R A P P E L S en d yn am iq u e d es stru ctu re: p ou tre en torsion ...

RAPPELS en dynamique des structure: poutre en torsion pure
Equation du mouvement (poutre homogene et isentropique)
„ «
Application de l’équilibre des moments: = ρIp
∂
∂x
GJ ∂θ
∂x
∂ 2 θ
∂t 2
avec :
θ(x, t) : angle de torsion élastique
ρIp = R S ρ(y2 + z 2 )dS
G : module de Young en torsion
J : coefficient du moment d’inertie en torsion à x fixé
Poutre uniforme
⇒ GJ
ρIp
∂ 2 θ
∂x 2 = ∂2 θ
∂t 2 (Eq. d’onde 1-D)
jean-camille.chassaing@upmc.fr Aéroélasticité en Aéronautique : III - Flottement des voilures
RAPPELS en dynamique des structure: poutre en flexion pure
Solution générale
Séparation des variables: θ(x, t) = X(x)Y (t)
⇒
X ′′
X = ρIp
GJ
Ÿ
Y
= Cte = −α2
Etude du cas α ≠ 0
Solution temporelle : Y (t) = Csin(ωt) + Dcos(ωt) ; ω = α
Solution spatiale : X(x) = Asin(αx) + Bcos(αx)
q
GJ
ρIp
Détermination des Cte ⇒ application des conditions aux limites
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RAPPELS dynamique des structure: torsion pure
Encastrement+extrémité libre: équations (α ≠ 0)
X(0) = 0 ⇒ B = 0
X ′ (l) = 0 ⇒ Eq. caractéristique : Aαcos(αl) = 0
fréquence naturelle : αil = π (2i − 1) ; (i = 1, 2, ...)
2
modes associés : φi(x) = sin(αix)
Allure des 3 premiers modes:
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RAPPELS en dynamique des structure: poutre en flexion pure
Equation du mouvement (poutre homogene et isentropique)
Application de l’équilibre des moments:
„
∂ 2
∂x 2
«
EI ∂2 w
∂x 2
+ ρA ∂2 w
= q(x, t)
∂t
2
avec :
w(x, t) : déflexion élastique
ρ : densité du matériau
A : section de la poutre à x fixé
E : module de Young
I : coefficient du moment d’inertie à x fixé
q(x, t) : forcage extérieur
Vibrations libre d’une poutre uniforme
q(x, t) = 0 ∀x, t
EI = Cte : poutre uniforme ⇒ a 4 ∂4 w
+ ∂2 w
= 0 avec a 4 = EI
∂x 4 ∂t 2 ρA
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RAPPELS en dynamique des structure: poutre en flexion pure
Solution générale
Séparation des variables: w(x, t) = X(x)Y (t)
⇒
Etude du cas α ≠ 0
X (4)
X = − 1 Ÿ
a 4 Y
= Cte = α4
q
Solution temporelle : Y (t) = Asin(ωt) + Bcos(ωt) ; ω = (αl) 2 EI
ml 4
Solution spatiale : X(x) = e λx ⇒ λ 4 − α 4 = 0
⇒ (λ − iα)(λ + iα)(λ − α)(λ + α) = 0
d’ou X(x) = E1[sin(αx) + sinh(αx)] + E2[sin(αx) − sinh(αx)]
+E3[cos(αx) + cosh(αx)] + E4[cos(αx) − cosh(αx)]
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RAPPELS dynamique des structure: poutre en flexion pure
Conditions aux limites
1 déflexion : w(x, t)
2 pente : ∂w/∂x(x, t)
3 moment de flexion : EI∂ 2 w/∂x 2 (x, t)
4 cisaillement : −EI∂ 3 w/∂x 3 (x, t)
Encastrement+extrémité libre: équations
X(0) = X ′ (0) ⇒ E1 = E3 = 0
X ′′ »
(l) = X ′′′ (l) = 0
sinh(αl) + sin(αl) cosh(αl) + cos(αl)
⇒
cosh(αl) + cos(αl) sinh(αl) − sin(αl)
– „
E2
Solution non-triviale ssi le déterminant nul :
cos(αl)cosh(αl) + 1 = 0 ⇒ αl = ...(résolution numérique)
E4
«
=
„ 0
0
«
q
Fréquence naturelle et modes: ωi = (αil) 2 EI
ml 4
φi = cosh(αix) − cos(αix) − βi[sinh(αix)] − sin(αix)]
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RAPPELS en dynamique des structure: poutre en flexion pure
Encastrement+extrémité libre: résultats
βi = cosh(α il) + cos(αil)
sinh(αil) + sin(αil)
Allure des 3 premiers modes:
⇒
i αil βi
1 1.87510 0.734096
2 4.69409 1.01847
3 7.85476 0.999224
4 10.9955 1.00003
5 14.1372 0.999999
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