Téléchargement au format .pdf

56 La categorisation et la quantication dans la tradition logico-philosophique
Nous pouvons interpreterlavariable fregeenne comme un objet plus ou moins
determine et l'objet fregeen comme un objet totalement determine 12 .
2.2.3.4 Fonction et parcours de valeurs
La distinction entre les notions de fonction et parcours de valeurs et de concept
et extension est la plus dicile de l'uvre de Frege et en m^eme temps elle est
l'idee la plus mal comprise. De plus, sa theorie des extensions est inconsistante.
Parcours de valeurs
Le parcours de valeurs (Werthverlauf) est ce qu'on appelle aujourd'hui, dans la
theorie des fonctions le graphe d'une fonction. Mais la distinction entre fonction
et parcours de valeurs porte sur ce qu'on appelle aujourd'hui la fonction vue d'un
point de vue fonctionnel (la denition fonctionnelle de la fonction) et la fonction
vue d'un point de vue ensembliste (la denition ensembliste de la fonction). Du
point de vue fonctionnel, une fonction f est une procedure (moteur) qui construit
a partir d'un objet x, un autre objet y note par f(x). Du point de vue ensembliste
la fonction f est denie par l'ensemble des couples (x y) tels que y = f(x). Nous
pouvons remarquer que le premier point de vue thematise le procede, tandis que
le deuxieme met l'accent sur la donnee initiale et le resultat. Le deuxieme point
de vue est d^u a Dirichlet [Die78]. Il est plus ancien que le premier et donne la
theorie ensembliste des fonctions, theorie qui est a la base de l'ensemble de l'edice
mathematique d'aujourd'hui. Le premier, plus nouveau, s'est developpe a partir
des travaux de Church [Chu41] et il a donne naissance a la theorie fonctionnelle
des fonctions connue sous le nom de -calcul [Chu41], [Bar84].
Pourquoi les mathematiques modernes se sont-elles developpees dans l'ensemblisme
et non pas dans le fonctionnel? C'est une question qui tient de
l'epistemologie des mathematiques et il est dicile d'y repondre.
Cette dichotomie ensembliste { fonctionnel, m^eme si elle n'est pas thematisee
explicitement par Frege, trouve son expression dans son parcours de valeurs.
Ainsi, une expression de la forme 13 :
(::::::) (1)
rencontree chez Frege peut ^etre lue comme la -fonction:
x(:::x:::) (2)
dans le sens ou la fonction est denie par son procede de construction. La m^eme
fonction peut ^etre denie en termes de classes comme 14 :
^y^x(y = :::x:::) (3)
12 voir la construction de la LDO dans le chapitre 6.
13 La notation est la notation de Frege.
14 La notation est la notation de Frege.