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Quelques notions de base de la theorie des treillis 243
{ pour tous s 2 S, p(S) 6 s.
Denition 9.7 ( Supremum )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S
A) et a un element deA.L'element a s'appelle le supremum de S note sup(S)
s'il est son plus petit majorant.
Denition 9.8 ( Inmum )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S
A) et a un element de A. L'element a s'appelle l'inmum de S note inf(S) s'il
est son plus grand minorant.
Denition 9.9 (Demi-treillis inferieur)
Un ensemble partiellement ordonne (A,6 ) s'appele demi-treillis inferieur
(superieur) si la condition suivante est veriee :
pour tous x,y 2 A il existe inf(fx,yg)(sup(fx,yg)).
Denition 9.10 (Treillis)
Un ensemble partiellement ordonne (A,6 ) s'appele treillis si:
pour tout x et tout y 2 A il existe inf(fx,yg).
pour tout x et tout y 2 A il existe sup(fx,yg).
Denition 9.11 (Treillis complet)
Un treillis ( A, 6 ) s'appele treillis completsi tout ensemble S, non-vide de A
possede un supremum et un inmum (sup(S) et inf(S)).
Tout treillis induit une structure d'algebre latticielle avec les operations ^ , _
denis par :
Denition 9.12 a ^ b = inf(fa,bg) (intersection), a _ b = sup(fa,bg) (union)
Denition 9.13 (Treillis distributif) Soit T un treillis et S T, S 6= ?.
s'appelle distributif si :
pour tous x,y,z 2 T
S
x ^ (y _ z) =(x ^ y) _ (x ^ z)
x _ (y ^ z) =(x _ y) ^ (x _ z)
Denition 9.14 (Treillis avec un plus petit (plus grand element)) Un treillis T
s'appelle treillis avec le plus petit element (0) (le plus grand element (1))si T
admet un plus petit element (un plus grand element).