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LES DEMONSTRATIONS ET LES CALCULS POUR LA
SEMANTIQUE DE ∏ * ET ∑ * , ET DE π * ET ε *
(chapitre 7)
289
Toutes les démonstrations utilisent les règles de la logique combinatoire ( L comb ) et de la
logique classique ( L c ).
I. Théorème 1 ( L comb )
⇒β exp
(N 0
(f x))
≡
⇐β réd
(((B N 0
) f) x) d’ou N 1 = déf B N 0
La négation N 0
est notée simplement N.
Le prédicat TYPIQUE (f) ( x) est noté ((Typ 2
f) x) et (f x) ∧ (TYPIQUE (f) (x) = ⊥ par
((Atyp 2
f) x)
II. Les relations entre ∏ 2 , ∏ * et ∑ 2 , ∑ *
∏
L'implication sémantique (L c ) ∏ 2 f g ⇒ g(∏ * f)
1. ∏ 2 f g hypothèse
1.1 ((Typ2 f) x), (f x) hypothèse
1.2 ∏ 2 f g 1, réitération
1.3 (g x) 1.1, 1.2 ∏ 2 - e
1.4 g(∏ * f) 1.1 - 1.3, ∏ * -i
2. g(∏ * f) 1, 1.2 - 1.4 ⊃ - e
Les deux implications dans L comb ∏ 2 f g ⇒β réd g(∏ * f)
g(∏ * f) ⇒β exp ∏ 2 f g