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208 La quantication
Si Ext g 6= ?
Si Ext N 1 g 6= ?
2 fg 2 fg
2 f(N 1 g) 2 f(N 1 g)
N 0 ( 2 fg)= 2 f(N 1 g)
N 0 ( 2 f(N 1 g)) = 2 fg
7.5 Proposition d'une nouvelle semantique
Dans le chapitre 6 nous avons deni les classes Etendue(f) et Etendue(f).
Faisons l'hypothese (tres forte) que \tout ce qui est constructible est deductible
et inversement" c'est-a-dire :
Etendue(f) = Etenduef
Les relations suivantes sont alors veriees :
Theoreme 7.1 1. Etendue f Etendue g =) Ext f Ext g
2. Ess f Ess g () Etendue g Etendue f
3. Ess f Ess g =) Ext g Ext f
4. Ext f T Ext g 6= ? =) Etendue f T Etendue g 6= ?
La demonstration de ce theoreme est donnee dans l'annexe C.
Ce theoreme montre que les assertions suivantes ne sont pas equivalentes :
\Tous les objets totalement determines de f sont des objets totalement determines
de g."
et
"Tous les objets de f sont des objets de g."
Cette idee conduit a la possibilite de munir l'operateur 2 d'une autre semantique
en denissant deux operateurs correspondant a la quantication universelle.
Nous appelons ces deux operateurs, l'operateur de quantication universelle fort
note ( fort
2
)etl'operateur de quantication universelle faible note ( faible
2
).Ils
sont denis par :
Pour la quantication existentielle :
fort
2
fg : Etendue f Etendue g
faible
2
fg :Extf Extg