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Annexe A
Demonstrations du chapitre 2
I. Le paradoxe de l'extension Ext f d'un concept dans la theorie fregeenne :
Le concept () est deni par :
() =^etre l'extension d'un concept sous lequel cette extension ne tombe pas
La loi V est interpretee par Frege dans le sens suivant : il existe une certaine
fonction du second niveau qui attribue a tout concept du premier niveau une
extension et cette fonction attribue la m^eme extension a deux concepts dierents
si et seulement si exactement les m^emes objets tombent sous eux :
{ 1. du second niveau telle que (f) = Ext(f)
{ 2. (f) =(g) ssi Ext(f) = Ext(g)
Nous avons, alors deux conditions sur cette fonction du deuxieme niveau :
{ (Va) Si les concepts () et () du premier niveau sont tels que exactement
les m^emes objets tombent sous eux, la fonction du deuxieme niveau leurs
attribue la m^eme extension.
{ (Vb) Si les concepts () et () du premier niveau ne sont pas tels que
exactement les m^emes objets tombent sous eux, la fonction du deuxieme
niveau leur attribue des extensions dierentes.
Avec les remarques ci-dessus nous pouvons prouver :
Si (Ext()) = > , alors (Ext()) = ?
et
Si (Ext()) = ? , alors (Ext()) = >
La fonction du second niveau attribue au concept () une extension
Ext(). On se demande si cette extension tombe ou ne tombe pas sous (elle
etant un objet) :