du canal le pic de R 12 , et donc le cycle autonome de la
couche limite et ses éléments.
119

Une compréhension physique plus fine de la génération du frottement turbulent
est obtenue en diagonalisant le tenseur de Reynolds. Dans le cas du canal
plan (écoulement strictement parallèle), on a :
⎛
⎞ ⎛
cos α sin α 0
⎝ − sin α cos α 0 ⎠ ⎝ R ⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
11 R 12 0 cos α − sin α 0 λ 1 0 0
R 12 R 22 0 ⎠ ⎝ sin α cos α 0 ⎠ = ⎝ 0 λ 2 0 ⎠
0 0 1 0 0 R 33 0 0 1 0 0 λ 3
(5.74)
où α est un angle de rotation du repère (α = 0 est obtenu dans le cas
isotrope), et λ i , i = 1, 3 sont les valeurs propres, qui ont la dimension d’une
énergie. ce qui conduit à l’expression suivante pour R 12 (y) :
R 12 (y) = 1 2 (λ 2 − λ 1 ) sin 2α = 1 2 K(λb 2 − λ b 1) sin 2α (5.75)
où les λ b i sont les valeurs propres (sans dimension) du tenseur d’anisotropie
b défini par la relation 4.15. Cette décomposition montre que trois effets se combinent
pour mener à l’existence de fortes valeurs de R 12 et donc du frottement :
– L’intensité de la turbulence, mesurée par la dépendance en K
– L’intensité de l’anisotropie, mesurée par la différence entre les valeurs
propres
– L’effet de rotation, mesuré par l’angle α.
5.6.3 Réduction de trainée par soufflage/aspiration
Nous allons ici analyser la stratégie de réduction de trainée par soufflage/aspiration,
qui vise à amortir les fluctuations turbulentes dans la sous-couche visqueuse
et la zone tampon en pratiquant le contrôle en opposition : on aspire localement
à la paroi lorsqu’un mouvement de fluide ascendant (éjection) est détecté,
et on souffle lorsqu’un mouvement descendant (balayage) est identifié. Cette
méthode de contrôle actif s’avère être particulièrement efficace dans les simulations
numériques, dans lesquelles tous les problèmes technologiques de miniaturisation
des capteurs et des actionneurs sont mis de côté. Les limitations
technologiques pour le contrôle en opposition sont fortes, et de très nombreuses
recherches sont effectuées en ce moment pour développer des dispositifs miniaturisés
fiables permettant d’atteindre les performances théoriques optimales.
Pour mesurer l’efficacité du contrôle, on introduit le taux de réduction de
trainée ρ D :
ρ D = C f − C ′ f
C f
(5.76)
où C f et C
f ′ désignent respectivement le frottement sans et avec contrôle. Le
frottement et la vitesse de frottement dans le cas avec contrôle sont trivialement
obtenus comme τ ∗ ′ = (1 − ρ D )τ ∗ et u ′ ∗ = √ 1 − ρ D u ∗ . On considère l’écoulement
dans un canal plan de hauteur 2h à un nombre de Reynolds de frottement
120

nominal sans contrôle Re ∗ . Pour les besoins de l’analyse théorique, l’effet du
dispositif de contrôle est modélisé comme suit :
– Le contrôle est à débit moyen nul (on injecte autant de fluide qu’on en
aspire, en moyenne). Ceci permet, entre autre, de conserver l’hypothèse
que le champ de vitesse moyen n’a qu’une composante, ū(y).
– L’effet du contrôle est de créer une zone d’épaisseur y d au dessus de la
paroi dans laquelle les fluctuations turbulentes sont entièrement amorties.
L’écoulement sera modélisé dans cette région au moyen de la solution de
Poiseuille laminaire (profil de vitesse parabolique).
– Cette zone laminaire est raccordée continument en vitesse et en cisaillement,
dans la zone centrale du canal, à une solution turbulente. Il est fait
l’hypothèse que cette solution est donnée par les lois classiques (zone logarithmique)
dans un repère en translation dont la vitesse est celle de la
solution laminaire à la hauteur y d .
– Dans la region turbulente, on fait l’hypothèse que la vitesse débitante
moyenne u b peut être calculée grâce à la relation semi-empirique de Dean
(1978) :
u b
= 1 ln Re ∗ + F, κ VK = 0, 41 F = 3, 2 (5.77)
u ∗ κ VK
Les calculs (sans difficulté technique particulière) conduisent à la relation
suivante :
1
ln Re ∗ + F = y d
κ VK h
(
+
(
1 − y d
1 − y d
h
h + 1 y 2 )
d
3 h 2 (1 − ρ D )Re ∗ (5.78)
) [ { 3/2 √ 1 (
1 − ρD ln 1 − y ) } ]
3/2 √
d 1 − ρD Re ∗ + F
κ VK h
qui a été validée dans la gamme 10 3 ≤ Re ∗ ≤ 5 · 10 5 . Cette relation implicite
entre Re ∗ , y d et ρ D permet de prévoir le gain en terme de réduction de
trainée, et/ou d’optimiser le dispositif de contrôle. En considérant une couche
laminaire d’une épaisseur égale à y + d
= 10 (ce qui est réaliste au vu des dispositifs
technologiques existants actuellement et des simulations numériques), on
trouve ρ D = 0, 43 à Re ∗ = 10 3 et ρ D = 0, 35 à Re ∗ = 10 5 . Dans ce dernier cas,
la couche controlée est très mince, puisque y + d = 10 correspond à y d/h = 10 −4 ,
ce qui illustre les problèmes de miniaturisation et la très grande efficacité attendue
de ce type de stratégie. Des gains allant jusqu’à ρ D ≃ 0, 75 sont prévus
si on considère y + d
= 60 (ce qui n’est pas réalisable sur le plan technologique
aujourd’hui !).
Les simulations numériques montrent que le modèle idéalisé (couche laminaire
de type profil parabolique raccordée à une solution turbulente logarithmique
dans un repère en translation) est très proche de la réalité. On observe
notamment que le profil de R 12 dans la zone turbulente centrale est semblable à
celui observé dans un cas sans contrôle, mais décalé de y d vers le centre du canal
et avec un pic fortement amorti. La formule 5.73 permet d’interpréter l’origine
121

