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Theoreme 9.5 (i) F x est un ltre de Etendue (f).
(ii) F x est un ltre de Etendue (f).
(iii) F x est un quasi-ltre de Etendue (f).
Demonstration
(i) Soit x 2 Etendue(f)ety z 2 F x tels que y =(x)z =(x). Si et
0 n'ont pas des determinations communes, alors y ^ z = x. Si \ 0 = 00 ,
alors v =( 00 x) est tel que v = y ^ z.
(ii) M^eme raisonnement.
(iii) Pour l'ensemble F x on peut prouver que :
8y 2 F x et z, tel que y 6 z on a z 2 F x . La premiere condition de la
denition d'un ltre ne se verie pas pour F x .
Theoreme 9.6
Ext(f)=sup Etendue(f)
Ext (f)=sup Etendue (f)
Demonstration
L'inclusion
Ext (f)=sup Etendue (f)
Ext(f) sup Etendue(f)
resulte du fait que si x 2 Ext(f), alors
(i) x > f
et
(ii) Si x 0 2 sup Etendue(f) est comparable avec x , tel que x 0 > x, alors
x 0 = x.
L'inclusion inverse resulte de : Si x 2 sup Etendue(f), alors x > f et
8y y 2 Etendue(f) soit x > y, soit x et y sont incomparable, donc x ne peut
plus ^etre determine, donc x 2 Ext( f).
La demonstration du fait que Fil est une pretopologie:
(1) ? , Etendue ( f) 2 Fil.
(2) Soit F x et F y 2 Fil, alors F x
S
Fy =F z 2 Fil. (L'intersection de deux
ltres est un ltre.)
La demonstration du fait que T ltre est une topologie.
(1) ? =F f
? Etendue(f)=F f
f .
(2) Soit F f
F 1
et F f
F 2
. Alors, F f
F 1
T F
f
F 2
=F f
F 1\F 2.