Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...

Dominique Bakry 229
Pour un tel ω, la série ∑ n k
p=0 Z p(s)(ω) est uniformément convergente. Comme
c’est une série de fonctions continues (car les fonctions E k,n (s) le sont), la limite
est continue.
Appelons ˆB s (ω) cette limite, qui est définie pour presque tout ω. ˆBs est
continue, et, pour tout s ∈ [0, 1], ˆBs est égale presque sûrement à B s , puisque
la série ∑ n Z n(s) converge dans L 2 vers B s , et que ˆB s est la limite de sommes
∑ nk
p=0 Z p(s).
On a ainsi montré que ˆB s est un processus gaussien ayant la même covariance
que B s , et qui est de plus continu.
Il reste à prolonger cette construction à tout t ∈ R + . Pour cela, on construit
de la même manière une suite (Bs) i de mouvements browniens indépendants
continus avec s ∈ [0, 1]. Pour s ∈ [0, 1], on pose B s = Bs, 1 pour s ∈ [1, 2], on
pose B s = B1 1 +B 2 (s−1), et ainsi de suite. Si on a construit B s pour s ∈ [0, n],
on pose sur [n, n + 1] B s = B n + Bs−n. n+1 C’est clairement un processus gaussien
continu ayant la bonne covariance.
Remarques
1. Dans la démonstration que nous venons de faire, nous avons extrait une
sous-suite qui converge presque sûrement uniformément vers ˆB(s). En
fait, une analyse plus précise de la suite a n montre qu’on n’a pas besoin
d’extraire de sous-suite, et que la série la série ∑ n ‖Z n‖ ∞
est presque
sûrement convergente. Pour cela, nous appliquons le fait que, si une
suite de variables positives U n est telle que ∑ n E(U n) < ∞, la suite
U n converge presque sûrement vers 0, résultat qu’on applique au reste de
la série U n = ∑ ∞
n ‖Z n‖ ∞
.
Plus précisément, on peut observer que
∑
n
∞∑
E(‖Z p (s)‖ ∞
) < ∞.
p=n
On en déduit que
∞∑
p=n
‖Z p (s)‖ ∞
converge presque sûrement vers 0, et donc que la série ∑ n Z n(s)(ω)
converge presque sûrement uniformément vers une fonction continue ˆB s (ω).
Mais puisque cette série converge dans L 2 (Ω) vers B s , ˆB s est un processus