de ce gain de trainée, qui a une double origine : on réduit la valeur du maximum
de R 12 dans le canal et sa contribution en jouant sur le facteur (1 − y).
5.6.4 Réduction de trainée par emploi d’un revêtement
hydrophobe
Une autre possibilité pour réduire le frottement est d’employer un revêtement
hydrophobe. Avec un tel revêtement, la condition d’adhérence à la paroi u =
0 n’est plus valide, et une condition de glissement ad hoc doit être préférée,
conduisant à :
∂u
u s = l x ∂y ∣ ,
z=0
w s = l w
∂w
∂y
∣ (5.79)
z=0
où l x et l w sont respectivement les longueurs de glissement longitudinale
et transverse, et u s et w s les vitesses de glissement dans ces directions. La
longueur de glissement obtenue par traitement chimique de la paroi est typiquement
de l’ordre de 1 µm, alors qu’avec une paroi mécaniquement micro- ou
nano-structurée il est possible d’obtenir des longueurs de l’ordre de 10 à 100
µm. Notons que le mécanisme physique n’est pas le même dans les deux cas.
Le traitement chimique permet d’obtenir un effet répulsif reposant sur les interactions
entre molécules du solide et celles du fluide. Les surfaces structurées
(typiquement des ”forêts” de nano-pointes, figure 5.20), quant à elles, réduisent
la surface mouillée et donc l’effet d’adhérence en empêchant, par effet capillaire,
le fluide de pénétrer entre les interstices de la couche structurée et de baigner la
surface proprement dite. Dans ce qui suit, on indice par 0 les quantités associées
à l’écoulement avec une paroi classique et une condition d’adhérence.
Comme dans le cas précédent, on mesure l’efficacité à l’aide du taux de
réduction de trainée ρ D , et on a les relations :
ρ D = C f0 − C f
C f0
( ) 2 ( ) 2 u∗
Re∗
= 1 − = 1 −
(5.80)
u ∗0 Re ∗0
On note par +0 les quantités exprimées en unités de paroi calculées au moyen
de la vitesse de frottement dans le cas d’une paroi classique, u ∗0 . La vitesse de
frottement du cas hydrophobe ainsi adimensionnée est
Des calculs simples conduisent aux relations :
u +0
∗ = √ 1 − ρ D (5.81)
l + x = u +0
∗ l +0
x , l + z = u +0
∗ l +0
z (5.82)
Commençons par analyser l’influence du glissement longitudinal caractérisé
par u s , en faisant l’hypothèse que le débit est le même dans les cas avec/sans
effet hydrophobe, c’est-à-dire que le nombre de Reynolds débitant Re b = 2hu b /ν
est constant, où 2h et u b sont respectivement la hauteur du canal et la vitesse
122

débitante. On a, en écrivant la condition de glissement pour le champ de vitesse
moyen
u + s = l x
+ dū +
dy ∣ = l x + =⇒ u s = (u +0
∗ ) 2 l x +0 u ∗0 (5.83)
y=0
Les simulations numériques montrent que, lorsqu’une paroi hydrophobe est
utilisée, le profil de vitesse moyen est très semblable à un profil turbulent ’classique’
écrit dans un repère translaté d’une vitesse u s . On décompose alors la
vitesse débitante (qui est la même que dans le cas avec condition d’adhérence)
comme
u b = u s + u be (5.84)
En exprimant u b et u be au moyen de la formule de Dean 5.77, on obtient
u b =
( )
( 1
1
ln Re ∗0 + F u ∗0 , u be = ln(u +0
∗ Re ∗0 ) + F
κ VK κ VK
En combinant les trois relations précédentes, on obtient
)
l +0
−
x = 1 − ( u+0 ∗ 1
(u +0 ln Re
∗ ) 2 ∗0 + F
κ VK
)
u +0
∗ u ∗0
(5.85)
1
κ VK u +0 ln u +0
∗ (5.86)
∗
L’effet du glissement dans la direction transversale est d’augmenter l’intensité
des tourbillons longitudinaux en diminuant la dissipation d’énergie cinétique.
L’effet de pompage du fluide de la partie supérieure du canal vers la paroi est
accru, ce qui conduit à un ”décalage” du profil de vitesse classique vers la paroi.
Cet effet est pris en compte en modifiant le paramètre F dans la relation de
Dean 5.77. Fukagata, Kasagi et Koumotsakos (2006) proposent la loi empirique
suivante :
[ ( ) l
+ b
]
z
a
F (l + z ) = F ∞ + (F (0) − F ∞ ) exp
−
, (5.87)
Des résultats de simulations numériques conduisent aux calibrations suivantes
: F (0) = 3, 2, F ∞ = −0, 8, a = 7 et b = 0, 7. En insérant ce modèle
pour l’effet de glissement transversal dans 5.86, et en utilisant 5.81, on obtient
la relation implicite
1
κ VK
ln Re ∗0 + F (0) = (1 − ρ D )l +0
x +
+ √ 1 − ρ D F
√ 1 − ρD
(√ )
ln 1 − ρD Re ∗0
κ VK
(√ )
1 − ρD l z
+0
(5.88)
Cette relation permet d’évaluer les gains potentiels. Par exemple, pour un
tanker pétrolier de 300 m de long naviguant à vitesse de croisière (typiquement
123

Figure 5.20 – Surface hyper-hydrophobe composée de nano-tubes de carbone
8m/s), on a Re ∗0 ≃ 2·10 5 . La vitesse de frottement est u ∗0 ≃ 0, 2m/s, et l’unité
de paroi nominale mesure 5µm. L’épaisseur de couche limite est δ ≃ 0, 8m. Avec
un revêtement de NanoTurf, on obtiendrait dans ces conditions des longueurs
= 4. La
formule 5.88 prévoit ρ D = 0, 1, ce qui est un gain potentiel très important sur
le plan applicatif. Si la longueur de glissement était augmentée jusqu’à 50µm,
on aurait ρ D = 0, 25.
de glissement longitudinale et transversale de 20µm, soit l x +0 = l z
+0
5.7 Dynamique du scalaire passif et flux de chaleur
à la paroi
Nous allons maintenant étudier le champ de scalaire passif. L’application
la plus répandue dans ce contexte est certainement l’aérothermique, le scalaire
étant assimillé à la température. On ne traitera pas ici du cas d’une paroi adiabatique,
i.e. d’une paroi telle que
∂T
∂y
∣ = 0
paroi
124

