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La quantication de Peano 67
{ Russell, en denissant la notion de fonction propositionnelle, denit la notion
de predicat : une fonction propositionnelle est un predicat 1-aire.
{ Il essaie, en expliquant la dierence entre (x):x et ^x, d'expliquer la
dierence entre le predicat P (x) etl'operateur 1 applique acepredicat :
1 P 19 .
{ Il ne voit pas les quanticateurs comme des operateurs.
{ La semantique de (x):x et (9x):x est donnee par les mots de la langue
naturelle \toujours" et \quelquefois" et non pas dans le systeme m^eme.
2.5 La quantication de Peano
Dans \Formules de logique mathematique" [Pea58] Peano denit un symbolisme
du calcul du premier ordre ou on retrouve la quantication.
Quelques denitions :
Cls signie \classe". Il a la valeur du mot \Menge" et correspond a la notion
d'ensemble.
Soient a et b des classes : a b signie \Tout a est b".
Soient P et Q des propositions contenant une variable x :
p x q
signie \de P on deduit Q, quelque soit x" ou \les x qui satisfont a la condition
P satisferont aussi a la condition Q". L'indice x du symbole peut ^etre omis
quand il n'y a pas d'ambigute.
La quantication universelle est exprimee par :
x a : \tout x appartient a laclassea"
ou par
x " P : \tous les x qui verient P"
ou P est une proposition qui contient une variable reelle (variable qui appara^t
dans une formule dont la valeur depend du nom de la lettre). Une telle proposition
est appelee \proposition conditionnelle".
La quantication existentielle est exprimee par :
Soit a une classe.
9a signie \il y a des elements dans a" ou \des a existent".
La proposition \il y a des a qui sont b" est symbolisee par:
9ab
La quantication pour Peano est denie en termes de classes, mais si pour
la quantication universelle le symbolisme est celui de la theorie des ensembles,
pour la quantication existentielle, il introduit le symbole 9 du quanticateur. Il
19 voir les operateurs de Curry, chapitre 7.