Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...

228 Mouvement Brownien
On en déduit le lemme en prenant les logarithmes des deux membres.
Ecrivons alors la série
B s = ∑ n
2 n−1 ∑−1
k=0
E k,n (s)Y k,n ,
où les variables Y k,n sont des variables gaussiennes N(0, 1) indépendantes. Appelons
Z n (s) =
2 n−1 ∑−1
k=0
E k,n (s)Y k,n .
Nous savons, que, pour tout s,
∑
Z n (s) = B(s),
n
où la convergence a lieu dans L 2 . Pour une fonction continue f(s) définie sur
[0, 1], notons sa norme uniforme
‖f‖ ∞
= sup |f(s)| .
s∈[0,1]
Dans la somme qui définit Z n (s), les fonctions E k,n (s) sont à support disjoints,
et donc
‖Z n ‖ ∞
= 2n−1 −1
max ‖E k,n ‖
k=0
∞
|Y k,n | ≤ 2 − n+1 2 n−1 −1
2 max |Y k,n | ,
k=0
. Alors, le lemme 1.3 nous dit donc que
E(‖Z n ‖ ∞
) ≤ K √ log 2 n−1 )2 − n+1
2 = a n .
La série ∑ n a n est convergente, et donc
∑
E(‖Z n ‖ ∞
) < ∞.
n
Lorsqu’une suite converge dans L 1 , il existe une sous-suite qui converge
presque sûrement. Soit n k une telle sous-suite, et un ω pour laquelle la série
∑ nk
p=0 ‖Z p‖ ∞
(ω) est convergente.