Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...
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226 Mouvement Brownien trajectoires continues du processus. Nous n’allons pas entrer dans les détails ici, ce qui nous entraînerait trop loin, mais nous allons plutôt construire directement le processus avec des réalisation continues. Le théorème fondamental de ce chapitre est le suivant : Théorème 1.2. Un mouvement brownien, ça existe ! Démonstration. — Nous allons déjà construire le mouvement brownien pour t ∈ [0, 1]. Ensuite, on l’étendra pour t ∈ R + en recollant des browniens indépendants sur les intervalles [n, n + 1]. Tout d’abord, nous allons voir qu’il est assez facile de construire de plusieurs façons différentes un processus gaussien centré ayant la bonne covariance. Cela se fait à partir d’une base orthonormée de L 2 ([0, 1]) et d’une suite de variables aléatoires indépendantes. Ensuite, un choix judicieux de cette base nous permettra de construire le processus de façon qu’il aie des trajectoires continues. Tout repose sur la remarque suivante, pour s et t dans [0, 1] s ∧ t = ∫ 1 0 1 [0,s] (u)1 [0,t] (u)du. Soit alors (e n ) une base orthonormée de L 2 ([0, 1], dx), et appelons On a E n (s) = ∫ s 0 e n (u)du. 1 [0,s] (u) = ∑ E n (s)e n (u), n puisque E n (s) est le produit scalaire de e n et de 1 [0,s] dans L 2 ([0, 1]). De même, le produit scalaire de 1 [0,s] et 1 [0,t] est égal à ∑ E n (s)E n (t) = s ∧ t. n Considérons alors une suite Y i de variables gaussiennes indépendantes N(0, 1), et posons B s = ∑ E n (s)Y n . n Puisque la série ∑ n E2 n(t) est convergente (sa somme vaut t), la série ∑ n E n(t)Y n converge, dans L 2 (Ω), vers une variable gaussienne.
Dominique Bakry 227 De plus, on a, par indépendance des Y i , E(B t B s ) = ∑ n E n (s)E n (t) = s ∧ t. On a donc bien construit ainsi un processus ayant la bonne loi. Il nous reste à montrer qu’en choisissant convenablement la base e n , on peut obtenir une fonction t ↦→ B t continue. Pour cela, on va montrer que pour une bonne base, qu’on va décrire ci-dessous, la convergence a lieu non seulement dans L 2 , mais presque sûrement uniformément en t ∈ [0, 1]. La base que nous choisissons est la base de Haar. Elle est indexée par deux indices n ∈ N ∗ et 0 ≤ k ≤ 2 n−1 − 1 : e k,n (s) = 2 n−1 2 (1[ 2k 2 n , 2k+1 2 n [ − 1 [ 2k+1 2 n , 2k+2 2 n [ ), à laquelle on adjoint la fonction constante e 0,0 = 1. Il est assez facile de voir que les fonctions e k,n sont deux à deux orthogonales. Le facteur 2 n−1 2 est là pour en faire des fonctions de norme 1 dans L 2 ([0, 1]). On voit aussi aisément qu’avec des combinaisons linéaires de celles ci on peut obtenir toutes les fonctions indicatrices d’intervalles dyadiques 1 [ k 2 n , k+1 2 n ]. Puisqu’on peut approcher uniformément sur [0, 1] les fonctions continues par des combinaisons linéaires d’indicatrices d’intervalles dyadiques, on voit que les combinaisons linaires des fonctions e k,n sont denses dans les fonctions continues, et par suite dans L 2 ([0, 1]). C’est bien une base de L 2 ([0, 1]). On obtient immédiatement l’encadrement pour les primitives 0 ≤ E k,n (s) ≤ 2 − n+1 2 . C’est le fait que ces fonctions E k,n sont très petites qui nous intéresse dans cette base. En effet, nous allons nous servir d’un lemme Lemme 1.3. Il existe une constante K telle que, si (X 1 , . . . , X p ) sont des variables gaussiennes réelles N(0, 1), alors E(max p i=1 |X i|) ≤ K √ log p. Démonstration. — (Du lemme 1.3) Appelons φ(x) = exp( x2 ) et K 4 1 = E(exp( X2 )) = 4 E(φ(|X 1 |)). La fonction φ est convexe, croissante sur R + , et donc φ(E(max(|X i |)) ≤ E(φ(max i |X i |)) ≤ pE(φ(|X 1 |)) = pK 1 .
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trajectoires continues du processus. Nous n’allons pas entrer dans les détails<br />
ici, ce qui nous entraînerait trop loin, mais nous allons plutôt construire directement<br />
le processus avec <strong>de</strong>s réalisation continues.<br />
<strong>Le</strong> théorème fondamental <strong>de</strong> ce chapitre est le suivant :<br />
Théorème 1.2. Un mouvement brownien, ça existe !<br />
Démonstration. — Nous allons déjà construire le mouvement brownien pour<br />
t ∈ [0, 1]. Ensuite, on l’étendra pour t ∈ R + en recollant <strong>de</strong>s browniens<br />
indépendants sur les intervalles [n, n + 1].<br />
Tout d’abord, nous allons voir qu’il est assez facile <strong>de</strong> construire <strong>de</strong> plusieurs<br />
façons différentes un processus gaussien centré ayant la bonne covariance. Cela<br />
se fait à partir d’une base orthonormée <strong>de</strong> L 2 ([0, 1]) et d’une suite <strong>de</strong> variables<br />
aléatoires indépendantes. Ensuite, un choix judicieux <strong>de</strong> cette base nous permettra<br />
<strong>de</strong> construire le processus <strong>de</strong> façon qu’il aie <strong>de</strong>s trajectoires continues.<br />
Tout repose sur la remarque suivante, pour s et t dans [0, 1]<br />
s ∧ t =<br />
∫ 1<br />
0<br />
1 [0,s] (u)1 [0,t] (u)du.<br />
Soit alors (e n ) une base orthonormée <strong>de</strong> L 2 ([0, 1], dx), et appelons<br />
On a<br />
E n (s) =<br />
∫ s<br />
0<br />
e n (u)du.<br />
1 [0,s] (u) = ∑ E n (s)e n (u),<br />
n<br />
puisque E n (s) est le produit scalaire <strong>de</strong> e n et <strong>de</strong> 1 [0,s] dans L 2 ([0, 1]).<br />
De même, le produit scalaire <strong>de</strong> 1 [0,s] et 1 [0,t] est égal à<br />
∑<br />
E n (s)E n (t) = s ∧ t.<br />
n<br />
Considérons alors une suite Y i <strong>de</strong> variables gaussiennes indépendantes N(0, 1),<br />
et posons<br />
B s = ∑ E n (s)Y n .<br />
n<br />
Puisque la série ∑ n E2 n(t) est convergente (sa somme vaut t), la série ∑ n E n(t)Y n<br />
converge, dans L 2 (Ω), vers une variable gaussienne.
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