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$Université de Paris-Sorbonne $Paris IV$ - LaLIC - Université Paris ...$

212 La quantication 2 fg =) red g(? f) Ces implications ne representent pas une equivalence entre les deux operateurs a cause de leurs semantiques dierentes (voir 7.6.1.2). La dierence semantique decoule de la dierence syntaxique. Pour l'operateur de quantication universelle typique ? les regles d'introduction et d'elimination sont : TYPIQUE(f)(x) (fx) ` (gx) g( ? f) (9) ou TYPIQUE(f) (x) (f x) . [i- ? ] (10) g( ? f) (g x) Si x est un objet typique engendrea partir de f et si de (f x) on infere (g x), alors g( ? f). g( ? f)TYPIQUE (f) (x) (f x) (g x) [e- ? ] (11) Si g( ? f)et(fx), alors x est un objet typique engendre a partir de f et (g x). g( ? f) se lit : tout objet typique de f est un objet de g, abregeentout ftypique est g Pour l'operateur de quantication existentielle ? les regles d'introduction et d'elimination sont : (f a) ^ (g a) [i- ? ] (12) g( ? f)
Une nouvelle theorie de la quantication 213 g( ? f) (f a) ` B(g a) ` B B [e- ? ] (13) Pour l'operateur de quantication existentielle typique 2 les regles d'introduction et d'elimination sont : TYPIQUE (f) (a) (f a) ^ (g a) [i- 2 ] (14) 2 fg TYPIQUE (f) (a) 2 fg(f a) ` B(g a) ` B B [e- 2 ] (15) g( ? f) se lit : il existe un f qui est g. 2 fg se lit : il existe un f typique qui est g. Une premiere asymetrie entre et est due a l'asymetrie de en f et g et la symetrie de en f et g : (8x)((fx) (gx)) ou (9x)((fx) ^ (gx)) (9x)((gx) ^ (fx)) Cette asymetrie engendre la deuxieme asymetrie entre les operateurs et en ce qui concerne la typicalite : quel est l'operateur entre et ? et, respectivement, et ? qui englobe la typicalite. L'operateur de quantication universelle generale est celui de la logique classique 2 et ? est celui qui porte la typicalite pour cette quantication, alors que, pour la quantication existentielle l'operateur de la logique classique 2 porte la typicalite comme information sous-jacente et ? est l'operateur general. La proposition de ces traits syntaxiques et semantiques est due a J.-P. Descles. Le changement des traits semantiques par rapport a la typicalite entre 2 et ? est une hypothese qui provient du fait que l'existence d'un objet est prouvee generalement en donnant une construction de cet objet. Or les moyens de construction conduisent en general, aux objets typiques et non pas aux objets atypiques. En appliquant ? a f on arme l'existence d'un f (pas forcement typique). La preuve de g( ? f) est de construire un objet typique ou non qui tombe sous f et qui verie g. La preuve de 2 fg est un objet typique de f qui verie g.
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UNIVERSITE PARIS IV { SORBONNE ECOL
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