Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...

236 Mouvement Brownien
5. Si f est bornée, alors P t (f) est de classe C ∞ , et, pour t > 0,
∂ t P t f = 1 2 ∂2 xP t f.
6. Si de plus f a ses deux premières dérivées bornées,
∂ 2 xP t f = P t (f ′′ ).
Démonstration. — Commençons par le premier point. Il suffit d’écrire, pour
0 < s < t < u,
Ceci donne
Puis on identifie.
E(f(B u )/F s ) = E(f(B u )/F t /F s ) = E(P u−t (f)(B t )/F s ).
Pour le second point, on a
P u−s (f)(B s ) = P t−s (P u−t )(f)(B s ).
P t (f)(x) = E(f(x + B t )) = E(f(x + √ tX)),
où X est une variable gaussienne centrée réduite. On peut ensuite passer à la
limite.
Le troisième point résulte de l’invariance par translation de la mesure de
Lebesgue. Si f est positive intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue, on
écrit
∫
∫ ∫
P t (f)(x)dx = f(x + √ tu)dxγ(du),
où la mesure γ(du) est la mesure gaussienne standard, puis on applique le
théorème de Fubini.
Le point 4 est plus délicat. Commencons par le cas où la fonction f a ses
trois premières dérivées bornées.
Alors on écrit, à l’aide d’une formule de Taylor à l’ordre 2 et d’une variable
gaussienne X centrée réduite
P t (f)(x) = E(f(x+ √ tX)) = f(x)+ √ tf ′ (x)E(X)+ t 2 f ′′ (x)E(X 2 )+t 3/2 E(K),
où K est une fonction bornée.