Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...
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230 Mouvement Brownien gaussien centré de covariance K(s, t) = s∧t. C’est donc bien le processus cherché (pour t ∈ [0, 1]). 2. La démonstration du lemme 1.3 peut sembler spécifique au cas des variables gaussiennes. Mais en général, pour une famille (X 1 , . . . , X n ) de variables aléatoires positives intégrables et de même loi, on obtient une majoration du mme type en considérant uniquement la queue de la loi commune des X i . Si l’on pose X ∗ n = max n i=1 X i , on obtient une estimation de E(X ∗ n) en posant E(X ∗ n) = ∫ ∞ 0 Pr(X ∗ n ≥ t)dt, et on majore Pr(X ∗ n ≥ t) ≤ n Pr(X 1 ≥ t) ∧ 1. En coupant l’intégrale au point t n tel que Pr(X ≥ t) = 1 , on obtient la n majoration E(X ∗ n) ≤ t n + nE((X − t n ) + ) ≤ t n + nE(X1 X≥tn ). Ici, lorsque X est le module d’une gaussienne N(0, 1), on et Pr(X ≥ t) ≤ √ 2 π 1 t exp(−t2 2 ) ≤ C exp(−t2 2 ), E(X1 X≥t ) = √ 2 π exp(−t2 2 ). En choisissant t n = √ 2 log n, on obtient pour les variables gaussiennes le résultat annoncé. 3. Remarquons que lim E (B s − B t ) 2 s→t |s − t| = 1, ce qui suggère que B s − B t est de l’ordre de √ s − t lorsque s est proche de t. En fait, on peut montrer que c’est “presque” le cas, et en particulier que la courbe t ↦→ B t (ω) n’est dérivable en aucun point t, et ceci pour presque tout ω.
Dominique Bakry 231 2 Le mouvement brownien comme martingale Nous n’allons pas développer dans ce chapitre toute la théorie des martingales à temps continu, qui est la parallèle de la théorie des martingales à temps discret développée dans le chapitre 3. Mais une des propriétés fondamentales du mouvement brownien est que c’est une martingale continue à temps continu. De plus, toute martingale continue à temps continu est, à un changement aléatoire de temps près, un mouvement brownien. Dans cette section, nous considérons un mouvement brownien (B t ) défini sur un espace probabilisé (Ω, F, Pr) et nous considérons la famille croissante de sous-tribus (une filtration) F t = σ(B u , u ≤ t). Remarque. — La tribu F t est engendrée par les valeurs de B s aux instants rationnels : F t = σ(B u , u ≤ t, u ∈ Q). En effet, puisque t ↦→ B t est continue, on a B u = lim v→u,v∈Q B v , et donc la connaissance de la restriction de la famille (B u ) aux instants u rationnels est suffisante pour en avoir la connaissance à tous les instants. La propriété fondamentale de cette filtration est la Proposition 2.1. Pour tout 0 ≤ s < t, B t − B s est indépendante de F s . Démonstration. — En effet, B t − B s est indépendante du (n + 1)-uplet (B s1 , . . . , B sn , B s ) pour tout choix 0 ≤ s 1 ≤ . . . ≤ s n ≤ s. Soit alors (t n ) une suite qui énumère les points rationels de [0, s], et considérons la famille croissante de sous-tribus G n = σ(B ti , i ≤ n). La variable B t − B s est indépendante de G n , donc de la tribu ∨ n G n . La remarque précédente montre que ∨ n G n = F s et permet de conclure. Nous pouvons maintenant décrire la propriété de martingale du mouvement brownien. Définition 2.2. Nous dirons qu’une famille de variables aléatoires (X t , t ≥ 0) est une martingale (par rapport à F t ), si 1. Pour tout t ≥ 0, X t est F t -mesurable.
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gaussien centré <strong>de</strong> covariance K(s, t) = s∧t. C’est donc bien le processus<br />
cherché (pour t ∈ [0, 1]).<br />
2. La démonstration du lemme 1.3 peut sembler spécifique au cas <strong>de</strong>s variables<br />
gaussiennes. Mais en général, pour une famille (X 1 , . . . , X n ) <strong>de</strong><br />
variables aléatoires positives intégrables et <strong>de</strong> même loi, on obtient une<br />
majoration du mme type en considérant uniquement la queue <strong>de</strong> la loi<br />
commune <strong>de</strong>s X i . Si l’on pose X ∗ n = max n i=1 X i , on obtient une estimation<br />
<strong>de</strong> E(X ∗ n) en posant<br />
E(X ∗ n) =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
Pr(X ∗ n ≥ t)dt,<br />
et on majore<br />
Pr(X ∗ n ≥ t) ≤ n Pr(X 1 ≥ t) ∧ 1.<br />
En coupant l’intégrale au point t n tel que Pr(X ≥ t) = 1 , on obtient la<br />
n<br />
majoration<br />
E(X ∗ n) ≤ t n + nE((X − t n ) + ) ≤ t n + nE(X1 X≥tn ).<br />
Ici, lorsque X est le module d’une gaussienne N(0, 1), on<br />
et<br />
Pr(X ≥ t) ≤<br />
√<br />
2<br />
π<br />
1<br />
t exp(−t2 2 ) ≤ C exp(−t2 2 ),<br />
E(X1 X≥t ) =<br />
√<br />
2<br />
π exp(−t2 2 ).<br />
En choisissant t n = √ 2 log n, on obtient pour les variables gaussiennes le<br />
résultat annoncé.<br />
3. Remarquons que<br />
lim E (B s − B t ) 2<br />
s→t |s − t|<br />
= 1,<br />
ce qui suggère que B s − B t est <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> √ s − t lorsque s est proche<br />
<strong>de</strong> t. En fait, on peut montrer que c’est “presque” le cas, et en particulier<br />
que la courbe t ↦→ B t (ω) n’est dérivable en aucun point t, et ceci pour<br />
presque tout ω.
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