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Les operateurs classiques de quantication 203
(t)
9x (x)
[i-9 ]
9x(x)
(x)
. [e-9 ]
avec la condition : x n'appara^t pas libre en .
La regle d'introduction signie intuitivementquesi est veriee par un objet
t, alors il existe x tel que (x). Celle d'elimination signie que, si du fait qu'il
existe x tel que (x) on peut inferer une proposition qui ne depend plus de x,
alors on a .
Dans la presentation de la quantication par la deduction naturelle on travaille
uniquement avec des objets totalement determines. Le probleme du caractere
"arbitraire" de la variable x n'est pas assez claire. La LDO propose une solution
pour l'interpretation de \arbitraire" et \quelconque" par la categorisation qu'elle
donne aux objets (voir le chapitre 6).
Nous considerons que l'objet x de la regle d'introduction du quanticateur 8
est l'objet totalement indetermine quelconque . Il n'a aucune determination,
rien n'est presuppose sur lui. Cette regle exprime l'idee que si tombe sous ,
alors tout objet totalement determine ou plus ou moins determine a la propriete
. Conformementa l'axiome A6 il existe de tels objets. Cette interpretation est
etroitement liee a lasemantique proposee dans le paragraphe 7.5 de ce chapitre.
Par contre la lettre t dans la regle d'elimination de 8 designe un objet quelconque
dont on conna^t les determinations. Il est un des objets de Etendue ou de Ext
.
Dans la regle d'introduction du quanticateur 9, t est un objet determine,
de Ext f, mais x est un objet indetermine (plus ou moins determine) dont la
determination est inconnue par l'enonciateur. On a les m^emes caracteristiques
pour x de la regle d'elimination de 9.
La terminologie de la logique classique est assez confuse. La LDO, par sa
categorisation la rend plus explicite.
Un objet \arbitraire" pour la LDO sera un objet parmi les objets plus ou
moins determines, donc un element de Etendue f un objet \quelconque" est
le f comprenant sa capacite d'engendrer toute la classe Etendue f un objet
\indetermine" est un objet dont on ne conna^t pas toutes les determinations.