5.7.1 Analyse du profil moyen
L’analyse théorique du profil moyen est plus complexe que celle du champ
de vitesse. La difficulté a la même origine que celle déjà rencontrée lors de la
discussion de la forme du spectre de variance de scalaire : le nombre de Prandtl
P r intervient explicitement dans le problème, et le faire varier conduit à des
solutions qui peuvent être très différentes.
Le point de départ est l’équation de transport de ¯T qui devient, dans le cas
du canal plan :
0 = κ d2 ¯T (y)
dy 2
− d
dy v′ T ′ = d [
κ d ¯T ]
(y)
− v
dy dy
′ T ′
(5.89)
On voit que dans ce cas la dynamique du scalaire est réduite à un équilibre
entre la diffusion verticale turbulente et la diffusion verticale moléculaire. En
intégrant une fois selon y, on obtient l’équation fondamentale pour l’étude de
la couche limite du scalaire :
κ d ¯T (y)
dy
− v ′ T ′ = cste = q w = κ d ¯T (0)
dy
(5.90)
où q w est le flux de chaleur à la paroi. On procède ensuite comme pour la
couche limite associée à ū. Cette extension de l’analyse asymptotique au cas
du champ de température a été réalisée durant les années 1970 par Kader et
Yaglom, après les travaux fondateurs de Squire dans les années 1950. Par souci
de brièveté, nous nous limiterons ici à l’exposé des résultats.
Par analogie avec la vitesse de frottement u ∗ , on utilise la température
de frottement T ∗ baptisée 6 ainsi par Squire en 1951 pour définir le problème
intérieur, avec
T ∗ ≡
q w
c p ρu ∗
(5.91)
où c p est la chaleur spécifique à pression constante. On définit ensuite les
quantités sans dimension suivantes :
y + = yu ∗
ν ,
T + = ¯T (y) − ¯T w
T ∗
, q + t = − v′ T ′
q w
(5.92)
où ¯T w = ¯T (0) est la température de la paroi. La relation 5.90 conduit alors
à :
1 dT +
P r dy + + q+ t = 1 (5.93)
La dépendance explicite en fonction du nombre de Prandtl conduit à chercher
des solutions de la forme T + (y + , P r).
6. Cette quantité avait déjà été employée de manière ”anonyme” par Landau et Lifschitz
en 1944 et par Oboukhov en 1946.
125

Sous-couche diffusive
Commençons par la sous-couche diffusive située juste au dessus de la
paroi, dans laquelle la diffusion moléculaire est si forte que le flux turbulent
v ′ T ′ peut être négligé dans le bilan 5.93. Ici, on obtient trivialement
T + (y + , P r) = P r y + (5.94)
La question se pose ensuite de l’épaisseur y κ de cette couche. Pour P r ∼ 1,
l’épaisseur de la sous-couche diffusive est proche de celle de la sous-couche
visqueuse identifiée sur le profil de ū. Pour des fluides tels que P r ≫ 1, la
sous-couche diffusive est profondément immergée au sein de la sous-couche visqueuse.
A l’inverse, lorsque P r ≪ 1, elle est beaucoup plus épaisse que celle-ci
et recouvre partiellement la zone logarithmique du profil de vitesse. Les bornes
semi-empiriques suivantes ont été proposées par Kader (1981) :
⎧
⎨ 2/P r P r ≪ 1
y κ + = 10 − 30 P r ∼ 1
(5.95)
⎩
12/P r 1/3 P r ≫ 1
Zone logarithmique
Dans le cas où le flux turbulent n’est plus négligeable, on retrouve une loi
logarithmique, comme pour la vitesse. Celle-ci peut être obtenue par un raisonnement
phénoménologique calqué sur celui de Von Karman et de Prandtl basé
sur l’emploi d’un modèle de diffusivité turbulente κ t pour v ′ T ′ :
v ′ T ′ = −κ t
d ¯T
dy , κ t = ν t
P r t
(5.96)
où ν t et P r t sont respectivement la viscosité turbulente et le nombre de
Prandtl turbulent. La valeur de P r t est une question ouverte, ainsi que la
question de savoir si il s’agit d’une constante ou d’une fonction dépendante de y
et P r. Dans le cadre d’une analyse simplifiée, on suppose que P r t est uniforme
et indépendant de P r. En faisant l’hypothèse que l’on se situe au sein de la zone
logarithmique du profil de vitesse, on a (voir chapitre 6)
ce qui conduit à remplacer 5.90 par
κ d ¯T (y)
dy
ν t (y) = κ VK u ∗ y (5.97)
+ κ VKu ∗ y
P r t
d ¯T (y)
dy
dont l’intégration conduit à la solution recherchée
= q w (5.98)
¯T (y)
T ∗
= 1 κ θ
ln(yu ∗ /ν) + B (5.99)
126

