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242 Une semantique pour la LDO
a:
{ 1. xRx (reexivite)
{ 2. Si x R y et y R z, alors x R z (transitivite)
{ 3. Si x R y et y R z, alors x = y (antisymetrie)
Le symbole generique pour l'ordre partiel est le symbole \6 ". Dans ce paragraphe
nous utilisons ce symbole pour designer un ordre partiel. Dans les paragraphes
suivants nous designerons par ce symbole une relation d'ordre partiel
particuliere.
Denition 9.2 (Ensemble partiellement ordonne )
Soit A un ensembleet6 une relation binaire sur A. La structure ( A, 6 )est
appellee ensemble partiellement ordonne si6 est un ordre partiel sur A.
Denition 9.3 (Majorant )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S
A) et a 2 A. L'element a s'appelle un majorant de S si la condition suivante
est veriee :
pour tout s, s 2 S, s 6 a
Denition 9.4 (Minorant )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A (S
A) et a 2 A. L'element a s'appelle un minorant de S si la condition suivante
est veriee :
pour tout s, s 2 S, a 6 s
Denition 9.5 ( Le plus grand element )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A
(S A). Le plus grand element de S est l'unique element de S note g(S) (s'il
existe) qui verie :
{ g(S) 2 S.
{ pour tous s 2 S, s 6 g(S).
Denition 9.6 ( Le plus petit element )
Soit ( A, 6 ) un ensemble partiellement ordonne, S un sous-ensemble de A ( S
A). Le plus petit element de S est l'unique element de S note p(S) (s'il existe)
qui verie :
{ p(S) 2 S.