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Les operateurs classiques de quantication 199
{ I(9x(x)) = max fI((a))/ a 2 A g
{ la regle de substitution :
la substitution des termes par les variables dans les formules (le
terme t remplace la variable libre x):
(
8y[t=x] si x 6 y
(8y)[t=x]=
8y si x y
(
9y[t=x] si x 6 y
(9y)[t=x]=
9y si x y
la substitution des formules pour les propositions dans des formules
(la formule remplace la proposition p):
(8 y )[/p] = 8 y [/p]
(9 y )[/p] = 9 y [/p] ou p est une proposition
La logique classique se denit par les axiomes et les regles d'inference suivantes
:
Axiomes
A1. p ! (p ^ p)
A2. p ^ q ! q ^ p
A3. (p ! q) ! ((p ^ r) ! (q ^ r))
A4. ((p ! q) ^ ((q ! r)) ! (p ! r)
A5. p ! (q ! p)
A6. (p ^ (p ! q)) ! q
A7. p ! (p _ q)
A8. (p _ q) ! (q _ p)
A9. ((p ! r) ^ (q ! r)) ! ((p _ q) ! r)
A10. :p ! (p ! q)
A11. ((p ! q) ^ (p !:q)) !:p
A12. p _ (:p)
L'axiome 6 correspond a laregle d'inference dite du modus ponens notee
generalement:
p p ! q
Les axiomes portant sur les quanticateurs sont :
j= 8x (x) ssi j= (a) pour tout a 2 A
j= 9x (x) ssi il existe a tel que (a)
et les theoremes de base :
q