où κ θ est la constante de Von Karman pour le scalaire passif, et B
une constante. Il est à noter que la première proposition de cette solution est
dûe à Landau et Lifschitz, dans la première édition de leur livre en 1944.
L’approche suivie par Kader et Yaglom est différente, et suit celle de Isakson
et Millikan pour la couche limite de vitesse.
L’analyse dimensionnelle indique que, pour la solution intérieure, lorsque
y + −→ +∞, on doit chercher une solution de la forme :
¯T w − ¯T
( yu∗
)
(y) = T ∗ ϕ
ν , P r (5.100)
où ϕ est une fonction sans dimension de deux variables sans dimension. Dans
la région extérieure, lorsque y −→ 0, on cherche une solution écrite de la manière
suivante
¯T (y) − ¯T
( y
)
c = T ∗ ϕ 1 (5.101)
h
où h et ¯T c sont respectivement le diamètre hydraulique du canal et la
température moyenne au centre du canal. Enfin, l’analyse dimensionnelle indique
que la différence entre la température à la paroi et celle au centre peut
être exprimée comme :
( )
¯T w − ¯T hu∗
c = T ∗ ϕ 2
ν , P r (5.102)
Dans la région logarithmique, qui est la zone de recouvrement des solutions
intérieure et extérieure, on a donc une équation fonctionnelle de la forme :
( yu∗
) ( y
) ( )
ϕ
ν , P r hu∗
+ ϕ 1 = ϕ 2
h ν , P r (5.103)
dont la solution générale est de la forme
ϕ(y + , P r) = α ln y + + β(P r) (5.104)
ϕ 1 (y/h) = −α ln(y/h) + β 1 (5.105)
ϕ 2 (u ∗ h/ν, P r) = α ln(u ∗ h/ν) + β(P r) + β 1 (5.106)
où α (= 1/κ θ ici) et β 1 sont des constantes et β(P r) est une fonction
à déterminer. La première relation est la solution logarithmique du profil de
température moyenne, la deuxième est une forme logarithmique de la loi déficitaire
pour le scalaire et la dernière porte sur le transfert de chaleur moyen global.
La fonction β(P r) est évaluée empiriquement à partir de données expérimentales.
Kader propose l’expression suivante :
β(P r) =
(
) 2
3, 85P r 1/3 1
− 1, 3 + ln P r, 6.10 −3 ≤ P r ≤ 40.10 3 (5.107)
κ θ
ainsi que α = 2, 12, c’est-à-dire κ θ ≈ 0, 47.
127

Validations et remarques
Les développements qui viennent d’être présentés souffrent des mêmes défauts
et des mêmes limitations que la théorie asymptotique de la couche limite de vitesse.
Les résultats récents montrent que, tout comme pour la vitesse, les régimes
asymptotiques n’ont pas été encore atteints de manière certaine, ce qui explique
les ajustements des valeurs des constantes par de nombreux auteurs. Et il faut
retenir que la présence du paramètre supplémentaire P r complique grandement
la tâche, puisqu’il pilote le changement régime de la solution. Toutefois, un calibrage
au cas par cas permet souvent de représenter les données de manière très
satisfaisante. Des profils de ¯T obtenus par simulation numérique pour différentes
valeurs de Re ∗ et P r sont présentés sur la figure 5.21. L’existence d’une valeur
constante pour κ θ peut également être testée par la simulation numérique
(voir figure 5.22). On observe la possibilité d’obtenir un plateau sur le profil
de manière plus significative que pour le champ de vitesse moyen, lorsque le
nombre de Reynolds est suffisamment grand et P r pas trop petit.
Enfin, la variabilité de la solution est illustrée en regardant les profils de la
variance de scalaire et de flux vertical de scalaire (figures 5.23 et 5.24).
5.7.2 Flux de chaleur moyen à la paroi
Un paramètre déterminant pour de nombreuses applications est le flux de
chaleur moyen à la paroi. Il caractérise l’efficacité des échanges entre l’écoulement
et la matrice solide, et est donc un paramètre dimensionnant pour les systèmes
de chauffage ou de refroidissement.
On introduit pour cela le paramètre sans dimension
c h =
q w
c p ρu c ( ¯T w − ¯T c )
(5.108)
où u c est la vitesse moyenne au centre du canal. On introduite le nombre de
Reynolds Re c = u c h/ν, et le nombre de Nusselt
Nu ≡ c h P rRe c (5.109)
En introduisant Z = 2(u ∗ /u c ) 2 , et en utilisant les relations 5.102, 5.106 et
5.108, on obtient
√
Z/2
c h = √ , γ(P r) = β(P r) + β
1
1 − ln 2 (5.110)
κ θ
ln(Re c Z) + γ(P r) 2κ θ
d’où on déduit une expression similaire pour Nu. Le paramètre Z est calculable
à partir du nombre de Reynolds de frottement Re ∗ à l’aide de la relation
5.25. De la même manière, Re c et Re ∗ sont liés par 5.26.
128

Figure 5.21 – Profil moyen de scalaire passif, pour différentes valeurs du nombre
de Reynolds de frottement et du nombre de Prandtl. Haut : profils généraux ;
Bas : focalisation sur la sous-couche diffusive. On observe bien son épaississement
pour Pr=0,025. Tiré de [14, 1]
129

Figure 5.22 – Profils de κ θ . Tiré de [14]
Figure 5.23 – Profils de v ′ T ′ . Tiré de [14]
130

Figure 5.24 – Profils de K T . En bas, les lignes sont associées à Re ∗ =
180, 395, 640 et 1020. Tiré de [14, 1]
131

5.7.3 Lien avec les structures cohérentes de l’écoulement
Le champ de scalaire est piloté par l’agitation turbulente. Aussi, la structuration
du champ de scalaire résulte d’un équilibre entre l’advection par le
champ de vitesse et la diffusion moléculaire. Lorsque le nombre de Prandtl est
proche de l’unité, les structures de T ′ sont proches de celles de u ′ . Ainsi, on
note que les zones de forte valeur de q w à la paroi sont corrélées avec les streaks
rapides. Ceci est aisément compréhensible, puisque les streaks rapides résultent
de l’entrainement de fluide depuis la région extérieure de la couche limite vers la
paroi. Donc, si la paroi est chaude, les streaks rapides seront froids (et inversement,
ils seront chauds si la paroi est froide). Les tourbillons longitudinaux, en
engendrant les streaks, agissent donc comme des ”micro-mélangeurs naturels”
qui intensifient le transfert de chaleur pariétal par rapport au cas laminaire.
Les résultats les plus récents de simulation numérique montrent que les structures
de grande et très grande taille ont également une empreinte visible sur le
flux de chaleur pariétal, mais ces études sont moins abouties que celles portant
sur le frottement ou la dynamique du champ de vitesse.
Ici aussi, la dépendance au nombre de Prandtl introduit un degré de complexité
supplémentaire : une très forte diffusivité aura pour effet de ”gommer”
l’empreinte des structures du champ de vitesse, alors qu’une diffusivité très
faible conduira à la génération de structures de très petite taille et de fronts très
raides. Ce phénomène est illustré sur les figures 5.25 et 5.26.
132

