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284 Demonstrations des theoremes du chapitre 7
q
f
@ ;
@@@@@@@@@@@@@@ ;
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x ;
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Etendue f;
Etendue g
;
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;
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q q
;
Extf
q
;
q
g
Figure C.1: Contre-exemple du theoreme 7.1
Si on suppose Etendue g Etenduef et Ess f 6 Ess g, il existe f i 2 Ess f
qui n'est pas en Ess g.
Par ailleurs, tout objet x de Etendue f est un point xe pour f i :
((f i ) x) =x (1)
Mais il existe y en Etendue g tel que:
Comme y 2 Etendue f on a par (1):
((f i ) y) 6= y (2)
donc, contradiction entre (2) et (3).
((f i ) y) =y (3)
3. L'armation 3. est une consequence directe de 1. et 2.
4. L'implication" =) " est triviale. L'autre implication n'existe pas conformement
au contre-exemple de la gure C.2 :
Ext f \ Ext g = ? et
Etendue f \ Etendue g 6= ?