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246 Une semantique pour la LDO
{ I 3 pour tout A et tout B I(A T B) = I(A) T I(B)
{ I 4 pour tout A I(I(A)) = I(A)
s'appelle operateur d'interieur.
Denition 9.25 (Operateur de fermeture)
Soit X un ensemble. Un operateur C : P (X) ;! Pavec lesproprietes:
{ C 1 C(?) =?
{ C 2 pour tout A, A C(A)
{ C 3 pour tout A et tout B , C(A [ B) = C(A)[ C(B)
{ C 4 pour tout A C(C(A)) = C(A)
s'appelle operateur de fermeture.
Si I est un operateur d'interieur, alors l'ensemble f I(A) / A 2P(X) g est une
topologie sur X.
Si C est un operateur de fermeture, alors l'ensemble fC(A) g 1 est une topologie
sur X.
Les proprietes C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 sont connues sous le nom des axiomes de Kuratowsky
[Mar96]. Les deux operateurs (d'interieur et de fermeture) sont idempotents
(les proprietes I 4 et C 4 ).
Denition 9.26 (Algebre de Heyting)
Une algebre de Heyting est un quintuplet( H, ^, _, :, ))
ou
{ (i)(H,^, _ ) est un treillis distributif avec 0 le plus petit element.
{ (ii) pour tout (a,b) 2 H H il existe un element appele le pseudo-complement
de a relatif a b, note a) bdeni par:
a ) b= W f c 2 H/a^ c 6 b g
{ (iii) : a=(a) 0) = W f c 2 H/a^ c 6 0 g
Propriete 9.2 :: a > a
a _: a 6 1
(a) b) 6 ( : a ):b)
: a _:b 6 : (a ^ b)
1 A denote le complement en X de A, c'est-a-dire X-A / A 2P(X)