Figure 5.25 – Vues du champ instantané de T ′ à Re ∗ = 1020. Haut : P r = 0, 71,
Bas : P r = 0, 025. Gris clair : zones froides ; Gris foncé : zones chaudes . Tiré
de [1]
133

Figure 5.26 – Vues du champ instantané de flux de chaleur pariétal. Haut :
P r = 0, 71, Bas : P r = 0, 025, Gauche : Re ∗ = 180, Droite : Re ∗ = 1020 . Tiré
de [1]
134

Chapitre 6
Modélisation statistique de
la turbulence
6.1 Problème de fermeture
6.1.1 Généralités
Les équations du champ moyen 2.57 et 2.58 font apparaître des moments
d’ordre 2 du champ fluctuant, à savoir la divergence du tenseur de Reynolds
∂R ij /∂x j et celle du flux de scalaire turbulent ∂u ′ j T ′ /∂x j . Pour résoudre ces
équations en pratique, il est nécessaire d’exprimer tous les termes comme des
fonctions d’un nombre fini de variables physiques de travail. Ainsi, si l’on souhaite
prévoir seulement ū et ¯T , R ij et u ′ j T ′ ne sont pas connus : le système
n’est pas fermé. Il est bien sûr possible de résoudre les équations pour les
moments d’ordre 2, mais celles-ci font apparaître des moments d’ordre 3. La
non-linéarité quadratique des équations de Navier-Stokes fait que les équations
pour les moments d’ordre n font apparaître ceux d’ordre n + 1.
Pour obtenir un système utilisable en pratique, il est donc nécessaire de clore
la hiérarchie d’équations ainsi engendrée à un niveau arbitrairement choisi. Le
choix le plus courant est de fermer les équations des moments d’ordre un (ū
et ¯T ), et donc de modéliser les tensions de Reynolds et les flux de scalaire
turbulents.
Ces relations de fermeture, ou modèles, peuvent s’exprimer formellement
comme
R ij (x, t) ≈ R ij (ū, ν, a 1 , a 2 , ...), u ′ j T ′ (x, t) ≈ H j (ū, ¯T , ν, κ, a 1 , a 2 , ..., b 1 , b 2 , ...)
(6.1)
où les quantités a i et b i sont des variables physiques auxiliaires introduites
pour enrichir le modèle physique en y incorporant plus d’informations sur u ′
et T ′ . Il faut noter que, puisqu’on travaille avec l’hypothèse que le scalaire est
135

passif, R ij ne dépend pas des variables qui sont spécifiques au champ de scalaire :
¯T , κ, b i .
6.1.2 Concepts de viscosité et diffusivité turbulentes
Il existe aujourd’hui des dizaines de modèles de turbulence (des centaines,
voire des milliers en tenant compte des variantes) de la forme 6.1. Il est bien
sûr hors de question de les décrire tous dans le cadre de ce cours. Nous nous
restreindrons ici aux modèles basés sur les concepts de viscosité turbulente
pour la quantité de mouvement et de diffusivité turbulente pour le scalaire
passif.
Il existe de nombreuses manières d’introduire ces concepts. Ici, nous reprendrons
l’analogie déjà évoquée au chapitre 4.4.2 avec la théorie cinétique des gaz
décrite dans la section 2.2. Les mouvements à l’échelle moléculaire, dont l’échelle
caractéristique est le libre parcours moyen, engendrent des forces à l’échelle macrosopique.
Pour la quantité de mouvement, les collisions entre molécules donnent naissance
à deux termes : un terme isotrope (tenseur sphérique), le gradient de
pression, et une partie déviatorique qui mesure la résistance au cisaillement, les
contraintes visqueuses, dont l’amplitude est pilotée par un scalaire, la viscosité.
Pour un scalaire passif, le mélange ne fait apparaître qu’un scalaire, la diffusivité.
L’analogie, très simple, consiste à dire que le mouvement fluctuant turbulent
joue un rôle similaire sur le champ moyen, et donc qu’on peut écrire :
R ij ≈ −2ν t ¯Sij + 2 3 Kδ ij, ¯Sij ≡ 1 2
( ∂ūi
+ ∂ū )
j
∂x j ∂x i
(6.2)
où ν t (x, t) est la viscosité turbulente. Le second terme du second membre
est un terme isotrope (qui en pratique est ajouté à la pression moyenne dans
les calculs, pour lesquels la pression moyenne ¯p est remplacée par la pression
totale turbulente p ∗ = ¯p + 2K/3) nécessaire puisque le premier terme est à trace
nulle du fait de la contrainte d’incompressibilité. Le problème de fermeture est
reporté dans la définition de la viscosité turbulente : ν t (x, t) = ν t (ū, ν, a 1 , a 2 , ...).
Pour le scalaire passif, on a
u ′ j T ′ ≈ −κ t
∂ ¯T
∂x j
(6.3)
où κ t (x, t) est la diffusivité turbulente. On a a priori
κ t (x, t) = κ t (ū, ¯T , ν, κ, ν t , a 1 , a 2 , ..., b 1 , b 2 , ...).
Il est possible de simplifier le problème en introduisant un nombre de
Prandtl turbulent P r t = ν t /κ t . Si celui-ci est constant et uniforme, le problème
de fermeture se résume au choix de ν t .
136

