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280 Demonstrations du chapitre 2
Supposons que Ext () tombe sous :
Alors elle est l'extension d'un concept sous lequel elle ne tombe pas. Mais,
par (Vb), elle ne peut tomber sous aucun concept auquel elle est associee comme
extension, et ainsi, elle ne tombe pas sous () et (Ext()) = ? _
Supposons que Ext ()ne tombe pas sous :
Alors elle n'est pas l'extension attribuee a un concept sous lequel elle ne tombe
pas. Mais, dans ce cas, par (Vb, comme elle doit tomber sous tout concept auquel
elle est associee, donc elle tombe sous et (Ext()) = >.
II. Le paradoxe du Russell :
Soit U l'ensemble
U = fx=x 62 xg
ou x est un ensemble. Alors U est un ensemble paradoxal :
Demonstration
Si U2U alors U est un x, donc U62U.
Si U62U, alors U est un x, donc U2U.
d'ou le paradoxe.
III. L'expression dans la logique combinatoire de l'assertion d'un contenu propositionnel
et de sa negation d'apres Frege (l'operateur de jugement de Frege):
Soient :
A une proposition
C l'operateur qui construit le
contenu propositionnel de A
J
l'operateur d'assertion (il arme
J(C(A))
un contenu propositionnel)
on arme (on fait le jugement du)
le contenu propositionnel de A
Nous avons :
1. J(C A )
2. B JCA 1.,i- B
Pourlanegation (notee par \non") :
1. J(non (C A ))
2. J(B non C A) 1., i- B
3. B 3 J B nonCA 2., i- B 3
4. CB 3 J B non C A 3., i- C
5. C 2 CB 3 B non J C A 4., i- C 2
6. X JCA on note X = C 2 CB 3 B