Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...

242 Mouvement Brownien
Une limite dans L 2 de variables gaussiennes étant gaussienne, nous voyons
que I(f) est une gaussienne centrée de variance ‖f‖ 2 2
. C’est tout ce dont on a
besoin.
Par bilinéarité, on aura aussi
∫
E(I(f 1 )I(f 2 )) =
f 1 f 2 dt.
La dernière propriété est évidente lorsque les fonctions sont en escalier, et se
prolonge à toutes les fonctions de L 2 par continuité.
Une conséquence immédiate est le
Théorème 4.2. Soit (e n ) une base orthonormée de L 2 ([0, 1], dt). Alors, les
variables
X n =
∫ 1
0
e n (s)dB s
forment une suite de variables gaussiennes centrés et indépendantes.
Si l’on écrit E n (t) = ∫ t
0 e n(u)du, on a, pour t ∈ [0, 1],
B t = ∑ n
E n (t)X n .
On retrouve alors la construction du mouvement brownien à partir d’une
base orthogonale de L 2 ([0, 1], dt) que nous avions faite au départ.
Démonstration. — Le fait que les variables X n soit des gaussiennes centrées
réduites indépendantes provient directement de la définition de l’intégrale de
Wiener.
Pour la suite, nous écrivons
∑
E n (t)X n = ∑
n
n
E n (t)
∫ 1
0
e n (s)dB s =
la dernière égalité ayant lieu dans L 2 (Ω), à t fixé.
∫ 1
0
( ∑ n
E n (t)e n (s))dB s ,
Or, ∑ n E n(t)e n = 1 [0,t] , puisque (e n ) est une base orthonormée de L 2 ([0, 1]).
On en déduit
∑
∫ 1
E n (t)X n = 1 [0,t] (s)dB s = B t .
n
0