Cette analogie requiert toutefois de faire une remarque de taille : alors que
ν et κ sont des caractéristiques du fluide, ν t et κ t dépendent de l’écoulement.
Dans certains cas, ces dernières peuvent même prendre des valeurs négatives !
6.2 Un exemple : le modèle K − ɛ
Le modèle le plus populaire pour les applications relevant des sciences de
l’ingénieur est sans doute le modèle K − ɛ, qui inclut deux variables auxiliaires :
l’énergie cinétique K et son taux de dissipation ε. La viscosité turbulente est
obtenue par analyse dimensionnelle :
ν t ∝ K2
ε = C K 2
µ
ε
(6.4)
où C µ est un paramètre à déterminer. Pour connaître K et ε, on complète le
système par les équations d’évolution ad hoc.
6.2.1 Fermeture des équations de quantité de mouvement
Equation pour K
On rappelle l’équation exacte d’évolution de K (relation 2.65)
∂
∂t K +
∂
∂x l
(ū l K) = −R il
∂ū i
∂x l
−
∂
∂x l
u ′ i u′ i u′ l − ε
− ∂
∂x l
p ′ u ′ l + ν ∂ 2
∂x l ∂x l
K (6.5)
Cette équation n’est pas directement utilisable, puisqu’elle contient des termes
qui ne sont pas des fonctions explicites de nos variables de travail ū, ¯T , K et ε.
Le terme de production est fermé, puisqu’on peut écrire :
∂ū i
K 2 ∣
P = −R il ≈ 2ν t ¯Sil S il = C µ
∣¯S∣ ∣
2
(6.6)
∂x l ε
Les termes de dissipation et de diffusion moléculaire ne posent aucun problème.
Les termes de diffusion turbulente par u ′ et p ′ doivent être modélisés. Ceci est
fait en utilisant un modèle de diffusivité turbulente :
− ∂
)
(u ′ i
∂x u′ i u′ l + p′ u ′ l
≈
∂ ( )
νt ∂K
(6.7)
l ∂x l σ K ∂x l
où σ K est le nombre de Prandtl turbulent pour la diffusion de l’énergie
cinétique fluctuante. Ce paramètre reste à déterminer.
Au final, l’équation fermée pour K s’écrit
∂K
∂t + ū ∂K K 2
j = C µ
∂x j ε
∣
∣¯S∣ ∣
2
− ε +
(( ) )
∂ νt ∂K
+ ν
∂x j σ K ∂x j
(6.8)
137

Equation pour ε
Le cas de l’équation d’évolution pour la dissipation ε est plus compliqué. Les
termes qui apparaissent dans l’équation exacte (non donnée ici) sont beaucoup
trop complexes pour permettre une procédure de modélisation comme cela vient
d’être fait pour K. On construit donc de manière artificielle une équation de type
¯D
ε = production − destruction + diffusion turbulente + diffusion moléculaire
¯Dt
(6.9)
Pour la production et la destruction de ε, on raisonne par analyse dimensionnelle
en se servant des termes de production et de dissipation de 6.8. En
remarquant que
1
K
¯D
¯Dt K ∝ 1 ε
on écrit, pour la dissipation
¯D
¯Dt ε =⇒
¯D
¯Dt ε ∝ ε K
¯D
¯Dt K (6.10)
production − destruction = ε K (C ε 1
P − C ε2 ε) (6.11)
où l’on a introduit deux nouveaux paramètres C ε1 et C ε2 à ajuster pour tenir
compte d’éventuelles différences entre les dynamiques de K et ε. Les termes de
diffusion turbulente et moléculaire ont la même structure que ceux de K. Au
final, on a l’équation fermée
∂ε
∂t + ū ∂ε
j = ε ∂x j K (C ε 1
P − C ε2 ε) +
∂ (( ) )
νt ∂ε
+ ν
∂x j σ ε ∂x j
(6.12)
où σ ε est le nombre de Prandtl turbulent pour la diffusion de la dissipation.
6.2.2 Calcul des coefficients du modèle
Le modèle fait apparaître 5 coefficients qu’il faut déterminer : C µ , C ε1 , C ε2 , σ K
et σ ε . La procédure standard pour cela est de considérer des écoulements génériques
et de calibrer les constantes de manière analytique. Les écoulements choisis sont
toujours les mêmes. Nous allons maintenant détailler cette procédure. Notons
qu’on choisit classiquement σ K = 1.
Calcul de C ε2
Ce coefficient est calculé en considérant un cas de turbulence isotrope en
décroissance libre. On a vu que les expériences montrent les comportements
suivants :
(
K(t) = K(0) 1 + t ) n
(6.13)
t 0
138

où l’exposant de décroissance est ici une donnée du problème déterminée en
laboratoire. Dans le cas isotrope, le système 6.8 - 6.12 se simplifie comme
dK
dt = −ε,
dε
dt = −C ε 2
ε 2
K
(6.14)
qui est équivalent à (on élimine ε en considèrant la dérivée logarithmique de
K et ε)
Par identification, on a
dK
dt = KCε 2 =⇒ K(t) = K(0)
(
1 + t
t 0
) 1/(1−Cε2 )
(6.15)
n =
1
⇐⇒ C ε2 = n − 1 = 1 − 1 1 − C ε2 n n
(6.16)
Calcul de C ε1 et C µ
Ces deux coefficients sont calculés en considérant le cas de la turbulence
homogène cisaillée dans son régime de croissance asymptotique (voir chapitre
4). On considère donc une solution exacte de la forme
K(t) = K(0)e λSt , ε(t) = ε(0)e λSt (6.17)
où S = dū/dy est le taux de cisaillement et λ est l’exposant de croissance
supposé constant et connu.
Pour cet écoulement, les équations du modèle deviennent
∂K
∂t = C K 2
µ
ε S2 − ε,
∂ε
∂t = ε K
K
(C 2 )
ε1 C µ
ε S2 − C ε2 ε
En y insérant les solutions 6.17, on obtient la relation
(6.18)
λ 2 = C µ
(C ε1 − C ε2 ) 2
(C ε1 − 1)(C ε2 − 1)
(6.19)
où C ε2 est déjà connu depuis l’étape précédente. Une autre relation entre
les paramètres de l’écoulement et ceux du modèle est obtenue en considérant le
rapport entre la production de K et ε. Ce rapport est constant dans la phase
asymptotique et peut être mesuré. En utilisant le modèle, on trouve :
P
ε = ν tS 2
= C ε 2
− 1
ε C ε1 − 1
(6.20)
Les relations 6.19 et 6.20 définissent implicitement les deux coefficients recherchés.
Mais on n’utilise le plus souvent qu’une seule des deux relations, car
un autre écoulement est utilisé en pratique pour déterminer C µ .
139

