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194 La quantication
Pour la plupart des systemes logiques (la logique classique, la logique intuitionniste)
des semantiques ont etedenies en termes de classes d'objets (semantiques
ensemblistes). Pour la logique classique la semantique en termes de classes d'objets
est donnee par le theoreme de Stone [DGl96a], pour la logique intuitionniste
par un theoreme qui permet de plonger toute algebre de Heyting dans un espace
topologique [DGl96a].
Dans la theorie des modeles on denit l'inference syntaxique p ` q et l'inference
semantique p j= q pour les FBF p,q .
Les notions de completude et correction sont :
completude : si p ` q, alors p j= q
correction : si p j= q, alorsp ` q.
7.2 Les operateurs de quantication dans la presentation
traditionnelle de la logique classique
:
Quine [Qui50] presente la theorie de la quantication de la maniere suivante
La quantication est la formalisation dans la logique classique des
idiomes de la langue tels que :
Tout homme est mortel.
Il y a des livres ennuyeux.
La formalisation en est :
8x(x : homme x ! mortel x)
9x(x : livre x ^ ennuyeux x)
Les symboles 8 et 9 denotent le quanticateur universel et le quanticateur
existentiel.
Quine [Qui50] arme que les prexes 8x et 9x representent \le point focal"
de la logique neoclassique parce que ces prexes sont relies a lafoisalavariable
x qui se trouve sous leur \portee" et a l'expression qui depend de x. .
La theorie de la quantication, d'apres lui, est representee par :
les deux foncteurs 8, 9
le carre d'Aristote (voir gure 7.1).
la portee d'un quanticateur : 8x(:::x:::) 9x(:::x:::)
D'apres Quine on considere m^eme aujourd'hui, dans des manuels de logique
que :