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302 Demonstrations des theoremes du chapitre 9
(3) Si x =(y) ety =( 0 z) alors z =(( 0 )x)
(ii)
(1) x 6 x parce que x =( x) et on considere que la cha^ne vide est formee
par des determinations typiques.
(2) Si x 6 y et y 6 z, alors x = y Si x =( y) ety =( 0 x), alors
= 0 = , donc x = y
(3) Si x 6 y et y 6 z, alors x 6 z. Si x = ( y) et y = ( 0 z)
et 0 contient que des determinations typiques, alors 0 contiendra que
des determinations typiques. Donc x 6 z.
(iii)
Evidement x 6 x, donc 6 n'est pas reexive.
Pour la transitivite, soit x 6 y et y 6 z. Pour simplication on suppose :
et
y =((g)x) etg 2 Ness x c
z =((h)y) eth 2 Ness y c
On a deux cas:
(a) h 6= N 1 g (b) h = N 1 g
(a) Si g est une instance atypique de x obtenue par l'application de g ,
alors d'autant plus z sera une instance atypique de x en etant obtenu par deux
determinations atypiques g et h. Exemple : un homme unijambiste qui est
borgne.
(b) Si z =((N 1 g)(g)x). L'application de la determination construite avec
la propriete contraire N 1 g n'annule pas l'atypicalite. Exemple : x := un oiseau
y := une autruche z := une autruche qui vole.
Theoreme 9.3 (i) L'ensemble (Etendue(f), 6 ) est un demi-treillis inferieur
avecle plus petit element f.
(ii) L'ensemble (Etendue (f), 6 ) est un demi-treillis inferieur avec leplus
petit element f.
Demonstration
(i) Soient x, y 2 Etendue (f). On a trois cas:
(a) x 6 y, alors inffx yg = x
(b) y 6 x, alors inffx yg = y
(c) x y sont incompatibles. Alors il existe z (au pire f) tel que z 6 x et z 6 y
et pour tout z 0 , tel que z 0 6 x et z 0 6 y on a z 0 6 z (le plus grand minorant), donc
inffx yg = z. Comme f 6 x 8x 2 Etendue(f), f est le plus petit element.
(ii) M^eme demonstration.