Calcul de σ ε et C µ (bis)
On considère maintenant la zone logarithmique d’une couche limite turbulente.
On fait l’hypothèse que dans cette région, il y a équilibre entre production
et dissipation, soit
dū
P = −R 12
dy = −R u ∗
12
κ VK y = ε (6.21)
En utilisant les hypothèses de la théorie classique, on a −R 12 = u 2 ∗, d’où
P = ε =
u3 ∗
κ VK y = ν t
( ) 2 dū
=⇒ ν t = κ VK u ∗ y (6.22)
dy
En revenant à la définition de ν t donnée par le modèle, on trouve
K 2
ν t = C µ
ε = κ K 2
( ) −2 K
VKu ∗ y = C µ
(u 3 ∗/κ VK y) =⇒ C µ =
u 2 = cste (6.23)
∗
Expérimentalement, on obtient C µ = 0, 09. C’est cette valeur qui est utilisée
en pratique. σ ε est obtenu au moyen de la relation 6.12, qui prend ici la forme
(en tenant compte des hypothèses précédentes)
0 = Pε
K (C ε 1
− C ε2 ) + d
dy
( )
νt dε
σ ε dy
(6.24)
En remplaçant les termes par leurs expression obtenues dans la zone logarithmique,
on trouve
σ ε =
κ 2 VK
√
Cµ (C ε2 − C ε1 )
(6.25)
6.2.3 Remarques sur les limitations du modèle
La procédure permet d’établir des relations entre des paramètres physiques
de certains écoulements et les constantes du modèle de turbulence. Ceci fait
apparaître l’importance, y compris pour les travaux des ingénieurs, d’une très
bonne maîtrise théorique de la physique des écoulements, puisqu’une mauvaise
calibration des modèles a un impact dramatique sur les prévisions. On peut
voir aussi que plusieurs des paramètres, comme κ VK , ne sont pas connus,
et parfois l’existence d’une valeur universelle n’est pas établie ! Dans
d’autres cas, on a même la certitude que la valeur du paramètre physique n’est
pas universelle : c’est le cas de l’exposant de décroissance de K dans le cas
isotrope.
Détaillons ce dernier exemple. En considérant un spectre à grande échelle
de la forme E(k, t) ∝ k s , (1 ≤ s ≤ 4), les résultats obtenus au chapitre 3.3.1
montrent que K(t) ∝ t n avec
140

⎧
(s + 1)
⎪⎨ −
n = 2
(s + 1)
⎪⎩ −2
(s + 3)
d’où on déduit immédiatement
⎧
2
⎪⎨ 1 +
(s + 1)
C ε2 =
(s + 3)
⎪⎩ 1 +
2(s + 1)
Re petit
Re grand
Re petit
Re grand
, (1 ≤ s ≤ 4) (6.26)
, (1 ≤ s ≤ 4) (6.27)
On voit donc que, par définition et de manière tout à fait physique, le
paramètre C ε2 = C ε2 (Re, s) n’a pas de valeur universelle, mais dépend intrinsèquement
de l’écoulement. Prendre une valeur unique est une limitation
imposée par la modélisation choisie.
Un conséquence est que le modèle K−ε ainsi calibré (pour une valeur unique
de s et un choix sur le nombre de Reynolds) ne reproduira pas exactement
des cas de décroissance sur lesquels il n’aura pas été calibré. Il est également
incapable de reproduire, pour un spectre donné, la transition entre le régime
à grand Reynolds et celui à petit Reynolds, caractérisé par un changement de
l’exposant de décroissance.
Avoir un modèle complètement consistant est impossible, car la dépendance
suivant s oblige en fait à avoir recours à une description dans l’espace spectral,
ce qui est impossible avec le modèle formulé comme nous l’avons vu, qui ne
tient compte que de variables dans l’espace physique (et qui, comme telles, sont
des intégrales de quantités définies dans l’espace de Fourier sur l’ensemble des
nombres d’onde, ce qui induit l’impossibilité d’extraire une information aussi
fine que la pente s).
Une autre façon d’appréhender les limitations physiques du modèle 6.14 est
de déduire les équations d’évolution exactes de K(t) et ε(t) à partir de la relation
de Lin 3.91 et de les comparer.
En partant de 3.91 et en intégrant, on trouve
d
dt
∫ +∞
0
E(k, t)dk =
} {{ }
≡K(t)
∫ +∞
0
T (k, t)dk − 2ν
} {{ }
≡0
∫ +∞
k 2 E(k, t)dk
}
0
{{ }
≡ε(t)
(6.28)
On voit que l’équation pour K(t) produite par le modèle est exacte. Le
problème vient donc de celle pour la dissipation. En multipliant l’équation de
Lin par 2νk 2 avec d’intégrer, on trouve :
d
dt
∫ +∞
0
2νk 2 E(k, t)dk = 2ν
} {{ }
≡ε(t)
∫ +∞
0
∫ +∞
k 2 T (k, t)dk − 4ν 2 k 4 E(k, t)dk
}
0
{{ }
≡Y ε≠0
} {{ }
≡G ε≠0
(6.29)
141

