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252 Une semantique pour la LDO
l'ensemble Fil represente l'ensemble de tous les sous-ensembles hereditaires
de Etendue(f). Alors ( Fil , ^, _, ), : ) est une algebre de Heyting. A
chaque expression applicative correspondant a un objet o 2 O nous mettons en
correspondance une union d'ensembles hereditaires.
Fil est une topologie sur Etendue(f). Le diagramme represente un cas
particulier de la contrepartie intuitionniste du theoreme de Stone [DGl96a] (Cf.
gure 9.4):
ou
v(x) = [ F x
f(F x )=fU=Uest un ultraltre de Fil g
La semantique locale de Kripke correspond dans ce cas au fait qu'a unobjet
donne x on fait correspondre tous les objets plus ou moins determines et tous les
objets totalement determines qu'il est possible d'engendrer a partir de cet objet
x.
9.6 L'intension d'un concept et les ideaux
Considerons Int-caract f = f f 1 , :::, f n g.Alors
l'ideal engendre par f 1 , :::, f n .
Intf =I f1 :::fn
Theoreme 9.8 Int f est un demi-treillis superieur avec le plus grand element f.
Pour chaque concept g 2 Int f on peut considerer l'ideal I g engendre parg.
Alors
I g Int f. Soit I = f I g /I g Int f g
Theoreme 9.9 (Int f, I) est une pretopologie.
Pour l'instant on ne peut rien armer de plus sur la structure de Ess f,
Ness f, Ness f.
???
La semantique algebrique decrite en termes de ltres et d'ideaux dans ce
chapitre represente du point de vue algebrique un prolongement de la loi du Port
Royal. C'est un essai de donner une explication formelle a ladualite intensionextension
explication qui est restee assez oue jusqu'a maintenant.