Téléchargement au format .pdf

Espace pretopologique, topologique et locologique 245
Denition 9.20 (Quasi-ltre (resp. quasi-ideal))
Soit T un demi-treillis inferieur (resp. superieur). Un sous-ensemble F T
(resp. I T) s'appelle quasi-ltre(resp. quasi-ideal) si une seule condition de la
denition d'un ltre (resp. ideal) est veriee :
pour tout x 2 F (resp. I) et y tel que x 6 y (resp. y 6 x),y2 F (resp. I).
9.2 Espace pretopologique, topologique et locologique
Dans ce paragraphe nous presentons les notions de base de pretopologie, topologie,
locologie qui s'averent^etre utiles pour la semantique de la LDO.
Denition 9.21 (Pretopologie)
Soit X un ensemble et soit une famille P de sous-ensembles de X (P P
(X)). La famille P s'appelle pretopologie si les deux conditions suivantes sont
veriees:
{ ?, X2P.
{ Si A, B 2P, alors A T B 2P.
Denition 9.22 (Topologie)
Soit X un ensemble et soit une famille T de sous-ensembles de X (T P (X).
La famille T s'appelle topologie si les trois conditions suivantes sont veriees:
{ ?, X2T.
{ Si A, B 2T, alors A T B 2T.
{ Si fA i g i2I est telle que A i 2Tpour tout i, alors S i2I A i 2T.
Denition 9.23 (Espace topologique (resp. pretopologique)
Un ensemble X muni d'une topologie T (resp. pretopologie P), note (X, T )
(resp. (X, P)) s'appelle espace topologique (resp. pretopologique).
Une topologie peut ^etre denie a l'aide de l'un de deux operateurs suivants.
Denition 9.24 (Operateur d'interieur)
Soit X un ensemble. Un operateur I : P (X) ;! P(X) avec les proprietes:
{ I 1 I(X)=X
{ I 2 pour tout A, I(A) A.