On voit donc que l’équation exacte contient deux termes, et non pas un seul
comme avec notre modèle. Un de ces termes dépend directement du transfert
spectral T (k), ce qui intuitivement montre la dépendance en fonction du nombre
de Reynolds. La dépendance en E(k, t) indique aussi l’importance de la forme
du spectre. Le fait que notre modèle ne comporte qu’un seul terme ne permet
pas de prendre en compte des effets physiques aussi détaillés.
C’est pourquoi des versions améliorées ont été proposées, qui modélisent
séparément chaque terme de 6.29. L’équation 6.29 a pour équivalent dans l’espace
physique l’équation exacte suivante
dε
dt = 2νω ∂u ′ i
iω j − 2ν 2 ∂ω′ i ∂ω i
′
∂x j
} {{ }
∂x (6.30)
j ∂x j
} {{ }
=G ε =Y ε
où ω est la vorticité. En utilisant des relations exactes dans le cas isotrope, on
peut écrire, en suivant les travaux de Bernard et Speziale (1992), qui s’appuient
sur des relations démontrées par Batchelor et Townsend en 1948
G ε =
=
7
3 √ 15 S ε 3/2
3 √ ν
(6.31)
7
3 √ 15 S ε 2 √
3 ReL
K
(6.32)
où Re L = K 2 /νε est le nombre de Reynolds turbulent basé sur l’échelle
intégrale L u et S 3 est le coefficient de disymétrie du gradient de vitesse, défini
comme
S 3 ≡ − (∂u/∂x)3
((∂u/∂x) 2 ) 3/2
(6.33)
Par ailleurs, on a
= − 3√ 30
14
∫ +∞
k 2 T (k)dk
0
( ∫ ) +∞
3/2
(6.34)
k
0 2 E(k)dk
avec
G ε = 7
15 Z ε2
K
(6.35)
142

Z = λ 4 ∂ 4 f
g (r = 0)
∂r4 (6.36)
∂ω i ∂ω i
∂x j ∂x j
= 30 7
νK
ε
∝
ω 2
} {{ }
∫ +∞
k 4 E(k)dk
0
∫ +∞
k
0 2 E(k)dk
(6.37)
où λ g est l’échelle de Taylor et f la fonction de corrélation longitudinale (voir
section 3.2.1), ce qui conduit à la nouvelle équation suivante (et exacte dans le
cas isotrope !) pour ε(t) :
dε
dt = 7
3 √ 15 S √ ε 2
3 ReL
K − 7
15 Z ε2
K
(6.38)
Cette nouvelle équation est plus riche que 6.14, puisque la production et la
destruction de ε sont explicitement prises en compte, et cela séparément. De
plus, les définitions de S 3 et Z montrent que des informations portant sur les
formes du spectre d”energie E(k) et de la densité spectrale de transfert T (k) sont
prises en compte. Mais elle n’est pas fermée, puisque S 3 , Z sont des fonctions a
priori dépendantes du temps qui ne sont pas des fonctions explicites de K et ε.
Pour simplifier le problème et arriver à un problème fermé utilisable, on se
restreint aux solutions auto-similaires pour lesquelles ont fait l’hypothèse que
S 3 et Z sont invariantes en temps. On a alors
dε
dt = 7
3 √ 15 S 3(0) √ ε 2
Re L
K − 7
15 Z(0)ε2 K
(6.39)
Pour résoudre ce problème, on étudie l’évolution temporelle du nombre de
Reynolds turbulent Re L . En partant de Re L = K 2 /νε, on trouve
dRe L
dt
= 2K dK
νε dt − K2 dε
νε 2 dt
= − 2K ν − 7
3 √ 15 S 3(0) √ K
Re L
ν + 7 15 Z(0)K ν
En introduisant le temps τ tel que dτ = (ε/K)dt, il vient
dRe L
dτ
= Re L
( 7
15 Z(0) − 2 − 7
3 √ 15 S 3(0) √ Re L
)
(6.40)
(6.41)
Les solutions stationnaires (encore appelées points fixes, qui sont des points
fixes stables dans le cas présents, donc des attracteurs) de cette équation sont
des solutions d’équilibres, qui représentent les valeurs vers lesquelles convergent
toutes les solutions lorsque τ → +∞. En posant
143

(
Re (∞) 7
L
15 Z(0) − 2 − 7 √ )
3 √ 15 S 3(0) Re (∞)
L
= 0 (6.42)
on trouve deux solutions :
⎧
7
⎪⎨
0 si
Re (∞) (
15 Z(0) ≤ 2
L
= 7
15
⎪⎩
Z(0) − 2
) 2
7
7
3 √ S si
15
15
3(0)
Z(0) > 2 (6.43)
En substituant les points fixes dans 6.39, il vient
⎧
⎪⎨
dε
dt = − 7 15 Z(0)ε2 K si 7
15 Z(0) ≤ 2
(6.44)
⎪ ⎩ −2 ε2
7
si
K
15 Z(0) > 2
ce qui revient à redéfinir le coefficient C ε2 dans 6.14 en fonction de Z(0),
c’est-à-dire à adapter ce coefficient à la condition initiale. Ceci représente une richesse
supplémentaire par rapport au modèle précédent, mais n’est pas suffisant
pour pallier tout les problèmes, comme le passage du régime à grand nombre de
Reynolds vers celui à bas nombre de Reynolds lors d’une même simulation.
6.3 Fermetures algébriques pour K T et u ′ i T ′
Pour compléter le système lorsque l’équation pour T ′ est résolue il est nécessaire
de trouver une expression pour le flux de scalaire turbulent u ′ i T ′ . Il est possible
de résoudre une équation ad hoc pour cette grandeur, comme cela vient d’être
vu pour K et ε.
Une solution plus simple et moins coûteuse (mais a priori moins précise !)
est d’employer un modèle dit algébrique, c’est-à-dire un modèle qui ne requiert
la résolution d’aucune équation d’évolution supplémentaire.
Un modèle très simple consiste à employer le concept de diffusivité turbulente
:
u ′ i T ′ = −ul ∂ ¯T
∂x i
(6.45)
où u et l sont respectivement une échelle de vitesse et une échelle de longueur,
qui dépendent de l’écoulement. L’analyse dimensionnelle mène à
d’où l’on déduit
u ∝ √ K, l ∝ K3/2
ε
(6.46)
u ′ i T ′ = − C µ K 2 ∂ ¯T
(6.47)
P r t ε ∂x i
144

Pour la variance de scalaire, une expression de même nature est :
K T = − 1 C θ
K
ε u′ i T ′ ∂ ¯T
∂x i
(6.48)
où le paramètre C θ est proche de 0,62. Cette dernière expression permet
d’évaluer le terme de destruction de la variance du scalaire comme
ε T = C θ
ε
K K T (6.49)
145

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