Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...
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232 Mouvement Brownien 2. Pour tout t ≥ 0, E(|X t |) < ∞. 3. Pour tout couple de réels 0 ≤ s ≤ t, Nous avons alors E(X t /F s ) = X s . Proposition 2.3. Avec la définition précédente 1. B t est une martingale 2. B 2 t − t est une martingale 3. Pour tout réel α, exp(αB t − α2 t) est une martingale. 2 Démonstration. — La démonstration est presque immédiate. Pour le point 1, on écrit, pour s < t, B t = B s +B t −B s , et on remarque que B t −B s est centrée indépendante de F s , donc E(B t − B s /F s ) = 0. On a et d’où Pour le point 2, on écrit B 2 t = B 2 s + 2B s (B t − B s ) + (B t − B s ) 2 . E(B s (B t − B s )/F s ) = B s E(B t − B s /F s ) = 0, E((B t − B s ) 2 /F s ) = E(B t − B s ) 2 = t − s, E(B 2 t /F s ) = B 2 s + t − s, ce qui revient à dire que B 2 t − t est une martingale. d’où Enfin, pour le point 3, on écrit exp(αB t ) = exp(αB s ) exp(α(B t − B s )), E(exp(αB t )/F s ) = exp(αB s )E(exp(α(B t − B s )) = exp(αB s ) exp( α2 (t − s)), 2 le dernier point venant de ce que si X est une gaussienne centrée de variance σ 2 , alors E(exp(αX)) = exp( α2 σ 2 2 ).
Dominique Bakry 233 On a donc E(exp(αB t − α2 2 t)/F s) = exp(αB s − α2 2 s). On a une réciproque presque immédiate du dernier point 3. Théorème 2.4. Considérons une famille croissante de sous tribus F t et un processus continu X t nul en 0 tel que, pour tout réel α, le processus exp(αX t − t) soit une martingale. α 2 2 Alors, X t est un mouvement brownien. Démonstration. — On remarque que l’hypothèse s’écrit, pour tout s < t E(exp(α(X t − X s ))/F s ) = exp( α2 (t − s)). 2 Dans ce cas, par prolongement analytique, nous savons que (2.1) E(exp(iα(X t − X s ))/F s ) = exp(− α2 2 (t − s)) = E (exp(iα(X t − X s ))) . Pour tout 3n-uplet (α, c, s) de réels (α 1 , c 1 , s 1 . . . , α n , c n , s n ), considérons la fonction bornée f α,c,s (x) = ∑ i c i cos(α i x) + s i sin(α i x). La famille C de telles fonctions est stable par multiplication. La plus petite tribu qui rend mesurable toutes les fonctions de C est la tribu borélienne, puisque lim α→0 sin(αx) α = x. En prenant les parties réelles et imaginaires dans l’équation 2.1, nous voyons que, pour toutes les fonctions f de C, nous avons E(f(X t − X s )/F s ) = E(f(X t − X s )). Par le théorème des classes monotones, cela s’étend donc à toutes les fonctions boréliennes bornées f, et ceci montre l’indépendance de la variable X t − X s et de la tribu F s . On en déduit aisément par récurrence que, pour 0 < s 1 < s 2 < . . . < s n , les variables (X s1 , X s2 − X s1 , . . . , X sn − X sn−1 ) sont indépendantes.
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On a donc<br />
E(exp(αB t − α2<br />
2 t)/F s) = exp(αB s − α2<br />
2 s).<br />
On a une réciproque presque immédiate du <strong>de</strong>rnier point 3.<br />
Théorème 2.4. Considérons une famille croissante <strong>de</strong> sous tribus F t et un<br />
processus continu X t nul en 0 tel que, pour tout réel α, le processus exp(αX t −<br />
t) soit une martingale.<br />
α 2<br />
2<br />
Alors, X t est un mouvement brownien.<br />
Démonstration. — On remarque que l’hypothèse s’écrit, pour tout s < t<br />
E(exp(α(X t − X s ))/F s ) = exp( α2<br />
(t − s)).<br />
2<br />
Dans ce cas, par prolongement analytique, nous savons que<br />
(2.1) E(exp(iα(X t − X s ))/F s ) = exp(− α2<br />
2 (t − s)) = E (exp(iα(X t − X s ))) .<br />
Pour tout 3n-uplet (α, c, s) <strong>de</strong> réels (α 1 , c 1 , s 1 . . . , α n , c n , s n ), considérons la<br />
fonction bornée<br />
f α,c,s (x) = ∑ i<br />
c i cos(α i x) + s i sin(α i x).<br />
La famille C <strong>de</strong> telles fonctions est stable par multiplication. La plus petite<br />
tribu qui rend mesurable toutes les fonctions <strong>de</strong> C est la tribu borélienne,<br />
puisque lim α→0<br />
sin(αx)<br />
α<br />
= x.<br />
En prenant les parties réelles et imaginaires dans l’équation 2.1, nous voyons<br />
que, pour toutes les fonctions f <strong>de</strong> C, nous avons<br />
E(f(X t − X s )/F s ) = E(f(X t − X s )).<br />
Par le théorème <strong>de</strong>s classes monotones, cela s’étend donc à toutes les fonctions<br />
boréliennes bornées f, et ceci montre l’indépendance <strong>de</strong> la variable X t − X s et<br />
<strong>de</strong> la tribu F s .<br />
On en déduit aisément par récurrence que, pour 0 < s 1 < s 2 < . . . < s n ,<br />
les variables (X s1 , X s2 − X s1 , . . . , X sn − X sn−1 ) sont indépendantes.
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