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Une nouvelle theorie de la quantication 229
3 fgPselit:tout objet x 1 qui tombe sous f est tel que pour tout
objet x 2 qui tombe sous g, ona(Px 2 x 1 ).
Deux operateurs de quantication typique peuvent ^etre denis :
? 3
par la semantique : tout objet typique x 1 de f est tel que pour tout
objet x 2 qui tombe sous g ona(Px 2 x 1 ).
? 3 par la semantique : tout objet de f, x 1 est tel que pour tout objet
typique qui tombe sous g, x 2 il y a (Px 2 x 1 ).
Les autres quanticateurs de deux arguments peuvent ^etre obtenus de la m^eme
maniere.
Generalisation
Soient :
(P x n x n;1 .....x 2 x 1 ) un predicat n-aire
f 1 ,....,f n des predicats 1-aires (concepts)
q i le quanticateur correspondant a lavariable x i q i 2f8 9g
Q i 2f 2 2 g
2f ^g.
La forme generale d'une phrase du type 1.-4. est :
(q 1 x 1 )[(f 1 x 1 )[(q 2 x 2 )[(f 2 x 2 ) [..... [(f n x n )(Px n x n;1 .....x 2 x 1 )]]....]]]
ou
Q 1 f 1 (Q 2 f 2 (.....(Q n f n P n ))....) ou P n est obtenu de P par currication (voir
Annexe C)
Cette forme peut ^etre reduite a:
YQf 1 ,....,f n P n si Q 1 =Q 2 =.....= Q n =Q(ou)
et a la forme
Z 2 2 f 1 ,....,f n P n si Q i 2f 2 2 g.
Par ailleurs, cette expression est :
Q n f 1 ::: f n P
soit
() n f 1 ::: f n P
d'ou les equations
YQf 1 ::: f n P n Q n f 1 ::: f n P
et
Z 2 2 f 1 ::: f n P n () n f 1 ::: f n P