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Les operateurs classiques de quantication 197
g
des fonctions : f 1 :::f m
des constantes : c i ,pouri 2 I
des connecteurs C = f:, ^ , _, !, $, 8, (quel que soit) , 9 (il existe)
des variables : x 1 :::x n
les symboles : ( , )
On denit deux ensembles :
TERM - l'ensemble des termes est le plus petit ensemble possedant les proprietes
:
(i) c i 2 TERM i2 I) x j 2 T ERM j 2 N
(ii) si t 1 :::t m 2 TERM,alorsf i (t 1 :::t m ) 2 TERM
(iii) tous les termes se denissent par (i) et (ii)
FORM - l'ensemble des formules, le plus petit ensemble possedant les proprietes
:
(i) ?2FORM si t 1 :::t r 2 TERM, alors P i (t 1 :::t r ) 2 FORM pour tout
indice i
(ii) si et 2 FORM, alors ( ) 2 FORM ou 2f^, _, !, $g
(iii) si 2 FORM, alors : 2 FORM
(iv) si 2 FORM, alors ((8 x) (x)), ((9 x) (x)) 2 FORM
Une formule 2 FORM dans laquelle chaque variable x i est instanciee par
une constante c i devient une proposition de PROP(P ).
Le volet semantique pour la logique classique est deni par un mecanisme
d'interpretation.
Dirk Van Dalen [VDa91] decrit ce volet ainsi :
\L'art d'interpreter les propositions (mathematiques ou non) presuppose
une separation stricte entre \le langage" et \l'univers" des
entites. Les entites du langage sont des symboles ou des suites de
symboles, les entites mathematiques sont des nombres, des ensembles,
des fonctions, des triangles, etc."
Il se refere ici aux entites mathematiques, mais, en generalisant cette idee, les
entites ont un statut ontologique confere par le domaine auxquelles elles appartiennent,
s'il s'agit d'un domaine particulier. Sinon, leur statut ontologique est
celui confere par la philosophie ou par le sens commun. Ce statut ontologique
s'exprime toujours par une categorisation.
Un mecanisme d'interpretation est une structure [VDa91] :