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Annexe C
Demonstrations des theoremes
du chapitre 7
Theoreme 7.1 1. Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g
2. Ess f Ess g () Etendue g Etendue f
3. Ess f Ess g =) Ext g Ext f
4. Ext f T Ext g 6= ? =) Etendue f T Etendue g 6= ?
Demonstration
On suppose que Etendue f = Etendue f
1. Si x 2 Etendue f implique x 2 Etendue g, alors l'implication reste valide
pour un objet totalement determine x2 O det , donc Ext f ^Ext g.
Le contre-exemple pour l'implication inverse: c'est le cas des concepts ayant
deux intensions dierentes, mais la m^eme extension. Par exemple une conique
est une courbe denie par:
ou par
ax 2 + by 2 +2cxy +2dx +2ey +2f =0
\l'intersection d'un plan avec un c^one."(voir gure C.1)
Ext f Ext g et pourtant Etendue (f) Etendue (g). Mais on peut
remarquer qu'il existe x 2 Etendue (f) \ Etendue (g), tel que Ext x c =Ext
f.
2.Si Essf = f f 1 ,f 2 ,....f n gEssg = f f 1 ,f 2 ,....f n , f, g 1 ,g 2 ,....g m ,g g, alors il
existe tel que g = ((f)), donc Etendue g Etenduef.