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200 La quantication
j= :8x (x) ssi 9x :(x)
j= :9x (x) ssi 8x :(x)
j= 8x (x) ssi :9x:(x)
j= 9x (x) ssi :8x :(x)
Ce formalisme se lit :
8x (x) : toutes les entites de l'univers du discours verient la formule .
9x (x) : il existe une entite de l'univers de discours qui verie la formule .
Exemples :
Tout F est G.
1. Tout homme est mortel.
2. Tout mammifere est un vertebre.
3. Tout nombre pair est la somme de deux nombres impairs.
Il y a des F qui sont G. (Il existe un objet tel que...)
1. Il y a des oiseaux qui ne volent pas.
2. Il y a des hommes aux yeux bleus.
3. Il existe un nombre reel dont le carre est 2.
Si les schemas du type :
Tout F est G.
Il existe un (des) F qui est (sont) G.
sont satisfaisants pour les assertions mathematiques, les assertions du langage
commun ont des nuances qui ne peuvent ^etre captees adequatement par ces
operateurs :
Tout homme admire Socrate.
Les Alsaciens boivent de la biere.
Les generaux meurent dans leur lit.
Un general meurt dans son lit.
Dans ces exemples l'objet x ne couvre pas entierement l'univers de discours
parce que le bon sens nous dicte que :
Il y des gens (atypiques) qui n'admirent pas Socrate.
On peut certainement trouver des alsaciens qui ne boivent pas de biere.
Il y a des generaux morts sur le champ de bataille (les generaux atypiques).
Dans le premier exemple \tous" n'encode pas la quantication universelle
exprimeepar8. Dans le deuxieme et le troisieme exemple \les" encode l'extension
typique du concept \^etre alsacien" et, respectivement, \^etre general". Dans le
quatrieme exemple \un" encode l'objet typique f.
Voila des problemes qui ne peuvent pas ^etre resolus avec les quanticateurs
classiques. En francais, il existe par exemple l'expression : \tous, sans exception"