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250 Une semantique pour la LDO
Remarque 9.2 Comme Etendue(f) est un demi-treillis (et non pas un treillis)
inffx yg n'est pas deni pour chaque paire (x y) 2 Etendue(f) Etendue(f).
Remarque 9.3 Si x 2 Ext(f) alors F x = fxg
La structure de ltres de l'Etendue (f) est representee par (Cf. gure 9.1)
Soit l'ensemble des ltres de Etendue (f):
Fil = fF x =x 2 Etendue(f)g
On peut facilement verier que Fil est une pretopologie.
Theoreme 9.7 (Etendue (f), Fil) est un espace pretopologique muni d'une
pretopologie de ltres.
Remarque 9.4 Les ltres de type F x sont des ultraltres pour la relation d'inclusion.
Le theoreme d'immersion de Stone [DGl96a] est represente dans ce cas
particulier par le diagramme (Cf. gure 9.2):
ou
v(x) =F x
f(F x )=fU=Uest un ultraltre F x Ug
^v = fU=Uest un ultraltre F x Ug
et U(Fil) represente l'ensemble des ultraltres de Fil.
9.4 Une locologie sur Etendue(f): h(Ext( f))
= Ext (f)
On denit:
Etendue(f) Etendue(f)
par
1. objet typique : Si x 2 Etendue(f), alors (x )=fx g S Etendue (f)
2. objet atypique : Si x 2 Etendue(f), alors (x )=fx g S Etendue (f)
3. objet typique determine: Si x 2 Ext(f), alors (x ) = Ext(f)
4. objet atypique determine: Si x 2 Ext(f), alors (x )=fx g S F x
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