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La semantique locale de Kripke pour l'Etendue(f) 251
ou x 0 est le premier objet atypique dans la cha^ine , telle que x 0 =( (f))
(Cf. gure 9.3).
D'abord il faut prouver que est une locologie:
(1) est evidemment reexive.
(2) Il existe 0 qui est symetrique: 0 = (Etendue (f)-Ext (f))
(Etendue (f) - Ext (f)).
(3) est non-maigre ( (x ) fx / x 2 Etendue (f)-Ext(f)).
On remarque que n'est pas transitive :
Si x 2 Ext(f)etx 0 un atypique de Etendue(f) tel que x x 0 . alors x 0 f
et pourtant on n'a pas x (f).
On prouve :
Ext (f) = h(Ext(f))
Par denition h(Ext(f)) = f x 2 Etendue (f)/(x) 2 Ext(f) g
Si x 2 Ext (f), alors (x) = Ext(f) Ext(f), donc x 2 h(Ext(f)).
Si x 2 h(Ext(f)), alors (x) Ext(f), donc x doit ^etre un x .
9.5 La semantique locale de Kripke pour l'Etendue(f)
Soit (I, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, A I s'appele hereditaire si
pour tout i 2 Aetj> ionaj2 A. Soit I l'ensemble de tous les sous-ensembles
hereditaires de I. Pour tout A,B Iondenit:
{ A ^ B=A\ B
{ A _ B=A[ B
On pose [i) = f j 2 I,j> i g pour tout i 2 I. On verie facilement que A \
BetA[ B restent des ensembles hereditaires et que I est un treillis distributif.
On denit:
A ) B f i 2 I/A[ [i) B g
: A=(A) ?) =f i 2 I/A[ [i) = ? g
On verie que ( I , ^, _, ), : ) est une algebre de Heyting. Considerons
l'ensemble Fil de tous les ltres de Etendue(f). Tout ensemble hereditaire de
Etendue(f)est:
soit F x
soit S x2Etendue(f) F x
Soit Fil = f S x2A F x /A Etendue(f)g