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Espace pretopologique, topologique et locologique 247
Le modele d'algebre de Heyting est l'espace topologique (X, T ). On pose pour
tout A, B 2T :
{ A ^ B=A T B
{ A _ B=A S B
{ (A ) B) = I ( A T B)
{ : A=(A) ?) =I(A )
(T T S ) :) est une algebre de Heyting.
Denition 9.27 (Locologie [DGl96b])
Soit X un ensemble et une relation binaire sur X. La relation s'appelle
locologie si les trois conditions suivantes sont veriees:
pour tout x 2 X, x 2 (x) (reexive)
pour tout x 2 X, tel que (x) ) fxg (non-maigre)
il existe 0 , 0 symetrique, reexive et non-maigre.
Denition 9.28 (Espace locologique)
Un ensemble X muni d'une locologie s'appelle espace locologique, note (X,
).
Deux operateurs peuvent ^etre denis sur un espace locologique : l'operateur
de cur et l'operateur de l'ombre.
Denition 9.29 Soit A X. Le cur de A est deni par : h(A) = f x 2 X/
(x) A g.
L'ombre de A est denie par : s(A) = f x 2 X/ (x) T A 6= ? g
Les proprietes de l'operateur h sont:
Propriete 9.3 h: P(X) ;! P(X)
H1. h(A) A.
H2. Si A B, alors h(A) h(B).
H3. h(A S B) h(A) S h(B).
H4. h(A T B) h(A) T h(B).
H5. h(h(A)) h(A).
Les proprietes de l'operateur s sont: